chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán 7 hay
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (952.21 KB, 28 trang )
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
1
CHUYỀN ĐỀ BỒI DƯỠNG HSG TOÁN 7
PHẦN ĐẠI SỐ
Chuyền đề 1: Các bài toán thực hiện phép tính:
1. Các kiến thức vận dụng:
- Tính chất của phép cộng , phép nhân
- Các phép toán về lũy thừa:
a
n
=
.
n
a a a
; a
m
.a
n
= a
m+n
; a
m
: a
n
= a
m –n
( a
0, m
n)
(a
m
)
n
= a
m.n
; ( a.b)
n
= a
n
.b
n
;
( ) ( 0)
n
n
n
aa
b
bb
2 . Một số bài toán :
Bài 1: a) Tính tổng : 1+ 2 + 3 +…. + n , 1+ 3 + 5 +…. + (2n -1)
b) Tính tổng : 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n+1)
1.2.3+ 2.3.4 + 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
Với n là số tự nhiên khác không.
HD : a) 1+2 + 3 + + n = n(n+1)
1+ 3+ 5+ …+ (2n-1) = n
2
b) 1.2+2.3+3.4+ …+ n(n+1)
= [1.2.(3 - 0) + 2.3.(4 - 1) + 3.4(5 – 2) + … + n(n + 1)( (n+2) – (n – 1))] : 3
= [ 1.2.3 – 1.2.3 + 2.3.4 – 2.3.4 +……+ n( n+1)(n+2)] : 3
= n(n+ 1)(n+2) :3
1.2.3 + 2.3.4+ 3.4.5 + ….+ n(n+1)(n+2)
= [ 1.2.3(4 – 0) + 2.3.4( 5 -1) + 3.4.5.(6 -2) + ……+ n(n+1)(n+2)( (n+3) – (n-1))]: 4
= n(n+1)(n+2)(n+3) : 4
Tổng quát:
Bài 2: a) Tính tổng : S = 1+ a + a
2
+… + a
n
b) Tính tổng : A =
1 2 2 3 1
. . .
nn
c c c
a a a a a a
với a
2
– a
1
= a
3
– a
2
= … = a
n
– a
n-1
= k
HD: a) S = 1+ a + a
2
+… + a
n
aS = a + a
2
+… + a
n
+ a
n+1
Ta có : aS – S = a
n+1
– 1
( a – 1) S = a
n+1
– 1
Nếu a = 1
S = n
Nếu a khác 1 , suy ra S =
1
1
1
n
a
a
b) Áp dụng
11
()
.
cc
ab k a b
với b – a = k
Ta có : A =
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( ) ( ) ( )
nn
c c c
k a a k a a k a a
=
1 2 2 3 1
1 1 1 1 1 1
( )
nn
c
k a a a a a a
=
1
11
()
n
c
k a a
Bài 3 : a) Tính tổng : 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ….
+ n
2
b) Tính tổng : 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n
3
HD : a) 1
2
+ 2
2
+ 3
2
+ ….+ n
2
= n(n+1)(2n+1): 6
b) 1
3
+ 2
3
+ 3
3
+ … + n
3
= ( n(n+1):2)
2
Bài 3: Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) A =
1 1 1 1 1 3 5 7 49
( )
4.9 9.14 14.19 44.49 89
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
2
b)
12 5 6 2 10 3 5 2
63
93
2 4 5
2 .3 4 .9 5 .7 25 .49
125.7 5 .14
2 .3 8 .3
B
HD : A =
9
28
; B =
7
2
Bài 4: 1, Tính: P =
1 1 1 2 2 2
2003 2004 2005 2002 2003 2004
5 5 5 3 3 3
2003 2004 2005 2002 2003 2004
2, Biết: 13 + 23 + . . . . . . .+ 103 = 3025.
Tính: S = 23 + 43 + 63 + . . . .+ 203
Bài 5: a) TÝnh
115
2005
1890
:
12
5
11
5
5,0625,0
12
3
11
3
3,0375,0
25,1
3
5
5,2
75,015,1
A
b) Cho
20052004432
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
B
Chøng minh r»ng
2
1
B
.
Bài 6: a) Tính :
7
2
14
3
1
12:
3
10
10
3
1
4
3
46
25
1
230.
6
5
10
27
5
2
4
1
13
b) TÝnh
1 1 1 1
2 3 4 2012
2011 2010 2009 1
1 2 3 2011
P
HD: Nhận thấy 2011 + 1 = 2010+2 = ….
2012 2010 1
1 1 1 2011
1 2 2011
MS
2012 2012
2012 2011
2 2011
=
1 1 1 1
2012( )
2 3 4 2012
c)
10099 4321
)6,3.212,1.63(
9
1
7
1
3
1
2
1
)10099 321(
A
Bài 7: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
50
31
.
93
14
1.
3
1
512
6
1
6
5
4
19
2
.
3
1
615
7
3
4.
31
11
1
A
b) Chøng tá r»ng:
2004
1
2004
1
3
1
3
1
2
1
1
2222
B
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
3
Bài 8: a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc:
25
13
:)75,2(53,388,0:
25
11
4
3
125505,4
3
4
4:624,81
2
2
2
2
A
b) Chøng minh r»ng tæng:
2,0
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
20042002424642
nn
S
Chuyên đề 2: Bài toán về tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
1. Kiến thức vận dụng :
-
ac
a d bc
bd
-Nếu
a c e
b d f
thì
a c e a b e
b d f b d f
với gt các tỉ số dều có nghĩa
- Có
a c e
b d f
= k Thì a = bk, c = d k, e = fk
2. Bài tập vận dụng
Dạng 1 Vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau để chứng minh đẳng thức
Bài 1: Cho
ac
cb
. Chứng minh rằng:
22
22
a c a
b c b
HD: Từ
ac
cb
suy ra
2
.c ab
khi đó
2 2 2
2 2 2
.
.
a c a ab
b c b ab
=
()
()
a a b a
b a b b
Bài 2: Cho a,b,c
R và a,b,c
0 thoả mãn b
2
= ac. Chứng minh rằng:
c
a
=
2
2
( 2012 )
( 2012 )
ab
bc
HD: Ta có (a + 2012b)
2
= a
2
+ 2.2012.ab + 2012
2
.b
2
= a
2
+ 2.2012.ab + 2012
2
.ac
= a( a + 2.2012.b + 2012
2
.c)
(b + 2012c)
2
= b
2
+ 2.2012.bc + 2012
2
.c
2
= ac+ 2.2012.bc + 2012
2
.c
2
= c( a + 2.2012.b + 2012
2
.c)
Suy ra :
c
a
=
2
2
( 2012 )
( 2012 )
ab
bc
Bài 3: Chøng minh r»ng nÕu
d
c
b
a
th×
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35
HD : Đặt
ac
k
bd
a = kb, c = kd .
Suy ra :
5 3 (5 3) 5 3
5 3 (5 3) 5 3
a b b k k
a b b k k
và
5 3 (5 3) 5 3
5 3 (5 3) 5 3
c d d k k
c d d k k
Vậy
dc
dc
ba
ba
35
35
35
35
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
4
Bài 4: BiÕt
22
22
a b ab
c d cd
với a,b,c, d
0 Chứng minh rằng :
ac
bd
hoặc
ad
bc
HD : Ta có
22
22
a b ab
c d cd
=
22
22
22
22
ab a ab b
cd c cd d
2
2
2
()
()
()
a b a b
c d c d
(1)
22
22
a b ab
c d cd
=
22
22
22
22
ab a ab b
cd c cd d
2
2
2
()
()
()
a b a b
c d c d
(2)
Từ (1) và (2) suy ra :
22
( ) ( )
a b a b
a b a b
c d c d
a b b a
c d c d
c d d c
Xét 2 TH đi đến đpcm
Bài 5 : Cho tØ lÖ thøc
d
c
b
a
. Chøng minh r»ng:
22
22
dc
ba
cd
ab
vµ
22
22
2
dc
ba
dc
ba
HD : Xuất phát từ
d
c
b
a
biến đổi theo các
hướng làm xuất hiện
2 2 2 2 2 2
2
2 2 2 2 2 2
()
ab a b a c a b a b
cd c d b d c d c d
Bài 6 : Cho d·y tØ sè b»ng nhau:
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222
TÝnh
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
HD : Từ
d
dcba
c
dcba
b
dcba
a
dcba 2222
Suy ra :
2 2 2 2
1111
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
Nếu a + b + c + d = 0
a + b = -( c+d) ; ( b + c) = -( a + d)
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
= -4
Nếu a + b + c + d
0
a = b = c = d
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
= 4
Bài 7 : a) Chøng minh r»ng:
NÕu
cba
z
cba
y
cba
x
4422
Th×
zyx
c
zyx
b
zyx
a
4422
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
5
b) Cho:
d
c
c
b
b
a
.
Chøng minh:
d
a
dcb
cba
3
HD : a) Từ
cba
z
cba
y
cba
x
4422
2 2 4 4a b c a b c a b c
x y z
2 2(2 ) 4 4
22
a b c a b c a b c a
x y z x y z
(1)
2( 2 ) (2 ) 4 4
22
a b c a b c a b c b
x y z x y z
(2)
4( 2 ) 4(2 ) 4 4
4 4 4 4
a b c a b c a b c c
x y z x y z
(3)
Từ (1) ;(2) và (3) suy ra :
zyx
c
zyx
b
zyx
a
4422
Bài 8: Cho
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
chøng minh r»ng biÓu thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn.
zy
xt
yx
tz
xt
zy
tz
yx
P
HD Từ
zyx
t
yxt
z
xtz
y
tzy
x
y z t z t x t x y x y z
x y z t
1 1 1 1
y z t z t x t x y x y z
x y z t
x y z t z t x y t x y z x y z t
x y z t
Nếu x + y + z + t = 0 thì P = - 4
Nếu x + y + z + t
0 thì x = y = z = t
P = 4
Bài 9 : Cho 3 số x , y , z khác 0 thỏa mãn điều kiện :
y z x z x y x y z
x y z
Hãy tính giá trị của biểu thức : B =
111
x y z
y z x
Bài 10 : a) Cho các số a,b,c,d khác 0 . Tính
T =x
2011
+ y
2011
+ z
2011
+ t
2011
Biết x,y,z,t thỏa mãn:
2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010 2010
2 2 2 2 2 2 2 2
x y z t x y z t
a b c d a b c d
b) Tìm số tự nhiên M nhỏ nhất có 4 chữ số thỏa mãn điều kiện:
M = a + b = c +d = e + f
Biết a,b,c,d,e,f thuộc tập N
*
và
14
22
a
b
;
11
13
c
d
;
13
17
e
f
c) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn :
2009 2010 2011
abc
.
Tính giá trị của biểu thức : M = 4( a - b)( b – c) – ( c – a )
2
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
6
Mt s bi tng t
Bi 11: Cho dãy tỉ số bằng nhau:
2012 2012 2012 2012a b c d a b c d a b c d a b c d
a b c d
Tính
cb
ad
ba
dc
ad
cb
dc
ba
M
Bi 12: Cho 3 s x , y , z, t khỏc 0 tha món iu kin :
y z t nx z t x ny t x y nz x y z nt
x y z t
( n l s t nhiờn)
v x + y + z + t = 2012 . Tớnh giỏ tr ca biu thc P = x + 2y 3z + t
Dng 2 : Vn dng tớnh cht dóy t s bng nhau tỡm x,y,z,
Bi 1: Tỡm cp s (x;y) bit :
1+3y 1+5y 1+7y
12 5x 4x
HD : p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
1+3y 1+5y 1+7y 1 7y 1 5y 2y 1 5y 1 3y 2y
12 5x 4x 4x 5x x 5x 12 5x 12
=>
22
5 12
yy
xx
vi y = 0 thay vo khụng tha món
Nu y khỏc 0
=> -x = 5x -12
=> x = 2. Thay x = 2 vào trên ta đ-ợc:
1 3 2
12 2
yy
y
=>1+ 3y = -12y => 1 = -15y => y =
1
15
Vậy x = 2, y =
1
15
thoả mãn đề bài
Bi 3 : Cho
a b c
b c a
v a + b + c 0; a = 2012.
Tớnh b, c.
HD : t
1
a b c a b c
b c a a b c
a = b = c = 2012
Bi 4 : Tỡm cỏc s x,y,z bit :
1 2 3 1y x x z x y
x y z x y z
HD: p dng t/c dóy t s bng nhau:
1 2 3 2( ) 1
2
()
y x x z x y x y z
x y z x y z x y z
(vỡ x+y+z
0)
Suy ra : x + y + z = 0,5 t ú tỡm c x, y, z
Bi 5 : Tỡm x, bit rng:
1 2 1 4 1 6
18 24 6
y y y
x
HD : T
1 2 1 4 1 6 2(1 2 ) (1 4 ) 1 2 1 4 (1 6 )
18 24 6 2.18 24 18 24 6
y y y y y y y y
xx
Suy ra :
11
1
66
x
x
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
7
Bài 6: T×m x, y, z biÕt:
zyx
yx
z
zx
y
yz
x
211
(x, y, z
0
)
HD : Từ
1
1 1 2 2( ) 2
x y z x y z
x y z
z y x z x y x y z
Từ x + y + z =
1
2
x + y =
1
2
- z , y +z =
1
2
- x , z + x =
1
2
- y thay vào đẳng thức ban đầu để tìm
x.
Bài 7 : T×m x, y, z biÕt
216
3
64
3
8
3 zyx
vµ
122
222
zyx
Bài 8 : Tìm x , y biết :
2 1 4 5 2 4 4
5 9 7
x y x y
x
Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y
1. Kiến thức vận dụng :
- Tính chất phép toán cộng, nhân số thực
- Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế
- Tính chất về giá trị tuyệt đối :
0A
với mọi A ;
,0
,0
AA
A
AA
- Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối :
A B A B
dấu ‘=’ xẩy ra khi AB
0;
A B A B
dấu ‘= ‘ xẩy ra A,B >0
( 0)
Am
A m m
Am
;
()
Am
A m hay m A m
Am
với m > 0
- Tính chất lũy thừa của 1 số thực : A
2n
0 với mọi A ; - A
2n
0 với mọi A
A
m
= A
n
m = n; A
n
= B
n
A = B (nếu n lẻ ) hoặc A =
B ( nếu n chẵn)
0< A < B
A
n
< B
n
;
2. Bài tập vận dụng
Dạng 1: Các bài toán cơ bản
Bài 1: Tìm x biết
a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013
b)
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x
HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013
x( 1 + 2 + 3 + ….+ 2011) = 2012.2013
2011.2012
. 2012.2013
2
x
2.2013
2011
x
b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
8
Từ
1 2 3 4
2011 2010 2009 2008
x x x x
( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008
2011 2010 2009 2008
x x x x
2012 2012 2012 2012
2
2011 2010 2009 2008
1 1 1 1
( 2012)( ) 2
2011 2010 2009 2008
1 1 1 1
2:( ) 2012
2011 2010 2009 2008
x x x x
x
x
Bài 2 Tìm x nguyên biết
a)
1 1 1 1 49
1.3 3.5 5.7 (2 1)(2 1) 99xx
b) 1- 3 + 3
2
– 3
3
+ ….+ (-3)
x
=
1006
91
4
Dạng 2 : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối
Dạng :
x a x b
và
x a x b x c
Khi giải cần tìm giá trị của x để các GTTĐ bằng không, rồi so sánh các giá trị đó để chia ra
các khoảng giá trị của x ( so sánh –a và –b)
Bài 1 : Tìm x biết :
a)
2011 2012xx
b)
2010 2011 2012xx
HD : a)
2011 2012xx
(1) do VT =
2011 0,xx
nên VP = x – 2012
0 2012x
(*)
Từ (1)
2011 2012 2011 2012( ô )
2011 2012 (2011 2012):2
x x v ly
x x x
Kết hợp (*)
x = 4023:2
b)
2010 2011 2012xx
(1)
Nếu x
2010 từ (1) suy ra : 2010 – x + 2011 – x = 2012
x = 2009 :2 (lấy)
Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy ra : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay 1 = 2012 (loại)
Nếu x
2011
từ (1) suy ra : x – 2010 + x – 2011 = 2012
x = 6033:2(lấy)
Vậy giá trị x là : 2009 :2 hoặc 6033:2
Một số bài tương tự:
Bài 2 : a) T×m x biÕt
431 xx
b) T×m x biÕt:
426
22
xxx
c) T×m x biÕt:
54232 xx
Bài 3 : a)T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó:
xxx 313
b) Tìm x biết:
2 3 2x x x
Bài 4 : tìm x biết :
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
9
a)
14x
b)
2011 2012x
Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối
Bài 1 : a) Tìm x ngyên biết :
1 3 5 7 8x x x x
b) Tìm x biết :
2010 2012 2014 2xxx
HD : a) ta có
1 3 5 7 1 7 3 5 8x x x x x x x x
(1)
Mà
1 3 5 7 8x x x x
suy ra ( 1) xẩy ra dấu “=”
Hay
17
35
35
x
x
x
do x nguyên nên x
{3;4;5}
b) ta có
2010 2012 2014 2010 2014 2012 2x x x x x x
(*)
Mà
2010 2012 2014 2xxx
nên (*) xẩy ra dấu “=”
Suy ra:
2012 0
2012
2010 2014
x
x
x
Các bài tương tự
Bài 2 : Tìm x nguyên biết :
1 2 100 2500x x x
Bài 3 : Tìm x biết
1 2 100 605x x x x
Bài 4 : T×m x, y tho¶ m·n:
x 1 x 2 y 3 x 4
= 3
Bài 5 : Tìm x, y biết :
2006 2012 0x y x
HD : ta có
2006 0xy
với mọi x,y và
2012 0x
với mọi x
Suy ra :
2006 2012 0x y x
với mọi x,y mà
2006 2012 0x y x
0
2006 2012 0 2012, 2
2012 0
xy
x y x x y
x
Bài 6 : T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n.
2004 4 10 101 990 1000x x x x x
Dạng chứa lũy thừa của một số hữu tỉ
Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :
a) 5
x
+ 5
x+2
= 650 b) 3
x-1
+ 5.3
x-1
= 162
HD : a) 5
x
+ 5
x+2
= 650
5
x
( 1+ 5
2
) = 650
5
x
= 25
x = 2
b) 3
x-1
+ 5.3
x-1
= 162
3
x -1
(1 + 5) = 162
3
x – 1
= 27
x = 4
Bài 2 : Tìm các số tự nhiên x, y , biết:
a) 2
x + 1
. 3
y
= 12
x
b) 10
x
: 5
y
= 20
y
HD : a) 2
x + 1
. 3
y
= 12
x
2
1
1
23
23
23
xy
x y x
xx
Nhận thấy : ( 2, 3) = 1
x – 1 = y-x = 0
x = y = 1
b) 10
x
: 5
y
= 20
y
10
x
= 10
2y
x = 2y
Bài 3 : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :
a) 2
m
+ 2
n
= 2
m
+n
b) 2
m
– 2
n
= 256
HD: a) 2
m
+ 2
n
= 2
m
+n
2
m + n
– 2
m
– 2
n
= 0
2
m
( 2
n
– 1) –( 2
n
– 1) = 1
(2
m
-1)(2
n
– 1) = 1
2 1 1
1
2 1 1
n
m
mn
b) 2
m
– 2
n
= 256
2
n
( 2
m – n
- 1) = 2
8
Dễ thấy m
n, ta xét 2 trường hợp :
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
10
+ Nếu m – n = 1
n = 8 , m = 9
+ Nếu m – n
2 thì 2
m – n
– 1 là 1 số lẻ lớn hơn 1, khi đó VT chứa TSNT khác 2, mà VT chỉ chứa
TSNT 2 suy ra TH này không xẩy ra : vậy n = 8 , m = 9
Bài 4 : Tìm x , biết :
1 11
7 7 0
xx
xx
HD :
1 11
1 10
7 7 0
7 1 7 0
xx
x
xx
xx
1 10
8
6
1
10
70
1 ( 7) 0
7 0 7
( 7) 1
7 1 7 0
10
x
x
x
x
x
x
xx
x
xx
Bài 5 : Tìm x, y biết :
2012
2011 ( 1) 0x y y
HD : ta có
2011 0xy
với mọi x,y và (y – 1)
2012
0 với mọi y
Suy ra :
2012
2011 ( 1) 0x y y
với mọi x,y . Mà
2012
2011 ( 1) 0x y y
2011 0
2011, 1
10
xy
xy
y
Các bài tập tương tự :
Bài 6 : Tìm x, y biết :
a)
2012
5 (3 4) 0xy
b)
22
(2 1) 2 8 12 5.2x y x
Chuyên đề 4: Giá trị nguyên của biến , giá trị của biểu thức :
1 . Các kiến thức vận dụng:
- Dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9
- Phân tích ra TSNT, tính chất của số nguyên tố, hợp số , số chính phương
- Tính chất chia hết của một tổng , một tích
- ƯCLN, BCNN của các số
2. Bài tập vận dụng :
* Tìm x,y dưới dạng tìm nghiệm của đa thức
Bài 1: a) T×m c¸c sè nguyªn tè x, y sao cho: 51x + 26y = 2000
b) T×m sè tù nhiªn x, y biÕt:
22
23)2004(7 yx
c) T×m x, y nguyªn biÕt: xy + 3x - y = 6
d) T×m mäi sè nguyªn tè tho¶ m·n : x
2
-2y
2
=1
HD: a) Từ 51x + 26y = 2000
17.3.x = 2.( 1000 – 13 y) do 3,17 là số NT nên x
2
mà x NT
x
= 2. Lại có 1000 – 13y
51
, 1000 – 13y > 0 và y NT
y =
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
11
b) T
22
23)2004(7 yx
(1)
do 7(x2004)
2
0
22
23 0 23 {0,2,3,4}y y y
Mt khỏc 7 l s NT
2
13 7y
vy y = 3 hoc y = 4 thay vo (1)
suy ra : x= 2005 ,y =4 hoc x = 2003, y = 4
c) Ta cú xy + 3x - y = 6
( x 1)( y + 3) = 3
11
33
x
y
hoc
11
33
x
y
hoc
13
31
x
y
hoc
13
11
x
y
d) x
2
-2y
2
=1
2 2 2
1 2 ( 1)( 1) 2x y x x y
do VP = 2y
2
chia ht cho 2 suy ra x > 2 , mt khỏc y nguyờn t
1 2 3
12
x y x
x y y
Bi 2 a) Tỡm cỏc s nguyờn tha món : x y + 2xy = 7
b) Tỡm
,xy
bit:
22
25 8( 2012)yx
HD : a) T x y + 2xy = 7
2x 2y + 2xy = 7
(2x - 1)( 2y + 1) = 13
b) T
22
25 8( 2012)yx
y
2
25 v 25 y
2
chia ht cho 8 , suy ra y = 1 hoc y = 3
hoc y = 5 , t ú tỡm x
Bi 3 a) Tìm giá trị nguyên d-ơng của x và y, sao cho:
1 1 1
x y 5
b) Tìm các số a, b, c nguyên d-ơng thoả mãn :
b
aa 553
23
và
c
a 53
HD : a) T
1 1 1
x y 5
5 ( x + y) = xy (*)
5
5
5
x
xy
y
+ Vi x chia ht cho 5 , t x = 5 q ( q l s t nhiờn khỏc 0) thay vo (*) suy ra:
5q + y = qy
5q = ( q 1 ) y . Do q = 1 khụng tha món , nờn vi q khỏc 1 ta cú
55
51
11
q
y Z q
(5) , t ú tỡm c y, x
b)
b
aa 553
23
a
2
( a +3) = 5
b
5 , m
c
a 53
a
2
. 5
c
= 5( 5
b 1
1)
1
2
1
51
5
b
c
a
Do a, b, c nguyờn dng nờn c = 1( vỡ nu c >1 thỡ 5
b 1
- 1 khụng chia ht cho 5
do ú a khụng l s nguyờn.) . Vi c = 1
a = 2 v b = 2
Bi 4: Tìm các cặp số nguyên tố p, q thoả mãn:
2
2 2 2
5 2013 5
pp
q
HD :
22
2 2 2 2 2
5 2013 5 2013 25 25 2013 25 (25 1)
p p p p p p
q q q
Do p nguyờn t nờn
22
2013 25q
v 2013 q
2
> 0 t ú tỡm c q
Bi 5 : Tìm tất cả các số nguyên d-ơng n sao cho:
12
n
chia hết cho 7
HD : Vi n < 3 thỡ 2
n
khụng chia ht cho 7
Vi n
3
khi ú n = 3k hoc n = 3k + 1 hoc n = 3k + 2 (
*
kN
)
Xột n = 3k , khi ú 2
n
-1 = 2
3k
1 = 8
k
1 = ( 7 + 1)
k
-1 = 7.A + 1 -1 = 7.A
7
Xột n = 3k +1 khi ú 2
n
1 = 2
3k+1
1 = 2.8
3k
1 = 2.(7A+1) -1 = 7A + 1 khụng chia ht cho 7
Xột n = 3k+2 khi ú 2
n
1 = 2
3k +2
-1 = 4.8
3k
1 = 4( 7A + 1) 1 = 7 A + 3 khụng chia ht cho 7
. Vy n = 3k vi
*
kN
* Tỡm x , y biu thc cú giỏ tr nguyờn, hay chia ht:
Bi 1 Tìm số nguyên m để:
a) Giá trị của biểu thức m -1 chia hết cho giá trị của biểu thức 2m + 1.
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
12
b)
313 m
HD : a) Cách 1 : Nếu m >1 thì m -1 < 2m +1 , suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1
Nếu m < -2 thì
1 2 1mm
, suy ra m -1 không chia hết cho 2m +1
Vậy m
{ -2; -1; 0; 1}
Cách 2 : Để
1 2 1 2( 1) 2 1 (2 1) 3 2 1 3 2 1m m m m m m m
b)
313 m
- 3 < 3m – 1 < 3
0
24
1
33
m
m
m
vì m nguyên
Bài 2 a) T×m x nguyªn ®Ó 6
1x
chia hÕt cho 2
3x
b) T×m
Zx
®Ó A Z vµ t×m gi¸ trÞ ®ã.
A =
3
21
x
x
. HD: A =
3
21
x
x
=
1 2( 3) 6 7
2
33
x
xx
Bài 3: Tìm x nguyên để
2012 5
1006 1
x
x
HD :
2012 5
1006 1
x
x
=
2(1006 1) 2009 2009
2
1006 1 1006 1
x
xx
để
2012 5
1006 1
x
x
2009 1006 1x
x là số CP.
Với x >1 và x là số CP thì
1006 1 2012 2009x
suy ra 2009 không chia hết cho
1006 1x
Với x = 1 thay vào không thỏa mãn
Với x = 0 thì
2009:1006 1 2009x
Chuyên đề 5 : Giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
1.Các kiến thức vận dụng :
* a
2
+ 2.ab + b
2
= ( a + b)
2
0 với mọi a,b
* a
2
– 2 .ab + b
2
= ( a – b)
2
0 với mọi a,b
*A
2n
0 với mọi A, - A
2n
0 với mọi A
*
0,AA
,
0,AA
*
,,A B A B A B
dấu “ = ” xẩy ra khi A.B
0
*
,,A B A B A B
dấu “ = ” xẩy ra khi A,B
0
2. Bài tập vận dụng:
* Dạng vận dụng đẳng thức : a
2
+ 2.ab + b
2
= ( a + b)
2
0 với mọi a,b
Và a
2
– 2 .ab + b
2
= ( a – b)
2
0 với mọi a,b
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các đa thức sau:
a) P(x) = 2x
2
– 4x + 2012
b) Q(x) = x
2
+ 100x – 1000
HD : a) P(x) = 2x
2
– 4x + 2012 = 2(x
2
– 2.x. + 1
2
) + 2010 = 2( x – 1)
2
+ 2010
Do ( x - 1)
2
0 với mọi x , nên P(x)
2010 . Vậy Min P(x) = 2010
khi ( x - 1)
2
= 0 hay x = 1
b) Q(x) = x
2
+ 100x – 1000 = ( x + 50)
2
– 3500
- 3500 với mọi x
Vậy Min Q(x) = -3500
Từ đây ta có bài toán tổng quát : Tìm GTNN của đa thức P(x) = a x
2
+ bx +c ( a > 0)
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
13
HD: P(x) = a x
2
+ bx +c = a( x
2
+ 2.x.
2
b
a
+
2
()
2
b
a
) + ( c -
2
4
b
a
)
= a(
22
2
44
) ( ) ,
2 4 4
b ac b ac b
xx
a a a
Vậy Min P(x) =
2
4
4
ac b
a
khi x =
2
b
a
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau:
a) A = - a
2
+ 3a + 4
b) B = 2 x – x
2
HD : a) A = - a
2
+ 3a + 4 =
2 2 2
3 3 9 3 25
( 2. . ( ) ) (4 ) ( )
2 2 4 2 4
a a a
Do
3
( ) 0,
2
aa
nên A
25
,
4
a
. Vậy Max A =
25
4
khi a =
3
2
c) B =
2 2 2 2
2 ( 2. .1 1 ) 1 ( 1) 1x x x x x
. Do
( 1) 0, 1,x x B x
Vậy Max B = 1 khi x = 1
Bài 3 : Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức sau:
a) P =
2
2012
4 2013xx
b) Q =
2012
2012
2013
2011
a
a
* Dạng vận dụng A
2n
0 với mọi A, - A
2n
0 với mọi A
Bài 1 : Tìm GTNN của biểu thức :
a) P = ( x – 2y)
2
+ ( y – 2012)
2012
b) Q = ( x + y – 3)
4
+ ( x – 2y)
2
+ 2012
HD : a) do
2
( 2 ) 0, ,x y x y
và
2012
( 2012) 0,yy
suy ra : P
0
với mọi x,y
Min P = 0 khi
2 0 4024
2012 0 2012
x y x
yy
b) Ta có
4
( 3) 0. ,x y x y
và
2
( 2 ) 0. ,x y x y
suy ra : Q
2012 với mọi x,y
Min Q = 2012 khi
2
2
( 3) 0 2
1
( 2 ) 0
x y x
y
xy
Bài 3 : Tìm GTLN của R =
4
2
2013
( 2) ( ) 3x x y
Bài 4 : Cho ph©n sè:
54
23
x
x
C
(x Z)
a) T×m x Z ®Ó C ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt, t×m gi¸ trÞ lín nhÊt ®ã.
b) T×m x Z ®Ó C lµ sè tù nhiªn.
HD :
3 2 4.(3 2) 12 8
3 3 3 23
. . .(1 )
4 5 4 3.(4 5) 4 12 15 4 12 15
x x x
C
x x x x
C lớn nhất khi
23
12 15x
lớn nhất
12 15x
nhỏ nhất và
12 15 0x
2x
Vậy Max C =
3 23 8
(1 )
4 9 3
khi x = 2
Bài 5 : T×m sè tù nhiªn n ®Ó ph©n sè
32
87
n
n
cã gi¸ trÞ lín nhÊt
HD : Ta có
7 8 7 2(7 8) 7 14 16 7 5
. . (1 )
2 3 2 7(2 3) 2 14 21 2 14 21
n n n
n n n n
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
14
Để
32
87
n
n
lớn nhất thì
5
14 21n
lớn nhất
14 21 0n
và 14n – 21 có giá trị nhỏ nhất
21 3
14 2
n
và n nhỏ nhất
n = 2
* Dạng vận dụng
0,AA
,
0,AA
,,A B A B A B
dấu “ = ” xẩy ra khi A.B
0
,,A B A B A B
dấu “ = ” xẩy ra khi A,B
0
Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
a) A = ( x – 2)
2
+
yx
+ 3
b) B =
2011
2012 2010x
HD: a) ta có
2
( 2) 0x
với mọi x và
0yx
với mọi x,y
A
3 với mọi x,y
Suy ra A nhỏ nhất = 3 khi
2
( 2) 0
2
2
0
x
x
y
yx
b) Ta có
2010 0x
với mọi x
2012
2010 2012x
với mọi x
B
2011
2012
B
với mọi x, suy ra Min B =
2011
2012
khi x = 2010
Bài 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức
a)
2011 2012A x x
b)
2010 2011 2012B x x x
c) C =
1 2 100x x x
HD : a) Ta có
2011 2012A x x
=
2011 2012 2011 2012 1x x x x
với mọi x
1A
với x . Vậy Min A = 1 Khi
( 2011)(2012 ) 0 2011 2012x x x
b) ta có
2010 2011 2012B x x x
( 2010 2012 ) 2011x x x
Do
2010 2012 2010 2012 2x x x x
với mọi x (1)
Và
2011 0x
với mọi x (2)
Suy ra B
( 2010 2012 ) 2011x x x
2
. Vậy Min B = 2 khi BĐT (1) và (2) xẩy ra
dấu “=” hay
( 2010)(2012 ) 0
2011
2011 0
xx
x
x
c) Ta có
1 2 100x x x
=
( 1 100 ) ( 2 99 ) ( 50 56 )x x x x x x
1 100 2 99 50 56x x x x x x
= 99 + 97 + + 1 = 2500
Suy ra C
2050
với mọi x . Vậy Min C = 2500 khi
( 1)(100 ) 0 1 100
( 2)(99 ) 0 2 99
( 50)(56 ) 0 50 56
x x x
x x x
x x x
50 56x
Chuyên đề 6 : Dạng toán chứng minh chia hết
1.Kiến thức vận dụng
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
15
* Du hiu chia ht cho 2, 3, 5, 9
* Ch s tn cựng ca 2
n
, 3
n
,4
n
, 5
n
,6
n
, 7
n
, 8
n
, 9
n
* Tớnh cht chia ht ca mt tng
2. Bi tp vn dng:
Bi 1 : Chng minh rng : Vi mi s nguyờn dng n thỡ :
22
3 2 3 2
n n n n
chia ht cho 10
HD: ta cú
22
3 2 3 2
n n n n
=
22
3 3 2 2
n n n n
=
22
3 (3 1) 2 (2 1)
nn
=
1
3 10 2 5 3 10 2 10
n n n n
= 10( 3
n
-2
n
)
Vy
22
3 2 3 2
n n n n
10 vi mi n l s nguyờn dng.
Bi 2 : Chng t rng:
A = 75. (4
2004
+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2
+ 4 + 1) + 25 l s chia ht cho 100
HD: A = 75. (4
2004
+ 4
2003
+ . . . . . + 4
2
+ 4 + 1) + 25 = 75.( 4
2005
1) : 3 + 25
= 25( 4
2005
1 + 1) = 25. 4
2005
chia ht cho 100
Bi 3 : Cho m, n
N
*
v p l s nguyờn t tho món:
1m
p
=
p
nm
(1)
Chng minh rng : p
2
= n + 2
HD : + Nu m + n chia ht cho p
( 1)pm
do p l s nguyờn t v m, n
N
*
m = 2 hoc m = p +1 khi ú t (1) ta cú p
2
= n + 2
+ Nu m + n khụng chia ht cho p , t ( 1)
(m + n)(m 1) = p
2
Do p l s nguyờn t v m, n
N
*
m 1 = p
2
v m + n =1
m = p
2
+1 v n = - p
2
< 0 (loi)
Vy p
2
= n + 2
Bi 4: a) Số
410
1998
A
có chia hết cho 3 không ? Có chia hết cho 9 không ?
b) Chứng minh rằng:
3338
4136 A
chia hết cho 7
HD: a) Ta cú 10
1998
= ( 9 + 1)
1998
= 9.k + 1 ( k l s t nhiờn khỏc khụng)
4 = 3.1 + 1
Suy ra :
410
1998
A
= ( 9.k + 1) ( 3.1+1) = 9k -3 chia ht cho 3 , khụng chia ht cho 9
b) Ta cú 36
38
= (36
2
)
19
= 1296
19
= ( 7.185 + 1)
19
= 7.k + 1 ( k
N
*
)
41
33
= ( 7.6 1)
33
= 7.q 1 ( q
N
*
)
Suy ra :
3338
4136 A
= 7k + 1 + 7q 1 = 7( k + q)
7
Bi 5 :
a) Chứng minh rằng:
nnnn
2323
42
chia hết cho 30 với mọi n nguyên d-ơng
b) Chứng minh rằng: 2a - 5b + 6c
17 nếu a - 11b + 3c
17 (a, b, c Z)
Bi 6 : a) Chứng minh rằng:
17101723 baba
(a, b Z )
b) Cho đa thức
cbxaxxf
2
)(
(a, b, c nguyên).
CMR nếu f(x) chia hết cho 3 với mọi giá trị của x thì a, b, c đều chia hết cho 3
HD a) ta cú 17a 34 b
17
v 3a + 2b
17 17 34 3 2 17 2(10 16 ) 17a b a b a b
10 16 17ab
vỡ (2, 7) = 1
10 17 16 17 10 17a b b a b
b) Ta cú f(0) = c do f(0)
3
3c
f(1) - f(-1) = (a + b + c) - ( a b + c) = 2b , do f(1) v f(-1) chia ht cho 3
2 3 3bb
vỡ ( 2, 3) = 1
f(1)
33abc
do b v c chia ht cho 3
3a
Vy a, b, c u chia ht cho 3
Bi 7 : a) Chứng minh rằng
2006
10 53
9
là một số tự nhiờn
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
16
b) Cho
12
n
lµ sè nguyªn tè (n > 2). Chøng minh
12
n
lµ hîp sè
HD : b) ta có (2
n
+1)( 2
n
– 1) = 2
2n
-1 = 4
n
-1 (1) .Do 4
n
- 1 chia hêt cho 3 và
12
n
lµ sè nguyªn tè
(n > 2) suy ra 2
n
-1 chia hết cho 3 hay 2
n
-1 là hợp số
Chuyên đề 7 : Bất đẳng thức
1.Kiến thức vận dụng
* Kỹ thuật làm trội : Nếu a
1
< a
2
< a
3
<…. < a
n
thì n a
1
< a
1
+ a
2
+ …
+ a
n
< na
n
1 2 1
1 1 1 1 1
nn
na a a a na
* a(a – 1) < a
2
< a( a+1)
2
1 1 1
( 1) ( 1)a a a a a
* a
2
+ 2.ab + b
2
= ( a + b)
2
0 , * a
2
– 2 .ab + b
2
= ( a – b)
2
0 với mọi a,b
2.Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho a, b, c > 0 . Chøng tá r»ng:
ac
c
cb
b
ba
a
M
kh«ng lµ sè nguyªn.
HD : Ta có
1
a b c a b c a b c
M
a b b c c a a b c c a b a b c a b c
1M
Mặt khác
( ) ( ) ( )a b c a b b b c c c a a
M
a b b c c a a b b c c a
3 ( )
b c a
a b b c c a
= 3 – N Do N >1 nên M < 2
Vậy 1 < M < 2 nên M không là số nguyên
Bài 2 Chứng minh rằng :
2a b ab
(1) ,
3
3a b c abc
(2) với a, b, c
0
HD :
2a b ab
2 2 2 2 2 2
( ) 4 2 4 2 0 ( ) 0a b ab a ab b ab a ab b a b
(*)
Do (*) đúng với mọi a,b nên (1) đúng
Bài 3 : Với a, b, c là các số dương . Chứng minh rằng
a)
11
( )( ) 4ab
ab
(1) b)
1 1 1
( )( ) 9abc
abc
(2)
HD : a) Cách 1 : Từ
22
11
( )( ) 4 ( ) 4 ( ) 0a b a b ab a b
ab
(*)
Do (*) đúng suy ra (1) đúng
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
17
Cỏch 2: Ta cú
2a b ab
v
1 1 2
ab
ab
1 1 2
( )( ) 2 . 4a b ab
ab
ab
Du = xy ra khi a = b
b) Ta cú :
1 1 1
( )( ) 3 3 ( ) ( ) ( )
b c a c a b a b b c a c
abc
a b c a b c b a c b c a
Li cú
2; 2; 2
a b b c a c
b a c b c a
Suy ra
1 1 1
( )( )abc
abc
3 2 2 2 9
Du = xy ra khi a = b = c
Bi 4 : a) Cho z, y, z là các số d-ơng.
Chứng minh rằng:
4
3
222
yxz
z
xzy
y
zyx
x
b) Cho a, b, c thoả mãn: a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
0 cabcab
.
HD : b) Tớnh ( a + b + c)
2
t cm c
0 cabcab
Chuyờn 8 : Cỏc bi toỏn v a thc mt n
Bi 1 : Cho a thc P(x) = a x
3
+ bx
2
+ cx + d ( a khỏc 0)
Bit P(1) = 100 , P( -1) = 50 , P(0) = 1 , P( 2) = 120 . Tớnh P(3)
HD : ta cú P(1) = 100
a + b + c + d = 100
P(-1) = 50
- a + b c + d = 50
P( 0) = 1
d = 1
P(2) = 8a + 4b + c + d = 120
T ú tỡm c c, d, v a v X c P(x)
Bi 2 : Cho
cbxaxxf
2
)(
với a, b, c là các số hữu tỉ.
Chứng tỏ rằng:
0)3().2( ff
. Biết rằng
0213 cba
HD : f( -2) = 4a 2b + c v f(3) = 9a + 3b + c
f(-2).f(3) =(4a 2b + c)( 9a + 3b + c)
Nhn thy ( 4a 2b + c) + ( 9a + 3b + c) = 13a + b + 2c = 0
( 4a 2b + c ) = - ( 9a + 3b + c)
Vy f(-2).f(3) = - ( 4a 2b + c).( 4a 2b + c) = - ( 4a -2b + c)
2
0
Bi 3 Cho đa thức
cbxaxxf
2
)(
với a, b, c là các số thực. Biết rằng f(0); f(1); f(2) có giá trị
nguyên. Chứng minh rằng 2a, 2b có giá trị nguyên.
HD : f(0) = c , f(1) = a + b + c , f(2) = 4a + 2b + c
Do f(0) ,f(1), f(2) nguyờn
c , a + b + c v 4a + 2b + c nguờn
a + b v 4a + 2b = 2 (a + b) + 2a = 4( a + b) -2b ngyờn
2a , 2b nguyờn
Bi 4 Chứng minh rằng: f(x)
dcxbxax
23
có giá trị nguyên với mọi x nguyên khi và chỉ khi
6a, 2b, a + b + c và d là số nguyên
HD : f(0) = d , f(1) = a + b + c + d , f(2) = 8a +4 b + c + d
Nu f(x) cú giỏ tr nguyờn vi mi x
d , a + b + c + d, 8a +4b + c + d l cỏc s nguyờn . Do d
nguyờn
a + b + c nguyờn v (a + b + c + d) + (a + b +c +) +2b nguyờn
2b nguyờn
6a
nguyờn . Chiu ngc li cm tng t.
Bi 5 : Tìm tổng các hệ số của đa thức nhận đ-ợc sau khi bỏ dấu ngoặc trong biểu thức: A(x) =
2005220042
)43(.)43( xxxx
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
18
HD : Gi s A( x) = a
o
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
4018
x
4018
Khi ú A(1) = a
o
+ a
1
+a
2
+ .+ a
4018
do A(1) = 0 nờn a
o
+ a
1
+a
2
+ .+ a
4018
= 0
Bi 6 : Cho x = 2011. Tính giá trị của biểu thức:
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 2012 2012 1x x x x x x
HD : t A =
2011 2010 2009 2008 2
2012 2012 2012 2012 2012 1x x x x x x
2010 2009 2008
( 2011) ( 2011) ( 2011) ( 2011) 1x x x x x x x x x
ti x = 2012 thỡ A = 2011
Chuyờn 9 Cỏc bi toỏn thc t
1. Kin thc vn dng
- Tớnh cht i lng t l thun :
i lng y t l thun vi i lng x khi v ch khi :
y = k.x
3
12
1 2 3
n
n
yy
yy
k
x x x x
( k l h s t l )
- Tớnh cht i lng t l nghch :
i lng y v i lng x c gi l hai i lng t l nghch khi :
x.y = a
1 1 2 2 3 3
. . . .
nn
x y x y x y x y a
( a l h s t l )
- Tớnh cht dóy t s bng nhau.
2. Bi tp vn dng
*Phng phỏp gii :
- c k bi , t ú xỏc nh cỏc i lng trong bi toỏn
- Ch ra cỏc i lng ó bit , i lng cn tỡm
- Ch rừ mi quan h gia cỏc i lng ( t l thun hay t l nghch)
- p dng tớnh cht v i lng t l v tớnh cht dóy t s bng nhau gii
Bi 1 : Mt vt chuyn ng trờn cỏc cnh hỡnh vuụng. Trờn hai cnh u vt chuyn ng vi vn
tc 5m/s, trờn cnh th ba vi vn tc 4m/s, trờn cnh th t vi vn tc 3m/s. Hi di cnh hỡnh
vuụng bit rng tng thi gian vt chuyn ng trờn bn cnh l 59 giõy
Bi 2 : Ba lớp 7A,7B,7C có 94 học sinh tham gia trồng cây. Mỗi học sinh lớp 7A
trồng đ-ợc 3 cây, Mỗi học sinh lớp 7B trồng đ-ợc 4 cây, Mỗi học sinh lớp 7C trồng
đ-ợc 5 cây,. Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh. Biết rằng số cây mỗi lớp trồng đ-ợc
đều nh- nhau.
Bi 3 : Một ô tô phải đi từ A đến B trong thời gian dự định. Sau khi đi đ-ợc nửa quãng đ-ờng ô tô
tăng vận tốc lên 20 % do đó đến B sớm hơn dự định 10 phút.
Tính thời gian ô tô đi từ A đến B.
Bi 4 : Trên quãng đ-ờng AB dài 31,5 km. An đi từ A đến B, Bình đi từ B đến A. Vận tốc An so với
Bình là 2: 3. Đến lúc gặp nhau, thời gian An đi so với Bình đi là 3: 4.
Tính quãng đ-ờng mỗi ng-ời đi tới lúc gặp nhau ?
Bi 5 : Ba i cụng nhõn lm 3 cụng vic cú khi lng nh nhau. Thi gian hon thnh cụng vic
ca i , , ln lt l 3, 5, 6 ngy. Biờt i nhiu hn i l 2 ngi v nng sut ca mi
cụng nhõn l bng nhau. Hi mi i cú bao nhiờu cụng nhõn ?
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
19
Bi 6 : Ba ụ tụ cựng khi hnh i t A v phớa B . Vn tc ụ tụ th nht kộm ụ tụ th hai l 3 Km/h .
Bit thi gian ụ tụ th nht, th hai v th ba i ht quóng ng AB ln lt l : 40 phỳt,
5
8
gi ,
5
9
gi . Tớnh vn tc mi ụ tụ ?
PHN HèNH HC
I. Mt s phng phỏp chng minh hỡnh hoc
1.Chng minh hai on thng bng nhau:
P
2
: - Chng minh hai tam giỏc bng nhau cha hai on thng ú
- Chng minh hai on thng ú l hai cnh bờn ca mt tam giỏc cõn
- Da vo tớnh cht ng trung tuyn, ng trung trc ca on thng
- Da vo nh lớ Py-ta- go tớnh di on thng
2.Chng minh hai gúc bng nhau:
P
2
: - Chng minh hai tam giỏc bng nhau cha hai gúc ú
- Chng minh hai gúc ú l hai gúc ỏy ca mt tam giỏc cõn
- Chng minh hai ng thng song song m hai gúc ú l cp gúc so le trong ,ng v
- Da vo tớnh cht ng phõn giỏc ca tam giỏc
3. Chng minh ba im thng hng:
P
2
: - Da vo s o ca gúc bt ( Hai tia i nhau)
- Hai ng thng cựng vuụng gúc vi ng thng th 3 ti mt im
- Hai ng thng i qua mt im v song song vi ng thng th 3
- Da vo tớnh cht 3 ng trung tuyn, phõn giỏc, trung trc, ng cao
4. Chng minh hai ng thng vuụng gúc
P
2
: - Tớnh cht ca tam giỏc vuụng, nh lớ Py ta go o
- Qua h gia ng thng song song v ng thng vuụng gúc
- Tớnh cht 3 ng trung trc, ba ng cao
5 . Chng minh 3 ng thng ng quy( i qua mt im )
P
2
: - Da vo tớnh cht ca cỏc ng trong tam giỏc
6. So sỏnh hai on thng, hai gúc :
P
2
: - Gn hai on thng , hai gúc vo mt tam giỏc t ú vn nh lớ v quan h gia cnh v
gúc i din trong mt tam giỏc , BT tam giỏc
- Da vo nh lớ v quan h gia ng xiờn v hỡnh chiu, ng xiờn v ng
vuụng gúc .
II. Bi tp vn dng
Bi 1 : Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông
góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC.
Chứng minh: DC = BE và DC
BE
HD:
Phõn tớch tỡm hng gii
* CM DC = BE cn CM ABE = ADC ( c.g.c)
Cú : AB = AD, AC = AE (gt)
Cn CM :
DAC BAE
Cú :
0
90BAE BAC DAC
* Gi I l giao im ca AB v CD
1
1
2
1
K
I
C
E
D
B
A
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
20
CM : DC
BE cn CM
0
21
90IB
Cú
12
II
( Hai gúc i nh) v
0
11
90ID
Cn CM
11
BD
( vỡ ABE = ADC)
Li gii
a) Ta cú
0
90BAE BAC DAC
DAC BAE
, mt khỏc AB = AD, AC = AE (gt)
Suy ra ABE = ADC(c.g.c)
DC = BE
b) Gi I l giao im ca AB v CD
Ta cú
12
II
( Hai gúc i nh) ,
0
11
90ID
( ADI vuụng ti A) v
11
BD
( vỡ ABE =
ADC)
0
21
90IB
DC
BC
*Khai thỏc bi 1:
T bi 1 ta thy : DC = BE và DC
BE khi ABD v ACE vuụng cõn, vy nu cú ABD v
ACE vuụng cõn , T B k BK
CD ti D thỡ ba im E, K, B thng hng
Ta cú bi toỏn 1.2
Bi 1. 1: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông
góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . T B k BK
CD ti K
Chng minh rng ba im E, K, B thng hng
HD : T bi 1 chng minh c DC
BE m BK
CD ti K suy ra ba im E, K, B thng hng
*Khai thỏc bi 1.1
T bi 1.1 nu gi M l trung im ca DE k tia M A thỡ MA
BC t ú ta cú bi toỏn 1.2
Bi 1.2: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông
góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gi M l trung im ca DE k tia M A . Chng minh
rng : MA
BC
Phõn tớch tỡm hng gii
HD: Gi H l giao im ca tia MA v BC
CM MA
BC
ta cn CM AHC vuụng ti H
CM AHC vuụng ti H ta cn to ra 1 tam giỏc
vuụng bng AHC
Trờn tia AM ly im N sao cho AM = MN
K DQ
AM ti Q
Cn CM AHC = DQN (g.c.g)
CM: ND = AC ,
1
N ACB
,
BAC ADN
CM : ABC = DNA ( c.g.c)
Cú AD = AB (gt)
Cn CM : ND = AE ( = AC) v
BAC ADN
+ CM ND = AE
CM : MDN = MEA (c.g.c)
+ CM
BAC ADN
0
180EAD ADN
vỡ
0
180EAD BAC
CM AE // DN (MDN = MEA)
1
1
Q
H
M
N
C
E
D
B
A
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
21
Li gii
Gi H l giao im ca tia MA v BC , Trờn tia AM ly im N sao cho AM = MN
k DQ
AM ti Q
Ta cú MDN = MEA ( c.g.c) vỡ :
AM = MN ; MD = ME (gt) v
EMA DMN
( hai gúc i nh)
DN = AE ( = AC) v AE // DN vỡ
1
N MAE
( cp gúc so le trong )
0
180EAD ADN
( cp gúc trong cựng phớa) m
0
180EAD BAC
BAC ADN
Xột ABC v DNA cú : AB = AD (gt) , AC = DN v
BAC ADN
( chng minh trờn )
ABC = DNA (c.g.c)
1
N ACB
Xột AHC v DQN cú : AC = DN ,
BAC ADN
v
1
N ACB
AHC = DQN (g.c.g)
AHC vuụng ti H hay MA
BC
* Khai thỏc bi toỏn 1.3
+ T bi 1.2 ta thy vi M l trung im ca DE thỡ tia MA
BC , ngc li
nu AH
BC ti H thỡ tia HA s i qua trung im M ca DE , ta cú bi toỏn 1.4
Bi 1.3 : Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông
góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gi H l chõn ng vuụng gúc k t A n BC .
Chng minh rng tia HA i qua trung im ca on thng DE
HD : T bi 1.2 ta cú nh hng gii nh sau:
K DQ
AM ti Q, ER
AM ti R .
Ta cú : +
DAQ HBH
( Cựng ph
BAH
)
AD = AB (gt)
AHB = DQA ( Cnh huyn gúc nhn)
DQ = AH (1)
+
ACH EAR
( cựng ph
CAH
)
AC = AE (gt)
AHB = DQA ( Cnh huyn gúc nhn)
ER = AH ( 1) . T (1) v (2)
ER = DQ
Li cú
12
MM
( hai gúc i nh )
QDM = REM ( g.c.g)
MD = ME hay M l trung
im ca DE
+ T bi 1.3 ta thy vi M l trung im ca DE thỡ tia MA
DE , ngc li
nu H l trung im ca BC thỡ tia KA s vuụng gúc vi DE, ta cú bi toỏn 1.4
Bi 1.4: Cho tam giác ABC có Â < 90
0
. Vẽ ra phía ngoài tam giác đó hai đoạn thẳng AD vuông
góc và bằng AB; AE vuông góc và bằng AC . Gi H trung im ca BC .
Chng minh rng tia HA vuụng gúc vi DE
HD : T bi 1.3 ta d dng gii bi toỏn 1.4
Trờn tia AH ly im A sao cho AH = HA
D CM c AHC = AHB ( g.c.g)
AB = AC ( = AE) v
'HAC HA B
AC // AB
0
' 180BAC ABA
( cp gúc trong cựng phớa)
M
0
180DAE BAC
'DAE ABA
Xột DAE v ABA cú : AE = AB , AD = AB (gt)
2
1
R
1
Q
H
M
C
E
D
B
A
A'
H
M
C
E
D
B
A
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
22
'DAE ABA
DAE = ABA(c.g.c)
AA'ADE B
m
00
AA' 90 90ADE B ADE MDA
Suy ra HA vuụng gúc vi DE
Bi 2 : Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh BC lấy điểm D, trên tia đối của tia CB
lấy điểm E sao cho BD = CE. Các đ-ờng thẳng vuông góc với BC kẻ từ D và E cắt AB, AC lần l-ợt ở
M, N. Chứng minh rằng:
a) DM = EN
b) Đ-ờng thẳng BC cắt MN tại trung điểm I của MN.
c) Đ-ờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay đổi trên cạnh
BC
* Phõn tớch tỡm li gii
a) cm DM = EN
Cm BDM = CEN ( g.c.g)
Cú BD = CE (gt) ,
0
90DE
( MD, NE
BC)
BCA CBA
( ABC cõn ti A)
b) Cm Đ-ờng thẳng BC cắt MN tại trung
điểm I của MN
Cn cm IM = IN
Cm MDI = NEI ( g.c.g)
c) Gi H l chõn ng vuụng gúc k t A xung BC , O l giao im ca AH vi ng thng
vuụng gúc vi MN k t I
Cn cm O l im c nh
cm O l im c nh
Cn cm OC
AC
Cn cm
0
90OAC OCN
Cn cm :
OBA OCA
v
OBM OCM
Cn cm OBM = OCN ( c.c.c) v OAB = OAC (c.g.c)
*Khai thỏc bi 2
T bi 2 ta thy BM = CN , vy ta cú th phỏt biu li bi toỏn nh sau:
Bi 2.1 Cho tam giác cân ABC (AB = AC). Trên cạnh AB lấy điểm M, trên tia AC lấy điểm N
sao cho BM = CN . ng thng BC ct MN ti I .
Chứng minh rằng:
a) I l trung im ca MN
b) Đ-ờng thẳng vuông góc với MN tại I luôn đi qua một điểm cố định khi D thay i
li gii:
T li gii bi 2 gii bi 2.1 ta cn k MD
BC ( D
BC)
NE
BC ( E
BC)
N
O
E
D
H
A
M
B
C
I
N
O
E
D
H
A
M
B
C
I
N
O
E
D
H
A
M
B
C
I
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
23
Bài 3 : Cho ∆ABC vuông tại A, K là trung điểm của cạnh BC . Qua K kẻ đường thẳng vuông
góc với AK , đường thẳng này cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt ở D và E Gọi I là trung điểm
của DE .
a) Chứng minh rằng : AI
BC
b) Có thể nói DE nhỏ hơn BC được không ? vì sao?
*Phân tích tìm lời giải
a) Gọi H là giao điểm của BC và AI
Để cm AI
BC
Cần cm
0
1
90A ACK
Để cm
0
1
90A ACK
Có
0
90AEK EAK
cần cm
1
A AEK
và
ACK CAK
Cần cm ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K
b) Để so sánh DE với BC
cần so sánh IE với CK ( vì 2.IE = DE, 2CK = BC)
So sánh AI với AK ( vì AI = IE, AK = CK)
Có AI
AK
Lời giải :
a)Dễ dàng chứng được ∆AIE cân tại I và ∆AKC cân tại K
cần cm
1
A AEK
và
ACK CAK
mà
0
90AEK EAK
0
1
90A ACK
AI
BC
b) ta có BC = 2 CK = 2AK ( CK = AK) , DE = 2IE = 2.AI ( AI = IE)
Mà AI
AK
DE BC
, DE = BC khi K trùng với I khi đó ∆ABC vuông cân tại A
Bài 4: Cho tam giác ABC (AB > AC ) , M là trung điểm của BC. Đường thẳng đi qua M và vuông
góc với tia phân giác của góc A tại H cắt hai tia AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh rằng:
a)
2
22
4
EF
AH AE
b)
2BME ACB B
.
c) BE = CF
lơì giải
Áp dụng định lý Py –ta-go cho tam giác vuông AFH, ta có:
HF
2
+ AH
2
= AF
2
Mà
AHE =
AHF (g-c-g) nên HF =
1
2
EF; AF = AE
Suy ra:
2
22
4
EF
AH AE
1
B
D
K
I
H
A
C
E
1
C
H
M
E
D
B
A
F
Giỏo ỏn Bi dng HSG toỏn 7
24
Từ
AEH AFH
Suy ra
1
EF
Xét
CMF
có
ACB
là góc ngoài suy ra
CMF ACB F
BME
có
1
E
là góc ngoài suy ra
1
BME E B
vậy
1
( ) ( )CMF BME ACB F E B
hay
2BME ACB B
(đpcm).
T
AHE AHF
Suy ra AE = AF v
1
EF
T C v CD // AB ( D
EF ) =>
( ) (1)BME CMD g c g BE CD
Li cú:
1
E CDF
(cp gúc ng v) Do ú
CDF F
CDF
cõn
CF = CD ( 2)
T (1) v (2) suy ra BE = CF
Bi 5 : Cho tam giỏc ABC cú gúc B v gúc C l hai gúc nhn .Trờn tia i ca tia
AB ly im D sao cho AD = AB , trờn tia i ca tia AC ly im E sao cho AE = AC.
a) Chng minh rng : BE = CD.
b) Gi M l trung im ca BE , N l trung im ca CB. Chng minh M,A,N thng hng.
c)Ax l tia bt k nm gia hai tia AB v AC. Gi H,K ln lt l hỡnh chiu ca B v C trờn tia Ax
. Chng minh BH + CK
BC.
d) Xỏc nh v trớ ca tia Ax tng BH + CK cú giỏ tr ln nht.
*Phõn tớch tỡm li gii
a) cm BE = CD
Cn cm
ABE =
ADC (c.g.c)
b) cm M, A, N thng hng.
Cn cm
0
180BAN BAM
Cú
0
180BAN NAD
Cn cm
MAB NAD
cm
MAB NAD
Cn cm
ABM =
ADN (c.g.c)
c) Gi l giao im ca BC v Ax
cm BH + CK
BC
Cn cm
;BH BI CK CI
Vỡ BI + IC = BC
d) BH + CK cú giỏ tr ln nht = BC
khi ú K,H trựng vi I , do ú Ax vuụng gúc vi BC
Bi 6 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đ-ờng cao AH. ở miền ngoài của tam giác ABC ta vẽ các
tam giác vuông cân ABE và ACF đều nhận A làm đỉnh góc vuông. Kẻ EM, FN cùng vuông góc với
AH (M, N thuộc AH).
a) Chứng minh: EM + HC = NH.
b) Chứng minh: EN // FM.
*Phõn tớch tỡm li gii
x
k
I
A
B
C
D
E
H
K
N
M
N
E
H
M
C
F
B
A
Giáo án Bồi dưỡng HSG toán 7
25
a) Để cm EM + HC = NH
Cần cm EM = AH và HC = AN
+ Để cm EM = AH
cần cm ∆AEM =∆BAH ( cạnh huyền – góc nhon)
+ Để cm HC = AN
cần cm ∆AFN =∆CAH ( cạnh huyền – góc nhon)
b) Để cm EN // FM
EFAEF N
( cặp góc so le trong)
Gọi I là giao điểm của AN và EF
để cm
EFAEF N
Cần cm ∆MEI = ∆NFI ( g.c.g)
Bài 7 : Cho tam ABC vuông tại A , ®-êng cao AH, trung tuyÕn AM. Trªn tia ®èi tia MA lÊy
®iÓm D sao cho DM = MA. Trªn tia ®èi tia CD lÊy ®iÓm I sao cho CI = CA, qua I vÏ ®-êng th¼ng
song song víi AC c¾t ®-êng th¼ng AH t¹i E.
Chøng minh: AE = BC
*Phân tích tìm lời giải
Gọi F là giao điểm của BA và IE
để Cm AE = BC cần cm : ∆AFE = ∆ CAB
Để cm : ∆AFE = ∆ CAB
Cần cm AF = AC (2);
0
AF 90C BAC
(1);
EAF ACB
(3)
+ Để cm (1) :
0
AF 90C BAC
Cm CI // AE vì có FI // AC và
0
90BAC
Để Cm CI // AE
Cm ∆AMB = ∆ DMC ( c.g.c)
+ Để cm (2) : AF = AC
Cm ∆AFI = ∆ ACI ( Cạnh huyền – góc nhọn)
+ Cm (3) :
EAF ACB
( vì cùng phụ
HAC
)
*Khai thác bài toán :
Từ bài 7 ta thấy AH
AM
HE
AM + BC = 3AM ( vì AM = MB = MC)
Vậy HE lớn nhất = 3AM =
3
2
BC khi H trùng M khi đó tam giác ABC vuông cân
A
B
H
M
D
C
I
F
E
