SKKN giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ nhằm nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT trần quý cáp, ninh hòa, khánh hòa

1


SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KHÁNH HÒA
TRƯỜNG THPT TRẦN QUÝ CÁP

NGHIÊN CỨU KHOA HỌC
SƯ PHẠM ỨNG DỤNG

Tên đề tài:: “ Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
nhằm nâng cao hiệu quả học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT Trần Quý
Cáp, Ninh Hòa, Khánh Hòa”

Giáo viên thực hiện: Đặng Thị Kim Thùy
Tổ Toán - Trường THPT Trần Quý Cáp







Năm học : 2013 - 2014



2

I. TÓM TẮT ĐỀ TÀI
Trong chương trình trung học phổ thông, môn Toán được chia thành các
phân môn: Đại số, Giải tích, Hình học. Sự phân chia đó cũng chỉ mang tính chất
tương đối. Bởi lẽ, có rất nhiều phần toán học có nội dung, đặc điểm, ý nghĩa hay
hình thức thuộc hai hoặc cả ba phân môn trên. Có nhiều bài toán có thể giải được
bằng các công cụ hình học, đại số hay giải tích. Nhiều bài toán hình học có thể
dùng đại số để giải và ngược lại nhiều bài toán đại số có thể dùng hình học để giải.
Hình học không gian là một bộ phận quan trọng của chương trình toán trung học
phổ thông hiện nay. Có những bài toán hình học không gian khá "hóc búa" gây
không ít khó khăn, trăn trở cho người làm toán. Các bài toán hình học không gian
khá phức tạp và đòi hỏi người học phải có tư duy tốt. Bên cạnh đó, một số bài toán
về tính số đo góc hay khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian nếu

giải theo phương pháp thông thường khá phức tạp và tốn nhiều thời gian nhưng
nếu giải theo phương pháp đặt hệ trục tọa độ thì sẽ đơn giản hơn nhiều. Bản thân
tôi nhận thấy hiện nay rất nhiều công cụ hỗ trợ cho việc tính toán với tốc độ rất
nhanh và chính xác vì thế việc giải quyết bài toán hình học thông qua đại số giúp
cho các em học sinh có thể tiết kiệm được khá nhiều thời gian, và có ý nghĩa về
mặt thực tế. Trong đề tài này, tôi đề cập đến việc vận dụng phương pháp tọa độ
trong không gian để giải các bài toán hình học không gian. Qua đây tôi muốn đem
đến cách nhìn khác nhằm làm phong phú hơn về phương pháp giải toán hình học
đó chính là sử dụng phương pháp tọa độ như một công cụ hữu ích cho việc giải
quyết vấn đề đã nêu. Lời giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa
độ nhiều khi thực sự bất ngờ bởi rất gọn, dễ hiểu bởi có cách nhìn trực quan do
hình học đem lại. Điều quan trọng là qua đây tôi muốn giúp các em hoàn thiện hơn
về phương pháp giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ, thấy
được cái muôn màu muôn vẻ của hình học đồng thời tạo nên sự hứng thú cho các
em trong quá trình học toán. Cách tiếp cận và giải bài toán hình học bằng phương
pháp tọa độ sẽ làm cho học sinh có khả năng tìm tòi, sáng tạo và nhất là khả năng
tư duy toán tốt hơn. Là một động lực quan trọng giúp cho các em học sinh tự tin
tham gia kỳ thi tuyển sinh Đại học – Cao đẳng. Vì những lý do trên tôi chọn đề tài
: “ Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ nhằm nâng cao
hiệu quả học tập cho học sinh lớp 12 trường THPT Trần Quý Cáp, Ninh Hòa,
Khánh Hòa”.
Các bạn đã quen với hình học suy luận thì đôi khi không thích đến phương
pháp dựa nhiều vào tính toán, tuy nhiên, thế mạnh của phương pháp tọa độ là giúp
ta giải quyết được các bài toán quỹ tích khó, hoặc các bài chứng minh mà ta không
giải được bằng suy luận, phương pháp này là cứu cánh mỗi khi ta bí, và hiệu quả
trong lúc còn ít thời gian, vì dù tính toán có hơi rắc rối nhưng không cần phải suy
nghĩ nhiều. Cái hay của phương pháp này theo tôi là nó không phụ thuộc vào cách
chọn hệ trục tọa độ, nhưng để bài toán có lời giải đẹp thì ta phải chọn hệ trục tọa
độ một cách khéo léo và ít tham số. Trong bài viết nhỏ này tôi chỉ nêu một vài ví
dụ ứng dụng nhỏ của phương pháp tọa độ và hầu hết là chọn hệ trục tọa độ

Decartes vuông góc. Nhắc đến phương pháp tọa độ, có lẽ đây là phương pháp có
sức mạnh khá lớn để giải các bài toán hình học không gian. Hy vọng rằng qua

3

nghiên cứu nhỏ này các em sẽ thấy sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán hình
học có cái hay riêng của nó.
Nghiên cứu được tiến hành trên hai nhóm tương đương: hai lớp 12A
1
và
12A
2
trường THPT Trần Quý Cáp. Lớp 12A
1
là lớp đối chứng và 12A
2
là lớp thực
nghiệm.
II.GIỚI THIỆU:
1. Thực trạng của đề tài:
Hiện tại một số học sinh học hình học không gian thậm chí còn là nỗi ám
ảnh, lo sợ của nhiều bạn. Khi thấy bài toán hình học không gian, học sinh thường
có tâm lí né tránh, ngại giải. Tuy nhiên không phủ nhận rằng học và giỏi hình học
không gian không phải là chuyện dễ, có thể cần năng khiếu và rèn luyện lâu dài,
phải làm nhiều dạng bài tập để tích lũy cho mình những kinh nghiệm và sự nhạy
bén cần thiết để khi đối mặt với một bài hình học không gian nào đó mà không bị
ngỡ ngàng, lúng túng. Chúng ta hãy tham khảo một số hướng giải quyết và gợi ý
rèn luyện sau đây để khắc phục và mong rằng những điều này có thể giúp các bạn
rút ra được cho bản thân một ý tưởng mới nào đó cho việc học hình học không
gian trong thời gian tới.Thế nhưng, đa số các bạn chưa giỏi hình học không gian

thường ghét phần này và tránh làm các bài toán về hình học; do đó, trước hết các
bạn hãy làm quen và tiếp xúc nhiều với nó, và lâu dần các bạn có thể tìm thấy sự
thú vị mà những bài toán hình học không gian đem lại cùng với một sự tiến bộ nào
đó cho mình.
Trong bài thi vào đại học, thí sinh phải làm một bài toán hình không gian .
Chủ đề thường là tính thể tích một khối đa diện như khối chóp, khối lăng trụ …,
hay tính một đại lượng hình học, thường là khoảng cách từ một điểm đến một mặt
phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng, và đôi khi là góc như góc giữa một
đường thẳng và một mặt phẳng hay góc giữa hai mặt phẳng. Sau một năm học, các
kiến thức của hình học không gian 11, vốn đã khó nuốt, giờ nếu phải rèn luyện lại
thật là vất vả và không mấy kết quả. Tuy nhiên, do ta đã trang bị các kỹ năng về
phương pháp toạ độ không gian, và đã có cơ hội rèn luyện môn này trong suốt một
năm học, cho nên ta ít nhiều đạt đến sự thuần thục và điêu luyện. Như vậy, thật là
tự nhiên nếu ta có ý tưởng thử giải bài toán hình không gian bằng phương pháp toạ
độ.
2. Giải pháp thay thế:
Trên tinh thần đó, tôi sẽ sử dụng tiết tự chọn (tiết 33 theo phân phối chương
trình Tự chọn 12 Nâng cao của tổ Toán trường THPT Trần Quý Cáp) để dạy giải
một số bài toán Hình học không gian bằng phương pháp tọa độ (giáo án thể hiện ở
phụ lục 1), bên cạnh đó tôi có đưa ra phương pháp giải tổng quát cùng một số ví dụ
minh họa và các bài tập tương tự của vấn đề (thể hiện ở phụ lục 2). Sử dụng
phương pháp tọa độ là giải pháp được đề cập và luận bàn trong bài viết này. Những
câu hỏi rất "tự nhiên" được đặt ra là:
- Dựa vào dấu hiệu nào, đặc điểm gì mà ta vận dụng phương pháp tọa độ ?

4

- Với mỗi bài toán, việc xây dựng hệ trục tọa độ được hình thành qua những
công đoạn nào?
- Liệu rằng có thể xác lập được một nguyên tắc chung với các bước thực hiện

có trình tự trong việc vận dụng phương pháp tọa độ hay không?
Mỗi sự kiện của hình học không gian đều có thể thể hiện theo cách thức
của hình học giải tích. Do đó có thể giải các bài toán hình học không gian bằng
phương pháp tọa độ. Vấn đề quan trọng nhất trong việc giải bài toán hình không
gian bằng phương pháp tọa độ là thiết lập hệ trục tọa độ cho phù hợp. Lập được tọa
độ các đỉnh, điểm liên quan dựa vào hệ trục tọa độ đã chọn và độ dài các cạnh của
hình. Bài toán đơn giản hay không một phần phụ thuộc vào cách chọn hệ trục tọa
độ và đơn vị trên các trục, lời giải nhiều lúc sẽ ngắn hơn, tốt hơn, đường đi thuận
lợi hơn và đặc biệt là nó rèn luyện cho các em học sinh khả năng tư duy, vận dụng
linh hoạt các kiến thức đã học. Các bài tập đưa ra từ dễ đến khó, những bài tập có
lời giải chi tiết nhưng có những bài tập chỉ có gợi ý, hướng dẫn học sinh phải biết
chiếm lĩnh tri thức, phát triển khả năng tư duy. Hệ thống các bài tập trong đề tài
này chủ yếu là các bài tập trong các đề thi Đại học và Cao đẳng những năm gần
đây nên khi học sinh hiểu bài và làm được thì tạo nên hứng thú và động lực học tập
rất tốt cho các em. Chỉ cần các em mỗi khi học toán, làm toán không chủ quan thỏa
mãn với những kết quả đạt được mà chịu khó cố gắng tìm tòi suy nghĩ thì nhất định
sẽ phát hiện được nhiều điều mới mẻ và ngày càng tiến bộ.
Với những bài toán được cho trong không gian Oxyz định hướng giải quyết
bài toán khá rõ ràng: học sinh sẽ sử dụng các kiến thức về tọa độ để giải quyết bài
toán. Tuy nhiên nếu bài toán hình học không gian được cho dưới dạng truyền
thống mà học sinh đã quá quen thuộc, được tiếp cận từ lớp 11 thì ta cũng có thể
định hướng cho học sinh giải các bài toán đó bằng phương pháp tọa độ, một
phương pháp nghiên cứu hình học mà học sinh đã được học ở chương III Hình học
12. Ta cũng nhận thấy, mặc dù các sự kiện của hình học không gian đều có thể
chuyển đổi sang ngôn ngữ của Hình học giải tích, tuy vậy có mức độ khó, dễ khác
nhau
.
Phương pháp tọa độ hóa bài toán hình học không gian để dùng công cụ Hình
học giải tích giải bài toán khá hữu hiệu .
Cách tiếp cận và giải bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

sẽ làm cho học sinh có khả năng tìm tòi, sáng tạo và nhất là khả năng tư duy Toán
tốt hơn. Là một động lực quan trọng giúp cho công tác tạo nguồn học sinh giỏi và
giúp cho học sinh tự tin tham gia kỳ thi tuyển sinh Đại học và Cao đẳng ở cuối cấp.
3. Vấn đề nghiên cứu:
Việc “ Giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ” khi dạy
các bài chương III, Hình học 12 Nâng cao có giúp học sinh vận dụng giải các bài
toán hình học không gian một cách dễ dàng, ngắn gọn, tường minh và từ đó nâng
cao năng lực giải toán hay không?
4. Giả thuyết nghiên cứu:
Việc giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ khi dạy
chương III, Hình học 12 Nâng cao sẽ giúp học sinh vận dụng giải các bài toán hình

5

học không gian một cách dễ dàng, ngắn gọn, tường minh và từ đó nâng cao năng
lực giải các bài toán hình học không gian cho học sinh lớp 12 trường THPT Trần
Quý Cáp. Việc làm này phần nào gây được nhiều hứng thú trong học tập của học
sinh, góp phần giúp các em học sinh đỡ lúng túng hơn trong các kỳ thi.
III. PHƯƠNG PHÁP:
1. Khách thể nghiên cứu:
- Tôi sẽ trực tiếp tiến hành thử nghiệm phương pháp này đối với học sinh lớp
12A
1
và 12A
2
của trường THPT Trần Quý Cáp
- Học sinh:
Hai lớp được chọn tham gia nghiên cứu có nhiều điểm tương đồng nhau về tỉ
lệ giới tính, dân tộc. Cụ thể như sau:
Bảng 1. Giới tính và thành phần dân tộc của học sinh

lớp 12A
1
và 12A
2
trường THPT Trần Quý Cáp.
Số học sinh các lớp Dân tộc
Tổng số
Nam Nữ

Lớp 12A
1
38 13 25 Kinh
Lớp 12A
2
37 15 22 Kinh
- Về ý thức học tập, tất cả các em ở hai lớp này đều tự giác, tích cực, chủ
động.
- Về thành tích học tập , hai lớp tương đương nhau về điểm số của tất cả
các môn học.
2.Thiết kế:
Chọn hai lớp nguyên vẹn: lớp 12A
1
là lớp đối chứng và 12A
2
là lớp thực
nghiệm. Tôi dùng bài kiểm tra 1 tiết Hình học chương I làm bài kiểm tra trước tác
động. Kết quả kiểm tra cho thấy điểm trung bình của hai nhóm có sự khác nhau, do
đó tôi dùng phép kiểm chứng T-Test để kiểm chứng sự chênh lệch giữa điểm số
trung bình của 2 nhóm trước khi tác động.
Kết quả:

Bảng 2. Kiểm chứng để xác định các nhóm tương đương

Đối chứng Thực nghiệm
Trung bình cộng
7.03 7.14
p = 0.36

p = 0.36 > 0.05, từ đó kết luận sự chênh lệch điểm số trung bình của hai nhóm thực
nghiệm và đối chứng là không có ý nghĩa, hai nhóm được coi là tương đương. Như

6

vậy tôi sẽ sử dụng thiết kế 2: kiểm tra trước và sau tác động đối với hai nhóm
tương đương
3. Quy trình nghiên cứu:
* Chuẩn bị bài của giáo viên:
- Dạy lớp đối chứng: Thiết kế kế hoạch bài học không sử dụng phương
pháp trên, quy trình chuẩn bị bài như bình thường.
- Dạy lớp thực nghiệm: Thiết kế kế hoạch bài học có sử dụng phương pháp
trên “ Giải toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ” (tiết 33 theo phân
phối chương trình Tự chọn 12 Nâng cao của tổ Toán trường THPT Trần Quý Cáp :
Giáo án đính kèm ở phần phụ lục 1).
* Tiến hành dạy thực nghiệm:
Thời gian tiến hành thực nghiệm vẫn tuân theo kế hoạch dạy học của nhà
trường và theo thời khóa biểu để đảm bảo tính khách quan.
4. Đo lường:
- Bài kiểm tra trước tác động là bài kiểm tra 1 tiết Hình học chương I (nội
dung kiểm tra được đính kèm ở phụ lục 3).
- Bài kiểm tra sau tác động là bài kiểm tra sau khi học xong chương III, Hình
học 12 Nâng cao

* Tiến hành kiểm tra và chấm bài:
Sau khi thực hiện dạy xong các bài học trên, tôi tiến hành bài kiểm tra 1 tiết (nội
dung kiểm tra được đính kèm ở phụ lục 4)
Sau đó tiến hành chấm bài theo đáp án đã xây dựng (thể hiện ở phụ lục 4).
IV. PHÂN TÍCH DỮ LIỆU VÀ KẾT QUẢ:
1. Phân tích dữ liệu:
Bảng 3. So sánh điểm trung bình bài kiểm tra sau tác động

Đối chứng Thực nghiệm
Điểm trung bình (ĐTB)
6.39 8.19
Độ lệch chuẩn
0.68 1.41
Giá trị P của T- test 2.71057 x 10
-9

Chênh lệch giá trị TB chuẩn (SMD)

2.65

Như trên đã chứng minh rằng kết quả 2 nhóm trước tác động là tương
đương. Sau tác động kiểm chứng chênh lệch điểm trung bình bằng T-Test cho kết
quả
9
2.71057 10
p

 
, cho thấy: sự chênh lệch giữa điểm trung bình nhóm thực
nghiệm và nhóm đối chứng rất có ý nghĩa, tức là chênh lệch kết quả điểm trung

7

bình nhóm thực nghiệm cao hơn điểm trung bình nhóm đối chứng là không ngẫu
nhiên mà do kết quả của tác động.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn SMD =
8,19 6,39
2,65
0,68


. Điều đó cho
thấy mức độ ảnh hưởng của dạy học theo phương pháp mới của tôi ( đã trình bày
trong bài nghiên cứu này) đến khả năng hiểu bài, khả năng vận dụng kiến thức vào
giải toán của học sinh nhóm thực nghiệm là rất lớn.


7.03
7.14
6.39
8.19
0
1
2
3
4
5
6
7
8

9
Trước tác động Sau tác động
Lớp đối chứng
Lớp thực nghiệm

Biểu đồ so sánh ĐTB trước tác động và sau tác động
của hai nhóm thực nghiệm và đối chứng

2. Bàn luận kết quả:
Kết quả của bài kiểm tra sau tác động của nhóm thực nghiệm là
TBC = 8,19 ; kết quả bài kiểm tra tương ứng của nhóm đối chứng là TBC = 6,39. Độ
chênh lệch điểm số giữa hai nhóm là 1,8. Điều đó cho thấy điểm TBC của hai lớp đối
chứng và thực nghiệm đã có sự khác biệt rõ rệt, lớp được tác động có điểm TBC cao
hơn lớp đối chứng.
Chênh lệch giá trị trung bình chuẩn của hai bài kiểm tra là SMD = 2,65.
Điều này có nghĩa mức độ ảnh hưởng của tác động là rất lớn.
Phép kiểm chứng T-test ĐTB sau tác động của hai lớp là
9
2.71057 10 0.05
p

  
. Kết quả này khẳng định sự chênh lệch điểm trung bình của
hai nhóm không phải là do ngẫu nhiên mà là do tác động.




8

V. KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ
:
1.Kết luận:
Ưu điểm của phương pháp tọa độ trong không gian giúp cho học sinh giải
một số bài toán hình học không gian đơn giản, thuận lợi hơn rất nhiều. Lượng kiến
thức và kỹ năng để giúp học sinh giải các bài toán hình học không gian bằng
phương pháp tọa độ không nhiều, chủ yếu là các kiến thức về tọa độ vectơ trong
không gian. Phương pháp này không quá khó nên đối với các em học sinh trung
bình, yếu việc sử dụng phương pháp này đơn giản hơn nhiều, chủ yếu là các em
thiết lập được hệ trục tọa độ sao cho phù hợp. Nhắc đến phương pháp tọa độ, có lẽ
đây là phương pháp có sức mạnh khá lớn để giải các bài toán hình học không gian.
Sau khi thực hiện chuyên đề này tôi đã đưa vào dạy cho học sinh các lớp 12
Nâng cao. Dạy học sinh giải các bài toán hình học không gian cho học sinh lớp 12
Nâng cao theo phương pháp của tôi đã nâng cao năng lực giải toán, phát triển niềm
đam mê học toán và từ đó nâng cao hiệu quả học tập của học sinh. Học sinh đi sâu
tìm hiểu thêm nhiều biến đổi phong phú của Toán học và tôi đã thấy được sự tập
trung, thích thú của các em học sinh, có thể là do các bài tập có dạng khác so với
các bài tập trong sách giáo khoa và nó gần với các đề thi Đại học. Một số học sinh
vận dụng thành thạo phương pháp này để giải một số bài tập tương tự.
Nội dung đề tài này không phải là mới, đã có nhiều bài viết trước đây viết
về lĩnh vực này.Tuy nhiên đây là một trong những nội dung mà tôi yêu thích vì
tính chất linh hoạt của Toán học được thể hiện rõ trong nội dung này. Tôi viết đề
tài này với mong muốn các em học sinh có thể tìm thấy nhiều điều bổ ích và nhiều
điều thú vị đối với phương pháp này, mong muốn giúp các em học sinh rèn luyện
năng lực giải toán và giúp các em học sinh đỡ lúng túng hơn trong các kỳ thi.
Như vậy một bài toán hình học không gian được phát biểu dưới dạng hình
học thông thường nhưng nếu ta có ý tưởng giải nó bằng phương pháp tọa độ ta
hoàn toàn có thể “ tọa độ hóa” bài toán để bằng công cụ tọa độ mà học sinh đã
được tiếp cận trong chương trình Hình học 12 có thể giải quyết bài toán trở nên dễ
dàng hơn.

Mọi sự cố gắng đều được đền đáp, bởi vậy tôi tin tưởng rằng bằng sự nỗ lực
cố gắng, say mê tìm hiểu và nghiên cứu các em học sinh sẽ tìm được cho mình con
đường ngắn nhất để đi đến đích trong làm toán cũng như trong cuộc sống hàng
ngày.
2.Khuyến nghị:
- Tổ chức cho học sinh và giáo viên sưu tầm thêm nhiều dạng bài tập.
- Nhà trường cung cấp thêm nhiều tài liệu tham khảo cho giáo viên.
- Tổ chức học tăng tiết cho học sinh lớp 12 Nâng cao.
Đề tài vẫn còn nhiều chỗ cần được bổ sung và khó tránh khỏi những thiếu sót,
vì vậy kính mong nhận được sự góp ý quý báu, chân tình của quý thầy cô, đồng
nghiệp để đề tài này của tôi được hoàn thiện và có ý nghĩa hơn.
Xin trân trọng cảm ơn !

9


VI. TÀI LIỆU THAM KHẢO
1) Sách giáo khoa Hình học 12 Nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục.
2) Sách Bài tập Hình học 12 - Nhà xuất bản Giáo dục.
3) Sách Bài tập Hình học 12 Nâng cao - Nhà xuất bản Giáo dục.
4) Chuyên đề Giải toán Hình học không gian – Nhà xuất bản Tổng hợp thành
phố Hồ Chí Minh.
5) Mạng internet.
6) Đề thi Đại học – Cao đẳng các năm.

10

VII. PHỤ LỤC CỦA ĐỀ TÀI:
1. PHỤ LỤC 1: GIÁO ÁN
Tiết 33
- TỰ CHỌN - LUYỆN TẬP

I. Mục tiêu:
Qua bài học học sinh cần nắm:
1/ Về kiến thức:
- Cách giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ

2/ Về kỹ năng:
- Biết giải các bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ
- Biết vận dụng các tính chất và các công thức của kiến thức phương pháp
tọa độ trong không gian.
3/ Về tư duy và thái độ:
- Về tư duy: Biết quan sát và phán đoán chính xác, biết quy lạ về quen.
- Về thái độ: Cẩn thận, chính xác, tích cực hoạt động, trả lời các câu hỏi.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh:
- Giáo viên: Bài giảng
- Học sinh: Học thuộc các tính chất, các công thức về góc, khoảng cách, về
diện tích tam giác, về thể tích khối tứ diện, phương trình mặt phẳng, phương
trình đường thẳng…
III. Tiến trình bài học:
Giáo viên giới thiệu: Để giúp các em làm quen với việc sừ dụng phương pháp
tọa độ để giải các bài toán hình học không gian chúng ta cùng tìm hiểu nội dung
của tiết học hôm nay.
Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Nội dung
Hoạt động 1: Mở đầu
Dẫn dắt đặt vấn đề để hình
thành cách giải. Vấn đề đặt
ra là ở những bài toán nào,
có dấu hiệu gì, làm thế nào
để nhận biết một bài toán
có thể giải tốt bằng phương
pháp tọa độ. Bài toán có
đơn giản hay không, phần
lớn phụ thuộc vào việc hình
thành hệ trục tọa độ và đơn
vị trục.
Đối với các bài toán hình

Học sinh tiếp nhận và ghi
nhớ.
Học sinh nhắc lại các bước
giải


I. MỞ ĐẦU:
a/ Nếu trong bài toán:
- Hình chóp tam giác S.ABC
có SA, SB, SC vuông góc
nhau đôi một.
- Hình chóp có một cạnh
bên vuông góc với mặt đáy
và đáy là tam giác vuông,
tam giác đều, hình vuông,
hình chữ nhật.

11

học không gian muốn giải
được bằng phương pháp
tọa độ ta phải tuân theo các
bước sau, giáo viên nêu các
bước giải.

Hoạt động 2: Xét các ví
dụ
- Vì tứ diện có ba cạnh OA,
OB, OC vuông góc nhau
nên ta có thể sử dụng
phương pháp tọa độ để giải
- Giáo viên nêu bài toán và
hướng dẫn học sinh chọn
hệ trục tọa độ.
- Giáo viên hướng dẫn học
sinh lần lượt thực hiện theo
các bước giải.

- Yêu cầu học sinh thực
hiện
- Gọi học sinh khác nhận
xét bài làm của bạn
- Giáo viên nhận xét, chỉnh
sửa bài làm của học sinh.
Giáo viên nêu bài toán và
hướng dẫn học sinh giải.

Yêu cầu học sinh vẽ hình















Học sinh thực hiện theo
hướng dẫn của giáo viên




Học sinh theo dõi các bướ
c
giải bài toán.
Học sinh lên bảng thực
hiện.
Học sinh khác nhận xét
bài làm của bạn
-

Hình lập phương, hình hộp
chữ nhật
b/ Phương pháp giải:
 Chọn hệ trục tọa độ thích
hợp.
 Gắn tọa độ các điểm đã
cho thích hợp với hệ trục
tọa độ vừa chọn.
 Sử dụng kiến thức hình
học giải tích (phương pháp
tọa độ trong không gian)
để giải yêu cầu của bài
toán
II. CÁC VÍ DỤ:
Ví dụ 1:
Cho tứ diện OABC có ba
cạnh OA, OB, OC đôi một
vuông góc,
,OA a
,OB b

OC c
.Tính độ dài đường
cao của tứ diện kẻ từ O.
Giải: Chọn hệ trục tọa độ
như sau : O là gốc tọa độ,
, ,
A Ox B Oy C Oz  

     

;0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c

Khi đó mp (ABC) có phương
trình theo đoạn chắn:
1
0
x y z
a b c
bcx acy abz abc
  
    

Do đó:

 
2 2 2 2 2 2
;( )
abc
d O ABC
a b b c a c

 

Ví dụ 2:
Cho hình lập phương
ABCD.A’B’C’D’ cạnh a.
Trên các cạnh AA’, BC,

12

P
y
D
D'
A
B'
a
x
z
C
C'
A'
O
O'
M
B
N
và chọn hệ trục tọa độ sao
cho thích hợp

Học sinh thực hiện theo
hướng dẫn của giáo viên.
Sau khi chọn hệ trục tọa
độ, học sinh nêu tọa độ
các điểm.


Học sinh nhắc lại các vị trí
tương đối của 2 mặt
phẳng. Hai mặt phẳng
song song nhau khi nào?


Vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng ( MNP) ?
C’D’ lần lượt lấy các điểm
M, N, P sao cho
'
AM CN D P t  

với
0
t a 
. Chứng minh rằng:
mặt phẳng ( MNP) song song
với mặt phẳng ( ACD’) và
tính khoảng cách giữa hai
mặt phẳng đó.
Giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz có
gốc tọa độ O trùng với điểm
D, các trục Ox, Oy, Oz lần
lượt đi qua A, C và D’. Khi
đó:
     
     
;0;0 , 0; ;0 , ' 0;0;
;0; , ; ;0 , 0; ;
A a C a D a
M a t N t a P t a

Phương trình theo đoạn chắn
của mặt phẳng (ACD’)
1
0
x y z
a a a
x y z a
  
    

- Mặt phẳng (ACD’) có vec
tơ pháp tuyến
 
1;1;1
n 


- Mặt phẳng (MNP) có vec tơ

pháp tuyến
 
2 2 2 2 2 2
' ,
; ;
n MN MP
a t at a t at a t at
 

 
      
  

Do đó
à 'n v n
 
cùng phương;
ngoài ra điểm M không nằm
trên mặt phẳng ( ACD’).
Vậy mặt phẳng ( MNP) song
song với mặt phẳng (ACD’)
- Khoảng cách d giữa mặt
phẳng (MNP) và mặt phẳng
(ACD’):
   
 
 
 
, ' , '
0

3
3
3
d MNP ACD d M ACD
a t a
t

  
 


13

y
z
O
A
C
B
x
M
S
N
Củng cố : Cách chọn hệ trục tọa độ Oxyz
Bài tập về nhà:
1) Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh bằng 1.Gọi M là trung điểm của
cạnh BC. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A’MD)
2) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, mặt bên SAB vuông
góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc


. Tính
.
S ABC
V

3) Cho hình chóp S.ABC mà mỗi mặt bên là một tam giác vuông tại S, có
SA SB SC a  
. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC.
D là điểm đối xứng của S qua E, I là giao điểm của đường thẳng AD và (SMN).
Chứng minh rằng : AD vuông góc với SI và tính
.
M BSI
V

Hướng dẫn:
2) Dựng
( )SO AB SO ABC  
. Vì tam giác ABC đều nên O là trung điểm của
AB.
Khi đó chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
   
3
0;0;0 , ; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; , 0
2 2 2
a a a
O A o B C S h h
 
   
 
 

   
 
   
 
.
 Mặt phẳng (ABC) có phương trình:
 
1
0 0;0;1
z n  

là vec tơ pháp tuyến
 Mặt phẳng (SAC) có phương trình:
1
3
2
2
x y z
a
h
a
  


2 3 2 3 3 0
h x hy a z ah
    

2
(2 3;2 ; 3)

n h h a 

là vec tơ pháp tuyến
Vì ( SAC) và ( ABC) tạo với đáy góc

nên
 
2 2 2 2 2
3
3
cos *
12 4 3 16 3
a
a
h h a h a

 
  

Giải phương trình (*) tìm được
3
tan
4
a
h



Từ đó tính được
3

.
.tan
16
S ABC
a
V










14

y
E
z
S
D
A
C
B
x
a
M
N

I

3) Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:









         
0;0;0 , ;0;0 , 0; ;0 , 0;0; , ;0; , 0; ; , ; ;0 , ; ;0
2 2 2 2 2 2
a a a a a a
S B a C a A a M N E D a a
     
     
     

;
n SM SN
 
 
 
  
là vec tơ pháp tuyến của (SMN)
0
x y z

   
là phương trình mặt
phẳng ( SMN)
+ Phương trình tham số của AD
2
( ) ; ;
3 3 3
a a a
I AD SMN I
 
   
 
 

15

2. PHỤ LỤC 2: CÁC VÍ DỤ MINH HỌA GIẢI CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC
KHÔNG GIAN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Phương pháp tọa độ trong không gian có cái hay riêng. Làm thế nào để nhận biết
một bài toán có thể giải tốt bằng phương pháp tọa độ. Phương pháp tọa độ hiệu quả
ở những dạng toán nào; ở những dữ kiện nào? Khi nghiên cứu đề tài này, tôi chủ
yếu tập trung vào các vấn đề sau:
• Dấu hiệu nhận biết và các bước giải một bài toán hình học không gian bằng
phương pháp tọa độ.
• Đưa ra một số cách đặt hệ trục tọa độ với một số hình đặc biệt.
• Nêu một số bài tập hình học không gian giải bằng phương pháp tọa độ trong
không gian .
• Trình bày một số bài tập hình học được giải theo hai phương pháp, phương pháp
tọa độ và phương pháp tổng hợp. Điều này giúp cho chúng ta có thể trở lên linh
hoạt trong việc lựa chọn phương pháp giải sao cho phù hợp với từng bài toán. Nói
chung phương pháp tọa độ trong không gian là một phương pháp không quá khó
để sử dụng tuy nhiên nó vẫn còn gây lúng túng với khá nhiều người. Qua đề tài này
tôi hy vọng sẽ cung cấp thêm cho các em học sinh một số kiến thức để giải các bài
toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ. Với kết cấu và yêu cầu chung
của chương trình hiện nay, việc giải toán bằng phương pháp tọa độ được đặc biệt
nhấn mạnh. Bài toán có đơn giản hay không, phần lớn phụ thuộc vào việc hình
thành hệ trục tọa độ và đơn vị trục.
I/ Dấu hiệu nhận biết:
Những bài toán hình học không gian ở phần giả thiết có những dạng sau thì
nên dùng phương pháp tọa độ để giải:
- Hình đã cho là một tam diện vuông (hình chóp S.ABC có SA, SB, SC
vuông góc nhau đôi một).
- Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với mặt đáy và đáy là tam giác
vuông, tam giác đều, hình vuông, hình chữ nhật.

- Hình lập phương, hình hộp chữ nhật.
- Hình đã cho có một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, trong mặt
phẳng đó có những đa giác đặc biệt: tam giác vuông, tam giác đều, hình thoi.
- Một vài hình chưa có sẵn tam diện vuông nhưng có thể tạo được tam
diện vuông, chẳng hạn: 2 đường thẳng chéo nhau vuông góc nhau hoặc hai mặt
phẳng vuông góc.
Ngoài ra, với một số bài toán mà giả thiết không cho những hình quen thuộc
như đã nêu ở trên thì ta có thể dựa vào tính chất song song, vuông góc của các
đoạn thẳng hay đường thẳng tham gia trong hình vẽ để thiết lập hệ trục tọa độ.

16

O'
O
c
b
A'
C'
B
C
z
x
a
B'
A
D'
D
y
II/ Phương pháp giải toán:
Vấn đề quan trọng nhất trong việc giải bài toán hình không gian bằng

phương pháp tọa độ là thiết lập hệ tọa độ cho phù hợp. Đối với bài toán hình học
không gian muốn giải được bằng phương pháp tọa độ các bước giải phải tuân theo
các bước sau:
- Bước 1: Chọn hệ trục tọa độ thích hợp.
- Bước 2: Tìm tọa độ các điểm có liên quan đến yêu cầu bài toán theo hệ
trực tọa độ vừa chọn. Đối với những bài toán Hình học không gian mà trong đề bài
đã có sẵn số liệu thì việc tính toán tọa độ của từng điểm nói chung là dựa trực tiếp
vào hình vẽ. Đối với những bài toán mà đề bài chưa cho số liệu thì trước hết cần tự
đưa số liệu vào bài toán và sau đó dựa vào hình vẽ để tính toán tọa độ các điểm
dựa theo số liệu đó.
- Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức tọa độ.
- Bước 4: Chuyển các kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học
thông thường.
Một hệ trục toạ độ được xác định khi ta xác định điểm gốc và ba điểm lần lượt
trên ba trục. Còn về đơn vị, nếu trong đề bài có độ dài a thì ta thường chọn độ dài a
làm đơn vị trên các trục.
Chẳng hạn: Nếu trong đề bài cho một hình lập phương ABCD. A’B’C’D’ có độ
dài a, thì ta sẽ chọn đơn vị độ dài là a và điểm gốc toạ độ là A: A(0; 0; 0) và sao
cho điểm B có toạ độ (1; 0; 0), điểm D (0; 1; 0) và điểm A’(0; 0; 1). Nếu không
chọn đơn vị độ dài là a thì toạ độ B (a; 0; 0), của D (0; a; 0) và của A’ ( 0; 0; a ).









Ưu điểm của phương pháp toạ độ là ta chỉ có một cách giải duy nhất về một loại

toán nào đó. Ví dụ:
 Muốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng, ta chỉ có một cách duy nhất
là tìm toạ độ điểm và phương trình m
ặt phẳng rồi dùng công thức :
0 0 0
2 2 2
( ;( ))
Ax By Cz D
d M
A B C

  

 


17

Trong khi, nếu dùng phương pháp hình học cổ điển, thì ta phải xác định đoạn
vuông góc trước khi tiến hành tính. Mà muốn xác định đoạn vuông góc lại có
rất nhiều cách, mà cách nào cũng phức tạp. Còn việc tính toán sau đó cũng có
nhiều cách: lập tỉ lệ, hệ thức lượng trong tam giác vuông . . .
 Muốn tính thể tích khối tứ diện ABCD, ta chỉ có một cách là tìm toạ độ của
A, B, C, D rồi dùng công thức:
1
, .
6
ABCD
V AB AC AD
 


 
  

Trong khi với phương pháp hình học cổ điển, ta phải chọn điểm nào thuận tiện làm
đỉnh, sau đó tính diện tích đáy (nhiều cách) và dựng đường cao (nhiều cách) rồi
tính chiều cao (nhiều cách).
 Muốn tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và CD, thông
thường phải vẽ thêm đường phụ nhưng việc vẽ thêm đường phụ đối với học sinh
trung bình gặp rất nhiều khó khăn, do đó việc sử dụng phương pháp tọa độ để tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau vô cùng đơn giản, các em chỉ cần xác
định tọa độ các điểm rồi sử dụng công thức sẽ nhanh chóng đi đến kết quả:
 
, .
,
,
AB CD AC
d AB CD
AB CD
 
 

 
 
  
 

* Các dạng bài toán thường gặp:
- Độ dài đoạn thẳng.
- Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng.

- Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng.
- Khoảng cách giữa hai đường thẳng.
- Góc giữa hai đường thẳng.
- Góc giữa hai mặt phẳng.
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
- Thể tích khối đa diện.
- Diện tích thiết diện.
- Chứng minh quan hệ song song, quan hệ vuông góc.
Cần lưu ý rằng mặc dù các sự kiện của Hình học không gian nói chung đều có
thể thể hiện theo cách thức của Hình học giải tích, tuy vậy mức độ khó, dễ khác
nhau. Sử dụng phương pháp tọa độ để giải các bài toán Hình học không gian là khá
hữu hiệu.
Để giải được một số bài toán hình học không gian bằng phương pháp tọa độ ta
cần phải chọn hệ trục tọa độ sao cho thích hợp. Dưới đây là một số lưu ý khi chọn
hệ trục tọa độ:
- Vẽ hình theo yêu cầu bài toán, sau đó tìm mối quan hệ vuông góc ở mặt
đáy (tức là xác định 2 đường thẳng cố định ở mặt đáy vuông góc với nhau). Nơi
giao nhau của hai đường vuông góc đó chính là nơi ta đặt gốc tọa độ và đồng thời
2 trục kia cũng là trục hoành và trục tung.

18

O
S
A
B
C
z
y
x

x
y
z
C
B
S
A
I
y
x
z
C
B
S
A
O
H
y
z
S
B
A
C
x
- Từ gốc tọa độ ta dựng đường vuông góc với mặt đáy thì ta được trục Oz
nằm trên đường vuông góc như vây là ta đã hoàn thành xong việc thiết lập hệ trục
tọa độ.
- Nhìn vào hình vẽ và giả thiết của bài toán ta tìm tọa độ các điểm liên
quan đến yêu cầu bài toán, ta cần chú ý đến các quan hệ cùng phương, đồng phẳng,
vuông góc để tìm tọa độ các điểm đó.

Sau đây tôi xin giới thiệu một số phương pháp để thiết lập hệ trục tọa độ:
1/ Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình chóp tam giác:
Với hình chóp tam giác việc thiết lập hệ trục tọa độ thường được thực hiện
khá đơn giản, ta thường gặp các trường hợp sau:
a) Hình chóp tam giác đều S.ABC:
Có thể chọn hệ trục tọa độ theo các cách như sau:









b) Hình chóp S.ABC có
( )SA ABC
và tam giác ABC vuông tại A.
Chọn hệ trục tọa độ như sau:










19

A
S
B
C
z
y
x
H
x
y
z
C
B
S
A
x
B
C
A
S
z
y
y
z
S
A
C
B
x

c) Hình chóp S.ABC có
( )SA ABC
và tam giác ABC vuông tại B.
Chọn hệ trục tọa độ như sau:









d) Hình chóp S.ABC có
( )SA ABC
và tam giác ABC cân tại A
Chọn hệ trục tọa độ theo một trong hai cách sau:










e) Hình chóp S.ABC có
( ) ( )SAB ABC
, tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC

vuông tại C.
Chọn hệ trục tọa độ như sau:








20

O
A
S
B
C
z
y
x
O
A
S
B
C
z
y
x
H
x

y
z
C
B
S
A

f) Hình chóp S.ABC có
( ) ( )SAB ABC
, tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC
vuông tại A.
Chọn hệ trục tọa độ như sau:









g) Hình chóp S.ABC có
( ) ( )SAB ABC
, tam giác SAB cân tại S và tam giác ABC
vuông tại C.
Chọn hệ trục tọa độ như sau:

h) Hình chóp S.ABC có
( ) ( )SAB ABC
, tam giác ABC vuông cân tại C và tam
giác SAB cân tại S.
Chọn hệ trục tọa độ như sau:








21

z
D
A
C
B
O
y
x
C
b
y
O

z
S
D
A
B
x
a
B
x
y
z
C
S
A
i) Hình chóp S.ABC có SA, SB, SC vuông góc nhau đôi một








2/ Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình chóp tứ giác:
Với hình chóp tứ giác, việc tthiết lập hệ trục tọa độ thường được thực hiện
dựa trên đặc tính hình học của chúng. Ta có các trường hợp thường gặp sau:
- Hình chóp đều thì hệ trục tọa độ được thiết lập dựa trên gốc O trùng với
tâm của đáy và trục Oz trùng với đường cao của hình chóp.
- Hình chóp có một cạnh bên (chẳng hạn SA) vuông góc với đáy thì ta
thường chọn trục Oz là cạnh bên vuông góc với đáy (SA), gốc tọa độ trùng với

chân đường vuông góc ( điểm A).
Trong các trường hợp khác ta dựa vào đường cao của hình chóp và tính chất
đa giác đáy để chọn hệ tọa độ phù hợp.
Cụ thể:
a) Hình chóp tứ giác đều:
Chọn hệ trục tọa độ như sau:



b) Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và
( )SA ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như sau:








22

y
O
z
S
D
A
C

B
x
C
x
B
A
D
S
z
O
y
H
S
C
y
D
O
A
x
z
B
c) Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi và
( )SA ABCD

Chọn hệ trục tọa độ như sau:

d) Hình chóp S.ABCD có
( ) ( )SAB ABCD
, tam giác SAB cân tại S, tứ giác ABCD
là hình thoi







e) Cho hình chóp S.ABCD có
( ) ( )SAC ABCD
, tam giác SAC cân tại S, tứ giác
ABCD là hình thoi









3/ Thiết lập hệ tọa độ cho hình lăng trụ tam giác:
+ Với lăng trụ đứng thì ta chọn trục Oz thẳng đứng, gốc tọa độ là một đỉnh
nào đó của đáy hoặc tâm của đáy. Các trục Ox, Oy thì dựa vào tính chất của đa
giác đáy mà chọn cho phù hợp.

23

O
C'
B'
A'
A
B
C
z
y
x
H
x
B
C
A
C'
A'
z
B'
y
y
B'
z
A'
C'
A
C

B
x
+ Với lăng trụ nghiêng, ta dựa trên đường cao và tính chất của đáy để chọn
hệ trục tọa độ cho thích hợp.
a) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác vuông cân tại A
Chọn hệ trục tọa độ như sau:







b) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều
Chọn hệ trục tọa độ như sau:






c) Hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân tại A
Chọn hệ trục tọa độ như sau:

4/ Thiết lập hệ trục tọa độ cho hình lăng trụ tứ giác:
Với hình hộp chữ nhật thì việc thiết lập hệ tọa độ khá đơn giản, thường có
hai cách:

24

z
x
y
D'
C'
B'
A'
O'
O
B
C
D
A
+ Chọn một đỉnh làm gốc tọa độ và ba trục trùng với ba cạnh của hình hộp.
+ Chọn tâm của đáy làm gốc tọa độ và ba trục song song với ba cạnh của
hình hộp
Với hình lăng trụ đứng ABCD. A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi:
Chọn hệ trục tọa độ như sau:

Ngoài các trường hợp trên, trong các trường hợp khác ta dựa vào quan hệ song
song, vuông góc và các tính chất của đường cao, đáy, để thiết lập hệ tọa độ cho
thích hợp.
III. Các dạng bài tập:


Trong các bài toán Hình học không gian tùy theo các trường hợp đã cho cần
linh hoạt chọn hệ trục tọa độ thuận tiện để tính tọa độ tương ứng các điểm đã cho
từ đó thiết lập được các quan hệ với nhau tạo nên các phương trình đường thẳng,
mặt phẳng. Vận dụng kiến thức hình giải tích để giải bài toán sẽ trở nên dễ dàng
hơn. Trong đề tài này, ta sẽ thử giải một số bài toán hình học không gian đã ra
trong kỳ thi đại học bằng phương pháp toạ độ xem có khó khăn lắm không. Nhưng
trước hết ta xét các ví dụ mở đầu. Ta hãy lần lượt xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: (D -2002)
Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc mặt phẳng(ABC).
4 , 5AD AC cm BC cm  
,
3AB cm
. Tính khoảng cách từ điểm A đến ( BCD)
Giải:
Cách 1:

25

4cm
3cm
5cm
4cm
A
D
B
C
z
y
x
- Ta thấy tam giác ABC vuông tại A ( vì
2 2 2
)BC AB AC
 

- Từ A kẻ
AI BC
tại I, nối D với I, kẻ
AH DI
.
- Học sinh phải chứng minh được:
( ) ( ) à ( ) ( )
ADI DBC v ADI DBC DI  

( )AH DBC 

- Trong tam giác vuông ABC :
. 12
5
AB AC
AI
BC
 

- Trong tam giác vuông ADI :
2 2 2
1 1 1 6 34
17
AH
AH AI AD
   

Cách 2:
- Học sinh tính :
.
1
. .
3
D ABC ABC
V S AD


. .
3. 3.
6 34

( ;( ))
17
A BCD D ABC
BCD BCD
V V
d A BCD
S S
   

Cách 3:
- Ta thấy tam giác ABC vuông tại A
( vì
2 2 2
)BC AB AC
 

- Ta chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ:
       
0;0;0 , 3;0;0 , 0;4;0 , 0;0;4
A B C D

- Phương trình mp (BCD):
1 4 3 3 12 0
3 4 4
x y z
x y y
       


- Khi đó:

12 6 34
( ;( ))
17
34
AH d A BCD  


Ví dụ 2:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a,

0
60
ABC 
.Cạnh bên
( )SA ABCD
vuông góc đáy và
3SA a


a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và BD.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SC và AB.
c) Tính số đo của góc giữa hai mặt phẳng ( SAB) và (SBD)
Giải :
Cách 1 :