các phương pháp giải bất phương trình

CH NG 2: B T PH NG TRÌNHƯƠ Ấ ƯƠ
§1. Ph ng pháp s d ng tính đ n đi u c a hàm sươ ử ụ ơ ệ ủ ố:
Thí d 128ụ : Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
(1) 542x9x >+++
L i gi i:ờ ả
Đ t f(x) = VT(1), có f(x) xác đ nh: (1)ặ ị
(*) 2x
2x
9x
042x
09x
−≥⇔



−≥
−≥
⇔



≥+
≥+
⇔
f(x) xác đ nh, liên t c trên (*) có: ị ụ
0
42x2
1
9x2
1

(x)f
'
>
+
+
+
=
v i ớ
∀
x > -2
nên f(x) đ ng bi n trên (*). Do đó: ồ ế
0x
2x
0x
f(0)f(x)(1) >⇔



−≥
>
⇔>⇔
V y b t ph ng trình có nghi m: ậ ấ ươ ệ
0x >
.
Thí d 129ụ : Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
(1) 55xx ≤−+
L i gi i:ờ ả
Đ t f(x) = VT(1), có f(x) xác đ nh: (1)ặ ị
(*) 5x
5x

0x
05x
0x
≥⇔



≥
≥
⇔



≥−
≥
⇔

f(x) xác đ nh, liên t c trên (*) có: ị ụ
0
5x2
1
x2
1
(x)f
'
>
−
+=
v i ớ
5x

>∀
nên f(x) đ ng bi n trên (*).Do đó: ồ ế
5x
5x
5x
f(5)f(x)(1) =⇔



≥
≤
⇔≤⇔
V y b t ph ng trình có nghi m: ậ ấ ươ ệ
5x =
.
Thí d 130ụ : Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
(1) 38532
xxx
≥++
L i gi i:ờ ả
Đ t f(x) = VT(1), có f(x) xác đ nh và liên t c v i m i xặ ị ụ ớ ọ
R∈
có:
0ln55ln33ln22(x)f
xxx'
>++=
v i m i xớ ọ
R∈
nên f(x) đ ng bi n trên (*).Do ồ ế
đó

2x
Rx
2x
f(2)f(x)(1) ≥⇔



∈
≥
⇔≥⇔
V y b t ph ng trình có nghi m: ậ ấ ươ ệ
2x ≥
.
Thí d 131ụ : (NTA-2000) Gi i b t ph ng trình:ả ấ ươ
(1) 22)(4log1)(2log
x
3
x
2
≤+++
L i gi i:ờ ả
Đ t f(x) = VT(1),có f(x) xác đ nh,liên t c v i m i ặ ị ụ ớ ọ
Rx∈
có:
0
2)ln3(4
ln44
1)ln2(2
ln22
(x)f

x
x
x
x
'
>
+
+
+
=
v i m i ớ ọ
Rx∈
nên f(x) đ ng bi n trên (*).Do đó: ồ ế
0x
Rx
0x
f(0)f(x)(1) ≤⇔



∈
≤
⇔≤⇔
V y b t ph ng trình có nghi m: ậ ấ ươ ệ
0x ≤
.
Thí d 132ụ : (TL-2000) Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
(1) 2x5x-32x −<−+
L i gi i:ờ ả
f(2)0 2x5x-32xf(x)(1) =<−−−+=⇔

Ta có f(x) xác đ nh khi và ch khi ị ỉ
(*)
2
5
x2
02x5
0x-3
02x
≤≤−⇔





≥−
≥
≥+
f(x) xác đ nh, liên t c trên (*) có: ị ụ
0
2x-52
1
x-32
1
2x2
1
(x)f
'
>++
+
=

v i ớ
2
5
x2 <<−
nên
f(x) đ ng bi n ồ ế
trên (*). Do đó:
2x2
2
5
x2
2x
f(2)f(x)(1) ≤≤−⇔





≤≤−
<
⇔≤⇔
V y b t ph ng trình có nghi m: ậ ấ ươ ệ
2x2 ≤≤−
.
Thí d 133ụ : Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
(1) 63.32.21
xxx
<++
L i gi i:ờ ả
Ta có:

Rx 06 (do (2) 1
2
1
3.
3
1
2.
6
1
(1)
x
xxx
∈∀><






+






+







⇔
)
Đ t f(x) = VT(2), có f(x) xác đ nh, liên t c v i m i ặ ị ụ ớ ọ
Rx∈
có:
Rx 0
2
1
ln
2
1
3.
3
1
ln
3
1
2.
6
1
ln
6
1
(x)f
xxx
'
∈∀<







+






+






=
nên f(x) ngh ch bi n trên R, do đó (ị ế
1x
Rx
1x
f(1)f(x)(2)1) <⇔



∈

<
⇔<⇔⇔
V y b t ph ng trình có nghi m: ậ ấ ươ ệ
1x <
.
Thí d 134ụ : Gi i b t ph ng trình:ả ấ ươ
(1) x43216x6x3x2
23
−+<+++
L i gi i:ờ ả
Ta có:
(2) f(1)32x4166x3x2xf(x)(1)
23
=<−−+++=⇔
Đ t f(x) = VT(2), có f(x) xác đ nh khi và ch khi:ặ ị ỉ



≥−
≥++
⇔



≥−
≥+++
0x4
08)x-2)(2x(x
0x4
0166x3x2x

223




≤
>+≥+
⇔
4x
0)8x-2x (do 02x
2

(*) 4x2 ≤≤−⇔
f(x) xác đ nh, liên t c trên (*) có: ị ụ
0
x42
1
166x3x2x2
66x-6x
(x)f
23
2
'
>
−
+
+++
+
=
v i ớ

4x2 <<−
nên f(x) đ ng bi n trên (*).Do đó ồ ế
1xf(1)f(x)(1) <⇔<⇔
K t h p v i (*) ta đ c: ế ợ ớ ượ
1x2 <≤−
.
V y b t ph ng trình có nghi m: ậ ấ ươ ệ
1x2 <≤−
.
§2: Ph ng pháp phân kho ng t p xác đ nh:ươ ả ậ ị
Thí d 135ụ : Gi i h th cả ệ ứ
(
)
(
)
x
2
log224x2x141
x
2
12x7x2
x
22
+−−≤







−+−+
L i gi i:ờ ả
Đi u ki n:ề ệ



=
=
⇔





≥−+−
≥+−
≠>
4x
3x
024x14x2
012x7x
1x,0x
2
2
- V i x = 3 b t ph ng trình tr thành b t đ ng th cớ ấ ươ ở ấ ẳ ứ
23
3
1
33
323

3
2
3
2
log
3
1
3
2
log21
3
2
2 ≥⇒≥⇒≤−⇒≤






−
−
(sai)
- V i x = 4 b t ph ng trình tr thànhớ ấ ươ ở
2
1
2log
2
1
2
1

log
2
1
4
2
log21
4
2
2
444
−=−≤
−
⇒≤−⇒≤






−
(đúng)
V y b t ph ng trình đã cho có nghi m là x = 4.ậ ấ ươ ệ
Thí d 136ụ : Gi i h th c: log ả ệ ứ
x
(x + 1) = lg1,5 (1)
L i gi i:ờ ả
Đi u ki n: 0 < x ề ệ ≠ 1
- Xét 0 < x < 1 khi đó log
x
(x+1) < log

x
1 = 0 < lg1,5. V y ph ng trình (1) không cóậ ươ
nghi m trong kho ng nàyệ ả
- Xét 1 < x < +∞ khi đó log
x
(x+1) > log
x
x = 1 > lg1,5. V y ph ng trình (1) không cóậ ươ
nghi m trong kho ng nàyệ ả
Tóm l i (1) vô nghi m.ạ ệ
Thí d 137:ụ Gi i h th c ả ệ ứ
2
x
24xx3
2
<
+++−
L i gi i:ờ ả
Đi u ki n: ề ệ
(*)0x;
3
1
1x1
04xx3
0x
2
≠≤≤−⇔




≥++−
≠
. V i đi u ki n đó ta có:ớ ề ệ
2x24xx3
2
−<++−
( )
7
9
x
7
9
x0x
1x
0x9x7
1x
2x24xx3
02x2
2
2
2
>⇔





>∨<
>
⇔




>−
>
⇔



−<++−
>−
⇔
K t h p v i đi u ki n (*) ta đ c ế ợ ớ ề ệ ượ
3
4
x
7
9
≤<
.
Thí d 138ụ : Gi i h th c ả ệ ứ





>+−
<−+
)2(01x3x
)1(01x2x3

3
2
L i gi i:ờ ả
(1) ⇔
3
1
x1 <<−
(*)
Đ t y = xặ
3
- 3x + 1 hàm s xác đ nh liên t c trên R có yố ị ụ
/
= 3x
2
- 3; y
/
= 0 khi x = 1 x = - 1
ta có b ng bi n thiên:ả ế
x -1
3
1
y
/
0
y
27
1

Nghi m c a h :ệ ủ ệ
3

1
x1 <<−
.
Thí d 139ụ : Gi i ả
(
)
(
)
016x2x8
x
1
5
x
log13x4x
2
5
2
≤+−−+++−
(1)
L i gi i:ờ ả
Đi u ki n:ề ệ
3x;1x
3x1
3x1x
0x
06x2x8
03x4x
0x
2
2

==⇔





≤≤
≥∨≤
>
⇔





≥−−
≥+−
>
- V i x = 1 thì (1) ớ ⇔
001101
5
1
log
5
≤=+−⇔≤+
(luôn đúng)
- V i x = 3 thì (1) ớ ⇔
5
1
125

27
5
5
3
0
3
1
5
3
log
3
1
5
≤⇔≤⇔≤+
−
(lo i)ạ
V y b t ph ng trình có nghi m là x = 1.ậ ấ ươ ệ
Thí d 140:ụ Gi i h th c ả ệ ứ
( )
134x3
2x24x
2
≥−+
=−
(1)

L i gi i:ờ ả
- V i ớ
2x >
thì x

2
– 4 > 0 và x – 2 > 0. Do đó
133
04x
2
=>
−
(vì hàm đ ng bi n)ồ ế
nên VT(1) > 1 = VP(1). B t ph ng trình không có nghi m trong kho ng trênấ ươ ệ ả
- V i ớ
2x <
thì x
2
– 4 < 0 và x – 2 < 0. Do đó
133
04x
2
=<
−
(vì hàm đ ng bi n)ồ ế
và (x
2
-4)3
x-2
< 0 nên VT(1) < 1 = VP(1). B t ph ng trình không có nghi m trong kho ngấ ươ ệ ả
trên
- V i x = 2 thay vào th a mãn. ớ ỏ
V y b t ph ng trình có nghi m duy nh t x = 2.ậ ấ ươ ệ ấ
Thí d 141:ụ Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ
( )

12x1x
1x
3
5
3
≥++
−
(1)
L i gi i:ờ ả
- V i x < 0 thì ớ
0x
3
<
mà 2
x-1
> 0 nên
( )
02x;11x
1x
3
5
3
<<+
−
. Do đó VT(1) < 1. V y b tậ ấ
ph ng trình không có nghi m trong kho ng trên ươ ệ ả
- V i x ớ ≥ 0 thì
0x
3
≥

mà 2
x-1
> 0 nên
( )
02x;11x
1x
3
5
3
≥≥+
−
. Do đó VT(1) ≥ 1
V y b t ph ng trình có nghi m x ậ ấ ươ ệ ≥ 0.
Thí d 142ụ : Gi i ph ng trình ả ươ
1xlog24
2
xx1x
2
−=−
−−
(1)
L i gi i:ờ ả
- N u 0 < x ế ≤ 1 thì
( ) ( )
x
1x
2
1xxx1x
2224
2

−−−−
−=−
khi đó VP ≤ -1; VT > -1
- N u x > 1 thì ế
( )
2x2log)xx(log
)1x(2
)1x(x
logVP
2
2
22
−−−=
−
−
=
mà
VT = 2
2x-2
-
xx
2
2
−
. Do đó: (1) ⇔
xx
2
2
−
+

( )
2x2log)xx(log
2
2
2
−=−
+2
2x-2
(1
/
)

Xét hàm s f(x) =ố
2
t
+ log
2
t xác đ nh liên t c trên Rị ụ
+
và:
f
/
(x) = t.ln2 +
2ln.t
1
< 0 nên f(x) ngh ch bi n trên Rị ế
+
(1
/
) ⇔ x

2
– x = 2x – 2 ⇔ x
2
– 3x + 2 = 0 ⇔ x = 1 (lo i); x = 2 (th a mãn). ạ ỏ
V y ph ng trình có nghi m x = 2.ậ ươ ệ
Thí d 143ụ : Gi i ph ng trình ả ươ
182x6xx
2
=+++
(1)
L i gi i:ờ ả
Đi u ki n: x + 2 ề ệ ≥ 0 ⇔ x ≥ – 2. Đ t f(x) = ặ
2x6xx
2
+++
có f(x) xác đ nh,ị
liên t c trênụ
[
)
+∞− ;2
và f
/
(x) = 2x + 1 +
2x
3
+
- N u x ≥ 0 thì fế
/
(x) > 0 nên VT(1) là hàm đ ng bi n mà VP(1) = const do đó ph ngồ ế ươ
trình có nghi m duy nh t x = 2ệ ấ

- N u –2 ≤ x < 0 thì VT(1) < 18 = VP(1) nên ph ng trình không có nghi m trongế ươ ệ
kho ng trên .ả
Tóm l i ph ng trình có nghi m duy nh t x = 2.ạ ươ ệ ấ
Thí d 144ụ : Gi i ph ng trình: xả ươ
4
+ x
3
+ 5
2x +
= 2 + 5
2
(1)
L i gi i:ờ ả
Đ t f(x) = ặ
1x5xx
34
+++
có f(x) xác đ nh liên t c trênị ụ
[
)
+∞− ;1

f
/
(x) =
1x2
5
x3x4
23
+

++
- N u x ≥ 0 thì fể
/
(x) > 0 nên f(x) đ ng bi n do đó VT(1) đ ng bi n mà ồ ế ồ ế
VP(1) = const. Vì v y x = 1 là nghi m duy nh t c a ph ng trìnhậ ệ ấ ủ ươ
- N u –1≤ x < 0 ta th y VT(1) < 6 < VP(1). ế ấ
V y ph ng trình có nghi m duy nh t x = 1.ậ ươ ệ ấ
§3: Ph ng pháp hàm liên t c:ươ ụ
Thí d 145ụ : Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ
)1(0
xx4
3x2
4
x
tg
2
<
−−
++
π
L i gi i:ờ ả
Đ t ặ
xx4
3x2
4
x
tg
)x(f
2
−−

++
π
=
; f(x) xác đ nh khi và ch khi:ị ỉ







≠
≤
Ζ∈+≠
⇔









≠−−
≥−
Ζ∈π+
π
≠
π

2x
2x
)k(2k4x
0xx4
0x4
)k(k
24
x
2
2
)(
2x
2x
∗



≠
<
⇔
03x2
4
x
tg)x(g0)x(f =++
π
=⇔=
. Có g(x) xác đ nh trênị
)(∗
và
02

4
x
cos4
)x('g
2
>+
π
π
=
v iớ
x∀
tho mãnả
)(∗
nên g(x) đ ng bi n trên ồ ế
)(∗
1x)1(g)x(g −=⇔−=
1x0)x(f −=⇔=⇒
Do f(x) liên t c trênụ
)(∗
0
37
)21(2
2
3
f >
+
+
=







−
;
>=<






−
2
3
)0(f,0
5
6
f
0;
0
37
)27(2
2
3
f <
−
+
=







nên
ta có b ng xét d u f(x) trên ả ấ
)(∗
x
∞−

2−

2−

1−

2

2

∞+
f(x)
+ – 0 + –
T b ng ta đ c (1) có nghi m ừ ả ượ ệ
2x21x2 <<∨−<<−
.

Thí d 146ụ : Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ

)1(0
12
1x22
x
x1
≤
−
+−
−
L i gi i:ờ ả
Đ t ặ
12
1x22
)x(f
x
x1
−
+−
=
−
, f(x) xác đ nh khi và ch khi:ị ỉ
( ) ( )
)(:;00;x0x012
x
∗=+∞∨∞−∈⇔≠⇔≠−
Xét ph ng trình ươ
01x22)x(g0)x(f
x1
=+−=⇔=
−

. Có g(x) xác đ nh, liên t c trên ị ụ
)(∗
022ln.2)x('g
x1
<−−=
−
v i ớ
)(x ∗∈∀
nên g(x) ngh ch bi n trên ị ế
)(∗
1x)1(g)x(g =⇔=
1x0)x(f =⇔=⇒
Do f(x) liên t c trênụ
(*)
014)1(f <−=−
;
022
2
1
f >+=






;
0
6
5

)2(f <
−
=
Nên ta có b ng xét d u f(x) trên (*)ả ấ
x
∞−

0

1

∞+
f(x) - + 0 -
T b ng ta đ c (1) có nghi m ừ ả ượ ệ
1x0x
≥∨<
.
Thí d 147ụ : Gi i b t ph ng trình:ả ấ ươ
)1(9x4x)3x(
22
−≤−−
L i gi i:ờ ả
0)3x4x)(3x()x(f)1(
2
≤−−−−=⇔
, f(x) xác đ nh khi và ch khiị ỉ
(
] [
)
)(:;22;x04x

2
∗=+∞∨−∞−∈⇔≥−
0)3x4x)(3x(0)x(f
4
=−−−−⇔=




β+=−
α=−
⇔
)(3x4x
)(03x
2
3x)( =⇔α



+=−
≥+
⇔β
22
)3x(4x
03x
)(



=+

−≥
⇔
013x6
3x





−
=
−≥
⇔
6
13
x
3x
6
13
x
−
=⇔
f(x) liên t c trênụ
)(∗
056)3(f <−=−
;
05)2(f >=−
;
0732)4(f <−=
Nên ta có b ng xét d u f(x) trên ả ấ

)(∗
x
∞−

6
13
−

2−

2

3

∞+
f(x
)

+− 0

−+ 0
T b ng ta đ c (1) có nghi mừ ả ượ ệ
3x
6
13
x ≥∨
−
≤
.
Thí d 148ụ : Gi i b t ph ng trình ả ấ ươ

)1(12x82.x2.32.xx4
x2x1x2
2
++>++
+
L i gi i:ờ ả
(1)
012x82.x2.32.xx4
x2x1x2
2
>−−−++⇔
+

0)42)(3x2x(
2
x2
<−−−⇔
0)44)(3x2x(
2
x
2
2
<−−−⇔


0)14)(3x2x(
2
2x
2
2

<−−−⇔
−

0
2
2x
)14)(3x2x(
2
2
<
−
−−−⇔

0)2x)(2x)(3x)(1x( <−+−+⇔
3x21x2 <<∨−<<−⇔
.
V y (1) có nghi m ậ ệ
3x21x2 <<∨−<<−
.
Thí d 149ụ : Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
)1(1)x3(log
)x3(x
>−
−
L i gi i:ờ ả
Đi u ki n: ề ệ
)(
01x3x
3x0
1,0)x3(x

0x3
2
∗



≠+−
<<
⇔



≠>−
>−
. V i đi u ki n đó:ớ ề ệ
0)x3(log1)1(
)x3(x
<−−⇔
−

0)x3(log)x3(xlog
)x3(x)x3(x
<−−−⇔
−−


0xlog
)x3(x
<⇔
−

[ ]
0)1x(1)x3(x <−−−⇔


0)1x)(13x(
2
>−+−⇔
0)1x(
2
53
x
2
53
x >−








+
−









−
−⇔

2
53
x1x
2
53 +
>∨<<
−
⇔

V y (1) có nghi m ậ ệ
3x
2
53
1x
2
53
<<
+
∨<<
−
.
Thí d 150ụ : Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
0x2cosxsinxcos
>−−
(1) v iớ

( )
=π∈ :2;0x
(*).
L i gi iờ ả :
Đ t ặ
x2cosxsinxcos)x(f −−=
, có f(x) xác đ nh, liên t c trên (*) f(x) = 0ị ụ
0x2cosxsinxcos =−−⇔
0)xsinx(cosxsinxcos
22
=−−−⇔
0)xsinxcos1)(xsinx(cos =−−−⇔
1xsinxcos0xsinxcos =+∨=−⇔






=






π
−
=







π
−
⇔
2
2
4
xcos
0
4
xsin

)k(
kx2
44
x
kx2
44
x
kx
4
x
Ζ∈










+
π
−=
π
−
+
π
=
π
−
=
π
−
⇔
∈








=

+
π
=
+
π
=
⇔ k(
kx2x
kx2
2
x
kx
4
x
Z)
K t h p v iế ợ ớ
)(∗
ta có
4
5
x
2
x
4
x
π
=∨
π
=∨
π

=
.
Do f(x) liên t c trên (*) và ụ
0
2
23
6
f <
−
=






π
;
02
2
3
f)(f <−=






π
−=π

Nên ta có b ng xét d u f(x) trên ả ấ
)(∗
X
∞−

0

4
π

2
π

4
5π

π2

∞+
f(x)
+−+− 000
T b ng ta đ c (1) có nghi m ừ ả ựợ ệ
π<<
π
∨
π
<<
π
2x
4

5
2
x
4
.
Thí d 151ụ : Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
)1(2log2log
1x)x2x( +−+
≤
L i gi i:ờ ả
Đi u ki n: ề ệ





≠
>
⇔









≠>+
≠>−+

≥+
≥
≥+
4
1
x
0x
1,01x
1,0x2x
01x
0x
02x
(*). V i đi u ki n đó:ớ ề ệ
1xlog
1
)x2x(log
1
)1(
22
+
≤
−+
⇔


1xlog)x2x(log
22
+≥−+⇔

01xlog)x2x(log

22
≥+−−+⇔

0
1x
x2x
log
2
≥
+
−+
⇔
01
1x
x2x
)12( ≥








−
+
−+
−⇔

0

1x
1xx2x
≥
+
+−−+
⇔
01xx2x ≥+−−+⇔

)1x(x21xx2x ++++≥+⇔
)1x(x2x1 +≥−⇔




+≥−
≥−
⇔
)1x(x4)x1(
0x1
2



≤−+
≤
⇔
01x6x3
1x
2






+−
≤≤
−−
≤
⇔
3
323
x
3
323
1x
3
323
x
3
323 +−
≤≤
−−
⇔
K t h p v i (*) ta đ c (1) có nghi m ế ợ ớ ượ ệ
3
323
x0
+−
≤<

.
Thí d 152ụ : Gi i b t ph ng trình: ả ấ ươ
)1(0
4x3x
)1x(log)1x(log
2
3
3
2
2
>
−−
+−+
L i gi i:ờ ả
Đi u ki n: ề ệ



≠
−>
⇔





≠−−
>+
>+
4x

1x
04x3x
0)1x(
0)1x(
2
3
2
(*). V i đi u ki n đó:ớ ề ệ
[ ]
0)4x3x()1x(log3)1x(log2)1(
2
32
>−−+−+⇔






>−+








−
≠

⇔
++
0)4x)(1x(
3log
3
2log
2
0x
1x1x






>−+
−
≠
⇔
++
++
0)4x)(1x(
3log.2log
2log33log2
0x
1x1x
1x1x




>−+++−
≠
⇔
++
0)4x)(1x).(1x(log).1x(log).8log9(log
0x
321x1x





>−+++
≠
⇔
+
0)4x)(1x).(1x(log).1x(log.
8
9
log
0x
321x





>−+++
≠
⇔

+
0)4x)(1x).(1x(log).1x(log.
8
9
log
0x
321x





>−+−+−−+−−−+
≠
⇔
0)4x)(1x).(11x)(13).(11x)(12).(1
8
9
)(11x(
0x



>−+
≠
⇔
0)4x)(1x(x
0x
3

0)4x)(1x(x >−+⇔
4x0x1
>∨<<−⇔
K t h p v i (*) ta đ c (1) có nghi m ế ợ ớ ượ ệ
4x0x1 >∨<<−
.
§4: Ph ng pháp m t ph ng to đ :ươ ặ ẳ ạ ộ
Thí d 153ụ : Tìm m đ h :ể ệ





<+−
≤−
0)mx)(xm(
01x
2
2
vô nghiêm (1)
L i gi i:ờ ả
Đ t m = y và coi (1) là h 2 n x; y. Ta có:ặ ệ ẩ

(1)



<+−
≤−
0)yx)(xy(

01x
2
2




−<<−
≤≤−
}x;xmax{y}x;xmin{
1x1
22




−<<
≤≤−
xyx
1x1
2
ho c ặ



<<−
≤≤−
2
xyx
1x1

(2)
Trên m t ph ng to đ v các đ ng: x = 0; x = –1; y = – x; y = xặ ẳ ạ ộ ẽ ườ
2
Bi u di n nghi m t ng thành ph n c a (2) r i k t h p l i ta đ c mi n nghi m N c aể ễ ệ ừ ầ ủ ồ ế ợ ạ ượ ề ệ ủ
(2) là mi n đ c g ch chéo không l y biên trên hình về ượ ạ ấ ẽ
-1 1
-1
1
2
x
y
y =
-
x
y = x^2
x =
-
1
x =

1
Nghi m c a (1) chính là nghi m c a (2) ng v i y = m t c là nghi m c a (1) là hoànhệ ủ ệ ủ ứ ớ ứ ệ ủ
đ c a các đi m thu c ph n chung c a đ ng th ng y = m (ộ ủ ể ộ ầ ủ ườ ẳ
⊥
y’oy) và N.
T nh n xét trên và hình v ta có (1) vô nghi m khi y = m và N không có đi m chung,ừ ậ ẽ ệ ể
khi và ch khi m < –1 ho c m > 1ỉ ặ
V y |m| > 1 là các giá tr c n tìm đ h (1) vô nghi m.ậ ị ầ ể ệ ệ
Thí d 154ụ : Tìm m đ h ể ệ






≤+++−
≤−+−
0mmx)1m2(x
0m1x2x
22
2
có nghi m duy nh tệ ấ
L i gi i: ờ ả
Đ t m = y và coi h đã cho là h (1) v i 2 n x; y ta có:ặ ệ ệ ớ ẩ
(1)





≤+++−
≤−+−
0yyx)1y2(x
0y1x2x
22
2







≤−+−−
−≥
0xxy)1x2(y
)1x(y
22
2




≤≤−
−≥
xy1x
)1x(y
2
(2)
Trên m t ph ng to đ v các đ ng: y = (x–1)ặ ẳ ạ ộ ẽ ườ
2
; y = x – 1; y = x
Bi u di n nghi m t ng thành ph n c a (2) r i k t h p l i ta đ c mi n nghi m N c aể ễ ệ ừ ầ ủ ồ ế ợ ạ ượ ề ệ ủ
(2) là ph n g ch chéo l y c biên trên hình vầ ạ ấ ả ẽ
1 2 3 4
1
2
3
4
x
y
y = x

-
1
y = (x
-
1)^2
y = x
Nghi m c a (1) chính là nghi m c a (2) ng v i y = m t c là nghi m c a (1) là hoànhệ ủ ệ ủ ứ ớ ứ ệ ủ
đ c a các đi m thu c ph n chung c a đ ng th ng y = m ( ộ ủ ể ộ ầ ủ ườ ẳ
⊥
y’oy) và N. T nh n xétừ ậ
trên và t hình vê ta thu đ c (1) có nghi m ừ ượ ệ  đ ng th ng y = m (ườ ẳ
⊥
y’oy) và N có
đi m chung ể  0 ≤ m ≤
2
53 +
V y 0 ≤ m ≤ ậ
2
53 +
là các giá tr c n tìm đ ph ng trình có nghi m.ị ầ ể ươ ệ
Thí d 155ụ : Tìm m đ h ể ệ





≤++
≤++
mx2yx
my2yx

22
22
(1) có nghi m duy nh tệ ấ
L i gi i:ờ ả
(1)





+≤++
+≤++
1my)1x(
1m)1y(x
22
22
Xét 2 đ ng tròn (α): xườ
2
+ (y + 1)
2
= m + 1 có tâm A(0; –1); R =
1m
+
(β): (x + 1)
2
+ y
2
= m + 1 có tâm B(–1; 0); R =
1m
+

H (1) có nghi m duy nh t khi và ch khi (α) và (β) có duy nh t 1 đi m chungệ ệ ấ ỉ ấ ể
 (α) và (β) ti p xúc ngoài v i nhau khi đó: ế ớ
AB = 2
1m
+

2
)01()10(
2
−−++
= 2
1m
+

2
= 2
1m
+
 m = –
2
1

V y giá tr c n tìm c a m là m = –ậ ị ầ ủ
2
1
.
Thí d 156ụ : Tìm m đ h ể ệ






=+
≥+
+
my2x
1)yx(log
22
yx
(1) có nghi mệ
L i gi i:ờ ả

Ta có: log
22
yx +
(x + y) = 1 (2)
 0 < x + y ≤ x
2
+ y
2
< 1 ho c x + y ≥ xặ
2
+ y
2
> 1











≥






−+






−
<+
>+
2
1
2
1
y
2
1
x

1yx
0yx
22
22
ho c ặ





≤






−+






−
>+
2
1
2
1

y
2
1
x
1yx
22
22
(2)
Trên m t ph ng t a đ Oxy v đ th c a các hàm s : ặ ẳ ọ ộ ẽ ồ ị ủ ố
∆: x + y = 0; (T
1
): x
2
+ y
2
= 1; (T
2
): (x –
2
1
)
2
+ (y –
2
1
)
2
=
2
1

-1 1
-1
1
2
x
y
1
T
2
T
Δ
:
x + y = 0
1
2
m
y
x
=
+
2
2
m
y
x
=
+
A
Bi u di n nghi m t ng thành ph n r i k t h p l i ta đ c mi n nghi m N c a (2) làể ễ ệ ừ ầ ồ ế ợ ạ ượ ề ệ ủ
ph n g ch chéo trên hình v không l y nh ng đi m thu c ầ ạ ẽ ấ ữ ể ộ (T

2
) và (∆)
Xét đ ng th ng: x + 2y = m t i 2 v trí ng v i mườ ẳ ạ ị ứ ớ
1
và m
2
Có đ th c a hàm s : x + 2y = mồ ị ủ ố
1
đi qua đi m A(ể
2
1
;–
2
1
)
⇒
m
1
= –
2
1
Đ th c a hàm s : x + 2y = mồ ị ủ ố
2
ti p xúc v i (Tế ớ
2
) t i đi m thu c góc ph n t th nh tạ ể ộ ầ ư ứ ấ
⇒
m
2
=

2
103 +
(1) có nghi m ệ  đ ng th ng x + 2y = m và N có đi m chung ườ ẳ ể
 –
2
1
< m ≤
2
103 +
V y –ậ
2
1
< m ≤
2
103 +
là nh ng giá tr c n tìm.ữ ị ầ
Thí d 157ụ : Tìm m đ h ể ệ





≤+
≥+++
1yx
1xy2myx
(1)
a) Có nghi m.ệ
b) Vô nghi m.ệ
L i gi i:ờ ả

(1)





≥+−≥+
≤+
0)yx(1xy2m
1yx




+++−≥+
≤+
2
)yx()yx(21xy2m
1yx




−+−≥+
−≤
)3()1x()1y(1m
)2(x1y
22
Trên m t ph ng to đ Oxy v đ th c a các hàm s : ặ ẳ ạ ộ ẽ ồ ị ủ ố
y = 1 – x (∆); (x – 1)

2
+ (y – 1)
2
= m + 1 (α)
-1 1 2 3
-1
1
2
3
x
y
(α)
▲
Ta th y nghi m c a (2) là toàn b ph n m t ph ng n m phía trên đ ng th ng ∆ cònấ ệ ủ ộ ầ ặ ẳ ằ ườ ẳ
nghi m c a (3) là nh ng đi m n m trong và trên đ ng tròn αệ ủ ữ ể ằ ườ
Nên:
a) (1) có nghi m khi và ch khi đ th hàm s c a (∆) và (α) có đi m chungệ ỉ ồ ị ố ủ ể
 d(I; ∆) ≤ R (I(1; 1); R là tâm c a (α)) ủ

22
11
|111|
+
−+
≤
1m +
(m ≥ –1) 
2
1
≤

1m +
 –
2
1
≤ m
V y nh ng giá tr c a m c n tìm đ (1) có nghi m là m ≥ –ậ ữ ị ủ ầ ể ệ
2
1
.
b) Nh n th y nh ng giá tr còn l i c a m trên t p R là nh ng giá tr làm cho (1) vôậ ấ ữ ị ạ ủ ậ ữ ị
nghi m.ệ
V y nh ng giá tr c a m c n tìm đ (1) vô nghi m là m < –ậ ữ ị ủ ầ ể ệ
2
1
.
Thí d 158:ụ Bi n lu n theo a s nghi m c a h :ệ ậ ố ệ ủ ệ



β=−−
α=+
)(0)ay)(a2x(
)(4|y|2|x|
L i gi i:ờ ả
(α)



=+
≥≥

4y2x
0y;0x
v



=−
≤≥
4y2x
0y;0x
v



=+−
≥≤
4y2x
0y;0x
v



−=+
≤≤
4y2x
0y;0x
Trên m t ph ng to đ Oxy, bi u di n nghi m c a (α) là hình thoi ABCD nh ặ ẳ ạ ộ ể ễ ệ ủ ư hình v :ẽ