Phân tích mode dao động tấm có vết nứt bằng XFEM

Mục lục
iii



Quyết định giao đề tài
Lý lịch khoa học i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Tóm tắt v
Danh sách các chữ viết tắt vii
Danh sách các hình x
Danh sách bảng biểu xii

 1
1.1 Ý nghĩa khoa học, thực tiễn và lý do của đề tài 1
1.2 Mục tiêu đề tài 4
1.3 Giới hạn của đề tài và các vấn đề cần giải quyết 4

 6
2.1 Tính toán cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính 6
2.1.1 Hệ số cường độ ứng suất và miền vết nứt trong LEFM 6
2.1.2 Sự phát triển của vết nứt trong chất rắn đàn hồi tuyến tính 9
2.1.3 Phương pháp số dựa trên tích phân J 10
2.2 Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 12
2.2.1 Điều chỉnh phương trình 12
2.2.2 Sự phân chia của phần tử đơn vị 14
2.2.3 Phép xấp xỉ phần tử hữu hạn mở rộng 15
2.2.4 Lựa chọn tiêu chuẩn của các nút được làm giàu 19
2.2.5 Phương pháp tập mức 20
2.2.6 Tích phân số 24

Mục lục
iv

2.3 Cải thiện hệ số hội tụ của XFEM 25
2.3.1 XFEM với vùng làm giàu cố định 25
2.3.2 XFEM được hiệu chỉnh cho bài toán pha trộn 26
2.4 Làm mịn Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 29
2.4.1 Giới thiệu tóm tắt về làm mịn phương pháp phần tử hữu hạn 29
2.4.2 Làm mịn Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng 31
2.5 Bài toán khảo sát dao động riêng của tấm 33

 36
3.1 Khảo sát dao động riêng của tấm hình vuông làm bằng vật liệu thép 36
3.2 Khảo sát dao động riêng của tấm hình chữ nhật làm bằng vật liệu thép 39
3.3 Tấm chữ nhật có vết nứt biên dưới tác dụng của tải kéo 42

 48
4.1 Kết luận 48
4.2 Đề xuất và hướng phát triển 49

 50
 54

Tóm tắt

v



Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một công cụ mạnh mẽ được sử dụng

rộng rãi để tính toán và mô phỏng nhiều vấn đề thực tế. Nhiều phần mềm được xây
dựng dựa trên mã FEM để đáp ứng mục tiêu này, đặc biệt là trong lĩnh vực kỹ thuật.
FEM thực sự hiệu quả khi áp dụng cho các vấn đề làm mịn. Nhưng đối với
vấn đề không mịn, như cơ học phá hủy thì có nhiều hạn chế và khó khăn. Đối với
vấn đề phát triển vết nứt bắt buộc phải chia lại lưới và làm mịn lưới hơn ở vùng lân
cận đỉnh vết nứt. Nhưng điều này cũng làm cho chi phí tính toán tăng lên.
Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM) của T. Belytschko đề xuất
vào năm 1999 được coi là cách xử lý đặc biệt cho các vấn đề về vết nứt. Sau hơn
mười năm phát triển, nhiều phương pháp đã được thực hiện để cải thiện XFEM tiêu
chuẩn. Tập trung vào một số vấn đề chính như vấn đề pha trộn, độ hội tụ trong
XFEM và làm giàu đỉnh vết nứt.
Luận văn này trình bày một số kỹ thuật mới phát triển gần đây như làm mịn
phương pháp phần tử hữu hạn (SFEM) [6,7,14], hiệu chỉnh XFEM [31] và áp dụng
chúng vào XFEM tiêu chuẩn để có được giải pháp tốt hơn. Luận văn sẽ nghiên cứu
các trường hợp vết nứt tĩnh và sự tăng trưởng vết nứt trong khuôn khổ Cơ học phá
hủy đàn hồi tuyến tính (LEFM).


Summary

vi

SUMMARY

Finite Element Method (FEM) is powerful tools that have been widely used
to compute and simulate many practical problems. Many softwares were built based
on FEM code to serve this aim, especially in engineering area.
FEM is really effective when applying for smooth problems. But for non-
smooth problem, such as Fracture mechanics, it revealed many drawbacks and
difficulties. For crack growth problems, remeshing and finer mesh at crack tip

vicinity domain are required. This has a huge impact on computational cost.
The extended finite element method (XFEM) proposed by T. Belytschko in
1999 is regarded as a special cure to crack problems. After more than ten years of
development, many strategies and procedures have been implemented to improve
the standard XFEM. They concentrated on some main problems such as blending
problem, integration in XFEM and crack tip enrichment.
This thesis presents some new techniques developed recently such as
Smoothed Finite Element Method (SFEM) [6,7,14], corrected XFEM [31] and
applies them to standard XFEM to get better solutions. The thesis will study the
case of static crack and growing crack in Linear Elastic Fracture Mechanics
(LEFM) framework.


Danh sách các chữ viết tắt
vii




Góc của vết nứt nghiêng
xy

Biến dạng cắt kỹ thuật

Sự biến thiên của hàm

Tenxơ biến dạng
ij

Thành phần biến dạng


Góc tọa độ cực
c

Góc lan truyền vết nứt đối với vết nứt ban đầu

Tham số vật liệu

Mô đun cắt

Hệ số Poisson

Hệ thống phối hợp phi tuyến địa phương
()x

Hàm khoảng cách

Tenxơ ứng suất
ij

Thành phần ứng suất

ng suất cắt
()x

Hàm tập mức
()x

Hàm làm giàu


Tần số góc của dao động riêng

Đường biên
c

Vết nứt biên
t

Lực kéo biên
u

Chuyển vị biên

Hàm biến thiên hữu hạn

Miền xác định
a Chiều dài tấm
Danh sách các chữ viết tắt
viii

a
i
Bậc tự do được làm giàu
A
*
Vùng liên kết với miền tích phân J
b Chiều rộng của tấm
b
i

Bậc tự do làm giàu đỉnh vết nứt
B Ma trận đạo hàm của hàm dạng
k
B

Hàm làm giàu đỉnh vết nứt

C Ma trận thành phần vật liệu
d Khoảng cách
d/dt Đạo hàm theo thời gian
D Ma trận mô đun vật liệu
E Mô đun đàn hồi Young
E
ij
Ma trận hệ chống cắt theo phương ngang
f Vecto lực đặt tại nút
G Mô đun cắt
()Hx
Hàm Heaviside
I Tích phân tương tác
J Tích phân J
J
(1)
Tích phân J thực
J
(2)
Tích phân J bổ sung
K Ma trận độ cứng
K Hệ số cường độ ứng suất
K

i
Hệ số cường độ ứng suất kiểu i (i = I, II, III)
M ng suất uốn
N Vecto thường
N ng suất màng
N
i
Ma trận hàm dạng
Q Lực cắt
q Hàm làm mịn bất kì
r Khoảng cách theo bán kính
Danh sách các chữ viết tắt
ix

R Hàm dốc
t Thời gian
u Vecto chuyển vị
u
Chuyển vị định mức
(1) (2)
,
ii
uu
Trường chuyển vị thực, Trường chuyển vị phụ
()
h
ux
Trường chuyển vị xấp xỉ
U
s

Công biến dạng
v
i
, v
j
Hệ số trượt không đồng nhất theo phương ngang
x Vectơ vị trí
/ t   
Toán tử Nabla
DOF Bậc tự do
EPFM Cơ học phá hủy trong vật liệu biến dạng dẻo đàn hồi
FE Phần tử hữu hạn
FEM Phương pháp phần tử hữu hạn
LEFM Cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính
LSM Phương pháp tập mức
PU Vách ngăn đơn vị
SIF Hệ số cường độ ứng suất
SCs Các tế bào mịn
XFEM, X-FEM Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng









Danh sách các hình
x

DANH SÁCH CÁC HÌNH

HÌNH TRANG
Hình 2.1: Các kiểu vết nứt cơ bản 6
Hình 2.2: Hệ tọa độ cực kết hợp với đỉnh vết nứt 9
Hình 2.3: Đường biên và miền xác định tại đỉnh vết nứt 12
Hình 2.4: Khối có vết nứt 13
Hình 2.5: Sự lựa chọn các nút làm giàu cho vấn đề vết nứt 2D 16
Hình 2.6: Hệ tọa độ cho hàm làm giàu đỉnh vết nứt 17
Hình 2.7: Các loại phần tử trong XFEM tiêu chuẩn 19
Hình 2.8: Tiêu chuẩn vùng cho lựa chọn nút làm giàu H(x) 20
Hình 2.9: Định nghĩa hàm tập mức 21
Hình 2.10: Hàm tập mức cho đại diện vết nứt 2D 22
Hình 2.11: Lựa chọn nút làm giàu bởi tập mức nút 23
Hình 2.12: Lựa chọn nút làm giàu bởi tập mức nút – phương pháp đã hiệu chỉnh 23
Hình 2.13: Việc phân chia thành các tam giác con cho tích phân 24
Hình 2.14: Sự chuyển đổi của các điểm Gauss từ tam giác con đến phần tử quy
chiếu 25
Hình 2.15: Làm giàu cho vùng cố định xung quanh vết nứt. 26
Hình 2.16: Các tập hợp con điểm nút I
*
và J
*
với định nghĩa của sự mô phỏng
và các phần tử pha trộn dựa trên I
*
28
Hình 2.17: Sự lựa chọn của tập hợp con điểm nút I* 29
Hình 2.18: Trường hợp đơn giản của việc kết hợp kỹ thuật ES-XFEM trong

XFEM 32
Hình 2.19: Mô hình tính toán tấm 33
Hình 3.1: Hình ảnh tấm vật liệu thép được khảo sát 36
Hình 3.2: Hình vẽ 3 Mode đầu tiên của tấm hình vuông 39
Hình 3.3: Hình vẽ 3 Mode đầu tiên của tấm hình chữ nhật 41
Danh sách các hình
xi

Hình 3.4: Hình dạng và tải của vấn đề về vết nứt cạnh 42
Hình 3.5: Các điểm Gauss được phân bố trong các phân tử 43
Hình 3.6: Sơ đồ chuẩn hóa K
I
và bán kính tích phân J R
d
44
Hình 3.7: Bán kính tích phân J R
d
cho sự tính toán SIF 44
Hình 3.8: Hình biến dạng và đường biên chuyển vị 45
Hình 3.9: Tốc độ hội tụ năng lượng biến dạng 46
Hình 3.10: So sánh sai số của cường độ ứng suất thu được từ bốn phương pháp 47




Danh sách các bảng
xii


 TRANG

 3.1: Tần số dao động riêng của tấm hình vuông 37
: Tần số dao động riêng của tấm hình chữ nhật 39
: So sánh các giá trị của hệ số cường độ ứng suất K
I
46


Chương 1 Tổng quan

1


QUAN

1.1. 
Sự phát triển ngày càng cao của khoa học và công nghệ luôn mang lại nhiều
hiệu quả thiết thực trong nhiều lĩnh vực đời sống, đặc biệt là trong lĩnh vực kỹ thuật
nói chung và cơ học nói riêng. Công nghệ chế tạo phát triển cho ra đời ngày càng
nhiều những vật liệu mới đáp ứng tốt nhu cầu làm việc, nâng cao tuổi thọ và tính
kinh tế cho các chi tiết.
Tuy nhiên việc xuất hiện các khuyết tật ở chi tiết (các bọng khí, các vết nứt vi
mô…) trong quá trình chế tạo là rất khó tránh khỏi. Những khuyết tật này ảnh
hưởng rất lớn đến khả năng làm việc và tuổi thọ của chi tiết, đặc biệt là trong
khoảng thời gian dài dưới tải trọng dao động thay đổi bất kỳ.
Trong những năm gần đây, đã có nhiều công trình nghiên cứu nhằm tìm ra
phương pháp để giải quyết một cách chính xác các vấn đề về rạn nứt.
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một trong các công cụ số mạnh mẽ
nhất được sử dụng rộng rãi để tính toán, nghiên cứu về kỹ thuật và các vấn đề vật
lý. Một trong những ứng dụng quan trọng của FEM là phân tích sự lan truyền vết
nứt. FEM là một trong những phương pháp số đầu tiên được áp dụng để giải quyết

các vấn đề về phá hủy. ng dụng FEM vào cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính
(LEFM) và phần mở rộng của nó là cơ học phá hủy trong vật liệu biến dạng dẻo đàn
hồi (EPFM) đã mở rộng đến gần như tất cả các vấn đề về vết nứt. Tuy nhiên, cũng
có những thiếu sót mà chúng ta cần phải đề cập đến. Đối với các vấn đề vết nứt
không mịn, xây dựng lưới thích hợp rất quan trọng cho sự thành công của phép gần
đúng: phần tử biên liên kết với một điểm gián đoạn và sự sàng lọc lưới là giải pháp
được dự kiến sẽ có các điểm kì dị hay độ chênh lệch lớn. Đối với sự lan truyền vết
nứt, việc duy trì lưới chính xác rất khó khăn hay thậm chí là không thể.
Chương 1 Tổng quan

2

Một phương pháp mới dựa trên ý tưởng nền tảng của sự phân vùng phần tử
duy nhất đã được giới thiệu vào năm 1999 và đã trở thành một phương pháp xử lý
mạnh mẽ cho các vấn đề gián đoạn. Nó chính là phương pháp phần tử hữu hạn mở
rộng (XFEM).
Những nỗ lực đầu tiên để phát triển phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng
được bắt nguồn từ công việc của Belytschko và Black (1999) khi họ trình bày
phương pháp phần tử hữu hạn chia lại lưới tối thiểu cho sự phát triển vết nứt. Họ đã
bổ sung chức năng làm giàu gián đoạn vào tiệm cận của phần tử hữu hạn để giải
thích cho sự hiện diện của vết nứt. Việc chia lại lưới chỉ cần thiết cho các vết nứt bị
uốn cong. Sau đó, Moes [20] đã cải tiến phương pháp này và gọi nó là phương pháp
phần tử hữu hạn mở rộng (XFEM).
Một bước tiến quan trọng đã đạt được bởi Dolbow với các giải pháp của tấm
đàn hồi hai chiều (2D) và tấm Mindlin-Reissner sử dụng cả hai hàm bước nhảy và
trường tiệm cận gần đỉnh vết nứt sử dụng XFEM, giải pháp này trình bày về kỹ
thuật của mô hình gián đoạn bất kì trong kết cấu của phần tử hữu hạn bằng cách làm
giàu cục bộ một chuyển vị cơ bản thông qua phân vùng của phương pháp đơn vị.
Sau đó Sukumar đã mở rộng XFEM cho mô hình vết nứt ba chiều (3D) và giải
quyết các vấn đề hình học liên kết với các đại diện của vết nứt và sự làm giàu của

phần tử hữu hạn tiệm cận.
Phương pháp điều chỉnh mức độ được sử dụng đại diện cho vị trí của vết nứt,
bao gồm cả các vị trí của các đỉnh vết nứt. Stolarska [29] đã giới thiệu cách sử dụng
phương pháp điều chỉnh mức độ kết hợp với XFEM vào mô hình phát triển vết nứt.
Belytschko (2001) đã xây dựng đường tiệm cận không liên tục trong điều kiện đánh
dấu hàm khoảng cách, vì vậy điều chỉnh mức độ được sử dụng để cập nhật vị trí của
sự gián đoạn.
Sukumar và Prevost (2003) đã mở rộng phương pháp mô hình gián đoạn mạnh
và yếu. Đầu tiên thảo luận về cách thức xây dựng các yếu tố pha trộn bởi Chessa
[11]. Sukumar đã phát triển kỹ thuật số mô phỏng sự phát triển vết nứt mỏi trên mặt
phẳng ba chiều (3D) vào năm 2003. Béchet (2005) đã đề xuất chương trình làm giàu
Chương 1 Tổng quan

3

hình học, trong đó kích thước miền được làm giàu ngay cả khi các phần tử không
tiếp xúc với mặt ngoài của vết nứt.
Độ chính xác, ổn định và hội tụ cũng được nghiên cứu bởi Laborde (2005).
Ventura [33] đã chỉ ra các phương pháp để tính toán chính xác quy tắc tiêu chuẩn
phép cầu phương Gauss trong các phần tử chứa có sự gián đoạn mà không tách rời
phần tử thành các ô nhỏ hay thêm vào bất kỳ tiệm cận bổ sung nào.
XFEM với sự làm giàu nội tại cũng được giới thiệu bởi Fries và Belytschko
[32], phương pháp này đã được phát triển để xử lí các chức năng gián đoạn bất kỳ
trong phần tử hữu hạn, không bổ sung ẩn số đã đưa ra tại các nút có điểm tựa mà đã
vượt qua bởi sự gián đoạn và nó là phương pháp mà trong đó bài toán pha trộn có
thể tránh được.
Các vấn đề về kết dính, tiếp xúc, độ dẻo và biến dạng lớn cũng đã được nghiên
cứu từ năm 2002.
Vết nứt dạng tấm và vỏ là những vấn đề thú vị đã được nghiên cứu và phát
triển trong nhiều năm.

Bài toán XFEM động đã được đề xuất bởi Belytschko (2003). Ngoài ra,
Réthoré cũng đề xuất XFEM tổng quát cho mô hình vết nứt động và vấn đề phụ
thuộc vào thời gian.
Các thiết bị thực hiện để xử lý các vấn đề trong phạm vi pha trộn được phát
triển bởi Fries [31], Tarancón [10] và Ventura [8]. Những phương pháp này đánh
dấu kết quả trong việc cải thiện tính chính xác và hội tụ của XFEM.
S. Bordas [27, 28] đã đề xuất một cải tiến mới khi kết hợp kỹ thuật làm mịn
FEM với XFEM để hình thành một phương pháp làm mịn và gọi là Phương pháp
phần tử hữu hạn mở rộng. Phương pháp này đơn giản hóa các dạng tích hợp và tăng
sự hội tụ và độ chính xác của XFEM tiêu chuẩn.
 Việt Nam, việc nghiên cứu ứng dụng các phương pháp số để giải quyết vấn
đề cơ học phá hủy chưa nhiều. Và với mong muốn đóng góp vào việc xây dựng,
phát triển phương pháp giải quyết các vấn đề trong cơ học phá hủy ở Việt Nam là lý
do tôi chọn đề tài “Phân tích Mode dao động tấm có vết nứt bằng XFEM”
Chương 1 Tổng quan

4

1.2. M tiêu :
Trong XFEM, có ba miền trực tiếp ảnh hưởng đến kết quả chúng ta cần tính
toán: miền làm giàu, miền tiêu chuẩn và miền pha trộn đó là lớp chuyển tiếp giữa
miền làm giàu và miền tiêu chuẩn. Nếu các miền này được xử lý tốt thì sẽ đạt được
kết quả tốt nhất.
Mục tiêu của đề tài này là cung cấp các kỹ thuật và phương pháp phát triển
trong vài năm qua và áp dụng chúng đến tiêu chuẩn XFEM để tính toán dao động tự
do của tấm đồng thời nâng cao tính chính xác và hội tụ của các giải pháp thuộc vấn
đề rắn hai chiều (2D).
 Áp dụng kỹ thuật làm mịn phần tử hữu hạn để tính toán miền tiêu chuẩn, kết
hợp với việc sử dụng chiến lược diện tích làm giàu cố định xung quanh đỉnh
vết nứt để có được độ chính xác và hội tụ cao hơn so với các giải pháp thu

được từ tiêu chuẩn XFEM.
 Kỹ thuật giải quyết các vấn đề trong phần tử pha trộn là một trong những yếu
tố quan trọng giảm sai số và tăng độ chính xác của các giải pháp tiêu chuẩn.
 Những kỹ thuật này cũng sẽ được áp dụng để giải quyết vấn đề phát triển vết
nứt để có được kết quả tốt hơn.
1.3. t:
Cơ học phá hủy là một lĩnh vực rộng lớn và quan trọng trong kỹ thuật. Việc
ứng dụng Phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng để giải quyết các vấn đề trong cơ
học phá hủy cũng còn khá mới mẻ. Nên giới hạn đề tài chỉ thực hiện trên chi tiết
tấm mỏng đồng nhất và trong khuôn khổ cơ học phá hủy đàn hồi tuyến tính.
Luận văn này có bốn chương và được tổ chức như sau:
 Trong chương 1, giới thiệu tóm tắt về lịch sử và sự phát triển của XFEM.
 Trong chương 2, đầu tiên giới thiệu tóm tắt các lý thuyết cơ bản về cơ học
phá hủy và tiêu chuẩn XFEM. Sau đó, đưa ra các kỹ thuật cần thiết phát triển
gần đây để thực hiện tiêu chuẩn XFEM bao gồm phương pháp phần tử hữu
hạn phẳng, hiệu chỉnh XFEM và kỹ thuật làm giàu hình học.
Chương 1 Tổng quan

5

 Chương 3, trình bày kết quả của việc khảo sát dao động riêng của tấm hình
vuông và hình chữ nhật làm bằng vật liệu Thép, và các vấn đề về cạnh vết
nứt hai chiều (2D) thu được từ sự so sánh giữa XFEM tiêu chuẩn, XFEM với
diện tích làm giàu cố định và ES-XFEM với diện tích làm giàu cố định.
 Trong chương 4, trình bày nhận xét và kết luận về các ảnh hưởng và kết quả
thu được đồng thời đưa ra các đề xuất cho các công trình trong tương lai.
Chương 2 Cơ sở lý thuyết

6

Ch 2


2.1.  Linear Elastic Fracture
Mechanics-LEFM):
2.1.1.  :
Trong việc tính toán cơ học phá hủy, ứng suất, sự biến dạng và chuyển vị
xung quanh vết nứt là những hệ số quan trọng. Độ lớn của miền ứng suất được xác
định bằng hệ số vô hướng được gọi là hệ số cường độ ứng suất K (SIF). Khái niệm
về tập trung ứng suất được đưa ra bởi Irwin (1975), đó là sự đo lường về độ bền của
điểm kỳ dị. Tập trung ứng suất thường được thể hiện ở chỉ số dưới để chỉ trạng thái
của tải. Theo lý thuyết cơ học phá hủy, một vết nứt hở có thể có 3 dạng chính như
trong hình 2.1 được gọi là các kiểu (mode) vết nứt. Vì thế chúng ta có hệ số cường
độ ứng suất tại các đầu vết nứt tương ứng ký hiệu K
I
, K
II
, K
III
cho các Mode I, II, III
tương ứng








- Mode I: Vết nứt có dạng mở rộng do lực kéo một chiều hay hai chiều. Bề

mặt của vết nứt di chuyển theo phương vuông góc với mặt phẳng có chứa vết
nứt.
- Mode II: Vết nứt mở rộng do lực trượt nằm trong mặt phẳng tấm, sự chuyển
dịch nằm trong mặt phẳng của vết nứt và vuông góc với cạnh có chứa vết nứt.
x
y
z
Hình 2.1: Các kiểu vết nứt cơ bản
Mode 1: Mode 2: Mode 3:
Kiểu vết nứt mở Kiểu vết nứt trượt Kiểu rách
Chương 2 Cơ sở lý thuyết

7

- Mode III: Vết nứt có dạng trượt ngang (trượt 3 chiều) thường xảy ra trên
những tấm thép mỏng do lực cắt nằm ngoài mặt phẳng tấm. Sự chuyển dịch nằm
trong mặt phẳng của vết nứt và song song với cạnh có chứa vết nứt.
Một vết nứt kiểu hỗn hợp xảy ra khi có nhiều hơn một hệ số cường độ ứng
suất cần thiết để biểu diễn các miền vết nứt
Hãy xem xét một khối trong một hệ tọa độ Đề Các, sử dụng các tọa độ cực
( , )r


mà điểm mốc là ngay tại đỉnh vết nứt, như hình 2.2, tại bất kỳ điểm nào mà
P = x =
( , )r


, thì vùng ứng suất và vùng chuyển vị như sau:
Vết nứt mở Mode I có:

Vùng ứng suất là:
3
cos (1 sin sin )
2 2 2
2
I
yy
K
r
  




3
cos sin cos )
2 2 2
2
I
xy
K
r
  





zz
=(

xx
+
yy
): Biến dạng phẳng
0 :
zz


ứng suất phẳng

0
xz yz



Và vùng chuyển vị là:
2
cos ( 1 2sin )
2 2 2 2
I
x
K
r
u



  

2

sin ( 1 2cos )
2 2 2 2
I
y
K
r
u



  

0
z
u 

Vết nứt trượt Mode II:
3
sin (2 cos cos )
2 2 2
2
II
xx
K
r
  




3
cos sin cos )
2 2 2
2
II
yy
K
r
  




(2.1.1)
(2.1.2)
(2.1.3)
(2.1.4)
(2.1.5)
(2.1.6)
(2.1.7)
(2.1.8)
(2.1.9)
(2.1.10)
Chương 2 Cơ sở lý thuyết

8

3
cos (1 sin sin )
2 2 2

2
II
xy
K
r
  




( )
zz xx yy
   


0
xz yz



2
cos ( 1 2sin )
2 2 2 2
II
x
K
r
u




  

2
sin ( 1 2cos )
2 2 2 2
II
y
K
r
u



  

0
z
u 

Vết nứt rách Mode III:
0
xx yy zz xy
   
   


sin
2
2

III
xz
K
r





cos
2
2
III
yz
K
r





0
xy
uu

sin
2 2 2
III
y
K

r
u





Với K
I
, K
II
, K
III
được xác định bởi:
0
0
lim 2
I yy
r
Kr






0
0
lim 2
II xy

r
Kr






0
0
lim 2
III yz
r
Kr






Rõ ràng, những phương trình này đại diện cho một ứng suất kỳ dị khi r đạt
giá trị 0


(2.1.11)
(2.1.12)
(2.1.13)
(2.1.14)
(2.1.15)
(2.1.16)

(2.1.18)
(2.1.19)
(2.1.20)
(2.1.21)
(2.1.23)
(2.1.24)
(2.1.17)
(2.1.22)
Chương 2 Cơ sở lý thuyết

9








2.1.2. 
Xét về sự phát triển của vết nứt, có hai đại lượng cần tính toán, đó là góc độ
lan truyền
c


và độ dài gia số da đối với phần mới của vết nứt.
Theo những phụ tải chế độ hỗn hợp nói chung, ứng suất chu vi đường tiệm cận
và ứng suất cắt có dạng thức như sau [20]:
3cos( / 2) cos(3 / 2) 3sin( / 2) 3sin(3 / 2)
11

sin( / 2) sin(3 / 2) cos( / 2) 3cos(3 / 2)
44
22
I II
r
KK
rr



   

   

  

   

     

   


Nhìn chung, có 4 tiêu chí để xác định hướng phát triển của vết nứt:
 Tiêu chí về tỉ lệ giải phóng năng lượng tối đa (Nuismer, 1975).
 Tiêu chí về ứng suất chu vi tối đa (ứng suất tiếp tuyến) hoặc tiêu chí về ứng
suất chính tối đa (Erdogan và Sih, 1963).
 Tiêu chí về mật độ năng lượng biến dạng (Sih, 1973).
 Tiêu chí giá trị 0 K
II

Luận văn này sử dụng tiêu chí về ứng suất chu vi tối đa, tiêu chí này đã thể
hiện rằng vết nứt sẽ lan truyền từ ngay đỉnh của vết nứt
c


theo một hướng để ứng
suất chu vi hay ứng suất chính đạt tối đa


. Vì thế, góc tới hạn định rõ hướng
ngược lại của sự lan truyền có thể được xác định bằng cách thiết lập ứng suất cắt ở
(2.1.25) về giá trị 0.
Phương trình xác định góc của sự lan truyền vết nứt
c


được đưa ra:
sin( ) (3cos( ) 1) 0
I c II c
KK

  




r
ê
2

ê
1
Hình 2.2: Hệ tọa độ cực kết hợp với đỉnh vết nứt
(2.1.25)
(2.1.26)
Chương 2 Cơ sở lý thuyết

10

Giải phương trình (2.1.26) sẽ tìm được góc lan truyền
c

:
2
1
2arctan ( ) 8
4
II
c II
II II
KK
sign K
KK






  









Từ (2.1.27), chúng ta thấy rằng nếu K
II
=0, thì
c

= 0 (mode I thuần túy), nếu
K
II
> 0 thì
c

< 0 và
c

> 0 khi K
II
< 0. Vì thế, Suo đã đưa ra một biểu thức để tính
c

như sau:
2
2/

2arctan
1 1 8( / )
II I
c
II I
KK
KK









Độ dài gia số của vết nứt có thể được xác định bằng việc sử dụng định luật
Paris:
()
m
da
CK
dN


khi C và m là hằng số vật liệu, được xác định thông qua thí nghiệm thử độ bền mỏi
tiêu chuẩn, dN là số vòng và
max min
K K K  

là hệ số cường độ ứng suất
Trong thực hành, có một số công thức để tính toán
K
:

44
4
8
I II
K K K  
(Tanaka, 1974)
22
I II
K K K
  
(Rhee, 1987)
1
cos( / 2) (1 cos ) 3 sin
2
I II
K K K
  
    
(Van, 1992)
2.1.3. 
Hệ số tập trung ứng suất được tính toán sử dụng dạng miền của phương pháp
tích phân tương tác. Trong phương pháp này, các miền bổ trợ được giới thiệu và
xếp chồng lên miền hiện tại thỏa mãn bài toán giá trị biên. ng suất và sự biến dạng
đối với trạng thái phụ nên được lựa chọn để thỏa mãn cả phương trình cân bằng và
điều kiện biên lực kéo tự do trên bề mặt vết nứt trong biểu đồ miền. Đối với các bài

toán kiểu hỗn hợp nói chung, mối quan hệ giữa giá trị tích phân J và hệ số cường độ
ứng suất là như sau:
(2.1.29)
(2.1.30)
(2.1.31)
(2.1.32)
(2.1.27)
(2.1.28)
Chương 2 Cơ sở lý thuyết

11

22
**
I II
KK
J
EE


trong đó E
*
được xác định trong tham số vật liệu E (môđunYoung – môđun đàn hồi)
và

(hệ số Poinsson – hệ số biến dạng ngang) như sau:
*
2
:
:

1
E
E
E









Hai trạng thái của khối có vết nứt được xem xét. Trạng thái 1,
1 1 1
( , , )
ij ij i
u

tương
ứng với trạng thái hiện tại (vùng hiện tại) và trạng thái 2,
2 2 2
( , , )
ij ij i
u

là trạng thái
vùng bổ trợ được lựa chọn như là vùng tiệm cận cho Mode I và Mode II. Tích phân
J cho tổng của hai trạng thái là:
(1) (2)

(1 2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)
1
()
( )( ) ( )
ii
ij ij ij ij j ij ij j
i
uu
J n d
x
      




     





Khai triển và sắp xếp lại các số hạng đưa đến biểu thức:
(1 2) (1) (2) (1,2)
J J J I

  

mà
(1,2)
I

được gọi là tích phân tương tác cho trạng thái 1 và 2:

21
(1,2) (1,2) (1) (2)
1
11
( ) ( )
ii
j ij ij j
uu
I W n d
xx
  



   





Trong đó W
(1,2)
là năng lượng biến dạng tương tác:

(1,2) (1) (2) (2) (1)
ij ij ij ij
W
   



Từ (2.1.33), phương trình tổng hợp trạng thái đưa đến biểu thức:

(1 2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)
*
2
()
I I II II
J J J K K K K
E

   

Từ (2.1.35) và (2.1.38),
ta có biểu thức sau:

(1,2) (1) (2) (1) (2)
*
2
()
I I II II
I K K K K
E


Vì thế hệ số cường độ ứng suất Mode I và Mode II có thể được tính toán bằng
cách lựa chọn
(2) (2)
1, 0

I II
KK

cho Mode I và
(2) (2)
0, 1
I II
KK

cho Mode II.
(2.1.35)
(2.1.36)
(2.1.37)
(2.1.38)
(2.1.39)
(2.1.34)
(2.1.33)
ng suất phẳng
Biến dạng phẳng
Chương 2 Cơ sở lý thuyết

12

Tích phân theo chu tuyến (2.1.36) không phải là biểu thức phù hợp nhất để
tính toán phần tử hữu hạn. Vì thế một biểu thức miền tương đương được xây dựng
bằng cách nhân biểu thức tích phân với hàm trọng số trơn q(x)
là hàm dẫn của phần
tử đơn vị trên đỉnh vết nứt chứa tập mở và bị triệt tiêu trên đường biên định mức C
0
.

Sau đó, với mỗi chu tuyến

, tích phân tương tác có thể được viết như sau:
21
(1,2) (1,2) (1) (2)
1
11
( ) ( )
ii
j ij ij j
C
uu
I W qm d
xx
  


   





Với
0
C C C C

    
và m là đơn vị pháp tuyến ngoài với chu tuyến C (Hình 2.3).

Dùng định lý phân kỳ đưa ra phương trình sau cho tích phân tương tác trong biểu
thức miền:
21
(1,2) (1) (2) (1,2)
1
11
( ) ( )
ii
ij ij j
j
A
uu
q
I W dA
x x x
  



  

  



Với
jj
mn

trên


,

jj
mn
trên
0
,,C C C

và miền A có giá trị là tập hợp các
phần tử từ đỉnh vết nứt.


2.2. 
2.2.1. 
Xét miền


được giới hạn bởi

.
Đường biên

là sự kết hợp của
u

,
t

, và

c

mà
u t c
      
được thể hiện ở hình 2.4. Chuyển vị định mức được đặt trên
Hình 2.3: Đường biên và miền xác định tại đỉnh vết nứt
(2.1.40)
(2.1.41)
Chương 2 Cơ sở lý thuyết

13

u

, trong khi điều kiện biên của lực kéo được đặt trên
t

và tất cả
c

thì được giả
định là mặt tự do của lực kéo.

Phương trình cân bằng và các điều kiện biên là:
. 0 trong miên
. trên miên
. 0 trên miên
. 0 trên miên
trên miên
t
c
c
u
b
nt
n
n
uu






   





với n là đơn vị pháp tuyến ngoài,


là ứng suất Cauchy, và b là lực khối trên mỗi
đơn vị thể tích.
Trong điều kiện biến dạng và chuyển vị nhỏ. Phương trình động học bao gồm
mối quan hệ giữa biến dạng - chuyển vị:
()
s
uu

  

Với
s

là phần đối xứng của toán tử gradient. Mối quan hệ kết cấu được đưa
ra bởi định luật Hooke:
:C



với C là tenxơ Hooke.
Dạng yếu

Không gian của vùng chuyển vị cho phép (hàm cơ sở) được xác định bởi:
e
y
e
x

e
z
Hình 2.4: Khối có vết nứt
u


c



t

t


(2.2.1)
(2.2.2)
(2.2.3)
(2.2.4)
(2.2.5)
(2.2.6)
(2.2.7)
Chương 2 Cơ sở lý thuyết

14



Thảo luận chi tiết về việc lựa chọn không gian của hàm cơ sở
S

khi khối chứa
đường biên trong hay góc lõm có thể tìm thấy ở Babuska (1972) và Grisvard
(1985). Không gian
S

cho phép các hàm gián đoạn ngang qua đường nứt.

Dạng yếu của phương trình cân bằng được cho bởi:

_
0
. . ,
: ( )
t
b vd t vd v
vd



   



A

Sử dụng mối quan hệ kết cấu và sự liên kết động lực ở dạng yếu, bài toán
nhằm tìm ra
u A
mà:
_

0
( ) : : ( ) . . . ,
t
u C v d b vd t v d v

  
      
  
A

Phương trình trên được thể hiện để tương đương với dạng mạnh (2.2.1)
2.2.2. :
Sự phân chia của phần tử đơn vị được định nghĩa là một tập hợp của các hàm
()
k
fx
với một miền
pu


mà:
1
( ) 1
m
k
k
fx




Rõ ràng với bất kỳ hàm
()x

nào, tính chất sau đều thỏa mãn:
1
( ) ( ) ( )
m
k
k
f x x x





Điều này tương đương với định nghĩa của điều kiện tái tạo. Tập hợp của hàm
hình dạng phần tử hữu hạn cùng tham số, N
j
, cũng thỏa mãn điều kiện phân chia của
phần tử đơn vị.
1
( ) 1
n
j
j
Nx




Với n là số nút cho mỗi phần tử hữu hạn.


(2.2.11)
(2.2.12)
(2.2.13)
(2.2.14)
(2.2.8)
(2.2.9)
(2.2.10)
Chương 2 Cơ sở lý thuyết

15

2.2.3. 
Ý tưởng cơ bản về XFEM là để làm giàu không gian phần tử hữu hạn cổ điển
với một số hàm được thêm vào. Trong phương pháp phần tử hữu hạn mở rộng, phép
xấp xỉ sau được sử dụng để tính chuyển vị cho điểm x nằm bên trong miền
*
( ) ( ) ( ) ( )
h
i i j j
iI
jI
u x N x u N x x a







Với I là tập hợp các nút nằm trong miền, I
*
là tập hợp các nút mà bệ đỡ của nó
là điểm giao với vết nứt. N
i
, N
j
là hàm hình dạng phần tử hữu hạn. Bệ đỡ của nút j,
j

, là tập hợp của tất cả các phần tử với nút j là một trong những đỉnh của nó.
Để giữ lại tính chất nội suy của phép xấp xỉ, tức là
()
h
ii
u x u
, người ta thường
điều chỉnh như sau [25]:

*
( ) ( ) ( )( ( ) ( ))
h
i i j i j
iI
jI
u x N x u N x x x a




  


Đặc biệt trong mô hình vết nứt 2D, phép xấp xỉ làm giàu chuyển vị được viết
như sau:
4
1
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
HB
h
i i j j j k k k
iI
j I k I
u x N x u N x H x a N x B x




  
   
b

Với I là tập hợp các nút chuẩn (chưa làm giàu). I
H
là tập hợp các nút, mà bệ đỡ
của nó thì hoàn toàn tách ra khỏi vết nứt, được làm giàu bằng sự làm giàu không
liên tục (hàm Heaviside H(x)). I
B
là tập hợp các nút chứa đỉnh vết nứt trong sự hỗ trợ

của hàm hình dạng, được làm giàu bằng sự làm giàu tiệm cận (hàm B(x)) (xem hình
2.5)







(2.2.15)
(2.2.17)
(2.2.16)