TĂNG CƯỜNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI
TRƯỜNG THPT SỐ 2 TP LÀO CAI
* * *
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
ĐỀ TÀI:
TĂNG CƯỜNG SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ TRONG
CÁC BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
Môn: Toán
Người thực hiện : Vũ Thị Liên
Giáo viên môn Toán
Chức vụ: Tổ trưởng chuyên môn
Năm học : 2011 – 2012

Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Chuyên đề:
" Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác "
A. MỞ ĐẦU
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Phương trình lượng giác là một trong những kiến thức cơ bản của chương trình Đại
số và giải tích 11 nói riêng và chương trình Toán phổ thông nói chung. Có nhiều cách
để giải một phương trình lượng giác - một trong những cách thường sử dụng là:
Phương pháp đặt ẩn phụ. Trong Sách giáo khoa Đại số và giải tích lớp 11 hiện hành,
chưa hình thành rõ nét phương pháp đặt ẩn phụ khi giải các phương trình lượng giác
nên học sinh bước đầu còn khó khăn khi vận dụng. Song một số bài toán lượng giác
giải bằng phương pháp này sẽ đơn giản và tối ưu hơn các phương pháp khác, hơn nữa
trong các đề thi Đại học - Cao đẳng thường xuất hiện các loại toán này. Vì vậy, tôi viết
đề tài này để giúp học sinh hình thành kĩ năng giải phương trình lượng giác bằng
phương pháp đặt ẩn phụ và nâng cao thêm kiến thức cho các em.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:
Trong đề tài này tôi chia thành 3 nội dung chính cần làm rõ sau:

1. Đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện.
2. Kết hợp nghiệm.
3. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác .
Với mỗi nội dung được trình bày theo một hệ thống lô gíc chặt chẽ từ các bài toán
đơn giản, đến phức tạp phân tích vấn đề. Từ đó hình thành kĩ năng giải phương trình
lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn phụ.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:
Các kiến thức về phương trình lượng giác trong chương trình toán THPT .
IV. ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM :
1. Ôn tập kiến thức cơ bản cho học sinh 11 chương trình cơ bản.
2. Ôn thi ĐH.
V. PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU :
1. Phạm vi nghiên cứu: Trường THPT số 2 Thành phố Lào Cai
2. Kế hoạch nghiên cứu:
- Thời gian bắt đầu: Tháng 09 năm 2011.
2
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
- Thời gian hoàn thành: Tháng 12 năm 2011.
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu tài liệu liên quan đến đề tài.
- Quan sát, điều tra.
- Tổng kết kinh nghiệm.
- Lập bảng biểu, thống kê …
3
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
B. NỘI DUNG
I. CƠ SỞ KHOA HỌC
1. Cơ sở lý luận.

* Các công thức biến đổi lượng giác.
a) Công thức cộng:
cos(a - b) = cosacosb + sinasinb ; cos(a + b) = cosacosb - sinasinb
sin(a + b) = sinaccosb + cosasinb ; sin(a - b) = sinacosb - cosasinb

tan tan
tan( )
1 tan .tan
a b
a b
a b
±
± =
m
b) Công thức nhân đôi:
cos2a = cos
2
a - sin
2
a = 2cos
2
a - 1 = 1- 2sin
2
a ; sin2a = 2sinacosa

2
2tan
tan 2 ,
1 tan 2 4 2
a

a a k a k
a
π π π
π
 
= ≠ + ≠ +
 ÷
−
 

c) Công thức hạ bậc:
2
1 cos2
cos
2
a
a
+
=
;
2
1 cos2
sin
2
a
a
−
=
d) Công thức biến đổi:
- Tích thành tổng:

[ ]
1
cos cos cos( ) cos( )
2
a b a b a b= + + −


[ ]
1
sin sin cos( ) cos( )
2
a b a b a b= − − +

[ ]
1
sin cos sin( ) sin( )
2
a b a b a b= + + −
- Tổng thành tích:

cos cos 2cos cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =


cos cos 2sin sin

2 2
a b a b
a b
+ −
− = −

sin sin 2sin cos
2 2
a b a b
a b
+ −
+ =


sin sin 2cos sin
2 2
a b a b
a b
+ −
− =
4
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
* Phương trình lượng giác cơ bản.
a) Phương trình
sinx = a
:
- Trường hợp
1a >
: Phương trình vô nghiệm.

- Trường hợp
1a ≤
:
Phương trình có các nghiệm là:
2
( )
2
x k
k Z
x k
α π
π α π
= +

∈

= − +

với
sin a
α
=
Nếu số thực
α
thỏa mãn điều kiện
2 2
sin a
π π
α
α


− ≤ ≤



=

thì ta viết
arcsina
α
=
. Khi
đó, phương trình có các nghiệm là:
2
( )
2
x k
k Z
x k
π
π π
= +

∈

= − +

arcsina
arcsina

b) Phương trình
cosx = a
:
- Trường hợp
1a >
: Phương trình vô nghiệm.
- Trường hợp
1a ≤
:
Phương trình có các nghiệm là:
2x k
α π
= ± +

( )k Z∈
với
c a
α
=os
Nếu số thực
α
thỏa mãn điều kiện
0
c a
α π
α
≤ ≤


=


os
thì ta viết
arccosa
α
=
. Khi đó,
phương trình có các nghiệm là:
2x k
π
= ± +arccosa
( )k Z∈
c) Phương trình
tanx = a
:
- Điều kiện của phương trình :
2
x k
π
π
≠ +

( )k Z∈
Phương trình có các nghiệm là:
x k
α π
= +

( )k Z∈
với

tan a
α
=
Nếu số thực
α
thỏa mãn điều kiện
2 2
tan a
π π
α
α

− < <



=

thì ta viết
arctana
α
=
. Khi
đó, phương trình có các nghiệm là:
x k
π
= +arctana

( )k Z∈
d) Phương trình

cotx = a
:
- Điều kiện của phương trình :
x k
π
≠

( )k Z∈
Phương trình có các nghiệm là:
x k
α π
= +

( )k Z∈
với
cot a
α
=
5
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Nếu số thực
α
thỏa mãn điều kiện
0
cot a
α π
α
< <



=

thì ta viết
arccota
α
=
. Khi đó,
phương trình có các nghiệm là:
x k
π
= +arccota

( )k Z∈
2. Cơ sở thực tiễn.
Phần lý thuyết về cách giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đặt ẩn
phụ trong sách giáo khoa hiện hành được viết lồng vào cách giải của một phương trình
lượng giác cụ thể nên chưa được tách biệt rõ. Các kiến thức có liên quan về phương
pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác được trình bày khá đơn giản, hệ thống
ví dụ chưa phong phú. Chính vì vậy khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải
phương trình lượng giác các em học sinh còn lúng túng, việc định hướng còn gặp
nhiều khó khăn. Các bài tập trong sách giáo khoa còn ít và không đa dạng nên gây khó
khăn cho học sinh khi ôn tập về dạng toán này đặc biệt là ôn thi Đại học – Cao đẳng.
Qua khảo sát thực tiễn đối với 40 học sinh lớp 11, kết quả đạt được như sau:
Kết quả Số học sinh Tỷ lệ
Điểm giỏi 1 2,5%
Điểm khá 5 12,5%
Điểm trung bình 13 32,5%
Điểm yếu 10 25%
Điểm kém 11 27,5%

II. MÔ TẢ, PHÂN TÍCH CÁC GIẢI PHÁP.
1. ĐẶT ĐIỀU KIỆN VÀ KIỂM TRA ĐIỀU KIỆN.
- Đối với việc giải phương trình lượng giác bước đặt điều kiện cho phương trình là
một bước làm quan trọng không thể bỏ qua, nó quyết định việc tìm ra nghiệm là đúng
hay sai.
- Hầu hết các bài tập ta đều đưa ra điều kiện cụ thể của ẩn. Song một số bài tập ta chỉ
cần đưa ra điều kiện trung gian mà không cần đưa ra điều kiện cụ thể của ẩn vì điều đó
là không cần thiết hoặc phức tạp.
Ví dụ 1: Giải phương trình:

1cot
)sin(cos2
2cottan
1
−
−
=
+ x
xx
xx
(1)
Giải:
6
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Điều kiện :



≠

≠
⇔









≠
≠
≠
≠−
≠+
1cot
02sin
02sin
0cos
0sin
01cot
02cottan
x
x
x
x
x
x
xx

(*)
Với điều kiện (*) :

xxx
xxxxx
x
x
x
x
xx
2sin
1
2sin.cos
)sin21(coscos.sin2.sin
2sin
2cos
cos
sin
2cottan
2
=
−+
=+=+

x
xx
x
sin
sincos
1cot

−
=−
Do đó:
2
2
cos
sincos
sin).sin(cos2
2sin)1( =⇔
−
−
=⇔ x
xx
xxx
x
Kết hợp với điều kiện (*) ta được :
π
π
2
4
kx +−=
,
Zk
∈
Kết luận : Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
2
4
kx +−=

,
Zk ∈
*, Như vậy: Với cách đặt điều kiện dưới dạng điều kiện trung gian (*) đã giúp ta giải
bài toán dễ dàng hơn vì việc tìm ra điều kiện của x thoả mãn (*) khá phức tạp trong
khi giải phương trình ta chỉ cần kiểm tra điều kiện dưới dạng hệ điều kiện (*) là đủ.
- Khi giải phương trình lượng giác thì bước kiểm tra điều kiện cũng là một trong
những bước quan trọng giúp ta định hướng lời giải và tìm ra những nghiệm đúng của
phương trình đã cho.
Bước kiểm tra điều kiện chỉ đơn thuần là so sánh xem ẩn tìm được đã thoả mãn điều
kiện đặt ra hay chưa?
Song với một số bài tập bước kiểm tra điều kiện không chỉ có vậy, nó còn bao gồm
cả việc kiểm tra ẩn và một số yếu tố có liên quan đến ẩn khác nữa có thoả mãn giả
thiết của bài toán đưa ra hay không?
Ví dụ 2: Cho
4
5210
cos
+
=x
với
00
900 << x
. Hãy tìm
x4sin
, từ đó suy ra x.
Giải:
Ta có :
+,
4
526

16
5210
1sin
−
±=
+
−±=x
7
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Vì
00
900 << x
nên
0sin
>
x
do đó
4
526
sin
−
=x
+,
4
5210
cossin22sin
−
== xxx
;

51sincos2cos
22
+=−= xxx
+,
4
5210
2cos2sin24sin
+
== xxx
Như vậy:






+=
=
⇔=
5
2
5
3
2
cos4sin
ππ
π
kx
kx
xx

,
Zk ∈
Vì
00
900 << x
nên




=
=
0
0
30
18
x
x
Nhận thấy:
≠=
2
3
30cos
0
4
5210 +
nên
0
30=x
không thoả mãn.

Kết luận : Phương trình đã cho có một nghiệm là x = 18
0
*, Đối với bài tập này trong quá trình giải phương trình ta đều kiểm tra điều kiện
00
900 << x
. Tuy nhiên: Khi tìm được
x4sin
rồi suy ra x thì chỉ kiểm tra điều kiện
00
900 << x
là chưa đủ vì có
0
30=x
không thoả mãn. Mà ta còn kiểm tra cả điều kiện
≠
0
30cos
4
5210 +
, đây là điều kiện của giá trị lượng giác của x chứ không phải là
điều kiện của x.
2. KẾT HỢP NGHIỆM.
- Giải phương trình lượng giác là một dạng toán khó, nó không chỉ gây cho ta khó
khăn khi tìm điều kiện, tìm phương pháp giải mà một trở ngại thường gặp phải đó là
việc kết hợp nghiệm.
- Với một số bài tập việc tìm điều kiện, tìm phương pháp giải rất đơn giản song việc
kết hợp nghiệm lại khá phức tạp, trong khi câu trả lời về nghiệm của phương trình lại
không thể đưa ra dưới dạng một hệ điều kiện mà trong đó có những giá trị của nghiệm
trùng nhau ở các điều kiện trong hệ đưa ra.
- Để giải quyết khó khăn trên ta sử dụng một công cụ rất hữu hiệu đó là đường tròn

lượng giác, người giải chỉ cần nắm rõ quy tắc biểu diễn cung lượng giác trên đường
tròn lượng giác.
8
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Ví dụ 3: Giải phương trình:
03sincos =+ xx
(2)
Giải:
+, Trường hợp 1:
0cos ≥x

π
ππ
π
2
22
2 kxk +<<−⇔
(*) ,
Zk ∈

Với điều kiện (*), phương trình (2) trở thành :







−−=

+−=
⇔






=−
=+
⇔=+−⇔=+
28
4
0)2
4
cos(
0)
4
sin(
03sin)
2
sin(03sincos
ππ
π
π
π
π
π
nx
lx

x
x
xxxx
,(
Znl ∈,
)
Kết hợp với (*) ta được









+=
+−=
+−=
π
π
π
π
π
π
2
8
3
2
8

2
4
mx
mx
mx
,
Zm ∈

+, Trường hợp 2:
0cos
<
x
π
π
π
π
2
2
3
2
2
kxk +<<+⇔
(**) ,
Zk
∈

Với điều kiện (**), phương trình (2) trở thành :








+=
+=
⇔






=+
=−
⇔=+−⇔=+−
28
4
0)
4
cos(
0)
4
2sin(
03sin)
2
sin(03sincos
ππ
π
π

π
π
π
nx
lx
x
x
xxxx
, (
Znl ∈,
)
Kết hợp với (**) ta được









+=
+=
+=
π
π
π
π
π
π

2
8
10
2
8
9
2
8
5
mx
mx
mx
,
Zm ∈

Kết Luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
2
4
kx +−=
,

π
π
2
8
kx +−=
,
π

π
2
8
3
kx +=
,
π
π
2
8
5
kx +=
,
π
π
2
8
9
kx +=
,
π
π
2
4
5
kx +=
,
Zk ∈

9

Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
*, Qua bài tập này ta thấy việc định hướng và tìm ra lời giải tương đối dễ dàng song
việc tìm ra nghiệm của phương trình thì phức tạp hơn nhiều và ta phải sử dụng đường
tròn lượng giác để kết hợp nghiệm trong từng trường hợp và tìm ra nghiệm cuối cùng
của phương trình.
3. SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH
LƯỢNG GIÁC.
Khi giải phương trình lượng giác ta thường gặp một số các phép đặt ẩn phụ sau:
1. Đặt
2
tan
x
t =
khi phương trình có dạng
0)cos,(sin =xxf
2. Đặt
xt tan=
khi phương trình có dạng
0)2sin,(sin
2
=xxf
3. Đặt
xxt cottan +=
,
2≥t
khi phương trình đã cho là phương trình đối xứng của
xtan
và
xcot

4. Đặt
xt sin=
,
1≤t
khi phương trình có dạng
0)2cos,(sin =xxf
5. Đặt
xt cos=
,
1≤t
khi phương trình có dạng
0)2cos,(cos =xxf
6. Đặt
xt 2cos=
,
1≤t
khi phương trình có dạng
0)cos,(sin =xxf
nm
7. Đặt
x
t
cos
1
=
,
1≥t
khi phương trình có dạng
0)tan,
cos

1
(
2
=x
x
f
8. Đặt
x
t
sin
1
=
,
1≥t
khi phương trình có dạng
0)cot,
sin
1
(
2
=x
x
f
9. Đặt
xxt cossin
±=
,
2≤t
khi phương trình có dạng
0)2sin,cos(sin =± xxxf

10. Đặt
)(
1
)(
xf
xft ±=
khi phương trình có dạng

0)
)(
1
)(,
)(
1
)((
2
2
=±±
xf
xf
xf
xfg
Ví dụ 4: Giải phương trình:
021cos.sin2)cos)(sin12( =−+++− xxxx
(3)
Giải:
Đặt
xxt cossin
+=
,

2≤t
thì
1cos.sin2
2
−= txx
Khi đó : phương trình (3) trở thành




−=
=
⇔=−−−
2
1
02)12(
2
t
t
tt
( thoả mãn )
10
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Với
1
=
t
ta có :





+=
+=
⇔=−⇔=+
ππ
π
π
π
2
2
1)
4
cos(21cossin
kx
kx
xxx
,
Zk
∈
Với
2−=t
ta có :
π
ππ
2
4
5
2)

4
cos(22cossin kxxxx +=⇔−=−⇔−=+
,
Zk ∈
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
kx +=
2
,
ππ
kx
+=
,
π
π
2
4
5
kx +=
,
Zk
∈
*, Qua ví dụ trên ta thấy với phương pháp đặt ẩn phụ , đặt
xxt cossin +=
(
2≤t
) thì
bài toán trở nên đơn giản và dễ giải hơn.
Tuy nhiên: Khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ thì một số phếp biến đổi là không

tương đương, do đó sau khi tìm được giá trị của ẩn phụ ta cần phải kiểm tra lại điều
kiện. Và một điều cần chú ý nữa là : Khi sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ ta cần phải
chỉ ra điều kiện đối với ẩn phụ, việc làm này rất quan trọng vì nó giúp ta giải bài toán
nhanh hơn khi loại được một số giá trị không phù hợp và đặc biệt là đối với các bài
toán giải và biện luận thì nó giúp ta định hướng đúng và có câu trả lời chính xác.
Ví dụ 5: Tìm điều kiện của tham số để phương trình sau có nghiệm?

02sin)cos(sin2
2
=−−+ axxxa
(4) (a là tham số)
Giải:
Đặt
xxt cossin +=
,
2≤t
thì
12sin
2
−= tx
Khi đó: phương trình (4) trở thành
012
22
=−+− aatt
(4’)
Ta có :
01>=∆
nên phương trình (4’) có 2 nghiệm là




+=
−=
1
1
at
at
Phương trình (4) có nghiệm
1212
212
212
2 +≤≤−−⇔




≤+≤
≤−≤−
⇔≤⇔ a
a
a
t
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm khi
1212 +≤≤−− a

*, Qua ví dụ trên ta thấy, điều kiện của ẩn phụ có vai trò rất lớn trong quá trình giải
quyết bài toán, nó giúp ta có lời giải chính xác và đầy đủ. Như vậy: nếu ta không đưa
ra điều kiện
2≤t
thì việc trả lời câu hỏi “điều kiện để phương trình có nghiệm?”

gặp rất nhiều khó khăn vì ta phải đưa về dạng phương trình lượng giác cơ bản để giải
quyết tiếp.
11
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
*, MỘT SỐ BÀI TẬP :
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1,
01cos2sin3 =−+ xx
Giải:
Nhận thấy
ππ
2kx +=
không phải là nghiệm của phương trình
Đặt
2
tan
x
t =
thì
2
1
2
sin
t
t
x
+
=
;

2
2
1
1
cos
t
t
x
+
−
=
Khi đó: phương trình đã cho trở thành







+
=
−
=
⇔=−−
3
323
3
323
0163
2

t
t
tt
Với
3
323−
=t
thì
3 2 3 3 2 3
tan 2arctan 2 ,
2 3 3
x
x k k Z
π
− −
= ⇔ = + ∈
Với
3
323 +
=t
thì
3 2 3 3 2 3
tan 2arctan 2 ,
2 3 3
x
x k k Z
π
+ +
= ⇔ = + ∈
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là

3 2 3
2arctan 2
3
x k
π
−
= +
,
3 2 3
2arctan 2 ,
3
x k k Z
π
+
= + ∈
2,
3)sin(cos3)1(tansin
2
+−=+ xxxx
(2)
Giải:
Điều kiện :
0cos
≠
x

π
π
kx +≠⇔
2

(*) ,
Zk
∈
Chia cả hai vế của phương trình (2) cho
x
2
cos
, ta được :

x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
22
2
cos
1
.3)
cos
sin
cos
cos
.(
cos

sin
.3)1.(tan
cos
sin
+−=+

)tan1(3)tan1(tan3)1(tantan
22
xxxxx ++−=+⇔
(2’)
Đặt
xt tan=
thì phương trình (2’) trở thành






−=
=
−=
⇔=−−+
3
3
1
033
23
t
t

t
ttt
12
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Khi đó :









+−=
+=
+−=
⇔





−=
=
−=
π
π
π

π
π
π
nx
nx
nx
x
x
x
3
3
4
3tan
3tan
1tan
,
Zn
∈
( thoả mãn điều kiện (*) )
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
kx +−=
4
,
π
π
kx +=
3
,

π
π
kx +−=
3
,
Zk ∈
3,
01cos22cos
2
=+−− xx
(3)
Giải:
Ta có :
01cos401cos21cos2)3(
222
=−⇔=+−+−⇔ xxx
(3’)
Đặt
xt cos=
,
1≤t
thì phương trình (3’) trở thành







−=

=
⇔=−
2
1
2
1
014
2
t
t
t
( thoả mãn )
Khi đó :






+±=
+±=
⇔






−=
=

π
π
π
π
2
3
2
2
3
2
1
cos
2
1
cos
kx
kx
x
x
,
Zk
∈

Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
2
3
kx +±=
,

π
π
2
3
2
kx +±=
,
Zk ∈
4,
03)cos(sin222sin =−−+ xxx
(4)
Giải:
Đặt
xxt cossin −=
,
2≤t
thì
2
12sin tx −=
Khi đó : phương trình (4) trở thành
20222
2
=⇔=+− ttt
Với
2=t
thì
π
ππ
2
4

3
2)
4
sin(22cossin kxxxx +=⇔=−⇔=−
,
Zk ∈

Kết luận : Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
2
4
3
kx +=
,
Zk
∈
5,
52cos52sin2
2
+= xx
(5)
Giải:
Ta có :
032cos52cos252cos5)2cos1(2)5(
22
=++⇔+=−⇔ xxxx
(5’)
13
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác

Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
Đặt
xt 2cos
=
,
1≤t
thì phương trình (5’) trở thành





−=
−=
⇔=++
2
3
1
0352
2
t
t
tt

Với
1
−=
t
ta có :
π

π
kxx +=⇔−=
2
12cos
,
Zk
∈
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
kx +=
2
,
Zk ∈
6,
0
2
3
)
4
3sin().
4
cos(sincos
44
=−−−++
ππ
xxxx
(6)
Giải:
Ta có :

022sin2sin0
2
3
)4cos2(sin
2
1
cossin21)6(
222
=−+⇔=−−+−⇔ xxxxxx
(6’)
Đặt
xt 2sin
=
,
1≤t
thì phương trình (6’) trở thành




−=
=
⇔=−+
2
1
02
2
t
t
tt

Với
1
=
t
ta có :
π
π
kxx +=⇔=
4
12sin
,
Zk
∈
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
kx +=
4
,
Zk ∈
7,
04cot3tan3cottan
22
=++++ xxxx
(7)
Giải:
Điều kiện:
2
π

kx ≠
(*)
Đặt
xxt cottan +=
,
2≥t
thì
2cottan
222
−=+ txx
Khi đó : phương trình (6) trở thành




−=
−=
⇔=++
2
1
023
2
t
t
tt
Với
2−=t
ta có :

π

π
mxx
x
xx +−=⇔−=⇔−=⇔−=+
4
12sin1
2sin
2
1
1
2cottan
,
Zm∈
(thoả mãn (*) )
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
kx +−=
4
,
Zk ∈
14
(thoả mãn)
(loại)
(loại)
(thoả mãn)
(thoả mãn)
(loại)
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai

8,
17)sin1(sin
44
=−+ xx
(8)
Giải:
Đặt
2
1
sin −= xt
,
2
1
2
3
≤≤− t
thì
2
1
sin += tx
Khi đó : phương trình (8) trở thành







−=
=

⇔=−+⇔=−++
2
3
2
3
0135241617)
2
1
()
2
1
(
2444
t
t
tttt

Với
2
3
−=t
ta có :
π
π
2
2
1sin
2
3
2

1
sin kxxx +−=⇔−=⇔−=−
,
Zk ∈
Kết luận: Phương trình đã cho có các nghiệm là
π
π
2
2
kx +−=
,
Zk
∈
Bài 2: Tìm a để phương trình sau có nghiệm trên khoảng
)
12
;0(
π
:

xaxx
22
sin3cos4cos +=
(1) (a là tham số)
Giải:
Ta có :
032cos)3(2cos42cos4)1(
23
=++++−⇔ axaxx
(1’)

Đặt
xt 2cos
=
,
1≤t
thì phương trình (1’) trở thành





+
=
=
⇔=++++−
4
3
1
03)3(44
2
23
a
t
t
atatt

Với
1
=
t

: Phương trình (1) không có nghiệm
∈x
)
12
;0(
π
Với
4
3
2
+
=
a
t
: Ta thấy
∈x
)
12
;0(
π
thì
)1;
2
3
(2cos ∈x

do đó: Phương trình (1’) có nghiệm trên khoảng
)
12
;0(

π


101
4
3
4
3
1
4
3
2
<<⇔<
+
<⇔<<⇔ a
a
t
Kết luận: Phương trình đã cho có nghiệm trên khoảng
)
12
;0(
π
khi 0 < a < 1
Bài 3: Tìm m để phương trình sau có đúng 3 nghiệm trên khoảng
);0(
π
15
(loại)
(thoả mãn)
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác

Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai

012)cos(sin222sin2 =+++− mxxmx
(1) (m là tham số)
Giải:
Đặt
)
4
sin(2cossin
π
+=+= xxxt
,
2≤t
thì
12sin
2
−= tx
Khi đó : phương trình (1) trở thành







−=
=
⇔=−+−
)12(
2

2
2
2
012222
2
mt
t
mtmt
Với
2
2
=t
thì phương trình (1) có 1 nghiệm trên
);0(
π
là
12
7
π
=x
Với
)12(
2
2
−= mt
thì
)
4
sin(2
π

+x
=
⇔− )12(
2
2
m
)
4
sin(
π
+x
=
)12(
2
1
−m
(1’)
Như vậy: phương trình (1) có đúng 3 nghiệm trên
);0(
π

⇔
phương trình (1’) có đúng 2 nghiệm khác
12
7
π
trên
);0(
π
Ta thấy :

∈x
);0(
π
thì
)
4
sin(
π
+x
]
1;
2
2
(−∈
và
12
7
π
=x
thì
2
2
=t
do đó: phương trình (1’) có đúng 2 nghiệm khác
12
7
π
trên
);0(
π






≠
≤<
−
⇔





≠−
≤−<−
⇔
1
2
3
2
21
112
1)12(
2
1
2
2
m

m
m
m
Kết luận: Phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm trên khoảng
);0(
π
khi





≠
≤<
−
1
2
3
2
21
m
m
16
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
III. KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
Chuyên đề được áp dụng vào giảng dạy ở lớp tôi đã đạt được kết quả khá tốt:
- 100% học sinh nắm được thể loại và yêu cầu của đề bài.
- 100% học sinh nắm được phương pháp đặt ẩn phụ khi giải phương trình lượng giác.
- 90% học sinh đạt điểm kiểm tra từ trung bình trở lên và không có học sinh đạt

điểm kém.
Cụ thể kết quả kiểm tra của 40 em học sinh như sau:
Kết quả Số học sinh Tỷ lệ
Điểm giỏi 8 20%
Điểm khá 15 37,5%
Điểm trung bình 13 32,5%
Điểm yếu 4 10%
17
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
C. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
- Trên đây là một vài trao đổi nhỏ của tôi về phương pháp đặt ẩn phụ khi giải
phương trình lượng giác thông qua một số ví dụ và bài tập. Qua đó học sinh đã phần
nào nắm được lý thuyết và hình thành được kỹ năng giải phương trình lượng giác bằng
phương pháp đặt ẩn phụ để từ đó vận dụng tốt vào việc giải quyết các bài tập. Tuy
nhiên, để làm tốt dạng toán này học sinh cần nắm vững lý thuyết, có kỹ năng biến đổi
lượng giác nhằm đưa phương trình về dạng quen thuộc có thể đặt được ẩn phụ. Hy
vọng chuyên đề này có thể đóng góp một phần vào việc ôn tập có hệ thống và phát huy
được khả năng sáng tạo của các em học sinh .
- Trên đây là một vấn đề trong lượng giác mà tôi muốn đề cập đến và điều mà tôi
muốn làm rõ là phương pháp tìm lời giải cho một bài toán giúp cho các em học toán
nhẹ nhàng hơn, thú vị hơn và sáng tạo hơn.Qua đúc rút những kinh nghiệm trong
giảng dạy các đối tượng học sinh tôi đã áp dụng và chủ quan đánh giá là học sinh tiếp
nhận tương đối tốt và phần nào đã đạt được những kết quả nhất định. Tuy nhiên, với
kinh nghiệm giảng dạy còn chưa nhiều và kiến thức là vô tận nên trong khuôn khổ hạn
hẹp của chuyên đề này chắc chắn sẽ còn thiếu sót, tôi rất mong nhận được những đóng
góp của tổ chuyên môn, các bạn đồng nghiệp và cả các em học sinh.
Xin cảm ơn mọi ý kiến phê bình và đóng góp.
Tôi sẽ vẫn tiếp tục hoàn thiện các vấn đề đã nêu và sẽ có các ý tưởng mới.
D. TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. SGK và SBT ĐSGT lớp 11.
2. Phân loại và phương pháp giải toán lượng giác 11.
Tác giả: Lê Mậu Thống, Trần Đức Huyên, Lê Mậu Thảo.
3. Các chuyên đề luyện thi vào đại học lượng giác.
Tác giả: Trần Văn Hạo (chủ biên), Nguyễn Cam , Nguyễn Mộng Hy, Trần Đức
Huyên , Cam Duy Lễ, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Vũ Thanh.
4. Toán nâng cao lượng giác.
Tác giả: Phan Huy Khải
5. Tạp chí Toán học và tuổi trẻ, các đề thi ĐH và một số tài liệu khác.
18
Sử dụng PP đặt ẩn phụ để giải PT lượng giác
Vũ Thị Kim Oanh - THPT số 2 TP Lào Cai
E. MỤC LỤC
Trang
A. Mở đầu 2
I. Lí do chọn đề tài 2
II. Mục đích nghiên cứu 2
III. Đối tượng nghiên cứu 2
IV. Đối tượng khảo sát, thực nghiệm 2
V. Phạm vi và kế hoạch nghiên cứu 2
VI. Phương pháp nghiên cứu 3
B. Nội dung 4
I. Cơ sở khoa học 4
1. Cơ sở lí luận 4
2. Cơ sở thực tiễn 6
II. Mô tả, phân tích các giải pháp 6
1. Đặt điều kiện và kiểm tra điều kiện. 6
2. Kết hợp nghiệm. 9
3. Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình lượng giác . 10
III. Kết quả nghiên cứu 17

C. Kết luận và kiến nghị 18
D. Tài liệu tham khảo 18
Lào Cai, ngày 20 tháng 12 năm 2011
Người viết
Vũ Thị Kim Oanh

19