HÌNH HỌC 11_ ÔN TẬP QUAN HỆ VUÔNG GÓC

Quan hệ vuông góc trong không gian
Bài giảng số 7: ÔN TẬP TỔNG HỢP
A. KIẾN THỨC TRỌNG TÂM
 Định lý: Nếu đường thẳng


d
vuông góc với hai đường
thẳng cắt nhau
a
và
b
nằm trong mặt phẳng


P
thì nó
vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong


P
.
 Định lý ba đường vuông góc: Cho đường thẳng
a
có hình
chiếu trên mặt phẳng


P
là đường thẳng
a


. Khi ấy, một
đường thẳng
b
nằm trong


P
vuông góc với
a
khi và chỉ
khi nó vuông góc với
a

.
Tức là:


a b P a b

   
.
 Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian
Định nghĩa: Góc giữa hai đường thẳng
a
,
b
là góc giữa hai đường thẳng
a


,
b

cùng đi qua một
điểm và lần lượt song song với
a
và
b
.
Chú ý:
a. Để xác định góc


,
a b
ta có thể lấy điểm
O
nằm ngay trên
một trong hai đường thẳng đó.
b. Nếu
u

,
v

theo thứ tự là các vectơ chỉ phương của các đường
thẳng
a
,
b

và


,u v


 
thì góc giữa hai đường thẳng
a
và
b
bằng

hoặc
0
180


tùy theo
0
90


hoặc
0
90


.
 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa: Góc giữa đường thẳng
a
và mặt phẳng


P
là góc
giữa đường thẳng
a
và hình chiếu
a

của nó trên


P
, kí hiệu là




,
a P
hay




,
P a

.
b
a'
a

P
a
b
c
d
O
a
b b'
a'
Quan hệ vuông góc trong không gian
Đặc biệt:
o Khi
a
thuộc


P
hoặc
a
song song với


P
thì





0
, 0
a P

.
o Khi
a
vuông góc với


P
thì




0
, 90
a P  .
Như vậy, ta luôn có




0 0
0 , 90
a P  .

 Góc giữa hai mặt phẳng
Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng
lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng đó.
Đặc biệt: Khi


P
và


Q
trùng nhau hoặc song song với nhau thì


0
, 0
a b

.
Nhận xét: Với hai mặt phẳng


P
và


Q
cắt nhau theo giao
tuyến



d
, để tính góc giữa chúng, ta chỉ việc xét một mặt phẳng


R
vuông góc với


d
lần lượt cắt


P
và


Q
theo các giao
tuyến
a
và
b
. Lúc đó góc giữa


P
và



Q
bằng góc giữa hai
đường thẳng
a
và
b
.
 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.
Định lý: Cho hai đường thẳng chéo nhau
a
và
b
, luôn có duy nhất một đường thẳng
d
cắt cả
a
và
b
, và vuông góc với mỗi đường thẳng ấy. Đường thẳng
d
được gọi là đường vuông góc chung của
a
và
b
.
Định nghĩa: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai
đường thẳng đó.
B. CÁC VÍ DỤ MẪU
Ví dụ 1: Cho hình chóp
SABC

có


SA ABC
 , các tam giác
ABC

và
SBC

không vuông. Gọi
H
và
K
lần lượt là trực tâm của các tam giác
ABC

và
SBC

. Chứng minh rằng:
a)
AH
,
SK
,
BC
đồng quy.
b)



SC BHK
 .
c)


HK SBC
 .
Giải:
a) Gọi


E AH BC
  , ta có:
BC AE
BC SA







BC SAE
 
BC SE
 
SE

là đường cao của

SBC

K SE
 
.
C
B
A
S
H
E
K
a'
a
O
P
b
a
P
Q
Quan hệ vuông góc trong không gian
Vậy ba đường thẳng
AH
,
SK
,
BC
đồng quy tại
E
.

b) Ta có:
BH AC
BH SA







BH SAC
 
BH SC
 
.
Mặt khác, ta có:
BK SC

.
Do đó


SC BHK
 .
c) Do


SC BHK
 nên
HK SC


.
Mà
HK BC

.
Do đó


HK SBC
 .
Ví dụ 2: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình vuông tâm
O
,
SA
vuông góc với mặt phẳng


ABCD
. Gọi
H
,
I
,
K

lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm
A
trên
SB
,
SC
,
SD
.
a) Chứng minh rằng


BC SAB
 ,


CD SAD
 .
b) Chứng minh rằng


SAC
là mặt phẳng trung trực của đoạn
BD
.
c) Chứng minh rằng
AH
,
AK
cùng vuông góc với

SC
. Từ đó suy ra ba thẳng
AH
,
AI
,
AK
cùng
chứa trong một mặt phẳng.
d) Chứng minh rằng


SAC
là mặt phẳng trung trực của đoạn
HK
. Từ đó suy ra
HK AI

.
e) Tính diện tích tứ giác
AHIK
, biết
SA AB a
 
.
Giải:
a) Từ giả thiết
SA BC
 
.

Mặt khác, ta có:
AB BC

vì
ABCD
là hình vuông.
Suy ra


BC SAB
 .
Chứng minh tương tự ta được


CD SAD
 .
b) Từ giả thiết


SA ABCD

SA BD
 
.
Mặt khác, ta có:
AC BD

vì
ABCD
là hình vuông.

Do đó


BD SAC
 tại trung điểm
O
của
BD
.
Vậy


SAC
là mặt phẳng trung trực của đoạn
BD
.
c) Từ giả thiết và kết hợp với kết quả câu a), ta được:
AH SB
AH BC







AH SBC
 
AH SC
 

.
Chứng minh tương tự ta được
AK SC

.
Như vậy, vì
AH
,
AI
,
AK
cùng vuông góc với
SC
nên ba đường thẳng
AH
,
AI
,
AK
cùng chứa trong
một mặt phẳng qua
A
và vuông góc với
SC
.
d) Giả sử
HK
cắt
AI
tại

E
.
Nhận xét rằng:


. .
SAB SAD c g c

 
SH SK
 
.
Trong
SBD

, ta có:
SH SK
SB SD

HK BD


và
E
là trung điểm của
HK
.
Kết hợp với kết quả ở câu a), suy ra



HK SAC
 tại trung điểm
E
của
HK
.
B
C
A
D
S
O
K
H
I
E
Quan hệ vuông góc trong không gian
Vậy


SAC
là mặt phẳng trung trực của đoạn
HK
.
Từ kết quả


HK SAC
 suy ra
HK AI


.
e) Ta có:
1
.
2
AHIK
S AI HK
 .
Trong
SAC

vuông tại
A
, ta được:
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
2
AI SA AC a a
   
6
3
a
AI  .
Trong
SBD

, ta được:
1
2

SH SK
SB SD
 
HK

là đường trung bình
2
2
a
HK  .
Vậy
2
1 6 2 3
. .
2 3 2 6
AHIK
a a a
S   .
Ví dụ 3: Cho
ACD

và
BCD

nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau,
AC AD BC BD a
   
và
2
CD x


. Gọi
I
,
J
theo thứ tự là trung điểm của
AB
và
CD
.
a) Chứng minh rằng
IJ
vuông góc với
AB
và
CD
.
b) Tính
AB
và
IJ
theo
a
và
x
.
c) Xác định
x
sao cho





ABC ABD
 .
Giải:
a) Xét
ACD

và
BCD

, ta có:
CD chung
AC AD BC BD


  


AJ BJ
 
JAB


cân tại
J
IJ AB
 
.

Xét
CAB

và
DAB

, ta có:
AB chung
AC AD BC BD


  

DI CI
 
ICD


cân tại
I
IJ CD
 
.
b) Trong
AJC

vuông tại
J
, ta có:
2 2 2 2 2

AJ AC CJ a x
   
2 2
AJ a x
  
.
Nhận xét rằng:




   
ACD BCD
ACD BCD CD
AJ CD



 






AJ BCD
 
AJ BJ
 
.

Trong
AJB

vuông cân tại
J
, ta có:


2 2
2 2
AB AJ a x
  
và


2 2
2
2 2
a x
AB
IJ

  .
c) Nhận xét rằng:




ABC ABD AB
DI AB

  





Do đó, để




ABC ABD
 điều kiện là:


DI ABC

DI CI
 
ICD


vuông tại đỉnh
I
C
B
D
A
I
J

Quan hệ vuông góc trong không gian
1
2
IJ CD
 


2 2
2
1
.2
2 2
a x
x

 
3
a x
  .
Vậy với
3
a x
 thì hai mặt phẳng


ABC
và


ABD

vuông góc với nhau.
Ví dụ 4: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là một hình thoi tâm
I
cạnh
a
và có

0
60
A 
, cạnh
6
2
a
SC  và
SC
vuông góc với mặt phẳng


ABCD
.
a) Chứng minh





SBD SAC
 .
b) Trong
SCA

kẻ
IK SA

tại
K
. Hãy tính độ dài
IK
.
c) Chứng minh

0
90
BKD 
và từ đó suy ra




SAB SAD
 .
Giải:
a) Ta có:
 
BD AC

BD SAC
BD SC


 







SBD SAC
  .
b) Trong
ABD

có

0
60
A 
nên nó là tam giác đều, do đó
BD a

,
3
2
a
AI 

3
AC a
  .
Trong
SAC

vuông tại
C
, ta có:
 
2
2
2
2 2 2
6 9
3
2 2
a a
SA SC AC a
 
    
 
 
 
3 2
2
a
SA  .
Vì hai tam giác
AKI

và
ACS
đồng dạng nên
IK AI
SC SA

.
2
SC AI a
IK
SA
  
.
c) Trong
KBD

trung tuyến
KI
thỏa mãn:
1
2
KI BD

KBD


vuông tại
K

0

90
BKD 
.
Ta có:
SA BD
SA IK







SA KBD
 
SA KB
SA KD















0
, , 90
SAB SAD KB KD  




SAB SAD
  .
Ví dụ 5: Cho hình chóp .
S ABC
có
SA SB SC AB AC a
    
và
2
BC a
 . Tính góc giữa hai
đường thẳng
SC
và
AB
.
Giải:
Cách 1: Gọi
M
,
N
,

P
theo thứ tự là trung điểm của
SA
,
SB
,
AC
.
Khi đó, ta nhận thấy:
MP SC
MN AB









, ,
SC AB MP MN
  .
A
D
B
C
S
I
K

B
C
A
S
M
N
P
Quan hệ vuông góc trong không gian
Trong
MNP

, ta có:

2 2 2
cos
2 .
MN MP NP
NMP
MN MP
 
 .
Ta lần lượt có:
1
2 2
a
MN AB
 
(vì
MN
là đường trung bình),

1
2 2
a
MP SC
 
(vì
MP
là đường trung bình).
Trong
SBP

, theo định lý đường trung tuyến ta có:
2
2 2 2
2
2
SB
PB PS NP   .
Nhận xét rằng:
- Vì
ABC

vuông tại
A



2 2 2
ó
c AB AC BC

  nên:
2 2
2 2 2 2
5
4 4
a a
PB AB AP a     .
- Vì
SAC

đểu


ó
c SA SC AC a
  
nên
3
2
a
PS  .
Do đó
3
2
a
NP 

1
cos
2

NMP
  

0
120
NMP 
.
Vậy góc giữa hai đường thẳng
SC
và
AB
bằng
0 0 0
180 120 60
 
.
Cách 2: Ta đi tính góc giữa hai vectơ
SC

và
AB

, ta có:
 


.
. . .
cos ,
. .

.
SA AC AB
SC AB SA AB AB AB
SC AB
SC AB SC AB
SC AB


  
  
     
 
 
.
Trong đó:
- Vì
SAB

đều


ó
c SA SB AB a
  
nên:

 
2
0 0
. . .cos 180 . .cos120

2
a
SA AB SA AB SAB a a
    
 
.
- Vì
ABC

vuông tại
A



2 2 2
ó
c AB AC BC
  nên
. 0
AC AB

 
.
Từ đó ta được:
 
2
2
0
1
2

cos ,
2
a
SC AB
a
 
  
 


0
, 120
SC AB 
 
.
Vậy góc giữa hai đường thẳng
SC
và
AB
bằng
0 0 0
180 120 60
 
.
Cách 3: Ta đi tính góc giữa hai vectơ
SC

và
AB


, ta có:
 


.
. . .
cos ,
. .
.
SC SB SA
SC AB SC SB SC SA
SC AB
SC AB SC AB
SC AB


  
  
     
 
 
.
Trong đó:
- Vì
SBC

vuông tại
S




2 2 2
ó
c SB SC BC
  nên
. 0
SC SB

 
.
- Vì
SAC

đểu


ó
c SA SC AC a
  
nên

2
0
. . .cos . .cos60
2
a
SC SA SC SA ASC a a  
 
.
Quan hệ vuông góc trong không gian

Từ đó ta được:
 
2
2
0
1
2
cos ,
2
a
SC AB
a

  
 


0
, 120
SC AB 
 
.
Vậy góc giữa hai đường thẳng
SC
và
AB
bằng
0 0 0
180 120 60
 

.
Ví dụ 6: Cho hình chóp .
S ABC
, đáy
ABC
là tam giác vuông tại
A
,
BC a

,
3
2
a
SA SB SC   .
a) Tính khoảng cách từ
S
tới mặt phẳng


ABC
.
b) Tính góc giữa đường thẳng
SA
và mặt phẳng


ABC
.
Giải:

a) Gọi
O
là trung điểm của
BC
, suy ra
O
là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC

.
Ngoài ra, theo giả thiết ta có
SA SB SC
 
nên
SO
là trục đường tròn
của
ABC

, suy ra


SO ABC
 và




,
SO d S ABC

 .
Trong
SAO

vuông tại
O
, ta có:
1
2 2
a
OA BC
 
(trung tuyến thuộc
cạnh huyền)
2
2
2
2 2 2
3
2 2 2
a a a
SO SA OA
 
 
    
 
 
 
 
 

2
2
a
SO  .
b) Vì


SO ABC
 nên
OA
là hình chiếu vuông góc của
SA
trên


ABC
, do đó
 



,
SA ABC SAO

.
Trong
SAO

vuông tại
O

, ta có:

3
2
cos
3
3
2
a
OA
SAO
SA
a
   .
Vậy ta được
 
 
3
cos ,
3
SA ABC  .
Ví dụ 7: Cho hình chóp .
S ABCD
có đáy
ABCD
là nửa lục giác đều nội tiếp đường tròn đường kính
2
AB a

,

3
SA a
 và vuông góc với mặt phẳng


ABCD
.
a) Tính góc giữa hai mặt phẳng


SAD
và


SBC
.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng


SBC
và


SCD
.
Giải:
a) Ta có thể lựa chọn theo một trong hai cách trình bày sau:
Cách 1: Dựng góc dựa trên giao tuyến. Giả sử
AD BC E
 





SAD SBC SE
   .
B
A
C
S
O
B
E
A
S
D
C
F
O
Quan hệ vuông góc trong không gian
Nhận xét rằng:
AD BD

vì
ABCD
là nửa lục giác đều,
SA BD


Suy ra



BD SAD

BD SE
 
. Hạ
DF SE F
 
, suy ra


BDF SE
 .
Như vậy, ta được một góc phẳng giữa hai mặt phẳng


SAD
và


SBC
là

BFD
.
Vì
ABE

đều nên

2
AE AB a
 
và vì
CDE

đều nên
DE CD a
 
.
Trong
SAE

vuông tại
A
, ta có:


 
2
2
2 2 2 2
3 2 7
SE SA AE a a a
    
7
SE a
  .
Hai tam giác vuông
SAE


và
DEF

có chung góc

E
nên chúng đồng dạng, suy ra:
DF DE
SA SE

. 3. 21
7
7
SA DE a a a
DF
SE
a
    .
Trong
ABD

vuông tại
A
, ta có:

0
.sin 2 .cos60 3
BD AB BAD a a
  

.
Trong
BDF

vuông tại
D
, ta có:

3
tan 7
21
7
BD a
BFD
DE
a
  

BFD

nhọn.
Vậy ta được






tan , 7
SAD SBC  .

Cách 2: Nhận xét rằng:
AD BD

vì
ABCD
là nửa lục giác đều,
SA BD


Suy ra


BD SAD
 .
Trong


SAC
, hạ
AJ SC

tại
J
, ta có:
BC AC

vì
ABCD
là nửa
lục giác đều,

BC SA


Suy ra


BC SAC

BC AJ
 


AJ SBC
  .
Trong


SAC
hạ
OK SC

tại
K
, suy ra
OK AJ

.
Do đó
   



   

, , ,
SAD SBC BD AJ BD OK KOB
  
.
Trong nửa lục giác đều
ABCD
, ta có:
2 3 3
.
3 2 3
a a
OC   ,
3 1 3 2 3
.
2 3 2 3
a a a
OB    .
Trong
SAC

vuông tại
A
, ta có:
 


 

2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
3 4 6
SC SA AC SA AB BC a a a a
        
6
SC a
  .
Hai tam giác vuông
SAC

và
OKC

có chung góc nhọn

C
nên chúng đồng dạng, suy ra:
OK OC
SA SC

3
3.
. 6
3
6
6
a
a
SAOC a

OK
SC
a
    .
Trong
KOB

vuông tại
K
, ta có:

6
2
6
cos
4
2 3
3
a
OK
KOB
OB
a
   .
B
A
S
D
C
K

O
J
Quan hệ vuông góc trong không gian
Vậy ta được
   
 
2
cos ,
4
SAD SBC  .
b) Trong


SAC
, hạ
AJ SC

tại
J
, ta có:
BC AC

vì
ABCD
là
nửa lục giác đều,
BC SA


Suy ra



BC SAC

BC AJ
 


AJ SBC
  .
Hạ
AH CD

tại
H
, suy ra:
CD AH
CD SA







CD SAH
 





SCD SAH
  và




SCD SAH SH
  .
Hạ
AI SH

tại
I
, suy ra


AI SCD
 .
Do đó
   



,
SCD SBC IAJ

.
Trong
SAH


vuông tại
A
, ta có:
3
2
a
AH  và
 
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 5
3
33
2
AI SA AH a
aa
    
 
 
 
15
5
a
AI  .
Trong
SAC

vuông tại
A

, ta có:
3
AC SA a
 
1 2 6
2 2 2
SA a
AJ SC    .
Trong
AIJ

vuông tại
I
, ta có:

15
10
5
cos
5
6
2
a
AI
IAJ
AJ
a
   .
Vậy ta được
   

 
10
cos ,
5
SCD SBC  .
Ví dụ 8: Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi tâm
O
, cạnh
a
, góc

0
60
A 
và có đường
cao
SO a

.
a) Tính khoảng cách từ
O
đến


SBC

.
b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
AD
và
SB
.
Giải:
a) Hạ
OI BC

và kéo dài
OI
cắt
AD
tại
J
.
B
A
S
D
C
O
J
H
I
B
C
A
D

S
O
J
I
H
Quan hệ vuông góc trong không gian
Ta có:
BC OI
BC SO







BC SOI
 




SBC SOI
  và




SBC SOI SI
 

.
Hạ
OH SI



OH SBC
  . Vậy
OH
là khoảng cách từ
O
đến


SBC
.
Với hình thoi
ABCD
, ta có:
BD a

vì
ABD

đều
2
a
OB
 
,

3
2 2. 3
2
a
AC AO a
   .
Trong
OBC

vuông tại
O
, ta có:
 
2 2
2 2 2 2
1 1 1 1 1 13
3
3
2
OI OB OC a
a
a
    
 
 
 
39
13
a
OI  .

Trong
SAE

vuông tại
A
, ta có:
2
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 16
3
39
13
OH SO OI a a
a
    
 
 
 
3
4
a
OH  .
Vậy khoảng cách từ
O
đến


SBC
bằng
3

4
a
.
b) Nhận xét rằng:
AD BC



AD SBC












, , ,
d AD SB d AD SBC d J SBC
   .
Mặt khác, ta lại có


JO SBC I
 
nên:





 
 
,
2
,
d J SBC
IJ
OI
d O SBC
 
 
 
 
 
3
, 2 , 2
2
a
d J SBC d O SBC OH    .
Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng
AD
và
SB
bằng
3
2

a
.
C. BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có
; 2.
SA SB SC AB AC a BC a      Tính góc giữa hai đường thẳng
AB và SC. Đs: 60
0

Bài 2: Cho tứ diện ABCD có
AB AC

và
.
AB BD

Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Chứng minh rằng hai đường thẳng AB và IJ vuông góc nhau.
Bài 3: Cho tứ diện ABCD có
AB AC AD
 
và


0
60
BAC BAD 
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AB và CD. Chứng minh rằng
A

B
C
D
O
I
J
Quan hệ vuông góc trong không gian
a)
AB CD

b)
; .
MN AB MN CD
 
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi tâm O và có
.
SA SB SC SD
  
Chứng minh rằng:
a) Tứ giác ABCD là hình vuông b)




S ;
AC BD BD SAC
 
Bài 5: Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung cạnh đáy BC. Gọi I là
trung điểm của cạnh BC; AH là đường cao của tam giác ADI. Chứng minh rằng:
a)

( )
BC ADI

b)
( )
AH BCD

Bài 6: Cho tam giác MAB vuông tại M. Trên đường thẳng vuông góc với (MAB) tại A ta lấy hai điểm C,
D ở hai phía điểm A. Gọi C’ là hình chiếu vuông góc của C trên MD, H là giao điểm của AM và CC’.
a. Chứng minh rằng )(' MBDCC

b. Gọi K là hình chiếu của H trên AB. Chứng minh rằng K là trực tâm tam giác BCD.
Bài 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh
; 2
a SA a
 và SA vuông góc với đáy. Gọi M,
N lần lượt là hình chiếu của A lên các đường thẳng SB và SD. Tính góc giữa:
a) SC và (AMN) Đs:
( )
SC AMN

b) SC và (ABCD) Đs:
0
45
Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,


; 3; ; .
AB a AD a SA ABCD SA a
   

Tính
góc giữa:
a) SB và CD Đs:
0
45

b) SB và (SAB)
c) SD và (SAB) Đs:
0
60

Bài 9: Cho tam giác ABC vuông cân có cạnh huyền
BC a.

Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại điểm A lấy điểm S sao cho góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng
0
60 .
Tính độ dài đoạn
thẳng SA theo a. Đs:
a
SA
3
2

Bài 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật,
AB a; AD a ;
3
 



SA ABCD ;SA a.
 

Tính góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD). Đs: 30
0

Bài 11: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’, có tất cả các cạnh đáy đều bằng a. Biết góc tạo thành bởi cạnh bên và
mặt đáy bằng 60
o
, và hình chiếu H của đỉnh A lên mặt phẳng (A’B’C’) trùng với trung điểm cạnh B’C’.
a) Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy Đs:
a
d
3
2

Quan hệ vuông góc trong không gian
Bài 20: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a và SA vuông góc với đáy, SA = h
b) Tính góc giữa hai đường thẳng BC và AC’ Đs:
arctan
3
c) Tính góc giữa mặt phẳng (ABB’A’) và mặt đáy Đs:
arctan(2 )
3

Bài 12: Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC nằm trên mặt phẳng (P). Gọi



, lần lượt là góc
hợp bởi hai đường thẳng AB, AC và mặt phẳng (P). Gọi

là góc hợp bởi (ABC) và (P). Chứng minh rằng
φ α β
2 2 2
sin sin sin .
 

Bài 13: Cho lăng trụ đứng
ABC.A' B'C '
có đáy ABC là tam giác cân với
 
AB AC a
và
0
120
 
BAC ,


BB' a.
Gọi I là trung điểm của
CC ' .

a) Chứng minh rằng tam giác
AB' I
vuông ở A.
b) Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và



AB' I .
Đs:
30
10
 cos
Bài 14: Cho tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc nhau. Chứng minh rằng các mặt
phẳng (ABC), (ACD), (ADB) cũng đôi một vuông góc nhau.
Bài 15: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,SC.
Tính diện tích tam giác AMN biết rằng hai mặt phẳng (AMN) và( SBC) vuông góc .
Bài 16: Cho hình vuông ABCD. Dựng đoạn thẳng AS vuông góc với mặt phẳng chứa hình vuông ABCD.
a) Chỉ ra các mặt phẳng lần lượt chứa SB, SC, SD và vuông góc với (ABCD).
b) Chứng minh rằng )SBD()SAC(

Bài 17: Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC = AD = 4 cm, AB = 3 cm,
BC=5 cm. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD). Đs:
17
346
Bài 18: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy và SA = a. Tính
khoảng cách giữa hai đường thẳng:
a) SB và AD b) BD và SC Đs: a)
6
6a
)b;
2
2a
Bài 19: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và
SA = a. Gọi E là trung điểm của CD. Tính theo a khoảng cách từ S đến đường thẳng BE.
Đs:
3a 5

SH
5

Quan hệ vuông góc trong không gian
a) Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a và h Đs:
22
h4a3
3ah

b) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H là trực tâm tam giác SBC. CMR OH vuông góc
với mặt phẳng (SBC)
Bài 21: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với mặt
phẳng đáy (ABC). Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (SBC) theo a, biết rằng
a 6
SA .
2


Đs:
a 2
AH
2

Bài 22: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh
a 6 2 cm.

Hãy xác định và tính độ dài đoạn vuông góc chung
của hai đường thẳng AD và BC. Đs:
IJ 6 cm


Bài 23: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB,SC.
Tính diện tích tam giác AMN biết rằng hai mặt phẳng (AMN) và( SBC) vuông góc. Đs:
16
10a
2
Bài 24: Cho hình chóp SABC có đáy là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, SA vuông góc với mặt
phẳng đáy và SA = 2a, M là trung điểm của SC.
a) Chứng minh rằng tam giác AMB cân tại M.
b) Tính tính diện tích tam giác AMB theo a. Đs:
2
2a
2
Bài 25: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính diện tích thiết diện của hình lập
phương bị cắt bởi mặt phẳng trung trực của đoạn AC’.
Hd: Gọi M, N, P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của BC, CD, DD’, D’A’, A’B’, B’B. Dễ thấy các điểm
này cách đều hai điểm A và C’ nên thiết diện là lục giác đều MNPQRS cạnh
2
5a
. Do đó
.
4
a33
4
3
.)
2
2a
.(6S
2

2

Bài 26: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, chiều cao bằng h, đáy là tam giác đều cạnh a. Tính diện tích
thiết tạo bởi mặt phẳng (P) qua AB và vuông góc với SC với hình chóp theo a và h.
Quan hệ vuông góc trong không gian
Đs:
2
2 2
3
4 3
a h
h a

Bài 27: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có
AB a

, đường cao bằng
2
6a
. Mặt phẳng (P) qua A và
vuông góc với SC, cắt SB, SC, SD tại B’, C’, D’. Tính diện tích tứ giác AB’C’D’ theo a. Đs:
3
3a
2
Bài 28: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng 5a , một mặt phẳng (P)
qua AB và vuông góc với mặt phẳng (SCD) lần lượt cắt SC, SD tại C’, D’.
a) Tính diện tích tứ giác ABC’D’ b) Tính thể tích của ABCDD’C’
Đs: a)
2
3a3

2
,b)
12
3a13
3
Bài 29: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ với AB = a, BC = b, AA’ = c
a) Tính diện tích tam giác ACD’ theo a, b, c.
b) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC. Hãy tính thể tích tứ diện D’DMN theo a, b, c.
Bài 30: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’. Một mặt phẳng )(

hợp với mặt đáy (ABCD) một
góc 45
o
và cắt các cạnh bên của lăng trụ tại M, N, P, Q. Tính diện tích thiết diện, biết rằng cạnh đáy của
lăng trụ là a. Đs:
2a
2

Bài 31: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh bằng a và nằm trong mặt phẳng )(

. Trên các đường
thẳng vuông góc với )(

vẽ từ B và C lấy các đoạn 2aCE;
2
2a
BD  nằm về cùng một phía với
)(

.

a) CMR tam giác ADE là tam giác vuông và tính diện tích tam giác này.
b) Tính góc giữa (ADE) và )(

. Đs: a)
4
a3
2
, b)
3
3
xcos 