CẨM NANG KIẾN THỨC TOÁN CẤP 3 DÙNG ÔN THI HỌC KỲ, ÔN THI TỐT NGHIỆP, ÔN THI ĐẠI HỌC
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (3.94 MB, 72 trang )
CẨM NANG KIẾN THỨC
MÔN TOÁN
DÀNH CHO HỌC SINH THPT:
ÔN THI HỌC KỲ
LUYỆN THI TÚ TÀI
LUYỆN THI CAO ĐẲNG, ĐẠI HỌC
TÓM TẮT CÁC CÔNG THỨC.
CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP.
CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI CƠ BẢN.
GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN
ĐT: 0917.689.883
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 1
PHẦN I: ĐẠI SỐ
I. HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ TÍNH CHẤT: Cho hàm số y = f(x)
1. Tập xác định:
RxfxD /
Lưu ý:
xfy
xác định khi
0xf
xg
xf
y
xác định khi
0xg
xg
xf
y
xác định khi
0xg
2. Tính chẵn lẻ: Tập xác định D là Tập đối xứng
Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số chẵn trên tập xác định D
xfxf
DxDx
Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung (oy) làm trục đối xứng
Hàm số y = f(x) được gọi là hàm số lẻ trên tập xác định D
xfxf
DxDx
Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng
3. Tính đơn điệu:
Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến (hay tăng) trên khoảng (a; b) nếu
1 2 1 2 1 2
, ; :x x a b x x f x f x
Hàm số y = f(x) gọi là nghịch biến (hay giảm) trên khoảng (a; b) nếu
1 2 1 2 1 2
, ; :x x a b x x f x f x
4. Phép tịnh tiến đồ thị:
xfyC :)(
Rnm ,
Đồ thị y = f(x) + m : tịnh tiến (C) lên m đơn vị
Đồ thị y = f(x) - m : tịnh tiến (C) xuống m đơn vị
Đồ thị y = f(x + n) : tịnh tiến (C) sang trái n đơn vị
Đồ thị y = f(x - n): tịnh tiến (C) sang phải n đơn vị
II. PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH, HỆ PHƯƠNG TRÌNH, HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH
1. Giải và biện luận phương trình ax + b =0 (*)
(*) 0 bax
Hệ số
Kết luận
a = 0
b = 0
(1) Nghiệm đúng với mọi x
b ≠ 0
(1) Vô nghiệm
a ≠ 0
(1) Có nghiệm duy nhất
a
b
x
2. Giải và biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0
Điều kiện
Kết quả tập nghiệm
a > 0
S =
b
a
;
a < 0
S =
b
a
;
a = 0
b
0
S =
b < 0
S = R
3. Dấu nhị thức bậc nhất
baxxf
0a
x
b/a
baxxf
Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a
Dễ nhớ khi xét dấu: PHẢI CÙNG (Cùng dấu với a), TRÁI TRÁI (Trái dấu với a)
LỚP 10
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 2
4. Giải và biện luận phương trình ax
2
+ bx +c =0 (*)
a = 0 xét nghiệm phương trình bx + c = 0 (Như phương trình ax + b = 0)
0a
ta có:
acb 4
2
Kết luận
acb
2
''
Kết luận
Δ < 0
(*) Vô nghiệm
Δ’ < 0
(*) Vô nghiệm
Δ = 0
(*) Có nghiệm kép
a
b
x
2
Δ’ = 0
(*) Có nghiệm kép
a
b
x
'
Δ > 0
(*) Có hai nghiệm phân biệt
a
b
x
2
2,1
Δ’ > 0
(*) Có hai nghiệm phân biệt
a
b
x
''
2,1
Lưu ý:
Nếu a + b + c = 0 thì (*) có hai nghiệm là x = 1 và x =
c
a
.
Nếu a – b + c = 0 thì (*) có hai nghiệm là x = –1 và x =
c
a
.
Nếu b chẵn thì ta có thể dùng công thức thu gọn với
b
b
2
.
5. Định lý vi-et: Phương trình ax
2
+ bx +c = 0 (*) có hai nghiệm
21
,xx
21
2
xxxxacbxax
a
b
xxS
21
a
c
xxP
21
.
Các biểu thức đối xứng hai nghiệm
21
,xx
:
PSxx 2
2
2
2
2
1
PSSxx 3
2
3
2
3
1
2
2
2
4
2
4
1
22 PPSxx
2
2
2
21
4
a
PSxx
Lưu ý:
Nếu S = u + v và P = uv thì u và v là nghiệm của phương trình bậc hai có dạng:
x Sx P
2
0
ĐK
04
2
PS
Phương trình ax
2
+ bx +c = 0 (*) khi
(*) có hai nghiệm trái dấu (
21
0 xx
)
P < 0
(*) có hai nghiệm cùng dấu(
0
0
12
21
xx
xx
)
P
0
0
(*) có hai nghiệm dương
0
12
xx
P
S
0
0
0
(*) có hai nghiệm âm
0
12
xx
P
S
0
0
0
Chú ý: Trong các trường hợp trên nếu yêu cầu hai nghiệm phân biệt thì
> 0
6. Dấu tam thức bậc hai
f(x) =
ax bx c
2
(a
0)
< 0
a.f(x) > 0,
x
R
= 0
a.f(x) > 0,
x
b
R
a
\
2
> 0
a.f(x) > 0,
x
(–∞; x
1
)
(x
2
; +∞)
a.f(x) < 0,
x
(x
1
; x
2
)
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 3
Lưu ý:
Khi giải nhớ xét trường hợp hệ số a = 0
a
ax bx c x R
2
0
0,
0
a
ax bx c x R
2
0
0,
0
0
0
0
0
0
,0
2
a
c
b
a
Rxcbxax
0
0
0
0
0
,0
2
a
c
b
a
Rxcbxax
7. Các phương trình khác đưa về phương trình bậc hai:
Phương trình
Phương pháp
0
24
cbxax
Đặt
0
2
xt
mdxcxbxax
Với
dcba
Đặt
bxaxt
mbxax
44
Đặt
2
ba
xt
0
11
2
2
c
x
xb
x
xa
Đặt
x
xt
1
, điều kiện
0
234
abxcxbxax
Thử x = 0 là nghiệm không
Khi
0x
chia cho
2
x
và đặt
x
xt
1
, điều kiện
8. Phương trình và bất phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: Với A, B, C là các biểu thức chứa biến x
BA
BA
B
BA
A
BA
A
BA
CC
0
0
0
21
BA
BA
BABA
CC
21
22
CBnAm
Đối với phương trình có dạng này ta
thường dùng phương pháp khoảng để
giải.
BAB
B
BA
0
22
A
0B
0
B
nghiacóA
B
BA
22
BABA
Lưu ý:
A A A 0
;
A A A 0
Với B > 0 ta có:
A B B A B
;
AB
AB
AB
.
A B A B AB 0
;
A B A B AB 0
9. Phương trình và bất phương trình chứa căn:
2
0
BA
B
BA
BA
BA
BA
0hay 0
0
0,
0
2
pntmt
tAt
pAnAm
CBA
Đặt
0,;
vu
Bv
Au
. Đưa về hệ u,v
2
0
0
BA
B
A
BA
2
0
0
0
BA
B
A
B
BA
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 4
10. Giải và biện luận hệ phương trình bậc nhất hai ẩn:
a x b y c
a b a b
a x b y c
2 2 2 2
1 1 1
1 1 2 2
2 2 2
( 0, 0)
Tính các định thức:
ab
D
ab
11
22
,
x
cb
D
cb
11
22
,
y
ac
D
ac
11
22
.
11. Hệ phương trình đối xứng loại I:
Hệ có dạng: (I)
f x y
g x y
( , ) 0
( , ) 0
(với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)).
(Có nghĩa là khi ta hoán vị giữa x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi).
Đặt S = x + y, P = xy.
Tìm nghiệm (x, y) bằng cách giải phương trình:
X SX P
2
0
; ĐK
04
2
PS
12. Hệ phương trình đối xứng loại II:
Hệ có dạng: (I)
f x y
f y x
( , ) 0 (1)
( , ) 0 (2)
(Có nghĩa là khi hoán vị giữa x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại).
Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được:
(I)
f x y f y x
f x y
( , ) ( , ) 0 (3)
( , ) 0 (1)
Biến đổi (3) về phương trình tích:
(3)
x y g x y( ). ( , ) 0
xy
g x y( , ) 0
.
Như vậy, (I)
f x y
xy
f x y
g x y
( , ) 0
( , ) 0
( , ) 0
.
Giải các hệ trên ta tìm được nghiệm của hệ (I).
Lưu ý: Đối vệ hệ đối xứng loại I và II
Nếu
00
; yx
là nghiệm thì
00
;xy
cũng là nghiệm
Nếu hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là
00
yx
13. Hệ phương trình đẳng cấp bậc hai:
Hệ có dạng: (I)
a x b xy c y d
a x b xy c y d
22
1 1 1 1
22
2 2 2 2
.
Giải hệ khi x = 0 (hoặc y = 0).
Khi x
0, đặt
y kx
. Thế vào hệ (I) ta được hệ theo k và x. Khử x ta tìm được phương trình bậc hai theo
k. Giải phương trình này ta tìm được k, từ đó tìm được (x; y).
III. BẤT ĐẲNG THỨC
1. Tính chất
Xét D
Kết quả
D
0
D
D
D
D
S
YX
;
D = 0
D
x
0 hoặc D
y
0
S
D
x
= D
y
= 0
0,,
b
b
axc
yRxS
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 5
2. Một số bất đẳng thức thông dụng
a)
aa
2
0,
.
a b ab
22
2
.
b) Bất đẳng thức Cô–si:
+ Với a, b
0, ta có:
ab
ab
2
. Dấu "=" xảy ra a = b.
+ Với a, b, c
0, ta có:
a b c
abc
3
3
. Dấu "=" xảy ra a = b = c.
Hệ quả: – Nếu x, y > 0 có S = x + y không đổi thì P = xy lớn nhất
x = y.
– Nếu x, y > 0 có P = x y không đổi thì S = x + y nhỏ nhất
x = y.
c) Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối
d) Bất đẳng thức về các cạnh của tam giác
Với a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác, ta có:
+ a, b, c > 0.
+
a b c a b
;
b c a b c
;
c a b c a
.
e) Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki
Với a, b, x, y
R, ta có:
ax by a b x y
2 2 2 2 2
( ) ( )( )
. Dấu "=" xảy ra ay = bx.
Lưu ý: Bất đẳng thức Bu–nhia–cốp–xki phải chứng minh mới được sử dụng
IV. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
1. Công thức đổi rad thành độ và độ dài cung tròn:
Rl
arad
;
360
)(
0
0
2. Bảng giá trị lượng giác đặc biệt:
“ Sin 3 cos 6 nửa phần, cos 3 sin 6 nửa phần căn 3” Hoặc nhanh nhất là dùng máy tính.
Điều kiện
Nội dung
a < b
a + c < b + c
(1)
c > 0
a < b
ac < bc
(2a)
c < 0
a < b
ac > bc
(2b)
a < b và c < d
a + c < b + d
(3)
a > 0, c > 0
a < b và c < d
ac < bd
(4)
n nguyên dương
a < b
a
2n+1
< b
2n+1
(5a)
0 < a < b
a
2n
< b
2n
(5b)
a > 0
a < b
ab
(6a)
a < b
33
ab
(6b)
Điều kiện
Nội dung
x x x x x0, ,
a > 0
x a a x a
xa
xa
xa
a b a b a b
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 6
3. Hệ thức lượng giác cơ bản:
22
sin cos 1
cos
sin
tan
sin
cos
cot
2
2
cos
1
tan1
2
2
sin
1
cot1
1cot.tan
Hệ quả:
Giá trị lượng
giác
Góc lượng giác: “ dòng trên tính bằng đơn vị độ, dòng dưới tính
bằng đơn vị radian”
0
0
0
0
30
6
0
45
4
0
60
3
0
90
2
0
120
2
3
0
150
5
6
0
180
Sin
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
1
2
0
Cos
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
3
2
-1
Tan
0
1
3
1
3
||
3
1
3
0
Cot
||
3
1
1
3
0
1
3
3
||
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 7
22
sin 1 cos
22
cos 1 sin
1
cot
tan
4 4 2 2
sin cos 1 2sin .cos
6 6 2 2
sin cos 1 3sin cos
4. Cung liên kết
a. Công thức góc đối: “ là góc giữa
và
”
coscos
sin sin
tan tan
cot cot
b. Công thức góc bù: “ góc bù là góc
0
180
hoặc
”
sinsin
cos cos
tan tan
cot cot
c. Công thức góc phụ: “ góc phụ là góc
0
90
hoặc
2
”
cos
2
sin
sin
2
cos
cot
2
tan
tan
2
cot
d. Công thức hơn kém pi: “ pi =
”
tantan
cotcot
sin sin
coscos
Quy tắc học thuộc: “cos đối, sin bù, phụ chéo, hơn kém
tan, cot”
Giải nghĩa: Trong công thức góc đối thì có công thức “cos” mang giá trị dương; trong công thức góc bù có công thức
“Sin” mang giá trị dương; trong công thức góc phụ thì giá trị nào cũng dương nhưng lúc này
Sin Cos
,
Cos Sin
,
tan cot
,
cot tan
; trong công thức hơn kém pi thì có “tan, cot ” mang giá trị dương.
5. Công thức cộng:
Công thức
Quy tắc học thuộc
sin.sincos.coscos
Cos thì cos cos sin sin đổi dấu
sin.coscos.sinsin
Sin thì sin cos cos sin
tan.tan1
tantan
tan
Tan tổng (hiệu) bằng tổng (hiệu) tan trên 1 trừ (cộng) tích
tan
cotcot
1cot.cot
cot
Cot tổng (hiệu) bằng tích cot trừ (cộng) 1 trên tổng (hiệu)
cot
6. Công thức nhân đôi, nhân ba:
Công thức
Quy tắc học thuộc
2 2 2 2
cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin
Cos gấp đôi = bình cos trừ bình sin = trừ 1 cộng hai bình
cos = cộng 1 trừ hai bình sin
Sin2
Sin2 2Sin .Cos Sin .Cos
2
Sin gấp đôi = 2 sin cos
2
2tan
tan2
1 tan
Từ công thức cộng suy ra
3
sin3 3sin 4sin
Sin 3 là 3 sin 4 xỉn
3
cos3 4cos 3cos
cos 3 là 4 cổ 3 cô
7. Công thức hạ bậc: “dùng công thức góc nhân đôi hoặc nhân ba để suy ra công thức hạ bậc ”
2
1 cos2
sin
2
2
1 cos2
cos
2
2
2
2
sin 1 cos2
tan
cos 1 cos2
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 8
3
3sin sin3
sin
4
3
3cos cos3
cos
4
3
3
3
sin 3sin sin3
tan
cos 3cos cos3
8. Công thức biến đổi tích thành tổng:
Công thức
Quy tắc học thuộc
2
cos.
2
cos2coscos
cos cộng cos bằng 2 cos cos
2
sin.
2
sin2coscos
cos trừ cos bằng trừ 2 sin sin
2
cos.
2
sin2sinsin
sin cộng sin bằng 2 sin cos
2
sin.
2
cos2sinsin
sin trừ sin bằng 2 cos sin
9. Công thức biến đổi tổng thành tích:
baba coscos
2
1
cos.cos
baba coscos
2
1
sin.sin
baba sinsin
2
1
cos.sin
10. Công thức vạn năng:
sin ;cos ;tan
theo
t tan
2
:
2
2t
sin
1t
2
2
1t
cos
1t
2
2t
tan
1t
Lưu ý: Công thức vạn năng và công thức nhân ba phải chứng minh mới được sử dụng
PHẦN II: HÌNH HỌC
I. VÉC TƠ
1. Các định nghĩa
Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là
AB
.
Giá của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.
Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu
AB
.
Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu
0
.
Hai vectơ đgl cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Hai vectơ cùng phương có thể cùng hướng hoặc ngược hướng.
Hai vectơ đgl bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.
Chú ý: + Ta còn sử dụng kí hiệu
ab, ,
để biểu diễn vectơ.
+ Qui ước: Vectơ
0
cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ. Mọi vectơ
0
đều bằng nhau.
2. Các phép toán trên vectơ
a. Tổng của hai vectơ
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có:
AB BC AC
.
Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có:
AB AD AC
.
Tính chất:
a b b a
;
a b c a b c
;
aa0
b. Hiệu của hai vectơ
Vectơ đối của
a
là vectơ
b
sao cho
ab 0
. Kí hiệu vectơ đối của
a
là
a
.
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 9
A
B CH
Vectơ đối của
0
là
0
.
a b a b
.
Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có:
OB OA AB
.
c. Tích của một vectơ với một số
Cho vectơ
a
và số k
R.
ka
là một vectơ được xác định như sau:
+
ka
cùng hướng với
a
nếu k
0,
ka
ngược hướng với
a
nếu k < 0.
+
ka k a.
.
Tính chất:
k a b ka kb
;
k l a ka la()
;
k la kl a()
ka 0
k = 0 hoặc
a 0
.
Điều kiện để hai vectơ cùng phương:
a vaø b a cuøng phöông k R b ka0:
Điều kiện ba điểm thẳng hàng: A, B, C thẳng hàng k
0:
AB kAC
.
Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phương: Cho hai vectơ không cùng phương
ab,
và
x
tuỳ ý.
Khi đó ! m, n
R:
x ma nb
.
Chú ý:
Hệ thức trung điểm đoạn thẳng:
M là trung điểm của đoạn thẳng AB
MA MB 0
OA OB OM2
(O tuỳ ý).
Hệ thức trọng tâm tam giác: G là trọng tâm ABC
GA GB GC 0
OA OB OC OG3
(O tuỳ
ý).
II. HỆ THỨC LƯỢNG
Cho ABC có:
Độ dài các cạnh: BC = a, CA = b, AB = c
Độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh A, B, C: m
a
, m
b
, m
c
Độ dài các đường cao vẽ từ các đỉnh A, B, C: h
a
, h
b
, h
c
Bán kính đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp tam giác: R, r
Nửa chu vi tam giác: p
Diện tích tam giác: S
1. Định lí côsin:
a b c bc A
2 2 2
2 .cos
b c a ca B
2 2 2
2 .cos
c a b ab C
2 2 2
2 .cos
2. Định lí sin:
a b c
R
A B C
2
sin sin sin
3. Độ dài đường trung tuyến
a
b c a
m
2 2 2
2
2( )
4
b
a c b
m
2 2 2
2
2( )
4
c
a b c
m
2 2 2
2
2( )
4
4. Diện tích tam giác
S =
a b c
ah bh ch
111
222
=
bc A ca B ab C
1 1 1
sin sin sin
2 2 2
=
abc
R4
=
pr
S =
p p a p b p c( )( )( )
(công thức Hê–rông)
5. Hệ thức lượng trong tam giác vuông (nhắc lại)
Cho ABC vuông tại A, AH là đường cao.
BC AB AC
2 2 2
(định lí Pi–ta–go)
AB BC BH
2
.
,
AC BC CH
2
.
AH BH CH
2
.
,
AH AB AC
2 2 2
1 1 1
AH BC AB AC
b a B a C c B c C.sin .cos tan cot
;
c a C a B b C b C.sin .cos tan cot
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 10
O
M
A
B
C
D
T
R
6. Hệ thức lượng trong đường tròn (bổ sung)
Cho đường tròn (O; R) và điểm M cố định.
Từ M vẽ hai cát tuyến MAB, MCD.
P
M/(O)
=
MA MB MC MD MO R
22
Nếu M ở ngoài đường tròn, vẽ tiếp tuyến MT.
P
M/(O)
=
MT MO R
2 2 2
III. PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
1. Định nghĩa: Trong hệ:
jiO
;;
1;0,0;1,;
2121
jijaiaaaaa
2. Tọa độ điểm: Cho điểm
AA
yxA ;
,
BB
yxB ;
ABAB
yyxxAB ;
Tọa độ trung điểm
II
yxI ;
của AB:
2
2
BA
I
BA
I
yy
y
xx
x
22
ABAB
yyxxAB
Tọa độ trọng tâm
GG
yxG ;
của ΔABC:
3
3
CBA
G
CBA
G
yyy
y
xxx
x
Tọa độ điểm
MM
yxM ;
chia đoạn AB theo tỉ số
1k
:
k
yky
y
k
xkx
x
BA
I
BA
I
1
.
1
.
Cho ΔABC với đường phân giác trong AD và phân giác ngoài AE
BCED ,
khi đó ta có:
DC
AC
AB
DB .
;
EC
AC
AB
EB .
3. Tọa độ véc tơ: Cho
21
;aaa
,
21
;bbb
và số thực
Rk
22
11
ba
ba
ba
2211
; bababa
21
.; akakak
2211
bababa
0
2211
babababa
2
2
2
1
aaa
1221
bababa
1 1 2 2
2 2 2 2
1 2 1 2
cos ,
.
a b a b
ab
a a b b
IV. ĐƯỜNG THẲNG
1. Các định nghĩa:
Nếu
n
thì véc tơ
n
được gọi là véc tơ pháp tuyến
của đường thẳng Δ
Nếu
//u
thì véc tơ
u
được gọi là véc tơ chỉ phương
của đường thẳng Δ
Đường thẳng Δ được xác định khi biết
M
và
Biết một trong hai véc tơ
n
hoặc
u
2. Các phương trình đường thẳng
Phương trình tổng quát: Δ đi qua
00
; yxM
và có véc tơ pháp tuyến
BAn ;
có phương trình:
M
n
u
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 11
0
00
yyBxxA
;
0
22
BA
0 CByAx
;
0
22
BA
Phương trình tham số: Δ đi qua
00
; yxM
và có véc tơ chỉ phương
21
;uuu
có phương trình:
20
10
.
.
utyy
utxx
0,
2
2
2
1
uuRt
Phương trình chính tắc: Δ đi qua
00
; yxM
và có véc tơ chỉ phương
21
;uuu
có phương trình:
2
0
1
0
u
yy
u
xx
0,
21
uu
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm
AA
yxA ;
,
BB
yxB ;
Cách 1: Viết phương trình tham số:
ABAB
AA
yyxxABuvtcp
yxAQua
;
;
Cách 2: Viết phương trình tổng quát:
BAABABBA
AA
xxyyhayxxyyvtpt
yxAQua
;n ;n
;
Cách 3: Viết phương trình chính tắc:
AB
A
AB
A
yy
yy
xx
xx
Phương trình đường thẳng đi qua
00
; yxM
có hệ số góc k cho trước:
00
yxxky
Phương trình đoạn chắn: Δ qua A(a;0), B(0;b) với
0, ba
Lưu ý:
Đường thẳng Δ có véc tơ chỉ phương
bau ;
thì có thể suy ra véc tơ pháp tuyến của Δ là
abn ;
hoặc
abn ;
.
Đường thẳng Δ có véc tơ pháp tuyến
ban ;
thì có thể suy ra véc tơchỉ phương của Δ là
abu ;
hoặc
abu ;
.
Kỹ năng viết ptđt:
:0ax by c
*PT đt
d
có dạng:
0bx ay m
(trong đó m là tham số).
:0ax by c
* PT đt
//d
có dạng:
0 mbyax
.
Các trường hợp đặc biệt:
3. Khoảng cách: Cho điểm
00
; yxM
và đt (Δ):
0 CByAx
. Khi đó:
22
/
BA
CByAx
Md
4. Góc giữa hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1
:
a x b y c
1 1 1
0
(có VTPT
n a b
1 1 1
( ; )
)
và
2
:
a x b y c
2 2 2
0
(có VTPT
n a b
2 2 2
( ; )
). Gọi α là góc giữa Δ
1
và Δ
2
0
2121
0
0
2121
90; khi ;180
90; khi ;
nnnn
nnnn
Các hệ số
Phương trình đường thẳng
Tính chất đường thẳng
c = 0
0ax by
đi qua gốc toạ độ O
a = 0
0by c
// Ox hoặc
Ox
b = 0
0ax c
// Oy hoặc
Oy
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 12
2
2
2
2
2
1
2
1
2211
21
21
21
.
.
.
;coscos
baba
baba
nn
nn
nn
Lưu ý:
1
2
a a b b
1 2 1 2
0
.
Cho
1
:
y k x m
11
,
2
:
y k x m
22
thì:
1
//
2
k
1
= k
2
1
2
k
1
. k
2
= –1
21
21
.1
tan
kk
kk
5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1
:
a x b y c
1 1 1
0
và
2
:
a x b y c
2 2 2
0
.
Toạ độ giao điểm của
1
và
2
là nghiệm của hệ phương trình:
a x b y c
a x b y c
1 1 1
2 2 2
0
0
(1)
1
cắt
2
hệ (1) có một nghiệm
ab
ab
11
22
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0
)
1
//
2
hệ (1) vô nghiệm
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0
)
1
2
hệ (1) có vô số nghiệm
a b c
a b c
1 1 1
2 2 2
(nếu
a b c
2 2 2
, , 0
)
6. Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng
Cho đường thẳng :
ax by c 0
và hai điểm
M M N N
M x y N x y( ; ), ( ; )
.
M, N nằm cùng phía đối với
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0
.
M, N nằm khác phía đối với
M M N N
ax by c ax by c( )( ) 0
.
7. Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng
Cho hai đường thẳng
1
:
a x b y c
1 1 1
0
và
2
:
a x b y c
2 2 2
0
cắt nhau.Phương trình các đường phân giác
của các góc tạo bởi hai đường thẳng
1
và
2
là:
a x b y c a x b y c
a b a b
1 1 1 2 2 2
2 2 2 2
1 1 2 2
Lưu ý: Để lập phương trình đường phân giác trong hoặc ngoài của góc A trong tam giác ABC ta có thể thực
hiện như sau:
Viết phương trình các đường phân giác
1
,
2
của các góc tạo bởi hai đường thẳng AB, AC.
Kiểm tra vị trí của hai điểm B, C đối với
1
(hoặc
2
).
Nếu B, C nằm khác phía đối với
1
thì
1
là đường phân giác trong.
Nếu B, C nằm cùng phía đối với
1
thì
1
là đường phân giác ngoài.
8. Phương trình chùm đường thẳng đi qua
21
I
(
1
:
a x b y c
1 1 1
0
và
2
:
a x b y c
2 2 2
0
):
0,0
22
222111
nmcybxancybxam
V. ĐƯỜNG TRÒN
1. Phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R:
x a y b R
2 2 2
( ) ( )
.
Phương trình
x y ax by c
22
2 2 0
(điều kiện
a b c
22
0
)
là phương trình đường tròn tâm I(–a; –b), bán kính R =
a b c
22
.
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 13
2. Lập phương trình đường tròn:
Để lập phương trình đường tròn (C) ta thường cần phải xác định tâm I (a; b) và bán kính R của (C).
Khi đó phương trình đường tròn (C) là:
x a y b R
2 2 2
( ) ( )
Dạng 1: (C) có tâm I và đi qua điểm A – Bán kính R = IA.
Dạng 2: (C) có tâm I và tiếp xúc với đường thẳng . – Bán kính R =
dI( , )
.
Dạng 3: (C) có đường kính AB.
– Tâm I là trung điểm của AB.
– Bán kính R =
AB
2
.
Dạng 4: (C) đi qua hai điểm A, B và có tâm I nằm trên đường thẳng .
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Xác định tâm I là giao điểm của d và .
– Bán kính R = IA.
Dạng 5: (C) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng .
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
Id
d I IA( , )
.
– Bán kính R = IA.
Dạng 6: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với đường thẳng tại điểm B.
– Viết phương trình đường trung trực d của đoạn AB.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua B và vuông góc với .
– Xác định tâm I là giao điểm của d và .
– Bán kính R = IA.
Dạng 7: (C) đi qua điểm A và tiếp xúc với hai đường thẳng
1
và
2
.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
d I IA
12
1
( , ) ( , ) (1)
( , ) (2)
– Bán kính R = IA.
Chú ý: – Muốn bỏ dấu GTTĐ trong (1), ta xét dấu miền mặt phẳng định bởi
1
và
2
hay xét dấu khoảng cách
đại số từ A đến
1
và
2
.
– Nếu
1
//
2
, ta tính R =
d
12
1
( , )
2
, và (2) được thay thế bới IA = R.
Dạng 8: (C) tiếp xúc với hai đường thẳng
1
,
2
và có tâm nằm trên đường thẳng d.
– Tâm I của (C) thoả mãn:
d I d I
Id
12
( , ) ( , )
.
– Bán kính R =
dI
1
( , )
.
Dạng 9: (C) đi qua ba điểm không thẳng hàng A, B, C (đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Cách 1: – Phương trình của (C) có dạng:
x y ax by c
22
2 2 0
(*).
– Lần lượt thay toạ độ của A, B, C vào (*) ta được hệ phương trình.
– Giải hệ phương trình này ta tìm được a, b, c phương trình của (C).
Cách 2: – Tâm I của (C) thoả mãn:
IA IB
IA IC
.
– Bán kính R = IA = IB = IC.
Dạng 10: (C) nội tiếp tam giác ABC.
– Viết phương trình của hai đường phân giác trong của hai góc trong tam giác
– Xác định tâm I là giao điểm của hai đường phân giác trên.
– Bán kính R =
d I AB( , )
.
3. Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và điểm M:
RIM
M nằm trong (C)
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 14
RIM
M nằm trên (C)
RIM
M nằm ngoài (C)
4. Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường thẳng Δ
Để biện luận số giao điểm của đường thẳng d:
Ax By C 0
và đường tròn (C):
x y ax by c
22
2 2 0
, ta có thể thực hiện như sau:.
Cách 1: So sánh khoảng cách từ tâm I đến d với bán kính R.
– Xác định tâm I và bán kính R của (C).
– Tính khoảng cách từ I đến d nếu:
+
d I d R( , )
d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
+
d I d R( , )
d tiếp xúc với (C).
+
d I d R( , )
d và (C) không có điểm chung.
Cách 2: Toạ độ giao điểm (nếu có) của d và (C) là nghiệm của hệ phương trình:
Ax By C
x y ax by c
22
0
2 2 0
(*)
+ Hệ (*) có 2 nghiệm d cắt (C) tại hai điểm phân biệt.
+ Hệ (*) có 1 nghiệm d tiếp xúc với (C).
+ Hệ (*) vô nghiệm d và (C) không có điểm chung.
5. Vị trí tương đối giữa đường tròn (C) và đường tròn (C’)
Để biện luận số giao điểm của hai đường tròn
(C
1
):
x y a x b y c
22
1 1 1
2 2 0
, (C
2
):
x y a x b y c
22
2 2 2
2 2 0
.ta có thể thực hiện như sau:
Cách 1: So sánh độ dài đoạn nối tâm I
1
I
2
với các bán kính R
1
, R
2
.
+
R R I I R R
1 2 1 2 1 2
(C
1
) cắt (C
2
) tại 2 điểm.
+
I I R R
1 2 1 2
(C
1
) tiếp xúc ngoài với (C
2
).
+
I I R R
1 2 1 2
(C
1
) tiếp xúc trong với (C
2
).
+
I I R R
1 2 1 2
(C
1
) và (C
2
) ở ngoài nhau.
+
I I R R
1 2 1 2
(C
1
) và (C
2
) ở trong nhau.
Cách 2: Toạ độ các giao điểm (nếu có) của (C
1
) và (C
2
) là nghiệm của hệ phương trình:
x y a x b y c
x y a x b y c
22
1 1 1
22
2 2 2
2 2 0
2 2 0
(*)
+ Hệ (*) có hai nghiệm (C
1
) cắt (C
2
) tại 2 điểm.
+ Hệ (*) có một nghiệm (C
1
) tiếp xúc với (C
2
).
+ Hệ (*) vô nghiệm (C
1
) và (C
2
) không có điểm chung.
6. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường thẳng .
tiếp xúc với (C)
d I R( , )
Dạng 1: Tiếp tuyến tại một điểm
M x y
0 0 0
( ; )
(C).
–
đi qua
M x y
0 0 0
( ; )
và có VTPT
IM
0
.
Dạng 2: Tiếp tuyến có phương cho trước.
– Viết phương trình của
có phương cho trước (phương trình chứa tham số t).
– Dựa vào điều kiện:
d I R( , )
, ta tìm được t. Từ đó suy ra phương trình của
.
Dạng 3: Tiếp tuyến vẽ từ một điểm
AA
A x y( ; )
ở ngoài đường tròn (C).
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 15
– Viết phương trình của
đi qua A (chứa 2 tham số).
– Dựa vào điều kiện:
d I R( , )
, ta tìm được các tham số. Từ đó suy ra phương trình của
.
VI. ELIP
1. Kiến thức cơ bản:
PT chính tắc
Lý thuyết
1
2
2
2
2
b
y
a
x
22
ba
1
2
2
2
2
b
y
a
x
22
ba
Trục lớn, độ dài
Ox, 2a
Oy, 2b
Trục nhỏ, độ dài
Oy, 2b
Ox, 2a
Liên hệ a, b, c
222
bac
222
abc
Tiêu điểm
0;,0;
21
cFcF
cFcF ;0,;0
21
Đỉnh
A a A a B b B b
1 2 1 2
( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )
A a A a B b B b
1 2 1 2
( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )
Tâm sai
c
e
a
(0 < e < 1)
b
c
e
(0 < e < 1)
Đường chuẩn
e
a
x
e
b
y
Bán kính qua tiêu
M
M
exaMF
exaMF
2
1
M
M
eybMF
eybMF
2
1
Phương trình tiếp tuyến
tại
00
; yxM
1
2
0
2
0
b
yy
a
xx
1
2
0
2
0
b
yy
a
xx
Phương trình hình chữ
nhật cơ sở
by
ax
by
ax
Điều kiện tiếp xúc với
0 CByAx
22222
CbBaA
22222
CbBaA
2. Các dạng toán cơ bản của (E):
1
2
2
2
2
b
y
a
x
22
ba
(Gần tương tự với
1
2
2
2
2
b
y
a
x
22
ba
)
Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc của (E):
Để lập phương trình chính tắc của (E) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (E).
Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (E):
+
b a c
2 2 2
+
c
e
a
+ Các tiêu điểm
F c F c
12
( ;0), ( ;0)
+ Các đỉnh:
A a A a B b B b
1 2 1 2
( ;0), ( ;0), (0; ), (0; )
Vấn đề 2: Tìm điểm trên (E) thỏa mãn điều kiện cho trước:
Chú ý các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)
(E):
cc
MF a x MF a x
aa
12
,
Vấn đề 3: Tập hợp điểm:
Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng:
Dạng 1:
MF MF a
12
2
Tập hợp là elip (E) có hai tiêu điểm F
1
, F
2
, trục lớn 2a.
Dạng 2:
xy
ab
22
22
1
(a > b)
Tập hợp là elip (E) có độ dài trục lớn 2a, trục nhỏ 2b.
VII. HYPEBOL
1. Kiến thức cơ bản
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 16
PT chính tắc
Lý thuyết
1
2
2
2
2
b
y
a
x
1
2
2
2
2
a
x
b
y
Trục thực, độ dài
Ox, 2a
Oy, 2b
Trục ảo, độ dài
Oy, 2b
Ox, 2a
Liên hệ a, b, c
222
bac
222
bac
Tiêu điểm
0;,0;
21
cFcF
cFcF ;0,;0
21
Đỉnh
0;,0;
21
aAaA
bBbB ;0,;0
21
Tâm sai
c
e
a
b
c
e
Đường chuẩn
e
a
x
e
b
y
Tiệm cận
x
a
b
y
x
a
b
y
Bán kính qua tiêu
M thuộc nhánh phải
aexMF
aexMF
M
M
2
1
M thuộc nhánh trái
aexMF
aexMF
M
M
2
1
M thuộc nhánh phải
aeyMF
aeyMF
M
M
2
1
M thuộc nhánh trái
aeyMF
aeyMF
M
M
2
1
Phương trình tiếp tuyến
tại
00
; yxM
1
2
0
2
0
b
yy
a
xx
1
2
0
2
0
a
xx
b
yy
Điều kiện tiếp xúc với
0 CByAx
22222
CbBaA
22222
CbBaA
2. Các dạng toán cơ bản của (H):
1
2
2
2
2
b
y
a
x
(Gần tương tự với
1
2
2
2
2
a
x
b
y
)
Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc của (H):
Để lập phương trình chính tắc của (H) ta cần xác định độ dài các nửa trục a, b của (H).
Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (H):
+
b c a
2 2 2
+
c
e
a
+ Các tiêu điểm
F c F c
12
( ;0), ( ;0)
+ Các đỉnh:
A a A a
12
( ;0), ( ;0)
Vấn đề 2: Tìm điểm trên (H) thỏa mãn điều kiện cho trước:
Chú ý:
Các công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)
(H):
cc
MF a x MF a x
aa
12
,
Nếu M thuộc nhánh phải thì x
a
c
MF x a
a
1
,
c
MF x a
a
2
(MF
1
> MF
2
)
Nếu M thuộc nhánh trái thì x
– a
c
MF x a
a
1
,
c
MF x a
a
2
(MF
1
< MF
2
)
Vấn đề 3: Tập hợp điểm:
Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng:
Dạng 1:
MF MF a
12
2
Tập hợp là hypebol (H) có hai tiêu điểm F
1
, F
2
, trục thực
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 17
2a.
Dạng 2:
xy
ab
22
22
1
Tập hợp là hypebol (H) có độ dài trục thực 2a, trục ảo 2b.
VIII. PARABOL
1. Kiến thức cơ bản:
PT chính tắc
Lý thuyết
pxy 2
2
(p>0)
pxy 2
2
(p>0)
pyx 2
2
(p>0)
pyx 2
2
(p>0)
Tiêu điểm
0;
2
p
F
0;
2
p
F
2
;0
p
F
2
;0
p
F
Đỉnh
0;0O
0;0O
0;0O
0;0O
Đường chuẩn
2
p
x
2
p
x
2
p
y
2
p
y
Điều kiện tiếp xúc với
0 CByAx
CApB .2.
2
CApB .2.
2
CBpA .2.
2
CBpA .2.
2
2. Các dạng toán cơ bản của (P0:
pxy 2
2
(Gần tương tự với các (P) còn lại)
Vấn đề 1: Lập phương trình chính tắc của (P):
Để lập phương trình chính tắc của (P) ta cần xác định tham số tiêu p của (P).
Chú ý: Công thức xác định các yếu tố của (P):
– Toạ độ tiêu điểm
p
F ;0
2
– Phương trình đường chuẩn :
p
x 0
2
.
Vấn đề 2: Tìm điểm trên (P) thỏa mãn điều kiện cho trước:
Chú ý: Công thức xác định độ dài bán kính qua tiêu điểm của điểm M(x; y)
(P):
p
MF x
2
Vấn đề 3: Tập hợp điểm:
Để tìm tập hợp các điểm M(x; y) thoả điều kiện cho trước, ta đưa về một trong các dạng:
Dạng 1:
MF d M( , )
Tập hợp là (P) có tiêu điểm F.
Dạng 2:
y px
2
2
Tập hợp là (P) có tiêu điểm
p
F ;0
2
.
IX. TÂM SAI ĐƯỜNG COCNIC
Cho conic (C) có tiêu điểm F, đường chuẩn Δ, tâm sai e:
:
/
:; e
Md
MF
conicCyxM
tâm sai
Nếu
:1 Ce
Elip
Nếu
:1 Ce
Parabol
Nếu
:1 Ce
Hypebol
PHẦN I: GIẢI TÍCH
I. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
1. Phương trình lượng giác cơ bản
a. Phương trình sinx = sin
2
sin sin ( )
2
xk
x k Z
xk
sin . : 1 1.
arcsin 2
sin ( )
arcsin 2
x a Ñieàu kieän a
x a k
x a k Z
x a k
LỚP 11
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 18
sin sin sin sin( )u v u v
sin cos sin sin
2
u v u v
sin cos sin sin
2
u v u v
Các trường hợp đặc biệt:
sin 0 ( )x x k k Z
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z
sin 1 2 ( )
2
x x k k Z
22
sin 1 sin 1 cos 0 cos 0 ( )
2
x x x x x k k Z
b. Phương trình cosx = cos
cos cos 2 ( )x x k k Z
cos . : 1 1.
cos arccos 2 ( )
x a Ñieàu kieän a
x a x a k k Z
cos cos cos cos( )u v u v
cos sin cos cos
2
u v u v
cos sin cos cos
2
u v u v
Các trường hợp đặc biệt:
cos 0 ( )
2
x x k k Z
cos 1 2 ( )x x k k Z
cos 1 2 ( )x x k k Z
22
cos 1 cos 1 sin 0 sin 0 ( )x x x x x k k Z
c. Phương trình tanx = tan
tan tan ( )x x k k Z
tan arctan ( )x a x a k k Z
tan tan tan tan( )u v u v
tan cot tan tan
2
u v u v
tan cot tan tan
2
u v u v
Các trường hợp đặc biệt:
tan 0 ( )x x k k Z
tan 1 ( )
4
x x k k Z
d. Phương trình cotx = cot
cot cot ( )x x k k Z
cot arccot ( )x a x a k k Z
Các trường hợp đặc biệt:
cot 0 ( )
2
x x k k Z
cot 1 ( )
4
x x k k Z
e. Một số điều cần chú ý:
Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan, cot, có mẫu số hoặc chứa căn bậc chẵn nhất thiết phải đặt điều
kiện để phương trình xác định.
Phương trình chứa tanx thì điều kiện là:
( ).
2
x k k Z
CM NANG KIN THC MễN TON CP 3
Chuyờn BDVH 10 - 11 - 12- LTH Ti TP.HCM_GIO VIấN: Lấ VN TUYN __D: 0917.689.883 Trang 19
Phng trỡnh cha cotx thỡ iu kin l:
()x k k Z
Phng trỡnh cha tanx v cotx thỡ iu kin l
()
2
x k k Z
Phng trỡnh cú mu s:
sin 0 ( )x x k k Z
cos 0 ( )
2
x x k k Z
tan 0 ( )
2
x x k k Z
cot 0 ( )
2
x x k k Z
Khi tỡm c nghim ca phng trỡnh phi kim tra iu kin. Ta thng dung mt trong cỏc cỏch sau
kim tra iu kin:
Kim tra trc tip bng cỏch thay giỏ tr x vo biu thc iu kin.
Dựng ng trũn lng giỏc.
Gii cỏc phng trỡnh vụ nh.
2. Phng trỡnh bc hai theo mt hm s lng giỏc
Dng
t
iu kin
2
sin 0asin x b x c
t = sinx
11t
2
cos cos 0a x b x c
t = cosx
11t
2
tan tan 0a x b x c
t = tanx
()
2
x k k Z
2
cot cot 0a x b x c
t = cotx
()x k k Z
Lu ý: Nu t:
sin sin : 0 1.t x hoaởc t x thỡ ủieu kieọn t
3. Phng trỡnh bc nht i vi sinx v cosx:
cxbxa cos.sin.
Cỏch 1:
Chia hai v ca phng trỡnh cho
22
ab
ta c:
(1)
2 2 2 2 2 2
sin cos
a b c
xx
a b a b a b
t:
2 2 2 2
sin , cos 0, 2
ab
a b a b
Phng trỡnh tr thnh:
22
sin .sin cos .cos
c
xx
ab
22
cos( ) cos (2)
c
x
ab
iu kin phng trỡnh cú nghim l:
2 2 2
22
1.
c
a b c
ab
(2)
2 ( )x k k Z
Cỏch 2:
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 20
Xét
2
22
x
x k k
có là nghiệm hay không?
Xét
2 cos 0.
2
x
xk
Đặt:
2
22
21
tan , sin , cos ,
2
11
x t t
t thay x x
tt
ta được phương trình bậc hai theo t:
2
( ) 2 0 (3)b c t at c b
Vì
2 0,x k b c
nên (3) có nghiệm khi:
2 2 2 2 2 2
' ( ) 0 .a c b a b c
Giải (3), với mỗi nghiệm t
0
, ta có phương trình:
0
tan .
2
x
t
Ghi chú:
Cách 2 thường dung để giải và biện luận.
Cho dù là cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm là:
2 2 2
.a b c
Bất đẳng thức B.C.S:
2 2 2 2 2 2
.sin .cos . sin cosy a x b x a b x x a b
2 2 2 2
sin cos
min max tan
x x a
y a b vaø y a b x
a b b
4. Phương trình đẳng cấp bậc hai theo sinx và cosx:
dxcxxbxa
22
cos.cos.sin.sin.
(1)
Cách 1:
Kiểm tra cosx = 0 có thỏa mãn hay không?
Lưu ý: cosx = 0
2
sin 1 sin 1.
2
x k x x
Khi
cos 0x
, chia hai vế phương trình (1) cho
2
cos 0x
ta được:
22
.tan .tan (1 tan )a x b x c d x
Đặt: t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
2
( ) . 0a d t b t c d
Cách 2: Dùng công thức hạ bậc
1 cos2 sin2 1 cos2
(1) . . .
2 2 2
x x x
a b c d
.sin2 ( ).cos2 2b x c a x d a c
(Đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
5. Phương trình đối xứng loại I
Dạng 1: (sinx cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
Đặt:
cos sin 2.cos ; 2.
4
t x x x t
22
1
1 2sin .cos sin .cos ( 1).
2
t x x x x t
Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa
2.t
Suy ra x.
Lưu ý dấu:
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 21
cos sin 2 cos 2sin
44
x x x x
cos sin 2 cos 2sin
44
x x x x
Dạng 2: a.|sinx cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
Đặt:
cos sin 2. cos ; : 0 2.
4
t x x x Ñk t
2
1
sin .cos ( 1).
2
x x t
Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dâu giá trị tuyệt đối.
6. Phượng trình đối xứng loại II:
0cottancottan
22
cxxbxxa
Dạng 1:
0cottancottan
22
cxxbxxa
Đặt điều kiện:
Zk
k
xx
x
x
,
2
02sin
0cos
0sin
Đặt
xxt cottan
, điều kiện
2t
,
2cottan
222
txx
Khi đó phương trình đã cho có dạng:
0202
22
acbtatcbtta
(*)
Giải phương trình (*) theo t và chọn nghiệm t
0
thỏa điều kiện
2t
Với
xxttt cottan
00
, khi đó ta có thể chọn một trong hai hướng biến đổi sau:
Hướng 1: Ta có:
01tan.tan
tan
1
tan
0
2
0
xtxt
x
x
. Đây là phương trình bậc hai theo tanx
Hướng 2: Ta có:
0
0
22
0
2
1
2sin
cos.sin
cossin
sin
cos
cos
sin
t
xt
xx
xx
t
x
x
x
x
. Đây là phương trình cơ bản
của sin
Dạng 2:
0cottancottan
22
cxxbxxa
Đặt điều kiện:
Zk
k
xx
x
x
,
2
02sin
0cos
0sin
Đặt
xxt cottan
2cottan
222
txx
Khi đó phương trình đã cho có dạng:
0202
22
acbtatcbtta
(*)
Giải phương trình (*) theo t
Với
xxttt cottan
00
, khi đó ta có thể chọn một trong hai hướng biến đổi sau:
Hướng 1: Ta có:
01tan.tan
tan
1
tan
0
2
0
xtxt
x
x
. Đây là phương trình bậc hai theo tanx
Hướng 2: Ta có:
2
2cot
2sin
2cos2
cos.sin
cossin
sin
cos
cos
sin
0
00
22
0
t
xt
x
x
t
xx
xx
t
x
x
x
x
. Đây là
phương trình cơ bản của cot
Lưu ý: Cũng có thể lựa chọn phép biến đổi t = tanx đối với hai dạng phương trình trên, tuy nhiên
khi đó sẽ thu được một phương trình bậc cao.
7. Phương trình không mẫu mực
Dạng tích:
0
0
0.
B
A
BA
Dạng tổng bình phương:
0
0
0
22
B
A
BA
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 22
Dạng đối lập:
kB
kA
BA
kBkA ,
Dạng:
1cos
1sin
2cossin
xg
xf
xgxf
Dạng:
2sinsin1cos.sin xgxfxgxfxgxf
Dạng:
2coscos1cos.cos xgxfxgxfxgxf
Dạng phương trình có điều kiện: chứa ẩn ở mẫu hoặc trong căn. Ta đặt điều kiện suy ra tập nghiệm phương
trình là hữu hạn.
II. TỔ HỢP
1. Quy tắc đếm
Quy tắc cộng: Giả sử công việc có thể tiến hành theo một trong hai phương án A và B. Phương án A có thể thực
hiện bởi n cách; phương án B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện theo n + m cách.
Quy tắc nhân: Giả sử công việc bao gồm hai công đoạn A và B. Công đoạn A có thể thực hiện bởi n cách; công
đoạn B có thể thực hiện bởi m cách. Khi đó, công việc được thực hiện bởi n.m cách.
Lưu ý: “Cộng trường hợp và nhân giai đoạn”
2. Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp
Khái niệm
Hoán vị
Chỉnh hợp
Tổ hợp
Kí hiệu
!np
n
!
!
kn
n
A
k
n
!!.
!
knk
n
C
k
n
Điều kiện
Nnn ,1
nk 1
nk 0
Tính chất
Có thứ tự
Có thứ tự
Không thứ tự
Lưu ý:
nkCC
kn
n
k
n
0;
1;1!0
0
n
nn
CC
1
1
k
n
k
n
k
n
CCC
!
!
n
p
= (p+1).(p+2)… n (với n>p)
!
( )!
n
np
= (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)
Phân biệt chỉnh hợp và tổ hợp:
Chỉnh hợp và tổ hợp liên hệ nhau bởi công thức:
!
kk
nn
A k C
Chỉnh hợp: có thứ tự. Tổ hợp: không có thứ tự
Vậy: Những bài toán mà kết quả phụ thuộc vào vị trí các phần tử sẽ là Chỉnh hợp.Ngược lại, sẽ là tổ hợp.
3. Nhị thức Niu – Tơn
Công thức nhị thức Niu – Tơn:
n
n
k n k k 0 n 1 n 1 k n k k n n
n n n n n
k0
a b C a b C a C a b C a b C b
Các tính chất của công thức nhị thức Niu – Tơn
Trong khai triển nhị thức Newton có n + 1 số hạng.
Trong một số hạng thì tổng số mũ của a và b bằng n.
Các hệ số của khai triểu nhị thức cách đếu số hạng đầu và cuối thì bằng nhau.
Số hạng tổng quát thứ k + 1 kí hiệu T
k+1
thì:
k n k k
k 1 n
T C a b
Nhận xét: Nếu trong khai triển nhị thức Niu – Tơn, ta gán cho a, b những giá trị đặc biệt ta sẽ thu được những
công thức đặc biệt, chẳng hạn:
(1+x)
n
=
0 1 1
n n n
n n n
C x C x C
01
2
nn
n n n
C C C
(x–1)
n
=
0 1 1
( 1)
n n n n
n n n
C x C x C
01
( 1) 0
nn
n n n
C C C
Chú ý:
n
n
k n k k
n
k0
a b C a b
là khai triển theo số mũ của a giảm dần.
n
n
k k n k
n
k0
a b C a b
là khai triển theo số mũ của a tăng dần.
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 23
4. Các dạng toán giải tích tổ hợp thường gặp
III. BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT
1. Biến cố
Không gian mẫu Ω: là tập các kết quả có thể xảy ra của phép thử.
Biến cố A: là tập các kết quả của phép thử làm xảy ra A, A
Ω
Biến cố không:
Biến cố chắc chắn:Ω
Biến cố đối của A:
AA \
Hợp hai biến cố:
BA
Giao hai biến cố:
BA
(hoặc A, B)
Hai biến cố xung khắc:
BA
Hai biến cố độc lập: nếu việc xảy ra biến cố này không ảnh hưởng đến việc xảy ra biến cố kia.
2. Xác suất
Xác suất của biến cố: P(A) =
()
()
nA
n
0
P(A)
1; P(
) = 1; P(
) = 0
Quy tắc cộng: Nếu A B = thì: P(A B) = P(A) + P(B)
Mở rộng: A, B bất kì: P(A B) = P(A) + P(B) – P(A.B)
P(
A
) = 1 – P(A)
Qui tắc nhân: Nếu A, B độc lập thì P(A.B) = P(A). P(B)
IV. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
1. Phương pháp quy nạp toán học:
Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) là một mệnh đề đúng với mọi giá trị nguyên dương n, ta thực hiện như
sau:
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 1.
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương n = k tùy ý (k 1), chứng minh rằng mệnh đề
đúng với n = k + 1
Lưu ý: Nếu phải chứng minh mệnh đề A(n) đúng với mọi số nguyên dương n
p thì:
Ở bước 1, ta phải kiểm tra mệnh đề đúng với n = p;
Ở bước 2, ta giả thiết mệnh đề đúng với số nguyên dương bất kì n = k
p và phải chứng minh mệnh
đề đúng với n = k + 1.
2. Dãy số:
a. Dãy số:
nun
RNu
*:
Dạng khai triển: (u
n
) = u
1
, u
2
, …, u
n
, …
b. Dãy số tang, dãy số giảm
(u
n
) là dãy số tăng
0u *,1*,0*,
n
1
11
Nn
u
u
NnuuNnuu
n
n
nnnn
(u
n
) là dãy số giảm
0u *,1*,0*,
n
1
11
Nn
u
u
NnuuNnuu
n
n
nnnn
c. Dãy số bị chặn
)(u
n
là dãy số bị chặn trên M R: u
n
M, n N*.
)(u
n
là dãy số bị chặn dưới m R: u
n
m, n N*.
)(u
n
là dãy số bị chặn m, M R: m u
n
M, n N*.
3. Cấp số cộng:
a. Định nghĩa:
)(u
n
là cấp số cộng
u
n+1
= u
n
+ d,
n
N* (d: công sai)
b. Số hạng tổng quát:
1
( 1)
n
u u n d
với n 2
c. Tính chất các số hạng:
11
2
kk
k
uu
u
với k 2
d. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
12
()
2
n
nn
n u u
S u u u
=
1
2 ( 1)
2
n u n d
4. Cấp số nhân:
CẨM NANG KIẾN THỨC MÔN TOÁN CẤP 3
Chuyên BDVH 10 - 11 - 12- LTĐH Tại TP.HCM_GIÁO VIÊN: LÊ VĂN TUYẾN __DĐ: 0917.689.883 Trang 24
a. Định nghĩa:
)(u
n
là cấp số nhân
u
n+1
= u
n
.q,
n
N* (q: công bội)
b. Số hạng tổng quát:
1
1
.
n
n
u u q
với n 2
c. Tính chất các số hạng:
2
11
.
k k k
u u u
với k 2
d. Tổng n số hạng đầu tiên:
1
1
1
(1 )
1
1
n
n
n
S nu vôùi q
uq
S vôùi q
q
q
u
S
1
1
với
1q
V. GIỚI HẠN
1. Giới hạn dãy số:
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực
a. Giới hạn đặc biệt
1
lim 0
n
n
;
1
lim 0 ( )
k
n
k
n
lim 0 ( 1)
n
n
;
lim
n
CC
b. Định lí
Nếu lim u
n
= a, lim v
n
= b thì :
lim (u
n
+ v
n
) = a + b
lim (u
n
– v
n
) = a – b
lim (u
n
.v
n
) = a.b
lim
n
n
u
a
vb
(nếu b 0)
Nếu u
n
0, n và lim u
n
= a thì a 0 và
lim
n
ua
Nếu
nn
uv
,n và lim v
n
= 0 thì lim u
n
= 0
Nếu lim u
n
= a thì
lim
n
ua
c. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn
S = u
1
+ u
1
q + u
1
q
2
+ … =
1
1
u
q
1q
a. Giới hạn đặc biệt:
lim n
lim ( )
k
nk
lim ( 1)
n
qq
b. Định lí
Nếu
lim
n
u
thì
1
lim 0
n
u
Nếu lim u
n
= a, lim v
n
= thì lim
n
n
u
v
= 0
Nếu lim u
n
= a 0, lim v
n
= 0 thì:
lim
n
n
u
v
=
.0
.0
n
n
neáu a v
neáu a v
Nếu lim u
n
= +, lim v
n
= a thì:
lim(u
n
.v
n
) =
0
0
neáu a
neáu a
* Khi tính giới hạn của một trong các dạng vô định:
0
0
,
, – , 0. thì phải tìm cách khử các dạng vô định.
Một số phương pháp tìm giới hạn của dãy số:
Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa cao nhất của n.
Nhân lượng liên hợp: Dùng các hằng đẳng thức:
33
22
3 3 3
;a b a b a b a b a ab b a b
Dùng định lý giới hạn kẹp: Nếu
nn
uv
,
n và lim v
n
= 0 thì lim u
n
= 0
Khi tính các giới hạn phân thức, ta chú ý một số trường hợp sau đây:
Nếu bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng 0.
Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó bằng tỉ số của hệ số của lũy thừa cao nhất
của tử và của mẫu.
Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì kết quả của giới hạn đó là
nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu
cùng dấu và kết quả của giới hạn đó là
nếu hệ số cao nhất của tử và mẫu trái dấu.
2. Giới hạn hàm số:
Giới hạn hữu hạn
Giới hạn vô cực, giới hạn ở vô cực
