Luận văn thạc sỹ toán học một số chuyên đề về tổ hợp dành cho học sinh có năng khiếu toán bậc thpt

S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ĐạI HọC THáI NGUYÊN
Tr-ờng Đại học KHOA học




nguyễn THị NGọC áNH



Một số chuyên đề về tổ hợp dành
cho học sinh có năng khiếu toán
bậc trung học phổ thông







luận văn thạc sỹ TOáN học








THáI NGUYÊN - 2009

www.VNMATH.com
S húa bi Trung tõm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn
ĐạI HọC THáI NGUYÊN
Tr-ờng Đại học KHOA học
***



nguyễn THị NGọC áNH


Một số chuyên đề về tổ hợp dành
cho học sinh có năng khiếu toán
bậc trung học phổ thông

Chuyên ngành: Ph-ơng pháp toán sơ cấp
Mã số : 60 . 46. 40






luận văn thạc sỹ TOáN học

Ng-ời h-ớng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Đức Hoàng




THáI NGUYÊN - 2009


www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
www.VNMATH.com
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
www.VNMATH.com
E
i
(i = 1, , k) k
(i)
(ii) E
i

n
i
k (n
1
+ n
2
+ + n
k
)
18 12
18 + 12 = 30
E 10 F
10
E 4 F 4 2
E F 4 + 4 −1 = 7
E
i
(i = 1, , k) k E
1
n
1
E
2
n
2
E
1
E
3
n

3
E
1
E
2
E
k
n
k
k −1 k
n
1
.n
2
.n
3
n
k
6 8
10
(i) 6.8.10 = 480 3
www.VNMATH.com
(ii) 6 + 8 + 10 = 24 1
8 3
8 3
8
= 6561
X n r
n
r X r

n X
n X X
r n P (n, r)
{2, 3, 4} {2, 4, 3} 3 X =
{1, 2, 3, 4, 5}
r X r X
r n C(n, r)
(i) P (n, r) =
n!
(n − r)!
(ii) C(n, r) =
P (n, r)
r!
=
n!
r!(n − r)!
= C(n, n − r)
m! ≡ (1).(2) (m) 0! ≡ 1
(i) n X
r (n − 1) (n − 1)
r
www.VNMATH.com
n(n − 1)
r
P (n, r) = n(n − 1) (n − r + 1) =
n!
(n − r)!
(ii) C(n, r) r n X
r X
r r

P (n, r) = P (r, r) + P (r, r) + + P (r, r)
r X C(n, r)
P (n, r) = C(n, r)P (r, r) = C(n, r)r!
r X (n − r)
C(n, r) = C(n, n − r)
n
P (n, n) = n!
r
n r n r
n r n
12 12 10 11
9 10 4 12
4 11 3 10 C(12, 4) =
12!
4!8!
= 495
www.VNMATH.com
4 12 C(10, 4) = 210 4 11
C(9, 3) = 84 3 10
495.210.84 = 8731800
n (n + 1)
2
n = 3
n + 1 = 4
n kn + 1
k k + 1
1.3.1 6
n = 3
k + 1 = 6
kn + 1 = 16 16

20 4 7
9
r = 4, 5, 6, 7, 8, 9
www.VNMATH.com
∗) 1 r = 4 = k + 1 k = 3 3 n = 3
kn + 1 = 3.3 + 1 = 10
∗) 2 r = 5 = k + 1 k = 4
4
r = 5 n = 2
kn + 1 = 4.2 + 1 = 9
4 + 9 = 13
∗) 3 r = 6 = k + 1 k = 5
2 4 + kn + 1 = 4 + 5.2 + 1 = 15
∗) 4 r = 7 = k + 1 k = 6
4 + kn + 1 = 4 + 6.2 + 1 = 17
∗) 5 r = 8 = k + 1 k = 7
4 + 7 + kn + 1 = 4 + 7 + 7.1 + 1 = 19
∗) 6 r = 9 = k + 1 5
4 + 7 + kn + 1 = 4 + 7 + 8.1. + 1 = 20
S x
1
1 x
2
≥ x
1
2 x
3
≥ x
2
3 x

n
≥ x
n−1
n v
r
v
r
r
www.VNMATH.com
v
r
=
























n(r − 1) + 1, r ≤ x
1
(n − 1)(r − 1) + 1 + x
1
, x
1
< r ≤ x
2
(n − 2)(r − 1) + 1 + x
1
+ x
2
, x
2
< r ≤ x
3

(1)(r − 1) + 1 + x
1
+ x
2
+ + x
n−1
, x
n−1

< r ≤ x
n
x x [x]
x
m n
p + 1 p =

(m − 1)
n

.
p
np ≤ n

m − 1
n

= m−1 < m
26 m = 26 7
p =

25
7

= 3 4
X n
r ≤ n X
r X r = n
X
X = {A, A, B, B, B, C, C} AABCBBC

n
i
(i = 1, 2, , k) r n k + 2 n
1
+ n
2
+
+ n
k
= r ≤ n P (n; n
1
, n
2
, , n
k
) ≡
P (n, r)
n
1
!n
2
! n
k
!
www.VNMATH.com
P (n, r) =
P (n, n)
(n − r)!
P (n; n
1

, n
2
, , n
k
) = P (n; n
1
, n
2
, , n
k
, n − r)
P (18; 3, 4, 6) =
P (18, 3 + 4 + 6)
3!4!6!
=
P (18, 13)
3!4!6!
=
18!
3!4!6!5!
=
P (18; 3 + 4 + 6 + 5)
3!4!6!5!
= P (18; 3, 4, 6, 5)
X n
i
i (i = 1, 2, , k) P (n; n
1
, n
2

, , n
k
)
n = n
1
+ n
2
+ + n
k
p X n
X P (n, n) X
n
1
1 n − n
1
n
1
1 n −n
1
n
1
!
i (i = 2, 3, , k) q = n
1
!n
2
! n
k
!
p =

P (n, n)
q
= P (n; n
1
, n
2
, , n
k
)
X = {C, E, E, I, M, M, O, T, T }
X
P (9, 1, 2, 1, 2, 1, 2) =
9!
1!2!1!2!1!2!
= 45360
4
3 5 18
1
www.VNMATH.com
P (18; 4, 3, 5) =
18!
4!3!5!6!
= 514594080
X n S X
r S
r X r = n
r X n
1
1 n
2

2 n
k
k C(n; n
1
, n
2
, , n
k
)
n
1
+ n
2
+ + n
k
= r
C(n; n
1
, n
2
, , n
k
) = C(n, n
1
)C(n − n
1
, n
2
) C(n − n
1

− n
2
− − n
k−1
)
=
n!
n
1
!n
2
! n
k
!(n − r)!
=
P (n, r)
n
1
!n
2
! n
k
!
C(n; n
1
, n
2
, , n
k
) = P (n; n

1
, n
2
, , n
k
) n
1
+ n
2
+
+ n
k
= r ≤ n
17 5
5 4, 4, 2, 5 1
16 16 17
C(17; 4, 4, 2, 5, 1) =
17!
4!4!2!5!1!1!
n p
1
n
1
p
2
n
2
p
k
n

k
n
i
(i = 1, 2, , k)
k

i=1
p
i
n
i
= n
C(n;
p
1
  
n
1
, n
1
,
p
2
  
n
2
, n
2
, ,
p

k
  
n
k
, n
k
)
p
1
!p
2
! p
k
!
=
n!
[p
1
!(n
1
!)
p
1
][p
2
!(n
2
!)
p
2

] [p
k
!(n
k
!)
p
k
]
www.VNMATH.com
(i)
C(12; 4, 4, 4)
(ii)
C(12; 4, 4, 4)/3!
(ii)
C(12; 4, 4, 4)
3!
.4!
n r
r n
r n
r n n
r
n r r
n r
r
n C(n + r − 1, r)
A n(A)
| A |
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B)
A B A∪B

n(A) n(B) n(A ∩ B)
www.VNMATH.com
A X A X A

A B X
n

(A ∪ B)


= n(X) − n(A ∪ B) = n(X) − [n(A) + n(B) + n(A ∩ B)]
(A ∪ B)

= A

∩ B

n(A

∩ B

) = n(X) − [n(A) + n(B)] + n(A ∩ B)
x X A
X x A 1 x A
0 x A
A
1
, A
2
, , A

m
X
n(A

1
∩ A

2
∩ ∩ A

m
) = n(X) − S
1
+ S
2
− + (−1)
m
S
m
S
k
k
m
(S
1
= n(A
1
) + n(A
2
) + + n(A

m
); S
2
=

i,j=1,m
i=j
n(A
i
∩ A
j
), )
x X
x
2
(i) x m
(ii) x r m r ≥ 1
A
1
, A
2
, , A
r
x 1
x 0
S
k
=

n(A

i
1
∩ A
i
2
∩ ∩ A
i
k
) (k = 1, 2, , m)
www.VNMATH.com
x
1 − C(r, 1) + C(r, 2) −C(r, 3) + + (−1)
r
C(r, r ) = (1 − 1)
r
= 0
n(A
1
∪ A
2
∪ ∪ A
m
) = S
1
− S
2
+ + (−1)
m−1
S
m

n(A
1
∪A
2
∪ ∪A
m
) = n(X) −n(A

1
∩A

2
∩ ∩A

m
)
www.VNMATH.com
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
www.VNMATH.com
2.1.5 2.1.7 2.1.8
2.1.9 2.1.10

ABEUEBA
7 8
2
n

n + 1
2

4 0 9 9
2 8 3 7
4 (9).(9).(8).(7) = 4536
11 (1)
(1)
N 2k
k = 1 (1)
k ≥ 2
www.VNMATH.com
N = a
2k−1
.10
2k−1
+ a
2k−2
.10
2k−2
+ + a
k
.10
k
+ a

k
.10
k−1
+ + a
2k−2
.10
1
+ a
2k−1
.10
0
= a
2k−1
(10
2k−1
+ 10
0
) + (a
2k−2
.10
2k−2
+ + a
2k−2
.10
1
) =
a
2k−1
.P + Q
P = 100 001

  
2k
= 11. 9090 9091
  
2k−2
Q = a
2k−2
.10
2k−2
+ + a
2k−2
.10
1
Q 11 n 11
1
0 1
n
2.1.2

n + 1
2

−1 =

n − 1
2

1 0
2
[

n−1
2
]
100000
3 4
5
100000
0 00000
1 00001
2 00002
99999 99999
5 3
5 4 4
5 3
{0, 1, 2, 6, 7, 8, 9}
(5).(4).(3).(7).(7) = 2940
441000
n n 1 n
www.VNMATH.com
441000 = (2
3
).(3
2
).(5
3
).(7
2
).
(2
a

).(3
b
).(5
c
).(7
d
)
0 ≤ a ≤ 3; 0 ≤ b ≤ 2; 0 ≤ c ≤ 3; 0 ≤ d ≤ 2 a
4 b 3 c 4 d 3
(4).(3).(4).(3) − 2 = 142
N N
N = p
n
1
1
p
n
2
2
p
n
k
k
p
1
, p
2
, , p
k
2.1.6 N

(n
1
+ 1)(n
2
+ 1) (n
k
+ 1) − 2
n
i
i
i = 1, 2, , k
i p
i
p
i
N 2.1.7
N 1 2.1.7
(n
1
+ 1)(n
2
+ 1) (n
k
+ 1) − 1
441000 m n
m > 1, n > 1 m, n 1 m n
X = {2
3
; 3
2

; 5
3
; 7
2
}
441000 X
m n
2 m n
X 441000 m, n
www.VNMATH.com
X 2 m.n
n.m X
X = {2
3
} + {3
2
, 5
3
, 7
2
} = {3
2
} + {2
3
, 5
3
, 7
2
}
= {7

2
} + {2
3
, 3
2
, 5
3
}
= {2
3
, 3
2
} + {5
3
, 7
2
} = {2
3
, 5
3
} + {3
2
, 7
2
}
= {2
3
, 7
2
} + {3

2
, 5
3
}
4 + 3 = 7 = 2
4−1
− 1
2.1.9 N = p
n
1
1
p
n
2
2
p
n
k
k
p
1
, p
2
, , p
k
(k ≥ 2) N = m.n m, n
2
k−1
− 1 (m > 1, n > 1)
k

k = 2
k ≥ 3 k
Z = {a
1
, a
2
, , a
k−1
, a
k
} 2
k−1
−1
(k −1)
Z
Z = {a
k
} ∪ {a
1
, a
2
, , a
k−1
}
≡ {a
k
} ∪ W
W 2
k−2
− 1

a
k
Z
Z
1 + (2
k−2
− 1).2 = 2
k−1
− 1().
0
1 X n
www.VNMATH.com
n X Y = {0, 1}
n
X r = 2
n
2
r
f f
0 1
n = 6, f(101101) = f(010010) f
4 X = {00; 01; 10; 11}
Y = {0; 1}
a)f
1
(00) = f
1
(11) = f
1
(01) = f

1
(10) = 0
b)f
2
(00) = f
2
(11) = f
2
(01) = f
2
(10) = 1
c)f
3
(00) = f
3
(11) = f
3
(01) = f
3
(10) = 1
d)f
4
(00) = f
4
(11) = f
4
(01) = f
4
(10) = 0
n

2.1.12 X
r
2
= 2
n−1
(ς, ς

)
ς

ς 0 1
0 1 2
r
2
0
n 0 m
n + m
m
n
www.VNMATH.com
n + m m
m n + m
C(n + m, m)
m n
n A
1
, A
2
, , A
m

A
i
A
i
A
i
A
i
A
i
n ≤ 2
m
x m
a(x) = (x
1
, x
2
, , x
m
) x
i
= 1 x A
i
x
i
= 0
x A
i
f : S −→ T = {(x
1

, x
2
, , x
m
) | x
i
∈ {0, 1}}
x y f(x) f(y)
2
m
x
i
(x
1
, x
2
, , x
m
) 0 1
n ≤ 2
m
n(A) ≤ n(B) n(A) ≥ n(B)
n(A) = n(B)
www.VNMATH.com