Phân loại và giải bài tập động lực học vật rắn
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (242.06 KB, 26 trang )
PHÂN LOẠI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI BT CHƯƠNG I
• Dạng 1: Xác định vận tốc góc trung bình (hoặc góc mà vật quay được); gia tốc
góc trung bình (hoặc độ biến thiên tốc độ góc) trong một khoảng thời gian.
Phương pháp giải
Học sinh vận dụng các công thức:
ω
=
t∆
∆
ϕ
và
γ
=
t∆
∆
ω
để thực hiện yêu
cầu của đề bài.
Khi giải các bài toán dạng này cần lưu ý học sinh phân biệt được 2 khái
niệm: góc mà vật quay được với toạ độ góc; nắm được ý nghĩa của vận
tốc góc trung bình, gia tốc góc trung bình.
Ví dụ 1: Tìm vận tốc góc trung bình của trái đất quay xung quanh trục của nó với
chu kì 24 giờ.
Giải
Theo đề ra ta có : ∆t = 24 giờ , ∆ϕ = 2π (rad)
Vận tốc góc trung bình của trái đất quanh trục của nó là:
ω =
t∆
∆
ϕ
=
)/(10.3,7)/(
86400
2
5
sradsrad
−
≈
π
Lưu ý: dạng bài tập biết vận tốc góc trung bình và khoảng thời gian vật quay, tính
góc quay (hoặc ngược lại) thì hoàn toàn tương tự.
Ví dụ 2: Khi nghiên cứu về máy bay trực thăng, người ta xác định được rằng vận
tốc của rôto thay đổi từ 320 vòng/phút đến 225 vòng/phút trong 1,5 phút khi rôto
quay chậm dần để dừng lại.
a) Gia tốc góc trung bình của rôto trong khoảng thời gian này là bao nhiêu?
b) Với gia tốc góc trung bình này thì sau bao lâu cánh quạt sẽ dừng lại, kể từ lúc
chúng có vận tốc góc ban đầu 320 vòng/phút.
c) Kể từ lúc chúng có vận tốc góc ban đầu 320 vòng/phút, cánh quạt còn quay được
bao nhiêu vòng mới dừng?
Giải
a) Gia tốc góc trung bình:
γ
TB
=
)/(11,0)/(
60
2
.
60.5,1
)320225(
22
0
sradsrad
tt
−≈
−
=
∆
−
=
∆
∆
π
ωω
ω
Dấu (-) cho biết cánh quạt đang quay chậm lại.
b) Thời gian để cánh quạt dừng lại kể từ khi vận tốc góc có giá trị 320 vòng/phút
được tính:
∆t =
1,5)(
60
2
.
11,0
)3200(
≈
−
−
=
∆
s
TB
π
γ
ω
(phút)
c) Áp dụng công thức: ω
2
- ω
0
2
= 2 γ
TB
∆ϕ
Số vòng quay được: n =
π
ϕ
2
∆
Ta có: n =
2
2
2
0
2
60
2
.
)11,0.(2
3200
.
2
1
2
.
2
1
−
−
=
−
π
πγ
ωω
π
TB
(vòng)
≈
812(vòng)
• Dạng 2: Dùng các công thức của chuyển động quay đều, quay biến đổi đều để
tìm các đại lượng: toạ độ góc, góc quay, vận tốc góc, thời gian.
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức :
ω
=
ω
0
+
γ
t.
ϕ
=
ϕ
0
+
ω
0
t +
2
1
γ
t
2
ω
2
-
ω
2
0
= 2
γ
(
ϕ
-
ϕ
0
) = 2
γ∆ϕ
Trong quá trình vận dụng các công thức cần lưu ý :
+ Điều kiện áp dụng các công thức trên là : chuyển động quay biến đổi
đều (
γ
= hằng số), hoặc chuyển động quay đều (
γ
= 0).
+ Dấu của
ω
và
γ
được quy ước như sau:
Vật quay theo chiều dương:
ω
> 0
Vật quay theo chiều âm:
ω
< 0
Vật quay nhanh dần:
ωγ
> 0
Vật quay chậm dần:
ωγ
> 0
Ví dụ 1. Một đĩa mài bắt đầu quay với vị trí góc ϕ
0
= 0 và gia tốc góc không đổi γ =
0,35 rad/s
2
. Tính tốc độ góc của đĩa tại thời điểm t = 18s và số vòng mà đĩa quay
được trong thời gian đó.
Giải
Tốc độ góc của đĩa tại thời điểm t = 18s là:
ω = γt = 0,35.18 = 6,3 (rad/s)
Góc đĩa quay được trong khoảng thời gian t = 18s đó là:
ϕ =
2
1
γt
2
=
2
1
.0,35.18
2
≈
56,7 (rad)
Số vòng quay được :
n =
π
ϕ
2
=
π
2
7,56
≈
9 vòng
Ví dụ 2: Một cái đĩa bắt đầu quay quanh trục của nó với gia tốc góc không đổi. Sau
5,0s nó quay được 25 rad.
a) Gia tốc góc của đĩa là bao nhiêu?
b) Vận tốc góc trung bình trong thời gian ấy là bao nhiêu?
c) Vận tốc góc tức thời của đĩa tại cuối thời gian t = 0,5s là bao nhiêu?
Giải
a) Gia tốc của đĩa :
γ =
25
25.2.2
2
=
∆
t
ϕ
(rad/s
2
) = 2 (rad/s
2
)
b) Vận tốc góc trung bình
ω
TB
=
)/(
5
25
srad
t
=
∆
ϕ
= 5 (rad/s)
c) Vận tốc góc tức thời tại cuối thời gian 5s là:
ω = ω
0
+ γt = 2.0,5 = 1(rad/s)
Ví dụ 3: Một bánh xe quay nhanh dần đều quanh trục của nó. Lúc bắt đầu tăng tốc,
bánh xe đang có tốc độ góc là 5 rad/s. Sau 10s tốc độ góc của nó tăng lên đến 10
rad/s. Hãy tìm:
a) Gia tốc góc của bánh xe.
b) Góc mà bánh xe quay được trong khoảng thời gian đó.
c) Số vòng mà bánh xe quay được trong thời gian đó.
Giải
a) Gia tốc góc của bánh xe :
γ =
=
−
t
0
ωω
10
510 −
(rad/s
2
) = 0,5 (rad/s
2
)
b) Góc mà bánh xe quay được trong 10s:
∆ϕ = ϕ - ϕ
0
= ω
0
t +
2
1
γt
2
∆ϕ = 5.10 +
2
1
.0,5.10
2
= 75 (rad)
c) Số vòng mà bánh xe quay được trong 10s:
≈=
∆
=
ππ
ϕ
2
75
2
n
12(vòng)
Ví dụ 4: Một đĩa mài đang quay với tốc độ góc ω
0
= - 4,6 rad/s và gia tốc góc không
đổi γ = 0,35 rad/s
2
. Xác định các thời điểm để:
a) Tốc độ của đĩa mài bằng 0.
b) Đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương.
Giải
a) Vì ω
0
= - 4,6 rad/s và γ = 0,35 rad/s
2
nên ban đầu đĩa quay chậm dần theo chiều
âm.
Thời điểm tốc độ của đĩa mài bằng 0 được xác định:
t
1
=
γ
ωω
0
−
=
s13
35,0
)6,4(0
≈
−−
.
b) Sau khi tốc độ của đĩa bằng 0, đĩa sẽ quay nhanh dần đều với gia tốc góc γ =
0,35 rad/s
2
. Thời gian để đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương được tính:
∆t =
35,0
2.5.22
π
γ
ϕ
=
∆
≈
13,4 (s).
Thời điểm để đĩa quay được 5 vòng theo chiều dương là: t = t
1
+∆t
≈
26,4(s)
Ví dụ 5: Tại thời điểm ban đầu một bánh đà có vận tốc góc 4,7 rad/s, gia tốc góc là -
0,25rad/s
2
và ϕ
0
= 0.
a) Đường mốc sẽ đạt được một góc cực đại ϕ
max
bao nhiêu theo chiều dương và tại
thời điểm nào?
b) Đến thời điểm nào thì đường mốc ở
max
2
1
ϕϕ
=
?
Giải
a) Ban đầu vận tốc góc và gia tốc góc trái dấu nên bánh đà quay chậm dần đến khi
tốc độ góc bằng 0 thì đường mốc đạt toạ độ cực đại.
Khi đó: ω = ω
0
+ γt
1
= 0 → t
1
=
)(8,18)(
25,0
7,4
0
ss =
−
−
=
−
γ
ω
Đường mốc đạt được một góc cực đại ϕ
max
:
ϕ = ϕ
max
= ϕ
0
+ ω
0
t
1
+
2
1
γt
1
2
ϕ = 4,7.1,88 +
2
1
(-0,25).1,88
2
= 44,18 (rad)
b) Khi
max
2
1
ϕϕ
=
ta có:
4,7t +
2
1
(-0,25)t
2
=
2
18,44
→ t = 5,15 s hoặc t = 32 s.
• Dạng 3: Xác định vận tốc, gia tốc của một điểm trên vật rắn trong chuyển
động quay quanh một trục cố định.
Phương pháp giải
Sử dụng các công thức:
+ Tốc độ dài: v =
ω
r,
+ Gia tốc của chất điểm trong chuyển động quay:
tn
aaa
+=
Độ lớn: a =
22
tn
aa +
; trong đó:
r
v
ra
n
2
2
==
ω
,
t
v
a
t
∆
∆
=
Trong quá trình giải bài tập cần lưu ý:
- Trong chuyển động quay quanh một trục cố định của vật rắn thì các
điểm trên vật rắn:
+ Chuyển động trên các quỹ đạo tròn có tâm là trục quay.
+ Tại mọi thời điểm thì tất cả các điểm tham gia chuyển động quay
trên vật có cùng góc quay, vận tốc góc và gia tốc góc.
- Đối với vật rắn quay đều thì: a
t
= 0 nên a = a
n
Ví dụ 1: Một cánh quạt dài OA = 30cm quay với tốc độ góc không đổi ω = 20 rad/s
quanh trục đi qua O. Xác định tốc độ dài của một điểm M (thuộc OA) ở trên cánh
quạt cách A một khoảng 10 cm?
Giải
Khoảng cách từ M đến trục quay là:
OM = OA - MA = 20 cm = 0,2 m.
Tốc độ dài của M là:
v
M
= ω.r = ω.OM = 20.0,2 = 4m/s
Ví dụ 2: Một bánh xe bán kính 50cm quay đều với chu kì là 0,1 giây. Hãy tính:
a) Vận tốc dài và vận tốc góc của một điểm trên vành bánh xe.
b) Gia tốc pháp tuyến của một điểm trên vành bánh; của điểm chính giữa một bán
kính.
Giải
a) Vận tốc góc của một điểm trên vành bánh xe là:
)/(8,62
1,0
22
srad
T
===
ππ
ω
- Vận tốc dài của một điểm trên vành bánh xe là :
)/(4,315.0.8,62. smrv ===
ω
b) Gia tốc pháp tuyến của một điểm trên vành bánh xe:
)/(92,19715,0.8,62
222
1
smra
n
===
ω
- Gia tốc pháp tuyến của điểm chính giữa một bán kính:
)/(96,985
22
2
1
2
2
sm
ar
a
n
n
===
ω
Ví dụ 3: Một bánh xe có bán kính R=10cm lúc đầu đứng yên, sau đó quay xung
quanh trục của nó với gia tốc bằng 3,14rad/s
2
. Hỏi, sau giây thứ nhất:
a) Vận tốc góc và vận tốc dài của một điểm trên vành bánh?
b) Gia tốc tiếp tuyến và gia tốc pháp tuyến và gia tốc toàn phần của một điểm trên
vành bánh?
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe (ứng với cùng một điểm trên
vành bánh)?
Giải
a) Vận tốc góc sau giây thứ nhất:
ω = γt = 3,14.1 = 3,14 rad/s
Vận tốc dài của một điểm trên vành bánh xe:
a
α
n
a
t
a
0
Hình 1
v = ωr = 3,14 . 0,1 = 0,314 m/s.
b) Gia tốc tiếp tuyến:
a
t
= γr = 3,14.0,1 = 0,314m/s
2
Gia tốc pháp tuyến:
a
n
= ω
2
r = 3,14
2
.0,1 = 0,985 m/s
2
Gia tốc toàn phần:
a =
=+
22
nt
aa
1,03m/s
2
c) Góc giữa gia tốc toàn phần và bán kính của bánh xe được xác định:
tgα =
985,0
314,0
=
n
t
a
a
→ α= 17
0
46
’
Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tìm vận tốc góc trung bình của:
a) Kim giờ và kim phút đồng hồ.
b) Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất (Mặt Trăng quay xung quanh Trái Đất một
vòng mất 27 ngày đêm).
c) Của một vệ tinh nhân tạo của Trái Đất quay trên quỹ đạo tròn với chu kì bằng 88
phút.
Đáp số: a) 14,5.10
-5
rad/s, 1,74.10
-3
rad/s; b) 2,7.10
-6
rad/s; c) 1,19.10
-3
rad/s.
2. Khi tắt điện thì một cánh quạt điện đang quay với tốc độ góc 20 vòng/phút dừng lại
sau 2 phút. Tính gia tốc góc trung bình.
Đáp số: 0,05π rad/s.
3. Một bánh xe quay đều với tốc độ 300 vòng/phút. Trong 10s bánh xe quay được góc là
bao nhiêu?
Đáp số: 314 rad
4. Một cái đĩa quay quanh một trục cố định, từ nghỉ và quay nhanh dần đều. Tại một thời
điểm nó đang quay với tốc độ 10 vg/s. Sau khi quay trọn 60 vòng nữa thì tốc độ góc
của nó là 15 vg/s. Hãy tính:
a) Gia tốc góc của đĩa.
b) Thời gian cần thiết để quay hết 60 vòng nói trên.
c) Thời gian cần thiết để đạt tốc độ 10vg/s và số vòng quay từ lúc nghỉ cho đến khi đĩa
đạt tốc độ góc 10vg/s.
Đáp số: a) 6,54 rad/s
2
; b) 4,8s; c) 9,6s và 48 vòng.
5. Một bánh đà đang quay với tốc độ góc 1,5 rad/s thì quay chậm dần đều được 40
vòng cho đến khi dừng.
a) Thời gian cần để dừng là bao nhiêu?
b) Gia tốc góc là bao nhiêu?
c) Nó cần thời gian là bao nhiêu để quay được 20 vòng đầu trong số 40 vòng ấy.
Đáp số: a) t = 335s ; b) γ = - 4,48.10
-3
rad/s
2
; c) t
’
= 98,1s
6. Một cái đĩa ban đầu có vận tốc góc 120rad/s, quay chậm dần đều với gia tốc bằng 4,0
rad/s
2
.
a) Hỏi sau bao lâu thì đĩa dừng lại?
b) Đĩa quay được một góc bao nhiêu trước khi dừng?
Đáp số: a) t = 30s ; b) 1800rad.
7. Tìm vận tốc dài của chuyển động quay của một điểm trên mặt đất tại Hà Nội. Biết rằng
vĩ độ của Hà Nội là
0
21=
α
Đáp số: v = R. ωcosα = 430m/s
8. Vận tốc của electron trong nguyên tử hyđrô là
scmv /10.8,2
3
=
.Tính vận tốc góc và gia
tốc pháp tuyến của electron nếu quỹ đạo của nó là một vòng tròn bán kính 0,5.1
-8
cm.
Đáp số: ω = 4,4.10
16
rad/s ; a
n
= 9,68.10
4
m/s
2
.
Bài tập trắc nghiệm khách quan ( phụ lục - chủ đề 1)
2.7.2. Bài tập xác định mô men quán tính của một số vật đồng chất có hình dạng
hình học đặc biệt.
Phương pháp giải
Sử dụng công thức tính mô men quán tính của một số vật đã biết (cho trong
sách giáo khoa), tính chất cộng của mô men quán tính và định lí trục song
song để tìm mô men quán tính của một số vật đặc biệt theo yêu cầu.
+ Nếu vật được chia thành các phần mà mô men quán tính của các phần đó đối
với trục quay đã biết thì ta vân dụng công thức:
I = I
1
+ I
2
+ ….+ I
n
.
+ Nếu mô men quán tính của vật đối với trục quay đi qua khối tâm đã biết thì
mô men quán tính của vật đối với trục quay (
∆
) song song với trục quay đi qua
khối tâm được tính: I
(
∆
)
= I
G
+ md
2
Mô men quán tính của một số vật đồng chất:
+ Vành tròn, hình trụ rỗng khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục
của nó: I = mR
2
.
+ Đĩa tròn, hình trụ đặc khối lượng m, bán kính R có trục quay trùng với trục
của nó: I =
2
1
mR
2
.
+ Thanh dài l, khối lượng m có trục quay trùng với trung trực của thanh:
I =
12
1
ml
2
.
+ Quả cầu đặc có trục quay đi qua tâm: I =
5
2
mR
2
.
Ví dụ 1: Một thanh đồng chất AB dài l = 1m khối lượng m
1
= 3 kg. Gắn vào hai đầu
A và B của thanh hai chất điểm khối lượng m
2
= 3kg và m
3
= 4kg. Tìm momen quán
tính của hệ trong các trường hợp:
a) Trục quay vuông góc với thanh tại trung điểm của AB.
b) Trục quay tại đầu A của thanh và vuông góc với thanh.
c) Trục quay cách A khoảng l/4 và vuông góc với thanh.
Giải
a) Mô men quán tính của thanh đối với trục quay (O) đi
qua trung điểm của thanh AB: I
1
=
12
1
m
1
l
2
Mô men quán tính của m
2
đối với trục quay (O): I
2
= m
2
R
2
2
= m
2
4
2
l
Mô men quán tính của m
3
đối với trục quay (O): I
3
= m
3
R
3
2
= m
3
4
2
l
Momen quán tính của hệ đối với trục quay (O):
I = I
1
+ I
2
+ I
3
=
12
1
m
1
l
2
+ m
2
4
2
l
+ m
3
4
2
l
=
12
2
l
( m
1
+ 3m
2
+ 3m
3
)
Thay số: I =
12
1
(3 + 3.3 + 3.4) = 2 (kg.m
2
)
b) Trục quay vuông góc với thanh tại đầu A được
tính:
Mô men quán tính của thanh đối với trục quay (A): I
1
=
3
1
m
1
l
2
Mô men quán tính của m
2
đối với trục quay (A): I
2
= 0
Mô men quán tính của m
3
đối với trục quay (A): I
3
= m
3
R
3
2
= m
3
l
2
Mô men quán tính của hệ đối với trục quay (A):
I = I
1
+ I
2
+ I
3
=
3
1
m
1
l
2
+ 0
+ m
3
l
2
=
3
1
.3.1
2
+ 0
+ 4.1
2
= (5 kgm
2
)
c) Trục quay (O’) cách A khoảng l/4 và vuông góc với
thanh.
Áp dụng định lí trục song song ta tính được mô men
quán tính của thanh đối với trục quay (O’):
I
1
=
12
1
m
1
l
2
+ m
1
(
4
l
)
2
=
48
7
m
1
l
2
Mô men quán tính của m
2
đối với trục quay (O’):
I
2
= m
2
R
2
2
= m
2
164
2
2
2
l
m
l
=
A
B
O
m
2
m
3
Hình 2
A
B
m
2
m
3
Hình 3
A
B
m
2
m
3
O’
Hình 4
G
Mô men quán tính của m
3
đối với trục quay (O’):
I
3
= m
3
R
3
2
= m
3
16
9
4
3
2
3
2
l
m
l
=
Mô men quán tính của hệ đối với trục quay (O’):
I = I
1
+ I
2
+ I
3
=
2
1
48
7
lm
+
2
2
16
1
lm
+
2
3
16
9
lm
= 2,875 2 kg.m
2
Ví dụ 2: Thanh mảnh có khối lượng M, dài L được gập thành khung hình tam giác
đều ABC. Tính mô men quán tính của khung đối với trục quay đi qua A và vuông
góc với khung.
Giải
Ta thấy:
m
AB
=
m
BC
= m
CA
= m = M/3.
l
AB
=
l
BC
= l
CA
= l = L/3.
Mô men quán tính của khung đối với trục quay đi qua
A và vuông góc với khung:
I = I
AB
+
I
BC
+ I
CA
Trong đó: I
AB
= I
CA
=
2
3
1
ml
Áp dụng định lí trục song song ta tính mô men quán tính của thanh BC đối với trục
quay đi qua A là I
BC
:
I
BC
= I
(G)BC
+ m .(AG)
2
Trong đó: I
(G)BC
=
2
12
1
ml
; AG =
2
3l
I
BC
=
2
12
1
ml
+ m.(
2
3l
)
2
=
2
6
5
ml
Suy ra: I = 2.
2
3
1
ml
+
2
6
5
ml
= 1,5ml
2
= 1,5.
2
2
18
1
9
.
3
ML
LM
=
Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Tính mô men quán tính của một vật rắn đồng chất dạng đĩa tròn đặc bán kính r có trục
quay vuông góc với đĩa và đi qua mép đĩa.
Đáp số:
2
5,1 mR
2. Một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 1,5m khối lượng m = 2 kg.
a) Tính momen quán tính của đĩa đối với trục vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?
b) Đặt vật nhỏ khối lượng m
1
= 2 kg vào mép đĩa và vật m
2
= 3 kg vào tâm đĩa. Tìm
momen quán tính của hệ đối với trục quay vuông góc với mặt đĩa tại tâm O của đĩa?
Đáp số: a) 2,25 kg.m
2
; b) 6,25 kg.m
2
A
B
C
G
Hình 5
3. Sàn quay là một hình trụ, đặc đồng chất, có khối lượng 25kg và có bán kính 2,0m. Một
người có khối lượng có khối lượng 50kg đứng trên sàn. Tính mô men quán tính của
người và sàn trong 2 trường hợp:
a) Người đứng ở mép sàn
b) Người đứng ở điểm cách trục quay 1,0m.
Đáp số: a)250kgm
2
; b) 100kgm
2
.
Bài tập dạng trắc nghiệm khách quan (xem phụ lục - chủ đề 2)
2.7.3. Bài tập áp dụng phương trình động lực học của vật rắn quay quanh một
trục cố định.
• Dạng 1: Xác định gia tốc góc và các đại lượng động học khi biết các lực (hoặc
mô men lực) tác dụng lên vật, mô men quán tính và ngược lại.
Phương pháp giải
Biểu diễn các lực tác dụng lên vật và tính mô men các lực đó đối với trục
quay.
Áp dụng phương trình động lực học của vật rắn trong chuyển động quay
quanh một trục cố định: M = I γ
Từ phương trình động lực học xác định được γ (hoặc các đại lượng liên
quan), từ đó xác định được các đại lượng động học, học động lực học.
Ví dụ 1: Một đĩa tròn đồng chất có bán kính R = 20cm, khối lượng m = 5 kg. Đĩa có
trục quay đi qua tâm đĩa và vuông góc với mặt đĩa. Đĩa đang đứng yên thì chịu tác
dụng của lực không đổi F = 2N tiếp tuyến với vành đĩa. Bỏ qua ma sát. Tìm tốc độ
góc của đĩa sau 5s chuyển động?
Giải
Momen quán tính của đĩa đối với trục quay đi qua tâm đĩa và vuông góc với mặt đĩa:
I =
2
1
mR
2
=
2
1
.5.2,0
2
= 0,1 kg.m
2
Momen lực tác dụng lên đĩa:
M = F.d = F.R = 2.0,2 = 0,4 N
Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay ta được:
M = I.γ → γ =
==
1,0
4,0
I
M
4rad/s
2
Tốc độ góc của đĩa sau 5s chuyển động là:
ω = γt = 4.5 = 20 rad/s
Ví dụ 2: Tác dụng một lực tiếp tuyến 0,7 N vào vành ngoài của một bánh xe có
đường kính 60cm. Bánh xe quay từ trạng thái nghỉ và sau 4 giây thì quay được vòng
đầu tiên. Momen quán tính của bánh xe là bao nhiêu?
Giải
Gia tốc góc của bánh xe được tính:
ϕ
-
ϕ
0
=
2
1
γ
t
2
→ γ =
)/(
4
)/(
4.4
2.2
)(2
22
2
0
sradsrad
t
ππ
ϕϕ
==
−
Mô men lực tác dụng vào bánh xe:
M = F.R = 0,7.0.3 = 0,21Nm.
Áp dụng phương trình cơ bản của chuyển động quay, ta tính được mô men quán tính
của bánh xe:
M = I.
γ
→
I =
γ
M
=
≈
2
4/
21,0
kgm
π
0,27kgm
2
.
Ví dụ 3: Một bánh xe chịu tác dụng của một mô men lực M
1
không đổi là 20Nm.
Trong 10 s đầu, tốc độ góc của bánh xe tăng đều từ 0 đến 15 rad/s. Sau đó mô men
lực M
1
ngừng tác dụng, bánh xe quay chậm dần đều và dừng lại sau 30s. Cho biết mô
men của lực ma sát có giá trị không đổi trong suốt thời gian chuyển động bằng
0,25M
1
.
a) Tính gia tốc góc của bánh xe khi chuyển động nhanh dần đều và khi chậm dần đều.
b) Tính mô men quán tính của bánh xe đối với trục.
Giải
a) Gia tốc góc của bánh xe:
- Giai đoạn quay nhanh dần đều:
2
1
01
1
/5,1 srad
t
=
∆
−
=
ωω
γ
- Giai đoạn quay chậm dần đều:
2
2
12
1
/5,0 srad
t
−=
∆
−
=
ωω
γ
b) Tổng mô men lực tác dụng vào bánh xe trong giai đoạn quay nhanh dần đều:
M = M
1
+ M
ms
= 20 – 5 = 15Nm
Mô men quán tính của bánh xe:
I =
1
γ
M
= 10kgm
2
.
Ví dụ 4: Một đĩa mài hình trụ có khối lượng 0,55kg và bán kính 7,5cm. Mô men lực
cần thiết phải tác dụng lên đĩa để tăng tốc từ nghỉ đến 1500vòng/phút trong 5s là bao
nhiêu? Nếu biết rằng sau đó ngừng tác dụng của mô men lực thì đĩa quay chậm dần
đều cho đến khi dừng lại mất 45s.
Giải
Mô men quán tính của đĩa là đối với trục quay trùng với trục hình trụ là:
I =
2
1
mR
2
= 1,55.10
-3
(kgm
2
)
Gia tốc góc của đĩa khi tăng tốc:
γ
1
=
== )/(
5
60/2.1500
2
1
srad
t
πω
)/(10
2
srad
π
Gia tốc góc của đĩa khi quay chậm dần:
γ
2
= -
=−= )/(
45
60/2.1500
2
2
srad
t
πω
)/(
9
10
2
srad
π
−
Áp dụng phương trình động lực học trong chuyển động của đĩa ta có:
+ Khi quay chậm dần đều đĩa chịu tác dụng của lực ma sát sinh ra mô men cản: M
ms
= Iγ
2
+ Khi tăng tốc đĩa chịu tác dụng của mô men lực làm quay và mô men cản của lực
ma sát:
M
F
+ M
ms
= I γ
1
→ M
F
= I γ
1
- I γ
2
= I(γ
1
- γ
2
)
M
F
= 1,55.10
-3
(10π+
9
10
π
) (Nm) = 0,054Nm.
• Dạng 2: Xác định gia tốc góc, gia tốc dài trong chuyển động của hệ vật có cả
chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay.
Phương pháp giải
Bài tập dạng này thường có tham gia ít nhất 2 vật : một vật chuyển động
quay và một số vật chuyển động tịnh tiến. Khi giải các bài tập loại này ta thực
hiện theo các bước sau:
Biểu diễn các lực tác dụng lên các vật .
Viết các phương trình động lực học cho các vật:
+ Đối với vật chuyển động quay: M = I γ
+ Đối với các vật chuyển động thẳng:
∑
= amF
Chuyển các phương trình vec tơ (nếu có) thành các phương trình vô hướng.
Áp dụng các phương trình được suy ra từ điều kiện của bài toán:
+ Dây không dãn: a
1
= a
2
=….= rγ
+ Dây không có khối lượng thì: T
1
= T
2
(ứng với đoạn dây giữa hai vật sát
nhau).
Dùng toán học để tìm ra kết quả bài toán.
Ví dụ 1: Trên hình vẽ 6: ròng rọc là một cái đĩa đồng tính có
khối lượng M =2,5kg và có bán kính R = 20cm, lắp trên một
cái trục nằm ngang cố định. Một vật nặng khối lượng m = 1,2kg
treo vào một sợi dây không trọng lượng quấn quanh mép đĩa.
Hãy tính gia tốc của vật nặng khi rơi, gia tốc góc của đĩa và sức
căng của dây . Giả thiết dây không trượt và không có ma sát ở ổ
trục.
Giải
- Các lực tác dụng lên M gây mômen đối với trục ròng rọc:
2
T
- Các lực tác dụng lên m gồm
11
,TP
Áp dụng định luật II Niu tơn cho vật m:
mg – T
1
= ma (1)
Áp dụng phương trình động lực học cho vật rắn chuyển
động quay đối với M:
T
2
R = I
γ
=
γ
2
2
1
MR
(2)
Với
R
a
=
γ
, T
1
= T
2
= T (3)
Từ (1) ,(2) và (3) ta có:
2
/8,4
2,1.25,2
2,1.2
8,9
2
2
sm
mM
m
ga =
+
=
+
=
Gia tốc góc của đĩa :
2
/24
2,0
8,4
srad
R
a
==
γ
Lực căng của dây T:
NMaT 0,68,4.5,2
2
1
2
1
===
Ví dụ 2: Hai vật A và B có cùng khối lượng m = 1kg, được liên kết với nhau bằng
một dây nhẹ, không dãn, vắt qua ròng rọc bán kính R = 10cm và mô men quán tính I
= 0,050kgm
2
(hình vẽ). Biết dây không trượt trên ròng rọc. Lúc đầu, các vật được giữ
đứng yên, sau đó hệ vật được thả ra. Người ta thấy sau 2s, ròng rọc quay quanh trục
của nó được 2 vòng và gia tốc của các vật A, B là không đổi. Cho g = 10m/s
2
. Coi
ma sát ở trục ròng rọc là không đáng kể.
a) Tính gia tốc góc của ròng rọc.
b) Tính gia tốc của hai vật.
c) Tính lực căng của dây ở hai bên ròng rọc.
m
R
Hình 6
T
1
T
2
P
1
m
R
+
Hình 7
A
B
Hình 8
d) Tính hệ số ma sát trượt giữa vật B với bàn.
Giải
a) Gia tốc góc của ròng rọc được tính:
Từ ϕ = γt
2
/2 → γ = 2ϕ /t
2
= 6,28rad/s
2
.
b) Gia tốc của hai vật:
a = Rγ = 0,63m/s
2
.
c) Lực căng của dây ở hai bên ròng rọc:
- Đối với vật A: P
A
– T
A
= ma
→ T
A
= mg-ma = 9,17 (N) = T’
A
.
- Đối với ròng rọc: (T
A
– T
B
)R = I γ
→ T
B
= T
A
- I γ /R = 6,03 (N)
d) Hệ số ma sát được tính:
- Đối với vật B: T
B
– F
ms
= ma → F
ms
= T
B
– ma = 5,4 (N)
- Hệ số ma sát trượt giữa vật B và mặt bàn là: µ = F
ms
/mg = 0,55
Ví dụ 3: Cho cơ hệ như hình vẽ. Khối lượng của
các vật và ròng rọc lần lượt là: m
1
= 4kg, m
2
= 1
kg, m = 1 kg. Ròng rọc được xem như đĩa tròn
đồng chất có bán kính R = 10cm. Bỏ qua ma sát.
Lấy g = 10m/s
2
. Cho α = 30
0
. Hãy tính:
a) Gia tốc của m
1
, m
2
và gia tốc góc của ròng rọc.
b)Lực căng của sợi dây nối với m
1
và m
2
.
Giải
a) Các lực tác dụng lên m
1
gồm:
1
P
,
1
T
,
N
Các lực tác dụng lên m
2
gồm:
2
P
,
2
T
Các lực tác dụng lên ròng rọc gây ra mô men
đối với trục quay:
/
1
T
,
/
2
T
Áp dụng định luật II Niutơn cho vật m
1
và vật
m
2
ta được:
m
1
g.sinα - T
1
= m
1
a
1
(1)
T
2
– m
2
g = m
2
a
2
(2)
Áp dụng phương phương động lực học cho chuyển động quay của ròng rọc ta có:
T
1
R – T
2
R = I.γ (3)
Mặt khác: T’
1
= T
1
, T’
2
= T
2
, a
1
= a
2
= a = Rγ, I =
2
2
1
mR
(4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có:
m
1
m
2
α
m
Hình 10
m
1
m
2
N
α
1
P
2
P
1
T
2
T
/
1
T
/
2
T
Hình 11
A
B
T
B
T
A
T’
A
T’
B
P
A
F
ms
Hình 9
γ =
)/(
)11.24.2.(1,0
)15,0.4(10.2
)22(
)sin(2
2
21
21
srad
mmmR
mmg
++
−
=
++
−
α
=
)/(
11
200
2
srad
a
1
= a
2
= a = Rγ = 0,1.
8,1
11
200
≈
(m/s
2
).
b) Lực căng các dây được tính:
T
2
= m
2
(g + a
2
) = 1.(10+1,8) = 11,8 (N)
T
1
= m
1
g.sinα - m
1
a
1
= 4.10.0,5 – 4.1,8 = 12,8 (N)
• Dạng 3: Xác định gia tốc góc của vật rắn trong chuyển động quay quanh một
trục cố định khi mô men lực tác dụng lên vật thay đổi.
Phương pháp giải
Bài tập loại này thường chỉ yêu cầu xác định gia tốc góc khi vật ở một
vị trí đặc biệt nào đó. Vì mô men lực thay đổi nên gia tốc góc cũng thay
đổi. Để làm bài tập loại này ta cũng làm giống như dạng 1 đó là:
Xác định mô men lực tác dụng lên vật
Áp dụng phương trình động lực học vật rắn chuyển động quay
Dùng toán học tìm kết quả.
Ví dụ 1: Thanh đồng chất OA khối lượng m và chiều dài l
có thể quay tự do trong mặt phẳng thẳng đứng với trục
quay (O) nằm ngang. Ban đầu thanh được giữ nằm ngang
rồi thả cho rơi. Tính gia tốc góc của thanh, gia tốc dài của đầu thanh tại thời điểm
bắt đầu thả.
Giải
Tại thời điểm thả để thanh chuyển động (thanh đang nằm
ngang), mô men lực làm thanh quay là:
2 2
l mgl
M P= =
Áp dụng phương trình động lực học cho chuyển động
quay ta có :
M = Iγ →
M
I
γ
=
với
2
2
1 / 2 3
.
3 /3 2
mgl g
I ml
ml l
γ
= ⇒ = =
Gia tốc dài của đầu A thanh tại thời điểm bắt đầu thả:
gl
l
g
la
2
3
2
3
. ===
γ
Ví dụ 2: Có hai vật nặng, mỗi vật có khối lượng m =
100g treo vào hai đầu của một thanh không trọng
lượng, độ dài l
1
+l
2
với l
1
=20cm và l
2
=80cm.
m m
l
1
l
2
Hình 14
AO
Hình 12
•
A
O
P
Hình 13
•
Thanh được giữ ở vị trí nằm ngang, như trên hình vẽ 12, sau đó được buông ra. Tính
gia tốc của hai vật nặng và lực căng của dây treo khi các vật bắt đầu chuyển động.
Lấy g = 10m/s
2
.
Giải
Các lực tác dụng lên m
1
và m
2
như hình vẽ 13.
Áp dụng định luật II Niu tơn cho m
1
và m
2
ta được:
m
2
g - T
2
= m
2
a
2
(1)
T
1
- m
1
g = m
2
a
1
(2)
Đối với thanh: T
2
l
2
-T
1
l
1
= 0 (3)
Mặt khác:
2
1
2
1
l
l
a
a
=
(4)
Từ (1),(2),(3),(4) với lưu ý m
1
=m
2
= m =100g ta có:
a
1
=
=
+
−
g
ll
lll
2
2
2
1
2
121
2
/
17
30
sm
a
2
=
=
+
−
g
ll
lll
2
2
2
1
21
2
2
2
/
17
120
sm
T
1
= m
1
(g+a
1
) =
N
17
20
T
2
= m
2
(g-a
2
) =
N
17
5
Bài tập áp dụng dạng tự luận
1. Một bánh xe bán kính 0,20m được lắp vào một trục nằm ngang không ma sát. Một sợi
dây không khối lượng quấn quanh bánh xe và buộc
vào một vật, khối lượng 2,0kg. Vật này trượt
không ma sát trên mặt phẳng nghiêng 20
0
so với mặt
phẳng ngang với gia tốc 2,0m/s
2
. Lấy g = 10m/s
2
. Hãy
tính:
a) Lực căng của dây.
b) Mô men quán tính của bánh xe .
c) Tốc độ góc của bánh xe sau khi quay từ nghỉ được 2,0s.
Đáp số: a) 2,7N; b) 0,054kgm
2
; c) 10rad/s
2
.
2. Một thanh mảnh đồng chất có chiều dài l = 1m, trọng lượng P = 5N quay xung quanh
một trục thẳng góc với thanh và đi qua điểm giữa của nó. Tìm gia tốc góc của thanh
nếu mô men lực tác dụng lên thanh là M = 0,1Nm.
Đáp số: γ = 2,25rad/s
2
3. Một trụ đặc đồng chất khối lượng m= 100kg quay xung quanh một trục nằm ngang
trùng với trục của trụ. Trên trụ có quấn một sợi dây không giãn trọng lượng không
α
Hình 16
l
1
l
2
T
1
T
2
P
1
P
2
Hình 15
đáng kể. Dầu tự do của đây có treo một vật nặng khối lượng M= 20kg. Để vật nặng tự
do chuyển động. Tìm gia tốc của vật nặng và sức căng của sợi dây.
Đáp số: a = 2,8m/s
2
; T = 140,2N
4. Hai vật khối lượng 2,00kg và 1,5 kg được nối với nhau
bằng một sợi dây mảnh vắt qua một ròng rọc gắn ở mép
một chiếc bàn. Vật 1,5 kg ở trên bàn (hình 15). Ròng rọc có
mô men quán tính 0,125kg.m
2
và bán kính 15cm. Giả sử
rằng dây không trượt trên ròng rọc, ma sát ở mặt bàn và ở
trục ròng rọc là không đáng kể. Hãy tính:
a) Gia tốc của 2 vật.
b)Lực căng ở hai nhánh dây.
Đáp số: a) a
1
= a
2
= 3,24m/s
2
; b)T
1
=13,1N; T
2
=4,86N
5. Thanh mảnh có chiều dài l, khối lượng m có trục quay nằm ngang cách một đầu của
thanh đoạn l/4. Ban đầu thanh được giữ nằm ngang, sau đó buông cho thanh chuyển
động. Tính gia tốc của thanh trong 2 trường hợp:
a) Ngay sau khi buông tay (thanh nằm ngang).
b) Thanh làm với phương đứng góc 30
0
.
Đáp số: a)
l
g
7
12
; b)
l
g
7
6
.
6. Một đĩa tròn đồng chất khối lượng m = 2kg, bán kính r = 10cm đang quay đều quanh
một trục vuông góc với mặt đĩa với tốc độ góc 10rad/s. Tác dụng lên đĩa một mô men
hãm thì đĩa quay chậm dần đều, sau 10 s thì đĩa dừng lại.
a) Tính mô men quán tính của đĩa
b) Tính độ lớn mô men hãm.
Đáp số: a) 0,01(kgm
2
); b) 0,01Nm.
Bài tập dạng trắc nghiệm khách quan (xem phụ lục - chủ đề 2)
2.7.4. Bài tập áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng.
• Dạng 1: Tìm mô men động lượng, độ biến thiên môn men động lượng của
một vật hoặc hoặc hệ vật.
Phương pháp giải
Nếu biết mô men quán tính và các đại lượng động học thì ta áp dụng công
thức: L = I
1
ω
1
+ I
2
ω
2
+… + I
n
ω
n
. Do đó bài toán đi tìm mô men động lượng
trở thành bài toán xác định mô men quán tính và tốc độ góc của các vật.
Nếu biết mô men lực và thời gian tác dụng của mô men lực thì:: M =
t
L
∆
∆
m
2
m
1
Hình 17
Ví dụ 1: Một đĩa tròn bán kính R = 20cm , khối lượng m
1
= 4kg quay quanh trục
thẳng đứng đi qua tâm với tốc độ góc
ω
= 2rad/s. Trên đĩa có
một thanh mảnh gắn chặt với nó, có khối lượng m
2
= 0,5kg,
dài 2R nằm trùng với đường kính của đĩa. Tính mô men động
lượng của hệ.
Giải
Mô men quán tính của hệ đối với trục quay thẳng đứng đi qua
tâm:
I =
2
1
m
1
R
2
+
12
1
m
2
(2R)
2
=
2
1
m
1
R
2
+
3
1
m
2
R
2
Mô men động lượng của hệ là:
L = I
ω
= (
2
1
m
1
R
2
+
3
1
m
2
R
2
)
ω
→
L = (
2
1
.4+
3
1
.0,5 ). 0,2
2
.2
≈
0,17kgm
2
/s
Ví dụ 2 : Một đĩa mài quay quanh trục của nó từ trạng thái nghỉ nhờ một momen lực
M = 50 Nm. Xác định mômen động lượng của đĩa mài sau 5 giây?
Giải
Áp dụng công thức:
M =
t
L
∆
∆
=
t
L
tt
LL
=
−
−
0
01
Suy ra: L = M.t = 50.5 = 250 kg.m
2
/s
• Dạng 2: Bài tập áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng
Phương pháp giải
Kiểm tra điều kiện bài toán để áp dụng định luật bảo toán mô men động
lượng.
Tính mô men động lượng của hệ ngay trước và ngay sau khi tương tác.
Trường hợp có sự tương tác giữa chất điểm với vật rắn thì mô men động
lượng của chất điểm đối với trục quay được viết theo công thức: L = mv.r
= mr
2
ω
.
Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng: L
hệ
= hằng số
Từ phương trình định luật bảo toàn , ta dùng toán học để tìm kết quả.
Ví dụ 1: Một sàn quay có dạng một đĩa tròn đồng chất khối lượng M = 25 kg, bán
kính R = 2m. Một người khối lượng m =50 kg đứng tại mép sàn. Sàn và người quay
đều với tốc độ 0,2 vòng/s. Khi người đó đi tới điểm cách trục quay 1m thì tốc độ góc
của người và sàn bằng bao nhiêu?
Giải
Hình 18
Mô men quán tính ban đầu của hệ :
)(250250225
2
1
2
1
22222
1
kgmmRMRI
=⋅+⋅⋅=+=
.
Mô men quán tính của hệ khi người cách trục quay 1m:
).(100
4
2
50225
2
1
42
1
2
2
2
2
2
2
mkg
R
mMRI
=⋅+⋅⋅=+=
Momen động lượng của hệ ban đầu: L
1
= I
1
ω
1
Khi người cách trục quay 1m thì momen động lượng của hệ là: L
2
= I
2
ω
2
Áp dụng định luật bảo toàn momen động lượng ta có:
L
1
= L
2
hay I
1
ω
1
=
I
2
ω
2
vßng/s5,0
100
2,0.250
2
11
2
===⇒
I
I
ω
ω
Ví dụ 2: Một người ngồi trên một chiếc ghế đang quay, hai tay cầm hai quả tạ, mỗi
quả 3,0kg. Khi người ấy dang tay theo phương ngang, các quả tạ cách trục quay
1,0m và người quay với tốc độ góc 0,75rad/s. Giả thiết mô men quán tính của hệ
“người + ghế” là không đổi và bằng 3,0kg.m
2
. Sau đó kéo quả tạ theo phương ngang
lại gần trục quay cách trục quay 0,30m. Tìm tốc độ góc mới của hệ “người + ghế”.
Giải
Coi người, ghế và quả tạ là một hệ.
Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng cho hệ nói trên ta có
L
1
= L
2
→ I
1
ω
1
=I
2
ω
2
Với: I
1
= 3 + 2.3.1
2
= 9 (kgm
2
)
I
2
= 3 + 2.3.(0,3)
2
= 3,54 (kgm
2
)
Do đó:
)/(9,1
54,3
75,0.9
2
11
2
srad
I
I
===
ω
ω
Ví dụ 3: Một đứa trẻ, khối lượng M đứng ở mép một sàn quay có bán kính và mô
men quán tính I. Sàn đứng yên. Bỏ qua ma sát ở trục quay. Đứa trẻ ném một hòn đá
khối lượng m theo phương ngang, tiếp tuyến với mép của sàn.Tốc độ của hòn đá so
với mặt đất là v. Hỏi :
a) Tốc độ góc của sàn quay.
b) Tốc độ dài của đứa trẻ.
Giải
Coi sàn, đứa trẻ và hòn đá là một hệ. Thời gian ném đá là rất nhỏ ta có thể bỏ qua
xung của mô men lực tác dụng vào hệ và coi mô men động lượng của hệ là bảo toàn
trong thời gian tương tác.
Mô men động lượng của hệ ngay trước khi ném đá là L
0
= 0 ( sàn, đứa trẻ, đá đứng
yên)
Mô men động lượng của hệ ngay sau khi ném đá là: L
hệ
= L
sàn
+ L
trẻ
+L
đá
L
hệ
= Iω + MR
2
ω + mvR
Áp dụng định luật vảo toàn mô men động lượng :
L
hệ
= 0
2
( ) 0I MR mvR
ω
⇒ + + =
a) Tốc độ góc của đứa trẻ :
2
mR
I MR
ω
−
=
+
b) Tốc độ dài của đứa trẻ :
2
2
mvR
v R
I MR
ω
−
= =
+
Ví dụ 4: Một thanh mảnh, đồng tính, dài 0,5m, khối lượng 0,4kg. Thanh có thể quay
trên một mặt phẳng nằm ngang, quanh một trục thẳng đứng đi qua khối tâm của nó.
Thanh đang đứng yên, thì một viên đạn khối lượng 3,0g bay trên mặt phẳng ngang
của thanh và cắm vào một đầu thanh. Phương của vận
tốc của viên đạn làm với thanh một góc 60
0
. Vận tốc
góc của thanh ngay sau va chạm là 10rad/s. Hỏi tốc độ
của viên đạn ngay trước va chạm là bao nhiêu?
Giải
Mô men động lượng của đạn ngay trước va chạm:
L
1
= mv.
2
l
Sin60
0
= 3.10
-3
.
v
2
3
.
2
5,0
= 0,650v
Mô men động lượng của hệ ngay sau khi viên đạn cắm vào thanh:
L
h
=
835,0)25,0.(10.3)5,0.(4.
12
1
412
1
232
2
2
=
+=
+
−
ω
l
mMl
Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng:
L
h
= L
1
→ v =
28,1
650,0
835,0
=
(m/s)
Ví dụ 5: Hai quả cầu, mỗi quả khối lượng M = 2,0kg được gắn ở hai đầu thanh
mảnh khối lượng không đáng kể dài 50,0cm. Thanh có thể quay không ma sát trong
mặt phẳng thẳng đứng quanh một trục nằm ngang đi
qua tâm của nó. Khi thanh đang nằm ngang thì có một
cục matít có khối lượng m= 50,0g rơi vào một quả cầu
vào một quả cầu và dính vào đó. Tính tốc độ góc của hệ
ngay sau khi cục matít rơi vào?
Giải
Coi thanh với hai quả cầu và cục matít là một hệ. Vì thời gian va chạm là rất ngắn
và khối lượng của cục matít rất nhỏ nên ta có thể bỏ qua xung của mô men lực tác dụng
vào hệ và coi mô men động lượng của hệ là bảo toàn trong thời gian va chạm.
60
0
•
Hình 19
•
Trục quay
Cục matít
Hình 20
Mô men của hệ ngay trước khi va chạm (mô men động lượng của cục ma tít) là:
2
1
l
mvL =
Mô men động lượng của hệ ngay sau va chạm là :
( )
ωωω
4
2
2
2
2
22
2
l
mML
l
mIIL
h
+=⇒
=
+==
2Ö
2
l
M I víi
Theo định luật bảo toàn mô men động lượng :
( )
24
2
2
12
l
mv
l
mMLL =+⇔=
ω
Suy ra:
( ) ( )
srad
lmM
mv
/15,0
50,0050,000,4
0,3050,02
2
2
≈
⋅+
⋅⋅
=
⋅+
=
ω
Bài tập tự luận áp dụng.
1. Một vận động viên trượt băng nghệ thuật có thể tăng tốc độ từ 0,5vòng/s đến 3 vòng/s.
Nếu mô men quán tính lúc đầu là 4,6kgm
2
thì lúc sau là bao nhiêu?
Đáp số: 0,77kgm
2
.
2. Một xi lanh đặc, đồng chất, khối lượng 10kg, bán kính 1m quay với vận tốc góc 7rad/s
quanh trục của nó. Một cục ma tít, khối lượng 0,25kg, rơi thẳng đứng vào xi lanh tại
một điểm cách trục 0,9m và dính vào đó. Hãy xác định vận tốc của hệ khi cục ma tít
dính vào.
Đáp số: 6,73rad/s.
3. Hai đĩa có ổ trục được lắp vào cùng một cái trục. Đĩa thứ nhất có mô men quán tính
3,3kgm
2
,
được làm quay với tốc độ 450vòng/phút. Đĩa thứ hai
có mô men quán tính
6,6kgm
2
,
được làm quay với tốc độ 900vòng/phút. Sau đó cho chúng ghép sát nhau để
chúng quay như một đĩa. Hỏi vận tốc góc sau khi ghép bằng bao nhiêu?
Đáp số: 750 vòng/phút.
4. Một sàn quay hình trụ khối lượng 180 kg và bán kính 1,2m đang đứng yên. Một đứa
trẻ , khối lượng 40kg, chạy trên mặt đất với tốc độ 3m/s theo đường tiếp tuyến với mép
sàn và nhảy lên sàn. Bỏ qua ma sát với trục quay. Tính:
a) Mô men quán tính của sàn.
b) Mô men động lượng của đứa trẻ.
c) vận tốc góc của sàn và đứa trẻ sau khi nó nhảy lên sàn.
Đáp số: a. 1300kg.m
2
; b. 144kg.m
2
/s; c. 0,768 rad/s.
Câu 5: Một thanh tiết diện đều, khối lượng m, chiều dài h, đang đứng yên, thẳng
đứng trên mặt đất thì bị một vật khối lượng m
v
= m bay theo phương ngang với vân
tốc v đến va chạm mềm với đầu trên của thanh, làm cho thanh bị đổ. Xem rằng thanh
chỉ quay quanh đầu dưới. Hãy tính:
a) Mô men động luợng của hệ ngay trước khi va chạm đối với trục quay là đầu dưới
của thanh.
b) Tốc độ góc của thanh ngay sau va chạm
Đáp số: a. mvh; b.
h
v
4
3
.
Bài tập dạng tắc nghiệm khách quan (xem phụ lục - chủ đề 3).
2.7.5. Bài tập về năng lượng trong chuyển động quay của vật rắn.
• Dạng 1: Tính động năng của vật rắn trong chuyển động quay quanh một trục
cố định
Phương pháp giải
Viết công thức tính động năng của vật hoặc hệ vật: W
đ
=
2
1
I
ω
2
.
Nếu đề bài cho mô men quán tính và tốc độ góc thì ta áp dụng công
thức.
Nếu đề bài chưa cho I và
ω
thì ta tìm mô men quán tính và tốc độ góc
theo các đại lượng động học, động lực học hoặc áp dụng các định luật
bảo toàn.
Ví dụ 1: Một sàn quay hình trụ có khối lượng 80kg và có bán kính 1,5m. Sàn bắt
đầu quay nhờ một lực không đổi nằm ngang, có độ lớn 500N tác dụng vào sàn theo
phương tiếp tuyến với mép sàn. Tìm động năng của sàn sau 3,0s.
Giải
Mô men quán tính của sàn đối với trục quay của nó:
( )
2
2 2
1 1
80 1,50 90
2 2
I mR kgm= = × × =
Mô men quay của lực tác dụng vào sàn:
500 1,50 750 .M F R N m= × = × =
Gia tốc góc của sàn sau 3s :
2
750 25
8,333 /
90 3
M
rad s
I
γ
= = = ≈
Vận tốc góc của sàn sau 3s :
25
3,0 25 /
3
t rad s
ω γ
⇒ = = × =
Động năng của sàn sau 3s:
2 2
d
1 1
W 90 (25,0) 28125
2 2
I J
ω
= = × =
• Dạng 2: Tính động năng của vật rắn trong chuyển động lăn.
Phương pháp giải
Áp dụng công thức : W =
2
1
mv
G
2
+
2
1
I
ω
2
và xác định các đại lượng trong
công thức để tìm động năng.
Ví dụ: Một cái đĩa hình trụ đặc khối lượng M= 1,4kg và bán kính R = 8,5cm lăn trên
một mặt bàn nằm ngang với tốc độ 15cm/s.
a) Vận tốc tức thời của đỉnh đĩa đang lăn là bao nhiêu?
b) Tốc độ góc của đĩa đang quay là bao nhiêu?
c) Động năng của đĩa là bao nhiêu?
Giải
a) Tốc độ của một vật đăng lăn là tốc độ khối tâm của nó. Tốc độ của đỉnh đĩa gấp
đôi tốc độ ấy nên:
v
đỉnh
= 2v
kt
= 2.15 (cm/s) = 30 (cm/s)
b) Tốc độ góc của đĩa đang quay là:
)/(
5,8
15
srad
R
v
kt
==
ω
= 1,8 (rad/s)
c) Động năng của đĩa:
Ta có mô men quán tính đối với khối tâm: I =
2
2
1
MR
W =
2
1
I
kt
ω
2
+
2
1
mv
kt
2
=
22
2
2
4
3
2
1
)
2
1
.(
2
1
ktkt
kt
MvMv
R
v
MR =+
→ W =
J024,0)15,0.(4,1.
4
3
2
=
• Dạng 3: Bài tập áp dụng định lí động năng trong chuyển động quay.
Phương pháp giải
Áp dụng công thức: A =
∆
W
đ
để đi tìm lực hoặc các đại lượng liên quan.
Ví dụ 1: Một quả bóng có khối lượng 0,12kg được buộc vào đầu một sợi dây luồn
qua mộ lỗ thủng nhỏ ở mặt bàn (hình vẽ 19). Lúc
đầu quả bóng chuyển động trên đường tròn , bán
kính 40cm, với tốc độ dài 80cm/s. Sau đó dây được
kéo qua lổ xuống dưới 15 cm. Bỏ qua ma sát với
bàn. Hãy xác định:
a) Tốc độ góc của quả bóng trên đường tròn mới.
b) Công của lực kéo.
Hình 21
Giải
a) Tốc độ góc của quả bóng khi dây chưa kéo:
ω
1
=
)/(2
40
80
srad
R
v
==
Gọi ω
2
là tốc độ góc của quả bóng sau khi dây được kéo qua lổ xuống dưới. Áp
dụng định luật bảo toàn mô men động lượng:
L
1
= L
2
→ I
1
ω
1
= I
2
ω
2
→ ω
2
=
)/(12,52.
)1540(
40
2
4
2
2
1
2
1
2
11
srad
mR
mR
I
I
=
−
==
ωω
b) Áp dụng định lí động năng:
A = ∆W
đ
=
2
22
2
1
ω
I
-
2
11
2
1
ω
I
=
2
2
2
2
2
1
ω
mR
-
2
1
2
1
2
1
ω
mR
Thay số: A = 0,06 (J)
Ví dụ 2: Công cần thiết để tăng tốc đều một bánh xe từ nghỉ đến tốc độ góc 200rad/s
là 3000J trong 10s. Tìm momen lực tác dụng vào bánh xe?
Giải
Theo định lý biến thiên động năng: A = ∆W
đ
= W
đ
-
W
đ0
→ A =
2
1
Iω
2
→ I =
2
2
ω
A
=
2
200
300.2
= 0,15 (kgm
2
).
Gia tốc góc của vật: ω = ω
0
+ γt → γ =
10
200
=
t
ω
= 20 (rad/s).
Momen lực tác dụng vào bánh xe là: M = Iγ = 0,15.20 = 30 (Nm)
• Dạng 4: Bài tập áp dụng định luật bảo toàn cơ năng trong chuyển động quay.
Phương pháp giải
Bài tập lại này chủ yếu áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho vật rắn
có trục quay cố định nằm ngang trong trường hợp bỏ qua ma sát. Do đó
khi giải ta áp dụng công thức:
W = W
t
+ W
đ
= mgh
G
+
2
2
1
ω
I
= hằng số
Trong đó: h
G
= l(1-cos
α
) độ cao khối tâm của vật rắn so với mốc ta
chọn thế năng bằng 0, l là khoảng cách từ khối tâm đến trục quay,
α
là
góc giữa đường thẳng nối khối tâm và trục quay so với phương thẳng
đứng.
Ví dụ 1 : Một cái cột dài 2,5m đứng cân bằng trên mặt đất nằm ngang. Do bị đụng
nhẹ cột rơi xuống trong mặt phẳng thẳng đứng. Gia sử đầu dưới của cột không bị
trượt. Tính tốc độ của đầu trên của cột ngay trước khi nó chạm đất. Lấy g = 9,8m/s
2
.
Giải
Chọn gốc thế năng ở mặt đất. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng cho cột ở vị trí
thẳng đứng và ngay trước khi chạm đất ta có:
∆W
đ
= - ∆W
t
→
22
1
2
l
mgI =
ω
→
23
1
.
2
1
22
l
mgml =
ω
→
26
1
2
2
2
l
mg
l
v
ml =
→ v =
5,2.8,9.33 =gl
(m/s)
≈
8,6 (m/s)
Ví dụ 2: Một vật nhỏ khối lượng m trượt không ma sát trên một mặt cong. Vật va
chạm vào đầu một thanh đồng chất khối lượng M, dài l và dính
vào đó. Thanh có trục quay tại O nên đã quay đi một góc θ
trước khi tạm dừng lại (hình 20). Hãy tính θ theo các tham số
trên hình vẽ.
Giải
Mô men động lượng của vật ngay trước khi va chạm đối với trục
quay (o):
L
1
= mvl= ml
gh2
(1)
Mô men động lượng của hệ ngay sau va chạm:
L
h
=
ω
+
22
3
1
mlMl
(2)
Áp dụng định luật bảo toàn mô men động lượng:
L
h
= L
1
→ ω =
lmM
ghm
)3(
23
+
(3)
Động năng của hệ ngay sau va chạm:
W
đ
=
2
1
222
3
1
ω
+ mlMl
=
mM
ghm
3
3
2
+
(4)
Khi vị trí thanh đạt góc θ (vận tốc góc bằng 0) thì áp dụng định luật bảo toàn cơ
năng:
=−
+ )cos1(
2
θ
gl
M
m
mM
ghm
3
3
2
+
Cos θ = 1-
)3)(2(
6
2
mMmMl
hm
++
(5)
Ví dụ 3: Một ròng rọc khối lượng M, bán kính R,có thể quay tự do xung quanh trục
cố định của nó. Một sợi dây quấn quanh ròng rọc và đầu tự do của dây có gắn một vật
khối lượng m. Giữ cho vật đứng yên rồi thả nhẹ ra. Khi vật m rơi xuống được một đoạn
bằng h thì tốc độ của nó ở thời điểm đó có phụ thuộc bán kính R không?
Giải
•
M, l
h
α
Hình 22
O
