phương trình vi phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (336.38 KB, 59 trang )
Mục lục
1 Kiến thức cơ sở 2
1.1 Phương trình vi phân hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Tính chất ổn định của phương tr ình vi phân hàm . . . . . . . . 4
1.3 Tính chất ổn định theo xấp xỉ của hệ phương trình vi phân thường 5
1.4 Một số bổ đề . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.1 Bổ đề Gronwall - Bellman . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.2 Bổ đề Bihari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.4.3 Định lí xấp xỉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Phương pháp trung bình hóa trong lí thuyết ổn định của
phương trình vi phân hàm 8
2.1 Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2.2 Các điều kiện đủ về tính ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.3 Nhận xét . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Điều kiện đủ về tính không ổn định . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.6 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3 Tính chất ổn định của hệ phương trình vi phân hàm xấp xỉ
tuyến tính 32
3.1 Ma trận A có tất cả các giá trị riêng có phần thực âm . . . . . 32
3.2 Ma trận A có ít nhất một g iá trị riêng với phần thực dương . . 35
3.3 Ma trận A là xyclic, tức A có tất cả các giá trị riêng với phần
thực không dương và các giá trị riêng có với phần thực bằng
không ứng với ước sơ cấp đơn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4 Thí dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1
Chương 1
Kiến thức cơ sở
1.1 Phương trình vi phân hàm
Giả sử h > 0 là một số thực cho trước, C = C([−h, 0], R
n
) là không gian
Banach các hàm liên tục trên đoạn [−h, 0], với chuẩn được xác định:
ϕ = sup {|ϕ(s)| : −h ≤ s ≤ 0} ∀ϕ ∈ C
ở đó | .| là chuẩn trong R
n
.
Nếu
σ ∈ R, A > 0, x ∈ C([σ − h, σ + A), R
n
),
thì với bất kỳ t ∈ [σ, σ + A), kí hiệu x
t
∈ C xác định bởi x
t
(s) = x(t + s), s ∈
[−h, 0].
Giả sử D là tập con của R ×C và hàm f : D −→ R
n
là hàm cho trước, ta gọi
mọi phương t rình dạng:
˙x(t) = f (t, x
t
) (1.1)
trong đó ˙x(t) được hiểu là đạo hàm trên bên phải của hàm x tại t
˙x(t) = lim sup
∆→0
+
1
∆
{x(t + ∆) − x(t)},
là phương trình vi phân hàm.
Hàm số x được gọi là nghiệm của hệ (1.1) trên [σ −h, σ + A) với σ ∈ R, A > 0
nếu: x ∈ C([σ − h, σ + A), R
n
), (t, x
t
) ∈ D và x(t) thỏa mãn hệ (1.1) với
t ∈ [σ, σ + A).
Với σ ∈ R
+
, ϕ ∈ C, ta nói rằng x(σ, ϕ, f) là nghiệm của hệ (1.1) vớ i điều kiện
đầu là ϕ tại σ, hay điều kiện đầu (σ, ϕ) nếu có số A > 0 sao cho x(σ, ϕ, f) là
nghiệm của hệ (1.1) trên [σ −h, σ + A) và x
σ
(σ, ϕ, f) = ϕ. Về sau nếu không
nói gì khác ta sẽ hiểu vế phải luôn là f và ta sẽ kí hiệu nghiệm với điều kiện
đầu (σ, ϕ) là x(σ, ϕ).
Bổ đề 1.1.1. Nếu σ ∈ R, ϕ ∈ C cho trước và f(t, ϕ) liên tục thì bài toán (1.1)
với điều kiện đầu (σ, ϕ) tương đương với bài toán
x
σ
= ϕ
x(t) = ϕ(0) +
t
σ
f(s, x
s
)ds, t ≥ σ
2
3
Ta có các kết quả về sự tồn tại, duy nhất, phụ thuộc liên tục vào điều kiện
đầu và sự thác triển liên tục của nghiệm. Trước hết, để thuận lợi trong quá
trình sau, ta đưa ra một số kí hiệu cần thiết.
Với (σ, ϕ) ∈ R × C, kí hiệu ϕ ∈ C([σ − h, ∞), R
n
) xác định như sau
ϕ(t + σ) =
ϕ(t) t ∈ [−h, 0]
ϕ(0) t > 0
Nếu x là nghiệm của hệ (1.1) với điều kiện đầu (σ, ϕ) và x(t + σ) = ϕ(t + σ) +
y(t), t ≥ −h, thì từ Bổ đề 1.1 ta có y thỏa mãn
y(t) =
t
0
f(s + σ, ϕ
s+σ
+ y
s
)ds, t ≥ 0. (1.2)
Ngược lại, nếu y thỏa mãn phương trình (1.2) thí cũng suy ra được nghiệm x
của hệ (1.1) bằng phép đổi tọa độ trên. Do đó, việc tìm nghiệm của hệ (1.1)
cũng tương đương với tìm nghiệm của phương trình (1.2).
Nếu V ⊂ R × C thì C(V, R
n
) là lớp các hàm f : V −→ R
n
liên tục và
◦
C(V, R
n
) ⊂ C(V, R
n
) là tập con các hàm liên tục và bi chặn từ V vào R
n
.
Không gian
◦
C(V, R
n
) trở thành không gian Banach với chuẩn
f
V
= sup
(t,ϕ)∈V
|f(t, ϕ)|.
Với α, β là số thực thì
I
α
= [0, α]; B
β
= {ϕ ∈ C : ||ϕ|| < β},
A(α, β) = {y ∈ C([−h, α), R
n
) : y
0
= 0, y
t
∈ B
β
, t ∈ I
α
}.
Bổ đề 1.1.2. Nếu Ω ⊆ R ×C là tập mở, W ⊆ Ω là tập compact,
◦
f ∈ C(Ω, R
n
)
là hàm cho trước, thì có lân cận V ⊂ Ω của W sao cho
◦
f ∈
◦
C(V, R
n
), có lân
cận U ⊆
◦
f ∈
◦
C(V, R
n
) của
◦
f ∈ C(Ω, R
n
) và hằng số dương M, α, β sao cho
||f(σ, ϕ)|| < M, (σ, ϕ) ∈ V, f ∈ U.
Ta cũng có với bất kì (
◦
σ,
◦
ϕ) ∈ W, thì (
◦
σ + t, y
t
+ ϕ
◦
σ+t
) ∈ V với mọi t ∈ I
α
và
y ∈ A(α, β).
Bổ đề 1.1.3. Giả sử Ω ⊆ R × C là tập mở, W ⊆ Ω là tập com pact,
◦
f ∈
C(Ω, R
n
) là hàm cho trước, và lân cận U, V, hằng số dương M, α, β ở trong Bổ
đề 1.1.2. Nếu
T : W × U ×A(α, β) −→ C([−h, α], R
n
),
T (σ, ϕ, f, y)(t) = 0, t ∈ [−h, 0],
T (σ, ϕ, f, y)(t) =
t
0
f(σ + s, ϕ
σ+s
+ y
s
)ds, t ∈ I
α
4
thì T liên tục v à tồn tại tập compact K tron g C([−h, 0], R
n
) sao cho
T : W × U ×A(α, β) −→ K.
Hơn nữa nếu Mα ≤ β thì
T : W × U ×A(α, β) −→ A(α, β).
Bổ đề 1.1.4 (Định lý Schauder về điểm cố định). Nếu U là tập lồi đóng bị
chặn của không gia n Banach X, và á nh xạ T : U −→ U liên tục hoàn toàn
(tức T là liên tục và biến một tập bị chặn thành một tập tiền compact) thì T
có đ i ể m cố định trên U.
Định lý 1.1.1 (Sự tồn tại nghiệm). Nếu Ω là tập mở trong R × C,
◦
f ∈
C(Ω, R
n
), (σ, ϕ) ∈ Ω thì phương trình vi phân (1.1 ) với f được thay bởi
◦
f
luôn có nghiệm với mọi điều kiệ n đầu (σ, ϕ). Hơn nữa nếu W ⊂ Ω là tập
compact thì có m ột lân cận V của W trong Ω sao cho
◦
f ∈
◦
C(V, R
n
), và có
lân cận U ⊂
◦
C(V, R
n
) của
◦
f sao cho có α > 0 để mỗi f ∈ U, phương trình
vi phân RF DE(f) (retarded functional diff erential equation) có nghiệm trên
[σ − h, σ + α) với mỗi điều kiện đầu (σ, ϕ).
Định lý 1.1.2 (Tính phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu và vế phải). Giả sử
Ω là tập mở trong R × C,
◦
f ∈ C(Ω, R
n
), (
◦
σ,
◦
ϕ) ∈ Ω, và
◦
x là ngh i ệm duy nhất
của phương trình RF DE(
◦
f) với điều kiện đầu (
◦
σ,
◦
ϕ) xác định trên [
◦
σ − h, b].
Cho tập
◦
W ⊆ Ω là tập compact xác định bởi
◦
W = {(t,
◦
x
t
) : t ∈ [
◦
σ, b]}
và
◦
V là lân cận mở của
◦
W mà trong đó
◦
f bị chặn. Nếu (σ
k
, ϕ
k
, f
k
), k =
1, 2, 3, . . . thỏa mãn σ
k
→
◦
σ, ϕ
k
→
◦
ϕ, f
k
→
◦
f, khi k → ∞ thí có k
0
sao cho đối
với RF DE(f
k
) với k ≤ k
0
sao cho mỗi nghiệm x
k
= x
k
(σ
k
, ϕ
k
, f
k
) với đ i ều
kiện đầu (σ
k
, ϕ
k
) tồn tại trên [
◦
σ − h, b]; được hiểu là với > 0 bấ t k ỳ, tồn tại
k
1
() sao cho x
k
(t), k ≥ k
1
(), xác định trên [
◦
σ − h + , b] và x
k
→
◦
x đều trên
[
◦
σ − h + , b].
Định lý 1.1.3 (Định lí tồn tại và duy nhất). Giả sử Ω là tập mở trong
R × C, f : Ω −→ R
n
liên tục và f(t, ϕ) Lipschitz theo ϕ với mỗi tập compact
trong Ω. Với mọi (σ, ϕ) ∈ Ω, tồn tại duy nhất nghiệm của hệ (1.1) với đi ều
kiện ban đầu (σ, ϕ).
Định lý 1.1.4 (Thác triển liên tục nghiệm). Giả sử Ω là một tập mở trong
R ×C, f : Ω −→ R
n
là liên tục hoàn toàn, tức f liên tục và biến một tập đóng,
bị chặn của Ω thành một tập bị chặn trong R
n
, và x là một nghiệm không thác
triển được của phươn g trình (1.1) trên [σ −h, b). Khi đó, với mọi tập đóng, bị
chặn U trong R ×C, U ⊂ Ω, thì tồn tại một số t
U
sao cho (t, x
t
) /∈ U với mọi
t
U
≤ t < b.
5
1.2 Tính chất ổn định củ a phương trình vi
phân hàm
Giả sử f : R ×C −→ R
n
là hàm liên tục, xét hệ
˙x(t) = f (t, x
t
) (1.3)
Hàm f giả sử liên tục hoàn toàn và thỏa mãn mọi điều kiện để hệ tồn tại duy
nhất nghiệm với mỗi điều kiện ban đầu, hơn nữa nghiệm liên tục trong khoảng
xác định của nó. Cũng giả sử rằng f(t, 0) = 0 với mọi t ∈ R, điều này đảm
bảo cho hệ có duy nhất nghiệm tầm thường với điều kiện đầu ϕ = 0. Ta đưa
ra các định nghĩa về ổn định của nghiệm không đối với hệ (1.3).
Kí hiệu
B(0, ) = {ϕ ∈ C : ||ϕ|| < }
là hình cầu tâm O bán kính trong C.
Định nghĩa 1.2.1. Nghiệm x = 0 của hệ (1.3) được gọi là
ổn định nếu với bất kỳ σ ∈ R, > 0, tồn tại δ = δ(σ, ) > 0 sao cho nếu
ϕ ∈ B(O, δ) thì x
t
(σ, ϕ) ∈ B(O, ) với mọi t ≥ σ.
ổn định đều nếu δ ở trên không phụ thuộc vào σ.
ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và tồn tạ i η = η(σ) > 0 sao cho nếu
ϕ ∈ B(O, η) thì x(t, σ, ϕ) → 0 khi t → ∞.
ổn định tiệm cận đều nếu nó là ổ n định đều và tồn tại η > 0 sao cho với mọi
> 0, tồn tại T = T () > 0 sao cho nếu ϕ ∈ B(O, η) thì x(t, σ, ϕ) ∈ B(O, )
khi t ≥ σ + T với mọi σ ∈ R.
ổn định tiệm cận mũ nếu tồn tại số α > 0 sao cho với mọi > 0 tồn tại
η = η() > 0 thỏa mãn với mọi σ ∈ R, ϕ ∈ B(O, η) thì
||x
t
(σ, ϕ)|| ≤ .e
−α(t−σ)
.||ϕ|| ∀t ≥ σ.
Tiếp theo đây ta sẽ đưa ra một số điều kiện đủ cho sự ổn định của nghiệm
x = 0 đối với hệ (1.3) nhờ việc mở rộng phương pháp hàm Liapunov trong
phương trình vi phân thường.
Nếu V : R ×C −→ R là hàm liên tục và x(t, ϕ) là nghiệm của hệ (1.3) đối
với điều kiện đầu (t, ϕ) thì ta xác định
˙
V (t, ϕ) = lim sup
∆→0
+
1
∆
{V (t + ∆, x
t+∆
(t, ϕ)) −V (t, ϕ)}.
Hàm
˙
V (t, ϕ) là đạo hàm trên bên phải của V (t, ϕ) dọc theo nghiệm của hệ
(1.3). Trong (Yoshizawa) đã chứng minh rằng nếu hệ (1.3) thỏa mãn điều kiện
tồn tại duy nhất nghiệm thì
˙
V (t, ϕ) xác định duy nhất theo (t, ϕ).
6
Định lý 1.2.1 (Ổn định đều và ổn định tiệm cận đều). Giả sử tồn tại các
hàm a, b ∈ K(K − hàm lớp Hahn) và c là hàm li ê n tục, không âm. Nếu tồn
tại hàm liên tục V : R ×C −→ R sao cho
1. a(|ϕ(0)| ) ≤ V (t, ϕ) ≤ b(||ϕ||)
2.
˙
V (t, ϕ) ≤ −c(|ϕ(0)|)
thì nghiệm x = 0 của hệ (1.3) ổn định đều. Nếu hàm c là xác định dương thì
nghiệm x = 0 ổn định tiệm cận đều.
Định lý 1.2.2 (Không ổn định). Giả sử V : C −→ R là hàm liên tục bị chặn.
Nếu tồn tại số γ > 0 và một tập mở U trong C sao cho
1. V (ϕ)) > 0 trên U, V (ϕ) = 0 trên biên U,
2. 0 thuộc bao đóng của U ∩ B(O, γ),
3. V (ϕ) ≤ b(|ϕ(0)|) với b ∈ K,
4.
˙
V
−
(ϕ) ≥ c(|ϕ(0)|) với c ∈ K,
˙
V
−
(ϕ) = lim inf
∆→0
+
1
∆
{V (x
t+∆
(t, ϕ)) − V (ϕ)}
Khi đó n ghiệm x = 0 của hệ (1.3) là không ổn địn h. Hơn nữa, mọi nghiệm
x
t
(σ, ϕ) với điều kiện đ ầu (σ, ϕ) với ϕ ∈ U ∩b(O, γ) sẽ tiến ra biên của B(O, γ)
sau thời gian hữu hạn.
1.3 Tính chất ổn định theo xấp xỉ của hệ phương
trình vi phân thường
Xét hệ phương trình vi phân thực:
˙x = Ax + ϕ(t, x) (1.4)
trong đó A là ma trận hằng số và ϕ(t, x) ∈ C(R
+
×B
H
) hơn nữa ϕ(t, x) = 0(|x|)
đều theo t, tức là:
|ϕ(t, x)|
|x|
→ 0 đều theo t khi x → 0
Khi đó, ta có các Định lí về tính ổn định của hệ (1.4).
Định lý 1.3.1 (Liapunov). Nếu mọi giá trị riêng λ
j
(A), (j = 1, 2, . . . , n) của
ma trận A có phần thực âm:
Reλ
j
(A) < 0, (j = 1, 2 , . . . , n)
thì nghiệm tầm thường x = 0 của hệ tựa tuyến tính (1.4) ổn định tiệm cận
theo Liap uno v.
Định lý 1.3.2 (Định lí không ổn định). Nếu ít nhất một giá trị riêng λ
j
(A), (j =
1, 2, . . . , n) của ma trận A có phần thực dương, thì nghiệm tầm thường x = 0
của hệ ( 1.4) không ổn đ ị nh theo Liapunov khi t → +∞ .
7
1.4 Một số bổ đề
Trong phần này ta trình bày một số Bổ đề sẽ được sử dụng trong Chương
2 và Chương 3.
1.4.1 Bổ đề Gronwall - Bellman
Bổ đề 1.4.1. Cho m, n ∈ C(R
+
, R
+
) và giả sử rằng
m(t) ≤ c +
t
t
0
v(s)m(s)ds, t ≥ t
0
≥ 0
trong đó c ≥ 0 là hằng số.
Khi đó:
m(t) ≤ c exp
t
t
0
v(s)ds
, t ≥ t
0
.
Bổ đề 1.4.2 (Bổ đề Gronwall - Bellman mở rộng). Ch o m, n, h ∈ C(R
+
, R
+
)
và giả sử rằng
m(t) ≤ h(t) +
t
t
0
v(s)m(s)ds, t ≥ t
0
≥ 0
trong đó h(t) là hàm dương và không giảm.
Khi đó:
m(t) ≤ h(t) exp
t
t
0
v(s)ds
, t ≥ t
0
.
1.4.2 Bổ đề Bihari
Bổ đề 1.4.3 (Bihari). Giả sử u(t) ≥ 0 và f(t) ≥ 0 với t ≥ t
0
, hơn n ữa
u(t), f(t) ∈ C([t
0
, ∞)) và có bất đẳng thức:
u(t) ≤ c +
t
t
0
f(s)Φ(u(s))ds, t ≥ t
0
trong đó c là hằng số downg và Φ(u) là hàm dương, liên tục, không giảm khi
0 < u <
u, (u ≥ ∞) và giả sử:
Ξ(u) =
c
u
du
1
Φ(u
1
)
, (0 < u <
u)
Khi đó, nếu:
t
t
0
f(s)ds < Ξ(
u −0), (t
0
≥ t < ∞)
thì với t
0
≤ t < ∞ ta sẽ có bất đẳng thức:
u(t) ≤ Ξ
−1
t
t
0
f(s)ds
trong đó Ξ
−1
(u) là hà m ngược của hàm Ξ(u). Đặc biệt, nếu
u = ∞ và Ξ(∞) =
∞ thì k ế t luận của Bổ đề không có sự hạn chế nào.
8
Hệ quả 1.4.1 (Trường hợp Φ(u) = u
d
(d > 1) ). Giả sử các giả thiết của Bổ
đề 1.4.3 vẫn đúng với hàm Φ(u) = u
d
, (d > 1). Khi đó, nếu
t
t
0
f(s)ds <
1
(d − 1)c
d−1
,
thì với t
0
≤ t < ∞ ta sẽ có bất đẳng thức:
u(t) ≤
c
1 −(d −1)c
d−1
t
t
0
f(s)ds
1
d−1
1.4.3 Định lí xấp xỉ
Bổ đề 1.4.4. Cho ma trận A và số > 0 cho trước. Khi đó tồn tại m a trận
không suy biến T sao cho:
T
−1
AT =
λ
1
b
12
··· b
1n
0 λ
2
b
2n
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
0 0 ··· λ
n
với
i,j
|b
j
| < . Trong đó λ
j
(j = 1, 2, . . . , n) là các giá trị riêng của ma trận
A.
Chương 2
Phương pháp trung bình hóa
trong lí thuyết ổn định của
phương trình vi phân hàm
2.1 Mở đầu
Xét hệ phương trình vi phâm hàm
˙x = F (t, x
t
) = f(t, x) + g(t, x
t
) (2.1)
ở đó
f : D
H
−→ R
n
liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x
F, g : G
H
−→ R
n
liên tục, thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x
t
và
F (t, 0) ≡ 0
với D
H
= R
+
× B
H
; G
H
= R
+
× Ω
H
trong đó B
H
= {x ∈ R
n
: |x| < H} và Ω
H
= {ϕ ∈ C ([−r, 0] ; R
n
) : ϕ < H}
Giả sử:
|g(t, ϕ (.))| ≤ m
0
ϕ(.)|
d
0
(m
0
> 0, d
0
> 1) (2.2)
Khi đó hệ (2.1) trong lân cận đủ bé của điểm O trong Ω
H
sẽ "gần" với phương
trình vi phân thường
˙x = f(t, x) (2.3)
theo nghĩa:
F (t, x
t
) = f(t, ϕ(0 ) ) + 0(ϕ) khi ϕ → 0 trong C([−h, 0]; R
n
)
• Kí hiệu: Với t
0
∈ R
+
; ϕ ∈ Ω
H
, y
0
∈ B
H
1. x(t
0
, ϕ) : R
+
−→ R
n
t −→ x(t; t
0
, ϕ) là nghiệm của phương trình vi phân hàm
dạng trễ (2.1) với điều kiện ban đầu x
t
0
(t
0
, ϕ) = ϕ
2. y(t
0
, y
0
) : R
+
−→ R
n
t −→ y(t; t
0
, y
0
) là nghiệm của phương trình vi phân thường
(2.3) với điều kiện ban đầu y
0
, tức y(t
0
; t
0
, y
0
) = y
0
9
10
Ta sẽ phát biểu và chứng minh một vài khẳng định bổ trợ :
Bổ đề 2.1.1. Giả sử hàm F thỏa mãn trong miền G
H
điều kiện Lipschitz với
hằng số L và giả s ử đã cho điểm ϕ ∈ Ω
H
. Khi đó: đối với x(t; t
0
, ϕ) ∈ B
H
đánh giá sau đây là đúng
x
t
≤ ϕexp[L(t −t
0
)] (2.4)
Chứng minh. Do x(t + s) = x
t
0
(t + s − t
0
) nên với s ∈ [−h, 0], ta có
x(t + s) =
ϕ(0) +
t+s
t
0
F (u, x
u
)du với t
0
− t ≤ s ≤ 0
ϕ(t −t
0
+ s) với −h ≤ s ≤ t −t
0
Từ đó ta nhận được đánh giá
|x(t + s)| =
ϕ +
t+s
t
0
|F (u, x
u
)|du ≤ ϕ + L
t+s
t
0
|x
u
|du với t
0
− t ≤ s ≤ 0
ϕ với −h ≤ s ≤ t −t
0
Do đó, khi t ≥ t
0
:
x
t
= Max {|x(t + s)| : −h ≤ s ≤ 0}
≤ ϕ + L
t+s
t
0
x
u
du
Áp dụng Bổ đề Gronwall - Bellman ta được:
x
t
≤ ϕexp[L(t −t
0
)] .
Bổ đề 2.1.2. Giả sử đã cho t
0
và h à m ϕ ∈ Ω
H
và gi ả sử x(t
0
, ϕ) và y(t
0
, ϕ(0))
là các nghiệm của hệ (2.1) và (2.3) tương ứng mà giá trị trùng nhau tại t = t
0
.
Khi đó:
|x(t; t
0
, ϕ) −y(t; t
0
, ϕ(0))| ≤ ϕ
d
0
m
0
Ld
0
(e
Ld
0
(t−t
0
)
− 1)e
L(t−t
0
)
(2.5)
với mọi t ≥ t
0
, mà tại đó các quỹ đạo x(t; t
0
, ϕ) và y(t; t
0
, ϕ(0)) vẫn còn nằm
trong B
H
(ở đây L là hằng số Lipschitz của hàm f và F ).
Chứng minh. Nhờ biểu diễn đáng chú ý đối với y(t) = y(t; t
0
, ϕ(0))
y(t) = ϕ(0) +
t
t
0
f(s, y(s))ds
x(t) = ϕ(0) +
t
t
0
F (s, x
s
)ds với mọi t ≥ t
0
11
và nhờ vào tính toá n (2.2) ta nhận được đánh giá
|x(t) − y(t)| =
ϕ(0) +
t
t
0
F (s, x
s
)ds
−
ϕ(0) +
t
t
0
f(s, y(s))ds
=
t
t
0
[F (s, x
s
) −f(s, y(s))] ds
≤
t
t
0
|f(s, x(s)) −f(s, y(s))|ds +
t
t
0
|g(s, x
s
)|ds
≤ L
t
t
0
|x(s) −y(s)|ds +
t
t
0
m
0
||x
s
||
d
0
ds
≤ L
t
t
0
|x(s) −y(s)|ds +
t
t
0
m
0
||ϕ||
d
0
e
Ld
0
(s−t
0
)
ds
≤ L
t
t
0
|x(s) −y(s)|ds + ||ϕ||
d
0
m
0
Ld
0
[e
Ld
0
(s−t
0
)
− 1.]
Từ đó do tính đơn điệu của hàm exp[Ld
0
(t−t
0
)] và nhờ bất đẳng thức Gronwall
- Bellman mở rộng ta có:
|x(t; t
0
, ϕ) −y(t; t
0
, ϕ(0))| ≤ ϕ
d
0
m
0
Ld
0
(e
Ld
0
(t−t
0
)
− 1)e
L(t−t
0
)
.
Bổ đề 2.1.3. Giả sử x : [t
0
− h, ∞) −→ R
n
là hà m liên tục và tồn tại số
R > 1 sao cho: |x(t)| ≤ ||x
t
||/R với mọ i t ≥ t
0
. Khi đó: lim
t→∞
|x(t)| = 0
hơn nữa:
|x(t)| ≤ ||x
t
0
||/R
N+1
khi t ≥ t
0
+ Nh; N=0,1,2 . .
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh: |x(t)| ≤ ||x
t
0
||/R
N+1
với t ≥ t
0
+ Nh bằng
quy nạp theo N. Thật vậy:
◦N = 0, tức t ≥ t
0
, theo giả thiết ta có
|x(t)| ≤ ||x
t
||/R
Cố định t ≥ t
0
,
|x(t)| ≤ ||x
t
||/R =
1
R
Max {|x(t + s)| : −h ≤ s ≤ 0}
≤
1
R
|x(t + s
1
)| với s
1
< 0
≤
1
R
2
||x(t + s
1
)||
≤
1
R
2
|x(t + s
1
+ s
2
)| với s
2
< 0
··· ≤
1
R
n
|x(t + s
1
+ ···+ s
n
)| với s
n
< 0
12
do s
i
∈ [−h, 0] với mọi i ≥ 1 nên có thể coi: lim
n→∞
s
n
= s
0
vì
|x(t)| = ||x
t
|| =⇒ s
0
< 0
do vậy tồn tại N
0
> 0 saocho ∀M > N
0
:
M
i=1
s
i
<
Ms
0
2
chọn M đủ lớn sao cho t + s
1
+ ···+ s
M
< t
0
khi đó
|x(t + s
1
+ ···+ s
M
)| ≤ ||x
t
0
||
Vậy
|x(t)| ≤
||x
t
0
||
R
◦ Giả sử kết luận đúng với N ≥ 0
◦ Với N + 1, tức t ≥ t
0
+ (N + 1)h, ta có:
|x(t)| ≤
||x
t
||
R
=
1
R
Max {|x(t + s)| : −h ≤ s ≤ 0}
≤
1
R
Max
|x(τ)| : với t
0
+ Nh ≤ τ ≤ t
≤
1
R
1
R
N
||x
t
0
|| =
1
R
N+1
||x
t
0
||
Theo giả t hiết quy nạp ta có điều phải chứng minh.
2.2 Các đ i ều kiện đủ về tí nh ổn định
Giả sử hệ phương trình vi phân thường (2.3) là tới hạn
: có nghĩa nghiệm
x(t) ≡ 0 của hệ này là ổn định Liapunov nhưng không ổn định tiệm cận.
Giả sử v : D
H
−→ R là hàm Liapunov tương ứng. Khi đó
˙v|
(2.1)
= ˙v|
(2.3)
+ Φ(t, x
t
) ≤ Φ(t, x
t
) (2.6)
trong đó:
Φ(t, x
t
) = ˙v
x
g(t, x
t
)
Ta đưa vào việc xét hệ phương trình tuyến tính xấp xỉ bậc nhất (tuyến tính
hóa) của hệ (2.3) trong lân cận của gốc tọa độ trong R
n
˙
ξ = f
x
(t, 0)ξ (2.7)
Giả sử ρ(t, x) = f(t, x) −
˙
f
x
(t, 0).x thỏa mãn t rong miền D
H
:
|ρ(t, x)| ≤ m
1
|x|
d
1
(m
1
> 0, d
1
> 1)
13
Kí hiệu K - lớp Haln
K =
a : R
+
−→ R
+
liên tục, đơn điệu tăng, a(0) = 0
Định lý về tính ổn định tiệm cận của nghiệm tầm thường của hệ phương
trình vi phân thường phi tuyến được tổng quát hóa cho hệ phương trình vi
phân hàm dạng trễ (2.1)
Định lý 2.2.1. Giả sử rằng:
1. Tồn tại các hàm a, b ∈ K và hằng số R
0
≥ 1 sao cho:
a(|x|) ≤ v(t, x) ≤ b(|x|) ∀(t, x) ∈ D
H
Hơn nữa các hà m ngược a
−1
, b
−1
∈ K có quan hệ a
−1
(γ) ≤ R
0
b
−1
(γ) khi
0 < γ < H
2. Tồn tại các hằng số M > 0, d > 1 sao cho:
|Φ(t, ϕ(.))| ≤ M||ϕ(.)||
d
∀(t, ϕ) ∈ G
H
|Φ(t, ϕ(.))−Φ(t, ψ(.))| ≤ Mr
d−1
||ϕ(.)−ξ(.)|| ∀t ∈ R
+
; ϕ(.), ψ(.) ∈ Ω
r
; (0 < r < H)
3. Tồn tại T > 0, δ > 0 sao cho ∀ t
0
≥ h > 0 và x
0
∈ B
H
I(∆t, t
0
, x
0
) =
t
0
+∆t
t
0
Φ(t, ξ
t
)dt ≤ −2δ|x
0
|
d
|∆t
với ∆t ≥ T , trong đó ξ = ξ(t
0
, x
0
) là nghiệm của hệ tuyến tính hóa (2.7)
với điều kiện ban đầu ξ(t
0
) = x
0
Khi đó nghiệm không của hệ (2.1) ổn định tiệm cận đều.
Chứng minh. Ta sẽ chứng minh định lý qua 2 bước sau:
Bước 1. Chứng minh:Nghiệm không của hệ ( 2 .1) là ổn định Liapunov đều.
Cố định > 0 (bé tùy ý), σ ∈ R
+
. Ta sẽ chứng minh tồn tại η > 0 sao cho
∀ ϕ ∈ Ω
η
:
x(t; σ, ϕ) ∈ B
∀ t ≥ σ.
Đặt γ = a(/2), η = b
−1
(γ).
Khi đó ∀|x| < η, theo 1) ta có: v(t, x) ≤ b(|x|) ≤ b(η) = γ
nên:
v(t, x) ≤ γ ∀|x| < η.
Giả sử ban đầu hàm ϕ ∈ Ω
η
Do điều kiện 1) của định lý nên ta có miền:
{v ≤ γ} := {x ∈ B
H
: v(t, x) ≤ γ} ⊂ B
/2
∀ t ≥ σ
14
Giả sử tại thời điểm đầu tiên t
0
nào đó quỹ đạo x(t) = x(t; σ, ϕ) giao với mặt
{v = γ} và đi ra khỏi miền { v ≤ γ}.
Khi đó tích phân bất đẳng thức (2.6) từ t
0
→ t, ta được
v(t, x(t)) ≤ v(t
0
, x(t
0
)) +
t
t
0
Φ(τ, x
τ
)dτ
hay
v(t, x(t)) ≤ γ +
t
t
0
Φ(τ, x
τ
)dτ. (2.8)
Xét hàm z : R
+
−→ R
n
cho bởi
z(t) =
x(t) với t
0
− h ≤ t ≤ t
0
ξ(t; t
0
, x(t
0
)) với t ≥ t
0
với ξ(t) là nghiệm của hệ phương trình (2.7) với ξ(t
0
) = x(t
0
) và ta biểu diễn
tích phân ở vế phải của (2.8) dạng
t
t
0
Φ(τ, x
τ
)dτ =
t
t
0
Φ(τ, z
τ
)dτ +
t
t
0
[Φ(τ, x
τ
) −Φ(τ, z
τ
)] dτ (2.9)
Do điều kiện 2) của Định lý, ta có:
|Φ(τ, x
τ
) −Φ(τ, z
τ
)| ≤ Mr
d−1
||x
τ
− z
τ
|| (2.10)
với r = Max {||x
τ
||, ||z
τ
|| : t
0
≤ τ ≤ t}
Tiếp theo ta giả sử rằng: t
0
≤ t ≤ t
0
+ T
1
; T
1
≥ T (với T là hằng số từ điều
kiện 3) của Định lý, còn T
1
là đại lượng sẽ chọn sau)
Do Bổ đề 2.1 với t
0
≤ τ ≤ t
0
+ T
1
|x(τ)| ≤ ||x
t
0
||.e
LT
1
(2.11)
Khi τ ≥ t
0
: z(τ) = ξ(τ; t
0
, x(t
0
)), nên cũng theo Bổ đề 2.1 ta được
|ξ(τ)| ≤ |x(t
0
)|.e
LT
1
(2.12)
với t
0
≤ τ ≤ t
0
+ T
1
Nhờ các đánh giá (2.11) và (2.12), ta kết luận rằng trong (2.10) có thể đặt
r = ||x
t
0
||.e
LT
1
Sử dụng Bổ đề Gronwall - Bellman không khó khăn gì ta nhận được đánh
giá chuẩn của hiệu các nghiệm của các hệ phương trình (2.3), (2 .7) tương ứng
(trường hợp riêng của Bổ đề 2.2)
|y(t; t
0
, x(t
0
))−ξ(t; t
0
, x(t
0
))| ≤ |x(t
0
)|
d
1
m
1
Ld
1
e
Ld
1
(t−t
0
)
− 1
e
L(t−t
0
)
(2.13)
15
bất đẳng thức cuối cùng đúng với mọi t mà y(t), ξ(t) còn nằm trong B
H
.
Ta đánh giá hiệu: ||x
τ
− z
τ
|| với τ ∈ [t
0
, t
0
+ T
1
]. Tính toán hàm z, ta nhận
được
||x
τ
− z
τ
|| = Max{|x(τ + s) −z(τ + s)| : −h ≤ s ≤ 0}
≤ Max {|x(θ) −z(θ)| : t
0
≤ θ ≤ τ}
≤ Max{|x(θ) −y(θ)| : t
0
≤ θ ≤ τ} + Max{|y(θ) − ξ(θ)| : t
0
≤ θ ≤ τ}
≤ Max{|x(θ) −y(θ)| : t
0
≤ θ ≤ t
0
+ T
1
}
+Max{|y(θ) −ξ(θ)| : t
0
≤ θ ≤ t
0
+ T
1
}
Từ đó do Bổ đề 2.2 và bất đẳng thức (2.13) ta nhận được
||x
τ
− z
τ
|| ≤ ||x
t
0
||
d
0
m
0
Ld
0
e
Ld
0
T
1
− 1
e
LT
1
+ |x(t
0
)|
d
1
m
1
Ld
1
e
Ld
1
T
1
− 1
e
LT
1
≤ M
1
||x
t
0
||
d
(2.14)
với
d = Min{d
0
, d
1
} > 1, M
1
chỉ phụ thuộc vào T
1
Cuối cùng từ (2.10), (2.14 ) ta nhận được đánh giá:
|Φ(τ, x
τ
) −Φ(τ, z
τ
)| ≤ M||x
t
0
||
d−1
e
LT
1
(d−1)
.M
1
||x
t
0
||
d
≤ C
0
||x
t
0
||
d+
d−1
(2.15)
với C
0
chỉ phụ thuộc vào T
1
.
Bây giờ ta đánh giá tích phân đầu tiên trong (2.9).
Vì z(t) = ξ(t) với t ≥ t
0
nên Φ(τ, z
τ
) = Φ(τ, ξ
τ
) với τ ≥ t
0
+ h. Do đó tích
phân này có thể viết lại ở dạng tổng hai tích phân:
t
t
0
Φ(τ, z
τ
)dτ =
t
0
+h
t
0
Φ(τ, z
τ
)dτ +
t
t
0
+h
Φ(τ, ξ
τ
)dτ (2.16)
Khi t −t
0
≥ T và do điều kiện 3) của Định lý 2.1, ta có
t
t
0
+h
Φ(τ, ξ
τ
)dτ =
t
t
0
Φ(τ, ξ
τ
)dτ −
t
0
+h
t
0
Φ(τ, ξ
τ
)dτ
≤ −2δ|x(t
0
)|
d
(t − t
0
) + Mhe
Lhd
|x(t
0
)|
d
(2.17)
ở đây ta đã sử dụng các điều kiện 2), 3) và sự kiện là trong (2 .1 2):
Max{||ξ
τ
|| : t
0
≤ τ ≤ t
0
+ h} = Max{||ξ(θ)|| : t
0
− h ≤ θ ≤ t
0
+ h}
≤ |x(t
0
)|e
Lh
Vì nghiệm ξ(t
0
, x(t
0
)) được xác định với mọi t ≥ 0, do vậy
t
0
+h
t
0
Φ(τ, z
τ
)dτ
≤ h.Max{|Φ(τ, z
τ
)| : t
0
≤ τ ≤ t
0
+ h}
≤ hM||x
t
0
||
d
.e
Lhd
(2.18)
16
Vì
||z
τ
|| = Max{|z(τ + s)| : −h ≤ s ≤ 0}
≤ Max{|z(θ)| : t
0
− h ≤ θ ≤ t
0
+ h}
≤ Max{Max{|x(θ)| : t
0
− h ≤ θ ≤ t
0
}; Max{|ξ(θ)| : t
0
≤ θ ≤ t
0
+ h}}
≤ Max{||x
t
0
||; |x(t
0
)|e
Lh
}
≤ ||x
t
0
||.e
Lh
.
Như vậy, thế các đánh giá (2.17), (2.18) vào (2.16) ta được
t
t
0
Φ(τ, z
τ
)dτ ≤
−2δ|x(t
0
)|
d
+
2Mhe
Lhd
||x
t
0
||
d
t − t
0
(t − t
0
) (2.19)
Bây giờ ta nhận xét rằng đoạn của quỹ đạo nghiệm x(σ, ϕ) của hệ (2.1)
khi t
0
− h ≤ t ≤ t
0
nằm hoàn toàn tro ng miền v ≤ γ và do điều kiện 1) của
Định lý 2.1, ta có: Tỉ số giữa giá trị cực đại của |x| với giá trị cực tiểu của |x|
nằm trên mặt v = γ không vượt quá R
0
. Thậy vậy: đặt
r
1
= Max{|x(t)| : v(t, x(t)) = γ}
r
2
= Min{|x(t)| : v(t, x(t)) = γ}
Do
a(|x|) ≤ v(t, x) ≤ b(|x|) ∀ x ∈ B
H
⇒ a(r
1
) ≤ γ ≤ b(r
2
)
⇒ r
1
= a
−1
(a(r
1
)) ≤ R
0
.b
−1
(a(r
1
)) ≤ R
0
.b
−1
(b(r
2
)) = R
0
r
2
⇒ r
1
≤ R
0
r
2
hay
r
1
r
2
≤ R
0
do đó, với R = Max{R
0
, 2} thì
||x
t
0
|| ≤ R
0
|x(t
0
)| < R|x(t
0
)| (2.20)
Chọn T
1
> T sao cho:
2MR
d
he
Lhd
T
1
≤ δ/2 (2.21)
Từ (2.19), (2.20) ta nhận được:
t
0
+T
1
t
0
Φ(τ, z
τ
)dτ ≤ −
3δ
2
.|x(t
0
)|
d
T
1
(2.22)
Suy ra nhờ tính toán (2.15), (2.20), (2.22) từ (2.9) ta có:
t
0
+T
1
t
0
Φ(τ, x
τ
)dτ ≤
−
3δ
2
.|x(t
0
)|
d
+ C
0
||x
t
0
||
d+
d−1
T
1
≤
−
3δ
2
+ C
0
R
d+
d−1
|x(t
0
)|
d−1
|x(t
0
)|
d
T
1
(2.23)
17
Theo cách xác định γ : |x(t
0
)| < /2, vì vậy: giả sử > 0 đủ bé sao cho có bất
đẳng thức:
C
0
.R
d+
d−1
(/2)
d−1
≤ δ/2 (2.24)
Từ (2.8), (2.9), (2.23) và nhờ tính toán (2.24) ta nhận được bất đẳng thức cơ
bản:
v(t
0
+ T
1
, x(t
0
+ T
1
)) ≤ v(t
0
, x(t
0
)) −δT
1
|x(t
0
)|
d
< γ (2.25)
Điều này có nghĩa là quỹ đạo x(t) quay trở lại miền v < γ. Khi đó, khi đi ra
khỏi giới hạn của miền v ≤ γ, quỹ đạo x(t) không thể rờ i bỏ − lân cận B
của gốc trong R
n
. Thật vậy:
◦ Thứ nhất: Quỹ đạo y(t) không rời bỏ miền v < γ vi hàm v không tăng
dọc theo đường cong tích phân (t, y(t)) của hệ (2.3), vì thế y(t) ∈ B
/2
∀t ≥ t
0
.
◦ Thứ hai: Nhờ bất đẳng thức (2.5) và điều kiện ||x
t
0
|| ≤ /2 xảy ra tính
đều đối với t
0
và x(t
0
) ∈ {v = γ} đối với đánh giá:
|x(t; t
0
, x
t
0
) −y(t; t
0
, x(t
0
))| ≤ Const(T
1
).(/2)
d
0
ở đây Const(T
1
) chỉ phụ thuộc vào T
1
.
Vì d
0
> 1 nên với > 0 đủ bé sao cho:
Const(T
1
).(/2)
d
0
< /2
Vậy với t
0
≤ t ≤ t
0
+ T
1
:
|x(t)| ≤ |x(t) − y(t)|+ |y(t)| < /2 + /2 =
Từ các đánh giá (2.11), (2.21), (2.23) và (2.24) hiển nhiên rằng số T
1
> T có
thể chọn "với trữ lược", miễn là:
v(t
0
+ T
1
+ s, x(t
0
+ T
1
+ s)) ≤ v(t
0
, x(t
0
)) −δ(T
1
+ s)|x(t
0
)|
d
< γ ∀s ∈ [−h, 0] (2.26)
Như vậy, điểm x(t) quay trở lại miền {v < γ} của không gian pha, sẽ lưu lại
trong khoảng thời gian không nhỏ hơn h. Vì thế nếu tại thời điểm t
0
> t
0
+ T
1
nào đó điểm x(t) đi ra khỏi miền v ≤ γ thì đối với đánh giá của chúng ta bất
đẳng thức cần thiết:
|x(t
0
)| ≥ ||x
t
0
||/R
sẽ được thực hiện.
Do tính đều của các đánh giá (2.25) và (2.26) đối với t
0
và x
0
∈ {v = γ}, quỹ
đạo x(t) có thể rời bỏ miền {v ≤ γ} bao nhiêu lần cũng được, nhưng sẽ luôn
quay lại sau thời gian hữu hạn và bị lưu trong B
.
Tính ổn định đều của nghiệm không của hệ (2.1) được chứng minh.
18
Bước 2. Chứng minh:Tính hút đều của nghiệm tầm thường của hệ (2.1)
Giả sử khi = 2
0
, bất đẳng thúc (2.24) đúng.
Do tính ổn định đều của nghiệm không của hệ (2.1) nên tồn tại η
0
= η
0
(
0
) > 0
sao cho ∀σ ≥ h và mọi ϕ ∈ Ω
η
0
: x(t) = x(t; σ, ϕ) ∈ B
0
Ta sẽ chứng minh: x(t) → 0 khi t → ∞
Để làm điều này chỉ là xây dựng dãy tăng, không bị chặn {t
k
} sao cho
||x
t
k
(σ, ϕ)|| → 0 khi k → ∞
Thậy vậy:
Giả sử tồn tại {t
k
} ↑ ∞ sao cho ||x
t
k
(σ, ϕ)|| → 0
⇒ ∃k
0
> 0 sao cho ||x
t
k
(σ, ϕ)|| < η
0
∀ k ≥ k
0
Mà ∀ t ≥ t
k
0
||x(t; t
k
0
, x
k
0
(σ, ϕ))| | <
0
⇒ |x(t; σ, ϕ)| <
0
Hay x(t; σ, ϕ) → 0 khi t → ∞.
Để đơn giản ta kí hiệu:
x(t) = x(t; σ, ϕ)
v(t) = v(t, x(t))
Theo Bổ đề 2.3: x(t) → 0 nếu ∃t
∗
> σ sao cho ∀ t ≥ t
∗
: |x(t)| ≤ ||x
t
||/R
Vì thế ta sẽ giả sử rằng không tồn tại t
∗
như thế.
Như vậy:
◦ Nếu: |ϕ(0)| ≤ ||ϕ||/R thì tồn tại t
0
> σ sao cho |x(t
0
)| = ||x
t
0
||/R và đối
với giá trị v(t
0
+ T
1
+ s) (s ∈ [−h, 0]) ta nhận được đánh giá (2.26):
v(t
0
+ T
1
+ s) ≤ v(t
0
) −δ(T
1
+ s)|x(t
0
)|
d
< γ ∀s ∈ [−h, 0]
ở đây hằng số T
1
giống như ở trên và được xác định từ (2.21).
◦ Nếu: |ϕ(0)| ≥ ||ϕ||/R, thì bất đẳng thức (2.26) nhận được khi t
0
= σ
Đặt
T = T
1
− h ≥ T và
V
0
= v(t
0
) −
T |x(t
0
)|
d
và xét |x(t
0
+ T
1
)|
◦ Nếu: |x(t
0
+ T
1
)| ≥ ||x
t
0
+T
1
||/R thì với t
1
= t
0
+ T
1
, ta nhận được bất
đẳng thức cần thiết:
v(t
1
+ T
1
) ≤ v(t
1
) −δT
1
|x(t
1
)|
d
≤ v(t
0
) −δT
1
|x(t
0
)|
d
+ |x(t
1
)|
d
≤ v(t
0
) −δ
T
|x(t
0
)|
d
+ |x(t
1
)|
d
(2.27)
19
◦ Nếu: |x(t
0
+ T
1
)| < ||x
t
0
+T
1
||/R thì ta tìm được t
1
> t
0
+ T
1
sao cho:
|x(t
1
)| = ||x
t
1
||/R
Ta sẽ chứng minh: v(t
1
) ≤
V
0
Thậy vậy: Giả sử v(t
1
) >
V
0
từ (2.25):
v(t
0
+ T
1
) ≤ v(t
0
) −δT
1
|x(t
0
)|
d
<
V
0
⇒ ∃t
1
∈ (t
0
+ T
1
, t
1
) : v( t
1
) =
V
0
hơn nữa
v(t) <
V
0
khi t
0
+ T
1
≤ t < t
(2.28)
đồng thời
|x(t)| < ||x
t
||/R khi t
0
+ T
1
≤ t < t
(2.29)
Từ (2.26), (2.28) và điều kiện 1), suy ra:
v(t
0
+ T
1
+ s) ≤ v(t
0
) −δ(T
1
+ s)|x(t
0
)|
d
≤
V
0
(−h ≤ s ≤ 0)
suy ra
||x
t
1
|| = Max{|x(t
1
+ s)| : −h ≤ s ≤ 0}
≤ Max{a
−1
(v(t
1
+ s)) : −h ≤ s ≤ 0}
≤ a
−1
(
V
0
) ≤ R
0
b
−1
(
V
0
)
≤ R
0
b
−1
(v(t
1
))
≤ R
0
|x(t
1
)| (2.30)
Vì đoạn của quỹ đạo x(t) : {x ∈ R
n
: x = x(t; σ, ϕ), t
1
≤ t ≤ t
1
} nằm hoàn
toàn trong miền v ≤
V
0
. Nhưng nhờ (2.29)
|x(t
1
)| < ||x
t
1
||/R
0
(vì R = Max{R
0
, 2})
So sánh với bất đẳng thức cuối với (2.3 0) ta nhận được: ||x
t
1
|| < ||x
t
1
|| ⇒ mâu
thuẫn.
Vậy ta có: v(t
1
) ≤
V
0
và |x(t
1
)| = ||x
t
1
||/R
vì thế đối với t
1
đã cho:
v(t
1
+ T
1
) ≤ v(t
1
) −δT
1
|x(t
1
)|
d
≤
V
0
− δT
1
|x(t
1
)|
d
≤ v(t
0
) −δ
T (|x(t
0
)|
d
+ |x(t
1
)|
d
)
tức là ta đi đến bất đẳng thức (2.27)
Hiển nhiên quá trình này kéo dài vô hạn và ta nhận được dãy tăng t
k
với
t
k+1
− t
k
≥ T
1
sao cho đối với số nguyên k bất kỳ:
0 < v(t
k
+ T
1
) < v(t
0
) −δ
V
0
(|x(t
0
)|
d
+ |x(t
1
)|
d
+ ···+ |x(t
k
)|
d
)
Do tính xác định dương của hàm v, điều này nghĩa là tổng (|x(t
0
)|
d
+|x(t
1
)|
d
+
···+ |x(t
k
)|
d
) + ··· bị chặn
nên
|x(t
k
)|
d
→ 0 khi k → ∞
20
Do cách xây dựng nên có: |x(t
k
)| ≥ ||x
t
k
||/R
⇒ ||x
t
k
|| → 0
Do đó ta có điều phải chứng minh.
Dễ thấy rằng các đánh giá vừa nhận được và Bổ đề 2.3 đảm bảo tính ổn định
tiệm cận đều.
Vậy Định lý được chứng minh hoàn toàn.
• Nếu d
0
= 1, tức là hàm g trong vế phải của hệ phương trình (2.1) có
phần chính tuyến tính, t hì khẳng định của Định lý 2.1 vẫn đúng, nhưng chỉ
với hằng số m
0
trong (2.2) là đủ nhỏ.
Đặt g(t, x
t
) = g(t, x
t
)/m
0
. Khi đó:
g(t, x
t
) = m
0
g(t, x
t
)
và
|g(t, x
t
)| ≤ ||x
t
|| ∀ (t, x
t
) ∈ G
H
.
Định lý 2.2.2. Giả sử d
0
= 1 và các điều kiện của Định lý 2.1 được thỏa
mãn, trong đó Φ = ˙v
x
g và d ≥ 1. Khi đó nghiệm khô ng của hệ (2.1) ổn định
tiệm cận đều nếu hằng số m
0
trong bất đẳng thức (2.2) đủ bé .
Chứng minh. Việc chứng minh Định lý 2.2 tuân theo đúng lược đồ chứng minh
Định lý 2 .1
Bất đẳng thức (2.8) bây giờ có dạng
v(t, x(t)) ≤ γ + m
0
t
t
0
Φ(τ, x
τ
)dτ (2.31)
Đối với hiệu | |x
τ
− z
τ
|| ở vế phải của bất đẳng thức (2.10), với chú ý rằng
||x
t
0
|| ≤ R
0
|x(t
0
)|, ta nhận được đánh giá:
||x
τ
−z
τ
|| ≤ |x(t
0
)|.
R
0
m
0
L
e
LT
1
− 1
e
LT
1
+ |x(t
0
)|
d
1
−1
m
1
Ld
1
e
Ld
1
T
1
− 1
e
LT
1
(2.32)
Tính toán rằng bây giờ
d = Min{d
0
, d
1
} = 1, thay cho bất đẳng thức (2.23),
ta nhận được:
t
0
+T
1
t
0
Φ(τ, z
τ
)dτ ≤
−
3δ
2
+ m
0
C
1
(T
1
) + |x(t
0
)|
d
1
−1
C
2
(T
1
)
.|x(t
0
)|
d
T
1
(2.33)
với
C
1
(T
1
) =
MR
d
0
/L
e
LdT
1
e
LT
1
− 1
C
2
(T
1
) =
m
1
MR
d−1
0
Ld
1
.e
LdT
1
e
Ld
1
T
1
− 1
21
Thật vậy từ (2.9), (2.15) , (2.20) và (2.22) có thể viết lại:
t
t
0
Φ(τ, x
τ
)dτ =
t
t
0
Φ(τ, z
τ
)dτ +
t
t
0
[Φ(τ, x
τ
) −Φ(τ, z
τ
)] dτ (2.9
)
|Φ(τ, x
τ
) −Φ(τ, z
τ
)| ≤ Mr
d−1
||x
τ
− z
τ
|| ≤ M||x
t
0
||
d−1
e
LT
1
(d−1)
||x
τ
− z
τ
||
≤ M||x
t
0
||
d−1
e
LT
1
(d−1)
|x(t
0
)|
d−1
×
(R
0
m
0
/L)
e
LT
1
− 1
e
LT
1
+ |x(t
0
)|
d
1
−1
(m
1
/Ld
1
)
e
Ld
1
T
1
− 1
e
LT
1
(2.15
)
||x
t
0
|| ≤ R
0
|x(t
0
)| (2.20
)
t
0
+T
1
t
0
Φ(τ, z
τ
)dτ ≤ −
3δ
2
|x(t
0
)|
d
T
1
(2.22
)
do đó bất đẳng thức ( 2 .3 3) được suy ra:
t
0
+T
0
t
0
Φ(τ, x
τ
)dτ ≤ −
3δ
2
|x(t
0
)|
d
T
1
+ MR
d−1
0
|x(t
0
)|
d
e
LT
1
(d−1)
×
R
0
m
0
L
e
LT
1
− 1
e
LT
1
+ |x(t
0
)|
d
1
−1
m
1
Ld
1
e
Ld
1
T
1
− 1
e
LT
1
≤
−
3δ
2
+ m
0
C
1
(T
1
) + |x(t
0
)|
d
1
−1
C
2
(T
1
)
.|x(t
0
)|
d
T
1
Nhận xét rằng g iá trị T
1
≥ T trong các bất đẳng thức (2.32), (2 .3 3) được xác
định từ điều kiện (2.21). Giả sử rằng đại lượng m
0
> 0 và > 0 đủ bé sao cho:
m
0
C
1
(T
1
) +
2
d
1
−1
C
2
(T
1
) <
δ
2
Khi đó ta nhận được bất đẳng thức cơ bản:
v(t
0
+ T
1
, x(t
0
+ T
1
)) ≤ γ −m
0
δ|x(t
0
)|
d
T
1
< γ.
Việc hoàn thành chứng minh cũng tương t ự như chứng minh Định lý 2.1.
2.3 Nhận xét
Nhận xét 2.3.1. Điều kiện 3) của Định lý 2.1 sẽ được thực hiện nếu t ồ n tại
giá trị trung bình âm:
{Φ}|
(2.7)
def
= lim
∆t→∞
(∆t)
−1
t
0
+∆t
t
0
Φ(t, ξ
t
(t
0
, x
0
))dt
≤ −δ.|x(t
0
)|
d
< 0 (2.34)
của hàm Φ dọc theo đường cong tích phân (t, ξ(t; t
0
, x
0
)) của hệ tuyến tính
hóa (2.7).
22
Nhận xét 2.3.2. Nếu hệ (2.3) là tuyến tính với ma trận hằng A sao cho
exp(At) là hàm hầu tuần hoàn, thì hệ (2 .1) nhờ phép biến đổi x = e
At
z, có
thể đưa về hệ phi tuyến
˙z = G(t, z
t
) (2.35)
với
G(t, ϕ(.)) = e
−At
g(t, e
A(t+.)
ϕ(.))
Vì
˙
G
z
(t, 0) ≡ 0 nên hệ này có tuyến tính hóa tầm t hường và hàm xác định
dương bất kỳ thỏa mãn điều kiện 1) của Định lý 2.1 là thích hợp với việc
nghiên cứu hệ (2 .3 5 ) (tương ứng với hệ (2.1)) khi xét tính ổn định tiệm cận
nhờ Định lý 2.1, hơn nữa điều kiện 3) có dạng đặc biệt vì ξ(t; t
0
, x
0
) ≡ x
0
.
Nhận xét 2.3.3. Nếu hệ tuyến tính hóa (2 .7 ) có nghiệm giảm cấp mũ với
điều kiện ban đầu thuộc miền (có độ đo dương) tiếp xúc với gốc tọa độ thì
điều kiện 3) của Định lý 2.1 sẽ không được thực hiện do tích phân I(∆t, t
0
, x
0
)
hoặc trung bình hóa (2.34 ) không thể xác định âm.
Thật vậy: ∀ r > 0 đủ nhỏ ⇒ ∃x
0
∈ R
n
: |x
0
| < r sao cho nghiệm ξ(t) =
ξ(t; t
0
, x
0
) (t
0
∈ R
+
) của hệ (2.7) là nghiệm giảm cấp mũ nên tồn tại β >
0, K > 0 sao cho:
|ξ(t)| ≤ Ke
−β(t−t
0
)
∀ t ≥ t
0
Khi đó xét Φ(t, x
t
) = ˙v
x
g(t, x
t
)
Mà
|g(t, x
t
)| ≤ m
0
||x
t
||
d
0
(d
0
> 1)
⇒ |g(t, ξ
t
)| ≤ m
0
K
d
0
e
−βd
0
(t−t
0
)
∀ t ≥ t
0
⇒ |Φ(t, ξ
t
)| ≤ M
0
e
−βd
0
(t−t
0
)
∀ t ≥ t
0
(M
0
phụ thuộc vào t
0
và x
0
)
Do
1
∆t
t
0
+∆t
t
0
e
−βd
0
(t−t
0
)
dt → 0 khi ∆t → ∞
do đó: {Φ}|
(2.7)
= 0.
Để nghiên cứu trường hợp này ta cần chuyển đến phương trình vi phân
trên đa tạp tâm hoặ c á p dụng kỹ thuật kiết thiết hàm Liapunov cao hơn.
2.4 Thí dụ
Giả sử a là hàm bị chặn đều trên R
+
. Kí hiệu:
{a}
def
= lim
t→∞
sup
1
t
t
−
a(τ)dτ (2.36)
là giá trị trung bình trên của hàm a : R
+
−→ R trên R
+
.
23
Thí dụ 2.4.1. Xét phương trình vi sai phân không ôtônôm phi tuyến với trễ
biến thiên:
˙x = a(t)[x(t)]
2k+ 1
+ b(t)[x(t −∆(t))]
2k+ 1
(2.37)
trong đó k ≥ 1 là số nguyên; |a(t)| ≤ m
0
, |b(t)| ≤ m
0
và 0 ≤ ∆(t) ≤ h ∀ t ≥ 0.
Nhờ Nhận xét 2.2, phương trình (2.37) sẽ so sánh với phương trình vi phân
thường:
˙y = 0 (2.38)
Lấy hàm Liapunov v = x
2
/2. Khi đó
˙v
(2.37)
= a(t)[x(t)]
2k+ 2
+ b(t)[x(t −∆(t))]
2k+ 1
x(t)
= Φ(t, x
t
)
Ta kiểm tra các điều kiện của Định lý 2.1
◦ Điều kiện 1) hiển nhiên được thỏa mãn.
◦ Kiểm tra điều kiện 2):
|Φ(t, x
t
)| ≤ |a(t)||x(t)|
2k+ 2
+ |b(t)||x(t)||x(t −∆(t))|
2k+ 1
≤ 2m
0
||x
t
||
2k+ 2
∀ (t, x
t
) ∈ G
H
|Φ(t, x
t
) −Φ(t, z
t
)| ≤ |a(t)||x(t)
2k+ 2
− z(t)
2k+ 2
|+
|b(t)|
|x(t)||x(t −∆(t))
2k+ 1
− y(t −∆(t))
2k+ 1
| + |y(t − ∆(t))
2k+ 1
||x(t) −y(t)|
≤ m
0
r
2k+ 1
||x
t
− y
t
||(2k + 2) + m
0
[r
2k+ 1
(2k + 1) + r
2k+ 1
]||x
t
− y
t
||
≤ 2m
0
(2k + 2)r
2k+ 1
||x
t
− y
t
|| ∀ (t, x
t
), (t, y
t
) ∈ G
r
; 0 < r < H.
Vậy điều kiện 2) được thỏa mãn.
◦ Để kiểm tra điều kiện 3) của Định lý 2.1, trong biểu diễn của Φ(t, x
t
) ta
thấy nghiệm của hệ (2.38) y(t) ≡ 0 và nhận được:
Φ(t, x
0
) = (a(t) + b(t))x
2k+ 2
0
Do đó điều kiện 3) sẽ được thực hiện khi:
{a + b} = lim
t→∞
sup
1
t
t
0
(a(τ) + b(τ))dτ < 0 (2.39)
Các phương trình dạng (2.37) và một số dạng tổng quát của nó đã được nghiên
cứu bởi nhiều người. Từ các nghiên cứu đó có thể nhận được điều kiện ổn định
tiệm cận của nghiệm tàm thường của hệ (2.37) như sau:
a(t) ≤ 0; |b(t)| ≤ q|a(t)| (0 < q < 1, t ≥ 0) và
∞
0
a(t)dt = −∞ (2.40)
Hiển nhiên Định lý 2.1 là mở rộng của các kết quả này vì tro ng điều kiện (2.39)
có thể thực hiện trong khi (2.40) bị vi phạm.
Chỉ trong những sách chuyên khảo đối với trường hợp đặc biệt a, b, ∆− hằng,
nhận được điều kiện a + b < 0 mà trong trường hợp này trùng với (2.39)
24
Thí dụ 2.4.2. Xét hệ phương trình tuyến tính:
˙x = µ [A(t)x(t) + B(t)x(t −∆(t))] (2.41)
trong đó x = (x
1
, . . . , x
n
) ∈ R
n
, µ là tham biến dương, A(.), B(.) ∈ R
n×n
với
các phần tử bị chặn đều và 0 ≤ ∆(t) ≤ h ∀ t ≥ 0
Từ Định lý 2.1, suy ra hệ (2.41) là ổn định tiệm cận đều với mọi giá trị µ−
đủ nhỏ nếu tìm được ma trậ n xác đối xứng định dương V
0
sao cho:
V
0
x, {A + B}x
< 0 ∀ x ∈ R
n
{0} (2.42)
với < ., . > là tích vô hướng trong R
n
và {A + B} là ma trận ({a
ij
+ b
ij
}) với
{a
ij
+ b
ij
} = lim
t→∞
sup
1
t
t
0
(a
ij
(τ) + b
ij
(τ) )dτ
Thực vậy, xét hàm Liapunov
v(x) =
1
2
V
0
x, x > 0 ∀x = 0
ta có
˙v|
(2.41)
= µ V
0
x, A(t)x(t) + B(t)x(t −∆(t))
= µΦ(t, x
t
)
Khi đó hàm Φ thỏa mãn Định lý 2.2 khi thực hiện điều kiện (2.42). Thậy vậy:
◦ Điều kiện 1) hiển nhiên được thực hiện.
◦ Điều kiện 2) được thỏa mãn, vì:
|Φ(t, ϕ)| ≤ ||V
0
||[||A(t)|| + ||B(t)||]||ϕ||
2
≤ M
1
||ϕ||
2
(t, ϕ) ∈ G
H
|Φ(t, x
t
) −Φ(t, z
t
)| ≤ |V
0
(x(t) −y(t)), A(t)x(t) + B(t)x(t − ∆(t))|+
+ |V
0
y(t), A(t)(x(t) −y(t)) + B(t)(x(t − ∆(t)) − y(t − ∆(t)))|
≤ 2||V
0
||[||A(t)|| + ||B(t)||] .r.||x
t
− y
t
||
≤ 2M
1
r||x
t
− y
t
|| ∀ (t, x
t
), (t, y
y
) ∈ G
r
; 0 < r < H.
◦ Điều kiện 3) được suy trực tiếp từ (2.42) .
Trong trường hợp riêng n = 1, hệ (2.41) trở thành phương trình đã được
nghiên cứu rất nhiều:
˙x = µ[ax(t) + bx(t −∆(t))] (2.43)
Đối với các hằng số a, b và ∆(t) ≡ h > 0, miền ổ n định tiệm cận tro ng mặt
phẳng tham biến {(a, b)} được biết chính xác: Điều kiện ổn định (2.42) có
dạng
a + b < 0 (2.44)
25
và không phụ thuộc vào đại lượng trễ h.
Thoạt nhìn điều này mâu thuẫn với biên giới hình học của miền ổn định tiệm
cận đã nói ở trên. Nhưng đừng quên rằng điều kiện (2.42) kéo theo tiêu chuẩn
ổn định tiệm cận chỉ khi µ− đủ bé, còn đại lượng µ cần phải nhỏ hơn giá trị
µ
0
− phụ thuộc vào giá trị T
1
(xem bất đẳng thức (2.33)).
Đến lượt mình T
1
tăng theo sự tăng của trễ h (xem bất đẳng thức (2.21))
Như vậy bất đẳng thức (2.44) cần được thực hiện chỉ trong lân cận đủ nhỏ
của điểm O trong mặt phẳng của các biến a, b.
Nói chung việc chứng minh các Định lý 2.1 và Định lý 2.2 dựa trên các đánh
giá tiên nghiệm sâu sắc dạng bất đẳng thức Gronwall - Bellman và vì vậy các
bất đẳng thức đã nói tr ên không thể áp dụng được cho việc xây dựng miền
hút của vị trí cân bằng ổn định tiệm cận. Các Định lý này giải quyết vấn đề
ổn định trên nguyên tắc mức độ cao.
Thí dụ 2.4.3. Bây giờ xét hệ phương trình vi phân hàm dạng trễ với trễ phân
phối:
˙x = a(t)f(x(t)) + b(t)
0
−∆(t)
λ(t + s)g(x(t + s))ds (2.45)
trong đó các hàm a, b, λ và ∆ thỏa mãn các yêu cầu như các hệ số của phương
trình (2.37) và
|f(x)| ≤ M|x|
d
1
, |g(x)| ≤ M|x|
d
2
, d = min{d
1
, d
2
} > 1
trong lân cận đủ nhỏ của điểm O.
Đối với hàm v(x) = x
2
/2, ta nhận được:
Φ(t, x
t
) = ˙v|
(2.45)
= a(t)x(t)f(x(t)) + b(t)x(t)
0
−∆(t)
λ(t + s)g(x(t + s))ds
Vì Φ(t, x
0
) = a(t)x
0
f(x
0
) + b(t)x
0
0
−∆(t)
λ(t + s)g(x
0
)ds nên các điều kiện của
Định lý 2 .1 được thực hiện khi:
lim
t→∞
sup
1
t
t
0
a(s)x
0
f(x
0
) + x
0
g(x
0
)b(s)
0
−∆(s)
λ(s + τ)dτ
ds ≤ −δ|x
0
|
d
0
+1
ở đây δ là hằng số dương nào đó.
◦ Đặc biệt khi
f(x
0
) = f
0
x
d
1
0
+ o(x
d
1
0
)
g(x
0
) = g
0
x
d
2
0
+ o(x
d
2
0
)
Trong đó f
0
, g
0
là các hằng số và d
0
= Min{d
1
, d
2
} > 1 là số nguyên lẻ, ta
nhận được điều kiện đủ về tính ổn định tiệm cận đều của nghiệm không của
hệ phương trình (2.45) sau đây:
{f
0
a + g
0
bΛ} < 0 với d
1
= d
2
(2.46)
{f
0
a} < 0 với d
1
< d
2
(2.47)
{g
0
bΛ} < 0 với d
1
> d
2
(2.48)
