CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỈ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (167.82 KB, 9 trang )
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 1
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Có nhiều phương pháp để tính tích phân hàm vô tỷ (hàm chứa căn), tuy nhiên trong chương trình
ôn thi đại học, ta chỉ cần quan tâm đến hai dạng sau đây.
Dạng 1: Biểu thức trong căn là một nhị thức bậc nhất
;
n
I R x ax b dx
,
trong đó
;
n
R x ax b
là một hàm phân thức hữu tỷ đối với
x
và
n
ax b
,
n
là số tự nhiên,
2
n
,
0
a
.
Phương pháp: Đặt
n
t ax b
.
Dạng 2: Biểu thức trong căn là một tam thức bậc hai
Phương pháp 1: Xét tích phân
2
;
I R x ax bx c dx
,
trong đó
2
;
R x ax bx c
là một hàm phân thức hữu tỷ đối với
x
và
2
ax bx c
,
0
a
.
Đặt
2
t ax bx c
.
Trong trường hợp phương pháp này không sử dụng được, ta chuyển qua dùng phương pháp 2.
Phương pháp 2: Biến đổi căn của tam thức bậc hai về một trong các kiểu sau và áp dụng cách
đặt ẩn phụ tương ứng.
Kiểu Phép đặt ẩn phụ
2 2
a f x
,
0
x
sin
f x a t
,
;
2 2
t
2 2
a f x
,
0
x
tan
f x a t
,
;
2 2
t
2 2
f x a
,
0
x
cos
a
f x
t
,
0; \
2
t
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 2
B. MỘT SỐ VÍ DỤ
Ví dụ 1. Tính
1
0
1
I x xdx
.
Giải
Đổi biến
1
t x
2
1
2
x t
dx tdt
.
Đổi cận
0
x
1
t
,
1
x
0
t
.
Suy ra
I
0
2
1
1 2
t t tdt
1
2 4
0
2
t t dt
3 5
1 1
1 1
2
3 5
0 0
t t
4
15
.
Ví dụ 2. [ĐHA04] Tính
2
1
1 1
x
I dx
x
.
Giải
Đổi biến
1
t x
2
1
2
x t
dx tdt
.
Đổi cận
1
x
0
t
,
2
x
1
t
.
Do đó
I
1
3
0
2
1
t t
dt
t
1
2
0
2
2 2
1
t t dt
t
3 2
1 1 1 1
1 1
2 2 2ln 1
3 2
0 0 0 0
t t t t
1 1
2 2 2ln 2
3 2
11
4ln2
3
.
Ví dụ 3. Tính
64
3
1
dx
I
x x
.
Giải
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 3
Ta có
64
3 2
6 6
1
dx
I
x x
.
Đổi biến:
6
t x
6
5
6
x t
dx t dt
. Đổi cận:
1
x
1
t
,
64
x
2
t
.
I
2
5
3 2
1
6
t
dt
t t
2
3
1
6
1
t
dt
t
2
2
1
1
6 1
1
t t dt
t
3 2
2 2 2 2
1 1
6 ln 1
3 2
1 1 1 1
t t t t
11 6ln3 6ln 2
.
Ví dụ 4. [ĐHA05]
2
0
sin 2 sin
1 3cos
x x
I dx
x
.
Giải
Ta có
2
0
2cos 1 sin
1 3cos
x xdx
I
x
.
Đổi biến:
1 3cos
t x
2
1
cos
3
2
sin
3
t
x
xdx tdt
. Đổi cận:
0
x
2
t
,
2
x
1
t
.
I
2
1 2
1
3 3
2
2. 1
t
tdt
t
2
2
1
2
2 1
9
t dt
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 4
3
2 2
2 2
9 3
1 1
t t
34
27
.
Ví dụ 5. Tính
3
3
2
0
1
x dx
I
x
.
Giải
Ta có
2
3
2
0
1
x xdx
I
x
.
Đổi biến:
2
1
t x
2 2
1
x t
xdx tdt
. Đổi cận:
0
x
1
t
,
3
x
2
t
.
I
2
2
1
1
t tdt
t
2
2
1
1
t dt
3
2 2
1
3
1 1
t t
4
3
.
Ví dụ 6. Tính
2
2
2
1
dx
I
x x
.
Giải
Ta có
2
2 2
2
1
xdx
I
x x
.
Đổi biến:
2
1
t x
2 2
1
x t
xdx tdt
. Đổi cận:
2
x
1
t
,
2
x
3
t .
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 5
I
3
2
1
1
tdt
t t
3
2
1
1
dt
t
.
Đổi biến
tan
t u
,
;
2 2
u
2
2
2
cos
1
1
cos
du
dt
u
t
u
. Đổi cận
1
t
4
u
,
3
t
3
u
. Do đó
3 3
4 4
3
2
2
4
cos
1
12
cos
du
u
I du u
u
.
Ví dụ 7. Tính
1
2
0
1 2 2
dx
I
x x x
.
Giải
Ta có
1
2 2
0
1
2 1 2 2
x dx
I
x x x x
.
Đổi biến:
2
2 2
t x x
2 2
2 2
1
x x t
x dx tdt
. Đổi cận:
0
x
2
t
,
1
x
5
t .
I
5
2
2
1
tdt
t t
5
2
2
1
dt
t
5
1 1
ln
2 1
2
t
t
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 6
1 5 1 2 1
ln ln
2
5 1 2 1
ln 5 1 ln 5 1 ln 2
.
Ví dụ 8. Tính
1
2
1
2
8 2
dx
I
x x
.
Giải
Ta thấy
2
2 2 2
8 2 9 1 2 3 1
x x x x x .
Đổi biến
1 3sin
x t
,
;
2 2
t
2 2 2 2
8 2 3 3 sin 3 cos 3cos
x x t t t
,
3cos
dx tdt
.
Đổi cận
1
2
x
6
t
,
1
x
0
t
.
Do đó
6 6
0 0
6
0
3cos
3cos 6
tdt
I dt t
t
.
Ví dụ 9. Tính
3
2
2
1
1
x dx
I
x
.
Giải
Đặt
tan
x t
,
;
2 2
t
2
2
2
2
1
2 2
cos
cos
2 2
sin cos
sin
cos
1 1 tan tan
tan
dt
t
t
dt
t t
t
t
x dx td t
x t
.
Đổi cận
1
x
4
t
,
3
x
3
t
.
I
3
4
2
sin cos
dt
t t
3
4
2 2
cos
sin cos
tdt
t t
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 7
3
4
2 2
sin
sin 1 sin
d t
t t
3
2
2
2
2 2
1
du
u u
(
sin
u t
,
0
t
0
u
,
6
t
1
2
t
)
3
2
2
2
2 2
2 2
1
1
u u
du
u u
3
2
2
2
2 2
1 1
1
du
u u
3 3
2 2
2 2
2 2
1 1 1
ln
2 1
u
u u
2 3
ln 2 1 ln 2 3 2
3
.
Ví dụ 10. Tính
2
2
2
1
dx
I
x
.
Giải
Đặt
1
cos
x
t
,
0; \
2
t
2
sin
cos
sin
2
cos
cos
1
tdt
t
t
t
dx dt
t
x
.
Đổi cận
2
x
4
t
,
2
x
3
t
.
I
3
4
cos
dt
t
3
4
2
cos
cos
tdt
t
3
4
2
sin
1 sin
d t
t
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 8
3
4
1 1 sin
ln
2 1 sin
t
t
ln 2 1 ln 2 3
.
BÀI GIẢNG ÔN THI VÀO ĐẠI HỌC TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ
THS. PHẠM HỒNG PHONG – GV TRƯỜNG ĐH XÂY DỰNG
DĐ: 0983070744 website: violet.vn/phphong84 9
C. BÀI TẬP
Tính các tích phân sau.
1)
1
0
3 2
dx
I
x
. 2)
1
0
2 1
xdx
I
x
.
3) [ĐHD12]
4
0
4 1
2 1 2
x
I dx
x
.
4)
7
3
3
0
1
3 1
x
I dx
x
.
5) [ĐHB04]
1
1 3ln ln
e
x x
I dx
x
.
6) [ĐHA06]
2
2 2
0
sin 2
cos 4sin
x
I dx
x x
.
7)
ln2
0
1
x
I e dx
. 8)
1
2
0
1
5
I x x dx
.
9)
1
3 2
0
1
I x x dx
.
10) [ĐHA03]
2 3
2
5
4
dx
I
x x
.
11)
4
2
2
16
dx
I
x x
.
12)
6
2
2 3
9
dx
I
x x
.
13)
4
2
4 3
3
4
x
I dx
x
. 14)
2
2
2
2
1
1
x
I dx
x x
.
15)
2
2 2
1
4
I x x dx
.
16)
1
2 2
3
4
dx
I
x x
.
