• HAI QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN

1

Hai quy tắc đếm cơ bản
A. Tóm tắt lý thuyết
* Quy tắc cộng (Hình 1): Giả sử để thực hiện công việc
A
, ta phải thực hiện một trong
k
công
việc:
1
A
,
2
A
, ,
k
A
. Để thực hiện công việc
i
A
có
i
n
cách. Khi đó, để thực hiện công việc
A
,
ta có
k
i 1 2 k
i 1

n n n n n

     

(cách).
n
k
cách
.
.
.
Phương án A
k
Phương án A
2
n
1
+n
2
+ +n
k
cách
n
2
cách
n
1
cách
Phương án A
1

Công việc A:

Hình 1: Quy tắc cộng
* Quy tắc nhân (Hình 2): Giả sử để thực hiện công việc
A
, ta phải lần lượt thực hiện
k
công
việc:
1
A
,
2
A
, ,
k
A
. Để thực hiện công việc
i
A
có
i
n
cách. Khi đó, để thực hiện công việc
A
,
ta có

k
i 1 2 k

i 1
n n n . .
n .n

    (cách).
n
1
n
2
n
k
cách
n
k
cách
n
2
cách
n
1
cách

Công việc A
kCông việc A
2
Công việc A
1
Công việc A:

Hình 2: Quy tắc nhân

2

B. Một số ví dụ
Ví dụ 1. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số từ
0
đến
9
.
Giải
Giả sử số cần lập là
1 2 5
A a a a
 . Để lập số
A
, ta phải lần lượt chọn
1
a
,
2
a
, ,
5
a
sao cho
1
a 0

và
1
a

,
2
a
, ,
5
a
đôi một khác nhau.
+)
1
a 0



có
9
cách chọn
1
a
.
+)
2
a
có thể bằng
0
, tuy nhiên
2 1
a a




có
9
cách chọn
2
a
.
+) lập luận hoàn toàn tương tự, ta có số cách chọn
3
a
,
4
a
,
5
a
lần lượt là:
8
,
7
,
6
cách.
Vậy theo quy tắc nhân thì số cách lập số
A
là
9.9.8.7.6 27216

cách.
Ví dụ 2. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau chia hết cho
5

từ các
chữ số từ
0
đến
9
.
Giải
Giả sử số cần lập là
1 2 5
A a a a
 . Để lập số
A
ta có hai phương án như sau:
+) Phương án 1: Chọn
1
a 5




5
a 0

, số cách chọn
2
a
,
3
a
,

4
a
lần lượt là:
8
,
7
,
6
cách.
Do đó, theo quy tắc nhân thì phương án này có số cách thực hiện là:
8.7.6 336

cách


1
.
+) Phương án 2: Chọn
1
a 5



có
8
cách chọn
1
a
,
2

cách chọn
5
a
, cũng tương tự như
phương án 1 số cách chọn
2
a
,
3
a
,
4
a
lần lượt là:
8
,
7
,
6
cách.
Do đó, theo quy tắc nhân thì phương án này có số cách thực hiện là:
8.2.8.7.6 5376

cách


2
.
Từ



1
,


2
, áp dụng quy tắc cộng ta có số cách lập số
A
là
336 5376 5712
 
cách.
Nhận xét: Việc lập số
A
trong Ví dụ 2 được chia thành hai phương án vì việc
1
a
có bằng
5

hay khác
5
có ảnh hưởng đến số cách chọn
5
a
.
Ví dụ 3. Có thể lập được bao nhiêu số có năm chữ số đôi một khác nhau từ các chữ số từ
0
đến
9

biết rằng số này có đúng hai chữ số
1
và các chữ số còn lại đôi một khác nhau.
Giải
Giả sử số cần lập là
1 2 5
A a a a
 . Để lập số
A
ta có hai phương án như sau (về cách chọn
1
a
):
+) Phương án 1:
1
a 1



chọn thêm một vị trí nữa cho cho chữ số
1
có
4
cách, lần lượt chọn
chữ số cho ba vị còn lại có số cách lần lượt là:
9
,
8
,
7

cách.
Do đó, số cách lập số
A
theo phương án này là
1.4.9.8.7 2016

cách.
3

+) Phương án 2:
1
a 1



có
8
cách chọn
1
a
, có
6
cách chọn hai vị trí cho chữ số
1
, lần lượt
chọn chữ số cho hai vị còn lại có số cách lần lượt là:
8
,
7
cách.

Do đó, số cách lập số
A
theo phương án này là
8.6.8.7 2688

cách.
Vậy số cách lập số
A
là
2016 2688 4704
 
cách.
Ví dụ 4. Từ các chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có
6

chữ số đôi một khác nhau và chữ số
2
đứng cạnh chữ số

3
.
Giải
Giả sử số cần lập là
1 2 5
A a a a
 . Để lập số
A
ta có hai phương án như sau:
+) Phương án 1: xếp
2
và
3
vào hai vị trí đầu tiên có
1
n 2

cách (
1
a 2

,
2
a 3

hoặc ngược
lại). Lần lượt chọn chữ số cho các vị trí
3
a
,

4
a
,
5
a
,
6
a


số cách chọn lần lượt là
2
n 4

,
3
n 3

,
4
n 2

,
5
n 1

.
+) Phương án 2: xếp
2
và

3
vào hai vị trí, tránh vị trí
1
a


có thể xếp
2
và
3
vào các vị trí:
2
a
và
3
a
,
3
a
và
4
a
,
4
a
và
5
a
,
5

a
và
6
a


số cách xếp
2
và
3
theo phương án này là:
1
m 2.4 8
 
cách. Số cách chọn
1
a
là
2
m 3

. Lần lượt chọn chữ số cho
3
vị trí còn lại

số
cách chọn lần lượt là
3
m 3


,
4
m 2

,
5
m 1

.
Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
n n n n n m m m m m 2.4.3.2.1 8.3.3.2.1 192
    .
Ví dụ 5. Có
6
quả cầu xanh được đánh số từ
1
đến
6
,
5
quả cầu đỏ được đánh số từ
1
đến
5

và
4
quả cầu vàng được đánh số từ
1

đến
4
. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra
3
quả cầu vừa khác
mầu vừa khác số.
Giải
Để chọn được
3
quả cầu thỏa mãn yêu cầu bài toán, ta lần lượt làm như sau:
Bước 1: Chọn quả cầu vàng có
1
n 4

cách.
Bước 2: Chọn quả cầu đỏ: vì không được chọn quả cầu đỏ có số trùng với số của quả cầu vàng
đã chọn ở bước 1

số cách chọn quả cầu đỏ là
2
n 4

.
Bước 3: Chọn quả cầu xanh: vì không được chọn quả cầu xanh có số trùng với số của các quả
cầu đã chọn ở bước 1 và bước

số cách chọn quả cầu đỏ là
3
n 4


.
Vậy số cách chọn ra
3
quả cầu vừa khác mầu vừa khác số là:
1 2 3
n .n .n 64

.


4

C. Bài tập
Bài 1. Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có
5
màu khác nhau, áo cỡ 40 có
4
màu khác nhau. Hỏi
1) Có bao nhiêu sự lựa chọn một chiếc áo?
2) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cỡ?
Bài 2. Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 hoặc 40. Áo cỡ 39 có
4
màu là trắng, xanh, đỏ,
vàng; áo cỡ 40 có
3
màu là trắng, đỏ, tím. Hỏi
1) Có bao nhiêu sự lựa chọn một chiếc áo?
2) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cỡ?
3) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác màu?
4) Có bao nhiêu sự lựa chọn hai chiếc áo khác cả cỡ và màu?

Bài 3. Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số sao cho
3
chữ số đầu tiên khác nhau và các chữ
số cách đều chữ số đứng giữa thì giống nhau.
Bài 4. Từ cách chữ số
1
,
5
,
6
,
7
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên
1) Có bốn chữ số.
2) Có bốn chữ số đôi một khác nhau.
Bài 5. Từ các chữ số
1
,
5
,
6
,
7
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên lớn hơn
4000
có
4
chữ
số nếu
1) Các chữ số không nhất thiết khác nhau.

2) Các chữ số đôi một khác nhau.
Bài 6. Có bao nhiêu số có
3
chữ số được tạo thành từ các chữ số
2
,
3
,
4
,
5
,
6
nếu
1) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau.
2) Các chữ số của nó đôi một khác nhau.
3) Các chữ số của nó hoàn toàn giống nhau.
Bài 7. Từ cách chữ số
0
,
1
,
2
,
3
,
4
,
5
có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên

1) Có bốn chữ số.
2) Có bốn chữ cố đôi một khác nhau.
3) Có bốn chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 5.
Bài 8. Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ trong khoảng


2000;3000
có thể tạo nên bằng các chữ số
1
,
2
,
3
,
4
,
5
,
6
nếu
1) Các chữ số của nó không nhất thiết khác nhau.
2) Các chữ số của nó đôi một khác nhau.
5

Bài 9. Khi gieo đồng thời ba con súc sắc có bao nhiêu khả năng mà tổng số chấm xuất hiện trên
ba mặt của ba con súc sắc là
9
(giả thiết vai trò của ba con súc sắc khác nhau).
Bài 10. Có
4

hành khác bước lên một đoàn tàu có
4
toa. Hỏi
1) Có bao nhiêu trường hợp có thể xảy ra về cách chọn toa của
4
hành khách.
2) Có bao nhiêu trường hợp mà mỗi toa có
1
người lên.
3) Có bao nhiêu trường hợp mà một toa có
3
người lên, một toa có
1
người lên và hai toa còn
lại không có ai lên.