TOÀN VĂN Sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
        
LÊ KHÁNH LUẬN
SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP
CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN
VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01
Phản biện 1: GS. TSKH. ĐỖ CÔNG KHANH
Phản biện 2: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG
Phản biện 3: PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC
Phản biện độc lập 1: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN
Phản biện độc lập 2: TS. NGUYỄN VĂN NHÂN
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. NGUYỄN THÀNH LONG
2. TS. TRẦN MINH THUYẾT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013
Danh sách ký hiệu
Ký hiệu tập hợp
N Tập hợp các số tự nhiên
Z Tập hợp các số nguyên
R Tập hợp các số thực
Z
+
Tập hợp các số nguyên không âm
R
+
= [0; 1) Tập hợp các số thực không âm
 = (0; 1)
Q

T
=   (0; T ), với T > 0
Ký hiệu về đa chỉ số
jj = 
1
+ 
2
+ ::: + 
N
Bậc của đa chỉ số  = (
1
; 
2
; :::; 
N
) 2 Z
N
+
! = 
1
!
2
!:::
N
!
x

= x

1

1
x

2
2
:::x

N
N
Đơn thức bậc jj theo N biến, với x = (x
1
; x
2
; :::; x
N
)
Ký hiệu đạo hàm
u (t) = u (x; t)
_u (t)  u
t
(t) = u
0
(t) =
@u
@t
(x; t)
•u (t)  u
tt
(t) = u
00

(t) =
@
2
u
@t
2
(x; t)
u
x
(t)  ru (t) =
@u
@x
(x; t)
u
xx
(t)  u (t) =
@
2
u
@x
2
(x; t)
D
k
i
f =
@
k
f
@x

k
i
D

f =
@
jj
f
@x

1
1
@x

2
2
:::@x

N
N
, với  = (
1
; 
2
; :::; 
N
) 2 Z
N
+
1

Mục lục
Danh sách ký hiệu 1
Mở đầu 2
1 Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận cho bài
toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 14
1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Các ký hiệu và giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé. . . . . . . . . 35
Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai
triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến li ên kết với bài toán
Cauchy cho phương trình vi phân thường 50
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi 
1
! 0
+
. . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai
triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên không
thuần nhất dạng chứa tích chập 85
iii
Mục lục iv
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3.3 Sự ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số bé K,  . . 106
Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Kết luận 118
Danh mục công trình của tác giả 121
Tài liệu tham khảo 122
Chương 1
Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến
tính và khai triển tiệm cận cho bài
toán biên hỗn hợp không thuần nhất
cho phương tr ình sóng phi tuyến
1.1 Giới thiệu
Trong chương nầy, chúng tôi xét bài toán
8
>
>
>
<
>
>
>
:
u
tt

@
@x
( (x; t; u) u
x
) = f (x; t; u; u

x
; u
t
) ; 0 < x < 1; 0 < t < T;
u
x
(0; t) = g
0
(t) ; u (1; t) = g
1
(t);
u (x; 0) = ~u
0
(x) ; u
t
(x; 0) = ~u
1
(x) ;
(1.1.1)
trong đó ~u
0
; ~u
1
; ; f; g
0
; g
1
là các hàm số cho trước. Chương nầy gồm hai phần. Để tiện
theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày phần một từ mục 1.1 – 1.4 và phần hai bắt đầu từ mục
1.5 trở đi. Trong phần một, chúng tôi sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

yếu địa phương của bài toán (1.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với
phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Phần hai sẽ khảo sát bài toán khai
triển tiệm cận theo hai tham số bé mà chi tiết sẽ trình bày bắt đầu từ mục 1.6 của chương
này.
1.2 Các ký hiệu và giả thiết
Trong chương nầy, chúng ta sử dụng không gian hàm V = fv 2 H
1
: v (1) = 0g:
14
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 15
Ta cũng chú ý rằng V là không gian con đóng của H
1
, do đó V là không gian Hilbert
đối với tích vô hướng của H
1
: Mặt khác trên V các chuẩn v 7! kv
x
k và v 7! kvk
H
1
là
tương đương.
Bổ đề sau đây cũng được sử dụng trong suốt luận án.
Bổ đề 1.2.1. Phép nhúng V ,! C
0
([0; 1]) là compact và
kvk
C
0
([0;1])

 kv
x
k; 8v 2 V: (1.2.1)
Chứng minh bổ đề nầy có thể tìm thấy trong Brézis [3], Lions [28]. 
Giả sử rằng ~u
0
2 H
2
; ~u
1
2 H
1
; g
0
; g
1
2 C
3
(R
+
) ; f 2 C
1
([0; 1]  R
+
 R
3
) và
 2 C
2
([0; 1]  R

+
 R) ; thỏa điều kiện  (x; t; z)  
0
> 0; 8(x; t; z) 2 [0; 1] R
+
 R:
Dùng phép đổi biến v = u  ' với ' (x; t) = (x  1) g
0
(t) + g
1
(t) thì bài toán (1.1.1)
trở thành bài toán
8
>
>
>
<
>
>
>
:
v
tt

@
@x
( (x; t; v + ') v
x
) =
~

f (x; t; v; v
x
; v
t
) ; 0 < x < 1; 0 < t < T;
v
x
(0; t) = v (1; t) = 0;
v (x; 0) = ~v
0
(x) ; v
t
(x; 0) = ~v
1
(x) ;
(1.2.2)
trong đó
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>

>
>
>
>
>
>
>
:
~
f (x; t; v; v
x
; v
t
) = f (x; t; v + '; v
x
+ '
x
; v
t
+ '
t
)
 (x  1) g
00
0
(t)  g
00
1
(t) + g
0

(t) D
1
 (x; t; v + ')
+ g
0
(t) (v
x
+ g
0
(t)) D
3
 (x; t; v + ') ;
~v
0
(x) = ~u
0
(x)  (x  1) g
0
(0)  g
1
(0) ;
~v
1
(x) = ~u
1
(x)  (x  1) g
0
0
(0)  g
0

1
(0) ;
(1.2.3)
và g
0
; g
1
; ~u
0
; ~u
1
thỏa điều kiện tương thích g
0
(0) = u
x
(0; 0) = ~u
0
0
(0) ; ~u
0
(1) = g
1
(0);
~u
0
1
(1) = g
0
1
(0):

Ta thiết lập các giả thiết sau:
(H
1
) ~v
0
2 V \H
2
; ~v
1
2 V;
(H
2
)  2 C
2
([0; 1]  R
+
 R) ;  (x; t; z)  
0
> 0; 8(x; t; z) 2 [0; 1] R
+
 R;
(H
3
)
~
f 2 C
1
([0; 1]  R
+
 R

3
) :
Trước hết, để tiện theo dõi, ta sẽ giới thiệu một số ký hiệu cũng như khái niệm nghiệm
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 16
yếu của bài toán (1.2.2):
Ta gọi một hàm v 2 L
1
(0; T ; V \ H
2
) thỏa điều kiện v
t
2 L
1
(0; T ; V ) ; v
tt
2
L
1
(0; T ; L
2
) là nghiệm yếu của bài toán (1.2.2) nếu nó thỏa bài toán biến phân dưới
đây
8
<
:
hv
tt
(t) ; wi+ h (x; t; v + ') v
x
; w

x
i = h
~
f (x; t; v; v
x
; v
t
) ; wi; 8w 2 V;
v (0) = ~v
0
; v
t
(0) = ~v
1
:
(1.2.4)
Cố định T

> 0; với mỗi M > 0; đặt
M

= k'k
C
1
([0;1][0;T

])
;
~
K =

~
K (M; ) = kk
C
2
(
~
A
M
)
;
(1.2.5)
trong đó
~
A
M
= f(x; t; u) 2 [0; 1]  [0; T

]  R : juj  M + M

g;
K
1
(M;
~
f) =



~
f




C
1
(A

(M))
; (1.2.6)
A

(M) =

(x; t; u; v; w) 2 [0; 1]  [0; T

]  R
3
: juj; jvj; jwj  M

:
Với mỗi T 2 (0; T

] và M > 0; ta đặt
8
>
>
>
<
>
>

>
:
W (M; T ) = fv 2 L
1
(0; T ; V \ H
2
) : v
t
2 L
1
(0; T ; V ) và v
tt
2 L
2
(Q
T
) ;
với kvk
L
1
(0;T ;V \H
2
)
; kv
t
k
L
1
(0;T ;V )
; kv

tt
k
L
2
(Q
T
)
 Mg;
W
1
(M; T ) = fv 2 W (M; T ) : v
tt
2 L
1
(0; T ; L
2
)g;
(1.2.7)
trong đó Q
T
=   (0; T ) :
Ngoài ra, với f 2 C
k
([0; 1]  R
+
 R
3
) ; f = f (x; t; u; v; w) ; ta cũng ký hiệu D
1
f =

@f
@x
;
D
2
f =
@f
@t
; D
3
f =
@f
@u
; D
4
f =
@f
@v
; D
5
f =
@f
@w
; và D

f = D

1
1
:::D


5
5
f;  = (
1
; :::; 
5
) 2 Z
5
+
;
jj = 
1
+ ::: + 
5
= k; D
(0;:::;0)
f = f:
Ta trình bày phương pháp xấp xỉ tuyến tính cho bài toán (1.2.4) như sau:
Chọn số hạng đầu v
0
 ~v
0
:
Giả sử
v
m1
2 W
1
(M; T ) : (1.2.8)

Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 17
Tìm v
m
2 W
1
(M; T ) (m  1) thỏa bài toán biến phân
8
<
:
hv
00
m
(t) ; wi+ h
m
(t) rv
m
(t) ; rwi = hF
m
(t) ; wi; 8w 2 V;
v
m
(0) = ~v
0
; v
0
m
(0) = ~v
1
;
(1.2.9)

trong đó
8
<
:

m
(t) =  (x; t; 
m
(x; t)) ; 
m
(x; t) = v
m1
(x; t) + ' (x; t) ;
F
m
(t) =
~
f

x; t; v
m1
(t) ; rv
m1
(t) ; v
0
m1
(t)

:
(1.2.10)

Sự tồn tại dãy fv
m
g như thế sẽ được chứng minh trong Định lý 1.3.1 bằng cách sử
dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm và lý luận về
tính compact. Trong Định lý 1.4.1, ta sẽ chứng minh dãy fv
m
g hội tụ về nghiệm yếu của
bài toán (1.2.2) trong một không gian thích hợp.
1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính
Định lý 1.3.1. Giả sử (H
1
) (H
3
) thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0
sao cho, với v
0
= ~v
0
, tồn tại một dãy qui nạp fv
m
g  W
1
(M; T ) xác định bởi (1.2.9),
(1.2.10).
Chứng minh. Chứng minh gồm một số bước.
Bước 1: Xấp xỉ Faedo-Galerkin. Xét một cơ sở fw
j
g của V
w
j

(x) =
s
2
1 + 
2
j
cos (
j
x) ; 
j
= (2j  1)

2
; j 2 N; (1.3.1)
gồm các hàm riêng của toán tử Laplace  = 
@
2
@x
2
. Đặt
v
(k)
m
(t) =
X
k
j=1
c
(k)
mj

(t) w
j
;
(1.3.2)
trong đó các hệ số c
(k)
mj
thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính
8
<
:
D
•v
(k)
m
(t) ; w
j
E
+
D

m
(t) rv
(k)
m
(t) ; rw
j
E
= hF
m

(t) ; w
j
i; 1  j  k;
v
(k)
m
(0) = ~v
0k
; _v
(k)
m
(0) = ~v
1k
;
(1.3.3)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 18
trong đó
8
>
<
>
:
~v
0k
=
X
k
j=1

(k)

j
w
j
! ~v
0
mạnh trong V \H
2
;
~v
1k
=
X
k
j=1

(k)
j
w
j
! ~v
1
mạnh trong V:
(1.3.4)
Hệ (1.3.3) được viết lại
•c
(k)
mi
(t) +
X
k

j=1

(m)
ij
(t) c
(k)
mj
(t) = hF
m
(t) ; w
i
i; 1  i  k; (1.3.5)
trong đó

(m)
ij
(t) = h
m
(t) rw
i
; rw
j
i; 1  i; j  k:
Tích phân hai vế phương trình trên hai lần theo t; ta được hệ phương trình tích phân
dưới đây
c
(k)
mi
(t) = 
(k)

i
+ 
(k)
i
t 
Z
t
0
Z

0
X
k
j=1

(m)
ij
(s) c
(k)
mj
(s) dsd
+
Z
t
0
Z

0
hF
m

(s) ; w
i
idsd; 1  i  k:
(1.3.6)
Ta bỏ qua các chỉ số m; k trong các cách viết và lần lượt viết
c = (c
1
; :::; c
k
) ;  = (
1
; :::; 
k
) ;  = (
1
; :::; 
k
) ;
thay cho
c
(k)
m
= (c
(k)
m1
; :::; c
(k)
mk
); 
(k)

= (
(k)
1
; :::; 
(k)
k
); 
(k)
= (
(k)
1
; :::; 
(k)
k
):
Khi đó hệ (1.3.6) được đưa về phương trình điểm bất động
c = V [c]; (1.3.7)
trong đó
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
c = (c
1
; :::; c
k
) ;
V [c] (t) = (V
1
[c] (t) ; :::; V
k

[c] (t)) ;
V
i
[c] (t) = U
i
[c] (t) + h
i
(t) ;
U
i
[c] (t) = 
X
k
j=1
Z
t
0
Z

0

ij
(s) c
j
(s) dsd;
h
i
(t) = 
i
+ 

i
t +
Z
t
0
Z

0
hF
m
(s) ; w
j
idsd;

ij
(s) = h
m
(t) rw
i
; rw
j
i; 1  i; j  k:
(1.3.8)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 19
Chú ý rằng X = C

[0; T ] ; R
k

là không gian Banach đối với chuẩn

kck
X
= sup
0tT
jc(t)j
1
; jc(t)j
1
=
X
k
j=1
jc
j
(t)j; c = (c
1
; :::; c
k
) 2 X:
Ta chứng minh phương trình (1.3.7) có điểm bất động trong X:
Với mọi c; d 2 X; ta có
jV
i
[c] (t)  V
i
[d] (t)j = jU
i
[c] (t)  U
i
[d] (t)j

=




Z
t
0
Z

0
P
k
j=1

ij
(s) (c
j
(s)  d
j
(s))dsd





Z
t
0
Z


0
X
k
j=1
j
ij
(s)jjc
j
(s)  d
j
(s)jdsd

X
k
j=1
sup
0sT
j
ij
(s)j
Z
t
0
Z

0
jc
i
(s)  d

i
(s)jdsd
 2
~
K
Z
t
0
Z

0
jc (s)  d (s)j
1
dsd  2
~
K
t
2
2
kc  dk
X
:
(1.3.9)
Từ (1.3.9), ta suy ra
jV [c] (t)  V [d] (t)j
1
 2k
~
K
Z

t
0
Z

0
jc (s)  d (s)j
1
dsd  2k
~
K
t
2
2
kc  dk
X
: (1.3.10)
Bằng quy nạp ta chứng minh công thức sau đúng với mọi n:
jV
n
[c] (t)  V
n
[d] (t)j
1


2k
~
Kt
2


n
(2n)!
kc  dk
X
: (1.3.11)
Thật vậy, với n = 1 thì công thức đúng, do (1.3.10).
Giả sử công thức (1.3.11) đúng đến n  1:
Từ (1.3.10) và (1.3.11); ta suy ra
jV
n
[c] (t)  V
n
[d] (t)j
1
=


V V
n1
[c] (t)  V V
n1
[d] (t)


1
(1.3.12)
 2k
~
K
Z

t
0
Z

0


V
n1
[c] (s)  V
n1
[d] (s)


1
dsd
 2k
~
K

2k
~
Kt
2

n1
[2(n  1)]!
kc  dk
X
Z

t
0
Z

0
s
2n2
dsd


2k
~
Kt
2

n
(2n)!
kc  dk
X
:
Vậy (1.3.11) được chứng minh.
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 20
Từ (1.3.11); ta có
kV
n
[c]  V
n
[d]k
X



2k
~
KT
2

n
(2n)!
kc  dk
X
; 8c; d 2 X: (1.3.13)
Do lim
n!1
(
2k
~
KT
2
)
n
(2n)!
= 0, nên tồn tại n 2 N sao cho
(
2k
~
KT
2
)
n
(2n)!

< 1:
Áp dụng định lý điểm bất động Banach ta có duy nhất c 2 X sao cho c = V [c]:
Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm.
Đặt
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
X
(k)
m
(t) =



_v
(k)
m
(t)




2
+



p

m
(t)rv
(k)
m
(t)



2
;
Y
(k)
m
(t) =



r_v
(k)
m

(t)



2
+



p

m
(t)v
(k)
m
(t)



2
;
S
(k)
m
(t) = X
(k)
m
(t) + Y
(k)
m

(t) +
Z
t
0



•v
(k)
m
(s)



2
ds:
(1.3.14)
Với mọi j = 1; 2; :::; k; nhân (1.3.3) với _c
(k)
mj
(t), tổng theo j; và lấy tích phân theo thời
gian, ta có
X
(k)
m
(t) = X
(k)
m
(0) +
Z

t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)



rv
(k)
m
(x; s)



2
dx
+2
Z
t
0
D
F
m
(s) ; _v

(k)
m
(s)
E
ds = X
(k)
m
(0) + I
1
+ I
2
:
(1.3.15)
Thay w
j
trong (1.3.3) bởi w
j
, ta được


r•v
(k)
m
(t) ; rw
j



r(
m

(t) rv
(k)
m
(t)); w
j

= hF
m
(t) ; w
j
i; 1  j  k: (1.3.16)
Bằng cách nhân (1.3.16) với _c
(k)
mj
(t) ; tổng theo j; và lấy tích phân theo t; ta được
Y
(k)
m
(t) = Y
(k)
m
(0) + 2
D
@
m
@x
(0) r~v
0k
; ~v
0k

E
+ 2 hF
m
(0) ; ~v
0k
i
+
Z
t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)



v
(k)
m
(x; s)



2
dx

+2
Z
t
0
D
@
@s

@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s)

; v
(k)
m
(s)
E
ds
2
D
@
m
@x
(t) rv
(k)
m

(t) ; v
(k)
m
(t)
E
 2
D
F
m
(t) ; v
(k)
m
(t)
E
+2
Z
t
0
D
@F
m
@t
(s) ; v
(k)
m
(s)
E
ds
= Y
(k)

m
(0) + 2
D
@
m
@x
(0) r~v
0k
; ~v
0k
E
+ 2 hF
m
(0) ; ~v
0k
i +
P
7
j=3
I
j
:
(1.3.17)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 21
Ta sẽ đánh giá các tích phân bên phải của (1.3.15) và (1.3.17) như dưới đây.
Tích phân thứ nhất I
1
:
Do


0
m
(x; t) =
@
m
@t
(x; t) = D
2
 (x; t; 
m
(x; t)) + D
3
 (x; t; 
m
(x; t)) ( _v
m1
(x; t) + _' (x; t)) ;
(1.3.18)
ta suy ra từ (1.2.5), (1.2.8) và (1.3.18), rằng
j
0
m
(x; t)j 
~
K(M; )(M + M

+ 1): (1.3.19)
Vậy, bởi (1.3.14), (1.3.19), ta được
I
1

=
Z
t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)


rv
(k)
m
(x; s)


2
dx (1.3.20)

1

0
~
K(M; )(M + M

+ 1)

Z
t
0
X
(k)
m
(s) ds:
Tích phân thứ hai I
2
.
Từ (1.2.6), (1.2.8), (1.2.10) và (1.3.14), ta có
I
2
= 2
Z
t
0

F
m
(s) ; _v
(k)
m
(s)

ds  2
Z
t
0
kF

m
(s)k


_v
(k)
m
(s)


ds (1.3.21)
 T K
2
1
(M;
~
f) +
Z
t
0
X
(k)
m
(s) ds:
Tích phân thứ ba I
3
:
Bằng cách dùng (1.3.14) và (1.3.19), ta được
I
3

=
Z
t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)


v
(k)
m
(x; s)


2
dx (1.3.22)

1

0
~
K(M; )(M + M

+ 1)

Z
t
0
Y
(k)
m
(s) ds:
Tích phân thứ tư I
4
:
Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
jI
4
j = 2




Z
t
0

@
@s
(
@
m
@x
(s) rv
(k)

m
(s)); v
(k)
m
(s)

ds




(1.3.23)

2
p

0
Z
t
0
I

4
(s)
q
Y
(k)
m
(s)ds;
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 22

trong đó I

4
(s) =



@
@s
(
@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s))



:
Ta tiếp tục đánh giá I

4
(s) như sau.
Ta có
I

4
(s) =




@
@s

@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s)




=



@
m
@x
(s) r_v
(k)
m
(s) +
@
2


m
@x@s
(s) rv
(k)
m
(s)







@
m
@x
(s)



C
0
(


)




r_v
(k)
m
(s)



+



@
2

m
@x@s
(s)






rv
(k)
m
(s)




C
0
(


)





@
m
@x
(s)



C
0
(


)
+
1
p

0




@
2

m
@x@s
(s)




q
Y
(k)
m
(s):
(1.3.24)
Hơn nữa, do
@
m
@x
(x; s) = D
1
 (x; s; 
m
(x; s)) + D
3
 (x; s; 
m

(x; s)) (rv
m1
(x; s) + g
0
(s)) ; (1.3.25)
ta suy ra rằng




@
m
@x
(s)




C
0
(


)

~
K (M; )

krv
m1

(s)k
C
0
(


)
+ M

+ 1

(1.3.26)

~
K (M; )

kv
m1
(s)k
C
0
(


)
+ M

+ 1



~
K (M; ) (M + M

+ 1) :
Tương tự, từ đẳng thức sau
@
2

m
@x@s
(x; s) =
@
@s
D
1
 (x; s; 
m
(x; s)) (1.3.27)
+
@
@s
[D
3
 (x; s; 
m
(x; s)) (rv
m1
(x; s) + g (s)) ]
= D
2

D
1
 (x; s; 
m
(x; s))
+D
3
D
1
 (x; s; 
m
(x; s)) (rv
m1
(x; s) + r' (x; s))
+

@
@s
D
3
 (x; s; 
m
(x; s))

(rv
m1
(x; s) + g (s))
+D
3
 (x; s; 

m
(x; s))
@
@s
(rv
m1
(x; s) + g (s))
= D
2
D
1
 (x; s; 
m
(x; s))
+D
3
D
1
 (x; s; 
m
(x; s)) (rv
m1
(x; s) + r' (x; s))
+D
1
D
3
 (x; s; 
m
(x; s)) (rv

m1
(x; s) + g (s))
+D
2
3
 (x; s; 
m
(x; s)) ( _v
m1
(x; s) + _' (x; s)) (rv
m1
(x; s) + g (s))
+D
3
 (x; s; 
m
(x; s)) (r_v
m1
(x; s) + r_' (x; s)) ;
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 23
ta được




@
2

m
@x@s

(s)





~
K (M; )

1 + 3(M + M

) + (M + M

)
2

(1.3.28)

~
K (M; ) (M + M

+ 1) (M + M

+ 2) :
Từ (1.3.24), (1.3.26) và (1.3.28) ta suy ra
I

4
(s) =





@
@s

@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s)





(1.3.29)

~
K (M; ) (M + M

+ 1)

1 +
2 + M + M

p


0

q
Y
(k)
m
(s):
Từ (1.3.23) và (1.3.29), ta suy được
jI
4
j 
2
p

0
~
K (M; ) (M + M

+ 1)

1 +
2 + M + M

p

0

Z
t
0

Y
(k)
m
(s) ds: (1.3.30)
Tích phân thứ năm I
5
:
Do bất đẳng thức Cauchy-Schwartz, kết hợp bất đẳng thức (28) với " =  > 0; ta có
jI
5
j =




2

@
m
@x
(t) rv
(k)
m
(t) ; v
(k)
m
(t)






(1.3.31)

1





@
m
@x
(t) rv
(k)
m
(t)




2
+ 


v
(k)
m
(t)



2
;
với mọi  > 0:
Hơn nữa,




@
m
@x
(t) rv
(k)
m
(t)




=




@
m
@x
(0) r~v
0k

+
Z
t
0
@
@s

@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s)

ds




(1.3.32)





@
m
@x
(0)





C
0
(


)
kr~v
0k
k +
Z
t
0
I

4
(s) ds:
Từ (1.3.29) và (1.3.32), ta suy ra rằng




@
m
@x
(t) rv
(k)

m
(t)









@
m
@x
(0)




C
0
(


)
kr~v
0k
k (1.3.33)
+
~

K (M; ) (M + M

+ 1)

1 +
2 + M + M

p

0

Z
t
0
Y
(k)
m
(s) ds:
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 24
Vậy từ (1.3.31) và (1.3.33), ta được
jI
5
j 


0
Y
(k)
m
(t) +

2





@
m
@x
(0)




2
C
0
(


)
kr~v
0k
k
2
(1.3.34)
+
2

T

~
K
2
(M; ) (M + M

+ 1)
2

1 +
2 + M + M

p

0

2
Z
t
0
Y
(k)
m
(s) ds;
với mọi  > 0.
Tích phân thứ sáu I
6
:
Từ (1.3.14) cùng với bất đẳng thức (28) với " =  > 0; ta có
jI
6

j =


2

F
m
(t) ; v
(k)
m
(t)




1

kF
m
(t)k
2
+ 


v
(k)
m
(t)



2
(1.3.35)

1





F
m
(0) +
Z
t
0
@F
m
@s
(s) ds




2
+


0
Y
(k)

m
(t)

2

kF
m
(0)k
2
+
2

T
Z
T
0




@F
m
@s
(s)




2
ds +



0
Y
(k)
m
(t) ;
với mọi  > 0:
Như đã biết
@F
m
@t
(t) = D
2
~
f [v
m1
] + D
3
~
f [v
m1
] v
0
m1
(t) (1.3.36)
+D
4
~
f [v

m1
] rv
0
m1
(t) + D
5
~
f [v
m1
] v
00
m1
(t) ;
trong đó ta đã sử dụng ký hiệu D
i
~
f [v
m1
] = D
i
~
f(x; t; v
m1
(x; t) ; rv
m1
(x; t) ; v
0
m1
(x; t));
i = 2; :::; 5:

Do đó, từ (1.2.6), (1.2.8) và (1.3.36), ta có




@F
m
@t
(t)




 K
1
(M;
~
f)

1 +


v
0
m1
(t)


+



rv
0
m1
(t)


+


v
00
m1
(t)



(1.3.37)
 K
1
(M;
~
f)

1 + 2M +


v
00
m1

(t)



:
Vậy, từ (1.2.8), (1.3.35) và (1.3.37), ta suy ra
jI
6
j 
2

kF
m
(0)k
2
+
4

T K
2
1
(M;
~
f)
Z
T
0
h
(1 + 2M)
2

+


v
00
m1
(s)


2
i
ds
+


0
Y
(k)
m
(t)

2

kF
m
(0)k
2
+
4


T K
2
1
(M;
~
f)

(1 + 2M)
2
T + M
2

+


0
Y
(k)
m
(t) ;
(1.3.38)
với mọi  > 0:
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 25
Tích phân thứ bảy I
7
:
Do (1.2.8), (1.3.14) và (1.3.37), ta có được
jI
7
j = 2





Z
t
0

@F
m
@t
(s) ; v
(k)
m
(s)

ds




(1.3.39)

Z
t
0





@F
m
@s
(s)




ds +
Z
t
0




@F
m
@s
(s)






v
(k)
m
(s)



2
ds
 K
1
(M;
~
f)
"
(1 + 2M) T +
p
T

Z
T
0


v
00
m1
(s)


2
ds

1=2
#

+
1

0
K
1
(M;
~
f)
Z
t
0
(1 + 2M +


v
00
m1
(s)


)Y
(k)
m
(s) ds
 K
1
(M;
~
f)

h
(1 + 2M) T +
p
T M
i
+
1

0
K
1
(M;
~
f)
Z
t
0
(1 + 2M +


v
00
m1
(s)


)Y
(k)
m
(s) ds:

Ta còn đánh giá
Z
t
0
k•v
m
(s)k
2
ds:
Phương trình (1.3.3) có thể được viết như sau

•v
(k)
m
(t) ; w
j



@
@x


m
(t) rv
(k)
m
(t)

; w

j

= hF
m
(t) ; w
j
i; 1  j  k: (1.3.40)
Vậy, thay w
j
bởi •v
(k)
m
(t) và lấy tích phân ta được
2
Z
t
0



•v
(k)
m
(s)



2
ds = 2
Z

t
0
D
@
@x
(
m
(s) rv
(k)
m
(s)); •v
(k)
m
(s)
E
ds
+2
Z
t
0
D
F
m
(s) ; •v
(k)
m
(s)
E
ds
 2

Z
t
0



@
@x
(
m
(s) rv
(k)
m
(s))






•v
(k)
m
(s)



ds
+2
Z

t
0
kF
m
(s)k



•v
(k)
m
(s)



ds
 2
Z
t
0



@
@x
(
m
(s) rv
(k)
m

(s))



2
ds +
1
2
Z
t
0



•v
(k)
m
(s)



2
ds
+2
Z
t
0
kF
m
(s)k

2
ds +
1
2
Z
t
0



•v
(k)
m
(s)



2
ds:
(1.3.41)
Do đó
Z
t
0



•v
(k)
m

(s)



2
ds  2
Z
t
0



@
@x
(
m
(s) rv
(k)
m
(s))



2
ds + 2
Z
t
0
kF
m

(s)k
2
ds
 2
Z
t
0



@
@x
(
m
(s) rv
(k)
m
(s))



2
ds + 2T K
2
1
(M;
~
f):
(1.3.42)
Ta đánh giá số hạng




@
@x
(
m
(s) rv
(k)
m
(s))



:
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 26
Từ (1.2.5), (1.3.14) và (1.3.26), ta có



@
@x
(
m
(s) rv
(k)
m
(s))




=



@
m
@x
rv
(k)
m
(s) + 
m
(s) v
(k)
m
(s)







@
m
@x
(s)




C
0
(


)



rv
(k)
m
(s)



+ k
m
(s)k
C
0
(


)



v

(k)
m
(s)




1
p

0
~
K(M; )(M + M

)
q
X
(k)
m
(s) +
1
p

0
~
K(M; )
q
Y
(k)
m

(s)

1
p

0
~
K(M; )
p
1 + (M + M
)
2
q
S
(k)
m
(s):
(1.3.43)
Do đó, từ (1.3.42) và (1.3.43); ta được
Z
t
0



•v
(k)
m
(s)




2
ds  2T K
2
1
(M;
~
f) +
2

0
~
K
2
(M; ) [1 + (M + M

+ 1)
2
]
Z
t
0
S
(k)
m
(s) ds:
(1.3.44)
Chọn  > 0; với
2


0

1
2
; từ (1.3.14), (1.3.15), (1.3.17), (1.3.20) – (1.3.22), (1.3.30),
(1.3.34), (1.3.38), (1.3.39) và (1.3.44), ta suy ra
S
(k)
m
(t) 
~
D
0k
+
~
D
1
(M; T; ) + 2
Z
t
0

~
D
2
(M; T; ) +
1

0

K
1
(M;
~
f) k•v
m1
(s)k

S
(k)
m
(s) ds;
(1.3.45)
trong đó
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>

>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
~
D
0k
= 2S
(k)
m
(0) + 4 hF
m
(0) ; ~v

0k
i
+ 4
D
@
m
@x
(0) r~v
0k
; ~v
0k
E
+
4

kF
m
(0)k +
4




@
m
@x
(0)




2
C
0
(


)
kr~v
0k
k
2
;
~
D
1
(M; T; ) = 6T K
2
1
(M;
~
f) +
8


(1 + 2M)
2
T + M
2

T K

2
1
(M;
~
f)
+ 2

(1 + 2M)
p
T + M

p
T K
1
(M;
~
f);
~
D
2
(M; T; ) = 1 +
2

0
(M + M

+ 1)

2 +
p


0
+ (M + M

+ 1)

~
K(M; )
+
1+2M

0
K
1
(M;
~
f)
+ 2

1

(M + M

+ 1)
2

1 +
1+(M+M

+1)

p

0

2
T +
1+(M+M

+1)
2

0

~
K
2
(M; ) :
(1.3.46)
Do tính hội tụ của (1.3.4) ta có thể suy ra sự tồn tại M > 0 độc lập với k và m sao
cho
~
D
0k

1
2
M
2
: (1.3.47)
Chú ý rằng, từ (1.2.5), (1.2.6), (1.3.46)

2;3
và (H
2
); (H
3
) ta có
lim
T !0
+
~
D
1
(M; T; ) = lim
T !0
+
T
~
D
2
(M; T; ) = 0: (1.3.48)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 27
Do đó, từ (1.3.46)
2;3
và (1.3 .48 ), ta có thể chọn T 2 (0; T

], sao cho

1
2
M

2
+
~
D
1
(M; T; )

exp

2T
~
D
2
(M; T; ) +
2
p
T

0
K
1
(M;
~
f)M
!
 M
2
; (1.3.49)
và
k

T
=

1 +
1
p

0

p
T

4K
2
1
(M;
~
f) +
~
K
2
(M; ) (3 + M + M

)
2
M
2

1
2

exp[T (1 +
M+M

+1
2
0
~
K(M; ))] < 1:
(1.3.50)
Sau cùng, từ (1.3.45), (1.3.47) và (1.3.49), ta suy ra
S
(k)
m
(t)  M
2
exp

2T
~
D
2
(M; T; ) 
2
p
T

0
K
1
(M;

~
f)M
!
(1.3.51)
+2
Z
t
0

~
D
2
(M; T; ) +
1

0
K
1
(M;
~
f) k•v
m1
(s)k

S
(k)
m
(s) ds:
Áp dụng bổ đề Gronwall, từ (1.2.8), (1.3.49) và (1.3.5 1), ta suy ra
S

(k)
m
(t)  M
2
exp

2T
~
D
2
(M; T; ) 
2
p
T

0
K
1
(M;
~
f)M
!
(1.3.52)
exp

2
Z
t
0


~
D
2
(M; T; ) +
1

0
K
1
(M;
~
f) k•v
m1
(s)k

ds

 M
2
exp

2T
~
D
2
(M; T; ) 
2
p
T


0
K
1
(M;
~
f)M
!
exp

2T
~
D
2
(M; T; ) +
2

0
K
1
(M;
~
f)
p
T k•v
m1
k
L
2
(Q
T

)

 M
2
;
với mọi t 2 [0; T
(k)
m
]; với mọi m và k: Do đó, ta có thể lấy T
(k)
m
= T cho mọi m và k. Do
đó, ta có
v
(k)
m
2 W (M; T ) ; với mọi m và k: (1.3.53)
Bước 3. Qua giới hạn.
Từ (1.3.53) ta suy ra rằng tồn tại một dãy con của dãy fv
(k)
m
g vẫn ký hiệu là fv
(k)
m
g;
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 28
sao cho
8
>
>

>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
v
(k)
m
! v
m
trong L
1
(0; T ; V \ H
2
) yếu*,
_v
(k)
m
! v
0
m
trong L
1

(0; T ; V ) yếu*,
•v
(k)
m
! v
00
m
trong L
2
(Q
T
) yếu,
v
m
2 W (M; T ) :
(1.3.54)
Qua giới hạn trong (1.3.3), ta có v
m
thỏa (1.2.9), (1.2.10) trong L
2
(0; T ) ; yếu.
Hơn nữa từ (1.2.9), (1.2.10) và (1.3.54)
4
ta suy ra
v
00
m
=
@
@x

(
m
(t) rv
m
(t)) + F
m
2 L
1

0; T ; L
2

: (1.3.55)
Vậy v
m
2 W
1
(M; T ) và chứng minh của định lý 1.3.1 được hoàn tất .
1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu
Định lý 1.4.1. Giả sử (H
1
)  (H
3
) thỏa. Khi đó
(i) Tồn tại các hằng số dương M và T thỏa (1.3.47), (1.3.49) và (1.3.50) sao cho bài
toán (1.2.2) có duy nhất nghiệm yếu v 2 W
1
(M; T ) :
(ii) Hơn nữa dãy quy nạp tuyến tính fv
m

g xác định bởi (1.2.9), (1.2.10) hội tụ mạnh
về nghiệm yếu v của bài toán (1.2.2) trong không gian
W
1
(T ) =

w 2 L
1
(0; T ; V ) : w
0
2 L
1

0; T ; L
2

; (1.4.1)
và ta có đánh giá
kv
m
 vk
L
1
(0;T ;V )
+ kv
0
m
 v
0
k

L
1
(0;T ;L
2
)
 Ck
m
T
; với mọi m 2 N; (1.4.2)
trong đó k
T
2 (0; 1) được xác định trong (1.3.50) và C là hằng số chỉ tùy thuộc T; g
0
; g
1
;
~v
0
; ~v
1
và k
T
:
Chứng minh.
(i) Sự tồn tại nghiệm.
Trước hết, ta để ý rằng W
1
(T ) là một không gian Banach với chuẩn tương ứng (Lions
[28])
kwk

W
1
(T )
= kwk
L
1
(0;T ;V )
+ kw
0
k
L
1
(0;T ;L
2
)
: (1.4.3)
Ta sẽ chứng minh rằng fv
m
g là một dãy Cauchy trong W
1
(T ) :
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 29
Đặt w
m
= v
m+1
 v
m
: Khi đó w
m

thỏa bài toán biến phân
8
>
>
>
<
>
>
>
:
hw
00
m
(t) ; wi+


m+1
(t) rw
m
(t) ; rw

+

(
m+1
(t)  
m
(t))rv
m
(t) ; rw


= hF
m+1
(t)  F
m
(t) ; wi; 8w 2 V;
w
m
(0) = w
0
m
(0) = 0:
(1.4.4)
Lấy w = w
0
m
trong (1.4.4)
1
; sau khi lấy tích phân theo t, ta được
z
m
(t) =
Z
t
0
ds
Z
1
0


0
m+1
(x; s) jrw
m
(x; s)j
2
dx
+2
Z
t
0
hF
m+1
(s)  F
m
(s) ; w
0
m
(s)ids
+2
Z
t
0

@
@x


m+1
(s)  

m
(s)

rv
m
(s)

; w
0
m
(s)

ds =
X
3
i=1
J
i
;
(1.4.5)
trong đó
z
m
(t) = kw
0
m
(t)k
2
+





q

m+1
(t)rw
m
(t)




2
 kw
0
m
(t)k
2
+ 
0
krw
m
(t)k
2
: (1.4.6)
và tất cả các tích phân bên phải của (1.4.5) được đánh giá như sau.
Tích phân thứ nhất J
1
:

Do (1.3.19), ta được
jJ
1
j 
Z
t
0
ds
Z
1
0



0
m+1
(x; s)


jrw
m
(x; s)j
2
dx

1

0
~
K (M; ) (M + M


+ 1)
Z
t
0
z
m
(s) ds:
(1.4.7)
Tích phân thứ hai J
2
:
Do (H
3
), ta có
kF
m+1
(t)  F
m
(t)k  K
1
(M;
~
f) [kw
m1
(t)k + krw
m1
(t)k + k _w
m1
(t)k](1.4.8)

 K
1
(M;
~
f)

2 krw
m1
(t)k +


w
0
m1
(t)



 2K
1
(M;
~
f) kw
m1
k
W
1
(T )
:
Vậy

jJ
2
j  2




Z
t
0
hF
m+1
(s)  F
m
(s) ; w
0
m
(s)ids




 4T K
2
1
(M;
~
f) kw
m1
k

2
W
1
(T )
+
Z
t
0
z
m
(s) ds:
(1.4.9)
Tích phân thứ ba J
3
:
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 30
Ta có
jJ
3
j = 2




Z
t
0

@
@x



m+1
(s)  
m
(s)

rv
m
(s)

; w
0
m
(s)

ds




(1.4.10)

Z
t
0





@
@x


m+1
(s)  
m
(s)

rv
m
(s)





2
ds +
Z
t
0
z
m
(s) ds:
Chú ý rằng
@
@x



m+1
(s)  
m
(s)

rv
m
(s)

=


m+1
(s)  
m
(s)

v
m
(s) +
@
@x


m+1
(s)  
m
(s)

rv

m
(s)
=


m+1
(s)  
m
(s)

v
m
(s) + (D
1
 [v
m
]  D
1
 [v
m1
]) rv
m
(s)
+
h
D
3
 [v
m
]

@
m+1
@x
 D
3
 [v
m1
]
@
m
@x
i
rv
m
(s)
=


m+1
(s)  
m
(s)

v
m
(s) + (D
1
 [v
m
]  D

1
 [v
m1
]) rv
m
(s)
+
h
D
3
 [v
m
]

@
m+1
@x

@
m
@x

+ (D
3
 [v
m
]  D
3
 [v
m1

])
@
m
@x
i
rv
m
(s)
=


m+1
(s)  
m
(s)

v
m
(s) + (D
1
 [v
m
]  D
1
 [v
m1
]) rv
m
(s)
+D

3
 [v
m
] rw
m1
rv
m
+ (D
3
 [v
m
]  D
3
 [v
m1
])
@
m
@x
rv
m
(s) :
(1.4.11)
Do đó


@
@x



m+1
(s)  
m
(s)

rv
m
(s)







m+1
(s)  
m
(s)


C
0
(

)
kv
m
(s)k
+ k(D

1
 [v
m
]  D
1
 [v
m1
])k
C
0
(

)
krv
m
(s)k
+ kD
3
 [v
m
]k
C
0
(

)
krv
m
(s)k
C

0
(

)
krw
m1
(s)k
+ kD
3
 [v
m
]  D
3
 [v
m1
]k
C
0
(

)



@
m
@x




C
0
(

)
krv
m
(s)k:
(1.4.12)
Ta cũng cần đánh giá các số hạng trong (1.4.12) như sau
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>

>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:



m+1
(s)  
m
(s)


C
0
(


)

~
K (M; ) kw
m1
(s)k
C
0
(

)

~
K (M; ) kw
m1
k
W
1
(T )
;
kD
i
 [v
m
]  D
i
 [v
m1
]k
C

0
(

)

~
K (M; ) kw
m1
k
W
1
(T )
; i = 1; 3;
krv
m
(s)k
C
0
(

)
 kv
m
(s)k  M;



@
m
@x

(s)



C
0
(

)




@v
m1
@x



C
0
(

)
+


@'
@x



C
0
(

)
 k4v
m1
(s)k + M

 M + M

;
kD
3
 [v
m
]k
C
0
(

)

~
K (M; ) :
(1.4.13)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 31
Ta suy từ (1.4.12) và (1.4.13) rằng



@
@x


m+1
(s)  
m
(s)

rv
m
(s)



 3M
~
K (M; ) kw
m1
k
W
1
(T )
+ (M + M

) M
~
K (M; ) kw
m1

k
W
1
(T )
 (3 + M + M

) M
~
K (M; ) kw
m1
k
W
1
(T )
:
(1.4.14)
Do đó, từ (1.4.10) và (1.4.14) ta suy được
jJ
3
j  T
h
M (3 + M + M

)
~
K (M; )
i
2
kw
m1

k
2
W
1
(T )
+
Z
t
0
p
z
m
(s)ds: (1.4.15)
Kết hợp (1.4.5), (1.4.7), (1.4.9) và (1.4.15); ta được
z
m
(t)  T

4K
2
1
(M;
~
f) + [
~
K (M; ) (M + M

+ 3) M]
2


kw
m1
k
2
W
1
(T )
(1.4.16)
+

2 +
M + M

+ 1

0
~
K (M; )

Z
t
0
z
m
(s) ds:
Áp dụng bổ đề Gronwall, từ (1.4.16), ta suy ra
kw
m
k
W

1
(T )
 k
T
kw
m1
k
W
1
(T )
8m 2 N; (1.4.17)
trong đó k
T
là một hằng số, với 0 < k
T
< 1 được xác định như trong (1.3.50). Từ (1.4.17)
ta suy ra
kv
m+p
 v
m
k
W
1
(T )
 kv
1
 v
0
k

W
1
(T )
(1  k
T
)
1
k
m
T
8m; p 2 N: (1.4.18)
Do đó fv
m
g là một dãy Cauchy trong W
1
(T ) ; nên tồn tại v 2 W
1
(T ) sao cho
v
m
! v mạnh trong W
1
(T ) : (1.4.19)
Ta cũng chú ý rằng v
m
2 W
1
(M; T ) ; do đó tồn tại một dãy con

v

m
j

của dãy fv
m
g;
sao cho
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
v
m
j
! v trong L
1
(0; T ; V \ H
2
) yếu*,

v
0
m
j
! v
0
trong L
1
(0; T ; V ) yếu*,
v
00
m
j
! v
00
trong L
2
(Q
T
) yếu,
v 2 W (M; T ) :
(1.4.20)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 32
Mặt khác, đặt
~
f[v] =
~
f (x; t; v; v
x
; v

0
) và [v] = (x; t; v + ');
ta có



F
m

~
f[v]



L
1
(0;T ;L
2
)
 2K
1
(M;
~
f) kv
m1
 vk
W
1
(T )
; (1.4.21)

k
m
 [v]k
L
1
(Q
T
)

~
K(M; ) kv
m1
 vk
W
1
(T )
: (1.4.22)
Vậy từ (1.4.19), (1.4.21) và (1.4.22) ta được
F
m
!
~
f[v] mạnh trong L
1

0; T ; L
2

; (1.4.23)


m
! [v] mạnh trong L
1
(Q
T
) : (1.4.24)
Sau cùng, qua giới hạn trong (1.2.9), (1.2.10) khi m = m
j
! 1; từ (1.4.19), (1.4.20)
1;3
;
(1.4.23) và (1.4.24), ta có v 2 W (M; T ) thỏa phương trình
hv
00
(t) ; wi+ h[v]v
x
; w
x
i =
D
~
f[v]; w
E
; 8w 2 V; (1.4.25)
và điều kiện đầu
v (0) = ~v
0
; v
0
(0) = ~v

1
: (1.4.26)
Mặt khác, từ các giả thiết (H
2
) và (H
3
), và từ (1.4.20 )
4
và (1.4 .25), ta được
v
00
=
@
@x
([v]v
x
) +
~
f[v] (1.4.27)
= [v]v
xx
+

@
@x
[v]

v
x
+

~
f[v] 2 L
1

0; T ; L
2

:
Do đó ta có v 2 W
1
(M; T ) : Sự tồn tạ i đã đượ c chứng minh.
(ii) Sự duy nhất nghiệm.
Giả sử v
1
; v
2
2 W
1
(M; T ) là hai nghiệm yếu của bài toán (1.2.2). Khi đó v = v
1
 v
2
thỏa bài toán biến phân
8
>
>
>
<
>
>

>
:
hv
00
(t) ; wi+ h
1
(t) v
x
(t) ; w
x
i + h(
1
(t)  
2
(t))rv
2
(t) ; w
x
i
= hF
1
(t)  F
2
(t) ; wi; 8w 2 V;
v (0) = v
0
(0) = 0;
(1.4.28)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 33
trong đó

F
i
(t) =
~
f (; t; v
i
; rv
i
; v
0
i
) ; 
i
(x; t) =  (x; t; v
i
(x; t) + '(x; t)) ; i = 1; 2: (1.4.29)
Ta lấy w = v
0
trong (1.4.28)
1
, và lấ y tích phân theo t; thu được
Z (t) =
Z
t
0
ds
Z
1
0


0
1
(x; s) v
2
x
(x; s) dx + 2
Z
t
0
hF
1
(s)  F
2
(s) ; v
0
(s)ids (1.4.30)
+2
Z
t
0

@
@x
[(
1
(s)  
2
(s)) rv
2
(s)] ; v

0
(s)

ds 
X
3
i=1
Z
i
(t) ;
trong đó
Z (t) = kv
0
(t)k
2
+



p

1
(t)v
x
(t)



2
 kv

0
(t)k
2
+ 
0
kv
x
(t)k
2
: (1.4.31)
Bây giờ ta đánh giá các số hạng bên phải của (1.4.30) như sau
jZ
1
(t)j 




Z
t
0
ds
Z
1
0
j
0
1
(x; s)jv
2

x
(x; s) dx




(1.4.32)

1

0
(1 + M + M

)
~
K (M; )
Z
t
0
z (s) ds  Z
(1)
M
Z
t
0
z (s) ds;
jZ
2
(t)j  2





Z
t
0
hF
1
(s)  F
2
(s) ; v
0
(s)ids




(1.4.33)
 4K
1
(M;
~
f)
Z
t
0
(kv
x
(s)k + kv
0

(s)k) kv
0
(s)kds
 4

1 +
1
p

0

K
1
(M;
~
f)
Z
t
0
z (s) ds  Z
(2)
M
Z
t
0
z (s) ds;
jZ
3
(t)j = 2





Z
t
0

@
@x
[(
1
(s)  
2
(s)) rv
2
(s)] ; v
0
(s)

ds




(1.4.34)
 2
Z
t
0





@
@x
[(
1
(s)  
2
(s)) rv
2
(s)]




kv
0
(s)kds:
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi t uyến 34
Mặt khác, ta có
@
@x
[(
1
(s)  
2
(s))rv
2
(s)]

= (
1
(s)  
2
(s)) v
2
(s) +

@
1
@x
(s) 
@
2
@x
(s)

rv
2
(s)
= (
1
(s)  
2
(s)) v
2
(s) + (D
1
 [v
1

]  D
1
 [v
2
]) rv
2
(s)
+ (D
3
 [v
1
]  D
3
 [v
2
]) (rv
1
+ r') rv
2
(s)
+D
3
 [v
2
] v
x
(s) rv
2
(s) ;
(1.4.35)

trong đó ta ký hiệu
D
i
 [v] = D
i
 (x; t; v + ') ; i = 1; 3:
Do đó


@
@x
[(
1
(s)  
2
(s))rv
2
(s)]


 k
1
(s)  
2
(s)k
C
0
(

)

k4v
2
(s)k
+ kD
1
 [v
1
]  D
1
 [v
2
]k
C
0
(

)
krv
2
(s)k
+ kD
3
 [v
1
]  D
3
 [v
2
]k
C

0
(

)
krv
1
(s) + r'k
C
0
(

)
krv
2
(s)k
+ kD
3
 [v
2
]k
C
0
(

)
kv
x
(s)kkrv
2
(s)k

C
0
(

)
:
(1.4.36)
Ta cũng có các đánh giá
8
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>

>
>
:
k
1
(s)  
2
(s)k
C
0
(

)

~
K (M; ) kv (s)k
C
0
(

)

~
K (M; ) kv
x
(s)k;
kD
j
 [v
1

]  D
j
 [v
2
]k
C
0
(

)

~
K (M; ) kv
x
(s)k; j = 1; 3;
kD
3
 [v
2
]k
C
0
(

)

~
K (M; ) ;
krv
2

(s)k
C
0
(

)
 krv
2
(s)k  M;
krv
1
(s) + r'k
C
0
(

)
 krv
1
(s)k
C
0
(

)
+ kr'k
C
0
(


)
 M + M

;
(1.4.37)
Vậy từ (1.4.36) và (1.4.37) ta suy ra




@
@x
[(
1
(s)  
2
(s))rv
2
(s)]




 2M
~
K (M; ) kv
x
(s)k (1.4.38)
+M (M + M


)
~
K (M; ) kv
x
(s)k
+M
~
K (M; ) kv
x
(s)k
 M (3 + M + M

)
~
K (M; ) kv
x
(s)k: