toàn văn sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
        
LÊ KHÁNH LUẬN
SỬ DỤNG CÁC PHƯƠNG PHÁP
CỦA GIẢI TÍCH PHI TUYẾN
VÀO MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH
Mã số chuyên ngành: 62 46 01 01
Phản biện 1: GS. TSKH. ĐỖ CÔNG KHANH
Phản biện 2: GS. TS. ĐẶNG ĐỨC TRỌNG
Phản biện 3: PGS. TS. PHẠM HỮU ANH NGỌC
Phản biện độc lập 1: GS. TSKH. NGUYỄN XUÂN TẤN
Phản biện độc lập 2: TS. NGUYỄN VĂN NHÂN
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. NGUYỄN THÀNH LONG
2. TS. TRẦN MINH THUYẾT
THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2013
Mục lục
Danh sách ký hiệu 1
Mở đầu 2
1 Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính và khai triển tiệm cận cho bài
toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 14
1.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.2 Các ký hiệu và giả thiết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.4 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.5 Khai triển tiệm cận của nghiệm theo hai tham số bé. . . . . . . . . 35
Kết luận chương 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai
triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến li ên kết với bài toán

Cauchy cho phương trình vi phân thường 50
2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
2.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
2.3 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi 
1
! 0
+
. . . . . . . . . . . . . . 68
2.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Kết luận chương 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
3 Sử dụng phương pháp Galerkin kết hợp phương pháp compact và khai
triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến với điều kiện biên không
thuần nhất dạng chứa tích chập 85
iii
Mục lục iv
3.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
3.2 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
3.3 Sự ổn định của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
3.4 Khai triển tiệm cận của nghiệm yếu theo hai tham số bé K,  . . 106
Kết luận chương 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
Kết luận 118
Danh mục công trình của tác giả 121
Tài liệu tham khảo 122
Danh sách ký hiệu
Ký hiệu tập hợp
N Tập hợp các số tự nhiên
Z Tập hợp các số nguyên
R Tập hợp các số thực
Z
+

Tập hợp các số nguyên không âm
R
+
= [0; 1) Tập hợp các số thực không âm
 = (0; 1)
Q
T
=   (0; T ), với T > 0
Ký hiệu về đa chỉ số
jj = 
1
+ 
2
+ ::: + 
N
Bậc của đa chỉ số  = (
1
; 
2
; :::; 
N
) 2 Z
N
+
! = 
1
!
2
!:::
N

!
x

= x

1
1
x

2
2
:::x

N
N
Đơn thức bậc jj theo N biến, với x = (x
1
; x
2
; :::; x
N
)
Ký hiệu đạo hàm
u (t) = u (x; t)
_u (t)  u
t
(t) = u
0
(t) =
@u

@t
(x; t)
•u (t)  u
tt
(t) = u
00
(t) =
@
2
u
@t
2
(x; t)
u
x
(t)  ru (t) =
@u
@x
(x; t)
u
xx
(t)  u (t) =
@
2
u
@x
2
(x; t)
D
k

i
f =
@
k
f
@x
k
i
D

f =
@
jj
f
@x

1
1
@x

2
2
:::@x

N
N
, với  = (
1
; 
2

; :::; 
N
) 2 Z
N
+
1
Mở đầu
Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có mối liên hệ trực tiếp
với các bài toán xuất phát từ thực tiễn. Vào giữa thế kỷ XVIII, các công trình của những
nhà toán học như L. Euler (1707-1783), D’Alembert (1717-1783), Lagrange (1736-1813)
và Laplace (1749 -1827) đã đặt nền móng cho việc xây dựng phương trình đạo hàm riêng
như là một công cụ quan trọng để mô tả các mô hình của vật lý và cơ học. Từ đó đến
nay, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng đã phát triển không ngừng và đóng một vai
trò quan trọng trong lĩnh vực toán học lý thuyết cũng như trong lĩnh vực toán học ứng
dụng, đồng thời thúc đẩy sự phát triển các ý tưởng toán học trong nhiều lĩnh vực.
Sự phát triển của lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có tác động qua lại với sự
phát triển của giải tích thực, giải tích hàm và các lĩnh vực nghiên cứu hiện đại khác của
toán học. Chính nhu cầu ng hiên cứu một cách chặt chẽ các phương trình đạo hàm riêng
đã làm nảy sinh nhiều phương pháp hữu hiệu như phương pháp Fourier, phương pháp
Galerkin và các phương pháp khác của giải tích phi tuyến.
Thực tế cho thấy rằng, có rất nhiều dạng bài toán biên cho phương trình sóng nói
riêng và phương trình đạo hàm riêng nói chung, và không tồn tại một phương pháp chung
nào để giải tất cả các bài toán đó. Còn nhiều dạng bài toán vẫn là "bài toán mở" - cầ n
tiếp tục khảo sát. Do các yếu tố phi tuyến xuất hiện trong bài toán biên, bài toán sẽ trở
nên phức tạp và đòi hỏi phải lựa chọn các công cụ toán học thích hợp kèm theo một số
kỹ thuật tính toán để thu được các thông tin về nghiệm càng nhiều càng tốt, như sự tồn
tại nghiệm, tính duy nhất, tính trơn, tính ổn định hoặc khai triển tiệm cận nghiệm.
Chính vì vậy, chúng tôi có cơ sở để chọn đề tài nghiên cứu của luận án là "Sử dụng
các phương pháp của giải tích phi tuyến vào một số bài toán biên phi tuyến".
Các phương pháp của giải tích phi tuyến cùng các kiến thức cơ bản khác hỗ trợ

cho việc giải các bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng có thể được tìm thấy
2
Mở đầu 3
trong rất nhiều tài liệu, có thể kể đến các tài liệu như: [3] Haim Brezis (2010), Functional
Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differential Equations, Springer New York Dordrecht
Heidelberg London; [28] J. L. Lions (1969), Quelques méthodes de résolution des problèmes
aux limites nonlinéaires, Dunod; Gauthier – Villars, Paris; [25] Lakshmikantham V, Leela
S (1969), Differential and Integral Inequalities, Vol.1. Academic Press, NewYork; [18] K.
Deimling (1985), Nonlinear Functional Analysis, Springer, NewYork; [75] R. E. Showalter
(1994), Hilbert space methods for partial differential equations, Electronic J. Differential
Equations, Monograph 01.
Tiếp nối các công trình đã có cho phương trình sóng, luận án tập trung khảo sát một
số bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến cụ thể thuộc dạng
u
tt

@
@x
[ (x; t; u; u
x
) u
x
] = f(x; t; u; u
x
; u
t
); 0 < x < 1; 0 < t < T;
liên kết với điều kiện biên cụ thể và điều kiện đầu
u(x; 0) = ~u
0

(x); u
t
(x; 0) = ~u
1
(x);
trong đó ; f; ~u
0
; ~u
1
là các hàm số cho trước.
Để giải các bài toán biên cụ thể này, bên cạnh phương pháp xấp xỉ tuyến tính với một
sơ đồ lặp được xây dựng bằng phép quy nạp, luận án đã sử dụng phương pháp Galerkin
liên hệ với các định lý điểm bất động, các đánh giá tiên nghiệm và các lý luận về tính
compact. Trong đó, công cụ chính là phương pháp Galerkin hay còn gọi là xấp xỉ Faedo -
Galerkin. Phép giải xấp xỉ này thường được sử dụng để tìm nghiệm u(x; t) của bài toán
giá trị biên - ban đầu cho các phương trình đạo hàm riêng. Ý tưởng cơ bản ở đây là chọn
một cơ sở phù hợp fe
i
g trong một không gian hàm nào đó và rồi đi tìm kiếm nghiệm
dạng u(x; t) =
P
i>1
u
i
(t)e
i
(x) của bài toán biên ban đầu. Từ đó, dẫn đến bài toán giá trị
biên ban đầu cho một hệ vô hạn các phương trình vi phân thường với ẩn hàm là u
i
(t); bài

toán sẽ được giải bằng việc tìm "nghiệm xấp xỉ" u
n
(x; t) =
P
n
i=1
u
ni
(t)e
i
(x) thoả mãn hệ
phương trình "cắt ngắn" tương ứng. Cuối cùng, ta chỉ ra dãy nghiệm xấp xỉ fu
n
(x; t)g hội
tụ về nghiệm u(x; t): Quá trình chứng minh tồn tại nghiệm theo phương pháp này rất
cần đến các kỹ thuật của giải tích phi tuyến, mà trước hết là vận dụng các định lý điểm
bất động như Schauder hay định lý ánh xạ co để chứng minh sự tồn tại nghiệm xấp xỉ;
Mở đầu 4
sử dụng các bất đẳng thức và đặc biệt là bổ đề Gronwall để thu được các ước lượng sai số
hay các đánh giá tiên nghiệm, ngoài ra bổ đề Gronwall cũng đóng một vai trò quan trọng
trong việc chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm. Cuối cùng là việc sử dụng các định
lý nhúng compact để trích ra được các dãy con hội tụ về nghiệm cần tìm của bài toán.
Nội dung chính của luận án gồm ba chương. Sau đây là phần giới thiệu về các bài toán
được nghiên cứu trong các chương.
Chương 1 đề cập đến việc sử dụng các phương pháp của giải tích phi tuyến cho bài
toán biên cho phương trình sóng phi tuyến
8
>
>
>

<
>
>
>
:
u
tt

@
@x
((x; t; u)u
x
) = f(x; t; u; u
x
; u
t
); 0 < x < 1; 0 < t < T;
u
x
(0; t) = g
0
(t); u(1; t) = g
1
(t);
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(x; 0) = ~u
1

(x);
(1)
trong đó ~u
0
; ~u
1
; ; f; g
0
; g
1
là các hàm số cho trước.
Đây là bài toán được chú ý khảo sá t bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như [1 ], [2], [4] – [9],
[10] – [17], [19] – [24], [26], [27], [29] – [74], [76] – [79].
Trong các trường hợp đặc biệt, khi các hàm (x; t; u) độc lập với u như: (x; t; u)  1;
hoặc (x; t; u) = (x; t); và số hạng phi tuyến f có các dạng đơn giản, bài toán (1), với
các điều kiện biên- ban đầu khác nhau, đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn
như, Ortiz, Định [62], Định [19], Long, Định [20], [21], Long, Diễm [36], Long, Định, Diễm
[32], [33], [34], Long, Trường [39], [40], Ngọc, Hằng, Long [55] và các tài liệu tham khảo
trong đó.
Trong [23], Ficken và Fleishman đã thiết lập sự tồn tại duy nhất toàn cục và sự ổn
định của nghiệm cho phương trình
u
xx
 u
tt
 2u
t
 u = "u
3
+ ; " > 0: (2)

Rabinowitz [70] đã chứng minh sự tồn tại của nghiệm tuần hoàn cho
u
xx
 u
tt
 2u
t
= "f(x; t; u; u
x
; u
t
); (3)
trong đó " là một tham số bé và f là hàm tuần hoàn theo thời gian.
Trong một bài báo của Caughey và Ellison [10], đã hợp nhất các xấp xỉ của các trường
hợp trước đó để khảo sát sự tồn tại, duy nhất và ổn định tiệm cận các nghiệm cổ điển
Mở đầu 5
cho một lớp các hệ động lực phi tuyến liên tục.
Trong [33], Lo ng, Định và Diễm đã nghiên cứu thuật giải qui nạp tuyến tính và khai
triển tiệm cận cho phương trình sóng phi tuyến
u
tt
 u
xx
= f(x; t; u; u
x
; u
t
) + "g(x; t; u; u
x
; u

t
); (4)
với các điều kiện biên hỗn hợp không thuần nhất
8
<
:
u
x
(0; t)  h
0
u(0; t) = g
0
(t);
u
x
(1; t) + h
1
u(1; t) = g
1
(t):
(5)
Ngoài ra, một khai triển tiệm cận của nghiệm yếu u
"
đến cấp N + 1 theo " cũng được
nghiên cứu ứng với g
0
; g
1
2 C
3

(R
+
); f 2 C
N+1
([0; 1] R
+
R
3
); g 2 C
N
([0; 1] R
+
R
3
)
và một số điều kiện khác, xem [3 3].
Trong trường hợp (x; t; u) phụ thuộc vào u hay số hạng phi tuyến f có dạng tổng
quát, theo sự hiểu biết của chúng tôi chưa có nhiều công trình nghiên cứu, vì thực tế các
tính toán không dễ dàng. Để giải quyết khó khăn này, phương pháp tuyến tính hóa các số
hạng phi tuyến thường được sử dụng. Kỹ thuật này như sau. Đầu tiên, với mỗi v = v(x; t)
thuộc một không gian hàm thích hợp X; ta có thể đưa ra một số giả thiết thích hợp để
có được một nghiệm duy nhất u 2 X của bài toán đối với  = (x; t; v(x; t)) = ~(x; t) và
f = f(x; t; v; v
x
; v
t
) =
~
f(x; t): Rõ ràng là u phụ thuộc vào v; vì vậy ta có thể giả sử rằng
u = A(v): Vì vậy, bài toán trên có thể được đưa về một bài toán điểm bất động của toán

tử A : X ! X: Dựa vào ý tưởng này, ta thiết lập được một dãy lặp fu
m
g sa o cho fu
m
g
hội tụ về nghiệm của bài toán và ta thu được kết quả tồn tại nghiệm; thông thường là
xây dựng theo thuật giải lặp u
m
= A(u
m1
); m = 1; 2; :::; với số hạng đầu u
0
được chọn
trước.
Trong chương này, trước hết sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương của bài
toán (1) được chứng minh. Vì (x; t; u) phụ thuộc vào u và f có dạng tổng quát, nên
như đã nói ở trên, chúng tôi chọn phương pháp xấp xỉ tuyến tính và sử dụng kết hợp với
phương pháp Galerkin, phương pháp compact và đánh giá tiên nghiệm. Tiếp theo, khi
Mở đầu 6
các hàm ; f có nhiễu, thay cho ; f là  + "
1

1
và f + "
2
f
1
; ta có bài toán nhiễu sau
8
>

>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
u
tt

@
@x
[( (x; t; u) + "
1

1
(x; t; u)) u
x
] = f(x; t; u; u
x
; u
t
) + "
2

f
1
(x; t; u; u
x
; u
t
);
0 < x < 1; 0 < t < T;
u
x
(0; t) = g
0
(t); u(1; t) = g
1
(t);
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(x; 0) = ~u
1
(x):
(6)
Với tính trơn thích hợp của các hàm ; 
1
; f; f
1
, chương 1 chỉ ra một khai triển tiệm cận
của nghiệm bài toán (6) theo hai tham số bé "
1

; "
2
: Toàn bộ kết quả thu được cho bài toán
(6) đã tổng quát hóa kết quả trong [L1], chứa trường hợp  = (u); 
1
= 
1
(u); g
1
(t) = 0
như là một trường hợp riêng.
Ngoài ra, kết quả của Chương 1 cũng đúng cho bài toán (1)
1;3
liên kết với điều kiện
biên
u(0; t) = u(1; t) = 0;
và đã được công bố trong [L3], trong đó khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm đồng thời
thiết lập một khai trển tiệm cận của nghiệm theo p tham số bé "
1
; :::"
p
, ứng với các hàm
; f có nhiễu dưới dạng  +
P
p
i=1
"
i

i

và f +
P
p
i=1
"
i
f
i
:
Chương 2 tiếp tục sử dụng các phương pháp và công cụ của giải tích phi tuyến để
xét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến có dạng
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
u
tt

@

@x
((x; t)u
x
) + Kjuj
p2
u + ju
t
j
q2
u
t
= F (x; t); 0 < x < 1; 0 < t < T;
(0; t)u
x
(0; t) = P (t);
(1; t)u
x
(1; t) = 
1
ju
t
(1; t)j
2
u
t
(1; t);
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t

(x; 0) = ~u
1
(x);
(7)
với K; ; 
1
; ; p; q là các hằng số cho trước và ~u
0
; ~u
1
; ; F là các hàm số cho trước thoả
một số điều kiện nào đó mà sẽ được chỉ ra sau, ẩn hàm u(x; t) và giá trị biên chưa biết
P (t) thỏa một bài toán Cauchy cho phương trình vi phân thường
8
<
:
P
00
(t) + 
1
P
0
(t) + 
2
P (t) = (t)u
tt
(0; t); 0 < t < T;
P (0) =
~
P

0
; P
0
(0) =
~
P
1
;
(8)
trong đó (t) là hàm số cho trước và 
1
; 
2
;
~
P
0
;
~
P
1
là các hằng số cho trước, với 
2
1
4
2
< 0:
Đây là bài toán được khảo sát bởi nhiều tác giả, như là An [1] cùng các cộng sự,
Mở đầu 7
Bergounioux [5] cùng các cộng sự, Cavalcanti ([11] – [16]) cùng các cộng sự, Định [21]

cùng các cộng sự, Long ([30], [31], [34], [37], [40]) cùng các cộng sự, Ngọc ([53], [55], [56],
[59]) cùng các cộng sự, và các tài liệu tham khảo trong đó.
Trong [1], Nguyễn Thúc An và Ng uyễn Đình Triều đã xét bài toán (7)
1;2;4
, và (8) liên
kết với điều kiện biên Dirichlet thuần nhất tại x = 1 :
u(1; t) = 0;
(9)
với (x; t)  1; F = ~u
0
= ~u
1
=
~
P
0
= 
1
= 0; (t) = ; và f(u; u
t
) = Ku + u
t
; với ;
K  0;   0 là các hằng số cho trước. Trong trường hợp này bài toán (7)
1;2;4
, (8) và (9)
là một mô hình toán học mô tả những va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi
nhớt tuyến tính tựa trên một nền cứng. Cũng với (x; t)  1; một trường hợp đặc biệt
khác của bài toán (7)
1;2;4

, (8) liên kết với một điều kiện biên tuyến tính tại x = 1 đã được
khảo sát bởi Bergounioux, Long và Định [5].
Từ (8), biểu diễn P (t) theo 
1
; 
2
;
~
P
0
;
~
P
1
; (t); u
tt
(0; t) và sau đó lấy tích phân từng
phần, ta thu được
P (t) = g(t) + (t)u(0; t) +
Z
t
0
k (t; s) u (0; s) ds;
(10)
g(t) =

~
P
0
 (0)~u

0
(0)

e
t
cos !t
+
h

~
P
0

1

~
P
1
+ (

0
(0)+(0)
!
)~u
0
(0) 
(0)
!
~u
1

(0)
i
e
t
sin !t;
(11)
k (t; s) = 2([
0
(s) + (s)] e
(ts)
cos(!(t s))
+ [
00
(s) + 2
0
(s) + (
2
 !
2
)(s)] e
(ts)
sin(!(ts))
!
;
(12)
với  =
1
2

1

; ! =
1
2
p
4
2
 
2
1
: Bằng cá ch khử P (t); ta thay thế các điều kiện biên (7)
2
bởi
(0; t)u
x
(0; t) = g(t) + (t)u(0; t) +
Z
t
0
k (t; s) u (0; s) ds:
(13)
Khi đó, bài toán (7), (8) được dẫn về bài toán (7)
1;3;4
và (13), dạng bài toán này cũng
đã được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Chẳng hạn như, Cavalcanti cùng các cộng
sự [11] – [16]; Long, Định và Diễm [34 ]; Ngọc, Hằng và Long [55]; Qin [65], [66]; Rivera
[68], [69]; Santos [71] – [74] và các tài liệu tham khảo trong đó. Các công trình này đã có
được nhiều kết quả đáng chú ý về sự tồn tại, duy nhất, tính trơn, tính ổn định, khai triển
Mở đầu 8
tiệm cận của nghiệm hoặc tính tắt dần của nghiệm.
Kết quả thu được của chương 2 gồm 3 phần sau đây:

Phần 1 là kết quả về sự tồn tại toàn cục và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (7) dưới
một số điều kiện cho trước. Trong phần 2, gọi u

1
là nghiệm yếu của bài toán (7) ứng với
mỗi 
1
> 0; ta thu được dáng điệu tiệm cận của nghiệm u

1
khi 
1
! 0
+
: Phần còn lại
chỉ ra được một cách khai triển tiệm cận của nghiệm u

1
theo tham số bé 
1
; đến cấp N;
theo nghĩa là có các hàm u
0
; u
1
; :::; u
N
độc lập với 
1
sao cho ta có một đánh giá dạng




u

1

P
N
i=0

i
1
u
i



L
1
(0;T ;H
1
)
+



u
0


1

P
N
i=0

i
1
u
0
i



L
1
(0;T ;L
2
)
 C
T

(N+1)1
2(1)
1
;
với C
T
là hằng số độc lập với 
1

: Kết quả trong chương này đã được công bố trong [L2].
Cuối cùng, Chương 3 tập trung sử dụng các công cụ của giả i tích phi tuyến để xem
xét bài toán biên cho phương trình sóng phi tuyến
8
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
:
u
tt

@
@x
( (x; t) u
x
) + f(u; u

t
) = F (x; t) ; 0 < x < 1; 0 < t < T;
 (0; t) u
x
(0; t) = g
0
(t) +
Z
t
0
k
0
(t  s) u (0; s) ds;
 (1; t) u
x
(1; t) = g
1
(t) +
Z
t
0
k
1
(t  s) u (1; s) ds;
u(x; 0) = ~u
0
(x); u
t
(x; 0) = ~u
1

(x);
(14)
trong đó f (u; u
t
) = (u) + ju
t
j
q2
u
t
; với  > 0; q > 2 là các hằng số cho trước và F; ;
; g
0
; g
1
; k
0
; k
1
; ~u
0
; ~u
1
là các hàm số cho trước thoả một số điều kiện phù hợp.
Bài toán (14) cũng đã được nhiều tác giả nghiên cứu, như [1], [2], [4] – [9], [10] – [17],
[19] – [24], [26], [27], [29] – [74], [76] – [79]. Nói riêng, phương trình (14)
1
đã nhận được
nhiều sự quan tâm rộng rãi và bài toán được nghiên cứu ở đây có thể xem như là sự tiếp
nối của một trong các công trình [11] – [16]; [34]; [55]; [65], [66]; [68], [69]; [71] – [74].

Trong [1], Nguyễn Thúc An và Nguyễn Đình Triều đã nghiên cứu một trường hợp riêng
của bài toán (14)
1;4
liên kết hợp với các điều kiện biên
u
x
(0; t) = g
0
(t) + h
0
u (0; t) +
Z
t
0
k
0
(t  s) u (0; s) ds; (15)
u (1; t) = 0; (16)
với   1; ~u
0
= ~u
1
 0 và f (u; u
t
) = Ku + u
t
với K > 0;  > 0 là các hằng số cho
trước, và g
0
; k

0
là các hàm cho trước. Trong trường hợp này, bài toán (14)
1;4
; (15), (16) là
Mở đầu 9
một mô hình toán học mô tả va chạm của một vật rắn và một thanh đàn hồi nhớt tuyến
tính tựa trên một nền cứng.
Trong [5], Bergo unioux, Long và Định đã nghiên cứu bài toán (14)
1;4
; (15) với điều
kiện biên (14)
3
được thay bởi
u
x
(1; t) + K
1
u (1; t) + 
1
u
t
(1; t) = 0;
(17)
trong đó f (u; u
t
) = Ku + u
t
; với K > 0;  > 0; K
1
> 0; 

1
> 0 là các hằng số cho
trước và g
0
; k
0
là các hàm cho trước. Sau đó, tổng quát hóa kết quả của [5] đã được đưa
ra bởi Long, Định và Diễm [34], cho bài toán (14)
1;4
; (15) và (17) trong trường hợp của
f (u; u
t
) = Kjuj
p2
u + ju
t
j
q2
u
t
; trong đó K;  > 0; p; q > 2 và (~u
0
; ~u
1
) 2 H
2
 H
1
:
Gần đây trong [55], Ngọc, Hằng và Long cho kết quả về sự tồn tại duy nhất, ổn định

và khai triển tiệm cận của bài toán (14) ứng với trường hợp f (u; u
t
) =  (u) + u
t
; ở đây
 là một hằng số cho trước và hàm  2 C
1
(R) thỏa điều kiện
Z
z
0
 (s) ds  C
1
z
2
C
0
1
với mọi z 2 R; C
1
; C
0
1
> 0 là các hằng số cho trước.
Nội dung của chương 3 gồm 3 phần:
Phần 1 chứng minh sự tồn tại toàn cục và duy nhất nghiệm yếu của bài toán (14).
Phần 2 trình bày tính ổn định của nghiệm đối với (; g
0
; g
1

; k
0
; k
1
; ; F ): Phần 3 nghiên
cứu khai triển tiệm cận của nghiệm bài toán (14) theo 2 tham số bé K; ; tương ứng với
f(u; u
t
) = Kjuj
p2
u + ju
t
j
q2
u
t
:
Một phần kết quả của Chương 3 sẽ đã được gửi đăng trong [L4].
Toàn bộ nội dung chính của luận án là nới rộng các kết quả đã được công bố trong các
bài báo ([L1] – [L3]) và gửi đăng trong [L4], một phần các kết quả trên đã được báo cáo
trong các hội nghị:
- Đại hội Toán học Việt Nam lần thứ 7, tại Qui Nhơn 04 – 08 /08/2008.
- Hội nghị Ứng dụng Toán học lần thứ 2, Hà Nội, 23-25/12/2005.
- Hội nghị Ứng dụng Toán học lần thứ 3, Hà Nội, 23-25/12/2010.
- Hội nghị Khoa họ c lần 5, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, tiểu ban Toán-Tin
học, 30/11/2006.
- Hội nghị Khoa học lần 7, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, tiểu ban Toán - Tin
học, 26/11/2010.
- Hội nghị Khoa học lần 8, Đại học Khoa học Tự nhiên Tp. HCM, tiểu ban Toán - Tin
Mở đầu 10

học, 9/11/2012.
- Hội nghị Khoa học Công nghệ lần thứ 10, Trường Đại học Bách khoa Tp. HCM,
26/10/2007, Phân ban Toán Cơ Kỹ thuật.
- Hội nghị Khoa học và Công nghệ lần thứ 11, Trường Đại học Bách khoa Tp. HCM,
21– 23/10/2009.
- Hội nghị Khoa học về một số hướng nghiên cứu mới trong toán học hiện đại và ứng
dụng tại Đại học Hồng Đức- Thanh Hóa 25-28/5/2011.
- Hội nghị Khoa học về một số hướng nghiên cứu mới trong toán học hiện đại và ứng
dụng tại Đại học Hồng Đức- Thanh Hóa 24-27/5/2012.
- Hội nghị Khoa học tại Đại học Sư phạm Tp. HCM, tiểu ban Toán-Tin học, 15/12/2008.
Để tiện cho việc theo dõi, sau đây là một số công cụ cần thiết có tính chất chuẩn bị
để sử dụng trong suốt luận án, các khái niệm và tính chất cơ bản khác đặc trưng cho các
dạng bài toán sẽ được nêu rõ trong mỗi chương.
Không gian hàm thông dụng
Trong suốt luận án nầy chúng tôi ký hiệu  = (0; 1) ; Q
T
=   (0; 1) ; T > 0: Chúng
tôi không nhắc lại định nghĩa mà chỉ ký hiệu lại các không gian hàm thông dụng:
W
m;p
= W
m;p
() ; L
p
= W
0;p
() ; H
m
= W
m;2

() ; 1  p  1; m = 0; 1; ::::
Chi tiết về không gian trên có thể xem trong Brézis [3], Lions [28]. Chú ý thêm rằng,
ta không viết  đi kèm theo các ký hiệu không gian hàm nếu  = (0; 1) ; nhưng nếu
cần phân biệt với miền khác với  = (0; 1) thì sẽ viết rõ, chẳng hạn như W
m;p
(0; T ) ;
L
p
(0; T ) ; H
m
(0; T ) ; W
m;p
(Q
T
) ; L
p
(Q
T
) ; H
m
(Q
T
) ::::
Chuẩn trong L
2
được ký hiệu kk: Ta ký hiệu h; i là tích vô hướng trong L
2
hoặc tích
đối ngẫu của các hàm tuyến tính liên tục với một phần tử của không gian hàm.
Không gian L

p
(0; T; X), 1  p  1 (Lions, [28], p.7)
Cho không gian Banach X với chuẩn kk
X
: Ta ký hiệu L
p
(0; T ; X) ; 1  p  1; để
chỉ không gian Banach của các hàm u : (0; T ) ! X đo được, sao cho kuk
L
p
(0;T ;X)
< +1;
Mở đầu 11
trong đó
kuk
L
p
(0;T ;X)
=
8
>
>
<
>
>
:

Z
T
0

ku (t)k
p
X
dt

1=p
; nếu 1  p < 1;
esssup
0<t<T
ku (t)k
X
; nếu p = 1:
Bổ đề về tính compact của Lions
Giả sử X
0
; X; X
1
là ba không gian Banach sao cho X
0
,! X ,! X
1
với các phép nhúng
liên tục.
Với 1  p
0
; p
1
 1 và 0 < T < 1, ta ký hiệu
W = fv 2 L
p

0
(0; T ; X
0
) : v
0
2 L
p
1
(0; T ; X
1
)g:
Trang bị W một chuẩn
kvk
W
= kvk
L
p
0
(0;T ;X
0
)
+ kv
0
k
L
p
1
(0;T ;X
1
)

:
Khi đó W là một không gian Banach. Hiển nhiên W ,! L
p
0
(0; T ; X) : Hơn nữa, nếu
(i) X
0
, X
1
phản xạ;
(ii) phép nhúng X
0
,! X là compact,
(18)
và nếu 1 < p
0
; p
1
< 1; khi đó ta có kết quả sau
Định lý 01. (Lions, [28], p.57 – 59). Phép nhúng W ,! L
p
0
(0; T ; X) là compact.
Bổ đề về hội tụ yếu
Định lý 02. (Lions, [28], p.12). Cho Q là một tập mở, bị chặn của R
N
và g, g
m
2
L

q
(Q), (1 < q < 1), sao cho
(i) kg
m
k
L
q
(Q)
 C, với mọi m;
(ii) g
m
! g hầu hết trong Q.
(19)
Khi đó, g
m
! g trong L
q
(Q) yếu.
Mở đầu 12
Lũy thừa một đa thức
Trước hết, ta cần các ký hiệu về đa chỉ số và đơn thức hai biến
8
>
>
>
<
>
>
>
:

 = (
1
; 
2
) 2 Z
2
+
; jj = 
1
+ 
2
; ! = 
1
!
2
!;
;  2 Z
2
+
;    () 
i
 
i
8i = 1; 2;
~" = ("
1
; "
2
) 2 R
2

; k~"k =
p
"
2
1
+ "
2
2
; ~"

= "

1
1
"

2
2
:
(20)
Kết quả sau đây cho công thức lũy thừa của một đa thức theo hai biến "
1
; "
2
:
Bổ đề 03. Cho m; N 2 N và u

2 R;  2 Z
2
+

; 1  jj  N: Khi đó
0
@
X
1jjN
u

~"

1
A
m
=
X
mjjmN
T
(m)

[u]~"

; (21)
trong đó các hệ số T
(m)

[u] phụ thuộc vào họ u = fu

: 1  jj  Ng được xác định bởi
T
(m)


[u] =
8
>
>
<
>
>
:
u

; 1  jj  N; m = 1;
X
2A
(m)

(N)
u

T
(m1)

[u] ; m    mN; m  2;
(22)
trong đó
A
(m)

(N) = f 2 Z
2
+

:   ; 1  j  j  N; m 1  jj  (m  1) Ng:
(23)
Chứng minh của bổ đề 03 có thể tìm thấy trong [38]:
Trong trường hợp lũy thừa của một đa thức theo một biến " ta có
Bổ đề 04. Giả sử m; N 2 N; u = (u
1
; :::; u
N
) 2 R
N
: Khi đó

N
X
i=1
u
i
"
i
!
m
=
mN
X
i=m
P
[m]
i
[u]"
i

; (24)
trong đó hệ số P
[m]
i
[u]; m  i  mN là một đa thức theo N biến u = (u
1
; :::; u
N
) được
xác định bởi công thức
8
>
>
<
>
>
:
P
[m]
i
[u] =
X
2A
(m)
i
(N)
m!
!
u


1
1
:::u

N
N
; m  i  mN;
A
(m)
i
(N) = f 2 Z
N
+
: jj = m;
P
N
j=1
j
j
= ig:
(25)
Việc chứng minh bổ đề này không khó, ta bỏ qua chi tiết.
Mở đầu 13
Ta cũng sẽ dùng bổ đề đánh giá sau đây mà chứng minh không khó khăn.
Bổ đề 05. Cho dãy số thực f
m
g thỏa mãn

0
= 0; 0  

m
 
m1
+ ; m = 1; 2; ::: (26)
trong đó 0   < 1,   0 là các hằng số cho trước. Khi đó,

m


1  
; (27)
với mọi m  1.
Ngoài ra, luận án còn sử dụng các bất đẳng thức thông dụng dưới đây
2ab  "a
2
+
1
"
b
2
; với mọi " > 0 và a; b 2 R; (28)
ab 
1
p
"
p
a
p
+
1

p
0
"
p
0
b
p
0
; 8a; b  0; 8" > 0; p
0
=
p
p  1
; p > 1; (29)


jaj
p2
a  jbj
p2
b


 (p  1) M
p2
ja  bj 8a; b 2 [M; M]; 8M > 0; 8p  2; (30)
8p  2; 9C
p
> 0 :


jaj
p2
a  jbj
p2
b

(a  b)  C
p
ja  bj
p
; 8a; b 2 R: (31)
Chương 1
Sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến
tính và khai triển ti ệm cận cho bài
toán biên hỗn hợp không thuần nhất
cho phương trình sóng phi tuyến
1.1 Giới thiệu
Trong chương nầy, chúng tôi xét bài toán
8
>
>
>
<
>
>
>
:
u
tt


@
@x
( (x; t; u) u
x
) = f (x; t; u; u
x
; u
t
) ; 0 < x < 1; 0 < t < T;
u
x
(0; t) = g
0
(t) ; u (1; t) = g
1
(t);
u (x; 0) = ~u
0
(x) ; u
t
(x; 0) = ~u
1
(x) ;
(1.1.1)
trong đó ~u
0
; ~u
1
; ; f; g
0

; g
1
là các hàm số cho trước. Chương nầy gồm hai phần. Để tiện
theo dõi, chúng tôi sẽ trình bày phần một từ mục 1.1 – 1.4 và phần hai bắt đầu từ mục
1.5 trở đi. Trong phần một, chúng tôi sẽ thiết lập một định lý tồn tại và duy nhất nghiệm
yếu địa phương của bài toán (1.1.1) bằng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp với
phương pháp Galerkin và phương pháp compact yếu. Phần hai sẽ khảo sát bài toán khai
triển tiệm cận theo hai tham số bé mà chi tiết sẽ trình bày bắt đầu từ mục 1.6 của chương
này.
1.2 Các ký hiệu và giả thiết
Trong chương nầy, chúng ta sử dụng không gian hàm V = fv 2 H
1
: v (1) = 0g:
14
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 15
Ta cũng chú ý rằng V là không gian con đóng của H
1
, do đó V là không gian Hilbert
đối với tích vô hướng của H
1
: Mặt khác trên V các chuẩn v 7! kv
x
k và v 7! kvk
H
1
là
tương đương.
Bổ đề sau đây cũng được sử dụng trong suốt luận án.
Bổ đề 1.2.1. Phép nhúng V ,! C
0

([0; 1]) là compact và
kvk
C
0
([0;1])
 kv
x
k; 8v 2 V: (1.2.1)
Chứng minh bổ đề nầy có thể tìm thấy trong Brézis [3], Lions [28]. 
Giả sử rằng ~u
0
2 H
2
; ~u
1
2 H
1
; g
0
; g
1
2 C
3
(R
+
) ; f 2 C
1
([0; 1]  R
+
 R

3
) và
 2 C
2
([0; 1]  R
+
 R) ; thỏa điều kiện  (x; t; z)  
0
> 0; 8(x; t; z) 2 [0; 1]  R
+
 R:
Dùng phép đổi biến v = u  ' với ' (x; t) = (x  1) g
0
(t) + g
1
(t) thì bài toán (1.1.1)
trở thành bài toán
8
>
>
>
<
>
>
>
:
v
tt

@

@x
( (x; t; v + ') v
x
) =
~
f (x; t; v; v
x
; v
t
) ; 0 < x < 1; 0 < t < T;
v
x
(0; t) = v (1; t) = 0;
v (x; 0) = ~v
0
(x) ; v
t
(x; 0) = ~v
1
(x) ;
(1.2.2)
trong đó
8
>
>
>
>
>
>
>

>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
~
f (x; t; v; v
x
; v
t
) = f (x; t; v + '; v
x
+ '
x
; v
t
+ '
t
)
 (x  1) g
00
0

(t)  g
00
1
(t) + g
0
(t) D
1
 (x; t; v + ')
+ g
0
(t) (v
x
+ g
0
(t)) D
3
 (x; t; v + ') ;
~v
0
(x) = ~u
0
(x)  (x  1) g
0
(0)  g
1
(0) ;
~v
1
(x) = ~u
1

(x)  (x  1) g
0
0
(0)  g
0
1
(0) ;
(1.2.3)
và g
0
; g
1
; ~u
0
; ~u
1
thỏa điều kiện tương thích g
0
(0) = u
x
(0; 0) = ~u
0
0
(0) ; ~u
0
(1) = g
1
(0);
~u
0

1
(1) = g
0
1
(0):
Ta thiết lập các giả thiết sau:
(H
1
) ~v
0
2 V \H
2
; ~v
1
2 V;
(H
2
)  2 C
2
([0; 1]  R
+
 R) ;  (x; t; z)  
0
> 0; 8(x; t; z) 2 [0; 1]  R
+
 R;
(H
3
)
~

f 2 C
1
([0; 1]  R
+
 R
3
) :
Trước hết, để tiện theo dõi, ta sẽ giới thiệu một số ký hiệu cũng như khái niệm nghiệm
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 16
yếu của bài toán (1.2.2):
Ta gọi một hàm v 2 L
1
(0; T ; V \ H
2
) thỏa điều kiện v
t
2 L
1
(0; T ; V ) ; v
tt
2
L
1
(0; T ; L
2
) là nghiệm yếu của bài toán (1.2.2) nếu nó thỏa bài toán biến phân dưới
đây
8
<
:

hv
tt
(t) ; wi+ h (x; t; v + ') v
x
; w
x
i = h
~
f (x; t; v; v
x
; v
t
) ; wi; 8w 2 V;
v (0) = ~v
0
; v
t
(0) = ~v
1
:
(1.2.4)
Cố định T

> 0; với mỗi M > 0; đặt
M

= k'k
C
1
([0;1][0;T


])
;
~
K =
~
K (M; ) = kk
C
2
(
~
A
M
)
;
(1.2.5)
trong đó
~
A
M
= f(x; t; u) 2 [0; 1]  [0; T

]  R : juj  M + M

g;
K
1
(M;
~
f) =




~
f



C
1
(A

(M))
; (1.2.6)
A

(M) =

(x; t; u; v; w) 2 [0; 1]  [0; T

]  R
3
: juj; jvj; jwj  M

:
Với mỗi T 2 (0; T

] và M > 0; ta đặt
8
>

>
>
<
>
>
>
:
W (M; T ) = fv 2 L
1
(0; T ; V \ H
2
) : v
t
2 L
1
(0; T ; V ) và v
tt
2 L
2
(Q
T
) ;
với kvk
L
1
(0;T ;V \H
2
)
; kv
t

k
L
1
(0;T ;V )
; kv
tt
k
L
2
(Q
T
)
 Mg;
W
1
(M; T ) = fv 2 W (M; T ) : v
tt
2 L
1
(0; T ; L
2
)g;
(1.2.7)
trong đó Q
T
=   (0; T ) :
Ngoài ra, với f 2 C
k
([0; 1]  R
+

 R
3
) ; f = f (x; t; u; v; w) ; ta cũng ký hiệu D
1
f =
@f
@x
;
D
2
f =
@f
@t
; D
3
f =
@f
@u
; D
4
f =
@f
@v
; D
5
f =
@f
@w
; và D


f = D

1
1
:::D

5
5
f;  = (
1
; :::; 
5
) 2 Z
5
+
;
jj = 
1
+ ::: + 
5
= k; D
(0;:::;0)
f = f:
Ta trình bày phương pháp xấp xỉ tuyến tính cho bài toán (1.2.4) như sau:
Chọn số hạng đầu v
0
 ~v
0
:
Giả sử

v
m1
2 W
1
(M; T ) : (1.2.8)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 17
Tìm v
m
2 W
1
(M; T ) (m  1) thỏa bài toán biến phân
8
<
:
hv
00
m
(t) ; wi+ h
m
(t) rv
m
(t) ; rwi = hF
m
(t) ; wi; 8w 2 V;
v
m
(0) = ~v
0
; v
0

m
(0) = ~v
1
;
(1.2.9)
trong đó
8
<
:

m
(t) =  (x; t; 
m
(x; t)) ; 
m
(x; t) = v
m1
(x; t) + ' (x; t) ;
F
m
(t) =
~
f

x; t; v
m1
(t) ; rv
m1
(t) ; v
0

m1
(t)

:
(1.2.10)
Sự tồn tại dãy fv
m
g như thế sẽ được chứng minh trong Định lý 1.3.1 bằng cách sử
dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm và lý luận về
tính compact. Trong Định lý 1.4.1, ta sẽ chứng minh dãy fv
m
g hội tụ về nghiệm yếu của
bài toán (1.2.2) trong một không gian thích hợp.
1.3 Sự tồn tại dãy xấp xỉ tuyến tính
Định lý 1.3.1. Giả sử (H
1
) (H
3
) thỏa. Khi đó tồn tại các hằng số M > 0 và T > 0
sao cho, với v
0
= ~v
0
, tồn tại một dãy qui nạp fv
m
g  W
1
(M; T ) xác định bởi (1.2.9),
(1.2.10).
Chứng minh. Chứng minh gồm một số bước.

Bước 1: Xấp xỉ Faedo-Galerkin. Xét một cơ sở fw
j
g của V
w
j
(x) =
s
2
1 + 
2
j
cos (
j
x) ; 
j
= (2j  1)

2
; j 2 N; (1.3.1)
gồm các hàm riêng của toán tử Laplace  = 
@
2
@x
2
. Đặt
v
(k)
m
(t) =
X

k
j=1
c
(k)
mj
(t) w
j
;
(1.3.2)
trong đó các hệ số c
(k)
mj
thỏa hệ phương trình vi phân tuyến tính
8
<
:
D
•v
(k)
m
(t) ; w
j
E
+
D

m
(t) rv
(k)
m

(t) ; rw
j
E
= hF
m
(t) ; w
j
i; 1  j  k;
v
(k)
m
(0) = ~v
0k
; _v
(k)
m
(0) = ~v
1k
;
(1.3.3)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 18
trong đó
8
>
<
>
:
~v
0k
=

X
k
j=1

(k)
j
w
j
! ~v
0
mạnh trong V \H
2
;
~v
1k
=
X
k
j=1

(k)
j
w
j
! ~v
1
mạnh trong V:
(1.3.4)
Hệ (1.3.3) được viết lại
•c

(k)
mi
(t) +
X
k
j=1

(m)
ij
(t) c
(k)
mj
(t) = hF
m
(t) ; w
i
i; 1  i  k; (1.3.5)
trong đó

(m)
ij
(t) = h
m
(t) rw
i
; rw
j
i; 1  i; j  k:
Tích phân hai vế phương trình trên hai lần theo t; ta được hệ phương trình tích phân
dưới đây

c
(k)
mi
(t) = 
(k)
i
+ 
(k)
i
t 
Z
t
0
Z

0
X
k
j=1

(m)
ij
(s) c
(k)
mj
(s) dsd
+
Z
t
0

Z

0
hF
m
(s) ; w
i
idsd; 1  i  k:
(1.3.6)
Ta bỏ qua các chỉ số m; k trong các cách viết và lần lượt viết
c = (c
1
; :::; c
k
) ;  = (
1
; :::; 
k
) ;  = (
1
; :::; 
k
) ;
thay cho
c
(k)
m
= (c
(k)
m1

; :::; c
(k)
mk
); 
(k)
= (
(k)
1
; :::; 
(k)
k
); 
(k)
= (
(k)
1
; :::; 
(k)
k
):
Khi đó hệ (1.3.6) được đưa về phương trình điểm bất động
c = V [c]; (1.3.7)
trong đó
8
>
>
>
>
>
>

>
>
>
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
>
:
c = (c
1
; :::; c
k

) ;
V [c] (t) = (V
1
[c] (t) ; :::; V
k
[c] (t)) ;
V
i
[c] (t) = U
i
[c] (t) + h
i
(t) ;
U
i
[c] (t) = 
X
k
j=1
Z
t
0
Z

0

ij
(s) c
j
(s) dsd;

h
i
(t) = 
i
+ 
i
t +
Z
t
0
Z

0
hF
m
(s) ; w
j
idsd;

ij
(s) = h
m
(t) rw
i
; rw
j
i; 1  i; j  k:
(1.3.8)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 19
Chú ý rằng X = C


[0; T ] ; R
k

là không gian Banach đối với chuẩn
kck
X
= sup
0tT
jc(t)j
1
; jc(t)j
1
=
X
k
j=1
jc
j
(t)j; c = (c
1
; :::; c
k
) 2 X:
Ta chứng minh phương trình (1.3.7) có điểm bất động trong X:
Với mọi c; d 2 X; ta có
jV
i
[c] (t)  V
i

[d] (t)j = jU
i
[c] (t)  U
i
[d] (t)j
=




Z
t
0
Z

0
P
k
j=1

ij
(s) (c
j
(s)  d
j
(s))dsd






Z
t
0
Z

0
X
k
j=1
j
ij
(s)jjc
j
(s)  d
j
(s)jdsd

X
k
j=1
sup
0sT
j
ij
(s)j
Z
t
0
Z


0
jc
i
(s)  d
i
(s)jdsd
 2
~
K
Z
t
0
Z

0
jc (s)  d (s)j
1
dsd  2
~
K
t
2
2
kc  dk
X
:
(1.3.9)
Từ (1.3.9), ta suy ra
jV [c] (t)  V [d] (t)j

1
 2k
~
K
Z
t
0
Z

0
jc (s)  d (s)j
1
dsd  2k
~
K
t
2
2
kc  dk
X
: (1.3.10)
Bằng quy nạp ta chứng minh công thức sau đúng với mọi n:
jV
n
[c] (t)  V
n
[d] (t)j
1



2k
~
Kt
2

n
(2n)!
kc  dk
X
: (1.3.11)
Thật vậy, với n = 1 thì công thức đúng, do (1.3.10).
Giả sử công thức (1.3.11) đúng đến n  1:
Từ (1.3.10) và (1.3.11); ta suy ra
jV
n
[c] (t)  V
n
[d] (t)j
1
=


V V
n1
[c] (t)  V V
n1
[d] (t)


1

(1.3.12)
 2k
~
K
Z
t
0
Z

0


V
n1
[c] (s)  V
n1
[d] (s)


1
dsd
 2k
~
K

2k
~
Kt
2


n1
[2(n  1)]!
kc  dk
X
Z
t
0
Z

0
s
2n2
dsd


2k
~
Kt
2

n
(2n)!
kc  dk
X
:
Vậy (1.3.11) được chứng minh.
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 20
Từ (1.3.11); ta có
kV
n

[c]  V
n
[d]k
X


2k
~
KT
2

n
(2n)!
kc  dk
X
; 8c; d 2 X: (1.3.13)
Do lim
n!1
(
2k
~
KT
2
)
n
(2n)!
= 0, nên tồn tại n 2 N sao cho
(
2k
~

KT
2
)
n
(2n)!
< 1:
Áp dụng định lý điểm bất động Banach ta có duy nhất c 2 X sao cho c = V [c]:
Bước 2: Đánh giá tiên nghiệm.
Đặt
8
>
>
>
>
>
>
<
>
>
>
>
>
>
:
X
(k)
m
(t) =




_v
(k)
m
(t)



2
+



p

m
(t)rv
(k)
m
(t)



2
;
Y
(k)
m
(t) =




r_v
(k)
m
(t)



2
+



p

m
(t)v
(k)
m
(t)



2
;
S
(k)
m
(t) = X

(k)
m
(t) + Y
(k)
m
(t) +
Z
t
0



•v
(k)
m
(s)



2
ds:
(1.3.14)
Với mọi j = 1; 2; :::; k; nhân (1.3.3) với _c
(k)
mj
(t), tổng theo j; và lấy tích phân theo thời
gian, ta có
X
(k)
m

(t) = X
(k)
m
(0) +
Z
t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)



rv
(k)
m
(x; s)



2
dx
+2
Z
t

0
D
F
m
(s) ; _v
(k)
m
(s)
E
ds = X
(k)
m
(0) + I
1
+ I
2
:
(1.3.15)
Thay w
j
trong (1.3.3) bởi w
j
, ta được


r•v
(k)
m
(t) ; rw
j




r(
m
(t) rv
(k)
m
(t)); w
j

= hF
m
(t) ; w
j
i; 1  j  k: (1.3.16)
Bằng cách nhân (1.3.16) với _c
(k)
mj
(t) ; tổng theo j; và lấy tích phân theo t; ta được
Y
(k)
m
(t) = Y
(k)
m
(0) + 2
D
@
m

@x
(0) r~v
0k
; ~v
0k
E
+ 2 hF
m
(0) ; ~v
0k
i
+
Z
t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)



v
(k)
m
(x; s)




2
dx
+2
Z
t
0
D
@
@s

@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s)

; v
(k)
m
(s)
E
ds
2
D
@

m
@x
(t) rv
(k)
m
(t) ; v
(k)
m
(t)
E
 2
D
F
m
(t) ; v
(k)
m
(t)
E
+2
Z
t
0
D
@F
m
@t
(s) ; v
(k)
m

(s)
E
ds
= Y
(k)
m
(0) + 2
D
@
m
@x
(0) r~v
0k
; ~v
0k
E
+ 2 hF
m
(0) ; ~v
0k
i +
P
7
j=3
I
j
:
(1.3.17)
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 21
Ta sẽ đánh giá các tích phân bên phải của (1.3.15) và (1.3.17) như dưới đây.

Tích phân thứ nhất I
1
:
Do

0
m
(x; t) =
@
m
@t
(x; t) = D
2
 (x; t; 
m
(x; t)) + D
3
 (x; t; 
m
(x; t)) ( _v
m1
(x; t) + _' (x; t)) ;
(1.3.18)
ta suy ra từ (1.2.5), (1.2.8) và (1.3.18), rằng
j
0
m
(x; t)j 
~
K(M; )(M + M


+ 1): (1.3.19)
Vậy, bởi (1.3.14), (1.3.19), ta được
I
1
=
Z
t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)


rv
(k)
m
(x; s)


2
dx (1.3.20)

1


0
~
K(M; )(M + M

+ 1)
Z
t
0
X
(k)
m
(s) ds:
Tích phân thứ hai I
2
.
Từ (1.2.6), (1.2.8), (1.2.10) và (1.3.14), ta có
I
2
= 2
Z
t
0

F
m
(s) ; _v
(k)
m
(s)


ds  2
Z
t
0
kF
m
(s)k


_v
(k)
m
(s)


ds (1.3.21)
 T K
2
1
(M;
~
f) +
Z
t
0
X
(k)
m
(s) ds:
Tích phân thứ ba I

3
:
Bằng cách dùng (1.3.14) và (1.3.19), ta được
I
3
=
Z
t
0
ds
Z
1
0

0
m
(x; s)


v
(k)
m
(x; s)


2
dx (1.3.22)

1


0
~
K(M; )(M + M

+ 1)
Z
t
0
Y
(k)
m
(s) ds:
Tích phân thứ tư I
4
:
Bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
jI
4
j = 2




Z
t
0

@
@s
(

@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s)); v
(k)
m
(s)

ds




(1.3.23)

2
p

0
Z
t
0
I

4
(s)
q

Y
(k)
m
(s)ds;
Chương 1. Bài toán biên hỗn hợp không thuần nhất cho phương trình sóng phi tuyến 22
trong đó I

4
(s) =



@
@s
(
@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s))



:
Ta tiếp tục đánh giá I

4
(s) như sau.

Ta có
I

4
(s) =



@
@s

@
m
@x
(s) rv
(k)
m
(s)




=



@
m
@x
(s) r_v

(k)
m
(s) +
@
2

m
@x@s
(s) rv
(k)
m
(s)







@
m
@x
(s)



C
0
(



)



r_v
(k)
m
(s)



+



@
2

m
@x@s
(s)






rv
(k)

m
(s)



C
0
(


)





@
m
@x
(s)



C
0
(


)
+

1
p

0



@
2

m
@x@s
(s)




q
Y
(k)
m
(s):
(1.3.24)
Hơn nữa, do
@
m
@x
(x; s) = D
1
 (x; s; 

m
(x; s)) + D
3
 (x; s; 
m
(x; s)) (rv
m1
(x; s) + g
0
(s)) ; (1.3.25)
ta suy ra rằng




@
m
@x
(s)




C
0
(


)


~
K (M; )

krv
m1
(s)k
C
0
(


)
+ M

+ 1

(1.3.26)

~
K (M; )

kv
m1
(s)k
C
0
(


)

+ M

+ 1


~
K (M; ) (M + M

+ 1) :
Tương tự, từ đẳng thức sau
@
2

m
@x@s
(x; s) =
@
@s
D
1
 (x; s; 
m
(x; s)) (1.3.27)
+
@
@s
[D
3
 (x; s; 
m

(x; s)) (rv
m1
(x; s) + g (s)) ]
= D
2
D
1
 (x; s; 
m
(x; s))
+D
3
D
1
 (x; s; 
m
(x; s)) (rv
m1
(x; s) + r' (x; s))
+

@
@s
D
3
 (x; s; 
m
(x; s))

(rv

m1
(x; s) + g (s))
+D
3
 (x; s; 
m
(x; s))
@
@s
(rv
m1
(x; s) + g (s))
= D
2
D
1
 (x; s; 
m
(x; s))
+D
3
D
1
 (x; s; 
m
(x; s)) (rv
m1
(x; s) + r' (x; s))
+D
1

D
3
 (x; s; 
m
(x; s)) (rv
m1
(x; s) + g (s))
+D
2
3
 (x; s; 
m
(x; s)) ( _v
m1
(x; s) + _' (x; s)) (rv
m1
(x; s) + g (s))
+D
3
 (x; s; 
m
(x; s)) (r_v
m1
(x; s) + r_' (x; s)) ;