toàn văn Khảo sát một số bài toán biên phi tuyến trong khoa học ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP. HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
——oo——
LÊ XUÂN TRƯỜNG
KHẢO SÁT MỘT SỐ BÀI TOÁN BIÊN PHI TUYẾN
TRONG KHOA HỌC ỨNG DỤNG
Chuyên ngành: Toán Giải Tích
Mã số: 62 46 01 01
LUẬN ÁN TIẾN SỸ TOÁN HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. TS. NGUYỄN THÀNH LONG
2. GS. TS. ALAIN PHẠM NGỌC ĐỊNH
TP. Hồ Chí Minh- 2009
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi. Các kết quả và số
liệu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ một
công trình nào khác
Tác giả luận án
Lê Xuân Trường
i
LỜI CẢM ƠN
Qua luận văn này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thành
Long và GS. TS. Alain Phạm Ngọc Định. Các Thầy đã hướng dẫn, chỉ bảo và tận
tình giúp đỡ tôi về mọi mặt trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học.
Tôi cũng xin cảm ơn TS. Lê Thị Phương Ngọc đã đọc và góp một số ý kiến
hữu ích giúp tôi hoàn thành luận án này.
Tôi xin chân thành cảm ơn các nhà khoa học là các thành viên trong các Hội
đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Bộ môn và cấp Nhà nước, là các chuyên gia phản
biện độc lập và chính thức của luận án, về những nhận xét đánh giá và bình luận
quí báu cùng với những đề nghị quan trọng tạo điều kiện để tôi hoàn thành tốt
luận án.

Tôi trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán - Tin học, Bộ môn Toán Giải
tích và Phòng Sau Đại học của Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Thành phố Hồ
Chí Minh về những giúp đỡ tận tình, tạo điều kiện để tôi học tập và hoàn thành
luận án.
Qua luận án này tôi cũng bày tỏ lòng biết ơn đối với thầy Trần Minh Thuyết
và thầy Lê Khánh Luận đã tạo điều kiện thuận lợi cho việc xin hoạt học thuật của
nhóm chúng tôi.
Cuối cùng, tôi cũng chân thành cảm ơn các Anh Chị đồng nghiệp đã quan
tâm giúp đỡ tôi trong thời gian vừa qua.
******************************
ii
MỤC LỤC
DANH SÁCH KÝ HIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
GIỚI THIỆU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
CHƯƠNG 1. BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT
CHIỀU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1 Bài toán biên hỗn hợp thuần nhất cho phương trình Kirchhoff phi
tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.1.1 Sự tồn tại dãy lặp phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.1.2 Sự hội tụ bậc cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.2 Bài toán biên hai điểm cho phương trình sóng tuyến tính . . . . . . 30
1.2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
1.2.2 Tính chính quy của nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
1.2.3 Tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm . . . . . . . . . . . . . 42
CHƯƠNG 2. BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN
RIÊNG PHI TUYẾN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
2.1 Sự tồn tại và duy nhất nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
2.2 Dáng điệu tiệm cận của nghiệm khi η → 0
+
. . . . . . . . . . . . . . 64

2.3 Khai triển tiệm cận nghiệm theo ba tham số K, λ và η . . . . . . . . 71
2.4 Tính chất tắt dần theo hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
CHƯƠNG 3. NGHIỆM DƯƠNG CỦA MỘT BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU
ĐIỂM CHO PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP HAI . . . . . . . . . . 86
3.1 Một số ký hiệu và kết quả ban đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
3.2 Sự tồn tại nghiệm dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
3.3 Tính compắc của tập nghiệm dương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
iii
iv
PHỤ LỤC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
A Không gian Sobolev một chiều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
B Không gian phụ thuộc thời gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
C Hàm riêng của dạng song tuyến tính trên không gian Hilbert . . . . 105
D Một số bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
E Một số kết quả kết quả khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
DANH MỤC CÔNG TRÌNH CỦA TÁC GIẢ . . . . . . . . . . . . . . 109
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
DANH SÁCH KÝ HIỆU
Ký hiệu tập hợp
N Tập hợp các số tự nhiên
Z Tập hợp các số nguyên
R Tập hợp các số thực
Z
+
Tập hợp các số nguyên không âm
R
+
= [0, ∞) Tập hợp các số thực không âm
Ω Khoảng (0, 1)

Q
T
Tích Descartes Ω ×(0, T), với T > 0
Ký hiệu về đa chỉ số
|α| = α
1
+ α
2
+ · ··+ α
N
Bậc của đa chỉ số α = (α
1
, α
2
, , α
N
) ∈ Z
N
+
α! = α
1
!α
2
! α
N
!
x
α
= x
α

1
1
x
α
2
2
x
α
N
N
Đơn thức bậc |α| theo N biến, với x = (x
1
, x
2
, , x
N
)
Ký hiệu đạo hàm
u(t) = u(x, t) Hàm số theo hai biến số x và t
·
u(t) ≡ u
t
(t) =
∂u
∂t
(x, t) Đạo hàm riêng bậc một của u(x, t) theo biến t
··
u(t) ≡ u
tt
(t) =

∂
2
u
∂t
2
(x, t) Đạo hàm riêng bậc hai của u(x, t) theo biến t
u
x
(t) ≡ u(t) =
∂u
∂x
(x, t) Đạo hàm riêng bậc một của u(x, t) theo biến x
u
xx
(t) ≡ ∆u(t) =
∂
2
u
∂x
2
(x, t) Đạo hàm riêng bậc hai của u(x, t) theo biến x
D
k
i
f Đạo hàm riêng
∂
k
f
∂x
k

i
của hàm f
D
α
f Đạo hàm riêng
∂
|α|
f
∂x
α
1
1
···∂x
α
n
n
, với α = (α
1
, , α
n
) ∈ Z
n
+
1
Danh sách ký hiệu 2
Các không gian hàm
X, X

Không gian Banach X và đối ngẫu X


· 
X
Chuẩn trên không gian X

·, ·

Tích đối ngẫu hoặc tích vô hướng trong L
2
(Ω)
C
0
(Ω) ≡ C(Ω) Không gian các hàm số u : Ω → R liên tục trên Ω
C
m
(Ω) Không gian các hàm u ∈ C
0
(Ω) sao cho D
i
u ∈ C
0
(Ω)
với mọi i = 1, 2, , m
C
m
(Ω) Không gian các hàm u ∈ C
m
(Ω) sao cho D
i
u bị chặn và
liên tục đều trên Ω

C
∞
(
Ω
)

∞
m=0
C
m
(Ω)
C
∞
0
(
Ω
)
Không gian các hàm u ∈ C
∞
(
Ω
)
có giá compắc
L
p
= L
p
(Ω) Không gian các hàm đo được Lebesgue u : Ω → R
thỏa u
p

=


Ω
|u(x )|
p
dx

1/p
< ∞, với 1 ≤ p < ∞
L
∞
= L
∞
(Ω) Không gian các hàm đo được Lebesgue, bị chặn cốt yếu
u : Ω → R với chuẩn u
L
∞
= ess sup
x∈Ω
|u(x )| < ∞
W
m,p
= W
m,p
(Ω) Không gian các hàm u ∈ L
p
sao cho các đạo hàm suy
rộng D
i

u ∈ L
p
, 1 ≤ i ≤ m
W
m,p
0
= W
m,p
0
(Ω) Bao đóng của C
∞
0
(Ω) trong không gian W
m,p
H
m
= H
m
(Ω) W
m,2
(Ω)
· 
∗
Chuẩn tương đương trong H
1
(Xem Phụ Lục A.4)
a(u, v) Dạng song tuyến tính trên H
1
× H
1

(Xem Phụ Lục A.4)
C
(
[0, T]; X
)
Không gian các hàm liên tục u : [0, T] → X với chuẩn
u
C
(
[0,T];X
)
= max
0≤t≤T
u(t)
X
< ∞
L
p
(
0, T; X
)
Không gian các hàm đo được u : [0, T] → X sao cho
u
L
p
(
0, T;X
)
=



T
0
u(t)
p
X
dt

1/p
< ∞, khi 1 ≤ p < ∞,
và u
L
∞
(
0, T;X
)
= ess sup
0≤t≤T
u(t)
X
< ∞
W
1
(T) Không gian Banach các hàm u ∈ L
∞

0, T; H
1

sao cho

u
t
∈ L
∞

0, T; L
2

với chuẩn xác định bởi
u
W
1
(T)
= u
L
∞
(
0, T;H
1
)
+ u
t

L
∞
(
0, T;L
2
)
GIỚI THIỆU

Lý thuyết các bài toán biên cho phương trình vi phân và phương trình đạo
hàm riêng là một trong những lĩnh vực quan trọng của toán lý t huyết và áp
dụng. Các bài toán này xuất hiện rất nhiều trong vật lý, cơ học, sinh học, , và đã
được nghiên cứu một cách rộng rãi bởi nhiều nhà toán học. Quá trình tìm kiếm
lời giải cho các bài toán biên góp phần rất lớn vào sự phát triển của nhiều kết
quả lý thuyết trong giải tích hàm (lý thuyết không gian Sobolev, lý thuyết điểm
bất động, lý thuyết nửa nhóm, ) và giải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn,
phương pháp Wavelet, ).
Nhiều kết quả khác nhau trong việc nghiên cứu các lớp bài toán biên xuất
hiện trong khoa học ứng dụng đã được trình bày trong nhiều tài liệu, chẳng hạn
[2, 3, 57] và các tài liệu tham khảo trong đó, cũng như trong các bài báo đăng
trên các tạp chí khoa học có uy tín của nhiều tác giả như J. L. Lions [53, 54], H.
Brezis [17, 19], F. E. Browder [20, 21], Số lượng các tạp chí có công bố các kết
quả liên quan đến lĩnh vực này chiếm một tỉ lệ rất lớn, trong đó có các tạp chí
chuyên về lĩnh vực bài toán biên như tạp chí Boundary Value Problem của nhà
xuất bản Hindawi. Ngoài ra, nhiều hội nghị quốc tế về lĩnh vực phương trình vi
phân đạo hàm riêng nói chung và lý thuyết các bài toán biên nói riêng đã được
sự quan tâm của đông đảo các nhà toán học trong và ngoài nước.
Hiện nay, có rất nhiều phương pháp được sử dụng để nghiên cứu các phương
trình vi phân và phương trình đạo hàm riêng với những điều kiện biên khác nhau
như phương pháp biến phân, phương pháp điểm bất động, phương pháp đơn
điệu, phương pháp nghiệm trên - nghiệm dưới, Tuy nhiên, nói chung, chúng
ta không có một phương pháp tổng quát cho phép tiếp cận mọi bài toán biên phi
tuyến vốn dĩ rất phong phú và đa dạng. Việc lựa chọn phương pháp thích hợp
để nghiên cứu các bài toán đó là một yếu tố rất quan trọng. Chính vì vậy, vấn đề
3
Giới thiệu 4
khảo sát các bài toán biên, đặc biệt là các bài toán biên phi tuyến, là cần thiết và
có ý nghĩa thực tiễn.
Luận án này trình bày những kết quả của chúng tôi trong việc nghiên cứu

một số bài toán trong lý thuyết phương trình vi phân, đạo hàm riêng và phương
trình vi tích phân. Dưới đây là một sự giới thiệu tổng quan về những nội dung có
trong luận án.
Nội dung thứ nhất liên quan đến các bài toán biên cho phương trình sóng một
chiều. Những kết quả đầu tiên về lĩnh vực này được cho bởi D’Alembert (1717 -
1793) và Euler (1707 - 1783), xuất phát từ việc nghiên cứu các dao động bé của
một sợi dây đàn hồi với hai đầu cố định. Mô hình toán học cho bài toán này, do
D’Alembert đề nghị, có dạng
∂
2
u
∂t
2
= c
2
∂
2
u
∂x
2
, (1)
trong đó u(x, t) là độ lệch theo phương thẳng đứng của dây, so với vị trí cân bằng,
tại điểm x và thời gian t. Một mô hình khác cho bài toán vật lý tương tự đã được
thiết lập bởi Kirchhoff [52] và Carrier [22]. Giả sử h là thiết diện và L là chiều dài
sợi dây ở trạng thái cân bằng; E là môđun Young và P
0
là lực căng ban đầu. Khi
đó, mô hình Kirchhoff - Carrier cho dao động bé của một sợi dây đàn hồi với hai
đầu cố định được xác định bởi phương trình
∂

2
u
∂t
2
=

P
0
+
Eh
2L

L
0

∂u
∂x

2
dx

∂
2
u
∂x
2
. (2)
Cho đến nay bài toán dao động của vật liệu đàn hồi vẫn được quan tâm rộng rãi
bởi nhiều nhà toán học. Nhiều kết quả định tính và định lượng đã được công bố
liên quan đến các phương trình sóng một chiều cũng như nhiều chiều kết hợp

với các điều kiện biên khác nhau [4, 5, 9, 13, 14, 15, 29, 30, 34, 36, 46, 50, 51, 81],
Trong chương 1 của luận án này, chúng tôi khảo sát hai bài toán biên cho các
phương trình thuộc dạng (1) hoặc (2) với một số điểm khác biệt so với các kết quả
trước đó.
Bài toán 1. Chúng tôi khảo sát sự tồn tại nghiệm địa phương của phương trình
Giới thiệu 5
Kirchhoff phi tuyến
u
tt
−µ

t, u
2
2
, u
x

2
2

u
xx
= f (x, t, u), (x, t) ∈ Ω × (0, T), (3)
kết hợp với các điều kiện biên hỗn hợp thuần nhất
u
x
(0, t) −h
0
u(0, t) = u
x

(1, t) + h
1
u(1, t) = 0, (4)
và các điều kiện đầu
u(x, 0) = u
0
(x), u
t
(x, 0) = u
1
(x). (5)
Phương trình dạng (3) kết hợp với các loại điều kiện biên khác nhau đã được
nghiên cứu bởi nhiều tác giả, chẳng hạn như Cousin [30], Frota [38], Miranda
[50, 51], Medeiros [74], Yang [102], Các bài báo này chú ý đến những khía
cạnh khác nhau như sự tồn tại và duy nhất của nghiệm địa phương, nghiệm toàn
cục; sự ổn định của nghiệm cũng như các phương pháp xấp xỉ nghiệm, Trong
[75, 76], Mederios và các tác giả đã cung cấp khá nhiều kết quả toán học liên quan
đến các phương trình Kirchhoff cùng dạng với (3).
Như một sự tiếp nối và mở rộng các công trình trước đây [35, 59, 61, 62, 63,
64, 65, 66, 84], ở đó phương pháp xấp xỉ tuyến tính được sử dụng để chứng minh
sự tồn tại của một dãy lặp hội tụ bậc một hoặc bậc hai về nghiệm địa phương
của các mô hình tương ứng, trước hết chúng tôi xây dựng một dãy lặp phi tuyến
{u
m
}
m∈Z
+
xác định bởi u
0
= 0 và với mọi m ∈ N, u

m
là nghiệm của phương
trình
∂
2
u
m
∂t
2
−µ

t, u
m

2
2
, u
mx

2
2

u
mxx
= f (x, t, u
m−1
)
+
N−1
∑

i=1
1
i!
∂
i
f
∂u
i
(x, t, u
m−1
)
(
u
m
−u
m−1
)
i
, (6)
thỏa các điều kiện (4) − (5). Sự tồn tại của dãy {u
m
}
m∈Z
+
như thế được chứng
minh bằng phương pháp xấp xỉ Galerkin kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm
và lý luận compắc. Khi đó, nếu µ ∈ C
1

R

3
+

và f ∈ C
N
(
[0, 1] ×R
+
×R
)
, chúng
Giới thiệu 6
tôi chứng minh dãy {u
m
} hội tụ về nghiệm duy nhất u của bài toán (3) − (5) với
tốc độ hội tụ bậc N theo nghĩa như sau
u
m
−u
L
∞
(
0, T;H
1
)
+ 
·
u
m
−

·
u
L
∞
(
0, T;L
2
)
≤ C

u
m−1
−u
L
∞
(
0, T;H
1
)
+ 
·
u
m−1
−
·
u
L
∞
(
0, T;L

2
)

N
, (7)
với mọi m ≥ 1, trong đó C là một hằng số không phụ thuộc m.
Kết quả trên đây đã được công bố trong [T5]. Ngoài ra, sử dụng phương pháp
này, chúng tôi cũng t hu được những kết quả tương tự cho một số mô hình khác,
đã được công bố trong [T7, T8, T9].
Bài toán 2. Một phương trình sóng tuyến tính kết hợp với các điều kiện biên loại
hai điểm được quan tâm nghiên cứu. Cụ thể chúng tôi xét bài toán sau
u
tt
−u
xx
+ Ku + λu
t
= f (x, t), (x, t) ∈ Ω ×(0, ∞), (8)
u
x
(0, t) = h
0
u(0, t) + λ
0
u
t
(0, t) +

h
1

u(1, t) +

λ
1
u
t
(1, t) + g
0
(t), (9)
−u
x
(1, t) = h
1
u(1, t) + λ
1
u
t
(1, t) +

h
0
u(0, t) +

λ
0
u
t
(0, t) + g
1
(t), (10)

u(x, 0) = u
0
(x), u
t
(x, 0) = u
1
(x), (11)
trong đó h
0
, h
1
, λ
0
, λ
1
,

h
0
,

h
1
,

λ
0
,

λ

1
, K, λ là các hằng số và u
0
, u
1
, f , g
0
, g
1
là các
hàm số cho trước. Mặc dù phương trình (8) là rất cổ điển và đã được nghiên cứu
nhiều [18, 67], , nhưng điểm khác biệt chính của bài toán (8) −(11) so với các
kết quả trước đó là cấu trúc hai điểm của điều kiện biên. Cấu trúc này có thể xem
như là sự mở rộng các bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân thường
sang các phương trình đạo hàm riêng mà, theo hiểu biết của chúng tôi, vẫn chưa
được nghiên cứu nhiều.
Để giải quyết những khó khăn xuất phát từ điều kiện biên chúng tôi sử dụng
một bất đẳng thức liên quan đến dạng toàn phương ( xem Phụ lục D.5). Nhờ đó,
sự tồn tại duy nhất và tính chính quy của nghiệm toàn cục được chứng minh với
các giả thiết thích hợp. Ngoài ra, chúng tôi cũng thiết lập một kết quả về tính chất
tắt dần theo hàm mũ của nghiệm bằng phương pháp Lyapunov. Các kết quả này
được công bố trong [T6].
Giới thiệu 7
Nội dung thứ hai của luận án, được trình bày trong chương 2, đề cập đến một
bài toán biên xuất hiện trong lý thuyết dao động của các vật liệu đàn hồi nhớt.
Mô hình mà chúng tôi nghiên cứu có dạng
u
tt
−u
xx

+
t

0
k(t − s)u
xx
(s) ds + Kψ
p
(u)
+ λψ
q
(u
t
) = f (x, t), (x, t) ∈ Ω ×R
+
, (12)
u
x
(0, t) = u(0, t), u
x
(1, t) + ηu(1, t) = g(t), (13)
u(x, 0) = u
0
(x), u
t
(x, 0) = u
1
(x), (14)
trong đó ψ
r

(z) = |z|
r−2
z; K, λ, η ≥ 0; p, q ≥ 2 là các hằng số và u
0
, u
1
, f , g là các
hàm số cho trước.
Trong tài liệu chuyên khảo [89], các tác giả đã phân loại và trình bày nhiều
kết quả liên quan đến những mô hình toán học mô tả chuyển động của các vật
liệu đàn hồi nhớt. Nói chung, những kết quả đó tập trung vào một số vấn đề như
sự tồn tại nghiệm địa phương, sự tồn tại và không tồn tại nghiệm toàn cục, dáng
điệu tiệm cận của nghiệm khi t → +∞, , bằng cách sử dụng định lý hàm ẩn,
phương pháp năng lượng, phương pháp nửa nhóm,
Sử dụng các đánh giá năng lượng kết hợp với tính chất của nhân xác định
dương mạnh (xem [94, 95]), Dafermos và Nohel [32] đã chứng minh sự tồn tại
nghiệm toàn cục của phương trình
u
tt
= φ
(
u
x
)
x
+

t
0
k


(t −s)ψ
(
u
x
(s)
)
x
ds + f (x, t), (x, t) ∈ Ω ×R
+
, (15)
kết hợp với các điều kiện biên loại Dirichlet và các điều kiện đầu (14). Điểm đáng
lưu ý trong kết quả này là giả thiết về tính xác định dương mạnh của k, k

và k

.
Tính chất này đã được sử dụng bởi nhiều tác giả trong việc khảo sát các phương
trình tích phân và vi tích phân dạng Volterra (xem [31, 48, 94] ).
Tính xác định dương mạnh còn được sử dụng cho các phương trình vi tích
phân bậc phân số. Chẳng hạn như, trong [77], Messaoudi, Houari và Tatar đã
chứng minh sự tồn tại toàn cục cũng như tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm
Giới thiệu 8
của bài toán










u
tt
−u
xx
−

t
0
k
α,β
(t −s)u
xxt
(s) ds = a
|
u
|
p−2
u, x ∈ (0, 1),
u(0, t) = u(1, t) = 0,
u(x, 0) = u
0
(x), u
t
(x, 0) = u
1
(x), x ∈ (0, 1)
trong đó nhân k

α,β
(t) =
t
−α
e
−βt
Γ(1−α)
, với Γ là hàm Gamma, là hàm xác định dương
mạnh.
Bên cạnh đó, có nhiều kết quả khác nghiên cứu sự tồn tại toàn cục và dáng
điệu tiệm cận khi t → ∞, cho các mô hình tương tự mà không sử dụng tính
xác định dương mạnh của nhân [10, 11, 23, 24, 25, 26]. Trong [23], các tác giả đã
nghiên cứu phương trình
u
tt
−∆u +

t
0
g(t − s)∆u(s) ds + a(x)u
t
+
|
u
|
γ
u = 0, trong U × (0, +∞), (16)
với điều kiện biên Dirichlet, trong đó U ⊂ R
n
là một tập mở bị chặn và a : U →

R
+
là hàm số có thể triệt tiêu trên một phần của U. Với nhân g thỏa điều kiện
1 −

∞
0
g(s)ds > 0, −ζ
1
g(t) ≤ g

(t) ≤ −ζ
2
g(t), t ≥ 0, (17)
họ đã thiết lập tính chất tắt dần theo hàm mũ của nghiệm. Kết quả này sau đó đã
được cải tiến bởi Berrimi và Messaoudi [10] với các điều kiện yếu hơn của a và g.
Trong [26], Cavalcanti và Oquendo đã xét phương trình
u
tt
−k
0
∆u +

t
0
div
[
a(x)g(t −s)u(s)
]
ds + b(x)h

(
u
t
)
+ f (u) = 0, (18)
với các giả thiết tương tự (17) đối với nhân g và a(x) + b(x) ≥ ρ > 0, với mọi
x ∈ U. Họ đã cải tiến kết quả của [23] bằng cách chứng minh rằng nghiệm sẽ tắt
dần theo hàm mũ nếu g tắt dần theo hàm mũ và h tuyến tính còn nghiệm sẽ tắt
dần theo bậc đa thức nếu g tắt dần theo đa thức và h là một hàm phi tuyến.
Với các dữ kiện đầu bé, Berrimi và Messaoudi [11] đã chứng minh sự tồn tại
toàn cục và tắt dần theo hàm mũ của nghiệm của phương trình
u
tt
−∆u +

t
0
g(t − s)∆u(s) ds = |u|
γ
u, trong U × (0, +∞), (19)
Giới thiệu 9
kết hợp với các điều kiện biên Dirichlet, trong đó hàm g thỏa các điều kiện yếu
hơn trong [26].
Tiếp thu một số ý tưởng từ các kết quả trên vào bài toán (12) − (14), trước
hết chúng tôi chứng minh hai kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm
với các giả thiết về nhân k yếu hơn trong [10, 11, 23, 24, 25, 26]. Đầu tiên, khi
k ∈ W
2,1
(0, T) và (u
0

, u
1
) ∈ H
2
× H
1
, f ∈ W
1,2
(Q
T
), g ∈ H
2
(0, T), sự tồn tại của
nghiệm yếu u thỏa điều kiện
u ∈ L
∞

0, T; H
2

, u
t
∈ L
∞

0, T; H
1

, u
tt

∈ L
∞

0, T; L
2

, (20)
được chứng minh bằng cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, kết hợp với
các đánh giá tiên nghiệm và lý luận về tính compắc. Tiếp đó, sử dụng kết quả
vừa trình bày và phương pháp xấp xỉ thông qua tính trù mật, chúng tôi đã mở
rộng kết quả về sự tồn tại nghiệm yếu khi các dữ kiện xuất hiện trong bài toán
yếu hơn trường hợp nêu trên, cụ thể là, khi (u
0
, u
1
) ∈ H
1
× L
2
, f ∈ L
2
(Q
T
) và
k, g ∈ H
1
(0, T). Tất nhiên, khi đó tính trơn của nghiệm yếu cũng giảm đi,
u

∈ L

∞

0, T; H
1

, u

∈ L
∞

0, T; L
2

∩ L
q
(
Q
T
)
. (21)
Một vấn đề đáng lưu ý là, với các dữ kiện đầu như trong trường hợp thứ hai,
sự tồn tại nghiệm yếu của phương trình (12) ứng với k = 0, kết hợp với các loại
điều kiện biên khác nhau, thường được chứng minh bằng phương pháp đơn điệu
(xem [70]). Tuy nhiên, theo chúng tôi, phương pháp này tỏ ra không phù hợp cho
bài toán (12) −(14).
Cũng trong trường hợp k ∈ W
2,1
(0, T), chúng tôi xét dáng điệu tiệm cận của
nghiệm khi η → 0
+

và thu được một khai triển tiệm cận đến cấp N của nghiệm
bài toán nhiễu theo tham số η. Kết quả này phần nào đó tổng quát hóa các kết
quả có trong [59, 61, 66, 67, 68].
Tiếp theo, cũng đề cập đến việc khai triển tiệm cận, chúng tôi xét bài toán
(12) −(14) như bài toán nhiễu theo ba t ham số bé K, λ, η và tìm một khai triển
tiệm cận cho nghiệm của nó. Việc khai triển tiệm cận nghiệm của các bài toán
biên theo một tham số đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả. Tuy nhiên, theo
Giới thiệu 10
hiểu biết của chúng tôi, có rất ít kết quả liên quan đến vấn đề khai triển tiệm cận
theo nhiều nhiều tham số, đặc biệt là tìm khai triển bậc cao. Để giải quyết những
khó khăn gặp phải chúng tôi đã xây dựng một bổ đề liên quan đến việc tìm các
hệ số trong lũy thừa bậc cao của một đa thức nhiều biến (xem Phụ lục E, Bổ đề
E.2).
Cuối cùng, với một số điều kiện bổ sung cho nhân k, tương tự trong [11],
chúng tôi chứng minh tính tắt dần theo hàm mũ của nghiệm bằng cách sử dụng
một phiếm hàm Liapunov thích hợp. Ở đây, chúng tôi lựa chọn phương pháp
phiếm hàm Liapunov từ ý tưởng trong [11]. Hơn nữa, phương pháp sử dụng bất
đẳng thức Nakao [81] tỏ ra không thích hợp cho bài toán của chúng tôi. Kết quả
này góp phần làm phong phú thêm những kết quả nghiên cứu tính tắt dần của
các hệ thống dao động [45, 50, 73, 78, 79, 80, 85, 87, 99]
Những kết quả của chúng tôi về bài toán (12) −(14) đã được công bố trong
hai bài báo [T1, T4].
Chương 3 dành cho việc khảo sát sự tồn tại nghiệm dương của một bài toán
biên nhiều điểm cho phương trình vi phân cấp hai. Đây là một lĩnh vực có những
ứng dụng rộng rãi trong các ngành khác nhau của khoa học và kỹ thuật, chẳng
hạn lý thuyết lớp biên trong cơ học chất lỏng; lý thuyết truyền nhiệt; lý thuyết
điều khiển, Đọc giả quan tâm có thể xem [2] và các tài liệu tham khảo trong đó.
Việc nghiên cứu các bài toán biên như thế đã được khởi đầu bởi các công trình
của Il’in và Moiseev [49], Gupta [42]. Kể từ đó, nhiều công trình liên quan đến
sự tồn tại nghiệm cũng như sự tồn tại nghiệm dương của các bài toán biên nhiều

điểm phi tuyến đã được công bố. Những công trình này sử dụng các phương
pháp khác nhau như định lý điểm bất động Leray - Schauder, các định lý về
chỉ số điểm bất động, định lý điểm bất động Krasnoselskii, định lý điểm bất
động Leggett - Wiliams, hoặc phương pháp nghiệm trên nghiệm dưới (xem
[28, 33, 37, 41, 71, 72, 96, 100, 101, 103] và các tài liệu tham khảo trong đó).
Gần đây, Han [43] đã nghiên cứu sự tồn tại nghiệm dương của bài toán biên
Giới thiệu 11
ba điểm



x

(t) = f (t , x(t)), 0 < t < 1,
x

(0) = 0, x(η) = x(1),
(22)
với η ∈ (0, 1). Điểm quan trọng trong kết quả này là giả thiết về hàm f (t, x).
Khác với nhiều kết quả trước, trong đó f (t, x) phải là một hàm không âm, Han
đã chứng minh sự tồn tại nghiệm dương của bài toán (22) với giả thiết
f (t, x) ≥ −ax, ∀(t, x ) ∈ [0, 1] ×R
+
,
trong đó a là một hằng số dương thích hợp.
Nhằm nới rộng kết quả trong [43], chúng tôi xét phương trình (22)
1
kết hợp
với các điều kiện biên nhiều điểm
x


(0) = 0, x(1) =
m−2
∑
i=1
α
i
x(η
i
), (23)
trong đó m ≥ 3, 0 < η
1
< η
2
< ·· · < η
m−2
< 1 và α
i
≥ 0, sao cho
∑
m−2
i=1
α
i
< 1.
Ở đây những kết quả của chúng tôi đa dạng hơn trong [43]. Ngoài việc chứng
minh sự tồn tại nghiệm dương của bài toán (22)
1
- (23) bằng cách sử dụng định
lý điểm bất động Krasnoselskii, chúng tôi còn thu được kết quả về sự tồn tại này

thông qua phương pháp lặp đơn điệu, tất nhiên với một số giả thiết được tăng
cường cho hàm f (t, x). Hơn nữa, tính chất compắc của tập các nghiệm dương
cũng được thiết lập.
Ngoài phần giới thiệu và nội dung chính của luận án được trình bày trong ba
chương (I, II, III) như trên đã nói, luận án còn có các phần sau
1. Phần kết luận. Tóm tắt các nội dung chính của luận án, đồng thời cũng nêu
ra một số vấn đề có thể tiếp tục nghiên cứu.
2. Phần phụ lục. Trình bày một số kiến thức cơ bản về giải tích hàm, giải tích
thực, một số bất đẳng thức cũng như vài kết quả có liên quan đến đa thức,
v. v. nhằm phục vụ cho các chương chính.
3. Danh mục công trình của tác giả.
Giới thiệu 12
4. Tài liệu tham khảo.
Toàn bộ các kết quả được trình bày trong luận án này đã được công bố trong
[T1, T3-T6]. Ngoài ra, phương pháp nghiên cứu ở đây cũng được áp dụng thành
công cho một số bài toán khác và đã công bố trong [T2, T7-T9]. Một phần trong
số các kết quả này đã được báo cáo tại "Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ VII,
Qui Nhơn 04 - 08/08/2008" và một số hội nghị khoa học khác.
Cuối cùng, để tiện theo dõi, chúng tôi có một số điểm lưu ý như sau
 Trong toàn bộ luận án, ta sử dụng các ký hiệu C
0
, C
1
để chỉ các hằng số phụ
thuộc vào h
0
> 0, h
1
≥ 0. Cụ thể hơn, xem Bổ đề A.9 - Phục lục A,
C

0
= min{1, h
0
}, C
1
= max{1, h
0
, 2h
1
}.
 Chúng tôi sử dụng thuật ngữ "nghiệm yếu" để chỉ nghiệm của một bài toán
giá trị biên đầu, trong đó tính trơn của nó không đủ để khẳng định nghiệm đó là
"nghiệm cổ điển". Trongnhững hoàn cảnh khác nhau, thuật ngữ này sẽ được hiểu
theo một ý nghĩa nào đó (sẽ được nói rõ) phụ thuộc vào tính trơn của "nghiệm
yếu" đang xét.
 Các ký hiệu C
T
và C, nếu không có giải thích gì thêm, dùng để chỉ các hằng số
dương phụ thuộc vào T và độc lập với T một cách tương ứng. Các hằng số này
có thể khác nhau trong những trường hợp khác nhau.
 Ta qui ước đánh số liên tục cho các định nghĩa, bổ đề, định lý và hệ quả trong
khuôn khổ từng chương bởi các nhóm ba thành phần. Chẳng hạn như, ta viết
"Định lý 2.1.3" với ý nghĩa rằng đây là định lý thứ 3 thuộc chương 2, mục 1.
 Việc đánh số các công thức được thực hiện một cách tương tự.
CHƯƠNG 1
BÀI TOÁN BIÊN CHO PHƯƠNG TRÌNH SÓNG MỘT CHIỀU
Nội dung chính của chương này là khảo sát hai bài toán biên cho phương
trình sóng một chiều. Trong mục 1.1 chúng tôi chứng minh sự tồn tại nghiệm địa
phương của bài toán biên cho phương trình Kirchhoff phi tuyến và chỉ ra một
dãy lặp hội tụ bậc N về nghiệm đó. Mục 1.2 đề cập đến một phương trình sóng

tuyến tính kết hợp với các điều kiện biên loại hai điểm. Chúng tôi chứng minh
sự tồn tại và tính chính quy của nghiệm. Ngoài ra, tính chất tắt dần của nghiệm
theo hàm mũ cũng được khảo sát với một số dữ kiện thích hợp.
1.1 Bài toán biên hỗn hợp thuần nhất cho phương trình Kirch-
hoff phi tuyến
Mục đích của chúng tôi là xét sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu địa phương
của bài toán biên phi tuyến sau
u
tt
−µ

t,

u

2
2
,

u
x

2
2

u
xx
= f (x, t, u), (x, t) ∈ Ω ×(0, T), (1.1.1)
u
x

(0, t) −h
0
u(0, t) = u
x
(1, t) + h
1
u(1, t) = 0, (1.1.2)
u(x, 0) = u
0
(x), u
t
(x, 0) = u
1
(x), (1.1.3)
trong đó h
0
> 0, h
1
≥ 0 là các hằng số; u
0
∈ H
2
, u
1
∈ H
1
; f ∈ C
N
(
Ω × R

+
×R
)
và µ ∈ C
1

R
3
+

sao cho tồn tại các hằng số p > 1, µ
∗
> 0 và µ
i
> 0, i ∈ {1, 2, 3},
thỏa mãn các đánh giá sau
(i) µ
∗
≤ µ(t, y, z) ≤ µ
0
(1 + y
p
+ z
p
), với mọi (t, y, z) ∈ R
3
+
,
(ii)
|

D
1
µ(t, y, z)
|
≤ µ
1
(1 + y
p
+ z
p
), với mọi (t, y, z) ∈ R
3
+
,
13
Chương 1. Bài toán biên cho phương trình sóng một chiều 14
(iii)
|
D
2
µ(t, y, z)
|
≤ µ
2
(1 + y
p−1
+ z
p
), với mọi (t, y, z) ∈ R
3

+
,
(iv)
|
D
3
µ(t, y, z)
|
≤ µ
3
(1 + y
p
+ z
p−1
), với mọi (t, y, z) ∈ R
3
+
.
Trước hết, để tiện theo dõi, ta sẽ giới thiệu một số ký hiệu cũng như khái niệm
nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) −(1.1.3).
Với mỗi M, T > 0, ta đặt
K = K(M, T, f ) = max
0≤i≤N
∑
α∈Z
3
+
, |α|=i
sup
{

|D
α
f (x, t, u)| : (x, t, u) ∈ A
∗
}
,
trong đó A
∗
= A
∗
(M, T) = {(x, t, u) ∈ R
3
: 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ t ≤ T, |u| ≤ M}, và
W(M, T) =

v ∈ L
∞
(0, T; H
2
) : v
t
∈ L
∞
(0, T; H
1
), v
tt
∈ L
2
(Q

T
),
và v
L
∞
(0,T;H
2
)
, v
t

L
∞
(0,T;H
1
)
, v
tt

L
2
(Q
T
)
≤ M

,
W
1
(M, T) =


v ∈ W(M, T) : v
tt
∈ L
∞
(0, T; L
2
)

.
Định nghĩa 1.1.1. Ta gọi một hàm u ∈ L
∞

0, T; H
2

thỏa điều kiện u
t
∈ L
∞

0, T; H
1

,
u
tt
∈ L
∞


0, T; L
2

là nghiệm yếu của bài toán (1.1.1) −(1.1.3) nếu
u(0) = u
0
, u
t
(0) = u
1
,
và với mọi v ∈ H
1
, ta có

u
tt
(t), v

+ µ

t,

u

2
2
,

u

x

2
2

a(u(t), v) =

F(t), v

,
trong L
2
(0, T), trong đó F(x, t) = f (x, t, u(x, t)) và
a(u, v) =

1
0
u
x
v
x
dx + h
0
u(0) v(0) + h
1
u(1) v(1).
Bây giờ, nhằm giải quyết yêu cầu đặt ra, ta xét dãy hàm
{
u
m

(x, t)
}
m∈Z
+
xác
định bởi quy nạp như sau
 u
0
= 0,
 với m ∈ N, u
m
là nghiệm của bài toán biến phân




··
u
m
(t), v

+ µ
m
(
t
)
a(u
m
(t), v) =


F
m
(t), v

, ∀v ∈ H
1
, a.e. t ∈ [0, T],
u
m
(0) = u
0
,
·
u
m
(0) = u
1
,
(1.1.4)
Chương 1. Bài toán biên cho phương trình sóng một chiều 15
trong đó µ
m
(t) = µ

t,

u
m
(t)


2
2
,

u
m
(t)

2
2

và
F
m
(x, t) = f (x, t, u
m−1
) +
N−1
∑
i=1
1
i!
∂
i
f
∂u
i
(x, t, u
m−1
)

(
u
m
−u
m−1
)
i
.
Sự tồn tại của dãy
{
u
m
}
m∈Z
+
như thế được chứng minh trong mục 1.1.1 bằng
cách sử dụng phương pháp xấp xỉ Galerkin, kết hợp với các đánh giá tiên nghiệm
và lý luận về tính compắc. Trong mục 1.1.2, ta sẽ chứng minh dãy
{
u
m
}
m∈Z
+
hội
tụ, trong một không gian Banach thích hợp, về nghiệm của bài toán (1.1.1) −
(1.1.3) và cho một đánh giá sai số bậc N .
1.1.1 Sự tồn tại dãy lặp phi tuyến
Định lý 1.1.2. Tồn tại các hằng số dương M, T, độc lập với m, sao cho nếu u
m−1

∈
W
1
(M, T) thì bài toán biến phân (1.1.4) có nghiệm u
m
∈ W
1
(M, T).
Chứng minh. Chứng minh gồm một số bước.
Bước 1. Xấp xỉ Faedo-Galerkin.
Gọi {w
j
}
j∈N
là một cơ sở của H
1
, trực chuẩn trong L
2
, được xác định bởi dạng
song tuyến tính a(u, v) như trong Bổ đề C.1, Phụ lục C. Đặt
u
(k)
m
(t) =
k
∑
j=1
c
(k)
mj

(t) w
j
,
trong đó các hàm c
(k)
mj
thỏa hệ phương trình vi phân phi tuyến






··
u
(k)
m
(t), w
j

+ µ
(k)
m
(
t
)
a(u
(k)
m
(t), w

j
) =

F
(k)
m
(t), w
j

, 1 ≤ j ≤ k,
u
(k)
m
(0) = u
0k
,
·
u
(k)
m
(0) = u
1k
,
(1.1.5)
ở đây



u
0k

=
∑
k
j=1
α
(k)
j
w
j
→ u
0
mạnh trong H
2
,
u
1k
=
∑
k
j=1
β
(k)
j
w
j
→ u
1
mạnh trong H
1
,

(1.1.6)
và
µ
(k)
m
(
t
)
= µ

t,



u
(k)
m
(t)



2
2
,



u
(k)
m

(t)



2
2

,
Chương 1. Bài toán biên cho phương trình sóng một chiều 16
F
(k)
m
(x, t) = f (x, t, u
m−1
) +
N−1
∑
i=1
1
i!
D
i
3
f (x, t, u
m−1
)

u
(k)
m

−u
m−1

i
.
Bổ đề 1.1.3. Tồn tại T
(k)
m
∈ (0, T] sao cho hệ phương trình (1.1.5) có nghiệm duy nhất
u
(k)
m
(t) xác định trên khoảng

0, T
(k)
m

.
Chứng minh bổ đề 1.1.3.
Hệ phương trình (1.1.5) có thể viết lại dưới dạng như sau





··
c
(k)
mj

(t) = −λ
j
µ
(k)
m
(t) c
(k)
mj
(t) +

F
(k)
m
(t), w
j

, 1 ≤ j ≤ k,
c
(k)
mj
(0) = α
k
j
,
·
c
(k)
mj
(0) = β
k

j
,
(1.1.7)
mà nó tương đương với hệ phương trình tích phân
c
(k)
mj
(t) = α
k
j
+ β
k
j
t − λ
j

t
0
ds

s
0
µ
(k)
m
(τ)c
(k)
mj
(τ)dτ
+


t
0
ds

s
0

F
(k)
m
(τ), w
j

dτ, (1.1.8)
với j ∈ {1, 2, , k}.
Cho T
(k)
m
∈ (0, T], ta ký hiệu Y = C
0

0, T
(k)
m

; R
k

là không gian Banach

được trang bị chuẩn · 
Y
, cho bởi
c
Y
= sup
0≤t≤T
(k)
m
|
c(t)
|
1
, c =
(
c
1
, c
2
, , c
k
)
∈ Y,
với
|
c(t)
|
1
=
∑

k
j=1


c
j
(t)


. Xét toán tử H : Y → Y, xác định bởi
H(c) (t) =
(
H
1
(c) (t), H
2
(c) (t), , H
k
(c) (t)
)
,
trong đó
H
j
(c) (t) = α
k
j
+ β
k
j

t − λ
j

t
0
ds

s
0

µ(τ)c
j
(τ)dτ +

t
0
ds

s
0


F(τ), w
j

dτ,

µ(t) = µ

t,



u(t)

2
2
,



u(t)

2
2

,

F(x, t) = f (x, t, u
m−1
) +
N−1
∑
i=1
1
i!
D
i
3
f (x, t, u
m−1

)
(

u − u
m−1
)
i
,
Chương 1. Bài toán biên cho phương trình sóng một chiều 17
với

u =
∑
k
j=1
c
j
(t) w
j
. Khi đó, rõ ràng rằng c
(k)
m
(t) =

c
(k)
m1
(t), c
(k)
m2

(t), , c
(k)
mk
(t)

là
nghiệm của hệ phương trình tích phân (1.1.8) trên

0, T
(k)
m

khi và chỉ khi
c
(k)
m
(t) = H

c
(k)
m

(t), ∀t ∈

0, T
(k)
m

.
Do đó, để kết thúc, ta chỉ cần chứng minh H có duy nhất điểm bất động. Với

R > 0, đặt S =
{
c ∈ Y : c
Y
≤ R
}
. Ta sẽ chứng minh H : S → S là một ánh xạ
co khi R đủ lớn và T
(k)
m
đủ bé.
Chứng minh H : S → S, với R và T
(k)
m
thích hợp
Xét c =
(
c
1
, c
2
, , c
k
)
∈ S, ta có


u(t)

2

≤ |c(t)|
1
≤ c
Y
≤ R,



u(t)

2
≤ λ
k
|c(t)|
1
≤ λ
k
R,
với mọi t ∈

0, T
(k)
m

. Từ đây suy ra, nhờ giả thiết của hàm µ,

µ(t) = µ

t,



u(t)

2
2
,



u(t)

2
2

≤ µ
0

1 + R
2p
+ λ
2p
k
R
2p

. (1.1.9)
Mặt khác, dễ thấy rằng

F(x, t) =
N−1

∑
j=0
φ
j
(
x, t, u
m−1
) (

u(x, t)
)
j
,
trong đó φ
j
(
x, t, u
m−1
)
=
∑
N−1
i=j
1
j!(i−j)!
(−1)
i−j
D
i
3

f (x, t, u
m−1
) u
i−j
m−1
. Kết hợp với
các giả thiết của hàm f (x, t, u), ta thu được đánh giá




F(x, t)



≤
|
φ
0
(
x, t, u
m−1
)
|
+
N−1
∑
j=1



φ
j
(
x, t, u
m−1
)





(

u(x, t)
)
j



≤
|
φ
0
(
x, t, u
m−1
)
|
+
N−1

∑
j=1
q
j
(M, T, f )



(

u(x, t)
)
j



, (1.1.10)
trong đó q
j
(M, T, f ), j = 1, , N −1, là các hằng số không phụ thuộc R và T
(k)
m
.
Từ biểu thức của H
j
(c) (t) và các đánh giá (1.1.9) −(1.1.10), ta suy ra tồn tại
hằng số dương D
1
, độc lập với T
(k)

m
và R, và hằng số dương D
2
, độc lập với T
(k)
m
,
sao cho


H
j
(c) (t)


≤ D
1
+ D
2

T
(k)
m

2
, ∀t ∈

0, T
(k)
m


, j ∈ {1, 2, , k}.
Chương 1. Bài toán biên cho phương trình sóng một chiều 18
Điều này dẫn đến

H(c)

Y
≤ D
1
+ D
2

T
(k)
m

2
.
Lần lượt chọn R > D
1
và T
(k)
m
∈ (0, T] thỏa T
(k)
m
≤

1

D
2

R − D
1

, ta suy ra điều
phải chứng minh.
Chứng minh H là ánh xạ co khi T
(k)
m
đủ bé
Cho c =
(
c
1
, c
2
, , c
k
)
, e =
(
e
1
, e
2
, , e
k
)

∈ S. Ta ký hiệu

µ
c
(t) = µ

t,


u(t)

2
2
,



u(t)

2
2

,

µ
e
(t) = µ

t,



v(t)

2
2
,



v(t)

2
2

,
trong đó

u(t) =
∑
k
j=1
c
j
(t) w
j
,

v(t) =
∑
k

j=1
e
j
(t) w
j
. Khi đó, với j ∈ {1, 2, , k} và
0 ≤ t ≤ T
(k)
m
, ta có


H
j
(c) (t) − H
j
(e) (t)


≤ λ
j

t
0
ds

s
0




µ
c
(τ)

c
j
(τ) −e
j
(τ)



dτ
+ λ
j

t
0
ds

s
0


(

µ
c
(τ) −


µ
e
(τ)
)
e
j
(τ)


dτ
+
k
∑
i=1

t
0
ds

s
0




φ
i
(
·, τ, u

m−1
)


u
i
(τ) −

v
i
(τ)

, w
j




dτ. (1.1.11)
Ta đánh giá lần lượt các số hạng trong vế phải của (1.1.11) như sau
Đánh giá J
1
= λ
j

t
0
ds

s

0



µ
c
(τ)

c
j
(τ) −e
j
(τ)



dτ.
Tương tự như (1.1.9), ta có
|

µ
c
(t)
|
≤ µ
0

1 + R
2p
+ λ

2p
k
R
2p

, ∀t ∈

0, T
(k)
m

.
Từ đây suy ra
J
1
≤ λ
k
µ
0

1 + R
2p
+ λ
2p
k
R
2p


t

0
ds

s
0
|c(τ) −e(τ) |
1
dτ. (1.1.12)
Đánh giá J
2
= λ
j

t
0
ds

s
0


(

µ
c
(τ) −

µ
e
(τ)

)
e
j
(τ)


dτ.
Trước hết ta lưu ý rằng, với mọi t ∈

0, T
(k)
m

,

µ
c
(t) −

µ
e
(t) = D
2
µ
(
ξ
)




u(t)

2
2
−


v(t)

2
2

+ D
3
µ
(
ξ
)




u(t)

2
2
−




v(t)

2
2

,
Chương 1. Bài toán biên cho phương trình sóng một chiều 19
trong đó ξ =

t, θ


u(t)

2
2
+ (1 − θ)


v(t)

2
2
, θ



u(t)

2

2
+ (1 − θ)



v(t)

2
2

, và
θ ∈ (0, 1). Do đó, ta suy ra từ giả thiết của hàm µ và tính bị chặn của


u(t)

2
2
,


v(t)

2
2
,



u(t)


2
2
và



v(t)

2
2
, rằng
J
2
≤ ζ
2

t
0
ds

s
0
|c(τ) −e(τ) |
1
dτ, (1.1.13)
trong đó ζ
2
là một hằng số dương độc lập với c, e và T
(k)

m
.
Đánh giá J
3
=
∑
k
i=1

t
0
ds

s
0



φ
i
(
·, τ, u
m−1
)


u
i
(τ) −


v
i
(τ)

, w
j



dτ.
Với t ∈

0, T
(k)
m

, ta có thể viết

u
i
(t) −

v
i
(t) =
i
∑
j=0
(


u(t)
)
j
(

v(t)
)
i−j−1
(

u(t) −

v(t)
)
.
Do đó, dễ dàng suy ra rằng, tồn tại một hằng số ζ
3
> 0, độc lập với c, e và T
(k)
m
sao cho
J
3
≤ ζ
3

t
0
ds


s
0
|c(τ) −e(τ) |
1
dτ. (1.1.14)
Kết hợp (1.1.11) với các đánh giá (1.1.12) - (1.1.14), ta được


H
j
(c) (t) − H
j
(e) (t)


≤ ζ

t
0
ds

s
0
|c(τ) −e(τ) |
1
dτ ≤ ζ

T
(k)
m


2
c −e
Y
,
với mọi t ∈

0, T
(k)
m

và j ∈ {1, 2, , k}. Điều này dẫn đến

H(c) − H(e)

Y
≤ ζ

T
(k)
m

2
c −e
Y
.
Vậy, ta có thể chọn T
(k)
m
đủ bé sao cho H : S → S là một ánh xạ co. Khi đó, H có

duy nhất một điểm bất động. Bổ đề được chứng minh hoàn toàn. 
Bước 2. Đánh giá tiên nghiệm.
Ta ký hiệu
S
(k)
m
(t) = X
(k)
m
(t) + Y
(k)
m
(t) +

t
0




··
u
(k)
m
(s)




2

2
ds, (1.1.15)
và
s
(k)
m
(t) = x
(k)
m
(t) + y
(k)
m
(t) +

t
0




··
u
(k)
m
(s)




2

2
ds, (1.1.16)
Chương 1. Bài toán biên cho phương trình sóng một chiều 20
trong đó

























X

(k)
m
(t) =




·
u
(k)
m
(t)




2
2
+ µ
(k)
m
(t)a

u
(k)
m
(t), u
(k)
m
(t)


,
Y
(k)
m
(t) = a

·
u
(k)
m
(t),
·
u
(k)
m
(t)

+ µ
(k)
m
(t)



∆u
(k)
m
(t)




2
2
,
x
(k)
m
(t) =




·
u
(k)
m
(t)




2
2
+ µ
∗
a

u
(k)

m
(t), u
(k)
m
(t)

,
y
(k)
m
(t) = a

·
u
(k)
m
(t),
·
u
(k)
m
(t)

+ µ
∗



∆u
(k)

m
(t)



2
2
.
(1.1.17)
Từ (1.1.5), (1.1.15) và (1.1.17) ta suy ra rằng
S
(k)
m
(t) = S
(k)
m
(0) +

t
0
·
µ
(k)
m
(s)

a

u
(k)

m
(s), u
(k)
m
(s)

+



∆u
(k)
m
(s)



2
2

ds
+ 2

t
0

F
(k)
m
(s),

·
u
(k)
m
(s)

ds + 2

t
0
a

F
(k)
m
(s),
·
u
(k)
m
(s)

ds
+

t
0





··
u
(k)
m
(s)




2
2
ds = S
(k)
m
(0) +
4
∑
j=1
I
j
. (1.1.18)
Bổ đề 1.1.4. Tồn tại một hằng số

µ
1
độc lập với m, k, M và T sao cho





·
µ
(k)
m
(t)




≤

µ
1

1 +

s
(k)
m
(t)

p
+

s
(k)
m
(t)


p+1

, 0 ≤ t ≤ T
(k)
m
. (1.1.19)
Chứng minh bổ đề 1.1.4. Ta có
·
µ
(k)
m
(t) = D
1
µ

t,



u
(k)
m
(t)



2
2
,




∆u
(k)
m
(t)



2
2

+ 2D
2
µ

t,



u
(k)
m
(t)



2
2
,




∆u
(k)
m
(t)



2
2

u
(k)
m
(t),
·
u
(k)
m
(t)

+ 2D
3
µ

t,




u
(k)
m
(t)



2
2
,



∆u
(k)
m
(t)



2
2

u
(k)
m
(t), 
·
u

(k)
m
(t)

. (1.1.20)
Sử dụng các bất đẳng thức



u
(k)
m
(t)



2
≤

2
C
0
a

u
(k)
m
(t), u
(k)
m

(t)

≤

2
C
0
µ
∗

s
(k)
m
(t), (1.1.21)



u
(k)
m
(t)



2
≤

a

u

(k)
m
(t), u
(k)
m
(t)

≤
1
µ
∗

s
(k)
m
(t), (1.1.22)




·
u
(k)
m
(t)




2

≤

s
(k)
m
(t), (1.1.23)