Bài giảng Dao động kỹ thuật Bài 2: Dao động tự do có cản

Bài 2: Dao động tự do có cản Kalyrus
MỞ ĐẦU
Bài trước chúng ta đã nghiên cứu các hệ dao động tự do một bậc tự do không
cản, cụ thể chúng ta đã đi xây dựng phương trình vi phân dao động, giải ptvp và
tìm ra qui luật chuyển động trong trường hợp đơn giản này. Tuy nhiên trong thực tế
yếu tố cản trở dao động luôn luôn xuất hiện, điều đó có nghĩa là năng lượng dao
động của hệ bị hao phí bằng cách chuyển hóa dần sang dạng khác. Như vậy để thu
được các kết quả nghiên cứu có ý nghĩa cao, sát với các bài toán thực tế thì bắt
buộc phải thêm các yếu tố cản vào trong mô hình hệ dao động. Các yếu tố cản
chính là các lực cản, mà trong thực tế có hai loại lực cản phổ biến nhất là lực ma sát
nhớt và lực ma sát khô.
Bài học này chúng ta sẽ đi nghiên cứu 2 mô hình dao động tự do một bậc tự
do có cản ứng với ma sát nhớt và ma sát khô. Cụ thể ta cũng thực hiện các bước
thiết lập phương trình vi phân dao động, giải ptvp và tìm ra qui luật dao động.
Chúng ta cũng sẽ nghiên cứu một ví dụ cụ thể trong mục III.
I. DAO ĐỘNG TỰ DO CÓ MA SÁT NHỚT
A. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG
Xét cơ hệ dao động đơn giản như hình 2.1.
Vật nặng khối lượng m
Lò xo có độ cứng c
Lực cản nhớt tỉ lệ bậc nhất với vận tốc:
F bq= −
&
Trong đó b – hệ số cản nhớt, dấu “–” thể hiện lực
cản luôn ngược chiều với vận tốc.
Chọn tọa độ suy rộng q – là chuyển vị của vật m tính từ vị trí cân bằng.
Áp dụng ĐL II Newton ta thu được phương trình chuyển động là:
0mq bq cq mq bq cq= − − ⇔ + + =
&& & && &
Phương trình vi phân dao động của hệ có dạng:
0=++ cqqbqm

&&&
(2.1)
B. TÌM NGHIỆM CỦA PTVP DAO ĐỘNG
Đặt
δω
2;
2
==
m
b
m
c
o

Khi đó phương trình (2.1) trở thành:

02
2
=++ qqq
o
ωδ
&&&
(2.2)
Đây chính là PTVP tuyến tính cấp 2 thuần nhất
PT đặc trưng:
02
22
=++
o
ωδλλ

+
o
ωδ
<
(lực cản nhỏ):
2 2
1,2 o
i
λ δ ω δ
= − ± −
+
o
δ ω
≥
(lực cản lớn):
2 2
1,2 o
λ δ δ ω
= − ± −
1. Trường hợp lực cản nhỏ
Nghiệm phương trình vi phân (2.2) có dạng:
Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do
1
m
q
b
c
Bài 2: Dao động tự do có cản Kalyrus
)sincos(
21

tCtCeq
t
ωω
δ
+=
−
. (2.3)
Trong đó:
22
δωω
−=
o
C
1
, C
2
được xác định từ điều kiện biên:
t=0:
ω
δ
oo
ooo
qq
CqCqqqq
+
==⇒==
&
&&
21
;)0(;)0(

Nếu đặt
2 2
1
1 2
2
;
C
A C C tg
C
β
= + =
Khi đó pt (2.3) có thể viết dưới dạng:
)sin(
βω
δ
+=
−
tAeq
t
. (2.4)
* Nhận xét:
+ Khi lực cản đủ nhỏ, hệ thực hiện dao động tắt dần;
+ Độ lệch:
t
Ae
δ
−
giảm theo qui luật mũ, tiệm cận tới 0 (hình vẽ);
+ Qui ước gọi:
22

δωω
−=
o
– tần số riêng ;
ω
π
2
=T
– chu kì;
t
Ae
δ
−
– biên độ của dao động tắt dần.
Để đặc trưng cho độ tắt dần của dao động
tự do có cản nhớt ta đưa vào khái niệm độ
tắt loga.
+ Độ tắt lôga: Là logarit của tỷ số giữa hai biên độ kế tiếp nhau bất kỳ.
+
( )
ln
( )
q t
T
q t T
δ
Λ = =
+
- Độ tắt lôga.
Độ tắt loga đặc trưng cho độ giảm biên độ của dao động tắt dần. Trong thực tế

người ta thường xác định tỷ số hai biên độ dao động sau k chu kỳ.
Tổng quát:
1 ( )
ln
( )
q t
T
k q t kT
δ
Λ = =
+
; k là số chu kỳ dao động.
2. Trường hợp lực cản lớn
Nghiệm phương trình vi phân (2.2) có dạng:
( )
βωδ
δ
+−=
−
tshAeq
o
t 22
(2.5)
Đường biểu diễn q=q(t) cắt trục t không quá 1 lần (do PT q(t)=0 có nhiều nhất 1
nghiệm) và
0)(lim =
∞→
tq
t
.

Vậy chuyển động của hệ là chuyển động tắt dần, không dao động.
3. Trường hợp lực cản tới hạn
Tính chất của cản tới hạn được sử dụng trong nhiều ứng dụng thực tế. Chẳng
hạn, những khẩu súng cớ lớn đều có những bộ phận giảm chấn được thiết kế vớ trị
số cản tới hạn để sau khi giật lùi chúng sẽ trở về vị trí ban đầu trong thời gian ngắn
Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do
2
q(t)
t
Bài 2: Dao động tự do có cản Kalyrus
nhất mà không thực hiện các dao động. Nếu sức cản được tạo ra lớn hơn giá trị tới
hạn thì sẽ xảy ra một khoảng thời gian trễ trước khi thực hiện phát bắn tiếp theo.
Nghiệm tổng quát:
1 2
( )
t
q e C t C
δ
−
= +
(2.6)
Chuyển động của hệ là tắt dần, không dao động.
Ký hiệu:
mc
b
m
b
D
oo
2

2
ωω
δ
==
– độ cản Lehr
Khi đó phương trình vi phân (3.2) có dạng:
02
2
=++ qqDq
oo
ωω
&&&
(2.7)
Do
⇒−=−
222
1 D
oo
ωδω
chuyển động của hệ được phân thành 3 trường hợp:
- D<1 (
o
ωδ
<
): độ cản nhỏ
⇒
chuyển động của hệ là dao động tắt dần.
- D=1 (
o
ωδ

=
): độ cản tới hạn
- D>1 (
o
ωδ
>
): độ cản lớn
⇒
trong 2 trường hợp này chuyển động của hệ tắt dần, không dao động.
Hệ thức liên hệ giữa độ tắt loga và độ cản Lehr:
2
2
1
D
T
D
δ π
Λ = =
−
II. DAO ĐỘNG TỰ DO CÓ MA SÁT KHÔ
Giảm chấn Coulomb hay giảm chấn ma sát khô được sử dụng trong nhiều hệ cơ
học do sự đơn giản hay thuận tiện về mặt cơ học của chúng. Cũng trong các kết cấu
dao động mỗi khi sảy ra trượt tương đối giữa các bộ phận thì đều xuất hiện lực ma
sát khô. Lực cản Coulomb sinh ra khi các vật trượt trên các bề mặt khô. ĐL
Coulomb về ma sát khô được phát biểu rằng: Khi 2 vật thể tiếp xúc với nhau, lực
cần thiết để có thể gây trượt tỷ lệ với lực pháp tuyến tác dụng trên mặt phẳng tiếp
xúc. Theo đó lực ma sát F được tính theo biểu thức
ms
F mg
µ

=
. Trong đó N là lực
pháp tuyến,
µ
là hệ số ma sát.
A. THIẾT LẬP PTVP DAO ĐỘNG
Xét dao động của hệ mô tả trên hình vẽ.
Lực ma sát trượt khô (hay ma sát Coulomb) có hướng phụ thuộc vào vận tốc vật
thể, hệ số ma sát trượt động là
µ
ms
mg
F
mg
µ
µ
−

=



0
0
q
q
>
<
&
&

Phương trình vi phân dao động của hệ có dạng:
0, 0
0, 0
mq cq mg q
mq cq mg q
µ
µ
+ − = <


+ + = >

&& &
&& &

(2.8)
(2.9)
B. TÌM NGHIỆM CỦA PTVP DAO ĐỘNG
Đặt:
2
;
o
c mg
s
m c
µ
ω
= = ⇒
PT (2.8), (2.9) trở thành:
Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do

3
m
q
c
F
ms
0
0
>
<
q
q
&
&
Bài 2: Dao động tự do có cản Kalyrus
2
2
( )'' ( ) 0, ' 0
( )'' ( ) 0, ' 0
o
o
q s q s q
q s q s q
ω
ω

− + − = <


+ + + = >




(2.10)
(2.11)
Nghiệm tổng quát:
1 1
2 2
cos( ) , ' 0
cos( ) , ' 0
o
o
q A t s q
q A t s q
ω α
ω α
= + + <


= + − >


(2.12)
(2.13)
⇒
Chu kỳ dao động của hệ là:
c
m
T
o

π
ω
π
2
2
==
.
Để xác định biểu thức nghiệm, cần phải biết các điều kiện đầu.
Giả sử tại t=0:
0
(0)q q=

, (0) 0q =
&
* Trong nửa đầu của chu kì đầu
( 0)q <
&
ta có:
1 0 1
( ) cos( )q t A t s
ω α
= + +

Các hằng số
1
A
và
1
α
được xác định từ điều kiện đầu. Ta có các phương trình

1 1
1 1
(0) cos
(0) sin 0
o
o
q A s q
q A
α
ω α
= + =

⇒

= − =

&
Vậy
1 1
0,
o
A q s
α
= = −
Do đó trong nửa chu kỳ đầu
0
o
t
π
ω

 
≤ ≤
 ÷
 
vật dao động theo
quy luật:
( ) ( )cos
o o
q t q s t s
ω
= − +
(2.14)
* Trong nửa sau của chu kỳ đầu (
0>q
&
):
Từ (2.14) ta xác định được điều kiện đầu:
;
2
( )cos 2
2
0
2
o
o
o o
T
t
T
q q s s s q

T
q
π
ω
π
= =

 
= − + = −
 ÷

  

 

=
 ÷

 

&
Ta có:
2 2
( ) cos( )
o
q t A t s
ω α
= + −
Hằng số
2

A
và
2
α
được xác định từ các điều kiện đầu. Ta có các phương trình
( )
( )
2 2
0
0 2 2
0
cos 2
2
sin 0
2
o
T
q q A s s q
T
q q A
π
π α
ω
π
ω π α
ω
 
 
= = + − = −
 ÷

 ÷
 
 
 
 
= = − + =
 ÷
 ÷
 
 
& &
Từ 2 pt trên suy ra
2 2
0, 3
o
A q s
α
= = −
Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do
4
t
q
q
o
s
s
Bài 2: Dao động tự do có cản Kalyrus
Vậy trong nửa thứ hai của chu kỳ đầu









≤≤
oo
t
ω
π
ω
π
2
vật điểm dao động theo quy
luật:
( ) ( 3 )cos
o o
q t q s t s
ω
= − −
(2.15)
Biểu thức (3.15) cho ta xác định điều kiện đầu cho dao động ở nửa chu kỳ thứ hai
0
( ) 4q T q s= −
,
0)( =Tq
&
Tính toán tương tự như trên, cuối cùng ta xây dựng được đồ thị dao động tự do có
ma sát khô ứng với điều kiện đầu

0: (0) 0t q= =

, (0) 0q =
&
có dạng như hình vẽ
trên.
III. VÍ DỤ
Một máy bay hạ cánh được mô hình hóa cơ học bởi một hệ gồm khối lượng m, lò
xo có độ cứng c và lực cản tuyến tính với hệ số cản b. Khi hạ cánh, lực nâng và
trọng lượng máy bay cân bằng nhau, vận tốc hạ xuống là v
hc
= 2 m/s. Sau khi hạ
cánh, máy bay bị hãm và lăn chậm trên đường băng. Biết m = 10
3
kg; c = 3.10
3
N/m; b = 2,74.10
3
Ns/m ( hình vẽ)
Coi u là tọa độ trọng tâm của máy bay khi bắt đầu hạ cánh. Xác định:
a) Tần số dao động theo phương thẳng đứng của máy bay
b) Quá trình dao động thẳng đứng và gia tốc theo phương thẳng đứng của máy bay
khi lăn trên đường băng.
Lời giải
Phương trình dao động của máy bay theo phương thẳng đứng khi chạm đất với lực
nâng F(t):
( ) 0mu bu cu F t mg+ + = − =
&& &

với điều kiện đầu:

u(0) = 0;
(0) v 2 / ;
hc
u m s= − = −
&

a) Tần số riêng và độ cản
2 2 1
0
3 ; 1,37
2
c b
s s
m m
ω δ
− −
= = = =

Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do
c mg
u
b
F(t)
5
Bài 2: Dao động tự do có cản Kalyrus
Tần số dao động tắt dần
2 2 1
0
1,06 s
ω ω δ

−
= − =

b) Nghiệm của phương trình vi phân tìm được ở dạng:
( ) sin( )
( ) sin( ) cos( )
t
t t
u t Ae t
u t Ae t Ae t
δ
δ δ
ω α
δ ω α ω ω α
−
− −
= +
= − + + +
&

Từ điều kiện đầu: u(0) = 0;
(0) v 2 / ;
hc
u m s= − = −
&
ta nhận được:
A = -0,326 m;
α
= 0.
Do đó dao động theo phương thẳng đứng trong khi máy bay lăn trên đường băng là:

1,37
( ) 0,326 sin(6,13 )
t
u t e t
−
= −
Gia tốc theo phương thẳng đứng
1,37
( ) [5,48cos(6,13 ) 11,65sin(6,13 )]
t
u t e t t
−
= +
&&

2
max
10,23 /u m s=
&&
khi t = 0,15s.
IV. BÀI TẬP
Học viên tự nghiên cứu, giải các bài tập giáo viên giao : 1.2.1÷1.2.6 sách bài tập
Đặt câu hỏi, yêu cầu giáo viên giải đáp.
KẾT LUẬN
Trong bài học này chúng ta đã biết rằng trong thực tế các hệ dao động
thường là tắt dần theo thời gian. Nguyên nhân là do sự ảnh hưởng của các lực cản.
Có hai dạng lực cản phổ biến trong thực tế là lực ma sát nhớt và lực ma sát khô.
Mô hình hệ dao động kỹ thuật trong bài này như một bài toán tổng quát, nó là cơ sở
để học viên tự nghiên cứu và giải các bài tập về hệ dao động tự do có cản một bậc
tự do tương tự.

HƯỚNG DẪN NGHIÊN CỨU
Để thuận tiện cho việc tự nghiên cứu và học tập tại đơn vị các học viên cần tự
thực hiện các nội dung sau:
- Nắm chắc trọng tâm của bài mục …
- Nghiên cứu sách giáo trình “Dao động kỹ thuật” - Nguyễn Văn Khang
trang [48-57];
- Nghiên cứu thí dụ 1.8, 1.10 và làm các bài tập 1.2.1÷1.2.6 sách bài tập.
Ngày tháng năm 2015
NGƯỜI BIÊN SOẠN
Kalyrus
Chương 1: Dao động tuyến tính một bậc tự do
6