bài tập hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy

Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt 1

BTVN BÀI 02: HÌNH CHÓP TỨ GIÁC CÓ CẠNH BÊN VUÔNG GÓC VỚI ĐÁY.
1) Bài 1: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, cạnh bên SA=h vuông góc với
đáy. Gọi M, N lần lượt là các điểm di động trên các cạnh BC và CD sao cho
0
45
MAN =

. Đặt
BM=x, DN=y
(
)
0 ,
x y a
≤ ≤
. CMR:
(
)
2
a x y a xy
+ = −
. Tìm x,y sao cho thể tích khối chóp
S.AMN có giá trị nhỏ nhất.
Giải:
- C/M
(
)
2

a x y a xy
+ = −
:
Gọi
0
45
BAM
DAN
α
α β
β
=

⇒ + =

=




( )
( )
2
tan tan
1 tan
1 tan tan
1 1
1 .
x y
a x y

a b
x y
a xy
a b
α β
α β
α β
+
⇒ = + =
−
+
+
⇔ = ⇔ =
−
−

(
)
2
a xy a x y
⇔ − = + ⇒
ĐPCM
- Tìm x, y sao cho V Min:
Ta có
0
.
1 1 2
. . . .sin 45 .
3 6 2
S AMN AMN

h
V SA S SA AM AN AM AN
= = =


Vậy
(
)
(
)
2 2 2 2
.
Min
V AM AN a x a y Min
⇔ = + + . Ta có:
(
)
(
)
(
)
(
)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
4 2
2 2
. tan tan
os os os os
AM AN a x a y a a a a
a a

c c c c
α β
α β α β
= + + = + +
= =

V
ậ
y
(
)
(
)
2 2 2 2
os os ax
a x a y Min c c M
α β
+ + ⇔
mà

( ) ( )
( )
( )
1 1 2 1 2 2 2
os os os os os 1
2 2 2 2 2 4
c c c c c
α β α β α β α β
   
+

= + + − = + − ≤ + =
   
   
   

V
ậ
y
( )
2
2
4
2 2 2 a tan
4
8 8
2 2
Min
ha
V ha x y
π
α β
π π
α β
α β

+ =

= = − ⇔ ⇔ = = ⇔ = =

+


=


Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 2 of 4
2) Bài 2: Hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông tâm O, SA
⊥
(ABCD), AB = a, SA = a
2
.
H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SD.
CMR: SC
⊥
(AHK) và tính thể tích hình chóp OAHK.

Giải:
AH
⊥
SB (gt) (1)
BC
⊥
AB (vì ABCD là hình vuông)
BC
⊥
SA (vì SA
⊥
(ABCD))
⇒BC

⊥
(SAB) BC
⊥
AH (2)
Từ (1) (2) ⇒AH
⊥
(SBC ⇒AH
⊥
SC (3)
Chứng minh tương tự ta có: SC
⊥
AK (4)
Từ (3) (4) ⇒ SC
⊥
(AKH)
Gọi {F} = KH ∩ SO ⇒ (SAC) ∩ (AHK) = AF
Kéo dài AF cắt SC tại N
Trong (SAC) kẻ đường thẳng qua O//SC cắt AN tại E ⇒ OE
⊥
(AHK)
Vì OA = OC; OE // CN => OE =
1
2
CN
Tam giác vuông SAD có
1 1 1
2 2 2
AK AS AD
= + ⇒ AK =
2.

.
2
3
2 2 2
3
a a
AS AD
a
AS AD a
= =
+

Dễ thấy AH =
2
3
a
. ∆AKH cân tại A. Dễ thấy ∆SBD có
SK
KH
BD
SD
=

mà SK =
2 2 2 2
2
2
2
3
3

a
SA AK a a− = − = . SD = a
3
⇒
2
2
3
3 3
a SF
KH
BD
SO
a
= = =
HK =
2
3
BD =
2
2
3
a

OF =
1
3
SO
⇒
1
2

OF
SF
=

∆
SAC có : OA = OC
⇒
1
2
OE OF
SN SF
= =
⇒
OE =
1
2
SN =
1
2
a
S
∆
AHK =
1
2
KH.
2
2
4
HK

AK − =
2
2 2
9
a

⇒
V =
AHK
1
.
3
OE S
∆
=
3
2
27
a

3) Bài 3:
Cho hình chóp có ABCD là hình ch
ữ
nh
ậ
t; AB = a.AD = 2a; SA
⊥
(ABCD);

(SA, (ABCD) = 60

o
.
Đ
i
ể
m M thu
ộ
c c
ạ
nh SA,
Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi tr
ườ
ng chung c
ủ
a h
ọ
c trò Vi
ệ
t Page 3 of 4
AM =
3
3
a
.(BCM)
∩
SD ={ N}.
Tính th
ể

tích hình chóp S.BCMN.

Giải:
Ta có SAB=60
0

∆SAB vuông tại A có AM =
3
3
a
, AB = a ⇒ ABM = 30
0

Kẻ SH⊥ BM thì SH là đương cao của hình chóp S.BCMN
ta có SH=SB sin 30
0
= a
BC//(SAD) ⇒MN//BC ⇒
SM MN
SA AD
=

⇒MN =
. 4
3
AD SM a
SA
=
⇒
SBCMN

=
2
1 10
( ).
2
3 3
a
MN BC BM+ =

⇒
VSBCMN =
1
.
3
SH
SBCMN
=

3
10 3
27
a


4) Bài 4:
Hình chóp SABCD có
đ
áy là hình vuông, SA
⊥
(ABCD). (SC, (SAB)) =

α
. M
ặ
t ph
ẳ
ng (P)

qua A và vuông góc SC chia hình chóp thành hai ph
ầ
n. Tính t
ỉ
s
ố
th
ể
tích hai ph
ầ
n
đ
ó.


Giải:

Kí hi
ệ
u K
1
= V
SMAQN

. V
2
= V - V
1
. G
ọ
i O = AC
∩
BD


∆
SAC k
ẻ
AN
⊥
SC. E = SO
∩
AN
⇒
E
∈
(P)
Vì (P)
⊥
SC
Mà BD
⊥
SC
BD

⊥
AC
BD
⊥
SA

⇒
BD
⊥
(SAC) . BD
⊂
(SAC)

⇒
(P) // (SBD)
⇒
(P)
∩
(SBD) = MQ //BD
CB
⊥
AB (gt)
CB
⊥
SA (vì SA
⊥
(ABCD))
⇒
CB
⊥

(SAB)
⇒ (S
C, (SAB)) = CSB =
α

Bài 02: Hình chóp tứ giác có cạnh bên vuông góc với đáy – CĐ Thể tích khối đa diện
Thầy Trịnh Hào Quang
Hocmai.vn – Ngôi trường chung của học trò Việt Page 4 of 4
V
1
= 2V
SANQ
, V = 2V
SACB
.
1
.
V
SANQ SQ
V SN
V V
SC SB
SACB
= =
Tam giác vuông SAC: SA
2
= SC.SN
⇒
SN =
2

SA
SC

Tam giác vuông SAB: SA
2
= SB.SQ
⇒
SQ =
2
SA
SB


2 2 2
2
1
. ( )
2 2 .
V
SA SA SA
V
SB SC
SC SB
⇒ = =

BC
⊥
AB (gt)
BC
⊥

SA (v× SA
⊥
(ABCD))
⇒
BC
⊥
SB
Tam giác vuông SBC: cos
α
=
SB
SC

⇒
SC =
cos
SB
α

Tam giác vuông SAB: SA
2
= SB
2
- AB
2
= SB
2
- BC
2
= SB

2
- SB
2
tan
α


1
os
2
2
(1 tan )
2
(cos sin ) 1 sin 2
.
SA
c
SB
SB
V
V
α
α
α α α
−
= = − = −
 
 
 

(1 sin2 )
1 sin2
1 1
(1 1 sin2 ) sin2
1
V V
V
V V V
V
α
α
α α
−
−
⇒ = = =
−
− +



====================Hết==================


Giáo viên: Trịnh Hào Quang
Nguồn:
Hocmai.vn