GIẢI Ý KHÓ TRONG CÂU THỂ TÍCH KHÔI ĐA ĐIỆN BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.6 MB, 57 trang )
PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
I. Lý thuyết
Với hình lập phương hoặc hình hộp chữ nhật ''''. DCBAABCD
Với hình lập phương .
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)ABaCaa a
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ; )
A
a B a a C aaa aa
Với hình hộp chữ nhật.
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
(0;0;0) ; ( ;0;0) ; ( ; ;0) ; D(0; ;0)ABaCab b
'(0;0; ) ; '( ;0; ) ; '( ; ; ) ; D'(0; ;c)
A
cBacCabc b
Với hình hộp đáy là hình thoi ''''. DCBAABCD
Chọn hệ trục tọa độ sao cho :
- Gốc tọa độ trùng với giao điểm O của
hai đường chéo của hình thoi ABCD
- Trục
Oz đi qua 2 tâm của 2 đáy
Với hình chóp tứ giác đều S.ABCD
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh hình vuông bằng a và
đường cao
SO h
Chọn O(0;0;0) là tâm của hình vuông
Khi đó :
0;0;
2
2
;0;0;
2
2 a
C
a
A
22
0; ;0 ; 0; ;0 ; (0;0; )
22
aa
B
DSh
Với hình chóp tam giác đều S.ABC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Giả sử cạnh tam giác đều bằng a và
đường cao bằng
h . Gọi I là trung điểm
của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
A
B
C
D
D’
C
A’
B’
O
O’
x
y
B’
A
D
C
B
D’
A’
C’
y
z
x
z
B
D
C
A
O
S
x
y
z
C
A
S
y
z
cho I(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; ;0;0
22
aa
AB
33
0; ;0 ; S 0; ;
26
aa
Ch
Với hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật và SA
(ABCD)
ABCD là hình chữ nhật
;AB a AD b
chiều cao bằng
h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; ; ;0
B
aCab
0; ;0 ; (0;0; )Db S h
Với hình chóp S.ABC có ABCD là hình thoi và SA
(ABCD)
ABCD là hình thoi cạnh
a
chiều cao bằng
h
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho O(0;0;0)
Với hình chóp S.ABC có SA
(ABC) và
ABC vuông tại A
Tam giác ABC vuông tại A có
;
A
BaACb
đường cao bằng h .
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; C 0; ;0
B
ab
S 0;0;h
Với hình chóp S.ABC có SA
(ABC) và
ABC vuông tại B
B
D
C
A
O
S
x
y
z
B
D
C
A
O
S
x
y
z
B
C
A
S
x
y
z
Tam giác ABC vuông tại B có
;
B
AaBCb đường cao bằng
h
.
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho B(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; C 0; ;0Aa b
S ;0;ah
Với hình chóp S.ABC có (SAB)
(ABC),
SAB cân tại S
và
ABC vuông tại C
ABC vuông tại C
;CA a CB b
chiều cao bằng
h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho C(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; B 0; ;0Aa b
( ; ;)
22
ab
Sh
Với hình chóp S.ABC có (SAB)
(ABC),
SAB cân tại S
và
ABC vuông tại A
ABC vuông tại A
;
A
BaACb
chiều cao bằng
h
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; C 0; ;0
B
ab
(0; ;)
2
a
Sh
Với hình chóp S.ABC có (SAB)
(ABC),
SAB cân tại S
và
ABC vuông cân tại C
z
B
C
A
S
x
y
B
C
A
H
S
x
y
z
B
C
A
H
S
x
y
z
Tam giác ABC vuông cân tại C có
CA CB a đường cao bằng h .
H là trung điểm của AB
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho H(0;0;0)
Khi đó : ;0;0 ; A 0; ;0
22
aa
C
B 0; ;0 ; S 0;0;
2
a
h
II. Bài tập áp dụng
Bài toán 1.
Cho tứ diện OABC có các tam giác OAB,OBC,OCA đều là tam giác vuông tại đỉnh O. Gọi
, , lần lượt là góc hợp bởi các mặt phẳng (OBC),(OCA),(OAB) với mặt phẳng (ABC).Chứng minh
rằng :
1coscoscos
222
( SGK Hình 11, trang 96, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000, SGK Hình 12, trang 106, Văn Như Cương
chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau : )0;0;0(O ; )0;0;(aA ;
)0;;0( bB );0;0( cC ;
)0 ; ; ( baAB
) ; 0 ; ( caAC
Tìm vectơ pháp tuyến của :
Mặt phẳng (ABC)
Mặt phẳng (OBC)
Mặt phẳng (OCA)
Mặt phẳng (OAB)
) ; ; (, abacbcACABn
)0 ,0 ,1 (i vì : )(OBCOx
)0 ,1 ,0 (j vì : )(OCAOy
)1 ,0 ,0 (k vì : )(OABOz
Sử dụng công thức tính góc giữa hai
mặt phẳng:
)(),(coscos ABCOBC
)(),(coscos ABCOBC
)(),(coscos ABCOBC
222222
.
cos
baaccb
cb
222222
.
cos
baaccb
ac
H
B
C
A
S
x
y
z
x
y
z
A
B
C
C’
O
222222
.
cos
baaccb
ba
Kết luận
1coscoscos
222222
222222
222
baaccb
baaccb
Bài toán 2. Bằng phương pháp toạ độ hãy giải bài toán sau :
Cho hình lập phương
''''. DCBAABCD
có cạnh bằng a.
a.Chứng minh rằng đường chéo
CA' vuông góc với mặt phẳng )''( DAB
b.Chứng minh rằng giao điểm của đường chéo
CA' và mặt phẳng )''( DAB là trọng tâm của
tam giác
''DAB .
c.Tìm khoảng cách giữa hai mặt phẳng
)''( DAB và )'( BDC
d.Tìm cosin của góc tạo bởi hai mặt phẳng
)'( CDA và )''( AABB
(
SGK Hình 12, trang 112, Văn Như Cương chủ biên, NXBGD 2000 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc
Oxyz như sau : )0;0;0(AO ;
);0;0(' aA
)0;0;(aB ; );0;(' aaB
)0;;( aaC ; );;(' aaaC
)0;;0( aD ; );;0(' aaD
a. Chứng minh : )''(' DABCA
Nếu
)''('
''
''
DABCA
ADCA
ABCA
Ta có :
);;0('
);0;('
);;('
aaAD
aaAB
aaaCA
Vì
''
''
00'.'
00'.'
22
22
ADCA
ABCA
aaADCA
aaABCA
Nên
)''(' DABmpCA
b. Chứng minh : G là trọng tâm của
tam giác
''D
A
B
Phương trình
tham số của đường thẳng
CA'
)(:' Rt
taz
ty
tx
CA
Gọi
)''(' DABCAG
Toạ độ giao điểm G
của đường thẳng
CA' và mặt phẳng
)''( DAB là nghiệm của hệ :
B’
A
B
C
D
D’
A’
C’
G
x
y
z
Phương trình tổng quát của mặt
phẳng
)''( DAB
0:)''( zyxDAB
Trong đó vectơ pháp tuyến của mặt
phẳng
)''( DAB
);;(','
222
1
aaaADABn
3
2
3
3
0
a
z
a
y
a
x
zyx
taz
ty
tx
3
2
;
3
;
3
aaa
G
(1)
Mặt khác :
3
2
3
33
33
''
''
''
azzz
z
ayyy
y
axxx
x
DBA
G
DBA
G
DBA
G
(2)
So sánh (1) và (2), kết luận
Vậy giao điểm G của đường chéo
CA' và
mặt phẳng
)''( DAB là trọng tâm của tam
giác
''D
A
B
c. Tính
)'(),''( BDCDABd
Phương trình tổng quát của mặt phẳng
)'( BDC 0:)'( azyxBDC Trong
đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng
)'( BDC
);;(','
222
2
aaaDCBCn
Ta có :
0:)''(
zyxDAB
0:)'(
azyxBDC
)''( DAB // )'( BDC
3
)''(,)'(),''(
a
DABBdBDCDABd
d. Tính
)''(),'(cos AABBCDA
)''( AABBOy Vec tơ pháp tuyến của
)''( AABB
là )0 ; 1 ; 0(j
Vectơ pháp tuyến của
)'( CDA
:
)1;1;0();;0(,'
222
3
aaaDCDAn
Vec tơ pháp tuyến của
)''( AABB
là )0 ; 1 ; 0(j
Vectơ pháp tuyến của
)'( CDA : )1;1;0(
3
n
2
1
)''(),'(cos AABBCDA
o
AABBCDA 45)''(),'(
Bài toán 3. Cho hình lập phương ''''. DCBAABCD có cạnh bằng a.
Chứng minh hai đường chéo ''D
B
và
B
A
' của hai mặt bên là hai đường thẳng chéo nhau. Tìm khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo nhau
''D
B
và
B
A'
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc
Oxyz như sau :
)0;0;0(AO ; );0;0(' aA ;
)0;;0( aB ; );;0(' aaB
)0;;( aaC ; );;(' aaaC
)0;0;(aD ; );0;(' aaD
A
B
C
D
D’
A’
B’
C’
x
y
z
Chứng minh
''D
B
và
B
A' chéo
nhau, ta chứng minh ba vectơ
',';'' BBBADB không đồng
phẳng.
Cần chứng minh
tích hỗn hợp của ba vectơ
',';'' BBBADB khác 0
Ta có :
)0;;('' aaDB
);;0(' aaBA ; );0;0(' aBB
);;(',''
222
aaaBADB
0'.',''
3
aBBBADB
ba vectơ ',';'' BBBADB không đồng phẳng.
hay
''D
B
và
B
A' chéo nhau.
Tính
BADBd ',''
]',''[
'.]',''[
',''
BADB
BBBADB
BADBd
3
3
3
',''
2
3
444
3
a
a
a
aaa
a
BADBd
Bài toán 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi.
AC cắt BD tại gốc toạ độ O. Biết )0;0;2(A ; )0;1;0(B ; )22;0;0(S . Gọi M là trung điểm của SC .
1. Tính góc và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM
2. Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đường thẳng SD tại N.
Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối A năm 2004 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc
Oxyz như sau : )0;0;0(O ;
)0;0;2(A
;
)0;1;0(B
;
)22;0;0(S
Ta có :
)0;0;2(C
;
)0;1;0( D
;
)2;0;1(M
22;0;2 SA ;
2;1;1 BM
1a.Tính góc giữa SA và BM
Gọi
là góc giữa SA và BM Sử dụng
công thức tính góc giữa hai đường thẳng.
Ta có :
2
3
.
,coscos
BMSA
BMSA
BMSA
A
C
D
S
N
M
O
B
x
y
z
o
30
1b. Tính khoảng cách giữa SA và BM
Chứng minh SA và BM chéo nhau Sử
dụng công thức tính khoảng cách giữa
hai đường thẳng chéo nhau
)2;0;22(],[ BMSA
;
)0;1;2(AB
024].,[ ABBMSA
3
62
48
24
],[
].,[
),(
ABSA
ABBMSA
BMSAd
2. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.
Dễ dàng nhận thấy :
)()( SCDABMMN
AMNSABMSABMNS
VVV
Trong đó :
SBSMSAV
ABMS
].,[
6
1
.
SNSMSAV
AMNS
].,[
6
1
.
CDABMN //// N là trung điểm của SD
Toạ độ trung điểm N
2;
2
1
;0
)22;0;2( SA ; )2;0;1( SM
)22;1;0( SB ; )2;0;1( SM
)0;24;0(],[ SMSA
3
22
6
24
].,[
6
1
.
SBSMSAV
ABMS
3
2
6
22
].,[
6
1
.
SNSMSAV
AMNS
Kết luận
Vậy
2
AMNSABMSABMNS
VVV (đvtt)
Bài toán 5 . Trong không gian với hệ toạ độ
Oxyz cho hình lăng trụ đứng
111
. CBAABC với )0;3;0(
A ;
)0;0;4(B ; )0;3;0(C ; )4;0;4(
1
B .
Tìm toạ độ các đỉnh
1
A
;
1
C
. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với mặt phẳng
)(
11
BBCC . Gọi M là trung điểm của
11
BA . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, M và
song song với
1
BC . ( trích đề thi tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2005 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz
như sau :
)0;0;0(O
;
Với :
)0;3;0( A ; )0;0;4(B ; )0;3;0(C ; )4;0;4(
1
B
)4;3;0(
)4;3;0(
1
1
C
A
Toạ độ trung điểm M của
11
BA
)4;
2
3
;2M
Toạ độ hai đỉnh
1
A
;
1
C
.
Ta có :
)()4;3;0(
1
OyzmpA
)()4;3;0(
1
OyzmpC
A
B
C
C
1
O
B
1
M
A
1
z
x
y
Phương trình mặt cầu có tâm là A
và tiếp xúc với mặt phẳng
)(
11
BBCC
Viết phương trình mp
)(
11
BBCC
Tìm bán kính của mặt cầu (S)
)(,
11
BBCCAdR
Vectơ pháp tuyến của mp
)(
11
BBCC
)0 ;16 ;12(],[
1
BBBCn
Phương trình tổng quát của mp
)(
11
BBCC :
01243:)(
11
yxBBCC
Bán kính của mặt cầu (S) :
5
24
R
Phương trình mặt cầu (S) :
(S)
25
576
)3(:
222
zyx
Phương trình mặt phẳng (P) :
Tìm vectơ pháp tuyến của (P)
],[
)( //
)(
1
1
BCAMn
PBC
PAM
P
4;
2
3
;2AM
; )4;3;4(
1
BC
Vectơ pháp tuyến của (P) :
)12;24;6(],[
1
BCAMn
P
Phương trình mặt phẳng (P) :
01224:)(
zyxP
Bài toán 6 . Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng(ABC);
cmADAC 4
;
cmAB 3 ; cmBC 5 . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) ( trích đề thi tuyển sinh
ĐH&CĐ khối D năm 2002 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
ABC có :
25
222
BCACAB
nên
vuông tại A Chọn hệ trục toạ độ
Đêcac vuông góc
Oxyz như sau
)0;0;0(AO ; )0;0;3(B ; )0;4;0(C
)4;0;0(D
;
Tính :
)(, BCDAdAH
Viết phương trình tổng quát của
mặt phẳng (BCD)
Phương trình tổng quát của mặt phẳng (BCD)
0123341
443
:)( zyx
zyx
BCD
Sử dụng công thức tính khoảng
cách từ một điểm đến một mặt
phẳng
17
346
34
12
9916
12
)(,
BCDAd
Bài toán 7 . Cho hai nửa đường thẳng
Ax
và By vuông góc với nhau và nhận )0( aaAB là đoạn
vuông góc chung. Lấy điểm M trên
Ax
và điểm N trên By sao cho
aBNAM 2
. Xác định tâm I và
tính theo
a bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN. Tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng AM và BI
A
B
C
D
H
I
x
y
z
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Dựng
'//' AyAxByAy
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc
zAxy' như sau :
)0;0;0(A ; );0;0( aB ; )0;0;2( aM
);2;0( aaN
Toạ độ trung điểm I của MN
2
; ;
a
aaI
1a. Xác định tâm I của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN
Chú ý :
'AyAx
ByAx
Hai tam giác AMN và BMN là hai tam
giác vuông nhận MN là cạnh huyền nên
trung điểm
2
; ;
a
aaI
của MN là tâm
của mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABMN
1b.Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABMN
Ta có :
)1 ; 2 ; 2( aMN
Bán kính mặt cầu :
2
3
2
aMN
R
2. Tính ),( BIAMd
Chứng minh AM và BI chéo
nhau
Sử dụng công thức tính khoảng
cách giữa hai đường thẳng chéo
nhau
Ta có :
)0;0;2( aAM ;
2
;;
a
aaBI
; );0;0( aAB
)2;;0(],[
22
aaBIAM
5
52
],[
].,[
),(
a
BIAM
ABBIAM
BIAMd
Bài toán 8 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a . Gọi E là điểm đối
xứng của D qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông góc với BD và tính (theo
a ) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC. ( trích đề thi
tuyển sinh ĐH&CĐ khối B năm 2007 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Gọi O là tâm của hình vuông
ABCD
)(ABCDSO
S
P
M
E
z
y
B
N
M
I
A
x
z
'y
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc
Oxyz
như sau :
)0;0;0(O ; S
h;0;0 ;
A
2
;0;0
2
a
; C
2
;0;0
2
a
D
0;
2
2
;0
a
; B
0;
2
2
;0
a
Toạ độ trung điểm P của SA
P
2
; 0 ;
42
ah
; E
22
;;
22
aa
h
M
22
;;
242
aah
N
22
;;0
44
aa
32
;0; ; (0; 2;0)
42
ah
MN BD a
Vì :
BDMNBDMN 0.
Tính (theo a) khoảng cách giữa hai
đường thẳng MN và AC.
Chứng minh MN và AC chéo nhau
Sử dụng công thức tính khoảng cách
giữa hai đường thẳng chéo nhau
Ta có :
2
,0;;0
2
ah
MN AC
2
0; ;
42
ah
AM
Vì :
2
,. 0
4
ah
MN AC AM
MN và AC chéo nhau
4
2
2
4
],[
].,[
,
22
2
a
ha
ha
ACMN
AMACMN
ACMNd
Bài toán 9 . Cho tứ diện ABCD, có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại
A; ,,AD a AC b AB c.
a. Tính diện tích S của tam giác BCD theo ,,abc
b. Chứng minh rằng :
2S abc a b c
Hướng dẫn Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho A(0;0;0)
Khi đó :
;0;0 ; C 0; ;0
B
cb
C
A
D
y
z
D 0;0;a
Ta có :
;;0
B
Ccb
;0;
B
Dca
,;;
B
CBD acacbc
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
22 22 2
2ab bc abc
22 22 2
2b c c a abc
22 22 2
2ca ab abc
a. Tính diện tích S của tam giác BCD
22 22 22
11
,
22
SBCBD abacbc
b.
Chứng minh :
2S abc a b c
Ta có :
222
abc a b c a bc b ac c ab
22 22 22
222
222
bc ac ab
abc
22 22 22
2
BCD
ab ac bc S
Bài toán 10 . Cho hình chóp tam giác đều S.ABC đỉnh S độ dài các cạnh đáy bằng a . Gọi M, N lần
lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN. Biết rằng mặt phẳng
(AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Hướng dẫn Bài giải
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ
Gọi I là trung điểm của BC
Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ sao
cho I(0;0;0)
Khi đó :
3
0; ;0 ; ;0;0
22
aa
AB
33
;0;0; S0;;;0;;0
266
aa a
ChH
33
;;; ;;
4122 4122
aa h aa h
MN
53
;;
4122
aah
AM
53
;;
4122
aah
AN
+ Pháp vectơ của mp (AMN) :
2
1
53
,0;;
424
ah a
nAMAN
3
;;
46
aa
SB h
+ Pháp vectơ của mp (SBC) :
B
C
H
A
B
I
S
x
y
z
M
N
3
;;
26
aa
SC h
12 12
.0AMN SBC n n n n
24 2 4
2
15 15
0
4 24.6 16 24
ah a ah a
2
2
3
,0;;
6
a
nSBSC ah
Diện tích tam giác AMN :
22 4
2
1175
,
2 2 16 24
AMN
ah a
SAMAN
44 2
4
22
115 75 1 10
90
224 24 48 16
aa a
a
đvdt
Bài toán 11 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a ; SA a ; 3SB a và
mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB,
BC . Tính theo
a thể tích khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng SM, DN (
trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối B năm 2008 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Gọi H là hình chiếu vuông góc
của S trên AB
SH (ABCD)
Ta có :
2222 2
3SA SB a a AB
SAB vuông tại S SM a
Do đó :
SAM đều
3
2
a
SH
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông
góc
Oxyz như sau : (0;0;0)H ;
S
3
0;0;
2
a
; A
;0;0
2
a
;
B
3
;0;0
2
a
; D ;2 ;0
2
a
a
;
M
;0;0
2
a
; N
3
;;0
2
a
a
3
;0;
22
aa
SM
33
;;
22
aa
SN a
33
;0;
22
aa
SB
3
;2 ;
22
aa
SD a
2; ;0DN a a
+ Thể tích khối chóp S.BMDN
.S BMDN SMNB SMND
VVV
222
33
,;;
222
aaa
SM SN
3
3
,
2
a
SM SN SB
;
3
33
,
2
a
SM SN SD
3
13
,
612
SMNB
a
VSMSNSB
3
13
,
64
SMND
a
VSMSNSD
33 3
.
333
12 4 3
S BMDN SMNB SMND
aaa
VVV
S
A
B
C
D
N
M
x
y
z
H
K
+
Công thức tính góc giữa SM, DN
.
cos ,
.
SM DN
SM DN
SM DN
+ Tính cosin của góc giữa SM, DN
2
22
22
1
cos ,
5
3
4
44
a
SM DN
aa
aa
Bài toán 12 . Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông, AB BC a, cạnh bên
'2
A
Aa
. Gọi M là trung điểm của BC. Tính theo
a
thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và
khoảng cách giữa hai đường thẳng AM, B’C ( trích đề thi tuyển sinh ĐH &CĐ khối D năm 2008 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau :
(0;0;0)B
A
0; ;0a ; C
;0;0a ; B’
0;0; 2a
M
;0;0
2
a
;;0
2
a
AM a
;
';0;2BC a a
'0;;2AB a a
Chứng minh AM và B’C chéo nhau
2
22
,' 2; ;
2
a
AM B C a a
+ Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’
3
.'''
1
'. 2
2
ABC A B C ABC
VAASa
đvtt
+ Khoảng cách giữa AM và B’C
Vì :
3
,' '
2
a
AM B C AB
AM và B’C chéo nhau
,' '
,'
,'
AM B C AB
dAMBC
AM B C
3
444
7
2
7
1
2
2
a
a
aaa
Bài toán 13 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang ,
0
90BAD ABC
A
BBCa
,
2AD a , SA vuông góc với đáy và 2SA a
. Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Chứng
A’
B
C’
M
x
z
B’
C
A
y
minh rằng BCNM là hình chữ nhật và tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo
a
( trích đề thi tuyển
sinh Cao đẳng năm 2008 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau :
(0;0;0)A ; B
;0;0a ; C
;;0aa ;
D
0; 2 ;0a ; S
0;0;2a
M
0;0;a ; N
0; ;aa
0; ;0
M
Na
;
0; ;0
B
Ca
;0;
M
Ba a
0;0;SM a
;
;;SC a a a
;0; 2SB a a
;
0; ;SN a a
22
,;;0SM SC a a
3
,SM SC SB a
3
,SM SC SN a
+ Chứng minh BCNM là hình chữ nhật
.0
MN BC
MN MB
BCNM là hình chữ nhật
+ Tính thể tích của khối chóp S.BCNM theo
a
.SBCNM SMCB SMCN
VVV
3
1
,
66
SMCB
a
VSMSCSB
3
1
,
66
SMCN
a
VSMSCSN
3
.
3
S BCNM SMCB SMCN
a
VVV
đvtt
Bài toán 14 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a , (); 2SA ABCD SA a. Mặt
phẳng
qua BC hợp với AC một góc 30
0
, cắt SA, SD lần lượt tại M, N. Tính diện tích thiết diện
BCNM
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau :
(0;0;0)A ; B
;0;0a
; C
;;0aa
;
D
0; 2 ;0a ; S
0;0;2a
Đặt
0 2
A
Mh h a
B
M
x
z
C
A
y
N
D
S
M
z
A
y
N
D
S
M
0;0;h
Xác định vị trí điểm M
;0;
B
Mah
;
0; ;0
B
Ca
2
,;0; ;0;
B
MBC ah a ah a
;;0 1;1;0AC a a a
Ta có :
()
// //
//
MN SAD
M
NBCAD
BC AD
()
B
C SAB BC BM
ABM vuông cân tại A
2
B
Ma
1
22
a
MN AD
Pháp vectơ của mặt phẳng
:
, nBMBC
;0;nha
Vectơ chỉ phương của đường thẳng AC :
; ;0 1;1;0 1;1;0AC a a a u
mặt phẳng
hợp với AC một góc 30
0
0
22
.
1. 1.0 0.
sin 30
110 0
nu
ha
nu
ha
22
22
1
2
2
2
h
hha
ha
ha
M là trung điểm của SA
+
//MN BC
BM BC
BCNM là hình thang vuông
+ Diện tích thiết diện BCNM :
2
132
24
BCNM
a
SBMMNBC
Bài toán 15 . Cho hình chóp O.ABC có ; ; OA a OB b OC c
đôi một vuông góc. Điểm M cố định
thuộc tam giác ABC có khoảng cách lần lượt đến các mặt phẳng (OBC); (OCA); (OAB) lá 1; 2; 3.
Tính
;;abc để thể tích khối chóp O.ABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau : (0;0;0)O
A
;0;0a ; B
0; ;0b ; C
0;0;c
,( ) 1 1
M
dM OBC x
,( ) 2 2
M
dM OCA y
,( ) 3 3
M
dM OAB z
B
x
C
A
M
z
B
O
y
H
E
C
M
1; 2; 3
A
;0;0 ( ;0;0)aOAa
B
0; ;0 (0; ;0)bOBb
C
0;0; (0;0; )cOC c
+Thể tích khối chóp O.ABC
.
11
,
66
O ABC
V OA OB OC abc
Giải hệ :
123
3
6
123
1
9
a
abc
b
c
abc
+ Phương trình mặt phẳng (ABC) :
(ABC) :
1
x
yz
abc
123
() 1M ABC
abc
Áp dụng bất đẳng thức Côsi :
33
123 123 6
13 3
abc abc abc
1
27
6
abc
.
3
123
27 6
9
OABC
a
MinV b
abc
c
Bài toán 16 . Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh đều bằng a .
a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD)
c. Tính góc giữa SB và mặt phẳng (SCD)
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Gọi
OACBD
)(ABCDSO
2
222
2
22
aa
SO SC OC a
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac
vuông góc
Oxyz
như sau :
)0;0;0(O ; S
2
0;0;
2
a
;
A
2
;0;0
2
a
; C
2
;0;0
2
a
D
0;
2
2
;0
a
; B
0;
2
2
;0
a
a.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
x
z
S
A
B
C
D
O
x
y
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD):
1
222
222
xyz
aaa
2
0
2
a
xyz
3
2
.
11 2
336
2
SABCD ABCD
aa
VSOS a
b. Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng
(SCD)
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD):
2
0
2
a
xyz
22
22
26
,( )
3
33
aa
aa
dASCD
Bài toán 17 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ,
0
90ABC BAD
A
BBCa
,
2AD a , SA vuông góc với đáy và 2SA a . Gọi H là hình chiếu của A trên SB. Chứng minh tam
giác SCD vuông và tính theo
a
khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) ( trích đề thi tuyển sinh ĐH
&CĐ khối D năm 2007 )
Hướng dẫn Bài giải
Dựng hình :
Chọn hệ trục toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz như sau :
(0;0;0)A
; B
;0;0a ; C
;;0aa ;
D
0; 2 ;0a
; S
0;0;2a
;0; 2SB a a
;; 2SC a a a
0; 2 ; 2SD a a
22 2
,2;2;2SC SD a a a
2
21;1; 2a
+ Tìm tọa độ điểm H là hình chiếu
vuông góc của A trên SB
Phương trình tham số của SB :
SB :
0
2
x
aat
y
za t
(
tR
)
+ Chứng minh tam giác SCD vuông
;;2SC a a a
;
;;0CD a a
.0SC CD SC CD
Tam giác SCD vuông tại C
+ Tính ( theo a ) khoảng cách từ H đến (SCD)
Tọa độ điểm H :
(; ;) ;0; 2H x y z SB H a at a t
(;0;2)AH a at a t
B
I
x
z
C
A
y
H
D
S
+ Viết phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD) đi qua điểm S và nhận vectơ
1;1; 2n
làm pháp vectơ
(SCD) :
1( 0) 1( 0) 2( 2) 0xy za
.0AH SB AH SB
22
1
30
3
at a t
22
;0;
33
aa
H
+ Khoảng cách từ H đến (SCD)
Phương trình mặt phẳng (SCD)
(SCD) :
22 0xy z a
22
2
33
,( )
23
aa
a
a
dH SCD
1
1. Hình chóp tam giác
B
ài 1. (Trích đề thi tuyển sinh ĐH Khối A năm 2002). Cho hình chóp tam giác đều
.
S ABC
có đ
ộ dài cạnh
AB a
=
. Gọi
M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SC. Tính theo a diện tích của tam giác AMN,
biết rằng mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC).
Gợi ý:
Gọi
O là trung điểm BC, G là trọng tâm tam giác ABC, ta có
3 3
, , .
2 2 6
a a
a
OA OB OC OG= = = =
Đặt
0.
SG z
= >
Chọn
hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa
A,
tia
Oy
chứa
B và tia
Oz
nằm
trên đường thẳng qua O và song
song với SG (xem hình vẽ). Khi đó
3 3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0; .
2 2
2 6
a a a a
A B C S z
−
3 3
; ; , ; ; .
12 4 2 12 4 2
a a z a a z
M N
−
T
ính được
15
.
6
a
z =
Suy ra
2
10
.
16
AMN
a
S =
x
y
z
G
O
S
A
B
C
Bài 2.
(Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2007). Trong nửa mặt phẳng (P) cho đường tròn đường kính AB
và điểm C trên nửa đường tròn đó sao cho
AC R
=
. Trên đ
ường thẳng vuông góc với (P) tại A lấy điểm S
sao cho góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng
60
o
. Gọi
H, K lần lượt là hình chiếu của A trên SB,
SC. Chứng minh rằng tam giác AHK vuông và tính thể tích khối chóp
. .
S ABC
Gợi ý:
Ta có
, 3.
AC R BC R=
=
Đặt
0.
SA z
= >
C
họn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
,
O C
≡
tia
Ox
chứa A,
tia
Oy
chứa
B và tia
Oz
nằm
trên đường thẳng qua O và
song song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , ;0;0 , 0; 3;0 , ;0; .
C A R B R S R z
Khi đó
tính
được
8 3 4 2
; ;
9
9 9
R R R
H
v
à
2 2 2
;0; .
3 3
R
R
K
T
hể tích khối chóp
.
S ABC
là:
3
.
6
.
12
S ABC
R
V =
2R
x
y
z
A
S
B
C
K
H
Bài 3. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2003). Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau, có
giao tuyến là đường thẳng
∆
. T
rên
∆
lấy
hai điểm A,B với
AB a
=
. Trong mặt
phẳng (P) lấy điểm C, trong
mặt phẳng (Q) lấy điểm D sao cho AC, BD cùng vuông góc với
∆
và
.
AC BD AB a
= = =
Tính bán kính
mặt
cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD và tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a.
Gợi ý:
+
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó
(
)
;0;0 , (0;0;0), ( ; ;0), (0;0; ).
A a B C a a D a
+
Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có tâm
(
)
/ 2; / 2; / 2
I a a a và bán kính
3 / 2.
=R a
+ Mặt phẳng (BCD) có phương trình
0.
x y
− =
+ Khoảng cách từ A đến (BCD) là
( )
2
,( ) .
2
a
d A BCD =
P
Q
a
a
a
y
z
x
A
B
D
C
2
Bài 4. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2006). Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh a,
2
SA a
=
và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc
của A trên các đường thẳng SB và SC. Tính thể tích khối chóp A.BCNM.
Gợi ý:
+ Gọi O là trung điểm BC. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như
hình vẽ, lúc đó
3 3
;0;0 , 0; ;0 , 0; ;0 , ;0; 2 .
2 2 2 2
a a a a
A B C S a
−
+ Tìm được tọa độ các điểm M, N là
3 2 2
; ;
10 5 5
a a a
M
và
3 2 2
; ; .
10 5 5
a a a
N
−
+ Thể tích khối chóp A.BCNM là
3
.
3 3
.
50
A BCNM
a
V =
a
2a
z
x
y
N
O
S
C
B
A
M
Bài 5. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối A năm 2011). Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân
tại B,
2
AB BC a
= =
, hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung
điểm của AB; mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và
(ABC) bằng
60
o
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Gợi ý:
+Đặt
0.
SA z
= >
Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó:
(
)
(
)
(
)
2 ;0;0 , 0;0;0 , 0;2 ;0 ,
A a B C a
(
)
;0;0 , (2 ;0; ).
M a S a z
+ Tìm được điểm
(
)
; ;0 .
N a a
+ Vectơ pháp tuyến của (SBC) là
(
)
;0;2 .
SBC
n z a
= −
+
Vectơ pháp tuyến của (ABC) là
(
)
0;0;1 .
ABC
n =
+ Từ giả thiết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng
60
o
tìm được
(
)
2 3 2 ;0;2 3 .
z a S a a= ⇒
+ Suy ra
3
3
SBCNM
V a=
và
2 39
( , ) .
13
a
d AB SN =
z
y
x
N
M
C
B
A
S
Bài 6. (Trích đề tuyển sinh ĐH Khối D năm 2011). Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại
B,
3 , 4
BA a BC a
= =
, mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết
2 3
SB a
=
và
30 .
o
SBC
=
Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a.
Gợi ý:
+ Kẻ
,
SO BC
⊥
khi đó
( )
SO ABC
⊥
. Tính được
3, 3 , .
SO a OB a OC a
= = =
+ Chọn hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, lúc đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
3 ;3 ;0 , 3 ;0;0 , ;0;0 , 0;0; 3 .
A a a B a C a S a−
+ Tính thể tích khối chóp S.ABC là
3
.
2 3.
S ABC
V a=
+ Phương trình mặt phẳng (SAC) là:
3 4 3 3 0.
x y z a
− + + − =
+ Khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) là
( )
6 7
,( ) .
7
a
d B SAC =
4a
3a
z
y
x
S
A
B
C
O
3
Chuyên Lam Sơn - Thanh Hóa: Cho tứ diện ABCD có AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AD = 3a,
AB = 2a, AC = 4a,
o
BAC 60
=
. Gọi H, K lần lượt là hình chiếu vuông góc của B trên AC và CD. Đường
thẳng HK cắt đường thẳng AD tại E. Chứng minh rằng BE vuông góc với CD và tính thể tích khối tứ diện
BCDE theo a.
Giải:
60
o
4a
2a
3a
E
A
B
C
D
x
z
y
H
K
C
họn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với A trùng với gốc tọa
độ O.
A
(0;0;0), B(2a;0;0),
(
)
2 ;2 3;0
C a a , D(0;0;3a)
.cos60
o
AH AB a
= =
. Suy ra tọa độ của
3
; ;0
2 2
a a
H
(
)
2 ;2 3; 3
DC a a a
= −
suy ra
(
)
2;2 3; 3
u
= −
là một vecto chỉ
phương của DC nên phương trình đường thẳng DC là:
2
2 3
3 3
x t
y t
z a t
=
=
= −
. Vì K thuộc DC nên
(
)
2 ;2 3 ;3 3
K t t a t
− .
Ta có
(
)
2 2 ;2 3 ;3 3
BK t a t a t
= − −
13
. 0
25
a
BK DC t= ⇔ =
. Vậy
26 26 3 36
; ;
25 25 25
a a a
K
Vì E thuộc trục Az nên E(0;0;z).
3
; ;
2 2
a a
EH z
= −
;
27 27 3 36
; ;
50 50 25
a a a
HK
=
V
ì E, H, K thẳng hàng nên ;
EH HK
cùng phương, do đó suy ra
4
3
a
z = − . Vậy E(0;0;
4
3
a
− ).
4
2 ;0;
3
a
EB a
=
và
(
)
2 ;2 3; 3
DC a a a
= −
nên
EB
.
DC
=
( )
4
2 .2 0.2 3 3 0
3
a
a a a a
+ + − =
Vậy BE vuông góc với CD.
A12: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng
(ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng
60
o
. Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC theo a.
Giải:
60
o
O
H
C
A
B
S
x
y
z
Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz
như hình vẽ.
Ta có:
0; ;0
2
a
A
,
0; ;0
2
a
B
−
,
3
;0;0
2
a
C
6
a
OH
=
2 2
7
3
a
CH CO OH⇒ = + =
21
.tan 60
3
o
a
SH CH⇒ = =
21
0; ;
6 3
a a
S
⇒ −
•
3
.
1 7
.
3 12
S ABC ABC
a
V SH S= =
4
•
(
)
0; ;0
AB a
= −
;
2 21
0; ;
3 3
a a
SA
= −
;
3
; ;0
2 2
a a
BC
=
;
2 2 2 2
21 7 3 24
; ; ; ;
6 2 3 3
SA BC a a a SA BC a
= − ⇒ =
và
3
7
; .
2
SA BC AB a
= −
.
Suy ra:
( )
3
2
; .
7 3 42
; .
2 8
24
;
SA BC AB
a a
d SA BC
a
SA BC
= = =
. ☺
☺☺
☺
B12: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với SA = 2a, AB = a. Gọi H là hình chóp vuông góc của A trên
cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a.
Giải:
K
O
A
B
C
S
x
y
z
H
Gọi K là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC) thì K là tâm
của tam giác ABC.
Gọi O là trung điểm của AB. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như
hình vẽ.
Ta có:
0; ;0
2
a
A
−
,
0; ;0
2
a
B
,
3
0; ;0
2
a
C
.
3
3
a
CK =
2 2
33
3
a
SK SC CK⇒ = − =
3 33
0; ;
6 3
a a
S
⇒
3 33
0; ;
3 3
a a
SC
= −
;
(
)
0; ;0
AB a
=
. 0
AB SC AB SC
= ⇒ ⊥
( )
AB SC
AB ABH
AB OH
⊥
⇒ ⊥
⊥
. 11
4
SK OC a
OH
SC
⇒ = = .
Giải:
( )
2
1 5
. ,( )
3 3
ABCD ACD ACD
a
V S d B ACD S= ⇒ = . Từ đây tính được
2 5
;
3 3
A
a a
CD h= = .
O
A
C
D
B
x
y
z
Gọi O là trung điểm của CD. Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.
Ta có:
5
0; ;0
3
a
A
,
;0;0 , ;0;0 , ; ;
3 3 3
a a a
C D B x y
với y > 0
Từ giả thiết BC = BD = a ta giải ra được 0;
3
a
x y= = .
Vậy 0; ;
3 3
a a
B
.
2 2
2 2
; 0; ;
3 3
a a
BC BD
= −
.
(
)
( )
0;0;1
ACD
n =
;
(
)
( )
0;1; 1
BCD
n
= −
.
Gọi
α
là góc giữa hai mặt phẳng (ACD) và (BCD).
Ta có:
( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2
0.0 0.1 1.( 1)
1
cos cos ; 45
2
0 0 1 . 0 1 1
o
ACD BCD
n n
α α
+ + −
= = = ⇒ =
+ + + +
.
5
Toán học & Tuổi trẻ: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, BC = a và
o
ABC 30
=
.
Hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng tạo với đáy một góc 60
o
. Biết rằng hình chiếu vuông góc của S trên
mặt phẳng (ABC) thuộc cạnh BC. Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Giải:
B
A
C
S
y
x
z
H
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O
trùng điểm A.
A(0;0;0),
( )
3
;0;0 , 0; ;0 , ; ;
2 2
a a
B C S x y z
với
0; 0; 0
x y z
> > >
(
)
; ; ;0
H x y
với H là hình chiếu vuông
góc của của S trên (ABC).
(
)
1
0;0;1
n =
là vectơ pháp tuyến của (ABC) và
2
3 3
; 0; ;
2 2
a a
n AB AS z y
= = −
là vectơ pháp tuyến
của (SAB).
3
; ;0;
2 2
a a
n AC AS z x
= = −
là vectơ pháp tuyến của (SAC).
•
( )
1 2
2 2
2 2
1 2
.
1
cos ( ),( ) 3
2
n n
y
SAB ABC z y
n n
z y
= ⇔ = ⇔ =
+
(1)
•
( )
1 3
2 2
2 2
1 3
.
1
cos ( ),( ) 3
2
n n
x
SAC ABC z x
n n
z x
= ⇔ = ⇔ =
+
(2)
Từ (1), (2) ta có
x y
=
. Nên
(
)
; ;0
H x x
. Vì H thuộc BC nên
3
; ;0 , ; ;0
2 2 2
a a a
BC CH x x
= − = −
cùng
phương, suy ra
( )
3
2
3
2 1 3
2
2
a
x
x a
x
a
a
−
= ⇔ =
+
−
thay vào (1), ta được
( )
3
2 1 3
a
z =
+
.
•
( )
(
)
3
2
.
3 3
1 1 3 3
. . .
3 3 8 32
2 1 3
S ABC ABC
a
a a
V SH S
∆
−
= = =
+
. ☺
☺☺
☺
A
B
C
S
x
y
z
Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ với gốc tọa độ O trùng
với điểm A.
Ta có A(0;0;0), B(8a;0;0), C(0;6a;0), S(x;y;z) với z>0
SA=7a
2 2 2 2
49
x y z a
⇔ + + =
(1)
SB=9a
(
)
2
2 2 2
8 81
x a y z a
⇔ − + + = (2)
SC=11a
(
)
2
2 2 2
6 121
x y a z a
⇔ + − + =
(3)
Giải hệ (1), (2) và (3), ta được S(2a;-3a;6a).
Suy ra đường cao của hình chóp S.ABC là
6
S
h z a
= =
.
2
1
. 24
2
ABC
S AB AC a
= =
.
3
.
48
S ABC
V a
=
6
2. Hình chóp tứ giác
Bài 1. (Trích đề dự bị 1 – ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình thoi cạnh
a, góc
60 ,
o
BAD =
SA vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
và
.
SA a
=
Gọi C’ là trung điểm của SC. Mặt
phẳng (P) đi qua
'
AC
và song song với BD cắt SB, SD lần lượt tại
', '
B D
. Tính thể tích khối chóp
. ' ' '
S AB C D
.
Gợi ý:
Gọi O là giao điểm của AC và DB.
Vì tam giác ABD đều nên
3
, .
2 2
a a
OB OD OA= = =
Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho tia
Ox
chứa A, tia
Oy
chứa B và tia
Oz
nằm trên đường thẳng qua O và song
song với SA (xem hình vẽ). Khi đó:
3 3
;0;0 , 0; ;0 , ;0;0 , 0; ;0 ,
2 2 2 2
a a a a
A B C D
− −
3
' 0;0; , ;0; .
2 2
a a
C S a
x
y
z
O
C
D
A
B
S
Tìm được
3
' ; ;
6 3 3
a a a
B
và
3
' ; ; .
6 3 3
a a a
D
−
Thể tích khối chóp
. ' ' '
S AB C D
là:
3 3 3
. ' ' ' . ' ' . ' '
1 1 1 3 1 3 3
, ' . ' , ' . ' . . .
6 6 6 6 6 6 18
S AB C D S AB C S AC D
a a a
V V V SA SC SB SA SC SD
= + = + = + =
Bài 2. (Trích đề ĐH Khối B năm 2006). Cho hình chóp
.
S ABCD
có đáy
ABCD
là hình chữ nhật với
, 2,
AB a AD a SA a
= = =
và SA vuông góc với mặt phẳng
( )
ABCD
. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
AD và SC, I là giao điểm của B
M và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng
(SMB). Tính thể tích khối tứ diện ANIB.
Gợi ý:
+Chọn hệ trục tọa độ
Oxyz
sao cho
,
O A
≡
tia
Ox
chứa B, tia
Oy
chứa D và tia
Oz
chứa S (xem hình vẽ). Khi đó:
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
0;0;0 , ;0;0 , ; 2;0 , 0; 2;0 , 0;0; ;
A B a C a a D a S a
2 2
0; ;0 , ; ; .
2 2 2 2
a a a a
M N
( )
( )
( )
2
0;0; , ; 2;0 , 0; ; , ;0; .
2
a
AS a AC a a SM a SB a a
= − = −
Vectơ pháp tuyến của (SAC) là
(
)
2 2
, 2; ;0 .
AS AC a a
= −
x
z
y
I
N
M
D
C
B
A
S
Vectơ pháp tuyến của (SBM) là
2
2
2
, ; ;0 .
2
a
SM SB a
= − −
Vì
4 4
, . , 0
AS AC SM SB a a
= − =
nên
( ) ( ).
SAC SBM
⊥
Ta có
2 2 .
IC BC
IC IA
IA AM
= = ⇒ = −
Từ đây tìm được
2
; ;0 .
3 3
a a
I
Thể tích khối tứ diện ANIB là
3 3
1 1 2 2
, . . .
6 6 6 36
ANIB
a a
V AN AI AB
= = =
