Chuyên đề thể tích khối đa diện

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

PHỤ LỤC ĐÁP SỐ
Phần I
1.1.
1.2.
1.3.
1.4.

9 a3
, R = OA=a 3
4

1.15.
a3
3
a

2.1.

S xq  70 a 2 , V  175 a 3

2.2.

V=

3

1.16. a). V=

3

6
6

a

Phần II

3

a . 3
6

2a 3
3

b). R =
3

 .a 3
;
24

1.17. 10a3

12

a3

a 5
1.18. V=
,R=
3
2

2a 3 2
3

1.5.

2a 3 2
3

1.19. V =

1.6.

a3 6
3

1.20. R=

1.7.

a3 3

V=

1.8.

2a 3 3
9

1.9.

a3 3
3

1.10.

1
4

1.11.

a3 3
12

1.12.

3a
2

2.3.



 .a 2 . 2
4

S xq 

S xq 

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LAI VUNG 2
Tổ Tốn

3 a 2 13
3 a3
,V 
4
4

Lưu Tuấn Hiệp

3

a3 3
6

S = 400 2 ,V=

2.5.

Sxq=

 a2 5
 a3
,V(N)=

4
12

2.6.

V 

a3 2
3

2.7.

V

a3 2
3

8 .a 3 6
27

2.8.

1
a3 11
VS . ABI  VS . ABC 
2
24

a3 3
4

2.9.

VS . ABC 

a 6
3 .a 2
,S=
.
4
2

 .a 3 6
8

1.21. R=
V=

1.22. V=

a 6
8 .a 2
,S=
3
3

a3
a
1.23. V= , h =
3

2



8000

3

2.4.

2.10. VS . ABC 

a3 3
a 13
,R
2
2
a3
6


b 

1.13. S xq  a b  a 2  b 2



S tq  a a  b  a 2
1
VS.ABC  a 2 b

6
1
VS.ABCD  a 2 b
3
1.14. b).V =
c). R =

2

Taøi liệu lưu hành nội bộ

a3 2
6

Năm 2010

AC a 2
2
2

Tài liệu lưu hành nội bộ

31

Lưu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

5. Đề thi TN 2009

MỤC LỤC

Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vng

PHẦN I . THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ


góc với mặt phẳng đáy. Biết BAC  120 0 , tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

1. Thể tích khối chóp, khối lăng trụ ...................................................2-11
2. Thể Tích khối chóp, khối lăng trụ liên quan đến góc.....................12-16
3. Tỷ số thể tích ................................................................................17-19
4. Diện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp ..........20-21
Bài tập tự rèn luyện ..........................................................................22-23

PHẦN II . MẶT TRÒN XOAY
1. Cơng Thức, Ví dụ . .......................................................................24-26
2. Bài tập tự rèn luyện ...........................................................................27

PHẦN III . MỘT SỐ ĐỀ THI

6. Đề thi TN 2010

Một đề thi học kỳ , tốt nghiệp liên quan đến thể tích. ....................................28-30
Phụ lục Đáp số. ..................................................................................................31

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng
góc với mặt phẳng đáy, góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng đáy bằng 600 . Tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a

Tài liệu lưu hành nội bộ

1

Lưu Tuấn Hiệp

Tài liệu lưu hành nội bộ

30

Lưu Tuấn Hieäp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ

Phần I.

3. Đề Thi Diễn Tập TN 2009. (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là
tam giác vuông tại B, AB  a 3, AC  2a , góc giữa mặt bên (SBC) và mặt đáy
(ABC) bằng 600 . Gọi M là trung điểm của AC. Tính thể tích khối chóp S.BCM và
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC).

Trong trường phổ thông , Hình học Không gian là một bài toán rất khó đố i với họ c
sinh, do đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác định giả thuyết bài toán, vẽ hình
rồi tiế n hành giải bài toán.
Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích của khối đa diện (

Giải
Tính thể tích khối chóp S.BCM và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC).

1.0

thể tích khối chóp, khối lăng trụ).
Thô ng thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau:

SA  (ABC)


Do 
 BC  SB  SBA    600
SBC ;  ABC

BC  AB



S

0.25

Cho hình chóp

Hình chóp có cạnh bê n vuông góc với mặt

Hình chóp đều
S

phẳng đá y
Xét tam giác vng SAB và SBC ta có:




SA  AB. tan600  a 3. 3  3a



A

SB  SA2  AB2  2a 3



BC  AC2  AB2  a




2


dt(MBC)  1 dt(ABC)  1 AB.BC  a 3


2
4
4


1

2
dt(SBC)  SB.BC  a 3


2

Suy ra:
1
1 a2 3
a3 3
VS.BCM  dt(MBC).SA  .
.3a 
3
3 4
4

a3 3
3
3VS.BCM
3a
d(M,(SBC)) 
 24 
dt(SBC)
a 3
4

S

M

C
A
C

B

O

C

A

0.25

B

B

- Hình chóp tam giác đều

0.25

Đa giác đáy :
 Tam giác vuông
 Tam giác câ n
 Tam giác đều
 Hình vuông, chữ nhật

0.25

Thô ng thường bài toán về hình lă ng trụ:

- Hình chóp tứ giác đều

4. Đề Thi Diễn Tập TN 2010. (1,0 điểm)

C1

A1

C1

A1

V  B.h

B1

B1

B: diện tích đáy
Đáp số : V 

a3 3
36

h : đường cao
A

C

A

C

G

H

B

B

Lăng trụ đứng ABC.A1B1C1

Lă ng trụ xiên ABC.A1B1C1

A1A  (ABC)
Tài liệu lưu hành nội bộ

29

Lưu Tuấn Hiệp

Tài liệu lưu hành nội bộ

A1G  (ABC)
2

Lưu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN

MỘT SỐ ĐỀ THI LIÊN QUAN ĐẾN THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

A. Các Tính Chất :
a. Tam giác :
 Diện tích của tam giác

1. Đề Thi Học Kỳ 1- Năm học 2008-2009 (1,0 điểm)

Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 2a, góc giữa mặt bên và

A

1
2

Gọi O là tâm của đáy và M là trung điểm của BC

1
2

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều nên:
 SO  ( ABC )


0

 g  ( SBC );( ABC )   SMO  60


* S ABC  . AB. AC.sin 
A
h

* S ABC  .BC. AH
B

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

C

H

 Các tam giác đặc biệt :
o Tam giác vuông :
2

2a

A

b

C

a

C

2

+ Định lý pitago: BC  AB  AC
+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vng

B

0,25

A

2

c

S

Đối
b

sin B 

Huyền a
Kề
c

cos B 

Huyền a
 Đối  b
tan B 
Kề c

+ Diện tích tam giác vng:
1
S ABC  . AB. AC
2

60
O

2a
M

2a

Vì tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a nên:
(2 a)2 3
3 a 3 B
SABC 
 a 2 3 và OM  2a

4
6
3
a 3
Xét tam giác vuông SMO: SO  OM .t an60 0 
. 3a
3
3
1
1
a 3
Vậy V  SABC .SO  a 2 3.a 
3
3
3

0,25
0,25

0,25

mặt đáy bằng 60 0 . Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.

o Tam giác cân:

2. Đề Thi Học Kỳ 1- Năm học 2009-2010 (2,0 điểm)
A

+ Đường cao AH cũng là đường trung
tuyến
+ Tính đường cao và diện tích

AH  BH . tan B
1
S ABC  .BC. AH
2
B

H

o Tam giác đều

Đáp số : V 

C

3a3
2a 3
,R 
4
3

A

+ Đường cao của tam giác đều
h  AM  AB.

3
2

3
)
2
3
 ( AB) 2 .
4

( đường cao h = cạnh x
G

C
B

Tài liệu lưu hành nội bộ

+ Diện tích : S ABC

M

3

Lưu Tuấn Hiệp

Tài liệu lưu hành nội bộ

28

Lưu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

b. Tứ giác
 Hình vng

Bài Tập Về Mặt Trịn Xoay
Bài 2.1 Một hình trụ có khoảng cách hai đáy bằng 7a .Cắt khối trụ bởi một
mặt phẳng song song với trục và cách trục một đoạn d = 3a theo một
thiết diện có diện tích S=56a2 .Tính diện tích xung quanh của hình trụ
và thể tích của khối trụ.

A

+ Diện tích hình vng :

B

S ABCD  ( AB) 2

( Diện tích bằng cạnh bình phương)
+ Đường chéo hình vng

O

AC  BD  AB. 2

Bài 2.2 Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vng cân có cạnh huyền
bằng a. Tính thể tích khối nón và diện tích xung quanh của hình nón đă cho.

( đường chéo hình vng bằng cạnh x 2 )
D

Bài 2.3 Cho hình nón trịn xoay có đường cao h=a, bán kính đáy r=1,5a. Tính diện tích
xung quanh của hình nón và thể tích khối nón đã cho theo a.

C

+ OA = OB = OC = OD

 Hình chữ nhật

Bài 2.4 Cho tam giác ABC vng cân tại A,có BC=20 2 (cm). Hình nón tṛịn xoay khi
quay đường gấp khúc CBA xung quanh trục là đường thẳng chứa cạnh AB. Tính
Diện tích xung quanh của hình nón và Thể tích của khối nón.

A

B

+ Diện tích hình vng :
S ABCD  AB. AD

( Diện tích bằng dài nhân rộng)
O

Bài 2.5 Cho hình lập phương ABCD.A' B'C ' D' có cạnh a .Gọi O là tâm hình vng ABCD
a). Tính thể tích của hình chóp O. A' B 'C '
b). Tính diện tích xung quanh và thể tích khối nón có đỉnh là O và đáy là hình tṛịn
nội tiếp hình vng A' B 'C ' D '

C

B. Thể Tích Khối Chóp:
+ Thể tích khối chóp

S

Bài 2.6. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a có SA vng
góc với đáy và SA = AC.
a). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b). Khi quay tam giác SAB quanh trục SA tạo ra hình nón. Tính diện tích xung quanh

và thể tích của khối nón.
Bài 2.7. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a có SA vng
góc với đáy cạnh SB = a 3 .
a). Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD.

+ Đường chéo hình chữa nhật bằng nhau và
OA = OB = OC = OD

D

1
V  .B.h
3

h
C
A

H

Trong đó : B là diện tích đa giác đáy
h : là đường cao của hình chóp

B

Các khối chóp đặc biệt :
 Khối tứ diện đều:
+ Tất cả các cạnh đều bằng nhau

A

+ Tất cả các mặt đều là các tam giác đều

Bài 2.8. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, cạnh bên bằng 2a. Gọi I là
trung điểm của BC.
a). Tính thể tích khối chóp S.ABC và S.ABI theo a.
b). Một hình nón có đỉnh trùng với đỉnh của hình chóp và đáy là hình trịn ngoại tiếp
đa giác đáy của hình chóp. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích
khối nón.

D

B

O

+ O là trọng tâm của tam giác đáy
Và AO  (BCD)

M

S

C

Bài 2.9
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại B, SA vng góc với đáy.
Biết AB=a, BC = a 3 , SA=3a.
a). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC.



Khối chóp tứ giác đều
+ Tất cả các cạnh bên bằng nhau
+ Đa giác đáy là hình vng tâm O
A

+ SO  (ABCD)
Bài 2.10
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vng tại B, SA vng góc với đáy.
Biết SA=AB=BC=a.
a). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Tài liệu lưu hành nội bộ

27

Lưu Tuấn Hiệp

O

D

Tài liệu lưu hành nội bộ

B

C

4

Lưu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

C. Góc:
Cách xác định góc
 Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P):
o Tìm hình chiếu d/ của d lên mặt phẳng (P)

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Ví dụ 2.5: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.
b) Tính diện tích của mặt trụ trịn xoay ngoại tiếp hình trụ
a) Ta có V  B.h ,
trong đó B là diện tích đáy của lăng trụ, h là chiều cao lăng trụ .

o Khi đó góc giữa d và (P) là góc giữa d và d/
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình vng, SA vng góc với (ABCD) và
góc giữa SC với (ABCD) bằng 450. Hãy xác định góc đó.

Vì tam giác ABC đều, có cạnh bằng a nên B  SABC 

S

h = AA’ = a  V 

Giải

R là bán kính đường trịn ngoại tiếp ABC

  
 ( SC ,( ABCD ))  ( SC , AC )  SCA  45

2 a 3 a 3
 R .

, l =AA’ =a
3 2
3

o

B

O

D

a3 3
(đvtt)
4

b) Diện tích xung quanh mặt trụ được tính theo cơng thức Sxq  2 . R.l

Ta có : AC  hc( ABCD )SC
A

a2 3
.
4

Vậy diện tích cần tìm là Sxq  2 .

45

a 3
a2 3
.a  2
(đvdt)
3
3

C

Ví dụ 2.6:

Một hình nón có đường sinh bằng 2a và thiết diện qua trục là tam giác vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
Giải

 Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) :
o Xác định giao tuyến d của (P) và (Q)



o Tìm trong (P) đường thẳng a  (d) , trong mặt phẳng (Q) đường thẳng b  (d)
o Khi đó góc giữa (P) và (Q) là góc giữa hai đường thẳng a và b

Ví dụ 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có ABCD là hình vng, và góc giữa mặt bên
với mặt đáy bằng 600. Hãy xác định góc đó.

A

B

60

b) V =

1 2
1
2 2a3
R h  .2a2 .a 2 
3
3
3

M

Thể tích V I . ABCD 

C

I
A

D

B

Lưu Tuấn Hiệp

a
2

AC a 2

2
2
1 2
1 a 2 a  a3
  R h  . . . 
3
3
2 2 12

Bán kính hình trịn đáy R = OA 

O

Tài liệu lưu hành nội bộ

1
a3
S ABCD . IO 
3
6

b). Ta có khối nón có h = IO =

C

Vậy V( N )
5

O

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA = a và SA
vng góc với đáy. Gọi I là trung điểm SC
a) Tính thể tích khối chóp I.ABCD
b) Tính thể tích khối nón ngoại tiếp khối chóp I.ABCD ( khối nón có đỉnh I và đáy
là hình trịn ngoại tiếp hình vng ABCD)
SA a
S
a). Ta có IO  (ABCD) và IO 

2 2

( ABCD )

Tài liệu lưu hành nội bộ

45o

A

Ví dụ 2.7:

  
 (( SBC ), ( ABCD ))  ( SM , AM )  SMA  60o
O

S

 Stp = Sxq + Sđáy = 2 2 a2  2 a2  (2 2  2) a2

S

Giải
Gọi M là trung điểm BC
Ta có :
(SBC)  (ABCD) = BC
(ABCD)  AM  BC
(SBC)  SM  BC
( vì AM  hc SM )



a) Thiết diện qua trục là tam giác SAB vuông cân tại S nên A = B = 450


 SO = OA = h=R=
a 2
2
 =2a
2
 Sxq = R  .a 2 .2a  2 2a

26

Löu Tuấn Hiệp

B


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12


Cho khối chóp đều S.ABCD có AB = a, gọi O là tâm của đáy, SAO  600 .
1.Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2.Tính diện tích xung quanh của hình nón đỉnh S, đáy là đường trịn ngoại tiếp
hình vng ABCD
Giải
0.25
1). Vì S.ABCD đều nên SO  ( ABCD)
Ta có : S ABCD  a 2 ;
0.25
 a 2 tan 600  a 2 3  a 6
SOA vng tại O có : SO  AO tan SAO 

2
2
2
0.25
1
1 2 a 6 a3 6
 VS.ABCD  SABCD .SO  a

(đvtt)
0.25
3
3
2
6
S

Ví dụ 2.3:

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Bà i Toá n 1.1:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng tại B, AB = a 2 , AC = a 3 ,
cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp
S.ABC
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
 Sử dụng định lý pitago trong tam giác vng

 Lời giải:
Ta có : AB = a 2 ,
S
AC = a 3
SB = a 3 .
*  ABC vuông tại B nên BC  AC 2  AB 2  a
C

A

1
1 a 2. 2
a3. 2
VS . ABC  .S ABC .SA  .
.a 
3
3 2
6

D

O
B
C
2.Gọi l,r lần lượt là đường sinh,bán kính đáy của hình nón .
Ta có : r  OA 

Bà i Toá n 1.2:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân tại B, AC = a 2 , cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng đáy và SB = a 3 .Tính thể tích khối chóp S.ABC

a 2
;
2

0.25
2

2

a 6 a 2
3a 2 a 2
l  SA  SO 2  AO 2  

a 2
 
 
 2   2 
2
2

 


 Sxq  rl  

0.25

a 2
a 2  a 2 (đvdt)

2

0.5

Ví dụ 2.4: Cho hình chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc SAC bằng 45o.
a) Tính thể tích khối chóp .
b) Tính diện tích xung quanh của mặt nón ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
Giải

Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
 Tam giác ABC vuông , cân tại B nên BA = BC và sử dụng định lý pitago
trong tam giác vng
 Lời giải:
Ta có : AC = a 2 ,
S
SB = a 3 .
*  ABC vuông, cân tại B nên
AC 2
a
2
1
1
a2
 BA.BC  .a.a 
2
2
2

BA  BC 
C

A

a) Gọi O là tâm của hình vng ABCD  SO  (ABCD).
1
2
V  B.h, B  a2 ; h  SO  OA.tan 450  a
.
3
2
 V

1
1
a2. 2
BA.BC  .a 2.a 
2
2
2

*  SAB vng tại A có SA  SB 2  AB 2  a
* Thể tích khối chóp S.ABC

B

A

 SABC 

 SABC
B

a3 2
(đvtt)
6

*  SAB vng tại A có SA  SB 2  AB 2  a
* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a2
a3
VS . ABC  .S ABC .SA  . .a 
3
3 2
6

b) Ta có R =OA, l =SA= a.
Vậy Sxq   .
Tài liệu lưu hành nội bộ

25

a 2
a2 2
a 
2
2
Lưu Tuấn Hiệp

Tài liệu lưu hành nội bộ

6

Lưu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Bà i Toá n 1.3:
Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy và SB = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
 Tam giác ABC đều có ba góc bằng 600 và sử dụng định lý pitago trong tam
giác vng SAB
 Lời giải:

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

MẶT TRỊN XOAY

Phần II.
HÌNH TRỤ

HÌNH NÓN
B

R

A

h


S

O

2  h 2  R 2



h

h
A

B'

*  ABC đều cạnh 2a nên
AB = AC = BC = 2a

S

 SABC 
C
A

A'

* Diện tích xung quanh

1
1
3
BA.BC .sin 600  .2a.2a.
 a2 . 3
2
2
2

*  SAB vng tại A có SA  SB 2  AB 2  a

S xq   Rl

* Diện tích tồn phần
Stp  2 Rl  2 R

1
1
a3. 3
VS . ABC  .S ABC .SA  .a 2 . 3.a 
3

3
3

* Diện tích tồn phần
2

Stp   Rl   R 2

* Thể Tích Khối trụ

* Thể Tích Khối trụ

V( T )   R 2 h

Bà i Toá n 1.4:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC cân tại A, BC = 2a 3 , BAC  1200 ,cạnh
bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA =2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC

Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
 Tam giác ABC cân tại A và Â = 1200
 Lời giải:

V( N ) 

 R2 h
3

Ví dụ 2.1:
Cho hình trụ có bán kính R = a, mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một
thiết diện có diện tích bằng 6a2. Tính diện tích xung quanh của hình trụ và thể tích
của khối trụ.
Giải
* Mặt phẳng qua trục và cắt hình trụ theo một hình chữ nhật
 S = .2 R  6 a2

 

6a2
 3a
2R

* Diện tích xung quanh : S xq  2 Rl  2 .a.3a  6 a 2


*  ABC cân tại A, BAC  1200 , BC = 2a 3
AB = AC = BC = 2a

S

R
O

* Diện tích xung quanh

S xq  2 Rl

* Thể tích khối chóp S.ABC

B

O'

* Thể tích khối trụ : V( T )   R 2 h   .a2 .3a  3 a 3
0

Xét  AMB vuông tại M có BM = a 3 , Â = 60
C
A
M
B

BM
a 3

a
tan 600
3
1
1
 AM .BC  .a.2a 3  a 2 . 3
2
2

 AM =

 SABC

Ví dụ 2.2:

Cho hình nón,mặt phẳng qua trục và cắt hình nón tạo ra thiết diện là tam giác
đều cạnh 2a. Tính diện tích xung quanh của hình nón và thể tích của khối nón.
Giải
* Mặt phẳng qua trục và cắt hình nón tạo ra tam giác đều cạnh 2a

* SA = a

   2 R  2a

* Thể tích khối chóp S.ABC
VS . ABC

Tài liệu lưu hành nội bộ

1
1
a3. 3
 .S ABC .SA  .a 2 . 3.a 
3
3
3

7

Lưu Tuấn Hiệp

 h   2  R 2  (2 a)2  a 2  a 3

* Diện tích xung quanh : S xq   Rl   .a.2 a  2 a 2
* Thể tích khối trụ : V( T ) 

Tài liệu lưu hành nội bộ

 R 2 h  .a 2 .a 3  a3 3


3
3
3

24

Lưu Tuấn Hiệp

B


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Bà i Toá n 1.5:

Bài 1.14
Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cả các cạnh bằng a .
a). Chứng minh rằng SABCD là khối chóp tứ giác đều .
b). Tính thể tích của khối chóp SABCD .
c). Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp SABCD .

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 , cạnh bên SA

vng góc với mặt phẳng đáy và SC = a 5 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD

Cho hình chóp S.ABC , có đáy ABC là tam giác đều cạnh 3a , tâm O.Các cạnh

Bài 1.15

bên SA=SB=SC và cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 45o.
a).Tính thể tích của khối chóp SABC
b). Xác định tâm và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 1.16

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều tâm O, cạnh a . Cạnh bên
SA vng góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a.

a). Tính thể tích của khối chóp S.ABC theo a.
b). Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC
Bài 1.17

Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Vẽ đáy là hình vng ( vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và vẽ
thẳng đứng
 ABCD là hình vng ; sử dụng định lý pitago trong tam giác vng
 Lời giải:
Ta có : ABCD là hình vng cạnh a 2
S
SC = a 5 .
* Diện tích ABCD



 SABCD  a 2

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O, SA=SB=SC=SD
A


. Biết AB = 3a, BC = 4a và SAO  450 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 1.18

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, AC = a 3 ,

B

2

 2a 2

* Ta có : AC = AB. 2 = a 2. 2  2a
 SAC vuông tại A
 SA  SC 2  AC 2  a

* Thể tích khối chóp S.ABCD

D

C

1
1
2a 3
VS . ABCD  .S ABCD .SA  .2a 2 .a 
3
3
3

hai mặt bên (SAB) và (SAC) cùng vng góc với mặt phẳng đáy (ABC) và SA =
a 2.



Bà i Toá n 1.6:

a). Tính thể tích của khối chóp S.ABC
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng, cạnh bên SA vng góc
với mặt phẳng đáy và SA = AC = a 2 .Tính thể tích khối chóp S.ABCD

b). Tính diện tích và thể tích của mặt cầu và khối cầu ngoại tiếp khối chóp S.ABC
Bài 1.19

Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại A, A/A=A/B=A/C ,
/

0

AB = a, AC = a 3 , cạnh A A tạo với mặt đáy góc 30 . Tính thể tích khối lăng trụ.
Bài 1.20
Cho tứ diện đều ABCD cạnh a.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ
diện. Tính diện tích mặt cầu và Tính thể tích khối cầu tương ứng.
Bài 1.21
Cho hình chóp tứ giác đều có cạnh a, cạnh bên hợp đáy góc 600. Xác định tâm
và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Tính diện tích mặt cầu và Tính thể tích
khối cầu tương ứng.
Bài 1.22

Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Vẽ đáy là hình vng ( vẽ như hình bình hành), cao SA  (ABCD) và vẽ
thẳng đứng
 Biết AC và suy ra cạnh của hình vng (Đường chéo hình vng bằng cạnh
nhân với 2 )
 Lời giải:
S

Ta có : SA = AC = a 2
* ABCD là hình vng

Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân với AB=AC=a và

AC = AB. 2  AB 


BAC  120 0 , cạnh AA’= a. Gọi I là trung điểm của CC’.

a) Chứng minh rằng Tam giác AB’I vng tại A.

b) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’.

Diện tích ABCD : SABCD  a 2
A

Bài 1.23
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC vuông tại B; AB = a, BC = 2a.Cạnh
SA  (ABC) và SA = 2a. Gọi M là trung điểm của SC.Tính thể tích khối chóp
S.AMB, và khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMB).

Tài liệu lưu hành nội bộ

23

AC
a
2

Lưu Tuấn Hiệp

B

* SA = a 2
* Thể tích khối chóp S.ABCD

D

Tài liệu lưu hành nội bộ

C

1
1
a3 . 2
VS . ABCD  .S ABCD .SA  .a 2 .a. 2 
3
3
3

8

Löu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Bài Tập Về Thể Tích Khối Đa Diện

Bà i Toá n 1.7:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a 3 , cạnh bên bằng
2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O

+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC
+ AM là đường cao trong  ABC
 Đường cao của hình chóp là SO ( SO  (ABC))
 Lời giải:
* S.ABC là hình chóp tam giác đều
Gọi M là trung điểm BC
 ABC đều cạnh a 3 , tâm O
SO  (ABC)
SA=SB=SC = 2a

S

C
O
B

 SABC

Bài 1.2
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy là a; góc giữa cạnh bên và
đáy là 600 . Tính thể tích khối chóp theo a ?
Bài 1.3
Cho khối chóp tam giác đều S.ABC có AB = a , góc giữa cạnh bên và mặt đáy
bằng 600 . Tính thể tích khối chóp theo a.
Bài 1.4
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a 2 ,
các cạnh bên bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB  a, AD  2a ;
SA   ABCD  . Cạnh bên SB bằng a 3 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Bài 1.6

Cho hình chóp S.ABC có ABC vng cân tại B, AC = 2a, SA  ( ABC ) , góc

giữa SB và mặt đáy bằng 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

3 3a

2
2
2
2 3a
 AO= . AM  .  a
3
3 2
1
1
3 3a 2 . 3
 AB. AC .sin 600  .a 3.a 3.

2
2
2
4
 AM = a 3.

M

SA  a .Tính thể tích khối chóp S .BCD theo a.

Bài 1.5

*  ABC đều cạnh a 3

A

Bài 1.1 Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA  ( ABCD ) và

*  SAO vng tại A có SO  SA2  AO 2  a. 3

Bài 1.7
Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC là
tam giác vuông tại B, AB  a 3, AC  2a , góc giữa cạnh bên SB và mặt đáy (ABC)
bằng 600 . Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 1.8
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại C, AB = 2a, SA
vuông góc với mặt phẳng (ABC), cạnh SB tạo với đáy một góc 300. Gọi M là trung
điểm SB. Tính thể tích khối chóp M.ABC
Bài 1.9
Cho khối chóp SABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A với BC = 2a ,
biết SA  (ABC) và mặt (SBC) hợp với đáy một góc 60o . Tính thể tích khối chóp
SABC.

* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 3a 2 3
a3. 3
VS . ABC  .S ABC .SA  .
.a 

3
3
4
4

Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên
 Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì

Bài 1.10
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC, gọi M, N, K lần lượt là trung điểm của
AB, BC, CA. Tính tỷ số thể tích của hai khối chóp SMNK và SABC.

+ khơng xác định được vị trí điểm O




Bài 1.11
Cho hình chóp S.ABC có SB = a 2 ,AB=AC = a, BAC  60 0 , Hai mặt bên
(SAB) và (SAC) cùng vng góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.
Bài 1.12
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AC = a 2 ,
cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng (ABC). Mặt bên (SBC) hợp với mặt đáy
(ABC) một góc 600. Tính thể tích khối chóp S.ABC

+ khơng hiểu tính chất của hình chóp đều là SO  (ABC)
+ khơng tính được AM và khơng tính được AO
 Tính tốn sai kết quả thể tích

Bài 1.13

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA
vng góc với mặt đáy và SA= b. Cắt khối chóp bằng mặt phẳng (SBD) ta được hai
khối chóp đỉnh S.
a) Kể tên và so sánh thể tích của hai khối chóp đó.
b) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình chóp S.ABCD.
c) Tính thể tích của hai khối chóp S.ABC và S.ABCD.
Tài liệu lưu hành nội bộ

9

Lưu Tuấn Hiệp

Tài liệu lưu hành nội bộ

22

Lưu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Bà i Toá n 4.2:

Bà i Toá n 1.8:

Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, cạnh bên 2a.
1) Tính thể tích của khối chóp.
2) Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp trên.
3) Tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp trên.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng a 3
.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải

Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Hình chóp tứ giác đều có
+ đa giác đáy là hình vng ABCD tâm O
+ SO  (ABCD)
+ tất cả các cạnh bên bằng nhau
 Đường cao của hình chóp là SO ( SO  (ABCD))

S

M
I
C

B

 Lời giải:

O
A

S

* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
ABCD là hình vng cạnh 2a , tâm O
SO  (ABCD)
SA=SB=SC =SD = a 3

D

Gọi O là giao điểm của AC và BD.
Ta có : SO  (ABCD)

0,25

1
V  .SO.dt ( ABCD)
3

* Diện tích hình vng ABCD
 AC = 2a. 2

0,25

dt(ABCD) = a2
2a 2
a2
7a 2
= 4a 2 
=

4
2
2
a 14
 SO =
2
a 3 14
Vậy : V =
6

A

SO 2 = SC2 -

B

O

D

C

*  SAO vng tại O có SO  SA2  AO 2  a

0,25

Dựng trục đường trịn ngoại tiếp hình vng ABCD
 SO  (ABCD)
Dựng trung trực của SA
 d  SA tại trung điểm M

Xét (SAO) có d cắt SO tại I, ta có :
SI = IA
IA = IB = IC = ID
 IS = IA = IB = IC = ID
 Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD có tâm là I và bán kính r = SI.

AC 2a 2

a 2
2
2
2
 SABCD   2a   4a 2
 AO=

0,25

* Thể tích khối chóp S.ABCD
1
1
4a 3
VS . ABCD  .S ABCD .SA  .4a 2 .a 
3
3
3

0,25

0,25

Nhận xét: học sinh thường làm sai bài toán trên
 Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều
+ khơng xác định được tính chất đa giác đáy là hình vng
+ khơng SO  (ABCD) mà lại vẽ SA  (ABCD)

SI
SM
SM.SA
SIM  SAO 
=
 SI =
SA
SO
SO

+ khơng tính được AC và khơng tính được AO
 Tính tốn sai kết quả thể tích

2a 14
2a 14
 SI =
. Vậy : r = SI =
7
7
224 .a 2
2
S = 4 r =
49
4 3 448 a 3 14
V = r =

3
1029

Tài liệu lưu hành nội bộ

21

0,25

0,25

Lưu Tuấn Hiệp

Tài liệu lưu hành nội bộ

10

Lưu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Bà i Toá n 1.9:

Dạng 4.

Tính thể tích của khối tứ diện đều cạnh a

Trong chương trình tốn phổ thơng, yêu cầu xác định tâm , bán kính của mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp và tính diện tích của mặt cầu, thể tích của khối cầu đó.
-

D
O

 Lời giải:
S

* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
ABCD là hình vng cạnh 2a , tâm O
SO  (ABCD)
OC  hc SC
( ABCD )

  
 ( SC , ( ABCD ))  ( SC , OC )  SCO  45o

*  AOB vng tại O có
2

a 3
a 6
 

3
 3 

A

 a 2  


* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a 2 3 a 6 a3. 2
VABCD  .S BCD . AO  .
.

3
3 4
3
12

D

B

O

 S ABC 

2a

C

 SABCD



*  SOC vng tại O có OC = a 2 , SCO  45o

* Tam giác A/AB vng tại A
a 3

A
a
B

Tài liệu lưu hành nội bộ

C

 A / A  A / B 2  AB 2  a 3

* VABC . A B C  SABC . A/ A 
/

11

/

/

 SO = OC = a 2

* Thể tích khối chóp S.ABCD
1
1
4a 3 2

VS . ABCD  .S ABCD .SO  .4a 2 .a 2 
3
3
3

AC 2  AB 2  a 2
1
a2 2
AB.BC 
2
2

AC 2a 2

a 2
2
2
2
2
  2a   4a

 OC=AO=

Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB=a,
AC=a 3 , cạnh A/B = 2a. Tính thể tích khối lăng trụ
Giải
* Tam giác ABC vng tại B
C/
A/
 BC =

* Diện tích hình vng ABCD
 AC = 2a. 2

45

Bà i Toá n 1.10:

B/

4 R 3
3

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên tạo với đáy
một góc bằng 45o .Tính thể tích khối chóp S.ABCD và thể tích của khối cầu ngoại tiếp
khối chóp
Giải

a 3
2

AO  AB 2  BO 2 

V( s ) 

Bà i Toá n 4.1:

2
2 a 3 a 3
 BO= .BM  .


3
3 2
3
a2 . 3
 SBCD 
4

C

Cơng thức tính diện tích mặt cầu và thể tích khối cầu
S( s )  4 R 2

*  BCD đều cạnh a
 BM =

M

Xác định tâm I và bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hinh chóp

-

* ABCD là tứ diện đều cạnh a
Gọi M là trung điểm CD
Ta có : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a
 BCD đều cạnh a, tâm O
 AO  (BCD)

B

DIỆN TÍCH MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP
THỂ TÍCH KHỐI CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI CHĨP

Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Tứ diện đều ABCD có các tính chất
+ tất cả các cạnh đều bằng nhau
+ tất cả các mặt là các tam giác đều
+ gọi O là trọng tâm của tam giác đáy
 Đường cao của hình chóp là AO ( AO  (BCD))
 Lời giải:
A

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

* Thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp
Ta có OA=OB=OC=OD=OS= a 2
 mặt cầu (S) ngoại tiếp khối chóp S.ABCD có tâm O và bán kính R = a 2
4 R 3 4 ( a 2)3 8 a 3 . 2
Vậy V( s ) 


3

3

3

a3 6
2

Lưu Tuấn Hiệp

Tài liệu lưu hành nội bộ

20

Lưu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Bà i Toá n 3.2:

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Dạng 2.

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và SC. Tính thể
tích khối chóp S.AMN và A.BCNM

THỂ TÍCH KHỐ I CHÓP- KHỐI LĂNG TRỤ
LIÊN QUAN ĐẾN GÓC

Trong chương trình Toán phổ thông , Hình học Khô ng gian được phân phối học ở

Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện
liên quan đến khối chóp đã cho

cuối năm lớp 11 và đầu năm lớp 12, kiến thức về gó c ( góc giữa đường thẳ ng và mặt

 Lời giải:

đề rất khó đối với học sinh lớp 12 khi vận dụng vì đa số học sinh quên và không biết cách

( Dùng cơng thức tỷ số thể tích)

phẳng ; góc giữa hai mặt phẳng) được học vào cuối năm lớp 11 và đến đầu năm lớ p 12
sẽ được vận dùng vào bài toán tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ. Đó là một vấn

vận dụng, từ đó đa số học sinh đều bỏ hoặ c làm sai bài toán tính thể tích của khối chóp ,

S

Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S
Do đó theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có
N

M
C
A

VS . AMN SA SM SN
1 1 1

.
.
 1. . 
VS . ABC SA SB SC
2 2 4
1 2
.a 3.a 3
V
a3
 VS . AMN  S . ABC  3

4
4
4
3
3
3a
 VA.BCNM  .VS . ABC 
4
4

khối lăng trụ trong các kỳ thi học kỳ , thi Tốt nghiệp THPT
Ở đây, tôi hệ thống lại một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải bài toán
tính thể tích liên quan đến giả thuyết về góc
Góc

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳn g
B

Góc giữa hai mặt phẳ ng
S

S

Bà i Toá n 3.3:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA vng
góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a . Gọi I là trung điểm SC. Tính thể tích khối chóp
I.ABCD
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện
liên quan đến khối chóp đã cho

C

A

A
C
O

B

B

Xá c định Góc giữa SB và (ABC)

Ta có : AB  hc SB

Xác định góc giữa (SBC) và
(ABC)
Ta có : (SBC)  (ABC) = BC
SM  BC
AM  BC

( ABC )

  
 ( SB,( ABC ))  ( SB, AB)  SBA

 Lời giải:
Gọi O là giao điểm AC và BD
Ta có : IO // SA và SA  (ABCD)
 IO  (ABCD)

S

1
 VI . ABCD  .S ABCD .IO
3
Mà : S ABCD  a 2

I
A

B

IO 
D

O
C

Tài liệu lưu hành nội bộ

Vậy


  
(( SBC ),( ABC ))  ( SM , AM )  SMA

Chú ý : Xác định hai đường thẳng
nằ m trong hai mặ t phẳng và
cùng vuông góc vớ i giao
tuyến tại một điểm

SA
a
2

1
a3
VI . ABCD  .a 2 .a 
3
3

19

M

Lưu Tuấn Hiệp

Tài liệu lưu hành nội bộ

12

Lưu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Bà i Toá n 2.1:

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Bà i Toá n 3.1:

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng tại B, AB = a,   600 , cạnh
ACB
bên SA vng góc với mặt phẳng đáy và SB tạo với mặt đáy một góc bằng 450 .Tính
thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:

 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
 Xác định góc giữa SB và (ABC) là góc giữa SB với hình chiếu của nó lên
(ABC)
 Lời giải:
* Ta có : AB = a ,
AB  hc SB

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC đều cạnh 2a, cạnh bên SA vng góc với
mặt phẳng đáy và SA = a 3 . Gọi M,N lần lượt là trung điểm của AB và AC. Tính thể
tích khối chóp S.AMN
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Hướng dẫn học sinh tính thể thể tích một khối chóp “nhỏ” dựa trên dữ kiện
liên quan đến khối chóp đã cho
 Lời giải:

( ABC )

S

  
 ( SB, ( ABC ))  ( SB, AB )  SBA  45o
*  ABC vng tại B có AB = a,   600
ACB
AB
a
a 3
 BC 



tan 600
3
3

1
3

S

Cách 1: (dùng cơng thức thể tích V  .S .h )
* Khối chóp S.AMN có
N

2

A

60

45
B

1
1 a 3 a . 3
BA.BC  .a.

2
2
3
6


*  SAB vuông tại A có AB= a, B  450
 SA  AB.tan 45o  a

C

 SABC 

A
B

* Thể tích khối chóp S.ABC

Bà i Toaù n 2.2:

( ABCD )

  
 ( SC , ( ABCD ))  ( SC , AC )  SCA  60 o

* Diện tích hình vng
 SABCD  a 2

*  SAC vng tại A có AC= a 2 , C  600

A

B

* Thể tích khối chóp S.ABCD

60
D

C

Tài liệu lưu hành nội bộ

 SA  AC .tan 60o  a 6

1
1
a 3. 6
VS . ABCD  .S ABCD .SA  .a 2 .a 6 
3
3
3

13

Lưu Tuấn Hiệp

1
1
3 a 2. 3
AM . AN .sin 60 0  .a.a.

2
2
2

4
* SA = a 3
 SAMN 

1
1 a2. 3
a3. 3
VS . ABC  .S ABC .SA  .
.a 
3
3 6
18

AC  hc SC

-Đáy là tam giác AMN
- Đường cao là SA
*  AMN có Â = 600, AM=AN = a

M

* Thể tích khối chóp S.ABC

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, cạnh bên SA
vng góc với mặt phẳng đáy và SC tạo với mặt đáy một góc bằng 600 .Tính thể tích
khối chóp S.ABCD
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
 Vẽ tam giác đáy, vẽ đường cao SA  (ABC) và vẽ thẳng đứng
 Xác định góc giữa SC và (ABCD) là góc giữa SC với hình chiếu AC của SC

lên (ABCD)
 Lời giải:
* Ta có : ABCD là hình vng cạnh a ,
S

C

1
1 a2 . 3
a3
VS . AMN  .S AMN .SA  .
.a. 3 
3
3 4
4

Cách 2 : ( Dùng công thức tỷ số thể tích)
Khối chóp S.AMN và S.ABC có chung đỉnh A và góc ở đỉnh A
Do đó theo cơng thức tỷ số thể tích , ta có
VA.SMN AS AM AN
1 1 1

.
.
 1. . 
VA.SBC AS AB AC
2 2 4
V
1
 VS . AMN  VA.SMN  .VA.SBC  S . ABC

4
4
1
1 4a 2 . 3
Ta có : VS . ABC  .S ABC .SA  .
.a. 3  a 3
3
3
4
V
a3
Vậy VS . AMN  S . ABC 
4
4

 Nhận xét:
 Học sinh thường lúng túng khi gặp thể tích của khối chóp “nhỏ” hơn khối chóp đã
cho và khi đó xác định đa giác đáy và đường cao thường bị sai.
 Trong một số bài tốn thì việc dùng “tỷ số thể tích “ có nhiều thuận lợi hơn.

Tài liệu lưu hành nội bộ

18

Lưu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Dạng 3.

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Bà i Toá n 2.3:

TỶ SỐ THỂ TÍCH

- Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót, Tuy

Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại B, AB = a 3 , BC = a, cạnh
bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC) một góc
bằng 600 .Tính thể tích khối chóp S.ABC

nhiên trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối
Giải

chóp đã cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau:

S

 Sai lầm của học sinh:
 Gọi M là trung điểm BC
 Ta có AM  BC
SM  BC

+ Cách 1:

o Xác định đa giác đáy

  
 (( SBC ), ( ABC ))  ( SM , AM )  SMA  60 o

o Xác định đường cao ( phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt

C
60

A

M
B

phẳng đáy)

(Hình vẽ sai)
 Lời giải đúng:

o Tính thể tích khối chóp theo cơng thức
+ Cách 2

* Ta có : AB = a 3 ,
(SBC)  (ABC) = BC
AB  BC ( vì  ABC vng tại B)
SB  BC ( vì AB  hc SB

S

o Xác định đa giác đáy

( ABC )

o Tình các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện

  
 (( SBC ), ( ABC ))  ( SB, AB )  SBA  60o

tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã
cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho

A
C

60

+ Cách 3: dùng tỷ số thể tích

B

Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S

S

* Thể tích khối chóp S.ABC
1
1 a 2. 3
a3. 3
VS . ABC  .S ABC .SA  .

.3a 
3
3 2
2

N

A

1
1
a 2. 3
BA.BC  .a 3.a 
2
2
2

 SA  AB.tan 60o  3a

V
SM SN SK
Ta có : S .MNK 
.
.
VS . ABC
SA SB SC

K
n

 SABC 


*  SAB vng tại A có AB= a, B  600

và góc ở đỉnh S
M

*  ABC vng tại B có AB = a 3 ,BC =a

C

 Nhận xét:

B

 Học sinh không lý luận để chỉ ra góc nào bằng 60o , do đó mất 0.25 điểm
Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều có đề cập đến tính thể tích của một khối
chóp “nhỏ” liên quan đến dữ kiện của khối chóp lớn.Tuy nhiên
Chương Trình Chuẩn

Chương Trình Nâng Cao

- Khơng trình bày khái niệm tỷ số thể Có trình bày khái niệm tỷ số thể tích của
tích của 2 khối chóp

2 khối chóp

 Học sinh xác định góc giữa hai mặt phẳng bị sai vì đa số học sinh khơng nắm rõ
cách xác định góc và cứ hiểu là góc SMA với M là trung điểm BC

o Nếu đáy là tam giác vuông tại B (hoặc C), hình vng và SA vng góc với
đáy thì góc giữa mặt bên và mặt đáy sẽ là góc được xác định tại một trong hai
vị trí đầu mút của cạnh giao tuyến
o Nếu đáy là một tam giác cân (đều) và SA vng góc với đáy hoặc là hình
chóp đều thì góc giữa mặt bên và mặt đáy là góc ở tại vị trí trung điểm của
cạnh giao tuyến.

Tài liệu lưu hành nội bộ

17

Lưu Tuấn Hiệp

Tài liệu lưu hành nội bộ

14

Lưu Tuấn Hiệp


Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Thể Tích Khối Đa Diện – Mặ t Tròn Xoay

Toán 12

Bà i Toá n 2.4:

Bà i Toá n 2.5:

Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vng cân tại A, cạnh BC = a 2
, cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy ; mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy (ABC)
một góc bằng 450 .Tính thể tích khối chóp S.ABC

Cho lăng trụ đứng ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác vuông tại B,
AB=a, BC = a 2 , mặt bên (A/BC) hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300 .Tính thể tích
khối lăng trụ.

Giải

Giải
* Ta có A/A  (ABC)

C/

A/

 Sai lầm của học sinh:

B/

 
 (( SBC ), ( ABC ))  SBA  45o

( A / BC )  ( ABC )  BC

AB  BC

2a

 Lời giải đúng:

Mà AB = hc( ABC ) A / B nên A/B  BC

* Ta có : AB = a 3 ,
(SBC)  (ABC) = BC
Gọi M là trung điểm BC
AM  BC ( vì  ABC cân tại A)
SM  BC ( vì AM  hc SM

S

 
 ( A/ BC ),( ABC )  A/ BA  30 0



C
A

300

a



* Tam giác ABC vuông tại B

a 2
B

( ABC )

  
 (( SBC ), ( ABC ))  ( SM , AM )  SMA  45o

 S ABC 

1
a2 2
AB.BC 
2
2

*  ABC vuông cân tại A có ,BC = a 2
* Tam giác A/AB vng tại A  A/ A  AB.tan 30 0 

C
45

A

M

a 2
2
1
1

a2
 AB. AC  .a.a 
2
2
2

 AB = BC = a và AM =

B

 SABC

* VABC . A B C  S ABC . A/ A 
/

/

/

a 3
3

a3 6
6

Baø i Toá n 2.6:

a 2 
*  SAM vng tại A có AM=
, M  450

2
a 2
 SA  AB.tan 45o 
2

Cho lăng trụ ABC.A/B/C/ có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a 3 , hình
chiếu vng góc của A/ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC,
cạnh A/A hợp với mặt đáy (ABC) một góc 300. Tính thể tích khối lăng trụ.
A/

C/

* Thể tích khối chóp S.ABC

B/

Giải
* Gọi M là trung điểm BC

1
1 a 2 a 2 a 3. 2
VS . ABC  .S ABC .SA  . .

3
3 2 2
12

G là trọng tâm của tam giác ABC
Ta có A/G  (ABC)
GA = hc( ABC ) A / A

30 0
A

C

G
2a 3



M
B


A A,( ABC
 )  A AG  30
/



/



2

* Tam giác ABC đều cạnh 2a 3  S ABC  2 a 3 .

0

3
 3a 2 3
4

2
2
3
* Tam giác A/AG vng tại G có   30 0 , AG  AM  .2 a 3.
A
 2a
3

 A/ G  AG.tan 30 0 

Tài liệu lưu hành nội bộ

15

Lưu Tuấn Hiệp

Tài liệu lưu hành nội boä

3

2

2a 3
.Vậy VABC . A/ B/ C /  S ABC . A/ A  6 a3
3

16

Lưu Tuấn Hiệp