Nghiên cứu về đường cong phẳng

Đ I H C THÁI NGUN
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C
PH M TRUNG KIÊN
ĐƯ NG CONG PH NG
LU N VĂN TH C SĨ TỐN H C
Thái Ngun - Năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Đ I H C THÁI NGUN
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C
PH M TRUNG KIÊN
Chun ngành: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ C P
Mã s : 60 46 01 13
LU N VĂN TH C SĨ TỐN H C
NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C
PGS-TS: ĐÀM VĂN NH
Thái Ngun - Năm 2013
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
M cl c
L i nói đ u 2
1 KI N TH C CHU N B 5
1.1 Nhóm 5
1.2 Vành đa th c và nghi m đa th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.3
K t th c và bi t th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 ĐƯ NG CONG PH NG 21
2.1 Khái ni m đư ng cong ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2 Tham s hóa đư ng cong ph ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.3 Đi m h u t trên đư ng cônic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.4 C u
trúc nhóm trên đư ng cong b c ba không có đi m kỳ d . . . 28
3 M TS NG D NG 31
3.1 M t vài bài hình sơ c p qua tham s hóa . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2

M t vài phương trình nghi m nguyên qua tham s hóa . . . . . . 35
3.3 Phép bi n hình N
ab
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3.4 M t vài bài toán v đư ng cong b c 3 . . . . . . . . . . . . . . . . 44
K t lu n 52
Tài li u tham kh o 53
1
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
L I NĨI Đ U
Đã t lâu, ngư i ta r t quan tâm đ n nh ng phương trình ki u x
2
+ y
2
= z
2
hay x
3
+y
3
= z
3
v i x, y, z ngun. Vi c gi i các bài tốn này khi z = 0 cũng chính là vi
c tìm các đi m h u t trên đư ng cong ph ng x
2
+ y
2
= 1 hay x
3
+ y

3
= 1. Chính vì v y
m t v n đ n y sinh là xác đ nh các đi m h u t trên đư ng cong ph ng. Đ có th xác
đ nh đư c h u h t các đi m h u t , ngư i ta thư ng tham
s hóa đư ng cong ph ng trong R
2
.
M t v n đ n a cũng đư c nhi u ngư i quan tâm là: M t k t qu trong hình
h c đúng cho đư ng tròn thì còn đúng cho đư ng elip, hypecbol, parabol khơng? Đ
có đư c k t qu đúng cho đư ng conic thì các h th c ph i có các h s tương
ng kèm theo.
V n đ th ba là: Mơ t m t t p h p đi m trong hình h c ph ng khơng ph i c dùng
thư c k và compa là d ng đư c. Khi đó mu n tìm qu tích các đi m trong m t ph ng
ta có th mơ t qua đư ng cong ph ng.
V i ba v n đ đ t ra trên lu n văn này t p trung nghiên c u v đư ng cong
ph ng và m r ng m t vài k t qu đã bi t t lâu. Lu n văn đư c chia làm ba chương.
Chương 1. Trình bày m t vài ki n th c chu n b v nhóm, vành đa th c, k t th c
và bi t th c.
Chương 2. T p trung trình bày v đư ng cong ph ng. M c 2.1 trình bày khái ni
m đư ng cong ph ng. Chúng tơi đã ch ng minh đư c m nh đ 2.1.2. v giao h u h n
đi m c a hai đư ng cong ph ng. M c 2.2 trình bày vi c tham s hóa các đư ng
conic và m t vài đư ng cong ph ng khác. Chúng tơi tham s hóa theo
2
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
ki u phân th c h u t đ áp d ng vào xác đ nh đi m h u t trên đư ng cong
ph ng. C nh đó chúng tơi cũng tham s hóa hàm lư ng giác đ chuy n m t vài k t
qu t đư ng tròn sang elip. M c 2.3 chúng tơi trình bày m t phương pháp xác đ nh
đi m h u t trên đư ng conic. M c 2.4 trình bày c u trúc nhóm trên đư ng cong b c
ba khơng có đi m kỳ d . .
Chương 3. M t s ng d ng

M c 3.1 trình bày m t vài bài hình sơ c p qua tham s hóa. Trong m c này
tơi đã s d ng tham s hóa đ gi i quy t m t s bài tốn t p h p đi m mà qu
tích c a chúng là m t đư ng cong ph ng b c ba. M c 3.2 đưa ra cách gi i m t vài
phương trình nghi m ngun s d ng phương pháp tham s hóa. M c 3.3
trình bày v khái ni m và m t vài tính ch t c a phép bi n hình N
ab
. Trong m c
này tơi trình bày đ nh lý Ptolemy và đ nh lý Newton đ i v i đư ng tròn. T k t
qu này s d ng phép bi n hình N
ab
phát hi n ra m t s k t qu tương t cho
elip. M c 3.4 tơi trình bày m t s bài tốn v đư ng cong ph ng b c ba đ c bi t
là bài tốn đư ng cong ph ng 21- đi m K
3
.
Đích cu i cùng lu n văn mu n đ t đư c là:
1. K t th c và phép kh v i nh ng tính ch t cơ b n và ng d ng. 2. Đư
ng cong ph ng trong m t ph ng và m t vài tính ch t.
3. Tham s hóa đư ng cong ph ng và s d ng tham s hóa đư ng cong ph ng
trong m t s bài tốn v phương trình nghi m ngun, đi m h u t và m t s bài
hình sơ c p.
4. Phương pháp tìm đi m h u t trên đư ng conic và c u trúc nhóm trên đư ng
cong ph ng b c ba khơng kỳ d .
5. Trình bày phép bi n hình N
ab
và m t vài tính ch t.
6. Bài tốn đư ng cong ph ng 21 - đi m K
3
.
Dù đã r t c g ng, nhưng ch c ch n n i dung đư c trình bày trong lu n văn

khơng tránh kh i nh ng thi u sót nh t đ nh, em r t mong nh n đư c s góp ý c a
các th y cơ giáo và các b n.
3
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Lu n văn đư c hồn thành dư i s hư ng d n khoa h c c a PGS.TS. Đàm Văn
Nh . Em xin đư c t lòng c m ơn chân thành nh t t i th y. Em xin c m ơn chân
thành t i Trư ng Đ i h c Khoa H c - Đ i h c Thái Ngun, nơi em đã nh n đư c m t
h c v n căn b n sau đ i h c. Tác gi xin chân thành c m ơn gia đình, b n bè, đ ng
nghi p đã c m thơng, ng h và giúp đ trong su t th i gian tác gi h c cao h c và vi t
lu n văn.
Thái Ngun, ngày 10 tháng 5 năm 2013
Ngư i vi t
Ph m Trung Kiên
4
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Chương 1
KI N TH C CHU N B
1.1 Nhóm
Gi s X là m t t p khác r ng. Xét tích X ⋅ X = {(a, b) |a, b ∈ X } . M t ánh
x ∗ : X ⋅ X → X đư c g i là m t phép tốn hai ngơi trên X. Gi thi t ∗ là m t phép tốn hai
ngơi trên X. Phép tốn ∗ đư c g i là có tính ch t k t h p n u (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) th a mãn
cho m i a, b, c ∈ X. Phép tốn ∗ đư c g i là có tính ch t giao hốn n u a ∗ b = b ∗ a th a mãn
cho m i a, b ∈ X. Gi s A là m t t p con c a X. T p A đư c g i là n đ nh v i phép tốn ∗ n
u a ∗ b ∈ A v i m i
a, b ∈ A.
Đ nh nghĩa 1.1.1. Gi s t p X = ∅ v i phép tốn hai ngơi ∗. Ph n t e ∈ X
đư c g i là ph n t trung hòa n u a ∗ e = e ∗ a = a th a mãn cho m i a ∈ X.
Đ nh nghĩa 1.1.2. Cho t p X = ∅ v i phép tốn hai ngơi ∗ và ph n t
trung hòa e. Gi s ph n t a ∈ X. Ph n t b ∈ X đư c g i là ph n t ngư c c a a n u a ∗ b = b ∗ a
= e.

Đ nh nghĩa 1.1.3. Cho t p X = ∅ v i phép tốn hai ngơi ∗ và ph n t trung hòa e.
Gi s ph n t a ∈ X. Ph n t b ∈ X đư c g i là ph n t ngư c c a a n u a ∗ b = b ∗ a = e và ta nói a
có ph n t ngư c là b.
D dàng ch ng minh đư c r ng, n u X = ∅ v i phép tốn hai ngơi k t h p ∗ mà có ph
n t trung hòa e thì ph n t e là duy nh t và n u ph n t a ∈ X có ph n t ngư c b ∈ X thì b
cũng là duy nh t.
Đ nh nghĩa 1.1.4. Cho t p X = ∅ v i phép tốn hai ngơi ∗. X đư c g i là
5
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
m t nhóm n u X cùng phép tốn ∗ th a mãn các đi u ki n sau:
(i) X có ph n t trung hòa e.
(ii) Phép tốn ∗ có tính ch t k t h p, có nghĩa: (a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c) th a mãn cho m i a, b,
c ∈ X.
(iii) M i ph n t a ∈ X đ u có ph n t ngư c, có nghĩa: Có b ∈ X đ a ∗ b =
b ∗ a = e.
Nhóm X v i phép tốn ∗ đư c g i là nhóm giao hốn n u x ∗ y = y ∗ x th a mãn
cho m i ph n t x, y ∈ X.
N u phép tốn hai ngơi ∗ trên nhóm X đư c kí hi u b i phép c ng + thì thay cho vi c
vi t a ∗ b ta vi t a + b và đư c g i là t ng c a a và b. Nhóm (X, +) g i là nhóm c ng. Ph n t
trung hòa e c a nhóm này là ph n t khơng và đư c kí hi u là 0. Ph n t ngư c c a a
đư c g i là ph n t đ i và kí hi u qua −a. Do v y a − a = a + (−a) = 0.
N u phép tốn hai ngơi ∗ trên nhóm X đư c kí hi u b i phép nhân . thì thay cho vi c
vi t a ∗ b ta vi t a.b ho c vi t đơn gi n ab và g i là tích c a a và b. Nhóm
(X, .) đư c g i là nhóm nhân. Ph n t trung hòa e c a nhóm này đư c g i là
ph n t đơn v và đư c kí hi u là e. Ph n t ngư c c a a đư c g i là ph n t ngh ch đ o
và đư c kí hi u qua a
−
1
. Do v y aa
−

1
= e.
1.2 Vành đa th c và nghi m đa th c
1.2.1 Khái ni m vành đa th c
Gi s R là vành giao hốn v i đơn v 1. Kí hi u P ⊂ R
N
là t p h p t t
c các dãy f = (a
0
, a
1
, , a
n
, 0, 0 ) v i các a
i
∈ R và ch có m t s h u h n
thành ph n khác 0. Như v y ph n t thu c P ho c có d ng(0, 0, , 0, 0, ) ho c
(a
0
, a
1
, , a
n
, 0, 0, ) v i thành ph n cu i cùng a
n
= 0. Ta đưa phép tốn vào P
đ bi n P thành m t vành. V i f = (a
0
, , a
n

, 0, ), g = (b
0
, , b
m
, 0, ) ∈ P ,
đ nh nghĩa:
f = g khi và ch khi a
i
= b
i
, i = 0, 1, 2,
6
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
f + g = (a
0
+ b
0
, a
1
+ b
1
, , a
k
+ b
k
, , 0, )
f.g = (a
0
b
0

, a
1
b
0
+ a
0
b
1
, a
2
b
0
+ a
1
b
1
+ a
0
b
2
, , 0, )
B đ 1.2.1. T p (P, +, .) là m t vành giao hốn v i đơn v (1, 0, 0, ) và ánh
x
φ
: R → (P, +, .) , a → (a, 0, 0, ) là m t đơn c u.
Ch ng minh: D dàng ki m tra các k t qu trên.
Đ t x = x
1
= (0, 1, 0, 0, ) và quy ư c x
0

= (1, 0, 0, ). Ta có bi u di n
x
0
= (1, 0, 0, )
x = (0, 1, 0, 0, )
x
2
= (0, 0, 1, 0, 0, ) x
3
=
(0, 0, 0, 1, 0 ) =
f = (a
0
, a
1
, , a
n
, 0, 0, )
= (a
0
, 0, 0, ) + (0, a
1
, 0, 0, ) + + (0, 0, , 0, a
n
, 0, )
= (a
0
, 0, ) x
0
+ (a

1
, 0, ) x + + (a
n
, 0, 0, ) x
n
N u đ ng nh t a ∈ R v i nh
φ
(a) = (a, 0, 0, ) , x
0
= (1, 0, 0, ) =
φ
(1) ta có bi u
di n f = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
. Lúc này vành (P, +, .) đư c kí hi u qua R[x]
và ta có
n
R [ x ] = a
0
+ a

1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
|a i
∈R =
i=0
a
i
x
i
|a
i
∈ R
M i ph n t f ∈ R [x] đư c g i là m t đa th c c a x v i các h s a
i
thu c vành R. H s a
n
= 0 đư c
g i là h s cao nh t, còn h s a
0
đư c g i là h s t do
c a f, n đư c g i là b c c a đa th c f và kí hi u là degf(x). Riêng đa th c 0
đư c quy đ nh có b c là −∞ ho c −1. Vì tính ch t đ c bi t c a x nên đơi khi ta g i x là m t
bi n trên R và đa th c f còn đư c vi t qua f(x).

n m
N u f (x) = a
i
x
i
, g (x) = b
i
x
i
∈ K [x] thì
i=1 i=1
f (x) = g(x) khi và ch khi m = n, a
i
= b
i
v i 0 ≤ i ≤ n
i
f ( x) + g ( x) = ( a
i
+ b
i
) x
i
, f ( x ) g ( x ) = (a
i
−
j
b
j
) x

i
i=0 i=0 j=0
Ta có các k t qu sau đây:
Đ nh lý 1.2.2. V i trư ng K, K[x] là m t vành giao hốn. Hơn n a, K[x] còn là m
t mi n ngun.
7
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Đ nh lý 1.2.3. V i các đa th c f(x), g(x) ∈ K[x] và g(x) = 0 có hai đa th c
duy nh t q(x), r(x) sao cho f(x) = g(x).q(x) + r(x) v i degr(x) < degg(x).
Đ nh lý 1.2.4. Gi s K là m t trư ng. Khi đó vành K[x] là m t vành chính và nó
là vành nhân t hóa.
Ví d 1.2.5. Cho hai s t nhiên n và p v i n > p ≥ 1. Tìm đi u ki n c n
và đ đ x
n
− a
n
chia h t cho x
p
− a
p
v i a ∈ R, a = 0.
Bài gi i: Bi u di n n = qp + r trong Z v i 0 ≤ r < p. Khi đó có th vi t
x
n
− a
n
= (x
p
− a
p

) x
n
−
p
+ a
p
x
n
−2
p
+ + a
(
q−1)
p
x
n
−qp + a
qp
(x
r
− a
r
) .
V y, đi u ki n c n và đ đ x
n
− a
n
chia h t cho x
p
− a

p
là n chia h t cho p.
Gi s trư ng K là trư ng con c a trư ng K
∗
. V i
α
∈ K
∗
và đa th c f (x) =
n n
a
i
x
i
∈ K [x]. Bi u th c f (
α
) = a
i
α
i
∈ K
∗
đư c g i là giá tr c a f (x) t i
α

i=1 i=1
trong K
∗
. N u f(
α

) = 0 thì
α
đư c g i là m t nghi m c a f(x) trong K
∗
. Gi s
s ngun m ≥ 1. Ph n t
α
∈ K
∗
đư c g i là m t nghi m b i c p m c a f(x) trong K
∗
n u f(x) chia
h t cho (x −
α
)
m
và f(x) khơng chia h t cho (x −
α
)
m
+1 trong K
∗
[x]. Khi m = 1 thì
α
đư c g i là
nghi m đơn.
Đ nh lý 1.2.6. Đa th c f(x) ∈ K[x] b c n ≥ 1. Khi đó ta có k t qu sau:
(i) N u
α
∈ K là nghi m c a f(x) thì f(x) = (x −

α
)g(x) v i g(x) ∈ K[x]. (ii) f(x) có khơng
q n nghi m trong K.
1.3 K t th c và bi t th c
K t th c c a hai đa th c đư c bi t đ n và ng d ng m nh m trong đ i s
máy tính. Nó đ c trưng cho vi c xác đ nh tính ch t đ c trưng c a hai đa th c m t bi
n trên trư ng K có nghi m chung thơng qua h s c a hai đa th c đó mà khơng đòi
h i ph i tìm nghi m c a chúng. K t th c là cơng c đáng ng c nhiên trong vi c gi i
quy t các bài tốn v h phương trình đ i s .
1.3.1. Khái ni m k t th c
Gi s u
0
, u
1
, , u
m
và v
0
, v
1
, , u
n
là m t h g m m + n + 2 bi n đ c l p đ i s
8
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
trên trư ng K. Xét hai đa th c v i bi u di n dư i đây:
f
u
(x) = u
o

x
m
+ u
1
x
m
−
1
+ + u
m
g
v
(x) = v
o
x
n
+ v
1
x
n
−
1
+ + v
n
thu c vành đa th c K[u, v][x]. Khi đó đ nh th c c p m + n dư i đây:
u
0
u
1
u

2
••• u
m
u
0
u
1
• • • u
m
−
1
u
m

••
•

u
0
u
1
• • • u
m
−
1
u
m
Res(f
u
, g

v
) :=
v
0
v
1
v
2
••• v
n
v
0
v
1
••• v
n
−1 v
n

v
0
••
•
v
1

••
•

v

n
−1
v
n
g m n dòng cho các u
i
và m dòng cho các v
j
đư c g i là k t th c hay đ nh th c
Sylvester c a hai đa th c f
u
(x) và g
v
(x). T đ nh nghĩa ta suy ra m t vài tính
ch t :
(i) Res(f
u
, g
v
) là đa th c thu n nh t v i h s nguyên b c m + n và là đa th c
thu n nh t b c n c a các u
i
và là đa th c thu n nh t b c m c a các v
j
.
(ii) Res(f
u
, g
v
) có h ng t là đơn th c u

n
v
m
. 0n
(iii) Gi s m ≥ n và c ∈ K. Khi đó Res(f
u
+ cg
v
, g
v
)=Res(f
u
, g
v
).
(iv) V i đa th c h
t
ta có Res(f
u
, g
v
h
t
) =Res(f
u
, g
v
).Res(f
u
, h

t
).
Đ nh lí 1.3.1 V i hai đa th c f
u
(x) và g
v
(x) luôn có hai đa th c
h(u, v, x), k(u, v, x) ∈ K[u, v][x] th a mãn h th c bi u di n sau:
Res(f
u
(x), g
v
(x)) = h(u, v, x)f
u
(x) + k(u, v, x)g
v
(x).
Ch ng minh: S d ng m t h các đ ng nh t th c dư i đây:

n
−1 
x
f
u
(x) = u
0
x
m
+n−
1

+ u
1
x
m
+n−
2
+ + u
m
x
n
−1

n
−2

x
f
u
(x) = u
0
x
m
+n−
2
+ u
1
x
m
+n−
3

+ + u
m
x
n
−2










f
u
(x) = u
0
x
m
+ u
1
x
m
−
1
+ + u
m



x
m
−
1
g
v
(x) = v
0
x
m
+n−
1
+ v
1
x
m
+n−
2
+ + v
n
x
m
−1





x

m
−
1
g
v
(x) = v
0
x
m
+n−
2
+ v
1
x
m
+n−
3
+ + v
n
x
m
−2







g

v
(x) = v
0
x
n
+ v
1
x
n
−
1
+ + v
n
9
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Ta coi z
i
= x
m
+n−1−
i
, i = 0, 1, , m + n − 1 , là các n và đ nh th c c a h phương
trình tuy n tính này là Res(f
u
(x), g
v
(x)). Kí hi u
−
i , i = 0, 1, , m + m − 1, là các
vectơ c t c a ma tr n ngay dư i

→
k

u
0
u
1
u
2

u
m



u
0
u
1
. . . u
m
−
1
u
m








••
•



u
0
u
1
• • • u
m
−
1
u
m



v
v

0
1
v
2
••
•

v
n


 

v
0
v
1
••
•
v
n
−1 v
n




Và


v
0
••
•
v
0
••

•
v
n
−1
v
n


→
− = x
n
−
1
f (x) , , f (x) , x
m
−
1
g (x) , , g (x)
T
k
Khi đó ta có h th c
u v v
z
0
−
0
+ z
1
−
1

+ + z
m
+n−1− m+n−
1
= −
→
k
→
k
→
k
→
k
Gi i h này qua đ nh th c và khai tri n đ nh th c ta có h th c :
−− →→ →−
→−
Res (f
u
(x) , g
v
(x)) = det k
0
, k
1
, , k
m
+n−
2
, k
Do đó

Res
(f
u
(x) , g
v
(x)) = h (u, v, x) f
u
(x) + k (u, v, x) g
v
(x).
Ti p theo, th c hi n phép đ c bi t hóa K [u, v] [x] → K [x] qua vi c th
(u
0
, u
1
, , u
m
) → (a
0
, a
1
, , a
m
) , (v
0
, v
1
, , v
n
) → (b

0
, b
1
, , b
n
)
Khi đó có đa th c f
a
(x), g
b
(x) và k t th c Res(f
a
, g
b
) sau đây:
f
a
(x) = a
0
x
m
+ a
1
x
m
−
1
+ + a
m
g

b
(x) = b
0
x
n
+ b
1
x
n
−
1
+ + b
n
, a
0
b
0
= 0
10
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
a
0
a
1
a
2
••• a
m
a
0

a
1
• • • a
m
−
1
a
m

••
•

a
0
a
1
• • • a
m
−
1
a
m
Res(f
a
, g
b
) =
b
0
b

1
b
2
••• b
n
b
0
b
1
••• b
n
−1 b
n

b
0
••
•
b
1

••
•

b
n
−1
b
n
Đ nh lý 1.3.2. Hai đa th c f

a
(x) và g
b
(x) có ư c chung khác h ng s khi và
ch khi có hai đa th c thu c K[x] bi u di n d ng
p (x) = c
0
x
m
−
1
+ c
1
x
m
−
2
+ + c
m
−1
q (x) = d
0
x
n
−
1
+ d
1
x
n

−
2
+ + d
n
−1
không đ ng th i b ng 0 th a mãn q (x) f (x) = p (x) g (x) .
Ch ng minh: Gi s ta có quan h q (x) f (x) = p (x) g (x) . Khi đó m i nhân t c a f(x)
không th ch là các nhân t c a p(x), vì degp(x) ≤ m − 1 < m, m i nhân t c a g(x) không
th ch là các nhân t c a q(x), vì degq(x) ≤ n − 1 < n. V y hai đa th c f(x) và g(x) ph i có
ít nh t m t nhân t chung b t kh quy.
Ngư c l i, gi s f (x) và g(x) có nhân t chung là d(x) khác h ng s . Đ t
f (x) = d(x)p(x) và g(x) = d(x)q(x) .
Khi đó q (x) f (x) = q (x) p (x) d (x) = p (x) g (x) v i m −
1 ≥ deg p (x) , n − 1 ≥ deg q (x).
Chú ý r ng, phương trình q(x)f(x) = p(x)g(x) tương đương v i h phương trình
tuy n tính m + n n c
i
, d
j
sau đây:



d
0a
0
= c
0
b
0



d
a +d a =c b +c b

0
1

10 01 10



d
0
a
2
+ d
1
a
1
+ d
2
a
0
= c
0
b
2
+ c
1

b
1
+ c
2
b
0




d
n−
2
a
m
+ d
n
−
1
a
m
−
1
= c
m
−
2
b
n
+ c

m
−
1
b
n
−1






d
n−
1
a
m
= c
m
−
1
b
n
Đây là h phương trình tuy n tính thu n nh t g m m + n phương trình v i các
n c
0
, c
1
, , c
m

−
1
, d
0
, d
1
, , d
n
−
1
. H này có nghi m khơng t m thư ng khi và ch
11
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
khi đ nh th c c p m + n sau đây ph i b ng 0 :
a
0
a
1
a
2
a
0
a
1

−b
0
−b
1
−b

0
−b
2
−b
1
. . .
.
.
.
a
2
. . .
a
0
−
b
. . .
−
b 2
0
=0
a
m
.
.
.
. . .
a
1
−b

n
. . .
−
b
1
a
m
a
2
−b
n
−b
2

a
m
−b
n
Hay ta có
a
0
a
1
a
2
• • • a
m
a
0
a

1
• • • a
m
−
1
a
m

••
•

a
0
a
1
• • • a
m
−
1
a
m
Res(f
a
, g
b
) := =0
b
0
b
1

b
2
••• b
n
b
0
b
1
••• b
n
−1 b
n

b
0
••
•
b
1

••
•

b
n
−1
b
n
v i nh ng v trí tr ng đ u b ng 0.
H qu 1.3.3. Cho đa th c f(x) và g(x) có hai đa th c

α
(x) ,
β
(x) ∈ K [x] đ
α
(x) f (x) +
β
(x) g (x) = Res (f, g).
Ch ng minh: Đa th c f(x) và g(x) s có đư c qua đ c bi t hóa hai đa th c
f
u
(x) và g
v
(x) tương ng. T đ nh lí 1.3.1 suy ra s t n t i c a hai đa th c
α
(x) ,
β
(x) ∈ K [x] đ
α
(x) f (x) +
β
(x) g (x) = Res (f, g) qua đ c bi t hóa.
H qu 1.3.4. Cho đa th c f(x) và g(x). Hai đa th c f(x) và g(x) có nghi m
chung trong m t m r ng K
∗
c a K khi và ch khi Res(f, g) = 0.
Ch ng minh: Gi s hai đa th c f(x) và g(x) có nghi m chung
ξ
∈ K
∗

. Khi đó f (
ξ
) =
0 và g (
ξ
) = 0. Theo h qu 1.3.3, nh n đư c phương trình
Res (f, g) =
α
(
ξ
) f (
ξ
) +
β
(
ξ
) g (
ξ
) = 0 . Ngư c l i, gi thi t Res(f, g) = 0. Khi đó
f (x) và g(x) có nhân t chung khác h ng s (theo đ nh lí 1.3.2). V y f (x) và g(x)
có m t nghi m chung trong m t m r ng K
∗
c a K.
12
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
Ví d 1.3.5. Xác đ nh đi u ki n c n và đ đ f(x) = x
2
+ax+1 và g(x) = px+q
có nghi m chung.
Bài gi i: Hai đa th c f(x) và g(x) có nghi m chung khi và ch khi Res(f, g) = 0.

1a1
V y f(x) và g(x) có nghi m chung khi và ch khi 0 = pq0 = p
2
+ q
2
− apq
0pq
hay p
2
+ q
2
= apq.
Ví d 1.3.6. Xác đ nh đi u ki n c n và đ đ f(x) = x
2
+ ax + b và g(x) =
x
2
+ px + q có nghi m chung.
Bài gi i: Hai đa th c f(x) và g(x) có nghi m chung khi và ch khi Res(f, g) = 0.
V y f(x) và g(x) có nghi m chung khi và ch khi
1ab0
01ab
0= = (b − q)
2
+ (a − p) (aq − bp) .
1pq0
01pq
Cho hai đa th c thu n nh t hai bi n ta có k t qu tương đương đ nh lý 1.3.1
sau đây:
Đ nh lý 1.3.7. Cho hai đa th c thu n nh t hai bi n x

o
và x
1
là
f (x) = a
0
x
m
+ a
1
x
m
−
1
x
0
+ + a
m
x
m
1 1 0
g (x) = b
0
x
n
+ b
1
x
n
−

1
x
0
+ + b
n
x
n
1 1 0
a
0
b
0
= 0
có hai đa th c thu n nh t u(a, b, x) ,v(a, b, x) v i h s ngun c a các a
i
, b
j
và
x
0
, x
1
đ
Res(f, g)x
m
+n−
1
= u(a, b, x)f (x) + v(a, b, x)g(x). 0
1.3.2 Bi u di n k t th c qua nghi m
Gi s u

0
, z
1
, , z
m
và v
0
, t
1
, , t
n
là nh ng bi n đ c l p đ i s trên K. Xét hai
đa th c
f
u
(x) = u
0
(x − z
1
) (x − z
m
) = u
0
x
m
+ u
1
x
m
−

1
+ + u
m
g
v
(x) = v
0
(x − t
1
) (x − t
n
) = v
0
x
n
+ v
1
x
n
−
1
+ + v
n
thu c vành đa th c K[u, v][x].
V n đ đ t ra: Bi u di n k t th c Res(f
u
(x), g
v
(x)) qua các z
i

, t
j
. Trư c tiên
13
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
ta c n b đ sau:
B đ 1.3.8. Cho đa th c p(y
1
, , y
s
) ∈ K[y]. Khi đó ta có đ ng nh t th c
s
p(y
1
, y
2
, , y
s
) − p(z
1
, z
2
, , z
s
) =
γ
i
(y
i
− z

i
), trong đó
γ
i
∈ K [y
1
, , y
s
, z
1
, , z
s
].
i=1
Ch ng minh: Coi p(y
1
, y
2
, , y
s
) như là m t đa th c thu c vành đa th c
K[y
2
, , y
s
][y
1
]. Khi đó ta có th bi u di n
p (y
1

, y
2
, , y
s
) = q (y
1
) = c (y) y
i
1
i
v i c (y) ∈ K [y
2
, , y
s
] và ta có ngay
q (y
1
) − q (z
1
) = c (y) y
i
1 − z
i
1 = d (y, y
1
, z
1
) (y
1
− z

1
)
i
v n d ng k t qu này ta đư c
p (y) − p (z) = p (y
1
, y
2
, , y
s
−
1
, y
s
) − p (z
1
, z
2
, , z
s
−
1
, z
s
)
= p (y
1
, y
2
, , y

s
−
1
, y
s
) − p (z
1
, y
2
, , y
s
−
1
, y
s
) +p (z
1
, y
2
, ,
y
s
−
1
, y
s
) − p (z
1
, z
2

, , y
s
−
1
, y
s
)
+
+p (z
1
, z
2
, , z
s
−
1
, y
s
) − p (z
1
, z
2
, , z
s
−
1
, z
s
)
s

T k t qu v a ch ra trên suy ra p (y
1
, y
2
, , y
s
)−p (z
1
, z
2
, , z
s
) =
γ
i
(y
i
− z
i
),
i=1
trong đó
γ
i
∈ K [y
1
, , y
s
, x
1

, , z
s
].
V n dung b đ này ta s ch ra cơng th c bi u di n k t th c qua các z
i
và t
j
m
Đ nh lí 1.3.9. Gi s f
u
(x) = u
0
(x − z
i
) = u
0
x
m
+ u
1
x
m
−
1
+ + u
m
và
i=1
n
g

v
(x) = v
0
(x − t
j
) = v
0
x
n
+ v
1
x
n
−
1
+ + v
n
. Khi đó ta có đ ng nh t th c
j=1
Res (f
u
, g
v
) = u
n
v
m
00
m n
(z

i
− t
j
).
i=1 j=1
Ch ng minh: Theo tính ch t c a k t th c, Res(f
u
, g
v
) là đa th c thu n nh t
c c n c a các u
i
và b c m c a các v
j
. Chú ý r ng, các u
r
là nh ng đa th c đ i x ng cơ
b n c a các z
i
nhân v i u
0
và các v
s
là nh ng đa th c đ i x ng cơ b n
c a các t
j
nhân v i v
0
. Do v y có th vi t
Res

(f
u
, g
v
) = u
n
v
m
h (z, t), trong đó 00
h (z, t) ∈ Z [z
1
, , z
m
, t
1
, , t
n
]. Xét đa th c h(z, t). Khi cho z
i
= t
j
thì hai đa th c
f
u
và g
v
có nghi m chung. Theo h qu 1.3.4 khi đó ta có Res(f
u
, g
v

) = 0 hay
14
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
h(z, t) = 0. V y h(z, t) chia h t cho z
i
− t
j
theo b đ 1.3.8. V i m i c p (i, j) ta
có z
i
− t
j
là b t kh quy và ng v i hai c p (i, j) khác nhau có z
i
− t
j
khác nhau.
Như v y Res(f
u
, g
v
) chia h t cho u
n
v
m
00
m n
(z
i
− t

j
) trong Z [z
1
, , z
m
, t
1
, , t
n
].
Vi t S = u
n
v
m
00
m n
(z
i
− t
j
) = u
n
0
m
i=1 j=1
g
v
(z
i
) = (−1)

mn
v
m
0
n
f
u
(t
j
). Ta suy ra S
i=1 j=1 i=1 j=1
là đa th c thu n nh t b c m c a các v
j
và b c n c a các u
i
. T đây suy ra S
và Res(f
u
, g
v
) sai khác nhau ch m t h ng s thu c Z. Vì h t c a u
n
v
m
00
S và
Res(f
u
, g
v

) đ u b ng 1 nên
Res
(f
u
, g
v
) = u
n
v
m
00
m n
(z
i
− t
j
)
i=1 j=1
H qu 1.3.10. Gi s hai đa th c f(x) = a
0
x
m
+ a
1
x
m
−
1
+ + a
m

và g(x) =
b
0
x
n
+ b
1
x
n
−
1
+ + b
n
thu c K[x] v i a
0
b
0
= 0 và có các nghi m
α
1
,
α
2
,
α
m
và
β
1
,

β
2
, ,
β
n
trong K . Khi đó ta có đ ng nh t th c
Res
(f, g) = a
n
b
m
00
m n
(
α
i
−
β
j
).
i=1 j=1
Ch ng minh: Th c hi n phép đ c bi t hóa Z [u
0
, v
0
, z, t] → K sau đây:
u
0
→ a
0

, v
0
→ b
0
và (z
i
) → (
α
i
) , (t
j
) → (
β
j
).
Ta suy ra đ ng nh t th c
Res
(f, g) = a
n
b
m
00
m n
(
α
i
−
β
j
).

i=1 j=1
H qu 1.3.11. Gi s
α
,
β
là hai s đ i s trên Q v i đa th c t i ti u tương
ng là f(x) và g(x) thu c Q [x]. Đ t
γ
=
α
+
β
,
δ
=
α
.
β
. Khi đó
γ
,
δ
l n lư t là
nghi m c a các đa th c p(z) = Res
x
(f(x), g(z−x)) và q(z) = Res
x
(f(x), g(z/x)x
degg
(x

)
),
tương ng. T đó suy ra các đa th c t i ti u c a
γ
và
δ
là ư c c a p(z) và q(z),
tương ng.
Ch ng minh: Gi s f(x) = a
0
x
m
+ a
1
x
m
−
1
+ + a
m
và g(x) = b
0
x
n
+ b
1
x
n
−
1

+
+b
n
thu c Q [x] v i a
0
b
0
= 0 và có các nghi m
α
1
,
α
2
, ,
α
m
và
β
1
,
β
2
, ,
β
n
tương
ng. Vì g(z − x) = b
0
(z − x)
n

+ b
1
(z − x)
n
−
1
+ + b
n
nên g(z − x) có nghi m là
z −
β
j
v i j = 1, 2, , n . Theo h qu 1.3.10 ta nh n đư c h th c sau đây b i
bi u di n p(z) :
p (z) = Res
x
(f (x) , g (z − x)) =
a
n
b
m
00
m n
(
α
i
+
β
j
− z)

i=1 j=1
V i c p (i, j) đ
α
=
α
i
;
β
=
β
j
ta có
γ
=
α
i
+
β
j
. Khi đó p (
γ
) = 0. Vì
g (z/x) x
deg
g(x
)
= b
0
z
n

+ b
1
z
n
−
1
x + + b
n
x
n
nên g (z/x) x
deg
g(x
)
có nghi m là z/
β
j
15
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
v i j = 1, 2, , n. Ta nh n đư c h th c sau đây bi u di n q(z):
q (z) = Res
x
f
(x) , g (z/x) x
deg
g(x)
=
a
n
b

m
00
m n
α
i
β
j
− z
β
j
i=1 j=1
V i c p (i, j) đ
α
=
α
i
;
β
=
β
j
ta có
δ
=
α
i
β
j
. Khi đó q (
δ

) = 0.
1.3.3. Phép kh n
K t th c đư c áp d ng nhi u trong Đ i s , Hình h c, S h c. Chúng ta xét m t vài
ng d ng sau đây.
Gi s các đa th c f
1
, , f
s
∈ K[x] v i b c đ khơng nh hơn 1. Chúng ta
xác đ nh đi u ki n đ các đa th c này có nghi m chung. Đ gi i quy t v n
đ đã nêu ra, l y 2s bi n u
1
, , u
s
, v
1
, , v
s
đ c l p đ i s trên K và xét vành
K
∗
= K[u
1
, , u
s
, v
1
, , v
s
]. Trong K[x] xét hai đa th c

f (x) = u
1
f
1
(x) + + u
s
f
s
(x)
g (x) = v
1
f
1
(x) + + v
s
f
s
(x)
các đa th c f
1
, , f
s
có nghi m chung x =
α
thu c K hay thu c trư ng m r ng
c a K thì x =
α
cũng là nghi m chung c a f và g.
Ngư c l i, do u
1

, , u
s
, v
1
, , v
s
đ c l p đ i s trên K nên nghi m chung c a f
và g cũng là nghi m chung c a các f
i
. Do đó ta có k t qu sau:
M nh đ 1.3.12.Các đa th c f
1
, , f
s
∈ K[x] v i b c đ u khơng nh hơn 1
có nghi m chung khi và ch khi Res(f, g) = 0.
Ví d 1.3.13 Xác đ nh đi u ki n c n và đ đ f
1
(x) = x
2
+ ax + 1 và
f
2
(x) = x
2
+ bx + 1 có nghi m chung.
Bài gi i: Hai đa th c f(x) = u
1
f
1

(x) + u
2
f
2
(x) và g(x) = v
1
f
1
(x) + v
2
f
2
(x) có
nghi m chung khi và ch khi Res(f, g) = 0. V y f
1
(x) và f
2
(x) có nghi m chung
khi và ch khi
u
1
+ u
2
u
1
a + u
2
b u
1
+ u

2
0
0
u
1
+ u
2
u
1
a + u
2
b u
1
+ u
2
=0
v
1
+ v
2
v
1
a + v
2
b v
1
+ v
2
0
0 v

1
+ v
2
v
1
a + v
2
b v
1
+ v
2
Hay (a − b)
2
(u
1
v
2
− u
2
v
1
)
2
= 0. Do đó a = b.
Ví d 1.3.14. Cho hai đa th c p(x, z) c a hai bi n x, z và đa th c q(y, z) c a
16
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu
p (x, z) = 0
hai bi n y, z. Khi đó h phương trình đư c đưa v gi i phương
q (y, z) = 0

trình r(x, y) = 0.
Bài gi i: Th t v y, coi hai đa th c P (z) = p(x, z) và Q(z) = q(y, z) như là hai đa th c c
a m t bi n z, còn x, y coi như nh ng h ng s . (x, y, z) th a mãn h
khi và ch khi P (z) và Q(z) có nghi m chung. Do đó r(x, y) = Res(P, Q) = 0.



f

(x
,
y)
=
0
M nh đ 1.3.15. H phương trình (A
)

g
(x, y) = 0

f,
g ∈ R [x, y]
trình đa th c m t n.
đư c gi i qua phương
Ch ng minh: Ta coi F (x, ) = f(x, y) và G(x) = g(x, y) như là đa th c c a
x, còn y coi như là h ng s . Gi s (x
0
, y
0
) là nghi m c a h . Khi đó F (x) và

G(x) có nghi m chung x
0
tương ng v i y
0
. Đi u này tương đương v i H(y) = Res(F, G) =
0. Khi đó x
0
là nghi m chung c a hai đa th c f (x, y
0
) và g(x, y
0
). Như v y ta có
phương trình k t th c Res(F, G) = 0 khi y = y
0
. T đây suy ra:
vi c gi i h (A) đư c đưa v gi i phương trình đa th c Res(F, G) = 0 theo bi n
f (x, y
0
) = 0
y. V i m i nghi m y
0
, ta gi i h và như th gi i xong h (A).
g (x, y
0
) = 0
Ví d 1.3.16. Xác đ nh giá tr c a a đ hai phương trình x
3
− ax + 2 = 0 và
x
2

+ ax + 2 = 0 có nghi m chung trong C.
Ch ng minh: Hai phương trình đã cho có nghi m chung khi và ch khi k t
th c tương ng c a chúng b ng 0 hay
1 0 −a 2 0
01 0 −a 2
1a 2 00 =0
01 a 2
000 1 a
2
Gi i ra đư c a = 3 và a = −1. Khi a = 3 hai phương trình x
2
− 3x + 2 = 0 và
x
2
+3x+2 = 0 có nghi m chung x = −2. Khi a = −1 hai phương trình x
3
+x+2 = 0
√
và phương trình x
2
− x + 2 = 0 có nghi m chung x =
xy − 1 = 0
1 ± i
7
.
2
Ví d 1.3.17. Gi i h phương trình trong R.
x
2
+ y

2
− 4 = 0
17
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu