Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn Toán năm 2016
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (960.44 KB, 72 trang )
1
ƠN THI THPT QUỐC GIA - MƠN TỐN 2016
****************************
PHẦN I: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN OXYZ
TĨM TẮT LÝ THUYẾT
I.HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHƠNG GIAN
1.Toạ độ điểm toạ độ véc tơ:
123 12 3
112233
123
11
22
33
11 22 33
222
123
Cho a (a;a ;a ),b (b;b ;b )
1. a b a b ,a b ,a b
2. k.a ka , ka , ka
ab
3. a b a b
ab
4. a.b a .b a .b a .b
5. a aaa
a.b
6. cos(a; b)
a.b
7. a cùng phương
11 22 33
233112
233112
aaa
123
bak.bab0
bbb
123
8. a b a.b 0 a .b a .b a .b 0
aaaaaa
9. a b a; b , ,
bbbbbb
BABABA
10. AB (x x ,y y ,z z )
11.
222
BA BA BA
AB AB (x x ) (y y ) (z z )
12.
a, b,c
đồng phẳng
.0abc
13. a,b,c
khơng đồng phẳng
.0abc
14.M là trung điểmcủa AB thì
2
,
2
,
2
BABABA
zzyyxx
M
15. G là trọng tâm tam giác ABC
,
3
,
3
,
3
CBACBACBA
zzzyyyxxx
G
16. Véctơ đơn vị:
123
(1,0,0); (0,1,0); (0,0,1)eee
17.
OzzKOyyNOxxM
),0,0(;)0,,0(;)0,0,(
18.
OxzzxKOyzzyNOxyyxM
),0,(;),,0(;)0,,(
19.
222
ABC 1 2 3
11
S ABAC aaa
22
20.
ABCD
1
V (AB AC).AD
6
21.
/
.
).(
////
AAADABV
DCBAABCD
2/ Mặt cầu :
2.1.Phương trình mặt cầu tâm I(a ; b ; c), bán kính r
2
r
222
xa yb zc
(1)
Phương trình
D
222
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
(2) (
ABCD
222
với 0
) là phương trình
mặt cầu Tâm I(-A ; -B ; -C) và
222
rABCD
2 2 Vò trí tương đối của mặt phẳng và mặt cầu
Cho
2
r
222
(S) : x a y b z c
và mp(): Ax + By + Cz + D = 0
Gọi d = d(I,()) là khỏang cách từ tâm mc(S) đến mp( ):
d > r
: (S) () =
d = r : () tiếp xúc (S) tại H (H: tiếp điểm, : tiếp diện)
2
d < r : () cắt (S) theo đường tròn có phương trình
2
()
r
222
(S): x a y b z c
: Ax By Cz D 0
II. MẶT PHẲNG
1. Vectơ pháp tuyến của mp
:
n
0
là véctơ pháp tuyến của mp()
Giá của
n
mp()
2.P.trình tổng qt của mp(
): Ax + By + Cz + D = 0(1). Mp(1) có 1VTPT
n
= (A; B; C)
3.Một số trường hợp đặcbiệt của phương trình mặt phẳng
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa ox: By+Cz+D=0 ( D0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oy: Ax+Cz+D=0 ( D0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng song song hoặc chứa oz: Ax+By+D=0 ( D0 song song, D=0 chứa)
*Phương trình mặt phẳng đi qua A(a,0,0) ; B(0,b,0); C(0,0,c):
1
c
z
b
y
a
x
với a.b.c≠0
*Phương trình các mặt phẳng tọa độ: (Oyz) : x = 0 ; (Oxz) : y = 0 ; (Oxy) : z = 0
4. Vị trí tương đối của hai mp (
):A
1
x+B
1
y+C
1
z+D
1
= 0 và (
) :A
2
x+B
2
y+C
2
z +D
2
= 0
°
111 2 2 2
αβ()cắt() A:B:C A:B:C
°
11 1 1
22 2 2
αβ
ABCD
()//()
ABCD
°
11 1 1
22 2 2
αβ
ABCD
() ()
ABCD
Đặc biệt
12 12 12
() () AA BB CC 0
5
.KC từ M(x
0
,y
0
,z
0
) đến (
) : Ax + By + Cz + D = 0
ooo
222
Ax By Cz D
ABC
d(M,( ))
6.Góc giữa hai mặt phẳng :
12
12
n.n
αβ
n.n
cos( , )
với
12
n;n
là VTPT của 2 mặt phẳng
III. ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHƠNG GIAN
1.Phương trình tham số của đường thẳng (d) qua M(x
o
;y
o
;z
o
) có vtcp a
= (a
1
;a
2
;a
3
)
Rt;
tazz
tayy
taxx
(d)
3o
2o
1o
:
2.Phương trình chính tắc của (d)
32
a
z-z
a
yy
a
xx
(d)
o
1
o 0
:
3.Vò trí tương đối của 2 đường thẳng :
Cho 2 đường thẳng d
1
: có véctơ chỉ phương a
và đi qua M
1
, d
2
: có véctơ chỉ phương
b và
đi qua M
2
* d
1
// d
2
1
2
a^b 0
a^M M 0
*d
1
d
2
1
2
a^b 0
a^M M 0
* d
1
cắt d
2
1
2
a^b 0
a^b .M M 0
*d
1
chéo d
2
1
2
a^b .M M 0
* Đặc biệt d
1
d
2
.0
ab
( với a
1
.a
2.
a
3
≠0)
3
4.Góc giữa 2 đường thẳng :
12
a.b
cos(d ;d )
ab
4
5. Khoảng cách giữa từ M đến đường d
1
:
1
1
;
;
M
Ma
dMd
a
6. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song: d(d
1
;d
2
)=d(M
1
;d
2
).
7. Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau:
12
;.
;
;
ab MM
ab
dd d
12
MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP:
I/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MẶT CẦU:
Dạng toán 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình:
D
222
x y z +2Ax+2By+2Cz 0
Phương pháp giải:
Tìm tâm: hoành độ lấy hệ số của x chia (-2), tung độ lấy hệ số của y chia (-2), cao độ lấy hệ số
của z chia (-2) Tâm mặt cầu là I(-A ;-B ;-C).
Tím bán kính
222
A+B+C-Dr
Ví dụ: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a) xyz xy
222
8210
Giải:
a/Tâm mặt cầu là I(4;1;0), bán kính của mặt cầu là:
bx y z xy z xyz x yz
222 222
8
/
333681530 2 510
3
Tâm mặt cầu là I(1; -4/3; -5/2), bán kính của mặt cầu là:
Dạng toán 2:
Tìm tâm H và bán kính r của đường tròn giao tuyến giữa mặt cầu S(I ;R) và
mp():
Phương pháp giải:
+ Tìm tâm H
B1: Viết phương trình đường thẳng d qua I và vuông góc mp()
B2: Tâm H là giao điểm của d và mp().
+ Bán kính
),(
22
IdRr
Ví dụ: Cho mặt cầu (S) :
222
( 3) ( 2) ( 1) 100xyz và mặt phẳng
():2 2 9 0xyz
.
Chứng minh rằng (S) và () cắt nhau theo giao tuyến là đường tròn (T). Tìm tâm và bán kính
đường tròn (T)
Giải:
Mặt cầu (S) có tâm I(3;-2;1) và bán kính R = 10. Ta có :
2.3 2( 2) 1 9
(,( )) 6
441
dI
<10=R mc(S) cắt () theo giao tuyến là đường tròn (T).
Mp
()
có 1 VTPT là (2; 2; 1)n
Đường thẳng d qua I vuông góc với mp
()
có một VTCP là (2; 2; 1)n
phương trình
tham số là:
32
22
1
x
t
y
t
z
t
. Gọi H= d
()
Hd H(3+2t;-2-2t;1-t). Mặt khác Hmp
()
ta có: 2(3+2t)-2(-2-2t)-(1-t)+9=0
9t=18 t=2 H(7;-6;-1).Tâm của đường tròn (T) chính là
H(7;-6;-1)
222 2 22
A+B+C-D (4)+(-1)+0-1 4r
22
222 2
45 19
A+B+C-D ( 1)+ + +1
32 6
r
5
Bán kính đường tròn giao tuyến là :
22 22
r(;())1068RdI
Dạng toán 3: Lập phương trình mặt cầu
Chú ý: Khi lập phương trình mặt cầu cần tìm:
Cách 1: Tâm I(a;b;c), bán kính r của mặt cầu phương trình là:
2
r
222
xa yb zc
Cách 2: Các hệ số A, B, C, D trong phương trình:
D
222
x y z +2Ax + 2By +2Cz 0
ptr mặt
cầu
Bài toán 1: Lập phương trình mặt cầu tâm I đi qua A
Phương pháp giải:
Tìm bán kính mặt cầu là :
222
()()()
AI AI AI
rIA x x y y z z
Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu đi qua điểm A(5; –2; 1) và có tâm I(3; –3; 1).
Giải:
B¸n kÝnh mÆt cÇu là:
22 2
210 5rIA
Vậy phương trình của mặt cầu là : (x-3)
2
+ (y+3)
2
+ (z-1)
2
= 5
Bài toán 2: Lập phương trình mặt cầu đường kính AB
Phương pháp giải:
Tìm trung điểm I của đoạn AB với
(; ;)
222
A
BA BA B
x
xy yz z
I
, tính
đoạn
222
AB( )( )( )
BA BA BA
x
x
yy
zz
Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính
2
A
B
r
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB với A(4; –3; 7), B(2; 1; 3).
Giải:
Trung điểm của đoạn thẳng AB là I(3;-1 ;5),
22 2
AB= ( 2) 4 ( 4) 6
Mặt cầu đường kính AB có tâm I(3;-1 ;5), bán kính
AB
3
2
r
phương trình của mặt cầu là :
Bài toán 3: Lập phương trình mặt cầu tâm I tiếp xúc mp()
Phương pháp giải:
Tìm bán kính mặt cầu là :
B.
y
C.z D
III
222
ABC
A.x
r d(I,( ))
Lập phương trình mặt cầu tâm I bán kính r.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1 ; 2 ; 4) tiếp xúc với mặt phẳng ( ): 2x+2y+z-1=0
Giải:
Bán kính mặt cầu là :
r d(I,( ))
2.1 2.2 4 1
1
222
221
Phương trình mặt cầu là :
222
(1)( 2)(4)1xy z
Bài toán 4: Lập phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D
Phương pháp giải:
Ptr mc có dạng
D
222
x y z + 2Ax +2By + 2Cz 0
(1). A,B,C,D mc(S)
thế tọa độ các điểm
A,B,C,D vào (1).
Giải hệ pt, tìm A, B, C, D.
Ví dụ:
Lập phương trình mặt cầu (S) ñi qua boán ñieåm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ); D( 4 ; 1 ;
0 ).
Giải:
Phương mặt cầu (S) có dạng:
D
222
x y z +2Ax + 2By +2Cz 0
, ta có :
222
(3)(1)(5)9xyz
6
(6;2;3)() 491246 0(1)
(0;1;6) ( ) 37 2 12 0(2)
(2;0; 1) ( ) 5 4 2 0(3)
(4;1;0) ( ) 17 8 2 0(4)
AS ABCD
BS BCD
CSACD
DS ABD
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); (3)-(4) ta được hệ:
12 6 6 12 2
4 2 14 32 1 3
42 2 12 3
ABC A
AB C B D
AB C C
Vậy phương trình măt cầu là: x
2
+y
2
+z
2
-4x+2y-6z-3=0
Bài toán 5: Lập phương trình mặt cầu đi qua 3 điểm A, B, C có tâm nằm trên mp(P)
Phương pháp giải:
Mc(S) có ptr:
D
222
x y z +2Ax +2By +2Cz 0
(2)
A,B,C mc(S): thế tọa độ các điểm A,B,C vào (2). Thế toạ độ tâm m/c I(-A, -B, -C) vào ptr
mp(P)
Giải hệ phương trình trên tìm A, B, C, D phương trình mặt cầu.
Ví dụ: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(6 ;-2 ; 3 ), B(0;1;6), C(2 ; 0 ;-1 ) có tâm
I thuộc mp(P) : x+2y+2z-3=0
Giải:
Phương mặt cầu (S) có dạng:
D
222
x y z +2Ax + 2By +2Cz 0
, ta có :
(6; 2;3) ( ) 12 4 6 49(1)
(0;1;6) ( ) 2 12 37(2)
(2;0; 1) ( ) 4 2 5 (3)
(;;)() 2 2 3 (4)
AS ABCD
BS BCD
CSACD
IABC P A B C
.Lấy (1)-(2); (2)-(3); kết hợp(4) ta được hệ:
7
5
12 6 6 12
11 27
4214 32
55
22 3
3
A
ABC
AB C B D
ABC
C
Vậy phương trình mặt cầu là: x
2
+y
2
+z
2
-
14
5
x +
22
5
y - 6z
27
5
=0
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu sau:
a)
222
62450xyz xyz
xyz xyz
222
b) 2 2 2 12 8 16 8 0
c) (x-2)
2
+(y+3)
2
+(z-1)
2
= 9 d) (x+2)
2
+(y+5)
2
+ z
2
= 8
Bài 2: Lập phương trình mặt cầu (S)
a)Đi qua điểm A(3; 2; 4) và có tâm I(2; –1; 1) b)Đi qua điểm A(1; 2; -3) và có tâm I(2; –1;
1).
Bài 3: Lập phương trình mặt cầu có đường kính AB
a) Với A(4; 5; 7), B(2; 1; 3). b) Với A(4; 2; 1), B(0; 4; 7).
Bài 4: Lập phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 4) tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x-2y + z - 4=0
Bài 5: Lập phương trình mặt cầu (S) ñi qua boán ñieåm A(5 ;2 ; 3 ), B(0;1;4), C(2;0;-1); D(4; 1;
0).
Bài 6: Lập phương trình mặt cầu (S) đi qua ba điểm A(3;-2 ;0), B(0;1;2), C(2; 0;-1 ) có tâm I
thuộc mp(P) : x-2y+2z-5=0
Bài 7: Cho mặt cầu (S): (x-1)
2
+ y
2
+ (z+2)
2
= 9 và mp(P): x +2y +2z-3=0. Chứng minh
mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S). Tìm tâm bán kính của đường tròn giao tuyến.
7
II/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG:
Chuù yù :
- Muốn viết phương trình mặt phẳng thường tìm: 1 điểm đi qua và 1 véctơ pháp tuyến
-Mặt phẳng qua 1 điểm M(x
0
;y
0;
z
0
) và có 1 véctơ pháp tuyến
n
= (A; B; C)
phương trình là: A(x-x
0
) + B(y-y
0
) + C(z-z
0
)= 0.
-Nếu không tìm được ngay véctơ pháp tuyến của mp() ta đi tìm 2 véctơ
,ab
không
cùng phương có giá song song hoặc nằm trong mp
() khi đó [;]nab
là một véctơ
pháp tuyến của mặt phẳng().
Dạng 1: Viết phương trình mp
()
điểm đi qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và 1 véctơ pháp tuyến
(;;)
nABC.
Phương pháp giải:
B1: Nêu rõ mặt phẳng đi qua M
0
(x
0
;y
0
;z
0
) và có 1 véctơ pháp tuyến (;; )
nABC.
B2: Viết phương trình mp(
) theo công thức: A(x-x
0
)+B(y-y
0
)+C(z-z
0
)=0
B3: Rút gọn đưa về dạng: Ax+By+Cz+D=0.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (
) đi qua A(2;3;1) và có một VTPT là
n(2;3;1)
Giải:
Mặt phẳng (
) đi qua A(2;-1;1) và có 1 véctơ VTPT
n(2;3;5)
phương trình là:
2(x-2)-3.(y+1)+5(z-1) = 0
2x-3y+5z-12 =0
Dạng 2: Viết phương trình mp
()
đi qua 3 điểm không thẳng hàng A, B, C.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB, AC
B2: Tìm
nAB;AC
B3: Viết phương trình
mp(P) đi qua điểm A và nhận n
làm VTPT.
Ví dụ: Viết phương trình mp(P) qua A(0;1;2), B(2;3;1), C(2;2;-1)
Giải:
Ta có: AB (2; 2; 1), AC (2;1; 3)
nAB;AC(5;4;2)
Mặt phẳng (P) đi qua A và có 1 véctơ VTPT
n(5;4;2)
phương trình là:
-5(x-0)+4(y-1)-2(z-2)=0
-5x+4y-2z =0 5x-4y+2z=0.
Dạng 3: Viết phương trình mp() đi qua điểm M(x
0
;y
0
;z
0
) và song song với mp(
):
Ax+By+Cz+D=0 .
Phương pháp giải:
B1:Do mp
()
//mp(
): Ax+By+Cz+D=0 phương trình mp
()
có
dạng:Ax+By+Cz+m=0
(m
D)
B2: mp
()
đi qua điểm M
0
ta có Ax
0
+ By
0
+ Cz
0
+ m=0 m thoả điều kiện mD
phương trình mp()
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;-2) và song song với mặt phẳng (Q):2x-y+3z+4=0
Giải:
Mặt phẳng (P)//mp(Q): 2x-y+3z+4=0 nên phương trình của mp(P) có dạng 2x-y+3z+D=0
(D≠4). Mặt khác mp(P) đi qua điểm M(1;3;-2) nên ta có: 2.1-3+3(-2)+D=0
D=7 (nhận). Vậy
phương trình mp cần tìm là: 2x-y+3z+7=0
8
Dạng 4: Viết phương trình mp ()
song song với mp(
): Ax+By+Cz+D=0 cho trước cách
điểm M cho trước một khoảng k cho trước (k>0).
Phương pháp giải:
B1: Do mp
()
//mp(
): Ax+By+Cz+D=0 phương trình mp
()
có
dạng:Ax+By+Cz+m=0
(m
D)
B2: Giải phương trình d(M;
()
)= k tìm được m thoả mDphương trình mp(
).
Ví dụ: : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(
):5x+y-7z+3=0. Viết phương trình
mp() //mp(
) và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2.
Giải
Mp() có một VTPT là
1
(5;1; 7)
n
, mp () //mp
(
) phương trình mp() có dạng:
5x+y-7z+D = 0 (D≠3)
Do mp() cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2 d(A;())=2
22 2
5.1 2 - 7.3 D D-14
2 2 D-14 10 3 D-14= 10 3 14 10 3
53
51(7)
D
(nhận)
phương trình của mp() là:
5x
y
7z+14 10 3 0
Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng
()
đi qua 2 điểm A, B và song song với đoạn CD
cho trước. (với
A
B
không cùng phương với
CD
).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
và
CD
.
B2: Tìm nAB,CD
.
B3: Viết phương trình
mặt phẳng (
) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n
làm VTPT.
Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng
()
đi qua điểm A, B và song song với đường
thẳng d cho trước. (AB không song song với d).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ
AB
và véctơ chỉ phương
a
của d.
B2: Tìm n AB,d
.
B3: Viết phương trình
mặt phẳng (
) đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n
làm VTPT.
Ví dụ:
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho bốn điểm A(-1 ,2 , 3), B (0 , -3, 1),
C(2 ,0 ,-1), D(4,1, 0). Lập phương trình mặt phẳng
()
chứa đường thẳng CD và song song
với đường thẳng AB.
Giải
Ta có
1, 5, 2 ; 2,1,1
AB CD
;3,5,11
nABCD là VTPT của mp
()
Mặt phẳng
()
chứa đường thẳng CD và song song với đường thẳng AB đi qua C có 1 VTPT
3, 5,11
n
Phương trình mp
()
là:
-3(x – 2) – 5(y – 0) + 11(z + 1) = 0
-3x – 5y + 11z + 17 = 0 3x+5y-11z -17 = 0
Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng()
đi qua điểm A và chứa đường thẳng d cho
trước. (
A
d )
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ điểm M
0
d và VTCP u
của d. Tìm
0
AM
B2: Tìm
0
nAM,u
B3: Viết PT mặt phẳng(
)đi qua điểm A và nhận n
làm VTPT.
9
Ví dụ: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua A(-1 ,2 , 3) và chứa trục 0x.
Giải
Trục 0x đi qua O(0;0;0) và có 1VTCP
i(1;0;0)
,
OA ( 1;2;3)
n OA;i
=(0;3;-2). Mặt phẳng (
) đi qua điểm A và nhận n
=(0;3;-2) làm một VTPT,
phương trình là: 3(y-2)-2(z-3)=0
3y-2z=0.
Cách khác:
Phương trình mặt phẳng(
) chứa trục ox có dạng: By+Cz=0. (1)
Do mặt phẳng(
) đi qua A(-1 ,2 , 3) nên ta có: 2B+3C=0 chọn B=3 C= -2 phương trình
mặt phẳng (
) là: 3y-2z=0.
Dạng 7:Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ AB
và toạ độ trung điểm I của đoạn AB.
B2: Mặt phẳng cần tìm đi qua điểm I và nhận AB
làm VTPT.
B3: Viết phương trình
mặt phẳng trung trực đi qua điểm I và nhận
AB
làm VTPT.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(1;3;0) và B(3,-1;2)
Giải:
Ta có trung điểm của AB là I(2;1;1), AB (2; 4;2)
.
Mp(P) đi qua trung điểm I của AB và có 1VTPT là AB (2; 4;2)
phương trình mặt phẳng
trung trực (P) là: 2(x-2)-4(y-1)+2(z-1)=0
2x-4y+2z-2=0
Dạng 8:Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M vuông góc với đoạn thẳng AB.
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ AB
.
B2: Mặt phẳng cần tìm
đi qua điểm M và nhận
AB
làm VTPT.
B3: Viết phương trình
mặt phẳng (P) đi qua điểm M và nhận AB
làm VTPT.
Ví dụ:
Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;0) vuông góc với đoạn thẳng AB, biết A(1;0;1)
và B(3,-1;2).
Giải:
Ta có AB (2; 1;1)
.
Mp(P) đi qua M(1;3;0) và có 1VTPT là
AB (2; 1;1)
phương trình mặt phẳng (P) là: 2(x-
1)-(y-3)+1(z-0)=0
2x-y+z+1=0
Tổng quát: Viết phương trình mặt phẳng()
đi qua điểm M
0
cho trước và vuông góc
với đường thẳng d cho trước.
Phương pháp giải:
B1: Tìm VTCP u
của d.
B2: Viết phương trình mặt phẳng
()
đi qua điểm M
0
và nhận u
làm VTPT.
Dạng 9: Viết phương trình mặt phẳng
()
đi qua 2 điểm A, B và vuông góc với mặt
phẳng(
) cho trước. (AB không vuông góc với
()
).
Phương pháp giải:
B1: Tìm toạ độ AB
và VTPT n
của mặt phẳng(
).
B2: Tìm n AB,n
.
B3: Viết phương trình
mặt phẳng (
)đi qua điểm A (hoặc B) và nhận n
làm VTPT.
Ví dụ: Viết phương trình mp (
) đi qua hai điểm A(3;1;-1), B(2;-1;4) và vuông góc với
mp(P): 2x-y+3z-1=0
Giải
10
Ta có
AB ( 1; 2;5)
, mp(P) có 1 VTPT là
P
n (2; 1;3)
P
nAB;n (1;13;5)
Mp(
) đi qua A(3;1;-1), có 1 VTPT là n ( 1;13;5)
phương trình mặt phẳng (
) là:
-1(x-3)+13(y-1)+5(z+1)=0
-x+13y+5z-5=0 x-13y-5z+5=0
Dạng 10:
Viết phương trình mặt phẳng ()
//()
: Ax+By+Cz+D=0 và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Phương pháp giải:
B1:Xác định tâm I bán kính R của mặt cầu (S).
B2:Do mp(
)//mp ()
phương trình mặt phẳng(
) có dạng Ax+By+Cz+m=0(*)
(m≠D)
B3: Mặt phẳng
()
tiếp xúc với mặt cầu (S) d(I,(
))=R giải phương trình này tìm
được m thỏa điều kiện m≠D thay vào (*) ta được phương trình mặt phẳng(
).
Ví dụ : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm M(2;3;-1), mặt phẳng (P ) :
2100xy z
và mặt cầu (S) :
222
24680
xyz xyz
. Viết phương trình mặt
phẳng (R) song song với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)
HD: Mặt cầu (S) có tâm I(1,-2,3) và
6R
Phương trình mặt phẳng (R) có dạng:
20xy zm
10m
Do mặt phẳng (R) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên:
,dI R R
126
6
114
m
Giải phương trình ta được:
1( )
11( )
mn
mn
. Vậy có 2 mặt phẳng (R) thỏa yêu cầu bài toán phương
trình là: 2 1 0
xy z và 2 11 0xy z
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Viết phương trình mặt phẳng (
) đi qua A(-2;3;1) và có một VTPT là n (3; 2;1)
Bài 2: Viết phương trình mp(P) qua A(-2;1;0),B(3;0;1),C(5;5;5)
Bài 3: Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(1;3;2) và song song với mặt phẳng (Q):3x+5y-
2z+4=0
Bài 4: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mp(
):2x+y-2z+3=0. Viết phương trình mp()
//mp(
) và cách điểm A(1;2;3) một khoảng bằng 2.
Bài 5: Lập phương trình mặt phẳng () đi qua A(1, 0, 2) và chứa đường
thẳng
12
:
12 3
xy z
d
.
Bài 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực (P) của đoạn thẳng AB, với A(5;3;2) và B(3,-1;2)
Bài 7: Viết phương trình mp ( ) đi qua hai điểm A(2;3;-1), B(3;1;4) và vuông góc với mp(P):
2x-y+3z-1=0
Bài 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai mp
()
: x+3y-4z+3=0 và mp(
): 2x+2y-
4z+1=0. Viết phương trình mp(P) đi qua A(2;0;1) và vuông góc với 2 mặt phẳng (), ().
Bài 9: Cho hai đường thẳng
1
123
:
112
xy z
d
và
2
12'
:2
33'
x
t
dy
zt
a) Chứng minh
1
d cắt
2
d
b) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng
1
d và
2
d
Bài 10: Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz cho hai đường thẳng:
1
23
:
22 4
xy z
d và d
2
:
1
2
12
x
t
yt
zt
11
a) Chứng minh
1
d
//
2
d
b)Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d
1
và d
2
Bài 11: Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S), và mặt phẳng (P) lần lượt có phương trình
(S):
222
24230xyz xyz
, (P): 2x +2y – z + 5 = 0. Viết phương trình mặt phẳng (Q)
song song với (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S).
Bài 12: Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng
21
:
23 4
x
yz
d
và góc mặt phẳng
:10Qxyz
Bài 13: Viết phương trình mặt phẳng (P) qua
0;1;2A
và song song với hai đường thẳng
1
11
:
21 1
x
yz
d
và
2
1
:12
2
x
t
dy t
zt
.
III/ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG:
Chuù yù :
- Muốn viết phương trình đường thẳng thường đi tìm: 1 điểm di qua và 1 véctơ chỉ
phương
- Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
;y
0;
z
0
) và có 1 véctơ chỉ phương (;;)uabc
phương
trình tham số là:
0
0
0
x
xat
yy bt
zz ct
. Nếu a.b.c 0 thì phương trình chính tắc
là
:
000
x
x
yy
zz
abc
-Nếu chưa tìm được ngay 1 véctơ chỉ phương của đường thẳng d, ta đi tìm 2 véctơ
,ab
không cùng phương có giá vuông góc với d khi đó [;]uab
là một véctơ chỉ
phương của d.
Dạng 1: Đường thẳng d đi qua A có một véctơ chỉ phương
u
Phương pháp giải:
B1: Chỉ rõ (d) đi qua A(x
0
;y
0;
z
0
) có một véctơ chỉ phương ( ; ; )uabc
B2 : Viết phương trình đường thẳng (d) theo yêu cầu.
Ví dụ : Viết phương trình chính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP
a (2; 3;1)
.
Giải:
Đường thẳng d đi qua M(5; 4; 1) và có VTCP a (2; 3;1)
. Phương trình chính tắc
là :
541
231
x
yz
. Phương trình tham số là
52
43
1
x
t
yt
zt
Dạng 2: Đường thẳng d đi qua 2 điểm A, B.
Phương pháp giải:
B1 : Tìm véctơ
A
B
B2 : Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
A
B
Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua hai điểm A(1; 2; 3), B(4; 4; 4)
Giải:
Ta có (3; 2; 1)AB
:
12
Đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3), có 1 VTCP là
(3; 2; 1)AB
Phương trình tham số là
13
22
3
x
t
yt
zt
Dạng 3: Đường thẳng d qua A và song song
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ chỉ phương
a
của
B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
a
Ví dụ : Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3) và song song với :
xt
y
t
zt
12
33
4
Giải:
Đường thẳng có 1 VTCP là (2; 3; 4)a
Đường thẳng d đi qua B(2; 0; –3), có 1 VTCP là
(2; 3; 4)a
phương trình là:
xt
yt
z
t
22
3
34
Dạng 4: Đường thẳng d qua A và vuông góc mp(
)
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến
n
của mp()
B2:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
n
Ví dụ : Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3) và vuông góc (P): xyz50
Giải:
Mp(P) có 1 VTPT là: (1; 1; 1)n
Đường thẳng d đi qua điểm A(2; –1; 3), có 1 VTCP là:
(1; 1; 1)n
phương trình chính
tắc là:
213
11 1
x
yz
Dạng 5: Đường thẳng d qua A và vuông góc d
1
, d
2
( d
1
không song song hoặc trùng d
2
)
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ chỉ phương
a
của (d
1
),véctơ chỉ phương
b
của (d
2
)
B2: Tính
[;]uab
B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
Ví dụ : Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng
(d
1
):
12
3
x
t
yt
zt
và (d
2
):
121
213
x
yz
Giải:
Đường thẳng d
1
có 1 VTCP là (2;1; 1)a
.
Đường thẳng d
2
có 1 VTCP là
(2; 1; 3)b
[; ] (2;4;0)uab
.
Đường thẳng d có 1 VTCP là (2;4;0)u
và đi qua M(1;1;4) phương trình là:
12
3
x
t
yt
zt
Dạng 6: Đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng.
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là: ;
PQ
nn
13
B2: Tính
[; ]
pQ
unn
B3: Tìm một điểm đi qua A của giao tuyến bằng cách cho x=0 thế vào phương trình 2 mặt
phẳng giải hệ 2 phương trình 2 ẩn y, z tìm được y
0
; z
0
A(0; y
0
; z
0
) là một điểm thuộc giao
tuyến
B4:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
Ví dụ :
Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P):x-2y+z+5=0,(Q):2x-z+3=0.
Giải:
Mặt phẳng (P) có 1 VTPT là
1
(1; 2;1)n
.
Mặt phẳng (Q) có 1 VTPT là
2
(2; 0; 1)n
.
12
[; ] (2;3;4)unn
.
Cho x=0 thế vào phương trình mp(P) và mp(Q) ta được hệ :
254
33
yz y
zz
d đi qua
A(0 ;4 ;3). Mặt khác d có 1 VTCP (2;3;4)u
phương trình là:
43
23 4
xy z
Dạng 7:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A và song song với hai mặt phẳng cắt nhau
(P), (Q).
Phương pháp giải:
B1:Tìm véctơ pháp tuyến của 2 mặt phẳng giả sử là: ;
PQ
nn
B2: Tính [ ; ]
pQ
unn
B3:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz , viết phương trình tham số của d biết d đi qua
điểm M(3; 1; 5) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - 2z +1 = 0 và (Q): x – 3y + z -2
= 0.
Giải .
Ta có n
P
= (2; 3; -2); n
Q
=(1; -3; 1) lần lượt là VTPT của hai mp (P) và (Q). Do d //(P) và
d//(Q) nên vectơ chỉ phương của d là
u
= [ n
P
, n
Q
] = (-3; - 4; -9).
Phương trình tham số của d là:
tz
ty
tx
95
41
33
Dạng 8: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đường
thẳng .
Phương pháp giải:
B1:Đưa phương trình đường thẳng về dạng tham số
0
0
0
x
xat
yy bt
zz ct
.
B2 :Tìm véctơ chỉ phương
u
của đường thẳng .
B3: Gọi B= d B(x
0
+at ; y
0
+bt ; z
0
+ct) AB
B4: Do d vuông góc với
u
. AB
= 0 t AB
B5:Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
Ví dụ: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho đường thẳng d’ có phương trình
1
2
x
t
y
t
zt
. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;2;-2), cắt và vuông góc với d’.
Giải
14
Đường thẳng d’ có 1VTCP là
1
u
(1; -1; 2)
Gọi B= dd’ Bd’ B(t ; 1 - t ; 2t)
A
B
(t – 1 ; -t – 1 ; 2t + 2)
Do d
d’
1
.0AB u
6t + 4 = 0 t =
2
3
=>
A
B
512
;;
333
Đường thẳng d đi qua A có 1VTCP
3. (5; 1; 2)uAB
Vậy phương trình của d là :
122
51 2
xy z
Dạng 9: Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P), cắt và vuông góc với đường
thẳng .
Phương pháp giải:
B1:Tìm giao điểm A của (P) và .
B2 :Tìm véctơ chỉ phương
a
của đường thẳng .VTPT
n
của mp(P)
B3: [ ; ]uan
B4: Viết phương trình đường thẳng d qua A có VTCP
u
Ví dụ: Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng
:
x1 y3 z3
12 1
và mp(P): 2x + y –
2z + 9 = 0. Viết phương trình đường thẳng d nằm trong (P) vuông góc với
và cắt
.
Giải
Gọi A= (P) toạ độ giao điểm A là nghiệm của hệ
13
12
21 0
13
41
11
2x y – 2z 9 4
2x y – 2z 9 0
xy
xy x
xz
xz y
z
A(0 ;-1 ;4)
đường thẳng
có 1 VTCP
a
=(-1;2;1), mp(P) có một VTPT
(2;1; 2)n
d nằm trong (P) vuông góc với
d có 1 VPCP ; (5;0;5)una
và d đi qua A(0 ;-1 ;4)
phương trình tham số của d là
5
1( )
45
xt
ytR
zt
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài 1: Viết PTchính tắc, tham số của đường thẳng d đi qua M(2; -1; 3) và có VTCP (1; 2; 3)a
.
Bài 2: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua A(1; -2; 3), B(3; 4; 5)
Bài 3: Viết PTTS của đường thẳng d đi qua B(1; 2; 3) và song song với :
1
33
2
xt
y
t
z
t
Bài 4: Viết PTCT của đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; 3) và vuông góc (P): 2230xy z
Bài 5: Viết phương trình đường thẳng d đi qua M(1;1;4) và vuông góc với hai đường thẳng
(d
1
):
13
32
1
x
t
yt
zt
và (d
2
):
12
12 3
xy z
Bài 6: Viết phương trình đường thẳng d là giao tuyến của 2 mặt phẳng:(P): 2x-y+2z+3=0,
(Q):2x+3y-z+5=0.
Bài 7:
Viết phương trình đường thẳng d đi qua A(1;-1;2) và song song với hai mặt phẳng (P):
2x+y +2z - 4=0; (Q): x + 2y - 3z + 5= 0
15
Bi 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A (1; 2; 3) v đờng thẳng d:
23
12
x
t
yt
zt
Viết ph
ng trình đờng thẳng dđi qua điểm A, cắt v vuông góc với đờng thẳng d.
Bi 9:
Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng d:
xy3z3
12 3
v mp(P): 2x + y 2z + 9 =
0. Vit phng trỡnh ng thng
nm trong (P) vuụng gúc vi d v ct d.
IV/ MT S BI TON V TèM IM:
Daùng 1: Tỡm giao im ca ng thng v mt phng.
Phng phỏp gii:
Cỏch 1: To giao im l nghim ca h
Ptr d
Ptr ( )
Cỏch 2:
B1: a phng trỡnh ng thng d v dng tham s.
B2: Gi M=d() Md to M theo tham s t.
B3: Mt khỏc M(), th to M vo phng trỡnh mt phng () gii phng
trỡnh tỡm c t
M.
Vớ d :
Cho ng thng :
xyz21
121
v mt phng (P) : x+y-z+3=0. Tỡm to giao
im H ca A v mt phng (P)
Gii :
Cỏch 1: To giao im H l nghim ca h
x2 z
11
xz2 x 1
y1 z
y2z1 y 5 H(1;5;3)
21
xyz3 z3
xyz30
Cỏch 2 :
ng thng cú phng trỡnh tham s l:
xt
y
t
zt
2
12
. Do H=(P)HH(2+t;1+2t;t).
Mt khỏc H
(P) nờn ta cú: 2 + t +1+2t t +3 = 0 t = -3 H(-1;-5;-3)
Daùng 2:
Tỡm hỡnh chieỏu H cuỷa M treõn mp(P)
Phng phỏp gii:
Phng phỏp gii:
B1: Tỡm VTPT ca mp(P)
B2: Vit phng trỡnh ng thng d qua M v vuụng gúc mp(P) .
B3: Hỡnh chiu H l giao im ca d v (P)
Vớ d :
Trong khụng gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z 6 = 0. Tỡm ta hỡnh chiu ca A(0, 0, 1)
trờn mt phng (P)
Gii:
Ta cú Mp(P) cú VTPT n
= (6, 3, 2)
16
Gọi d là đường thẳng qua A và vng góc với (P) d có VTCP n
phương trình là:
x6t
y3t
z12t
H là hình chiếu vng góc của A lên (P)
H=d (P) Hd H(6t;3t;1+2t). Mặt khác
H
(P) nên ta có phương trình: 6.6t+3.3t+2(1+.2t)-6=0
4
t
49
H
24 12 57
,,
49 49 49
Dạng3: Tìm điểm M
/
đối xứng với điểm M qua mp(P)
Phương pháp giải:
Tìm toạ độ hình chiếu H của M trên mp(P) .
M
/
đối xứng với M qua (P) H là trung điểm của MM
/
nên :
/
/
/
2
2
2
H
M
M
H
M
M
H
M
M
x
xx
yyy
zzz
Ví dụ : Cho mặt phẳng
:6 3 2 6 0Pxyz
. Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với
0;0;1A
qua
mặt phẳng (P).
Giải:
. Gọi H là điểm chiếu của A lên (P), ta có
24 12 57
;;
49 49 49
H
(đã giải trong bài tìm hình chiếu của
M trên mp). Vì A’ đối xứng A qua mặt phẳng (P) nên H là trung điểm của AA’
/
/
/
48
2
49
24
2
49
65
2
49
HA
A
HA
A
HA
A
xxx
yyy
zzz
48 24 65
';;
49 49 49
A
Dạng4: Tìm điểm H là hình chiếu của M trên đường thẳng d
Phương pháp giải:
Cách 1 :
Tìm VTCP
d
a
của d
Viết phương trình mp() qua M và vuông góc với d: ta có
d
an
Tọa độ H là nghiệm của hpt :
Ptr d
Ptr ( )
Cách 2 :
Phương trình tham số của d là
xx at
y
ybt
z
zct
0
0
0
, d có VTCP a
= (a, b, c)
Do H là hình chiếu của A trên d Hd H(x
0
+a t; y
0
+bt ; z
0
+ct)
A
H
Mặt khác ta có : . 0
A
Ha AHa t
H.
Ví dụ: Cho đường thẳng
23
:
111
xy
z
d
và điểm
1; 3; 5A
. Tìm tọa độ hình chiếu của A
lên đường thẳng d.
Cách 1 :
Giải:
. d có VTCP
1; 1; 1u
. Gọi (P) là mặt phẳng qua A và vng góc d
(P) có VTPT
1; 1; 1nu
, phương trình
mặt phẳng (P):
70xyz
17
. H l hỡnh chiu ca A lờn d nờn H=d (P) Hd H(2+t;-3-t;-t) mt khỏc H(P) ta cú
phng trỡnh 2+t+3+t+t+7=0
t= -4
2;1;4H
Cỏch 2 :
Gii:
. Phng trỡnh tham s ca d cú VTCP
1; 1; 1u
.
. H l hỡnh chiu ca A lờn d nờn H=d
(P) Hd H(2+t;-3-t;-t)
AH (1 ;6 ;5 )ttt
Mt khỏc ta cú AH
d
AH. 0u
1+t+6+t+5+t=0 t= -4
2;1;4H
Daùng 5: Tỡm im M
/
ủoỏi xửựng vụựi ủieồm M qua ủt d
Phng phỏp gii:
Tỡm to hỡnh chiu H ca M trờn ng thng d.
M
/
i xng vi M qua d H l trung im ca MM
/
nờn :
/
/
/
2
2
2
H
M
M
H
M
M
H
M
M
x
xx
yyy
zzz
Vớ d: Cho ng thng
23
:
111
x
yz
d
v im
1; 3; 5A
. Tỡm ta im A i xng
ca A qua ng thng d.
Gii:
H l hỡnh chiu ca A lờn d, ta cú H(-2;1;4) (Trong vớ d bi toỏn hỡnh chiu ca A trờn d ó
gii).
Vỡ A i xng A qua ng thng d nờn nờn H l trung im ca AA nờn ta cú:
/
/
/
25
21
24
HA
A
HA
A
HA
A
xxx
yyy
zzz
. Vy
'5;1;3A
Daùng 6: Tỡm im M thuc ng thng d tha iu kin cho trc
Phng phỏp gii:
B1: Chuyn phng trỡnh ng thng d v dng tham s (Nu phng trỡnh ng thng cha
cú dng tham s), gi s phng trỡnh cú dng:
xx at
y
ybt
z
zct
0
0
0
.
B2: Gi Md M(
0
xat ;
0
y
bt ;
0
z
ct
)
B3: Thit lp phng trỡnh hoc h phng trỡnh theo iu kin bi cho tỡm ra im M.
Vớ d 1. Trong khụng gian Oxyz, cho ng thng d:
1
112
x
yz
v mp
(P):2x+y-2z+1=0.
Tỡm to im M trờn d cỏch u mt phng (P) v im A(0;1;-1).
Gii
M
dM(t;-t;2t-1) nờn
222
(1) 4
A
Mtt t, d(M,(P))
|2 2(2 1) 1|
|1 |
3
tt t
t
Theo bi ra: AM=d(M,(P))
2222
|1 | ( 1) 4 5 4 0ttt t tt
0
4
5
t
t
0M0;01t ;
44413
(;; )
5555
tM
Daùng 7: Tỡm im M thuc mt phng (P) : Ax+By+Cz+D=0, tho mt s iu kin cho
trc.
Phng phỏp gii:
18
B1: Gọi M(a;b;c) là điểm thuộc mp(P) A.a+B.b+C.c+D=0(1).
B2: Dựa điều kiện đầu bài lập 2 phương trình khác kết hợp với phương trình (1) ta được hệ
phương trình theo 3 ẩn a, b, c giải hệ tìm được toạ độ M.
Ví dụ. (TNTHPT năm 2014) Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
cho điểm (1; 1; 0)A và
mặt phẳng (P) có phương trình 2x-2y+z-1=0. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt phẳng (P) sao cho
AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần khoảng cách từ A đến (P).
Giải
Gọi M(a;b;c), ta có
() 2 2 1 0 2 2 1
M
Pabc cba
(1)
T a có: ( 1; 1; ) , (1; 1; 0 )AM a b c OA
, do
.0 2AM OA AM OA a b
(2)
Mặt khác
22 22
2
11 119AM a b c a b
và
,( ) 1dAP
Do
22
2
3(,()) 1 1 0(3)AM d A P a b c
. Giải hệ ba phương trình (1), (2), (3) ta
được:
1
1 1;1;3
3
a
bM
c
MỘT SỐ BÀI TOÁN TÌM ĐIỂM KHÁC
a) Trên trục Oy tìm điểm M cách đều hai điểm : A(3 ; 1 ; 0) và B(-2 ; 4 ; 1).
HD: MOy M(0 ;y ;0). M cách đều hai điểm A, B AM=BM
b) Trên mặt phẳng Oxz tìm điểm M cách đều ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1).
HD: MOxz M(x ;0 ;z ). M cách đều 3 điểm A, B, C AM=BM=CM
c) Cho ba điểm: A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) và C(3; 1; -1). Tìm điểm D để tứ giá ABCD là
hình bình hành.
HD:Tứ giác ABCD là hình bình hành
A
DBC
.
d) Cho ba điểm:
A(1; 1; 1), B(-1; 1; 0) vμ C(3; 1; -1) Tìm điểm M sao
cho
23
A
MABBC
.
HD: Gọi M(x,y,z), tính
,2 3
A
MABBC
hai véctơ bằng nhau các toạ độ tương ứng bằng
nhau.
BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ:
Bài 1: Cho đường thẳng :
xyz
21
121
và mặt phẳng (P) : x+y-z+3=0. Tìm toạ độ giao
điểm H của A và mặt phẳng (P)
Bài 2: Trong không gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0. Tìm tọa độ hình chiếu của A(1,
2, 3) trên mặt phẳng (P)
Bài 3: Trong không gian Oxyz, Cho mp (P): 6x + 3y + 2z – 6 = 0. Tìm điểm A’ đối xứng với
A(1, -2, 3) qua mặt phẳng (P)
Bài 4: Cho đường thẳng d:
x2 y3 z
111
và điểm A(2,-1,1). Tìm tọa độ điểm chiếu của A
lên đường thẳng d
Bài 5: Cho đường thẳng d:
x2t
y3t
zt
và điểm A(3,-2,5). Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A
qua đường thẳng d
MỘT ĐỀ THI TỐT NGHIỆP + ĐẠI HỌC HÌNH HỌC KHÔNG OXYZ
Bài 1) TNTHPT 2009
Câu 4a Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S) và mặt phẳng (P) có phương trình:
222
(S): x 1 y 2 z 2 36và(P):x 2y 2z 18 0 .
1) Xác định tọa độ tâm T và tính bán kính của m.cầu (S). Tính khoảng cách từ T đến mặt phẳng
(P).
19
2) Viết phương trình tham số của đường thẳng d đi qua T và vuông góc với (P). Tìm tọa độ giao
điểm của d và (P).
Bài 2) TNTHPT 2010
Câu 4.a Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho 3 điểm A(1;0;0), B(0;2;0) và C(0;0;3).
1) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC.
2) Tìm tọa độ tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.
Bài 3) TNTHPT năm 2011
Câu 4.a. (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3;1;0) và mặt phẳng (P)
có phương trình 2x+2y-z+1=0.
1) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (P) . Viết phương trình mặt phẳng đi qua
điểm A và song song với mặt phẳng (P) .
2) Xác định tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng(P).
Bài 4) TNTHPT năm 2012
Câu 4.a (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;2;1), B(0;2;5) và
mặt phẳng (P) có phương trình 2x –y+5 =0
1)
Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B
2)
Chứng minh rằng (P) tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB
Bài 5) TNTHPT năm 2013
Câu 4.a (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm ( 1;2;1)M
và mặt phẳng
()
P
có phương trình 2 2 3 0xyz
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng
d đi qua
M
và vuông góc với ( )
P
2) Viết phương trình mặt cầu ( )
S có tâm là gốc tọa độ và tiếp xúc với ( )
P
Bài 6) TNTHPT năm 2014
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm
(1; 1; 0)
A
và mặt phẳng
()P
có phương trình
22 10xyz
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
()P
2) Tìm tọa độ điểm
M thuộc
()P
sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần
khoảng cách từ
A
đến
()P
Bài 7) ĐH KA-2014
Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (P): 2x y 2z 1 0
và đường thẳng d:
x2 y z3
123
. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P). Viết phương trình mặt phẳng chứa d và
vuông góc với (P).
Bài 8) ĐH KB-2014
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(1;0;-1) và đường thẳng d:
11
221
x
yz
.
Viết phương trình mp qua A và vuông góc với d. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
Bài 9) ĐH KD-2014
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): 6x + 3y – 2z – 1 = 0 và mặt cầu (S) :
x
2
+ y
2
+ z
2
– 6x – 4y – 2z – 11 = 0. Chứng minh mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến
là một đường tròn (C). Tìm tọa độ tâm của (C).
20
PHẦN II: HÌNH HỌC KHƠNG GIAN TỔNG HỢP
A/ TĨM TẮT LÝ THUYẾT:
1. THỂ TÍCH KHỐI LĂNG TRỤ:
V=B.h
B: diện tích đá
y
h : chiều cao
*
Thể tích khối hộp chữ nhật:
V= a.b.c
a,b,c là ba kích thước
*
Thể tích khối lập phương:
V=a
3
a là độ dài cạnh
2. THỂ TÍCH KHỐI CHĨP:
V=
1
3
Bh
B : diện tích đáy
h: chiều cao
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU:
xq
2
trụ
R : bán kính đá
y
S2Rl với
l : đườngsinh
R : bán kính đá
y
VRh với
h : đường cao
Chú ý:
1/ Hình vng cạnh a : Đường chéo là a 2 . Đường chéo của hình lập phương cạnh a là
a
3 . Đường chéo của hình hộp chữ nhật có 3 kích thước a, b, c là
222
abc
,
2/ Tam giác đều cạnh a: đường cao là
3
2
a
, diện tích là
2
3
4
a
3/ Hình chóp đều : là hình chóp có đáy là đa giác đều, các cạnh bên đều bằng nhau ( hoặc có
đáy là đa giác đều, hình chiếu của đỉnh trùng với tâm của đáy).
4/ Lăng trụ đều:
là lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều.
5/ Hệ thức lượng trong tam giác vng : cho
A
BC
vng ở A ta có :
a)
Định lý Pitago :
222
B
CABAC
b)
CBCHCABCBHBA .;.
22
c)
AB. AC = BC. AH
d)
222
111
ACABAH
e)
sin , os , tan ,cot
bcbc
BcB B B
aa cb
f)
b= a. sinB = a.cosC, c = a. sinC = a.cosB, a=
sin cos
bb
BC
, b= c. tanB = c.cot C
6/ Hệ thức lượng trong tam giác thường:
*Định lý hàm số Cơsin: a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc.cosA
*Định lý hàm số Sin:
2
sin sin sin
abc
R
ABC
7/Các cơng thức tính diện tích.
a/ Cơng thức tính diện tích tam giác:
1
2
S
a x h
a
=
1
.sin . .( )( )( )
24
abc
ab C pr p p a p b p c
R
trong đó
2
abc
p
Đặc biệt :
A
BC vng ở A :
1
.
2
SABAC
,
A
BC
đều cạnh a:
2
3
4
a
S
b/ Diện tích hình vng : S= cạnh x cạnh
c/ Diện tích hình chữ nhật : S= dài x rộng
d/ Diện tích hình thang :
1
2
S
(đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao
a
c
b
B
C
A
H
21
d(M,
)
M
H
e/ Diện tích hình bình hành : S= đáy x chiều cao
f/ Diện tích hình tròn :
2
S.
R
8) Xác định góc giữa đường thẳng a và mp ():
Các bước xác định góc giữa đường thẳng a và mp ():
+ Xác định hình chiếu a’ của a trên mp (
).
+
(a, ( )) a, a’ .
9) Xác định góc góc giữa hai mặt phẳng () và (
):
Các bước xác định góc:
+ Xác định giao tuyến c của (
) và (
)
+ Xác định hai đường thẳng a và b lần lượt nằm trên
hai mặt phẳng (
) và ( ) đồng thời cùng vuông góc với giao tuyến c
+ Xác định góc giữa a và b, góc giữa a và b là góc giữa (
) và (
)
10) Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
Khoảng cách từ điểm M tới mp() là độ dài đoạn vuông góc
MH hạ từ M xuống mp(
). Kí hiệu:
,( )
dM
Phương pháp tính khoảng cách từ điểm M tới mp(
) :
Dựng
()
M
H
, H
()
và tính MH
,( )
dM MH
.
Có thể dựng MH theo hai phương pháp sau:
Cách1: Nếu có một đường thẳng
()
d thì ta dựng
đường thẳng đi qua M và
//d
. Đường thẳng này cắt (
) tại H.
()
M
H
.
Cách 2: Chọn một mặt phẳng (P) qua M và
() ()
P ,
mặt phẳng (P) cắt (
)
theo giao tuyến d.
Trong mặt phẳng (P) dựng
,
M
HdHd
thì ()
M
H .
Chú ý: Khi biết khoảng cách từ một điểm A (khác M) đến (
).
+ Nếu MA//(
)thì
,( ) ,( )
dM dA
.
+ Nếu
() ( )
M
AIIA
thì
,( )
,( )
dM
I
M
dA IA
.
11) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:
a) Định nghĩa 1: AB được gọi là đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau
a và b
,
,
AaBb
A
BaABb
.
b) Định nghĩa 2
: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng đó.
c) Chú ý: Có thể tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau như sau:
Nếu hai đường thẳng a, b chéo nhau và vuông góc với nhau:
-
Dựng hoặc tìm một mặt phẳng (
)
chứa b và vuông góc với a tại A
-
Trong (
) dựng đoạn
A
Bb
tại B
đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa a và b.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b bằng khoảng cách giữa a và mặt phẳng
(P) chứa b và song song với a, hoặc bằng khoảng cách giữa b và mặt phẳng (Q) chứa a và song
song với b.
Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song
song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.
a
b
c
a
a'
d
M
H
d
(P)
M
H
I
M
H
A
K
M
H
A
K
22
30
0
H
B C
A
S
K
B/ MỘT SỐ BÀI TẬP MẪU
Bài 1: Khối A năm 2013
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,
0
ABC 30 , SBC là tam giác đều cạnh a
và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp S.ABC và khoảng cách
từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Giải
Gọi H là trung điểm BC do ∆ABC là tam giác đềuSHBC, mà
(SBC)
(ABC) theo giao tuyến BC nên SH (ABC)(1) và SH
=
3
2
a
Ta có tam giác ABC là nửa tam giác đều nên BC=a,
3
,
22
aa
AC AB
S
ABC
=
2
1133
22228
aa a
AC AB
23
.
1133
338216
SABC ABC
aa a
VSSH .
Gọi I là trung điểm AB
a
HI
4
HI AB(2)
, từ (1)SHAB(3) . Từ (2) và (3)AB(SHI)
(SHI)(SAB) theo giao tuyến SI, trong (SHI) kẻ HK SI thì HK (SAB), ta có
22
222
111 1 1 39
26
3
4
2
a
HK
HK HI SH
a
a
Ta có
dC, SAB
39 39
2C, SAB2(,())2.
(,( )) 26 13
BC a a
ddHSAB
dH SAB BH
Bài 2:
ĐHKA 2012
Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của S trên mặt
phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho HA = 2HB. Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng 60
0
. Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường
thẳng SA và BC theo a.
Giải
Gọi M là trung điểm AB, ta có
236
aaa
MH MB HB
. Ta có ∆MHC vuông tại M
2
2
2
222
328 7
2636 3
aaa a
CH MC MH CH
Do H là hình chiếu vuông góc của trên(ABC)SH(ABC)HC
là hình chiếu của SC trên (ABC)
0
(,( ))SCH60SC ABC
27
2
3
a
SC HC
; SH = CH.tan60
0
=
21
3
a
23
.
113217
334312
S ABC ABC
aa a
VSSH
dựng D sao cho ABCD là hình thoi, AD//BC. Vẽ HK AD(DAD), trong tam giác vuông SHK
ta kẻ HISK(ISK) (1), ta có AKHK, AKSH AK(SHK) AKHI(2). Từ (1) và (2)
HI(SAK) HI=d(H,(SAK)). Ta cũng có BC//(SAK) d(BC,SA) =d(B,(SAK))=
33
(,( ))
22
dH SAK HI . Trong ∆ vuông AHK vuông tại K, có
A bằng
0
60 ta có:
M
A
B
C
S
D
H
K
I
23
0
23 3
.sin60
32 3
aa
HK A H
. Trong ∆ vuông SHK vuông tại H ta có:
222 2 2
111 1 1
21 3
33
HI HS HK
aa
42 3 3 42 42
,
12 2 2 12 8
aaa
HI d BC SA HI
C/ MỘT SỐ ĐỀ THI TỐT NGHIỆP VÀ ĐẠI HỌC:
Bài 1. (đề thi TNTHPT – 2009)
Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC là tam giác đều cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với
mặt phẳng đáy. Biết góc
0
120BAC , tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
Bài 2 (đề thi TNTHPT – 2010)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt (SBD) tạo với đáy một góc
60
0
, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
Bài 3. (đề thi TNTHPT – 2011 )
Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D với AD=CD= a, AB=3a.
Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và cạnh bên SC tạo với mặt đáy một góc 45
0
. Tính thể tích
khối chóp SABCD theo a.
Bài 4. (đề thi TNTHPT – 2012)
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B và BA= BC = a. Góc
giữa đường thẳng A’B với mặt phẳng (ABC) bằng 60
o
. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’
theo a.
Bài 5. (đề thi TNTHPT – 2013 )
Cho hình chóp .S ABCD có đáy
A
BCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông góc
với mặt phẳng đáy. Đường
SD tạo với mặt phẳng ()SAB một góc
0
30 . Tính thể tích của
khối chóp
.S ABCD theo a .
Bài 6. (đề thi TNTHPT – 2014 )
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz
, cho điểm (1; 1; 0)
A và mặt phẳng
()P
có phương
trình
22 10xyz
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua
A
và vuông góc với
()P
2) Tìm tọa độ điểm M thuộc
()P
sao cho AM vuông góc với OA và độ dài đoạn AM bằng ba lần
khoảng cách từ
A
đến
()P
Bài 7. (đề thi ĐHK A+A
1
– 2014 )
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =
3a
2
, hình chiếu vuông góc của
S trên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD và
khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
Bài 8. (đề thi ĐHK B – 2014 )
Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của A’ trên mặt
phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường thẳng A’C và mặt đáy bằng 60
0
. Tính
theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng
(ACC’A’).
Bài 9. (đề thi ĐHK D – 2014 )
Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, mặt bên SBC là tam giác đều
cạnh a và mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt đáy. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC và
khoảng cách giữa hai đường thẳng SA, BC.
24
PHẦN III: GIẢI TÍCH
CHUYÊN ĐỀ I: KHẢO SÁT HÀM SỐ & CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
DẠNG 1: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM ĐA THỨC
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y = - x
3
– 3x
2
+ 4
Đáp án
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y =
- x
3
– 3x
2
+ 4 1 điểm
1. Tập xác định: D = R
0,25
2. Đạo hàm: y’ = – 3x
2
– 6x, y’ = 0
x2
x0
3. Giới hạn:
xx
lim y , lim y
0,25
4. Bảng biến thiên:
5. Tính đơn điệu:
+ Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( ; 2) và (0 ; + )
+ Hàm số đồng biến trên khoảng ( 2 ; 0)
0,25
6. Cực trị: + Hàm số y đạt cực tiểu tại x = – 2 và y
CT
= y(–2) = 0
+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và y
CĐ
= y(0) = 4
7. Đồ thị:
Điểm uốn: (-1 ,2)
Điểm đặc biệt:
(-3 ; 4), (1 ; 0)
0,25
Ví dụ 2:
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y =
42
y8x 9x 1=-+
Đáp án
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số: y =
42
y8x 9x 1=-+
1 điểm
1.Tập xác định: D
0,25
2. Đạo hàm:
32
' 32x 18x = 2x 16x 9y
0
'0
3
4
x
y
x
x
y'
y
2
0
0
0
0
4
4
3
2
O
1
y
x
25
3.Giới hạn: lim ; lim
xx
yy
0,25
4. Bảng biến thiên:
5. Tính đơn điệu:
Hàm số đồng biến trên các khoảng
33
,0 và ,
44
æöæ ö
÷÷
çç
-+¥
÷÷
çç
÷÷
çç
èøè ø
Hàm số nghịch biến trên các khoảng
33
,và0,
44
æöæö
÷÷
çç
-¥ -
÷÷
çç
÷÷
çç
èøèø
0,25
6. Cực trị:
+ Hàm số y đạt cực tiểu tại x =
3
4
và y
CT
=
49
32
+ Hàm số y đạt cực đại tại x = 0 và y
CĐ
= 1
7. Đồ thị: Điểm đặc biệt ( 1,0),(1,0)-
0,25
Bài tập luyện tập
1. Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
a.
32
331yx x x c.
32
3yx x
b.
32
342yx x x d.
3
31yx x
2.
Khảo sát và vẽ đồ thị các hàm số:
a.
42
22yx x c.
42
21yx x
b.
42
810yx x d.
42
34yx x
DẠNG 2: KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM PHÂN THỨC
Ví dụ: Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số:
2x 4
y
x1
-
=
+
Đáp án
Khảo sát và vẽ đồ thị của các hàm số :
2x 4
y
x1
-
=
+
1 điểm
