Tài liệu ôn thi THPT quốc gia môn toán phương trình lượng giác
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.23 MB, 21 trang )
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 1 -
Chuyên đề
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC CẦN NẮM VỮNG
1. Công thức cơ bản
•
tanx.cot x 1.
=
•
2 2
sin x cos x 1.
+ =
•
2
2
1
1 tan x
cos x
+ = ⋅
•
2
2
1
1 cot x
sin x
+ = ⋅
2. Công thức cộng cung
•
sin(a b) sina.cos b cosa.sin b.
± = ±
•
cos(a b) cosa.cos b sina.sin b.
± =
∓
•
tana tan b
tan(a b)
1 tana.tan b
+
+ = ⋅
−
•
tana tanb
tan(a b)
1 tana.tan b
−
− = ⋅
+
3. Công thức nhân đôi – nhân ba và hạ bậc
•
2 2
2 2
cos x sin x
cos 2x
2cos x 1 1 2 sin x
−
= ⋅
− = −
•
sin2x 2sinx.cosx.
=
•
3
sin 3x 3sin x 4sin x.
= −
•
3
cos 3x 4cos x 3cosx.
= −
•
2
1 cos2x
sin x
2
−
= ⋅
•
2
1 cos 2x
cos x
2
+
= ⋅
4. Công thức biến đổi tổng thành tích
•
a b a b
cosa cosb 2cos cos
2 2
+ −
+ = ⋅
•
a b a b
cosa cos b 2sin sin
2 2
+ −
− = − ⋅
•
a b a b
sina sinb 2sin cos
2 2
+ −
+ = ⋅
•
a b a b
sina sin b 2cos sin
2 2
+ −
− = ⋅
•
sin(a b)
tana tan b
cosa.cosb
+
+ = ⋅
•
sin(a b)
tana tanb
cosa.cosb
−
− = ⋅
5. Công thức biến đổi tích thành tổng
•
1
cosa.cos b cos(a b) cos(a b) .
2
= + + −
•
1
sina.cos b sin(a b) sin(a b) .
2
= + + −
•
1
sina.sin b cos(a b) cos(a b)
2
= − − + ⋅
6. Cung góc liên kết
•
"cos đối – sin bù – phụ chéo"
cos đối:
cos( ) cos , sin( ) sin , tan( ) tan , cot( ) cot .
−α = α −α = − α −α = − α −α = − α
sin bù:
sin( ) sin , cos( ) cos , tan( ) tan , cot( ) cot .
π − α = α π − α = − α π − α = − α π − α = − α
Phụ chéo:
sin cos , cos sin , tan cot , cot tan .
2 2 2 2
π π π π
− α = α − α = α − α = α −α = α
•
"Hơn kém nhau
2
π
chỉ có
sin cos
=
"
sin x cos x, cos x sin x, tan x cot x, cot x tan x.
2 2 2 2
π π π π
+ = + = − + = − + = −
•
"Bỏ chẵn lần pi của sin và cos thì không thay đổi":
sin(x k2 ) sin x, cos(x k2 ) cos x.
+ π = + π =
•
"Bỏ lẻ lần pi của sin và cos thì cộng thành trừ":
sin[x ( k2 )] sinx
cos(x k2 ) cosx
+ π + π = −
⋅
+ π + π = −
Đặc biệt đối với tan, cot thì:
tan(x k ) tan x, cot(x k ) cot x.
+ π = + π =
7. Một số công thức khác thường được sử dụng
•
sin x cosx 2 sin x 2 cos x
4 4
π π
+ = + = − ⋅
•
sin x cos x 2 sin x 2 cos x
4 4
π π
− = − = − + ⋅
•
4 4 2
1 3 1.cos4x
sin x cos x 1 sin 2x
2 4
+
+ = − = ⋅
•
6 6 2
3 5 3.cos4x
sin x cos x 1 sin 2x
4 8
+
+ = − = ⋅
PHƯƠNG TR
ÌNH L
Ư
Ợ
NG GIÁC
2
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 2 -
Đường tròn lượng giác
- 3
-1
- 3
/3
(Ñieåm goác)
t
t'
y
y'
x
x'
u
u'
- 3
-1
- 3
/3
1
1
-1
-1
-π
ππ
π
/2
π
ππ
π
5
π
/6
3π/4
2
π
/3
-π/6
-π/4
-π/3
-1/2
- 2 /2
- 3 /2
-1/2- 2 /2- 3 /2
3 /2
2 /2
1/2
3 /2
2 /2
1/2
A
π/3
π/4
π/6
3
/3
3
B
π
ππ
π
/2
3
/3
1
3
O
Bảng lượng giác của một số góc đặc biệt
0
0
30
0
45
0
60
0
90
0
120
0
135
0
150
0
180
0
360
0
0
6
π
4
π
3
π
2
π
2
3
π
3
4
π
5
6
π
π
2
π
sin
α
0
1
2
2
2
3
2
1
3
2
2
2
1
2
0 0
cos
α
1
3
2
2
2
1
2
0
1
2
−
2
2
−
3
2
−
1
−
1
tan
α
0
3
3
1
3
kxđ
3
−
1
−
3
3
−
0 0
cot
α
kxđ
3
1
3
3
0
3
3
−
1
−
3
−
kxđ kxđ
Một điểm M thuộc đường tròn lượng giác sẽ có tọa độ M(cosα, sinα)
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 3 -
BÀI 1. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
I. Phương trình lượng giác cơ bản
a b k2
sina sin b
a b k2
= + π
= ⇔
= π − + π
sin x 0 x k
sin x 1 x k2
2
sin x 1 x k2
2
= ⇒ = π
π
→ = ⇒ = + π
π
= − ⇒ = − + π
a b k2
cosa cosb
a b k2
= + π
= ⇔
= − + π
cos x 1 x k2
cos x 0 x k
2
cos x 1 x k2
= ⇒ = π
π
→ = ⇒ = + π
= − ⇒ = π + π
tan a tan b a b k
= ⇔ = + π
tan x 0 x k
tan x 1 x k
4
= ⇔ = π
→
π
= ± ⇔ = ± + π
cot a cot b a b k
= ⇔ = + π
cot x 0 x k
2
cot x 1 x k
4
π
= ⇔ = + π
→
π
= ± ⇔ = ± + π
II. Loại nghiệm hoặc kết hợp tập nghiệm
Khi giải phương trình có chứa các hàm số tan hoặc cotan, có mẫu số hoặc căn bậc chẵn thì nhất thiết
phải đặt điều kiện để phương trình xác định.
Phương trình chứa
tan x,
điều kiện:
cosx 0 x k , (k ).
2
π
≠ ⇔ ≠ + π ∈
ℤ
Phương trình chứa
cot x,
điều kiện:
sin x 0 x k , (k ).
≠ ⇔ ≠ π ∈
ℤ
Phương trình chứa
tan x
và
cot x,
điều kiện:
k
sin 2x 0 x , (k ).
2
π
≠ ⇔ ≠ ∈
ℤ
Khi giải xong, cần so với điều kiện, ta có các phương pháp sau:
1. Khai thác triệt để điều kiện, kết hợp loại nghiệm trong quá trình giải
Nghĩa là áp dụng công thức lượng giác cơ bản, nhân đôi,… để liệt kê các trường hợp điều kiện và
luôn so sánh trong quá trình giải, chẳng hạn ta có:
Điều kiện:
2 2
do: snhâ in 2x cos 2x n 1
sina 0
sin 2x 0 cos 2x 1
cosa 0
+ =
≠
→ ≠ → ≠ ±
≠
…
VD 1. Giải:
sin 2x 3tan2x sin4x
2.
tan 2x sin 2x
+ +
=
−
ĐS:
x k , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
VD 2. Giải:
2
1 2sin x x
1 cosx 2tanx.sin
cos x 2 2
− π
+ − = + ⋅
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ
VD 3. Giải:
2 cos2x
cot x
sin 2x cosx
= − ⋅
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ
VD 4. Giải:
2 4
sin 2x cos 2x 1
0.
sin x.cos x
+ −
=
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 1. Giải:
1
1 3cosx cos2x
(cot x cot 2x)sin(x )
− + = ⋅
− − π
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
BT 2. Giải:
2(1 sinx cos2x)sin x
4
cosx.
1 tan x
π
+ + +
=
+
ĐS:
7
x k2 , x k2 .
6 6
π π
= − + π = + π
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 4 -
BT 3. Giải:
1 1 2
cos x sin 2x sin 4x
+ = ⋅
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ
2. Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác để loại hoặc kết hợp tập nghiệm
Để biết tập nghiệm có mấy ngọn cung nghiệm (điểm) khi biểu diễn trên đường tròn lượng giác, cần
nắm vững nguyên tắc: "Tập nghiệm
k2
x
n
π
= α +
sẽ có n điểm trên đường tròn lượng giác cách đều
nhau". Chẳng hạn:
x k
= π + π
thì ta sẽ biến đổi
k2
x n 2
π
= π +
⇒
=
điểm trên đường tròn lượng giác.
Để biết 2 điểm này là bao nhiêu, xuất phát từ
k 0 x ,
=
⇒
= π
tôi thường viết
0
M ( )
π
và
k 1 x 2
= ⇒ = π
hay viết
1
M (2 ).
π
Đã đủ hai điểm cách đều và sẽ ngưng. Để vận dụng loại nghiệm trên đường tròn
lượng giác, cần: biểu diễn các ngọn cung điều kiện và ngọn cung nghiệm trên cùng một đường tròn
lượng giác. Sẽ loại bỏ ngọn cung của nghiệm khi có trùng với ngọn cung của điều kiện và từ đó ghi
lại tập nghiệm mới.
VD 5. Giải:
2
4sin x
1 cot 2x
1 cos4x
+ =
−
ĐS:
( )
k
x , k .
4 2
π π
= + ∈
ℤ
VD 6. Giải:
6 6
1 (sin x cos x) 3
cosx.
sin x 2
− +
=
ĐS:
( )
x k , x k , k .
4 2
π π
= + π = + π ∈
ℤ
VD 7. Giải:
2
(2sinx 1)(3cos4x 2sinx) 4cos x 1
8.
1 sinx
+ + + +
=
+
ĐS:
k2
x k , x , (k ).
2 3
π π
= π = + ∈
ℤ
VD 8. Giải:
sin x sin 2x sin3x
3.
cos x cos 2x cos 3x
+ +
=
+ +
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
6 3
π π
= + π = − + π ∈
ℤ
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 4. Giải:
3
3 sin x 2cosx
2
cosx.
2sin x 1
− +
=
−
ĐS:
7
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
BT 5. Giải:
cot x cos 2x sin x sin 2x cos x.cot x.
+ + = +
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
4 2
π π
= + π = − + π ∈
ℤ
BT 6. Giải:
1 2sin x 2sin2x 2cosx
cos2x 3(1 cos x).
2sin x 1
− − +
= − +
−
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
6
π
= π + π = − + π ∈
ℤ
3. Thử trực tiếp tập nghiệm vào điều kiện hoặc xét mệnh đề đối lập
Với loại này ta không giải điều kiện, khi giải xong thay thế tập nghiệm vào điều kiện. Nếu đúng thì
nhận, nếu sai thì loại tập nghiệm và kiến thức chủ yếu trong phương pháp này là cung góc liên kết.
VD 9. Giải:
sin 2x 2cosx sinx 1
0.
tanx 3
+ − −
=
+
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ
VD 10. Giải:
(
)
6 6
2 cos x sin x sinxcosx
0.
2 2sinx
+ −
=
−
ĐS:
5
x m2 , (m ).
4
π
= + π ∈
ℤ
VD 11.
2
sinxsin2x 2sinxcos x sin x cosx
6 cos2x.
cos x
4
+ + +
=
π
−
ĐS:
x k , (k ).
12
π
= + π ∈
ℤ
VD 12. Giải:
2
1 sin2x cos2x
2 sin xsin2x.
1 cot x
+ +
=
+
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
2 4
π π
= + π = + π ∈
ℤ
VD 13. Giải:
1
3sinx 2cosx 3(1 tanx)
cosx
+ = + − ⋅
ĐS:
13
x k2 , x arccos k2 .
13
= π = α ± + π
VD 14. Giải:
5
sin 4x sin xsin3x cos 3xcos x
2
0
sin x
π
+ − −
=
ĐS:
2
x m , x m , (k ).
3 3
π π
= + π = + π ∈
ℤ
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 5 -
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 7. Giải:
4 4
sin x cos x 1
(tanx cot 2x).
sin 2x 2
+
= +
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 8. Giải:
cos 3x tan 5x sin7x.
=
ĐS:
k
x m , x , (m,k ).
2 20 10
π π π
= + π = + ∈
ℤ
BT 9.
2 2
2 2
(1 cosx) (1 cos x) 1 sinx
tan xsin x tan x
4(1 sinx) 2
− + + +
− = +
−
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 10. Giải:
1
2tanx cot2x 2sin2x
sin2x
+ = + ⋅
ĐS:
x k , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
BT 11. Giải:
2
tan x tan x tan 3x 2.
+ =
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
III. Một số kỹ năng giải phương trình lượng giác
1. Sử dụng thành thạo cung liên kết
Xem lại các công thức cung liên kết.
VD 15. Giải:
2
sin 5x 2cos x 1
+ =
(B 2013) ĐS:
k2 k2
x , x , (k ).
6 3 14 7
π π π π
= − + = + ∈
ℤ
VD 16. Giải:
2
sin(2014 4x)
cos 2x cos(2015 2x) 0
2
π +
− − π − =
ĐS:
k
x , x k , (k ).
4 2 2
π π π
= + = − + π ∈
ℤ
VD 17. Giải:
cos 2xcosx cosx sin 2xsinx
+ =
ĐS:
k
x , x k , (k ).
4 2 2
π π π
= + = − + π ∈
ℤ
VD 18. Giải:
2cos5x.cos3x sin x cos8x
+ =
ĐS:
k2
x k2 , x , (k ).
2 6 3
π π π
= + π = − + ∈
ℤ
VD 19. Giải:
1
cosxcos 2xcos 3x sin x sin 2xsin 3x
2
− =
ĐS:
k k
x ,x ,x k .
8 2 12 3 4
π π π π π
= − + = + = − + π
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 12. Giải:
5
2 2 cos x sin x 1.
12
π
− =
ĐS:
3
x k , x k , (k ).
6 4
π π
= + π = + π ∈
ℤ
BT 13. Giải:
2
tan 3x 2tan 3x.tan 4x 1 0.
+ − =
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 14. Giải:
2
2sin 3x(1 4sin x) 1.
− =
ĐS:
k2 k2
x , x , (k ).
14 7 10 5
π π π π
= + = + ∈
ℤ
BT 15. Giải:
2 2
2cos 2x cos 2xsin 3x 3sin 2x 3.
+ + =
ĐS:
k k2
x , x , x k2 .
4 2 10 5 2
π π π π π
= + = + = + π
BT 16. Giải:
1
1 (sin x cosx) sin2x
1
2
(1 cot x).
2
1 tan x
4
+ − +
= +
π
+ −
ĐS:
17
x k2 , x k2 , (k ).
12 12
π π
= + π = + π ∈
ℤ
2. Ghép cung thích hợp để áp dụng công thức tổng thành tích
●
a b a b
cosa cos b 2cos cos
2 2
+ −
+ = ⋅ ⋅
●
a b a b
sin a sin b 2sin cos
2 2
+ −
+ = ⋅ ⋅
●
a b a b
cosa cos b 2 sin sin
2 2
+ −
− = − ⋅ ⋅
●
a b a b
sin a sin b 2 cos sin
2 2
+ −
− = ⋅ ⋅
●
sin(a b)
tana tan b
cosa.cos b
+
+ = ⋅
●
sin(a b)
tana tan b
cosa.cosb
−
− = ⋅
Khi áp dụng tổng thành tích thì được hai cung mới:
a b a b
;
2 2
+ −
⋅
Trước khi áp dụng, nên nhẩm hai
cung mới này trước để nhóm hạng tử thích hợp sao cho xuất hiện nhân tử chung (cùng cung) với
hạng tử còn lại hoặc cụm ghép khác.
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 6 -
VD 20. Giải:
tanx tan 2x tan3x tan6x.
+ + =
ĐS:
k
x k , x , (k ).
3 5
π π
= ± + π = ∈
ℤ
VD 21. Giải:
sin3x cos2x sinx 0
+ − =
(D – 2013) ĐS:
k 7
x , x k2 , x k2 .
4 2 6 6
π π π π
= + = − + π = + π
VD 22. Giải:
sinx sin2x sin 3x 1 cosx cos2x.
+ + = + +
ĐS:
2 k2
x k2 ; ; k2
3 6 3 2
π π π π
∈ ± + π + − + π ⋅
VD 23. Giải:
sin3x sin 2x sin x 1 cos3x cos2x cosx
+ + + = + −
ĐS:
k2
x k , x , x k2 .
4 3
π π
= − + π = = π + π
VD 24. Giải:
cos3x 2sin 2x cosx sin x 1 0
− − − − =
ĐS:
7
x k2 , x k , x k .
2 12 12
π π π
= − + π = − + π = + π
VD 25. Giải:
4sin3x sin5x 2sinxcos2x 0
+ − =
ĐS:
k
x , (k ).
3
π
= ∈
ℤ
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 17. Giải:
sin5x sin 3x 2cosx 1 sin 4x.
+ + = +
ĐS:
k
x , x k2 , (k ).
8 2 3
π π π
= − + = ± + π ∈
ℤ
BT 18. Giải:
cos2x sin3x cos5x sin10x cos8x.
− + = +
ĐS:
k2 k2 k
x ; ; ; k
30 5 6 5 16 4 4
π π π π π π π
∈ + + + − + π ⋅
BT 19. Giải:
sinx sin2x sin 3x cosx cos2x cos3x.
+ + = + +
ĐS:
2 k
x k2 , x , (k ).
3 8 2
π π π
= ± + π = + ∈
ℤ
BT 20. Giải:
1 sinx cos3x cos x sin 2x cos2x.
+ + = + +
ĐS:
7
x k2 ;k ; k2 ; k2
3 6 6
π π π
∈ ± + π π − + π + π ⋅
BT 21. Giải:
cosxcos3x sin 2xsin6x sin 4xsin6x 0.
− − =
ĐS:
k
x , x k , (k ).
18 9
π π
= + = π ∈
ℤ
3. Hạ bậc khi gặp bậc chẵn
●
2
1 1
sin cos2 .
2 2
α = − α
●
2
1 1
cos cos 2 .
2 2
α = + α
– Mỗi lần hạ bậc xuất hiện hằng số
1
2
và cung góc tăng gấp đôi.
– Hạ bậc để triệt tiêu hằng số không mong muốn và nhóm hạng tử thích hợp để sau khi áp dụng công
thức (tổng thành tích sau khi hạ bậc) sẽ xuất hiện nhân tử chung hoặc làm bài toán đơn giản hơn.
VD 26. Giải:
2 2 2 2
3
cos x cos 2x cos 3x cos 4x
2
+ + + =
ĐS:
k
k 2
x ,x ,x k .
8 4 5 5
π π π π
= + = ± + π = ± + π
VD 27. Giải:
2 2
5x 9x
cos 3x sin7x 2sin 2cos
4 2 2
π
+ = + −
ĐS:
k k
x , x k , x
12 6 4 8 2
π π π π π
= + = + π = − + ⋅
VD 28. Giải:
2 2 2
7
cos x cos 2x cos 3x
3 4
π
+ + − =
ĐS:
k k k
x , x , x
6 3 6 2 12 2
π π π π π π
= + = − + = − + ⋅
VD 29. Giải:
2 2 2 2
3
3sin xcos x sin x cos x sin xcos x 3sin xcosx
2 2
π π
+ − + = −
ĐS:
x k ; k
4 6
π π
∈ − + π ± + π
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 22. Giải:
2 2
sin 4x cos 6x sin 10x , x 0;
2 2
π
π
− = + ∀ ∈ ⋅
ĐS:
3 7 9
x ; ; ; ;
20 20 4 20 20
π π π π π
∈ ⋅
BT 23. Giải:
2 2 2 2
cos x cos 2x cos 3x cos 4x 2.
+ + + =
ĐS:
k k
x k , x , x
2 4 2 10 5
π π π π π
= + π = + = + ⋅
BT 24. Giải:
2 2 2 2
sin 3x cos 4x sin 5x cos 6x.
− = −
ĐS:
k k
x , x , (k ).
2 9
π π
= = ∈
ℤ
BT 25. Giải:
2 2 2
tan x sin 2x 4 cos x.
+ =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= ± + π ∈
ℤ
BT 26. Giải:
2 2 2
2cos x 2cos 2x 2cos 3x 3 cos4x(2sin 2x 1).
+ + − = +
ĐS:
k
x , (k ).
8 2
π π
= + ∈
ℤ
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 7 -
BT 27. Giải:
2 2
x 3
4sin 3 cos2x 1 2cos x
2 4
π
− = + − ⋅
ĐS:
5 k2 7
x , x k2 .
18 3 6
π π π
= + = − + π
BT 28. Giải:
2 2
cos 3x.cos2x cos x 0.
− =
ĐS:
k
x , (k ).
2
π
= ∈
ℤ
BT 29. Giải:
2
tan x
tan x 2.
cot 3x
− =
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 30. Giải:
2
1 cos 4x
sin2x sin6x.
cos x sin2x
− = +
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ
4. Xác định lượng nhân tử chung để đưa về phương trình tích số
Đa số đề thi thường là những phương trình đưa về tích số. Do đó, trước khi giải ta phải quan sát
xem chúng có những lượng nhân tử chung nào, sau đó định hướng để tách, ghép, nhóm phù hợp.
Hiển nhiên là phải thành thạo công thức lượng giác. Một số lượng nhân tử thường gặp:
– Các biểu thức có nhân tử chung với
cosx sinx
+
thường gặp là:
3 3 4 4
1 sin 2x; cos2x; 1 tan x; 1 cot x; sin 3x cos3x;
cos x sin x; cos x sin x;
+ + + − + −
…
– Các biểu thức có nhân tử chung với
cosx sin x
−
thường gặp là:
3 3 4 4
1 sin2x; cos 2x; 1 tan x; 1 cot x; sin 3x cos3x;
cos x sin x;cos x sin x; 1 cos 2x sin 2x;
− − − + − − + −
…
– Từ
2 2
sin x cos x 1
+ =
và nhìn nhận với góc độ hằng đẳng thức số
3,
ta có:
+
2 2
sin x; tan x
có nhân tử chung là:
2
(1 cosx)(1 cosx) 1 cos x.
− + = −
+
2 2
cos x; cot x
có nhân tử chung là:
2
(1 sin x)(1 sin x) 1 sin x.
− + = −
–
2
1 2
f(X) aX bX c a(X X )(X X )
= + + = − −
với
X
có thể là
sin x,cosx,
… và
1 2
X ,X
là 2 nghiệm của
f(X) 0.
=
VD 30. Giải:
sin x 4cosx 2 sin 2 x
+ = +
(A, A
1
– 2014) ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
VD 31. Giải:
2(sinx 2cosx) 2 sin2x
− = −
(B – 2014) ĐS:
3
x k2 , (k ).
4
π
= ± + π ∈
ℤ
VD 32. Giải:
2
(tan x 1)sin x cos 2x 0
+ + =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ
VD 33. Giải:
2
(2cos x 1)(sin 2x 2 sin x 2) 4cos x 1
+ + − = −
ĐS:
2
x k2 , x k , (k ).
3 4
π π
= ± + π = + π ∈
ℤ
VD 34. Giải:
1 cos 2x
2 cos x 1 cot x
4 sin x
π +
− ⋅ = +
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
VD 35. Giải:
3 3
2sin x sin x 2cos x cosx cos2x
− = − +
ĐS:
k
x , x k2 , x k2 .
4 2 2
π π π
= + = − + π = π + π
VD 36. Giải:
8 8 10 10
5
sin x cos x 2(sin x cos x) cos 2x
4
+ = + +
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
VD 37. Giải:
3
2sin x cos2x cosx 0
+ + =
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
4
π
= π + π = − + π ∈
ℤ
VD 38.
( )
3 3
x x x x
2 2 sin cos cos 2 sin x cos
2 2 2 2 4
π
− = + +
ĐS:
4
x k2 , x k4 , (k ).
2 3
π π
= + π = ± + π ∈
ℤ
VD 39. Giải:
1 3
sin 2x tanx cos2x
2 2
+ = −
ĐS:
5
x k , x k , x k .
4 12 12
π π π
= + π = + π = + π
VD 40. Giải:
2 2
sin x(4cos x 1) cos x(sin x cos x sin 3x)
− = + −
ĐS:
k k
x , x , (k ).
4 2 8 2
π π π π
= + = + ∈
ℤ
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 31. Giải:
sin x(1 cos 2x) sin 2x 1 cos x.
+ + = +
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
4
π
= π + π = + π ∈
ℤ
BT 32. Giải:
tan x cot x 2(sin 2x cos 2x).
+ = +
ĐS:
k k
x , x , (k ).
4 2 8 2
π π π π
= + = + ∈
ℤ
BT 33. Giải:
2 2
(1 sin x)cosx (1 cos x)sin x 1 sin 2x.
+ + + = +
ĐS:
x k , x k2 , x k2 .
4 2
π π
= − + π = + π = π
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 8 -
BT 34. Giải:
2
(2sin x 1)(2cos 2x 2 sin x 1) 3 4cos x.
− + + = −
ĐS:
5
x k2 , x k2 , x k .
6 6 4
π π π
= + π = + π = + π
BT 35. Giải:
7
cos 2x 3sin 2x 5 2 sin x 3.
4
π
− + − =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ
BT 36. Giải:
2
(cos x 1)(cos2x 2cosx) 2sin x 0.
+ + + =
ĐS:
x k2 , (k ).
= π + π ∈
ℤ
BT 37. Giải:
(2cosx 1)(2sin x cos x) sin 2x sin x.
− + = −
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
3 4
π π
= ± + π = − + π ∈
ℤ
BT 38. Giải:
2
4sin2xsin x 2sin2x 2sinx 4 4cos x.
+ − = −
ĐS:
7 k2
x k2 ; k2 ; k2 ;
6 6 3 3
π π π π
∈ − + π + π π + ⋅
BT 39. Giải:
3 3
x x 1
3sin 3cos 2 cos x sin 2x.
2 2 2
− = +
ĐS:
x k2 , (k ).
2
π
= + π ∈
ℤ
BT 40. Giải:
2cosxcos2xcos 3x 5 7 cos2x.
+ =
ĐS:
x k , (k ).
= π ∈
ℤ
BT 41. Giải:
3 3 5 5
sin x cos x 2(sin x cos x).
+ = +
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 42. Giải:
sin x 3tanx sin2x
2.
tan x sin x
+ +
=
−
ĐS:
2
x k2 , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
BT 43.
1
1 sin x sin2x (1 cot x) 1 tan x
4 2 4
π π
+ − + = + + − ⋅
ĐS:
17
x k2 , x k2 , (k ).
12 12
π π
= + π = + π ∈
ℤ
BT 44. Giải:
2
cos x(cosx 1)
2(1 sinx).
sin x cosx
−
= +
+
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= − + π = π + π ∈
ℤ
BT 45. Giải:
2
2sin x sin 2x sin x cos x 1 0.
− + + − =
ĐS:
5 3
x k2 ; k2 ;k2 ; k2
6 6 2
π π π
∈ + π + π π + π ⋅
BT 46. Giải:
cosx tanx 1 tanxsin x.
+ = +
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
4
π
= + π = π ∈
ℤ
BT 47.
2 2
2
(sinx cos x) 2sin x 1
sin x sin 3x
4 4
1 cot x
2
+ − π π
= − − −
+
ĐS:
k
x k , x , (k ).
2 8 2
π π π
= + π = − + ∈
ℤ
BT 48. Giải:
2
2
2 tan x tan x
sin x
2 4
tan x 1
π +
+ = ⋅
+
ĐS:
5
x k , x k2 , x k2 .
4 6 6
π π π
= − + π = + π = + π
BT 49. Giải:
1 2 sin 2x cosx cos 3x.
4
π
+ + = +
ĐS:
x k , x k , x k2 .
2 4
π π
= + π = − + π = π
BT 50. Giải:
2cosx 2sin2x 2sinx 1
cos 2x 3(1 sin x)
2cosx 1
+ − −
+ + =
−
ĐS:
2
x k2 , x k2 , (k ).
2 3
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
BT 51. Giải:
tanx sin 2x 2cot 2x.
= −
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 52. Giải:
sin 2x cos x 2 sin x 1 0.
4
π
+ − − − =
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2 3
π π
= − + π = ± + π ∈
ℤ
BT 53. Giải:
2
(tan x 1)sin x cos 2x 2 3(cos x sin x)sinx.
+ + + = +
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
4 3
π π
= + π = ± + π ∈
ℤ
BT 54. Giải:
sin 2x cos 2x 2 sin x 0.
− − =
ĐS:
5 k2
x k2 , x , (k ).
4 12 3
π π π
= + π = + ∈
ℤ
BT 55. Giải:
( )
5cosx sinx 3 2 sin 2x , x 0;
4
π
+ − = + ∀ ∈ π
ĐS:
x
3
π
= ⋅
BT 56. Giải:
2
x
2sinxcos sin xcos2x cos2x 2 cos x
2 4
π
+ = + −
ĐS:
k2
x k2 , x , x k2 .
2 3 3
π π π
= + π = + = −π + π
BT 57. Giải:
2
tan 2x cot x 8cos x
+ =
. ĐS:
k 5 k
x k , x , x
2 24 2 24 2
π π π π π
= + π = + = + ⋅
BT 58. Giải:
2 sin 2x 2sinx 1
4
π
− = −
. ĐS:
x k , x k2 , (k ).
2
π
= π = + π ∈
ℤ
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 9 -
BT 59. Giải:
2 2
3
(tan x 1)sin x 3cos x sin 2x 0.
2
− + − =
ĐS:
x k , x k , (k ).
4 3
π π
= + π = ± + π ∈
ℤ
BT 60. Giải:
(1 cos x)cot x cos 2x sin x sin2x.
− + + =
ĐS:
k
x , x k2 , (k ).
4 2 2
π π π
= + = + π ∈
ℤ
BT 61. Giải:
3 3 2
sin x cos x 3sin x 4sin x cosx 2 0.
− + + − + =
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= π = − + π ∈
ℤ
BT 62. Giải:
2 2
x x x
1 sin sin x cos sin x 2cos
2 2 4 2
π
+ − = − ⋅
ĐS:
x k , (k ).
= π ∈
ℤ
BT 63. Giải:
sin x 1
cot x 2.
1 cosx 1 cos x
+ + =
+ −
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
4 2
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
BT 64. Giải:
1 sin 2x
2 sin x 1 tan x.
4 cos x
π +
− ⋅ = +
ĐS:
x k , x k , (k ).
4
π
= − + π = π ∈
ℤ
BT 65. Giải:
3 sinx
tan x 2.
2 1 cosx
π
− + =
+
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ
BT 66. Giải:
(sin 2x sin x 4)cosx 2
0.
2sin x 3
− + −
=
+
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ
BT 67. Giải:
2 2 2
1 1 15cos4x
2cot x 1 2tan x 1 8 sin 2x
+ = ⋅
+ + +
ĐS:
k
x , (k ).
12 2
π π
= ± + ∈
ℤ
BT 68. Giải:
3sin 3x 2 sin x(3 8cosx) 3cosx.
+ + − =
ĐS:
5
x k , x k , (k ).
12 12
π π
= + π = + π ∈
ℤ
BT 69. Giải:
2sin x(2cos 2x 1 sin x) cos2x 2.
+ + = +
ĐS:
5
x k , x k2 , x k2 .
3 6 6
π π π
= ± + π = + π = + π
BT 70.
2
sin x cos x
6 3
1 x
cos x sin xtan
cosx 2
cos x
π π
− + −
− = + ⋅
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
3
π
= π = + π ∈
ℤ
BT 71. Giải:
sinx cosx
cos3x 2 sin 2x 1.
tanx 1 4
− π
+ = − −
−
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ
BT 72. Giải:
(2sin x 1)(cos2x sin x 1)
3 2cosx.
3 sin x sin 2x
− + +
= +
−
ĐS:
5 k
x k2 , x , (k ).
6 4 2
π π π
= + π = + ∈
ℤ
BT 73. Giải:
3 x x
sin x 4cos sin sin x.
2 3 2 3 2
π π
+ − = + −
ĐS:
4
x k2 , x k2 , (k ).
3
π
= π + π = + π ∈
ℤ
BT 74. Giải:
2
cos7x 2sin x 5sin x
+ =
ĐS:
k2 k2
x k , x , x , (k ).
5 7 7
π π π
= π = = + ∈
ℤ
BT 75. Giải:
2 tan x .sin 3x sin x cos x
4
π
+ = +
ĐS:
k 3
x k , x , x k .
4 16 2 8
π π π π
= − + π = + = + π
BT 76. Giải:
8sin x tan x cot x 4cot 2x
6
π
+ + + =
ĐS:
k2 5
x k2 ,x ,x k2 .
6 18 3 6
π π π π
= − + π = + = + π
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 10 -
BÀI 2. PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
Có khoảng 80% đề thi với câu giải phương trình lượng giác phải đưa về tích số. Do đó, ta cần nắm
vững các phép biến đổi lượng giác, công thức lượng giác, các kỹ thuật tách, ghép, đặt thừa số
chung,… để đưa về phương trình tích dạng:
A.B 0 A 0
= ⇔ =
hoặc
B 0
=
với A, B có thể là:
♦ Phương trình lượng giác cơ bản (đã tìm hiểu ở bài 1).
♦ Phương trình lượng giác bậc hai hoặc bậc cao theo một hàm lượng giác.
♦ Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (phương trình cổ điển):
a.sin x b.cosx c.
+ =
♦ Phương trình lượng giác đối xứng (nửa đối xứng):
a(sin x cosx) b.sin 2x c 0.
± + + =
♦ Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc hai, bậc ba, bậc bốn).
I. Phương trình bậc hai và bậc cao
Quan sát và dùng các công thức biến đổi để đưa phương trình về cùng một hàm lượng giác với
cung góc giống nhau, chẳng hạn:
D
ạng
Đ
ặt ẩn phụ
Đi
ều kiện
2
asin x bsin x c 0
+ + =
t sinx
=
1 t 1
− ≤ ≤
2
acos x bcosx c 0
+ + =
t cos x
=
1 t 1
− ≤ ≤
2
a tan x btanx c 0
+ + =
t tanx
=
x k
2
π
≠ + π
2
acot x bcot x c 0
+ + =
t cotx
=
x k
≠ π
Nếu đặt
2
t sin x
=
hay
2
t cos x
=
hoặc
t sin x
=
hay
t cos x
=
thì điều kiện lúc này là
0 t 1
≤ ≤
.
VD 1. Giải:
5
5cos 2x 4 sin x 9
3 6
π π
+ = − −
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ
VD 2. Giải:
cos 2x 3 sin 2x 3 sin x cosx 4 0
− − − + =
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ
VD 3. Giải:
2
3 2tan x 2
3tan2x 4cos x 2
cos 2x 1 tanx
−
− − + =
+
ĐS:
7
x k , x k , (k ).
12 12
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
VD 4. Giải:
2
2cos x 3cosx 2cos3x 4sin xsin2x
+ − =
ĐS:
2
x k2 , x k2 , (k ).
3
π
= ± + π = π + π ∈
ℤ
VD 5. Giải:
2
(2 tan x 1)cos x 2 cos 2x
− = −
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
3
π
= π + π = ± + π ∈
ℤ
VD 6. Giải:
2 3
2
2
cos x cos x 1
cos 2x tan x
cos x
+ −
− =
ĐS:
k2
x , (k ).
3
π
= ∈
ℤ
VD 7. Giải:
2
5
5sin x 3(1 cosx)cot x 2
2
π
− − − =
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
VD 8. Giải:
2
4sinx 3 2(1 sin x)tan x
+ = −
ĐS:
7
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
VD 9. Giải:
2
3
3sin x 2 sinx 3
3 2sin x 0
cot x
+ −
+ − =
ĐS:
2
x k2 , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
VD 10. Giải:
2 3 4
2
2
3sin x 7sin x 2 sin x 1
sin 3x cot x
sin x
− + +
+ =
ĐS:
5
x k2 , x k2 , x k2 .
2 6 6
π π π
= + π = + π = + π
VD 11. Giải:
2
3 x
tan x 2 3 sin x 1 tanx tan
2
cos x
− − = +
ĐS:
x k , x k , (k ).
3 6
π π
= + π = − + π ∈
ℤ
VD 12. Giải:
3 2
2sin x 3 (3sin x 2sin x 3)tan x
− = + −
ĐS:
( )
2
x k2 , k .
3
π
= ± + π ∈
ℤ
VD 13. Giải:
2 2
3cot x 2 2 sin x (2 3 2)cosx
+ = +
ĐS:
( )
x k2 , x k2 , k .
4 3
π π
= ± + π = ± + π ∈
ℤ
VD 14. Giải:
3 2 6
4 3sinx sin x 3cos x cos x
+ + = +
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
2
π
= π = − + π ∈
ℤ
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 11 -
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 1. Giải:
5 7
sin 2x 3cos x 1 2sinx
2 2
π π
+ − − = +
ĐS:
5
x k , x k2 , x k2 .
6 6
π π
= π = + π = + π
BT 2. Giải:
cos 3x sin 3x
5 sinx 3 cos2x
1 2sin 2x
+
⋅ + = +
+
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
BT 3. Giải:
4 4
3
cos x sin x cos x sin 3x 0.
4 4 2
π π
+ + − − − =
ĐS:
x k , (x ).
4
π
= + π ∈
ℤ
BT 4. Giải:
2
5sin x 2 3(1 sin x)tan x.
− = −
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (x ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ
BT 5. Giải:
2
(sin 2x 3 cos2x) 5 cos 2x
6
π
+ − = − ⋅
ĐS:
7
x k , (x ).
12
π
= + π ∈
ℤ
BT 6. Giải:
2cosx.(cosx 3 sin x) 5.(sinx 3cosx 1) 0.
+ + + + =
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
2 6
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
BT 7.
2
11 x
sin 2x 16 2 3 sin x cos x 20sin
2 2 12
π π
− + = + + ⋅
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
2 6
π π
= + π = − + π ∈
ℤ
BT 8. Giải:
2
tan x tan x tan 3x 2.
+ =
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 9. Giải:
1 1
2sin3x 2cos3x
sinx cosx
− = + ⋅
ĐS:
7
x k ,x k ,x k .
4 12 12
π π π
= ± + π = − + π = + π
BT 10. Giải:
2
cosx(2 sin x 3 2) 2cos x 1
1.
1 sin 2x
+ − −
=
+
ĐS:
x k2 , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ
BT 11. Giải:
x 3x x 3x 1
cosxcos cos sinxsin sin
2 2 2 2 2
− = ⋅
ĐS:
5
k ; k2 ; k2 ; k2
4 2 6 6
π π π π
− + π − + π + π + π ⋅
BT 12. Giải:
4 4
sin x cos x 1 1
cot 2x
5sin 2x 2 8sin 2x
+
= ⋅ − ⋅
ĐS:
x k , (k ).
6
π
= ± + π ∈
ℤ
BT 13. Giải:
4 2
1 2
48 (1 cot 2xcot x) 0.
cos x sin x
− − ⋅ + =
ĐS:
k
x , (k ).
8 4
π π
= + ∈
ℤ
BT 14. Giải:
1 1
sin 2x sin x 2 cot 2x.
2sin x sin 2x
+ − − =
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
BT 15. Giải:
2 2
cot x tan x 2cot 2x tan 2x 9 0.
+ + + − =
ĐS:
k
x , (k ).
8 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 16. Giải:
4(sin 3x cos2x) 5(sin x 1).
− = −
ĐS:
1
x k2 , x arcsin k2 .
2 4
π
= + π = − + π
BT 17. Giải:
sin x cos x 3
2 2tan2x sin 2x 1.
sin x cos x 2
+ π
⋅ + − − =
−
ĐS:
x k , (k ).
2
π
= + π ∈
ℤ
BT 18. Giải:
sin 4x 2cos2x 4(sin x cosx) 1 cos 4x.
+ + + = +
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
4 2
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
BT 19. Giải:
2
3cosx 2 3(cos x 1)cot x.
− = −
ĐS:
2
x k2 , x arccos k2 .
3 3
π
= ± + π = ± − + π
BT 20. Giải:
cos2xcot2x cosxcotx.
=
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
BT 21. Giải:
2 2 2
cos 3x 3cos 2x cos x cos 2x 2.
+ + + =
ĐS:
x k , x k , (k ).
6 2
π π
= ± + π = + π ∈
ℤ
BT 22. Giải:
6 6
x x 2x 3 6x
4sin 4cos 3 4cos cos
2 2 4 4
− π − π
+ + = ⋅ ⋅
ĐS:
x k2 , (k ).
2
π
= − + π ∈
ℤ
BT 23. Giải:
3(sin2x sinx) cos2x cosx 2.
+ + − =
ĐS:
x k , x k2 , x k2 .
6 3
π π
= + π = + π = π + π
BT 24. Giải:
(1 sinx)(2sin2x 6cosx 2sin x 3)
2.
2cosx 1
− + + +
=
+
ĐS:
5
x k2 ,x k2 ,x k2 .
2 6 6
π π π
= − + π = + π = + π
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 12 -
BT 25.
(2sin x 1)(cos 2x sin x) 2sin3x 6 sin x 1
2cosx 3 0.
2cosx 3
+ + − + +
+ + =
−
ĐS:
7
x k2 , (k ).
6
π
= + π ∈
ℤ
BT 26. Giải:
2
1 9
(3sin x sin 3x) cos x 5cos x 3 0.
2 2
π
− + − − + =
ĐS:
k2
x , (k ).
6 3
π π
= + ∈
ℤ
BT 27. Giải:
2
2cos x 10cos x 3 sin 2x 5 0.
6
π
+ + − + =
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
2 6
π π
= + π = − + π ∈
ℤ
BT 28. Giải:
cos2x 5 2(2 cosx)(sin x cosx).
+ = − −
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= + π = π + π ∈
ℤ
BT 29. Giải:
2
2 3 sin 2x(1 cos2x) 4cos 2xsin x 3
0.
2sin 2x 1
+ − −
=
−
ĐS:
x k , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ
BT 30.
2
sin xsin 4x 2 2 cos x 4 3 cos xsin xcos 2x.
6
π
= − −
ĐS:
2
x k , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ
Một số dạng thường gặp khi đưa về phương trình bậc hai hoặc bậc cao
► Phương trình có chứa
R( ,tan X, cot X, sin 2X, cos 2X, tan 2X,
.)
trong đó:
x x
X , , , x, 2x,
3 2
=
sao cho cung của sin, cos gấp đôi cung của tan hoặc cotan. Lúc đó ta sẽ đặt
t tan X
=
và sẽ biến đổi:
●
2
2 2
sin X 2tanX 2t
sin 2X 2sinXcosX 2 cos X
cos X
1 tan X 1 t
= = ⋅ ⋅ = = ⋅
+ +
●
2 2
2
2 2 2
1 1 tan X 1 t
cos 2X 2cos X 1 2 1
1 tan X 1 tan X 1 t
− −
= − = ⋅ − = = ⋅
+ + +
●
2 2
2 2
sin 2X 2t 1 t
tan 2X & cot 2X
cos2X
1 t 2t
−
= = = ⋅
−
VD 15. Giải:
(1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x
− + = +
ĐS:
x k , x k , (k ).
4
π
= − + π = π ∈
ℤ
VD 16. Giải:
sin 2x cos 2x
cot x , x ;0
2 sin 2x 2
− π
= ∀ ∈ −
+
ĐS:
x
4
π
= − ⋅
VD 17. Giải:
1 tan x
1 cot x
2 1 sin2x
π +
+ − =
+
ĐS:
x k , (k ).
= π ∈
ℤ
VD 18. Giải:
4 4
sin x cos x 2sin4x 1 2 0
+ + − − =
ĐS:
( )
k 1 k
x , x arctan 8 , (k ).
2 2 2
π π
= = − + ∈
ℤ
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 31. Giải:
(1 tan x)(1 sin 2x) 1 tan x.
− + = +
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ
BT 32. Giải:
sin2x 2tanx 3.
+ =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ
BT 33. Giải:
2
cos 2x 1
cot x 1 sin x sin2x.
1 tan x 2
− = + −
+
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ
BT 34. Giải:
1
2 tan x cot x 2sin2x
sin 2x
+ = + ⋅
ĐS:
x k , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
► Áp dụng:
tan(x a).tan(b x) 1 khi a b k
2
cot(x a).cot(b x) 1 khi a b k
2
π
+ − = + = + π
π
+ − = + = + π
hay sử dụng công thức cộng cung theo hàm
tan:
tana tan b
tan(a b)
1 tana.tan b
±
± = ⋅
∓
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 13 -
VD 19. Giải:
3 3
sin xsin3x cos xcos 3x 1
8
tan x tan x
6 3
+
= − ⋅
π π
− +
ĐS:
x k , (k ).
6
π
= − + π ∈
ℤ
VD 20. Giải:
4 4
4
sin 2x cos 2x
cos 4x
tan x tan x
4 4
+
=
π π
− +
ĐS:
k
x , (k ).
2
π
= ∈
ℤ
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 35. Giải:
4 4
7
sin x cos x cot x cot x
8 3 6
π π
+ = + − ⋅
ĐS:
k
x , (k ).
12 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 36. Giải:
tan x tan x sin3x sinx sin2x
3 6
π π
+ − = +
ĐS:
k 2
x , x k2 , (k ).
2 3
π π
= = ± + π ∈
ℤ
► Đặt số đo cung bởi ẩn phụ chung: Đặt ẩn phụ t bởi cung phức tạp để bài toán đơn giản hơn.
VD 21. Giải:
3
tan x tan x 1
4
π
− = −
ĐS:
x k , x k , (k ).
4
π
= + π = π ∈
ℤ
VD 22. Giải:
3 x 1 3x
sin sin
10 2 2 10 2
π π
− = +
ĐS:
( )
3
x k , k .
5
π
= − π ∈
ℤ
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 37. Giải:
sin 3x sin2xsin x
4 4
π π
− = + ⋅
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 38. Giải:
3
8cos x cos3x.
3
π
+ =
ĐS:
x k , x k , (k ).
2
π
= + π = π ∈
ℤ
BT 39. Giải:
3
2 sin x 2sin x.
4
π
+ =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ
BT 40. Giải:
3
sin x 2 sin x.
4
π
− =
ĐS:
3
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ
BT 41. Giải:
cos x 2cos3x 1 3 sin x.
− = +
ĐS:
{ }
k2 2 k2
x ; , k \ 0 .
3 3 15 5
π π π π
∈ − + − + ∈
ℤ
II. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx (phương trình cổ điển)
– Dạng của phương trình:
{
}
(
)
asin x bcosx c ( ) , a,b \ 0
+ = ∗ ∈ ⋅
ℝ
– Phương pháp giải:
+ Kiểm tra điều kiện có nghiệm:
2 2 2
a b c
+ ≥
(nên nháp trước khi giải)
+ Chia hai vế phương trình cho
2 2
a b 0
+ ≠
được:
2 2 2 2 2 2
a b c
( ) sinx cosx
a b a b a b
∗ ⇔ ⋅ + ⋅ = ⋅
+ + +
(i)
+ Giả sử:
( )
2 2 2 2
a b
cos , sin , 0;2 .
a b a b
α = α = α ∈ π
+ +
Khi đó:
2 2 2 2
c c
(i) sinxcos cosxsin sin(a b)
a b a b
⇔ α + α = ⇔ + = ⋅
+ +
Lưu ý. Hai công thức sử dụng nhiều là:
sina cos b cosasin b sin(a b)
cosa cos b sinasin b cos(a b)
± = ±
⋅
± =
∓
VD 23. Giải:
cos 7xcos 5x 3 sin 2x 1 sin7xsin5x
− = −
ĐS:
x k , x k , (k ).
3
π
= π = − + π ∈
ℤ
VD 24. Giải:
cos x sin 3x 3 cos 2x 3 cos 3xsin x
− = +
ĐS:
x k , x k , (k ).
3 2
π π
= + π = + π ∈
ℤ
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 14 -
VD 25. Giải:
3 sin 2x cos 2x 2cos x 1
+ = −
(A, A
1
– 2012) ĐS:
2
x k , x k2 , x k2 .
2 3
π π
= + π = π = + π
VD 26. Giải:
5
cosx 2cos2x 2sinx.cos 2x
6
π
− = −
ĐS:
k
x , x k2 , (k ).
4 2 3
π π π
= + = + π ∈
ℤ
VD 27. Giải:
2sin 2x 4sinx 1
6
π
+ + =
ĐS:
5
x k , x k , (k ).
6
π
= π = + π ∈
ℤ
VD 28. Giải:
2
1 sin 2x 2 3 sin x ( 3 2)sin x cos x 0
+ + + + + =
ĐS:
7
k2 ; k2 ; k2 ; k2
6 6 3
π π π
− + π + π − + π π + π
VD 29. Giải:
2
2sin x sin 2x 3sinx cos x 2 0
+ − + − =
ĐS:
7
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
VD 30. Giải:
4 4
2(cos x sin x) 1
3 cos x sin x
x
2cos
2 3
− +
= +
π
−
ĐS:
2 k4
x k , x k4 , x
3 9 3
π π π
= + π = −π + π = + ⋅
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 42. Giải:
cos xsin 3x 3 cos 2x 3 cos 3xsin x.
− = +
ĐS:
x k , x k , (k ).
3 2
π π
= + π = + π ∈
ℤ
BT 43. Giải:
3 cos2x sin2x 2sin 2x 2 2.
6
π
+ + − =
ĐS:
5
x k , (k ).
24
π
= + π ∈
ℤ
BT 44. Giải:
cos2x( 3 tanx) 2 tanx.
+ = −
ĐS:
5
x k , x k , (k ).
24 24
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
BT 45. Giải:
3 3
4sin xcos3x 4cos xsin 3x 3 3 cos 4x 3.
+ + =
ĐS:
k k
x , x , (k ).
24 2 8 2
π π π π
= − + = + ∈
ℤ
BT 46.
3 3 4 4
4(cos 3x cos x sin 3xsin x) 3 sin 6x 1 3(cos x sin x).
+ + = + −
ĐS:
k k
x , x , (k ).
9 3 3
π π π
= + = ∈
ℤ
BT 47. Giải:
2
2cos x 2 3 sin xcos x 1 3cosx 3 sin x.
− + = −
ĐS:
x k , x k2 , x k2 .
3 3
π π
= + π = π = − + π
BT 48. Giải:
2
x
(2 3)cosx 2sin x
2 4
1.
2cosx 1
π
− − −
=
−
ĐS:
4
x k2 , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ
BT 49.
2 4 4
3 2cos x(sin 2x cos2xtanx) 3(cos x sin x).
− − = −
ĐS:
x k , x k , (k ).
6
π
= π = + π ∈
ℤ
BT 50.
6 6
8(sin x cos x) 3 3 cos2x 11 3 3 sin 4x 9sin2x.
+ − = − −
ĐS:
5 7
x k ; k ; k ; k
12 12 4 12
π π π π
∈ + π + π + π + π ⋅
BT 51. Giải:
1 1
2sinx 3 2cosx 0.
sinx cosx
− + − =
ĐS:
k
x , x k , (k ).
4 2 6
π π π
= + = + π ∈
ℤ
BT 52. Giải:
2
2sin x 3 sin 2x 1 3 sin x cosx.
+ + = +
ĐS:
2
x k , x k2 , x k2 .
6 3
π π
= − + π = π = + π
BT 53.
( )
2 2
1 8 1
2cosx cos x sin2x 3cos x sin x.
3 3 2 3
π
+ + π = + + + +
ĐS:
x k2 , (k ).
2
π
= + π ∈
ℤ
BT 54. Giải:
2
2
2cos x 2cosx 3
4 3sin x 0.
x
sin
2
+ −
+ =
ĐS:
x k , x k2 , (k ).
6 3
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
BT 55.
x x x 2 3x
2 cos 6 sin 2sin 2sin
5 12 5 12 5 3 5 6
π π π π
− − − = + − + ⋅
ĐS:
5 5 5
x ; ; k5
4 12 3
π π π
∈ − − + π ⋅
BT 56. Giải:
3 sin 2x(2cosx 1) 2 cos3x cos 2x 3cosx.
+ + = + − ĐS:
2
x k2 , x k2 , (k ).
3 6
π π
= ± + π = + π ∈
ℤ
BT 57. Giải:
3 sin2x cos2x 5sinx (2 3)cosx 3 3
1.
2cosx 3
− − + − + +
=
+
ĐS:
x k2 , (k ).
6
π
= + π ∈
ℤ
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 15 -
BT 58. Giải:
(2cos2x 1)cosx sinx 2(sin x cos x)sin3x.
− − = + ĐS:
k2 3
x k ,x ,x k2 .
4 20 5 4
π π π π
= − + π = + = + π
BT 59. Giải:
4sin2x 3cos2x 3(4 sin x 1).
− = −
ĐS:
x k , (k ).
= π ∈
ℤ
BT 60. Giải:
2
tan x sin 2x cos 2x 4cosx.
cos x
− − = −
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 61. Giải:
3 3
sin x cos x
1 cos2x 2cosx.
1 cosx 1 sinx
+ + = +
+ +
ĐS:
7
x k , x k2 , x k2 .
4 6 6
π π π
= + π = − + π = + π
BT 62. Giải:
sin 5x 2sin 3x 2cos3x
5.
sin x sin x cosx
+ + =
ĐS:
x k , (k ).
6
π
= ± + π ∈
ℤ
Một số dạng thường gặp có cách giải tương tự phương trình cổ điển
► Dạng:
2 2
2 2 PP
2 2
asinx b cosx a b sin( x )
, (a b 0)
asinx b cosx a b cos( x )
• + = + β + γ
+ ≠ →
• + = + β + γ
Chia hai vế cho
2 2
a b 0.
+ ≠
VD 31. Giải:
2
(sinx 3 cos2x)(2cos2x 1)
sin2x sinx
(2cosx 1)
− +
= +
−
ĐS:
( )
2 2 k2
x k2 , x , k .
3 9 3
π π π
= ± + π = + ∈
ℤ
VD 32. Giải:
3 cos 5x 2sin 3x cos2x sin x 0
− − =
ĐS:
k k
x , x , (k ).
18 3 6 2
π π π π
= + = − + ∈
ℤ
VD 33. Giải:
2
3 sin 2x 2sin x 4 sin 3xcos x 2
+ = +
ĐS:
7 k
x k , x k , x
2 12 24 2
π π π π
= + π = − + π = + ⋅
VD 34. Giải:
3 sin 7x 2sin 4xsin 3x cos x 0
− − =
ĐS:
k k
x , x , (k ).
24 4 18 3
π π π π
= + = + ∈
ℤ
VD 35.
2
4sinx.sin x sin x 4 3cosxcos x cos x 2
3 3 3 3
π
π
π
π
+ − − + + =
ĐS:
k2
x , (k ).
18 3
π π
= + ∈
ℤ
VD 36. Giải:
2cos 6x 2cos 4x 3 cos 2x sin 2x 3
+ − = +
ĐS:
k k
x k , x , x
2 24 2 36 3
π π π π π
= + π = − + = + ⋅
VD 37. Giải:
2
2sin x sin2x 2 2 sinxsin 3x
4
π
+ = +
ĐS:
k
x k , x , (k ).
8 2
π π
= π = + ∈
ℤ
VD 38. Giải:
2 2
2sin x(cos x sin x) sin x 3 cos 3x
− = +
ĐS:
k
x k , x , (k ).
6 3 2
π π π
= + π = + ∈
ℤ
VD 39. Giải:
2 2
x 3
4cos 3 cos2x 1 2sin x
2 4
π
+ = + −
ĐS:
5 k2 7
x , x k2 , (k ).
18 3 6
π π π
= + = − + π ∈
ℤ
VD 40. Giải:
2
3 sin 2x 2cos x 2 2 2cos 2x
− = +
ĐS:
x k , (k ).
2
π
= + π ∈
ℤ
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 63. Giải:
2
2 3 cos 2x sin 2x 4cos 3x.
− + =
ĐS:
5 k 5 k
x , x , k .
48 4 24 2
π π π π
= + = − + ∈
ℤ
BT 64. Giải:
tan x 3cotx 4.(sin x 3 cosx).
− = +
ĐS:
4 k2
x k ,x k2 ,x
3 3 9 3
π π π π
= − + π = − + π = + ⋅
BT 65. Giải:
( 3 1)sinx ( 3 1)cos x 2 2 sin 2x.
− + + =
ĐS:
5 7 k2
x k2 , x , (k ).
12 36 3
π π π
= + π = + ∈
ℤ
BT 66. Giải:
4 4
4(sin x cos x) sin 4x( 3 1 tan 2x tan x) 3.
+ + − − =
ĐS:
5 k
x k , x , (k ).
12 36 3
π π π
= − + π = + ∈
ℤ
BT 67. Giải:
3 1
8sinx
sin( x)
5
sin x
2
= + ⋅
π −
π
−
ĐS:
k
x k , x , (k ).
6 12 2
π π π
= + π = − + ∈
ℤ
BT 68. Giải:
( ) ( )
2
2 sinx cosx 1 2sin 2x
1 tan x.
sin 3x sin 5x
− +
= −
+
ĐS:
3 k2
x , (k 7m 3, m ).
28 7
π π
= + ≠ − ∈
ℤ
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 16 -
BT 69. Giải:
3
sin x cosxsin2x 3 cos 3x 2(cos 4x sin x).
+ + = +
ĐS:
k2
x k2 , x , (k ).
6 42 7
π π π
= − + π = + ∈
ℤ
BT 70. Giải:
8sin x tan x cot x 4cot2x.
6
π
+ + + =
ĐS:
5 k2
x k ; k2 ;
6 6 18 3
π π π π
∈ − + π − + π − + ⋅
BT 71.
2
2cos 2x 2cos2x 4cos6x sin 4x 1 4 3 sin3xcosx.
2
π
− + + − = +
ĐS:
k k
x ,x k ,x
3 12 24 2
π π π π
= = − + π = + ⋅
BT 72. Giải:
3
(cotx 1)(1 2 cos4x) 2sin 2x
2
π
− − = − ⋅
ĐS:
k
x k , x k , x
4 8 24 3
π π π π
= + π = + π = − + ⋅
BT 73.
(
)
2
cosx 3 sin 2x sinx 4cos2xcosx 2cos x 2 0.
+ + − − + =
ĐS:
2 k2
x k2 , x k2 , x
3 3 9 3
π π π π
= + π = − + π = + ⋅
BT 74. Giải:
2 2
x 7
4cos 2cos x 3 cos(2x 3 ) 3
2 4
0.
1 2sin x
π
+ − − − π −
=
−
ĐS:
5 k2
x , (k ).
18 3
π π
= + ∈
ℤ
BT 75. Giải:
3 2 2
2sin x 2 3 sin xcosx 2sin x cos 2x
3
0.
2cosx 3
π
+ − + +
=
−
ĐS:
5 5 k2
x k2 , x
6 18 3
π π π
= + π = − + ⋅
BT 76.
2
( 3sinx cosx)(sin x cosx) 4 2 sin x cos x
4 4
π
π
+ + = + + ⋅
ĐS:
k2
x k ; k2 ;
4 3 9 3
π π π π
∈ − + π − + π + ⋅
BT 77. Giải:
2 2
x 3
4sin 3 sin 2x 1 2cos x
2 2 4
π
π
π − − − = + − ⋅
ĐS:
5 5 k2
x k2 , x , (k ).
6 18 3
π π π
= + π = + ∈
ℤ
► Dạng:
asin(mx) bcos(mx) csin(nx) dcos(nx) ,
+ = +
2 2 2 2
a b c d
+ = +
→
Chia hai vế cho
2 2
a b 0.
+ ≠
VD 41. Giải:
2
2cos3xcosx 3(1 sin2x) 2 3 cos 2x
4
π
+ + = +
ĐS:
k
x , x k , (k ).
18 3 2
π π π
= − + = + π ∈
ℤ
VD 42. Giải:
(2cosx 1)(sin x cos x) 1
− + =
ĐS:
k2
x k2 , x , (k ).
6 3
π π
= π = − + ∈
ℤ
VD 43. Giải:
1 2sinx 1 sin x
1 2sin x
3 cos x
− −
=
+
ĐS:
k2
x , (k ).
18 3
π π
= + ∈
ℤ
VD 44.
2
x x
4sin sin 3 sin x(cos2x cosx)(1 cot x)
2 6 6 2
π π
+ − = + +
ĐS:
k2 4
; k2 ,(k 3m 1).
3 3 3
π π π
+ − + π ≠ +
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 78. Giải:
sin x sin 2x
3.
cos x cos2x
−
=
−
ĐS:
k2
x , (k ).
9 3
π π
= − + ∈
ℤ
BT 79. Giải:
2
cos x sin2x
3.
2cos x sin x 1
−
=
− −
ĐS:
x k2 , (k ).
6
π
= − + π ∈
ℤ
BT 80. Giải:
2 2
3 cos x 2 sin xcosx 3 sin x 1 0.
+ − − =
ĐS:
x k , x k , (k ).
4 12
π π
= + π = − + π ∈
ℤ
BT 81. Giải:
2
4sin x 4cos2xcos 2x 1.
6 3
π π
+ = − +
ĐS:
k 5
x , x k , (k ).
6 3 6
π π π
= + = + π ∈
ℤ
BT 82. Giải:
2(cos x 3 sin x)cosx cosx 3 sin x 1.
+ = − +
ĐS:
2 k
x k , x , (k ).
3 3
π π
= + π = ∈
ℤ
BT 83. Giải:
(1 2sinx)cosx
3.
(1 2sin x)(1 sin x)
−
=
+ −
ĐS:
l2
x , (k ).
18 3
π π
= − + ∈
ℤ
BT 84.
2
sin xsin4x 2 2 cos x 4 3 sin xcos xcos2x
6
π
= − −
ĐS:
x k , (k ).
3
π
= − + π ∈
ℤ
BT 85. Giải:
2
4sin x tan x 2(1 tan x).sin 3x 1
+ + + =
ĐS:
k2 3
x ,x k2 ,x k .
20 5 4 4
π π π π
= + = + π = − + π
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 17 -
► Dạng:
m.sin2x n.cos2x p.sin x q.cosx r 0
+ + + + =
( )
∗
PP
→
Ta luôn viết:
sin 2x 2sin xcosx,
=
còn cos2x có 3 phương án:
2
2
2 2
2cos x 1
cos 2x 1 2sin x
cos x sin x
−
= −
−
(1)
(2)
(3)
•
Nếu theo (1) thì
( )
∗ ⇔
2
(i)
sin x.(2m.cosx p) (2n.cos x q.cosx r n) 0
+ + + + − =
và theo (2) thì PT
2
(ii)
( ) cosx(2m.sin x q) ( 2n.sin x p.sinx r n) 0.
∗ ⇔ + + − + + + =
Ta sẽ phân tích (i), (ii) thành nhân tử dựa
vào tam thức bậc hai:
2
1 2
f(t) at bt c a.(t t )(t t )
= + + = − −
với
1 2
t , t
là hai nghiệm của phương trình
f(t) 0
=
để xác định lượng nhân tử chung.
•
Nếu thiếu
sin 2x
, ta sẽ biến đổi
cos 2x
theo công thức (3) và lúc này thường sẽ đưa được về dạng:
2 2
A B (A B)(A B) 0
= ⇔ − + =
bằng việc thêm bớt hằng đẳng thức:
2 2 2
a 2.a.b b (a b) .
± + = ±
VD 45. Giải:
cos2x 3cosx sin x 2 0
+ − + =
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= + π = π + π ∈
ℤ
VD 46. Giải:
5 cos 2x
2cosx
3 2 tan x
+
=
+
ĐS:
x k2 , (k ).
= π ∈
ℤ
VD 47. Giải:
3sinx cosx 2 cos2x sin 2x 0
− + − − =
ĐS:
7 3
x k2 ; k2 ;k2 ; k2
6 6 2
π π π
∈ − + π + π π + π
VD 48. Giải:
5cosx sinx 3 2 sin 2x
4
π
+ − = +
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= ± + π ∈
ℤ
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 86. Giải:
sin 2x cos 2x 3sinx cosx 1 0.
− + − − =
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ
BT 87. Giải:
sin 2x 2cos2x 1 sin x 4cosx.
+ = + −
ĐS:
x k2 , (k ).
3
π
= + π ∈
ℤ
BT 88. Giải:
2sin2x cos2x 7 sin x 2cosx 4.
− = + −
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ
BT 89. Giải:
2 2 sin 2x cos2x 7sin x 2 2 cosx 4 0.
− − − + =
ĐS:
5
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= + π = + π ∈
ℤ
BT 90. Giải:
sin 2x cos 2x 3cosx sinx 2 0.
+ − − + =
ĐS:
x k2 , x k2 , x k2 .
3 2
π π
= ± + π = π = + π
BT 91. Giải:
1
2sin x sin 2x
3 6 2
π π
+ − − = ⋅
ĐS:
x k , x k , (k ).
3 2
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
BT 92. Giải:
2 sin 2x sinx 3cosx 2.
4
π
+ = + −
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= − + π = π + π ∈
ℤ
BT 93. Giải:
sin 2x 3 cos 2x 3(sin x 3) 7cos x.
− + − =
ĐS:
5
x k2 , (k ).
6
π
= ± + π ∈
ℤ
BT 94. Giải:
sin 2x cos2x 4 2 sin x 3cosx
4
1.
cosx 1
π
− + + −
=
−
ĐS:
x k2 , (k ).
= π + π ∈
ℤ
BT 95. Giải:
2 tan x 1 tan x
2 sinx
cos 5x
4
− −
=
π
−
ĐS:
k 5
x , x k , x k .
8 2 12 12
π π π π
= − + = + π = + π
BT 96. Giải:
(2sin 5x 1)(2 cos 2x 1) 2 sin x.
− − =
ĐS:
k2 k2
x , x , (k ).
22 11 10 5
π π π π
= + = − ∈
ℤ
BT 97. Giải:
2
3(sin 2x 3sin x) 2cos x 3cosx 5
− = + −
ĐS:
2
x k2 , x k2 , x k2 .
3 3
π π
= π = + π = + π
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 18 -
III. Phương trình lượng giác đối xứng
Dạng 1.
a(sin x cosx) bsin xcosx c 0
± + + =
(dạng tổng/hiệu – tích)
PP
t sin x cosx, t 2
→ = + ≤
và bình phương để suy ra:
sin xcos x
.
Lưu ý, khi đặt
t sin x cos x
= ±
thì điều kiện là:
0 t 2
≤ ≤
.
Dạng 2.
2 2
a(tan x cot x) b(tan x cotx) c 0
+ + ± + =
PP
t tan x cot x, t 2
→ = ± ≥
và bình phương để suy ra:
2 2
tan x cot x
+
và lúc này thường sử
dụng:
2
tan x.cot x 1; tan x cot x
sin 2x
= + = ⋅
Một số dạng gần đối xứng hay nửa đối xứng thường gặp
► Dạng:
2 2
a tan x b cot x c(asin x bcosx) , ab 0
+ = ± ≠
PP
→
Biến đổi về tích số dựa vào hằng đẳng thức số ba, cụ thể:
2 2
a sin x b cos x
c(a sin x bcosx)
cos x sin x
⇔ + = ±
2 2 2 2
a sin x b cos x
c(asin x bcosx)
sin x.cosx
−
⇔ = ±
(tích số).
(a sin x b cos x)(asin x bcos x) c(a sin x bcos x)sin
x.cosx
⇔ − + = ±
► Dạng:
a(tanx sinx) b(cotx cosx) (a b) 0
± + ± ± + =
a b
(sin x sin xcos x cos x) (sin x sin xcos x cos x) 0
cos x sin x
⇔ ⋅ ± + + ⋅ ± + =
a b
(sinx sin x.cosx cos x) 0
cosx sinx
⇔ + ⋅ ± + =
là phương trình tích số giải được.
► Dạng:
4 4
a(sin x cos x) bsin2x c 0
+ + + =
PP 4 4 2
1
t sin 2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x.
2
→ = ≤ ⇒ + = −
► Dạng:
4 4
a(sin x cos x) b cos 2x c 0
+ + + =
PP 4 4 2
1
t cos2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x.
2
→ = ≤ ⇒ + = −
► Dạng:
4 4
asin x bcos x c.cos 2x d 0
+ + + =
PP 2 2
1 t 1 t
t cos 2x, t 1 sin x ; cos x
2 2
− +
→ = ≤ ⇒ = = ⋅
► Dạng:
6 6
a(sin x cos x) bsin 2x c 0
+ + + =
PP 6 6 2
3
t sin 2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x.
4
→ = ≤ ⇒ + = −
► Dạng:
6 6
a(sin x cos x) bcos2x c 0
+ + + =
PP 6 6 2
3
t cos2x, t 1 sin x cos x 1 sin 2x.
4
→ = ≤ ⇒ + = −
► Dạng:
2
2
2
f(x) sin x,cosx
k k
a f (x) b f(x) c 0 ,
k 1
f(x)
f (x)
=
+ + ± + =
≥
(
)
PP
k
t f(x) , t 2 k .
f(x)
→ = + ≥
VD 49. Giải:
3
2sin x cos2x cosx 0
− + =
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
4
π
= π = − + π ∈
ℤ
VD 50. Giải:
3 3
sin x cos x 1 sin2x
− = −
ĐS:
x k , x k2 , x k2 .
4 2
π π
= + π = + π = π + π
VD 51. Giải:
(cosx 1)(sin2x sinx cosx 2)
1
sin x(1 2cosx)
+ − − −
=
−
ĐS:
x k2 , (k ).
2
π
= − + π ∈
ℤ
VD 52. Giải:
(3 cos4x)(sinx cosx) 2
− − =
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= + π = π + π ∈
ℤ
VD 53. Giải:
3 2
2
3(1 sinx) x
3tan x tanx 8cos 0
4 2
cos x
+ π
− + − − =
ĐS:
x k , x k2 .
6 4
π π
= ± + π = ± α + π
VD 54. Giải:
2
2
2
2tan x 5(tan x cot x) 4 0
sin x
+ + + + =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 19 -
VD 55. Giải:
2
2
3
3cot x 4(tan x cot x) 1 0
cos x
+ + + − =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ
VD 56. Giải:
tan x 3cotx 4(sin x 3 cosx)
− = +
ĐS:
4
x k , x k2 , (k ).
3 3
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
VD 57. Giải:
tan x 3 cot x sin x 3 cos x 1 3 0
− − + + − =
ĐS:
1
x k ,x k2 ,cos 1
3 4
2
π π
= + π = ± α + π α = −
VD 58. Giải:
4 4
1 (sin x cos x)
cosx
sinx
− +
=
ĐS:
x k , x k , (k ).
2 4
π π
= + π = + π ∈
ℤ
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 98. Giải:
2 2
2cos2x sin xcosx sinxcos x 2(sinx cosx).
+ + = +
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ
BT 99. Giải:
2 3
cos 2x 2(sinx cosx) 3sin2x 3.
+ + − =
ĐS:
3
x k , x k2 , x k2 .
4 2
π π
= + π = π = + π
BT 100. Giải:
2 3 4 2 3 4
sin x sin x sin x sin x cos x cos x cos x cos x.
+ + + = + + +
ĐS:
x k2 , x k2 .
2
π
= − + π = π + π
BT 101. Giải:
3
2sin x cos 2x cos x 0.
− + =
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
4
π
= π = − + π ∈
ℤ
BT 102. Giải:
3
2cos x cos2x sin x 0.
+ + =
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
2 4
π π
= + π = − + π ∈
ℤ
BT 103. Giải:
3 2
cos x cos x 2sin x 2 0.
+ + − =
ĐS:
x k2 , x k , (k ).
2
π
= + π = π ∈
ℤ
BT 104. Giải:
3 3
2sin x sin x 2cos x cosx cos 2x.
− = − +
ĐS:
x k , x k2 , x k2 .
4 2
π π
= ± + π = − + π = π + π
BT 105. Giải:
2 3 3
tan x(1 sin x) cos x 1 0.
− + − =
ĐS:
x k2 ,x k ,x k2 .
4 4
π π
= π = + π = ± α + π
BT 106. Giải:
cos2x 5 2(2 cos x)(sin x cos x).
+ = − −
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= + π = π + π ∈
ℤ
BT 107. Giải:
1 sin2x
cotx 2sin x
sinx cosx 2
2
π
⋅ + = + ⋅
+
ĐS:
k2
x k , x , (k ).
2 4 3
π π π
= + π = + ∈
ℤ
BT 108. Giải:
2
sin x 1
2(1 cosx)(cot x 1)
cos x sin x
−
+ + = ⋅
+
ĐS:
x k2 , (k ).
2
π
= − + π ∈
ℤ
BT 109. Giải:
3 x x
sin x 4 cos sin sin x.
2 3 2 3 2
π π
+ − = + −
ĐS:
4
x k2 , x k2 , (k ).
3
π
= π + π = + π ∈
ℤ
BT 110. Giải:
2 2
2sin x 2sin x tanx.
4
π
− = −
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ
BT 111. Giải:
2
cos x(cosx 1)
2(1 sin x).
sin x cosx
−
= +
+
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= − + π = π + π ∈
ℤ
BT 112.
6
2 sinxcosx sinx cosx
sin2x 2 sinx cosx
+ + + = ⋅
+ +
ĐS:
k
x , (k ).
4 2
π π
= + ∈
ℤ
BT 113. Giải:
2 3
sin x cosx 1 sin xcosx.
3
+ = +
ĐS:
x k2 , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ
BT 114. Giải:
1 1
2 (2 sin2x) tanx cotx 0.
sinx cosx
+ + + + + =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ
BT 115. Giải:
1
cotx cot x cotx cot x
6 6
3
π
π
+ + − = ⋅ − ⋅
ĐS:
x k , x k , (k ).
2 3
π π
= + π = − + π ∈
ℤ
BT 116.
3 3 2 2
tan x cot x 3(tan x cot x) 10 3(tanx cot x).
− − + + = −
ĐS:
k 1 1 k
x , x arc cot
8 2 2 2 2
π π π
= − + = + ⋅
BT 117. Giải:
3 3 2
tan x cot x cot 2x 55.
+ + =
ĐS:
5
x k , x k2 , (k ).
12 12
π π
= + π = + π ∈
ℤ
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 20 -
BT 118.
1 1 1 1
(sinx cosx) 1 tanx cotx 0.
2 2 sinx cosx
+ + + + + + =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ
BT 119. Giải:
5
sin4x 4sin 2x 4(sinx cosx).
2
π
+ + = +
ĐS:
x k2 , x k2 , (k ).
2
π
= + π = −π + π ∈
ℤ
BT 120. Giải:
3
2
3
1 cos x
tan x
1 sin x
−
= ⋅
−
ĐS:
x k2 ,x k , (k ).
4
π
= π = + π ∈
ℤ
BT 121.
(
)
sin 2x cos 2x sin x cos x 1 2cos x sin x cos x.
− + − = + ĐS:
x k2 , x k2 , x k2 .
2 3
π π
= + π = π + π = ± + π
BT 122. Giải:
3 3
sin x cos x cos 2x tan x tan x
4 4
π π
− = ⋅ + ⋅ − ⋅
ĐS:
3 5
x k2 , x k2 , (k ).
4 4
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
BT 123. Giải:
4 4
x x
sin cos 1 2sin x.
2 2
+ = −
ĐS:
x k , (k ).
= π ∈
ℤ
BT 124. Giải:
4 4 2
1
sin x cos x cos2x sin 2x 2 0.
4
+ − + − =
ĐS:
x k , (k ).
2
π
= + π ∈
ℤ
BT 125. Giải:
5 5 2
4sin xcosx 4cos xsinx sin 4x.
− =
ĐS:
k k
x , x , (k ).
4 8 2
π π π
= = − + ∈
ℤ
BT 126. Giải:
4 4
sin x cos x 1 1
cot 2x
5sin2x 2 8sin 2x
+
= − ⋅
ĐS:
x k2 , (k ).
6
π
= ± + π ∈
ℤ
BT 127. Giải:
6 6
2 2
sin x cos x 1
tan2x.
4
cos x sin x
+
=
−
ĐS:
x .
∈∅
BT 128. Giải:
4 4
3
cos x sin x cos x sin 3x 0.
4 4 2
π π
+ + − − − =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ
BT 129.
(
)
4 4
2 2
6 6
3 sin x cos x 1
1
3sin x sin 2x 2cos x
2
sin x cos x 1
+ −
+ + = ⋅
+ −
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= + π ∈
ℤ
BT 130. Giải:
2
2
1 1
cos x 2 cos x 2 0.
cos x
cos x
+ − + + =
ĐS:
x k , (k ).
= π ∈
ℤ
BT 131. Giải:
2
2
1 1
sin x sin x
sin x
sin x
− = − ⋅
ĐS:
x k2 , (k ).
2
π
= ± + π ∈
ℤ
BT 132. Giải:
2
2
1 1
4 sin x 4 sin x 7 0.
sin x
sin x
+ + + − =
ĐS:
7
x k2 , x k2 , (k ).
6 6
π π
= − + π = + π ∈
ℤ
IV. Phương trình lượng giác đẳng cấp (bậc hai, bậc ba, bậc bốn,…)
Dạng:
2 2
a.sin X b.sin X cosX c.cos X d (1) a, b, c, d
+ + = ∀ ∈
ℝ
PP
→
chia cho:
2 2
cos X 0 (hay sin X).
≠
– Bước 1. Kiểm tra xem
2
cos X 0
X k , (k )
2
sin x 1
=
π
= + π ∈ ⇔
=
ℤ
có phải là nghiệm hay không ?
– Bước 2. Khi
2
cos X 0
X k , (k )
2
sin X 1
≠
π
≠ + π ∈ ⇔
≠
ℤ . Chia hai vế (1) cho
2
cos X
:
2 2
2 2 2 2
sin X sinX cos X cos X d
(1) a b c
cos X cos X cos X cos X
⇔ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
2 2
atan X btanX c d(1 tan X)
⇔ + + = +
– Bước 3. Đặt
t tanX
=
để đưa về phương trình bậc hai mà biết cách giải.
Dấu hiệu nhận dạng: Đồng bậc hoặc lệch nhau hai bậc của hàm sin hoặc cos (tanx, cot xem là bậc 0)
Lưu ý. Giải tương tự đối với phương trình đẳng cấp bậc ba và bậc bốn:
3 2 2 3
4 3 2 2 3 4
asin X bsin XcosX csinXcos X dcos X 0
asin X bsin XcosX csin Xcos X dsinXcos X ecos X 0
+ + + =
⋅
+ + + + =
PP
→
Kiểm tra và chia hai vế cho
3 4
cos X 0 (hay cos X).
≠
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
TTBDVH & LTĐH – Đại học Ngoại Thương – TPHCM Tài liệu ôn thi THPT Quốc Gia môn Toán
Biên soạn: Ths. Lê Văn Đoàn – TS. Huỳnh Công Thái Page - 21 -
VD 59. Giải:
2 2
9
cos (3 2x) 3 cos 4x 1 sin ( 2x)
2
π
π − − − = + π −
ĐS:
k k
x ,x , (k ).
2 6 2
π π π
= = − + ∈
ℤ
VD 60. Giải:
3 3 2
cos x 4sin x 3cosxsin x sin x 0
− − + =
ĐS:
x k , x k , (k ).
4 6
π π
= − + π = ± + π ∈
ℤ
VD 61. Giải:
2
2
(1 cos2x)
sin x 2cos 2x
2sin 2x
+
+ =
ĐS:
x k , (k ).
4
π
= − + π ∈
ℤ
VD 62. Giải:
2 2
tanx.sin x 2sin x 3(cos2x sinxcosx)
− = +
ĐS:
x k , x k , (k ).
4 3
π π
= − + π = ± + π ∈
ℤ
VD 63. Giải:
cos 2x
tan x 2 sin 2x 0
1 cot x 4
π
− + − =
+
ĐS:
1 5
x k , x arctan k .
4 2
π − ±
= + π = + π
VD 64. Giải:
1
cos xcos 2xcos 4xcos8x
16
=
ĐS:
k2 k 17m 1
x ,x ,k 15m;
15 17 17 2
π π π −
= = + ≠ ⋅
VD 65. Giải:
3
4sin3xcos 2x 1 6sin x 8sin x
= + −
ĐS:
k k2
x , x
14 7 10 5
π π π π
= + = + ⋅
VD 66. Giải:
1
cos x cos2x cos 3x cos4x cos 5x
2
+ + + + = −
ĐS:
{ }
k2
x , k \ 11 .
11
π
= ∈
ℤ
Bài tập rèn luyện tương tự
BT 133. Giải:
3
7 cosx 4cos x 4sin2x.
= +
ĐS:
5
x k , x k2 , x k2 .
2 6 6
π π π
= + π = + π = + π
BT 134. Giải:
3 3 2 2
sin x 3 cos x sin xcos x 3 sin xcos x.
− = −
ĐS:
x k , x k .
4 3
π π
= ± + π = − + π
BT 135. Giải:
3 3 2
4sin x 3cos x 3sinx sin xcosx 0.
+ − − =
ĐS:
x k , x k .
4 6
π π
= + π = ± + π
BT 136. Giải:
4 2 2 4
3cos x 4sin xcos x sin x 0.
− + =
ĐS:
x k , x k .
4 3
π π
= ± + π = ± + π
BT 137. Giải:
4 4 2
4sin x 4cos x 5sin2xcos2x cos 2x 6.
+ + + =
ĐS:
k 1 1 k
x , x arctan
8 2 2 4 2
π π π
= + = + ⋅
BT 138. Giải:
3
2 2 cos x 3cosx sin x 0.
4
π
− − − =
ĐS:
x k , x k , (k ).
2 4
π π
= + π = + π ∈
ℤ
BT 139. Giải:
2
sin3x cosxcos 2x(tan x tan2x).
= +
ĐS:
x k , (k ).
= π ∈
ℤ
www.MATHVN.com - Toán Học Việt Nam
DeThiThuDaiHoc.com
