Chuyên đề tích phân Quyển 1

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 1
CHƯƠNG 3. NGUYÊ HÀM – TÍCH PHÂN
ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN
Chuyên đề 1. Tính nguyên hàm bằng cách áp dụng tính chất
f '(x)dx f (x) C 

.
1.1. Phương pháp:
Giả sử ta cần tìm nguyên hàm
I g(x)dx

Sử dụng các phép biến đổi của đạo hàm để đưa
g(x) f '(x)
. Khi biến đổi, cần lưu
ý đ
ến các công thức đạo
hàm:

 
u ' v ' u v '  

u ' v v ' u (uv) ' 

2
u ' v v ' u u
'
v
v
 











 
1.2. Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 3.1.1. Tìm họ nguyên hàm:
I x sin 2xdx

.
Lời giải.
Ta có:
'
1 1 1
x sin 2x x cos 2x x ' cos 2x cos 2x
2 2 2
   
 
 
 
    
 
 
 
 

 
   
' '
1 1 1 1
x cos 2x (sin 2x) ' x cos 2x sin 2x
2 4 2 4
   
 
 
 
     
 
 
 
 
 
   
Do đó:
1 1
I x cos 2x sin 2x C
2 4
   
.
Ví dụ 3.1.2. Tìm họ nguyên hàm
2x
I sin 3x.e dx



.

Lời giải.
Ta có:
 
'
2x 2x 2x 2x
1 1 3
sin 3x.e sin 3x e ' e sin 3x e cos 3x
2 2 2
   
   
 
 
 
    
 
 
 
 
 
   
 
' '
2x 2x 2x 2x
1 3 1 1 9
sin 3x.e cos 3x e e . cos 3x ' e sin 3x
2 2 2 2 4
   
 
     
 

  
  
  
      
 
  
  
  
  
  
 
     
 
 
Suy ra
'
2x 2x 2x
13 1 3
e sin 3x sin 3x.e e cos 3x
4 2 4
  
 



  






 
Do đó:
2x 2x
4 1 3
I sin 3x.e e cos 3x C
13 2 4
 
 



   





 
.
Ví dụ 3.1.3. Tìm họ các nguyên hàm
2
I x ln xdx

.
Lời giải.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 2

Ta có:
 
'
'
3 3
2 3 3 3
x x 1 1 1
x ln x ln x (ln x) ' x ' x ln x x
3 3 9 3 9
 
 







    










 



 
Do đó:
3 3
1 1
I x ln x x C
3 9
  
.
Ví dụ 3.1.4. Tìm họ nguyên hàm
1
x
x
1
I x 1 e dx
x

 



  





 


.
Lời giải.
Ta có:
1 1 1 1 1
x x x x x
x x x x x
2
1 1 1
x 1 e x e e x 1 e e
x x
x
    
 
   

 

 

 
       

 

 

 
 
  


   
 
' '
1 1 1
x x x
x x x
x e x '.e xe
  
   
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
   
Do đó:
1
x
x
I xe C


 
.
Ví dụ 3.1.5. Tìm họ nguyên hàm
2
1 1
I dx
ln x
ln x
 



 





 

.
Lời giải.
Ta có:
'
2 2 2
1 1 ln x 1 x ' ln x x.(ln x) ' x
ln x ln x
ln x ln x ln x
 

 



   





 
Do đó:
x
I C
ln x
 
.
Ví dụ 3.1.6. Tìm họ các nguyên hàm
x
1 sin x
I e dx
1 cos x




.
Lời giải.
Ta có:
2

2
x x x
2
x x
sin cos
2 2
1 sin x 1 1 x
e e tan 1 e
x
1 cos x 2 2 2
cos
2
 








 

 




  







 
 
'
2 x x x x
1 x x 1 x x
(1 tan )e 2e tan 2 tan e 2 e ' tan
2 2 2 2 2 2
 
   
 


 

    
 



 


 
 
 

 
 
'
x
x
e tan
2
 









 
Do đó:
x
x
I e tan C
2
 
.
1.3. Bài tập.
Bài 3.1.1. Tìm họ các nguyên hàm sau
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM

Nguyễn Tất Thu Page 3
1)
I (2x 1) cos xdx 

2)
2x
I xe dx

3)
3x
I cos 2x.e dx

4)
I x ln(x 1)dx 

5)
2
x
I dx
sin x


6)
2
I x ln xdx

7)
1 x cot x
I dx
sin x




8)
2
x
2
x x 1
I e dx
(x 1)
 



9)
2
2 ln x 1
I xdx
ln x



10)
3
3 4
dx
I
(1 x )




.
Hướng dẫn giải
Bài 3.1.1.
1) Ta có:
(2x 1) cos x (2x 1)(sin x) ' (2x 1) 'sin x 2sin x     
   
(2x 1)sin x ' 2(cos x) ' (2x 1) sin x 2cos x '     
Do đó:
I (2x 1) sin x 2cos x C   
.
2) Ta có:
 
2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x 2x
1 1 1 1 1 1 1
xe x e ' x '. e e xe ' e ' xe e '
2 2 2 2 4 2 4
       
   
   
   
      
   
   
   
   
   
       
Do đó
2x 2x

1 1
I xe e C
2 4
  
.
3) Ta có:
 
'
'
3x 3x 3x 3x
1 1 3
cos 2x.e sin 2x e sin 2x e sin 2x.e
2 2 2
 



  





 
 
' '
'
3x 3x 3x 3x
1 3 1 1 9
sin 2x.e cos 2x .e cos 2x. e cos 2x.e

2 2 2 2 4
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
Suy ra
'
3x 3x 3x
13 1 3
cos 2x.e sin 2x.e cos 2x.e
4 2 4
 



 






 
Vậy
3x 3x
1 3
I sin 2x.e cos 2x.e C
2 4
  
.
4) Ta có:
 
'
2
'
2 2
1 1 1 x
x ln(x 1) x .ln(x 1) x ln(x 1
2 2 2 x 1
 



     







 
'
2
1 1 1
x ln(x 1) x 1
2 2 x 1
   
 
 
 
    
 
 
 
 
 

   
Vậy
 
2 2
1 1 1
I x ln x 1 x x ln(x 1) C
2 2 2
 




      





 
.
5) Ta có:
     
 
'
' '
2
sin x
x
x. cot x x ' cot x cot x x cot x
sin x
sin x
       
Suy ra
I x cot x ln sin x C   
.
6) Ta có:
 
'
2 2 2 2 2
1 1
x ln x x ln x x ln x ' x ln x
2 2

 



  





 
 
' '
'
2 2 2 2
1 1 1 1
x ln x x ln x x ln x x
2 2 2 2
 
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 

 
 
   
 
 
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 4
'
2 2 2 2
1 1 1
x ln x x ln x x
2 2 4
 



  





 
Vậy
2 2 2 2
1 1 1
I x ln x x ln x x C
2 2 4

   
.
7) Ta có:
 
'
2 2
x 'sin x x. sin x '
1 x cot x sin x x cos x x
sin x sin x
sin x sin x
  
 



  





 
Do đó
x
I C
sin x
 
.
8) Ta có:
2 x x x

x x x
2 2 2
x x 1 xe (x 1)(e ) ' (x 1)'e
e e e
(x 1) (x 1) (x 1)
    
   
  
 
' '
x x
'
x x
e e
e e
x 1 x 1
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 

   
Suy ra
x
x
e
I e C
x 1
  

.
9) Ta có:
'
2 2 2
2 2 2
2 ln x 1 2x ln x x (x ) ' ln x x (ln x) ' x
x
ln x
ln x ln x ln x
 

  



  








 
Vậy
2
x
I C
ln x
 
.
10) Ta có:
3
3
3
3
3 3
3 2
3 3 3 3
3 4 3 2 3 2 3 2
x
1 x
1 1 x x
(1 x )
(1 x ) (1 x ) . (1 x ) (1 x )
 
 

 
   
'

3 3
3 3
'
3
3
3 2 3
x '. 1 x x. 1 x
x
(1 x ) 1 x
 


  
  





 



 








 
 
.
Vậy
3
3
x
I C
1 x
 

.
Chuyên đề 2. Nguyên hàm
P(x)
I dx
Q(x)


2.1. Phương pháp giải
Sử dụng các phép biến đổi đưa về các nguyên hàm cơ bản sau

du
ln u C
u
 


dx 1
ln ax b C

ax b a
  



n n 1
dx 1 1 1
C
n 1 a
(ax b) (ax b)

  

 

với
n 2
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 5

2 2
dx 1 x
arctan C
k k
x k
 



.
2.2. Các ví dụ minh hoạ
Ví dụ 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau
2
2x x 1
I dx
x 1
 



.
Lời giải.
Ta có:
2 2
2x x 1 2(x 1) 3(x 1) 2      
Suy ra
2
2
I 2x 2 3 dx x x 2 ln x 1 C
x 1
 



        







 

.
Chú ý: Cho
f (x)
là đa thức bậc
n
. Khi đó:
(n)
n
0 0
0 0 0
f (x ) f '(x )
f (x) (x x ) (x x ) f (x )
n ! 1!
     
Trong đó
(k)
0
f (x )
là đạo hàm bậc
k
của hàm số
f
tại
0
x
Ví dụ 3.2.2. Tìm họ các nguyên hàm

2
4
x 3x 1
I dx
(x 1)
 



.
Lời giải.
Ta có:
2 2
x 3x 1 (x 1) (x 1) 3      
Suy ra
2 3 4
1 1 3
I dx
(x 1) (x 1) (x 1)
 
 
  
 
  
 
 

2 3
1 1 1
C

x 1
2(x 1) (x 1)
    

 
.
Chú ý: Để giải bài trên, ta có thể thực hiện phép đổi biến số bằng cách đặt
t x 1 
Suy ra
x t 1 dx dt   
2 2
4 4 2 3 4
(t 1) 3(t 1) 1 t t 3 1 1 3
I dt dt dt
t t t t t
 
     



    





 
  
2 3 2 3
1 1 1 1 1 1

C C
t x 1
2t t 2(x 1) (x 1)
         

 
.
Ví dụ 3.2.3. Tìm họ các nguyên hàm sau
3 3
2 3
x (x 1)
I dx
(2x 2x 1)
 

 

.
Lời giải.
Ta có:
3 3 3 2 2
x (x 1) 2x 3x 3x 1 (2x 1)(x x 1)         
Đặt
2
t 2x 2x 1 dt (4x 2)dx 2(2x 1)dx       
Suy ra
3 2 3 2
1 t 1 1 1 1 1 1
I dt dt C
4 4 4t

t t t 8t
 




      





 
 
2 2 2
1 1
C
4(2x 2x 1) 8(2x 2x 1)
   
   
.
Ví dụ 3.2.4. Tìm họ các nguyên hàm
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 6
2
2
3x x 1
I dx

x 5x 6
 

 

.
Lời giải.
Ta có:
2
16x 17
I 3 dx
x 5x 6
 





 





 
 

Ta phân tích
16x 17 a(x 2) b(x 3)    
Cho

x 2, x 3 
ta tìm
đư
ợc
a 31, b 15  
Suy ra
31 15
I 3 dx 3x 31 ln x 3 15 ln x 2 C
x 3 x 2
 



        





 
 

.
Ví dụ 3.2.5. Tìm họ các nguyên hàm sau
3
3x 4
I dx
x 4x





.
Lời giải.
Ta phân tích:
3x 4 ax(x 2) bx(x 2) c(x 2)(x 2)       
Cho
x 0, x 2, x 2   
ta có được:
4 4c
5 1
2 8b a , b , c 1
4 4
10 8a


  



     



 



Suy ra
5 1 1 1 1 5 1

I dx ln x 2 ln x 2 ln x C
4 x 2 4 x 2 x 4 4
 



          





 
 

.
Ví dụ 3.2.6. Tìm họ nguyên hàm
2 2
dx
I
(x 1)



.
Lời giải.
Ta có:
 
2
2 2 2 2 2

2
(1 x) (1 x)
1 1 1 1 2 1
4 4 (1 x)(1 x)
(1 x) (1 x) (1 x) (1 x)
x 1
 
 
  
 
 
 
   
 
 
   
 
 

2 2
1 1 1 1 1
4 1 x 1 x
(1 x) (1 x)
 
 
   
 
 
 
 

 
Suy ra
1 1 1 x 1
I ln C
4 x 1 1 x x 1
 

 
    
 
  
 
.
Ví dụ 3.2.7. Tìm họ các nguyên hàm sau
3
2x 3
I dx
x 1




.
Lời giải.
Ta có:
2
2x 3 (ax b)(x 1) c(x x 1)      
Cho
1 3c
1 8 1

x 1, x 0, x 1 3 b c c , b , a
3 3 3
5 2a 2b c






           



  



www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 7
Do đó:
2 2 2
1 dx 1 x 8 1 1 2x 1 5 dx
I dx ln x 1
3 x 1 3 3 6 3
x x 1 x x 1 x x 1
 
     


     
   
2
1 1 5
ln x 1 ln x x 1 J
3 6 3
     
Ta có:
2
dx 1 1 2x 1 2 2x 1
J 4 4. . .arctan C .arctan C
2
3 3 3 3
(2x 1) 3
 
    
 

.
Ví dụ 3.2.8. Tìm họ các nguyên hàm sau
(x 1) cos x x sin x
I dx
cos x x sin x
 



.
Lời giải.
Ta có:

 
cos x x sin x '
(x 1) cos x x sin x x cos x
1 1
cos x x sin x cos x x sin x cos x x sin x

 
   
  
Suy ra
I x ln x sin x cos x C   
.
Ví dụ 3.2.9. Tìm họ nguyên hàm
4
dx
I
x 4



.
Lời giải.
Ta có:
4 2 2 2 2 2
1 1 1
x 4 (x 2) 4x (x 2x 2)(x 2x 2)
 
      
Ta phân tích:
2 2

1 (ax b)(x 2x 2) (cx d)(x 2x 2)       
Đồng nhất hệ số ta có:
a c 0
2a b 2c d 0
1 1 1
a , b d , c
8 4 8
a b c d 0
2b 2d 1


 



   


     


   



 



Suy ra

4 2 2
1 1 x 2 1 x 2
8 8
x 4 x 2x 2 x 2x 2
 
  
    
2 2 2 2
1 x 1 1 x 1 1 1 1 1
8 8 8 8
x 2x 2 x 2x 2 (x 1) 1 (x 1) 1
 
    
       
.
Suy ra
2
2
1 x 2x 2 1
I ln arctan(x 1) arctan(x 1) C
8 8
x 2x 2
 
 
     
 
 
 
.
Ví dụ 3.2.10. Tìm họ nguyên hàm

6
dx
I
x 1



.
Lời giải.
Ta có:
2 2 2
6 2 4 2 4 2 6
1 x 1 x 1 x
x 1 (x 1)(x x 1) x x 1 x 1
 
  
      
Mà:
2 3
3
6 6
x 1 d(x ) 1
dx arctan(x ) C
3 3
x 1 x 1
  
 
 
.
www.boxtailieu.net

www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 8
4 2 2 2 2 2 2
1 1 1
x x 1 (x 1) 3x (x 3x 1)(x 3x 1)
 
       
Ta phân tích:
 
 
 
 
2 2
1 ax b x 3x 1 cx d x 3x 1       
Đồng nhất hệ số ta có:
a c 0
a 3 b c 3 d 0
1 1 1
a , b d , c
2
2 3 2 3
a b 3 c d 3 0
b d 1


 





   

     


   




 


.
Suy ra
4 2 2 2
1 1 x 3 1 x 3
2 3 2 3
x x 1 x 3x 1 x 3x 1
 
  
     
2 2 2 2
1 2x 3 1 2x 3 1 1 1
4
4 3 4 3
x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1 x 3x 1
 
 

 
    
 
       
 
 
Do đó:
2
4 2 2
dx 1 x 3x 1 1
ln arctan(2x 3) arctan(2x 3) C
2
4 3
x x 1 x 3x 1
 
 
     
 
 
   

Vậy
2
3
2
1 1 x 3x 1 1
I arctan(x ) ln arctan(2x 3) arctan(2x 3) C
3 2
4 3
x 3x 1

 
 
      
 
 
 
.
Ví dụ 3.2.11. Tìm họ nguyên hàm
4 2
6
x x 1
I dx
x 1
 



.
Lời giải.
Ta có:
4 2 4 2 2 2
6 6 6 4 2 6
x x 1 x 1 x x 1 x
x 1 x 1 x 1 x x 1 x 1
   
   
     
2 3 3
3
6 3 3 3 3 3

x 1 d(x ) 1 1 1 1 x 1
dx d(x ) ln C '
3 6 6
x 1 (x 1)(x 1) x 1 x 1 x 1
 





    





 
     
  
2 2
2
4 2 2 2
1
1
d x
1
x
x 1 1 x 1
x
J dx dx arctan C "

3 x 3
x x 1
1 1
x 3 x 3
x x
 










 
 
    
   
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 

   
  
Vậy
3 2
3
1 x 1 1 x 1
I ln arctan C
6
3 x 3
x 1
 
  

.
Ví dụ 3.2.12. Tìm họ nguyên hàm
2
2 2
x 1
I dx
(x 3x 1)(3x 5x 3)


   

.
Lời giải.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 9

Ta có:
2
1
1
x
I dx
1 1
x 3 3(x ) 5
x x


  
 
 
 
   
 
 
 
 
 
  

Đặt
2
1 1
t x dx 1 dx
x
x
 




    





 
Suy ra
dt 1 3 1 1 3t 5
I dt ln C
(t 3)(3t 5) 4 3t 5 t 3 4 t 3
 




    





    
 
 
2
2

1 3x 5x 3
ln C
4
x 3x 1
 
 
 
.
2.3. Bài tập
Bài 3.2.1. Tìm họ các nguyên hàm sau
2
2x 3x 1
1) I dx
x 2
 



3
x 1
2) I dx
x 1




2
2
x 2x 3
3) I dx

(x 2)
 



2
3x 4
4) I dx
x 3x 2


 

3
2
x 3x 2
5) I dx
x 5x 4
 

 

6)
5
x
I dx
(x 1)




7)
2
x
I
x 1
 










 

8)
2
3 2 3
x x
I dx
(2x 3x 1)


 

9)
3

5
(x 1)
I dx
(1 5x)




10)
3
dx
I
x 2x



11)
1
2
4
4 2
0
2x
J dx
x 2x 1

 

12)
4 2

dx
I
x x 1

 

13)
2
dx
I
x(1 x)(1 x x )

  

14)
2
3
x x 1
I dx
x 3x 2
 

 

15)
3
4 2
x
I dx
x 2x 1


 

16)
3 2
4 3
x x 4x 1
I dx
x x
  



17)
2
6 2
x dx
I
(x 4)



18)
4 3 2
(x 1)dx
I
x 4x 6x 4x 2


   


19)
4
2 2
x dx
I
(x 1)



20)
3
6 3
x 1
I dx
x(x 3x 2)


 

21)
6 2
dx
I
x(x 1)



22)
3

3 4
(x 2)dx
I
x(x 8)(x 8x 2)


  

23)
2
4 3 2
x 1
I dx
x 2x x 2x 1


   

24)
2
4 2
x 1
I dx
x x 1


 

.
Hướng dẫn giải.

Bài 3.2.1.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 10
1) Ta có:
2
1
I 2x 1 dx x x ln| x 2| C
x 2
 



       






 

2) Ta có:
3
2
x 1 2 2
I dx (x x 1 )dx
x 1 x 1
 

    
 
 
3 2
x x
x 2 ln|x 1| C
3 2
     
.
3) Ta có:
2
2
(x 2) 2(x 2) 3
I dx
(x 2)
   



2
2 3 3
1 dx x 2 ln|x 2| C
x 2 x 2
(x 2)
 




       






 
 


.
4) Ta có:
3x 4
I dx
(x 1)(x 2)


 

Ta xác định
a, b
sao cho:
3x 4 a(x 1) b(x 2) (a b)x a 2b        
a b 3 a 10
a 2b 4 b 7
 
 
  
 
 
 

 
    
 
 
10(x 1) 7(x 2) 10 7
I dx dx
(x 1)(x 2) x 2 x 1
 
  



   





   
 
 
10 ln| x 2| 7 ln|x 1| C    
.
5) Ta có:
3
2 2
x 3x 2 18x 22
x 5
x 5x 4 x 5x 4
  

  
   
50 4
(x 1) (x 4)
50 1 4 1
3 3
x 5 x 5
(x 1)(x 4) 3 x 4 3 x 1
  
      
   
50 1 4 1
I x 5 dx
3 x 4 3 x 1
 



    





 
 

2
x 50 4
5x ln| x 4| ln|x 1| C

2 3 3
      
.
6) Ta có:
5 4 5
x 1 1 1 1
I du d(x 1)
(x 1) (x 1) (x 1)
 
 




   





 
  
 
 
4 5
3 4
1 1
(x 1) d(x 1) (x 1) d(x 1) C
4(x 1)
3 x 1

 
         


 
.
7) Ta có:
2
2
x
I
(x 1)



www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 11
Đặt
t x 1 x t 1 dx dt      
2
2 2
(t 1) 2 1 1
I dt 1 dt t 2 ln t C
t t
t t
 





        





 
 
1
x 1 2ln x 1 C
x 1
     

.
8) Đặt
3 2 2
t 2x 3x 1 dt 6(x x)dx     
3 2 3 2 2
1 dt 1 1 1 1
I C
6 18 18
t t (2x 3x 1)
      
 

9) Ta có:
3
2

x 1 dx
I
1 5x
(1 5x)
 











 


. Đặt
2
x 1 6dx
t dt
1 5x
(1 5x)

  


4

4
3
1 t 1 x 1
I t dt C C
6 24 24 1 5x
 




     






 

.
10)
 
3
2 2
dx xdx
I
x 2x
x 2 x
 



 
Đặt
2
t x 2 dt 2xdx   
hay
1
xdx dt
2

Khi đó:
 
 
 
1
dt
t t 2
1 1 1 1 1 t 2
2
I dt dt dt ln C
4 4 t 2 t 4 t
t t 2 t t 2
 

 






     






 



 
   
2
2
1 x
ln C
4
x 2
 

.
11)
   
4 2
4 2 2 2
2x 4x 2
J dx 2 dx
x 2x 1
x 1 x 1

 








  






 
 


 
 
   
2 2
1 3 1 3 1
1 dx
2 x 1 x 1
x 1 x 1
 








    




 


 


 

1 1 1
1 3 ln x 1 3ln x 1 C
2 x 1 x 1
 



       






 
 
.
12) Ta có:
2 2 2 2 2
dx dx
I
(x 1) x (x x 1)(x x 1)
 
     
 
2 2
1 (ax b)(x x 1) (cx d)(x x 1)       
3 2
(a c)x ( a b c d)x (a b c d)x b d            
a c 0
a b c d 0
1 1 1
b d , a , c
2 2 2
a b c d 0
b d 1


 




    


      


   



 



.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 12
Suy ra :
2 2
1 2x 2 2x 2
I dx
4
x x 1 x x 1
 
 





 





 
   

2 2 2 2
1 2x 1 1 2x 1 1
dx
4
x x 1 x x 1
1 3 1 3
x x
2 4 2 4
 
 
 
 
 
   
 
 
   
   
 
 

 
 
   
 
 
 
 
 
 
   
 
 

2
2
1 x x 1 2 2x 1 2 2x 1
ln arctan arctan C
4
3 3 3 3
x x 1
 
   
 
   
 
 
 
 
.
13) Ta có:

2 2
2 2 2 2
x x 1 (x x) 1 1
I dx dx
(x x)(x x 1) x x x x 1
 
   




  





 
     
 
x 2 2x 1
ln arctan C
x 1
3 3

  

.
14) Ta có:
3 2

x 3x 2 (x 1) (x 2)    
Và
2 2
2 1
x x 1 (x 1)(x 2) (x 2) (x 1)
3 3
        
Nên
2 1 1
I ln x 1 ln x 2 C
3 x 1 3
     

.
15) Đặt
2
1
t x xdx dt
2
  
. Suy ra
2
1 tdt
I
2
t 2t 1

 

2

2
1 1
I ln x 1 C
2
x 1
   

.
16) Ta có :
3 2 2 3
x x 4x 1 (x 1) 3x(x 1) 2x (x 1) x          
Nên
2
1 3
I 2 ln x ln x 1 C
x
2x
     
.
17) Đặt
3 2
1
t x x dx dt
3
  
Suy ra
3 3
2 2 6 3
1 dt 1 2x 1 x 2
I ln C

3 48 2
(t 4) x 4 x 2
 






    






  
 

.
18) Ta có :
4 3 2 2 2
x 4x 6x 4x 2 (x 2x 1) 3       
Đặt
2
t x 2x 1  
2
2 2
1 dt 1 x 2x 1 3
I ln C

2
4 3
t 3 x 2x 1 3
  
   
   

.
19) Đặt
3 2
2 2 2
u x du 3x dx
xdx 1
dv v
(x 1) 2(x 1)
 
 
 
 
 
 

 
 
  
 
 
 
 
 

3
2 2
x 3 1
I (1 )dx
2
2(x 1) x 1
   
 

www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 13
3
2
x 3 1 x 1
x ln C
2 2 x 1
2(x 1)
 




    








 

.
20) Đặt
3
2
1 t 1 1 t 1
t x I dt dt
3 3 t(t 1)(t 2)
t(t 3t 2)
 
   
 
 
 
3 1
t 1 t(t 1) (t 1)(t 2) 2t(t 2)
2 2
        
Suy ra
3 3 3
1 1 2
I ln x 2 ln x ln x 1 C
2 6 3
      
.
21) Đặt
6

2 2
1 dt 1 1 1 1
t x I dt
6 6 t t 1
t(t 1) (t 1)
 




     






 
 
 
Suy ra
6
6 6
1 x 1
I ln C
6
x 1 x 1
  
 
.

22) Đặt
4 3
1
t x 8x dt (x 2)dx
4
    
Suy ra
4
4
1 dt 1 x 8x
I ln C
4 t(t 2) 8
x 8x 2

  

 

.
23) Ta có :
2
2
1
1
x
I dx
1 1
(x ) 2(x ) 3
x x



   

Đặt
2
2 2
1 dt 1 x x 1
t x I ln C
x 4
t 2t 3 x 3x 1
 
     
   

.
24) Ta có :
2 2
2
2
2
1 1
1 1
x x
I dx dx
1
1
x 1
x 3
x
x

 
 
 
 



 





 
 
.
Đặt
2
1 1
t x dt 1 dx
x
x
 



    






 
Suy ra
2
2
dt 1 t 1 x 1
I arctan C arctan C
3 3 3 3x
t 3

    


.
TỔNG KẾT
Bài toán: Tìm nguyên hàm
P(x)
I dx
Q(x)


, trong đó
P(x)
,
Q(x)
là hai đa thức và
deg(Q) deg(P)
.
Trường hợp 1:

m
Q(x) (ax b) 
a) Với dạng:
m
dx
I
(ax b)



, ta có:
m 1
1
I C
(m 1)a(ax b)

  
 
b) Với dạng:
m
P(x)
I dx
(ax b)



ta phân tích
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM

Nguyễn Tất Thu Page 14
n
n 1 0
P(x) a (ax b) a (ax b) a     
.
Suy ra:
n
i
m i
i 0
a
I dx
(ax b)


 













 



n
i
m i 1
i 0
a
C
a.(m i 1)(ax b)
 

 
  

.
Trường hợp 2:
2
Q(x) ax bx c  
.
a) Với dạng
2
dx
I
ax bx c

 

ta có các trường hợp sau
Khả năng 1: Nếu
2

b 4ac 0   
, khi đó ta luôn có sự phân tích :
2 2
b
ax bx c a(x )
2a
   
.
2 2
dx 1 dx 1 1
I C
b b b
a a
a(x ) (x ) x
2a 2a 2a
     
  
 
Khả năng 2: Nếu
2
1 2
0 ax bx c a(x x )(x x )       
.
Ta có:
1 2
2 1
k
k (x x ) (x x )
x x
 

   
 
 

Suy ra:
2
2 1 2 1 2 1 1
x x
k 1 1 k
I dx ln C
x x x x x x x x x x
 





   





    
 

Khả năng 3:
2 2 2
b
0 ax bx c a (x ) m

2a
 
 
       
 
 
Với
2
m
4a


. Để tìm
I
ta thực hiện phép đặt
b
x m tan t
2a
 
.
b) Với dạng
2
mx n
I dx
ax bx c


 

ta biến đổi như sau

m mb
mx n (2ax b) n
2a 2a
    
. Khi đó
2 2
m 2ax b mb dx
I dx (n )
2a 2a
ax bx c ax bx c

  
   
 
2
2
m mb dx
ln ax bx c (n )
2a 2a
ax bx c
    
 

Nguyên hàm
2
dx
ax bx c 

ta vừa nêu cách tìm ở trên.
c)

2
P(x)
I dx
ax bx c

 

với
P(x)
là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2
Với dạng này ta thực hiên phép chia đa thức
2
mx n
P(x) g(x)
ax bx c

 
 
.
Trường hợp 3:
2 k
Q(x) (ax bx c)  
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 15
a) Với dạng:
2 k
dx
I

(ax bx c)

 

Khả năng 1:
2
1 2
0 ax bx c a(x x )(x x )       
Ta phân tích:
k
1 2
k
2 1
1
1 (x x ) (x x )
(x x )
 
   
 
 

k
i i k i i
k 1 2
k
i 1
2 1
1
( 1) C (x x ) (x x )
(x x )



   


Thay vào ta tìm
đư
ợc
I
.
Khả năng 2:
2 2
b
0 ax bx c a(x )
2a
      
Suy ra:
k k
2k 2k 1
1 dx 1 1
I C
b b
a a (2k 1)
(x ) (x )
2a 2a

   

 


.
Khả năng 3:
2 2 2
0 ax bx c a(t m )      
Trong đó
2
b
t x , m
2a
4a

  
Để tính nguyên hàm:
2 2 k
dt
(t m )

ta đổi biến
t tan u
.
b) Với dạng:
2 k
mx n
I dx
(ax bx c)


 

ta phân tích

m mb
mx n (2ax b) n
2a 2a
    
Suy ra:
2
2 k 2 k
m d(ax bx c) mb dx
I (n )
2a 2a
(ax bx c) (ax bx c)
 
  
   
 
c) Với dạng:
2 k
P(x)
I dx
(ax bx c)

 

Ta biểu diễn:
2 n 2
n 1
P(x) a (ax bx c) a (ax bx c)      
x  
với
deg P 2n

Hoặc
2 n 2
n 1
P(x) a (tx l)(ax bx c) a (ax bx c)       
x  
với
deg P 2n 1 
Trường hợp 4: Q(x) là đa thức có bậc không nhỏ hơn 2
a) Nếu
Q(x)
có
m
nghiệm phân biệt
1 2 m
x , x , , x
, ta có
1 2 m
Q(x) (x x )(x x ) (x x )   
.
Ta phân tích:
m
i 1 i 1 i 1 n
i 1
P(x) a (x x ) (x x )(x x ) (x x )
 

    

Thay lần lượt
x

bằng các giá trị
i
x
vào đẳng thức trên ta tìm
đư
ợc
i
i
m
j
j 1
j i
P(x )
a , i 1, m
(x x )


  


.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 16
Khi đó:
m m
i
i i
i

i 1 i 1
a
I dx a .ln x x C
x x
 
 




   








 
 

.
b) Trong trường hợp tổng quát ta phân tích
k t h
Q(x) u .v .w
, trong đó
u, v, w
là các nhị thức bậc nhất hoặc
các tam thức bậc hai có biệt thức delta âm.

Biểu diễn:
k t
1j 2j
1i 2i
i i j j
i 1 j 1
b .(v ') b
a .(u ') a
P(x)
Q(x)
u u v u
 
 
 








    













 
 
 
h
1l 2l
l l
l 1
c .(w ') c
w w

 




 





 

.
Sử dụng phương pháp hệ số bất định để xác định các hệ số

1i 2i 1j
a , a , b
,
2j 1l 2l
b , c , c
.
Lưu
ý: Hai đa th
ức
n m
n 1 0 m 1 0
a x a x a b x b x b x      
i i
m n
a b , i 1, n








 



.
Chuyên đề 3. Nguyên hàm của hàm số lượng giác
Nguyên hàm cơ bản


1
sin(ax b)dx cos(ax b) C
a
    


1
cos(ax b)dx sin(ax b) C
a
   


2
dx 1
cot(ax b) C
a
sin (ax b)
   



2
dx 1
tan(ax b) C
a
cos (ax b)
  




tan xdx ln cos x C  


cot xdx ln sin x C 

.
Sử dụng phép đổi biến số để chuyển tích phân hàm lượng giác về tích phân hữu tỉ.
Ví dụ 3.3.1. Tìm họ các nguyên hàm
4
I (8 sin x 2cos 5x sin 3x)dx 

.
Lời giải.
Ta có:
 
2
4 2
8 sin x 2 1 cos 2x 2 4 cos 2x 2 cos 2x 3 4 cos 2x cos 4x       
và
2 cos 5x sin 3x sin 8x sin 2x 
Suy ra:
1 1 1
I 3x 2sin 2x sin 4x cos 8x cos 2x C
4 8 2
     
.
Ví dụ 3.3.2. Tìm họ các nguyên hàm
 
3 5

I 8cos 2x sin x dx 

.
Lời giải.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 17
Ta có:
 
3 3
1
8 cos 2x 2 cos 6x 3cos 2x 8cos 2xdx sin 6x 3sin 2x C '
3
     

   
2
5 2 2 4
sin xdx 1 cos x d(cos x) 1 2 cos x cos x d(cos x)    
  
3 5
2 1
cos x cos x cos x C"
3 5
   
.
Vậy
3 5
1 2 1

I sin 6x 3sin 2x cos x cos x cos x C
3 3 5
     
.
Ví dụ 3.3.3. Tìm họ các nguyên hàm
 
4 3
I tan x 2 tan x dx 

.
Lời giải.
Ta có:
4 2 2 2
tan xdx tan x(tan x 1)dx (tan x 1)dx dx    
   
2 3
1
tan xd(tan x) d(tan x) dx tan x tan x x C '
3
      
  
.
3 2
tan xdx tan x(tan x 1)dx tan xdx  
  
2
1
tan xd(tan x) tan xdx tan x ln cos x C "
2
    

 
.
Vậy
3 2
1 1
I tan x tan x tan x ln cos x x C
3 2
     
.
Ví dụ 3.3.4. Tìm họ các nguyên hàm
2
sin 2x sin x
I dx
2 cos x 3sin x



.
Lời giải.
Ta có:
2
2
2 sin x cos x.dx
I
2 sin x 3sin x 2
 
 

Đặt
t sin x dt cos xdx  

Suy ra :
2
2
2t dt 3t 2
I 1 dt
(t 2)(2t 1)
2t 3t 2
 




    





 
 
 
 
1 8 1 8
1 dt t ln 2t 1 ln t 2 C
5(2t 1) 5(t 2) 10 5
 



          






 
 

1 8
sin x ln 2 sin x 1 ln sin x 2 C
10 5
      
.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 18
Ví dụ 3.3.5. Tìm họ các nguyên hàm:
2 2
sin 4x
I dx
4 sin x 3cos x



.
Lời giải.
Ta có:
2 2
2 sin 2x cos 2x

I dx
4 sin x 3cos x



Đặt
 
2 2 2
3 1
t 4 sin x 3cos x t 2(1 cos 2x) (1 cos 2x) 1 7 cos 2x
2 2
        
Suy ra
 
2
1 4
cos 2x 1 2t 2 sin 2xdx tdt
7 7
   
Do đó:
2
2 3
1 4
(1 2t ) tdt
4 4 2
7 7
I (1 2t )dt t t C
t 49 49 3

 




     





 
 
 
3
2 2 2 2
4 2
4 sin x 3cos x 4 sin x 3cos C
49 3
 
 
    
 
 
 
.
Ví dụ 3.3.6. Tìm họ nguyên hàm:
3
dx
I
cos x



.
Lời giải.
Ta có:
 
2
2
cos xdx
I
1 sin x



. Đặt
t sin x dt cos xdx  
Suy ra
2 2 2 2
dt dt
I
(1 t ) (1 t) (1 t)
 
  
 
2
2 2 2 2
1 t 1 t
1 1 1 2 1
dt dt
4 4 (1 t)(1 t)
(1 t) (1 t) (1 t) (1 t)

 
 
  
 
 
 
   
 
 
   
 
 
 
2 2
1 1 1 1 1
dt
4 1 t 1 t
(1 t) (1 t)
 
 
   
 
 
 
 
 

1 1 1 1 t
ln C
4 t 1 t 1 1 t

 

 
    
 
  
 
1 1 1 1 sin x
ln C
4 sin x 1 sin x 1 1 sin x
 

 
    
 
  
 
.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 19
Ví dụ 3.3.7. Tìm họ nguyên hàm
 
3
sin xdx
I
sin x 2 cos x




.
Lời giải.
Ta có:
   
3 3
3 2
sin xdx tan xdx
I
cos x tan x 2 cos x tan x 2
 
 
 
Đặt
2
dx
t tan x 2 dt
cos x
   
Suy ra
3 2 3 2 2
t 2 1 2 1 1 1 1
I dt dt C C
t tan x 2
t t t t (tan x 2)
 





          






 

 
.
Ví dụ 3.3.8. Tìm họ các nguyên hàm
4
tan xdx
I
cos 2x


.
Lời giải. Ta có
2
2
1 tan x
cos 2x
1 tan x



nên
 

4 2
2
tan x 1 tan x dx
I
1 tan x




.
Đặt
 
2
t tan x dt 1 tan x dx   
Suy ra
4 4
2
2 2
t dt t 1 1 1 1 1 1
I dt t 1 dt
2 t 1 2 t 1
1 t t 1
 
 



       






 
 
 
  
3 3
t 1 t 1 tan x 1 tan x 1
t ln C tan x ln C
3 2 t 1 3 2 tan x 1
 
         
 
.
Ví dụ 3.3.9. Tìm họ nguyên hàm
3
x sin x
I dx
cos x


.
Lời giải.
Đặt
3 3 2
u x du dx
sin xdx d(cos x) 1 1
dv v . dx
2

cos x cos x cos x
 
 
 
 
 
 


 
 
  
 
 
 
 
Suy ra :
 
2
2 2
1 x 1 dx 1 1
I x 1 tan x tan x C
2 2 2 2
cos x cos x
     

.
Ví dụ 3.3.10. Tìm họ các nguyên hàm sau:
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net

Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 20
2
1 x cos x
I dx
sin x



.
Lời giải.
Ta có:
2 2
dx xd(sin x) x dx
I cot x
sin x sin x
sin x sin x
     
  
Mặt khác:
2
dx d(cos x) 1 1 cos x x
ln C ln tan C
sin x 2 1 cos x 2
cos x 1

    


 

.
Do vậy
x x
I cot x ln tan C
sin x 2
    
.
Ví dụ 3.3.11. Tìm họ nguyên hàm:
cos x 8sin x 9
I dx
cos x 2 sin x 3
 

 

.
Lời giải.
Ta có:
   
cos x 8sin x 9 2 2 cos x sin x 3 cos x 2 sin x 3      
Nên
2d(cos x 2 sin x 3)
I 3 dx
cos x 2 sin x 3
 
 
 
 
2 ln cos x 2 sin x 3 3x C    
.

Ví dụ 3.3.12. Tìm họ các nguyên hàm
5 sin x 10 cos x 4
I dx
2 cos x sin x 1
 

 

.
Lời giải.
Ta phân tích:
5 sin x 10cos x 4 a(2 cos x sin x 1) b( 2sinx cos x) c        
( a 2b) sin x (2a b) cos x a c      
a 2b 5
2a b 10 a 3, b 4, c 1
a c 4


  



       



 




.
2 sin x cos x 1
I 3 4 dx
2 cos x sin x 1 2cos x sin x 1
 
 



   





   
 

3x 4 ln 2 cos x sin x 1 J    
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 21
Tìm
dx
J
2 cos x sin x 1

 


?
Đặt
2
x 2dt
t tan dx
2
1 t
  

và
2
2 2
2t 1 t
sin x , cos x
1 t 1 t

 
 
Suy ra :
2
2
t 2t 3
2 cos x sin x 1
1 t
  
  

Do đó:
2
dt 1 (t 3) (t 1)

J 2 dt
2 (t 1)(t 3)
t 2t 3
  
   
 
 
 
x
tan 3
1 t 3 1
2
ln C ln C
x
2 t 1 2
tan 1
2


   


.
Vậy
x
tan 3
1
2
I 3x 4 ln 2 cos x sin x 1 ln C
x

2
tan 1
2

     

.
TỔNG HỢP
Bài toán 1: Tìm nguyên hàm
I R(sin x, cos x)dx

.
Tổng quát: Để tìm nguyên hàm dạng trên ta thực hiện phép đổi biến số
2
x 2dt
t tan dx
2
1 t
  

và
2
2 2
2t 1 t
sin x , cos x
1 t 1 t

 
 
.

Thay vào ta được một nguyên hàm của hàm số hữu tỉ.
Trong một số trường hợp riêng ta có một số phương pháp giải khác
a)
1 1 1
2 2 2
a sin x b cos x c
I dx
a sin x b cos x c
 

 

TH 1:
2 2 2
dx
I
a sin x b cos x c

 

Ta thực hiện phép đổi biến
x
t tan
2

.
TH 2:
1 1
2 2
a sin x b cos x

I dx
a sin x b cos x




Ta phân tích:
1 1 2 2 2 2
a sin x b cos x A(a sin x b cos x) B(a cos x b sin x)    
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 22
Với
A, B
thỏa:
2 2 1
2 2 1
a A b B a
b A a B b


 



 


.

Khi đó:
2 2
I Ax B ln a sin x b cos x C   
.
TH 3:
1 1 1
2 2 2
a sin x b cos x c
I dx
a sin x b cos x c
 

 

Ta phân tích:
1 1 1 2 2 2
a sin x b cos x c A(a sin x b cos x c )     
2 2
B(a cos x b sin x) C  
.
2 2 1
2 2 1
2 1
Aa Bb a
Ab Ba b
Ac C c


 




  




 


. Khi đó:
2 2 2
2 2 2
dx
I Ax B ln a sin x b cos x c C
a sin x b cos x c
    
 

.
b) Một số trường hợp đổi biến

Nếu
R( sin x, cos x) R(sin x, cos x)  
ta đặt
t cos x

Nếu
R(sin x, cos x) R(sin x, cos x)  
ta đặt

t sin x

Nếu
R( sin x, cos x) R(sin x, cos x) R(sin x, cos x)   
ta có thể sử dụng công thức hạ bậc hoặc đặt
t tan x
( hoặc
t cot x
).
Bài toán 2: Tìm họ nguyên hàm
I f (tan x)dx

(hoặc
I f (cot x)dx

).
Để tìm nguyên hàm dạng này ta có thể đặt
t tan x
(
t cot x
) và chuyển về bài toán tìm nguyên
hàm:
2
f (t)dt
I
1 t



.

3.3. Bài tập.
Bài 3.3.1. Tìm họ các nguyên hàm sau
1)
2
2
1
I (3sin x tan x)dx
sin x
  

2)
2
1
I 2sin x dx
1 cos 2x
 



 






 

3)
3

I (2 sin x.cos 4x 4 sin 3x)dx 

4)
4
I cos 2xdx

5)
2 2
I 2 tan x sin xdx

6)
3
I tan xdx

7)
5 sin x 2sin 2x
I dx
cos 2x 6 cos x 5


 

8)
3
tan x
I dx
cos x


.

www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 23
9)
3
cos xdx
I
(sin x 2 cos x)



10)
4
tan x
I dx
cos 2x


11)
2 2
sin 2xdx
I
x
6 sin sin x
2



12)

dx
I
cos x.sin(x )
6




13)
3
dx
I
cos x


14)
2
dx
I
2 sin x 3sin 2x 2

 

15)
3
sin 2x 3 cos x
I dx
1 1 2sin x



 

16)
3
3
3
sin x sin x
I cot x.dx
sin x



17)
2
4 sin 3x sin 4x
I dx
tan x cot 2x




18)
4 3
sin 2x.cos x
I dx
tan(x ) tan(x )
4 4

 
 


19)
dx
I
2 cos x 1



20)
I tan x tan(x )dx
4

 

21)
2
I (x 5) sin xdx 

22)
2
I (x 2x 3) cos xdx  

23)
3
3
cos x 1
I dx
x 1





20)
3sin x 4 cos x
I dx
2 sin x cos x




21)
2
sin xdx
I
( 3 cos x sin x)



22)
4
5 3
dx
I
cos x sin x


.
Hướng dẫn giải
Bài 3.3.1.
1) Ta có:

2
2
1
I (3sin x 1 tan x 1)dx
sin x
    

3 cos x cot x tan x x C     
.
2) Ta có:
2
1
I 1 cos 2x dx
2 cos x
 



   





 

1 1
x sin 2x tan x C
2 2
  

.
3) Ta có:
2 sin x cos 4x sin 5x sin 3x 
và
3
4 sin 3x 3sin 3x sin 9x 
Nên
1 2 1
I sin 5x 2 sin 3x sin 9x dx cos 5x cos 3x cos 9x C
5 3 9
 
       
 
 

4) Ta có:
 
 
2
4 2
1 1
cos 2x 1 cos 4x 1 2cos 4x cos 4x
4 4
    
 
1 1 cos 8x 1
1 2cos 4x 3 4 cos 4x cos 8x
4 2 8
 





     





 
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 24
1 1 1
I (3 4 cos 4x cos 8x)dx 3x sin 4x sin 8x C
8 8 8
 



       





 

.

5) Ta có:
 
2 2 2 2 2 2
2 tan x sin x 2 tan x 1 cos x 2 tan x 2cos x   
2
2
1
I cos x 2 dx
cos x
 



  





 

 
dx 1
tan x 2x cos 2xd 2x
2 4
   
 
3 1
tan x x sin 2x C
2 4

   
.
6)
3 2
2
1
I tan xdx tan x. tan xdx tan x 1 dx
cos x
 



   





 
  
2 2
1 1
tan xdx tan xdx tan xdx tan xdx
cos x cos x
   
   
2
1
A tan xdx
cos x



Đặt
2
1
t tan x dt dx
cos x
  
2 2
1 1
2
1 1 1
A tan xdx tdt t C tan x C
2 2
cos x
     
 
 
sin x.dx
sin x
B tan xdx dx
cos x cos x

   
  
Đặt
a cos x da sin xdx   
 
2 2
sin x.dx

da
B ln a C ln cos x C
cos x a

         
 
Vậy
2
1
I A B tan x ln cos x C
2
    
.
7) Ta có:
 
2
4 cos x 5 sin x.dx
1
I
2
cos x 3 cos x 2


 

. Đặt
t cos x dt sin xdx   
Khi đó
   
  

2
3 t 1 t 2
4t 5
I dt dt
t 1 t 2
t 3t 2
  

   
 
 
 
3 1
dt 3ln t 2 ln t 1 C
t 2 t 1
 



        





 
 

3 ln cos x 2 ln cos x 1 C     
.

8) Ta có:
3 4
tan x sin x
I dx dx
cos x cos x
 
 
Đặt
t cos x dt sin xdx sin xdx dt      
4 3 3
dt 1 1
I C C
t 3.t 3.cos x

    

.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Chuyên đề: NGUYÊN HÀM
Nguyễn Tất Thu Page 25
9) Ta có :
2 3
dx
I
cos x(tan x 2)



. Đặt

2
dx
t tan x dt
cos x
  
3 2 2
dt 1 1
I C C
(t 2) 2(t 2) 2(tan x 2)
       
  

.
10) Ta có :
2
2
1 tan x
cos 2x
1 tan x



4 2
2
tan x(1 tan x)dx
I
1 tan x

 



Đặt
2
t tan x dt (1 tan x)dx   
4
2
2
t 1
I dt ( t 1 )dt
(1 t)(1 t)
1 t
     
 

 
2
1 1 1
t 1 dt
2 1 t 1 t
 
 


 

    


 




 
 
 

3 3
t 1 1 t tan x 1 1 tan x
t ln C tan x ln C
3 2 1 t 3 2 1 tan x
 
         
 
.
11)
2
sin x cos xdx
I 2
cos x 3cos x 2

 

. Đặt
t cos x
.
ĐS:
I 2 ln cos x 1 4 ln cos x 2 C    
.
12)
 

2
dx 2
I 2 ln 3 tan x 1 C
3
cos x 3 tan x 1
   


.
13) Ta có:
 
2
2
cos xdx
I
1 sin x



. Đặt
t sin x dt cos xdx  
 
2
2 2 2
2
(1 t) (1 t)
dt 1
I dt
4
(1 t) (1 t)

1 t
 
  
 
 
 
 

 
2 2
1 1 2 1
dt
4 (1 t)(1 t)
(1 t) (t 1)
 
 
  
 
 
 
 
 

2 2
1 1 1 1 1
dt
4 1 t 1 t
(1 t) (t 1)
 
 

   
 
 
 
 
 

1 1 t 1 1 1 1 sin x 1 1
ln C ln C
4 t 1 t 1 t 1 4 sin x 1 sin x 1 sin x 1
   
 
   
         
   
     
   
.
14) Ta có:
2 2
1 dx
I
2
2 sin x 3sin x cos x cos x

 

2 2
1 dx
2

cos x(2 tan x 3tan x 1)

 

.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net