Chuyên đề tích phân Quyển 2

Ch
ủ đề 6
. Tính tích phân b
ằng phương pháp biến đổi
6.1. Phương pháp
Đ
ể tính tích phân
b
a
I f (x)dx

ta phân tích
1 1 m m
f (x) k f (x) k f (x)  
Trong đó các hàm
i
f (x) (i 1,2, 3, ,n)
có trong b
ảng nguyên hàm.
6.2. Các ví d
ụ minh họa
Ví dụ 3.6.1. Tính các tích phân sau
1)
2
3
2
2
1
2x x x x 3x 1
I dx
x

  


2)
1
0
xdx
I
3x 1 2x 1

  

3)
2
2
2
I x 1 dx

 

.
L
ời giải.
1) Ta có:
2
1
2
2
3
2

1
3
I (2x x x )dx
x


   

2
1
3
3
3
2
1
4 1 8 2 23
x 3x 3 ln x 3 2 3 ln 2
3 x 3 10
 
 
 
       
 
 
 
.
2) Ta có:
   
x (3x 1) (2x 1) 3x 1 2x 1 3x 1 2x 1          
Nên

1
0
I ( 3x 1 2x 1)dx   

1
3 3
0
2 1 17 9 3
(3x 1) (2x 1)
9 3 9
 

 
    
 
 
.
3) Ta có:
2 1 1 2
2 2 2 2
2 2 1 1
I x 1 dx (x 1)dx (1 x )dx (x 1)dx

  
       
   
Suy ra
1 1 2
3 3 3
2 1 1

x x x
I x x x 4
3 3 3

 
     
  
  
  
  
      
  
  
  
  
  
  
  
     
.
Ví d
ụ
3.6.2. Tính các tích phân sau
1)
3
2
0
2
I 2 sin x 3 tan x dx
cos x


 



  





 

2)
2
0
I 2sin x.sin 5xdx



3)
4
4
0
I 8sin 2xdx



.
Lời giải.

1) Ta có
 
3
0
I 2 cos x 3ln cos x 2tan x 1 3 ln 2 2 3

      
.
2) Ta có:
2
2
0
0
1 1
I (cos 4x cos 6x)dx sin 4x sin 6x 0
4 6


 



    





 


.
3) Ta có:
4 2
8 sin 2x 4(1 2cos 4x cos 4x) 2(3 4 cos 4x cos 8x)     
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Nên
4
4
0
0
1 3
I 2 (3 4 cos 4x cos 8x)dx 2 3x sin 4x sin 8x
8 2


 




      





 

.

Ví d
ụ
3.6.3. Tính các tích phân
1)
4
2
2
3
x dx
I
x 3x 2

 

2)
3
3
2
2x 3
I dx
x 3x 2


 

.
L
ời giải.
1) Ta có:
2

2 2 2
x 3 2x 3 5 1
1
2 2
x 3x 2 x 3x 2 x 3x 2

  
     
2
3 2x 3 5 1 1
1
2 2 x 2 x 1
x 3x 2
 




   





 
 
 
Suy ra
4
2

3
3 5 x 2
I x ln x 3x 2 ln
2 2 x 1
 




    







 
3 5 4
1 ln 3 ln
2 2 3
  
.
2) Ta có:
3 2
x 3x 2 (x 1) (x 2)    
2
2x 3 a(x 1) b(x 2)(x 1) c(x 2)       
2
2x 3 (a b)x (c 2a b)x a 2b 2c         

a b 0
1 1 5
2a b c 2 a , b ,c
9 9 3
a 2b 2c 3


 



         



  



.
Suy ra
3
2
2
1 1 1 1 5 1
I dx
9 x 2 9 x 1 3
(x 1)
 
 

   
 
 

 
 

3
2
1 x 1 5 1 8 5
ln ln
9 x 2 3(x 1) 9 5 6
 




   






 
 
.
6.3. Bài tập áp dụng
Bài 3.6.1. Tính các tích phân sau
1

3
0
1) I (x x 2x 1)dx  

2)
1
0
dx
I
x 1 x

 

3)
1
2
0
x
I dx
x 1



4)
2
0
I x 1 dx 

5)
3

2
0
2
I (2sin x 3cos x )dx
cos x

  

6)
2
2
0
I sin (2x )dx
4


 

7)
2
-
2
I sin 2x.sin 3x




8)
4
4

0
I cos 2xdx



9)
3
2
6
cos 2x
I dx
sin 2x




10)
1
2
4
2
0
x
I dx
x 1



11)
1

2
0
4x 11
I dx
x 5x 6


 

12)
1
3
2
0
x
I dx
x 2x 1

 

www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
13)
2
3
2
0
x 3x 2
I dx
x 3x 2

 

 

14)
3
2
3
2
x 2x 3
I dx
x x
 



15)
2
0
cos x
I dx
sin x 2 cos x




16)
2
2
0

I x x dx 

17)
3
2
2
4
3 cot x
I dx
cos x





18)
 
1
2
0
x x 1
I dx
x 4




19)
3
2 2

6
dx
I
sin x cos x




20)
1
0
I x x a dx, a 0  

21)
2
0
I 1 cos 2xdx

 

.
Hư
ớng dẫn giải.
Bài 3.6.1.
1) Ta có:
3
1 1
3 3
2
0 0

I (x x 2x 1)dx (x 2x 1)dx     
 
1
5
4
2
0
2 1 19
x x x
5 2 10
 
 
 
   
 
 
 
.
2) Ta có:
1 1
0 0
dx
I ( x 1 x)dx
x 1 x
   
 
 
1
1 1 3 3
1

2 2 2 2
0
0
2 2 4 2 4
[(x 1) x ]dx (x 1) x
3 3 3
 
 

 
      
 
 
 

3) Ta có:
1 1
2
0 0
x 1
I dx (x 1 )dx
x 1 x 1
   
 
 
1
2
0
1 1
x x ln(x 1) ln 2

2 2
 
 
     
 
 
.
4) Ta có:
2 1 2
0 0 1
I | x 1|dx (1 x)dx (x 1)dx     
  
2
1
2
2
0
1
1 x
x x x 1
2 2
 
 
 
 
    
 
 
 
 

 
5) Ta có:
3
0
2 3
I 2cos x 3sin x 2 tan x
2


 
    
 
 
.
6) Ta có:
2 2
0 0
1 1
I 1 cos(4x ) dx (1 sin 4x)dx
2 2 2
 
 

 
    
 
 
 
2
0

1 1
x cos 4x
2 4 4

 

 
  
 
 
.
7) Ta có:
2
2
2
2
1 1 1 4
I (cos x cos 5x)dx (sin x sin 5x)
2 2 5 5






    

.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net

8) Ta có:
4 2
1 1
cos 2x (1 2 cos 4x cos 4x) (3 4 cos 4x cos 8x)
2 4
     
Nên
4
4
0
0
1 1 1 3
I (3 4 cos 4x cos 8x)dx 3x sin 4x sin 8x
4 4 8 16


 

 
      
 
 

.
9) Ta có:
3
3
2
6
6

1 d(sin 2x) 1 1
I 0
2 2 sin 2x
sin 2x




   

.
10) Ta có:
1 1
2 2
4
2
2 2
0 0
x 1 1 1
I dx (x 1 )dx
x 1 x 1
 
   
 
 
1
2
2
0
1 1

x 1 dx
2(x 1) 2(x 1)
 



   





 
 

1
2
3
0
1 1 x 1 13 1 1
x x ln ln
3 2 x 1 24 2 3
 




    








 
.
11) Ta có:
4x 11 (x 2) 3(x 3)    
Nên:
 
1
1
0
0
1 3
I dx ln| x 3| 3 ln| x 2|
x 3 x 2
 



     





 
 


9
ln 4 2 ln 3 3ln 2 ln
2
   
.
12) Ta có:
3 2 2
x x(x 1) 2(x 1) 3(x 1) 1      
nên:
1
1
2
2
0
0
3 1 x 1
I x 2 dx 2x 3 ln(x 1)
x 1 2 x 1
(x 1)
 
 
 
 
        
 
 
 
 


 
 
 

I 2 3 ln 2   
.
13) Ta có:
3 2
x 3x 2 (x 3)(x 3x 2) 10x 8       
2 2
0 0
10x 8 12 2
I x 3 dx x 3 dx
(x 1)(x 2) x 2 x 1
   

   
       
   
   
   
 
2
2
0
x
3x 12 ln| x 2| 2 ln| x 1| 4 12 ln 2 2 ln 3
2
 
 

         
 
 
 
.
14) Ta phân tích:
2
x 2x 3 ax(x 1) bx(x 1) c(x 1)(x 1)        
Cho
x 0; x 1; x 1   
ta tìm
được:
a 1; b 3;c 3   
3
3
2
2
1 3 3
I dx ln| x 1| 3 ln| x 1| 3 ln x
x 1 x 1 x
 
 
 
        
 
 
 
 
 


4
I 8 ln 2 4 ln 3 4 ln
3
   
.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
15) Ta xác đ
ịnh
a, b
sao cho:
cos x a(sin x 2cos x) b(cos x 2sin x)   
2 1
a , b
5 5
  
2
2
0
0
2 1 cos x 2 sin x 2 1
I ( )dx ( x ln|sin x 2 cos x|)
5 5 sin x 2 cos x 5 5



     


ln 2

5
 

.
16) Ta có:
2
2
2
x x khi x [1;2]
x x
x x khi x [0;1]


 


 



  


Nên
1 2
1 2
3 2 3 2
2 2
0 1
0 1

x x x x
I ( x x)dx (x x)dx 1
3 2 3 2
   
 
 
 
 
          
 
 
 
 
 
 
 
   
 
17)
3 3
2 2
2 2
4 4
3 1
I (3 cot x)(1 tan x)dx dx
cos x sin x
 
 
 
 

    
 
 
 
3
4
10 3 12
(3 tan x cot x)
3



  
.
18)
3
I 1 ln 3 ln 2
2
  
19)
3
2 2
6
1 1 4 3
I dx
3
sin x cos x


 




  





 

20) HD: Xét hai trư
ờng hợp
*
1
0
3a 2
a 1 I x(a x)dx
6

    

*
a 1
3
0 a
2a 3a 2
0 a 1 I x(a x)dx x(x a)dx
6
 

       
 
.
21)
2
2
0 0 0
I 2 sin x dx 2 sin xdx 2 sin xdx 2

 
   
  
.
Ch
ủ đề 7
. Tính tích phân b
ằng ph
ương pháp đổi biến số
7.1. Phương pháp
7.1.1. Phương pháp đ
ổi biến số loại 1
Gi
ả sử cần tính
 
b
a
I f x dx

ta th
ực hiện các bước

sau
Bư
ớc 1
: Đ
ặt
 
x u t
(v
ới
 
u t
là hàm có đ
ạo hàm liên tục trên
;
 
 
 
 
,
 
 
f u t
xác đ
ịnh trên
;
 
 
 
 
và

   
u a, u b   
) và xác đ
ịnh
, 
.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Bư
ớc 2
: Thay vào ta có:
 
 
         
I f u t .u ' t dt g t dt G t G G
 


 
      
 
.
M
ột số dạng th
ường dùng phương pháp đổi biến số dạng 1
* Hàm s
ố d
ư
ới dấu tích phân chứa
2 2 2

a b x
ta thư
ờng đặt
a
x sin t
b

* Hàm s
ố dưới dấ
u tích phân ch
ứa
2 2 2
b x a
ta thư
ờng đặt
a
x
b sin t

* Hàm s
ố dưới dấu tích phân chứa
2 2 2
a b x
ta thư
ờng đặt
a
x tan t
b

* Hàm s

ố dưới dấu tích phân chứa
 
x a bx
ta thư
ờng đặt
2
a
x sin t
b

7.1.2. Phương pháp đ
ổi biến số loại 2
Tương t
ự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi
là loại 2) như sau.
Đ
ể tính tích phân
 
b
a
I f x dx

, n
ếu
     
f x g u x .u ' x
 

 
 

, ta có th
ể thực hiện phép đổi biến
như sau
Bư
ớc 1
: Đ
ặt
   
t u x dt u ' x dx  
.
Đ
ổi cận
   
x a t u a , x b t u b     
Bư
ớc 2
: Thay vào ta có
   
u(b)
b
a
u(a)
I g t dt G t 

.
7.2. Các ví d
ụ minh họa
Ví d
ụ
3.7.1. Tính các tích phân sau

0
2
1
x 1
1) I dx
4 x





3
2
1
x 1
2) I dx
x(2 x)




0
2 2
1
dx
3) I
(x 2x 2)


 


.
L
ời giải.
1) Ta có:
1
2
0
(x 1)dx
I
4 x)




. Đ
ặt
x 2 sin t dx 2 cos t.dt  
Đ
ổi cận:
x 1 t ; x 0 t 0
6

       
 
0 0
0
2
6
6 6

(1 2 sin t)2 cos tdt
I (1 2 sin t)dt t 2 cos t
4 4 sin t


 
 

     

 
3 2
6

  
.
2) Đ
ặt
2
x 2 sin t, t 0; dx 4 sin t cos tdt
2
 

 
   
 
 
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Đ

ổi cận:
1 3 3
x 1 sin t t ; x sin t t
4 2 2 3
2
 
         
3 3
2
2
2 2
4 4
(2sin t 1)4 sin t cos tdt
I 2 (2sin t 1)dt
2 sin t(2 2 sin t)
 
 

   

 
3
3
4
4
1 2 6 3 3
2 (2 cos 2t)dt 2 (2t sin 2t)
2 6





  
    

.
3) Ta có:
0
2
2
1
dx
I
(x 1) 1


 
 
 
 

.
Đ
ặt
2
x 1 tan t, t [0; ) dx (1 tan t)dt
2

     
Đ

ổi cận:
x 1 t 0; x 0 t
4

      
.
4 4 4
2
2
2 2
0 0 0
1 tan t 1
I dt cos tdt (1 cos 2t)dt
2
(1 tan t)
  

    

  
4
0
1 1 2
(t sin 2t)
2 2 8

 
  
.
Ví d

ụ
3.7.2. Tính các tích phân sau
1)
1
3
0
x
I dx
1 x



2)
2
0
x
I dx
4 x



.
L
ời giải.
1) Ta có:
1
3
0
xdx
I

1 x



.
Đ
ặt
2
2
3 2dt
x x tan t xdx (1 tan t)dt xdx
2
3 cos t
     
4 4 4
2
2 2
0 0 0
2dt 2 dt 2 d(sin t)
I
3 cos t 3
1 sin t
3.cos t 1 tan t
  
   


  
 
4

0
1 1 sin t 2
ln ln 2 1 .
3 1 sin t 3


  

2) Đ
ặt
2
x 4 sin t, t 0; dx 8sin t cos tdt
2
 

 
   
 
 
Đ
ổi cận:
x 0 t 0, x 2 t
4

     
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Suy ra:
4 4 4
2

2
2
0 0 0
4 sin t
I .8sin t cos tdt 8 sin tdt 4 (1 cos 2t)dt
4 cos t
  
   
  
4
0
1
4(t sin 2t) 2
2

    
.
Ví d
ụ
3.7.3. Tính các tích phân sau
1)
8
3
1 x
I dx
x



4

4
12
4
5
dx
2) I
x x 4



3)
3
3
1
2
xdx
I
2x 2




4)
2
1
x
I dx
1 2 x 1

 


.
Lời giải.
1) Đ
ặt
2
t 1 x x t 1 dx 2tdt      
Đ
ổi cận:
x 3 t 2; x 8 t 3     
3
3 3
2
2
2 2
t.tdt 1 1 t 1
I 2 2 (1 )dt 2 t ln
(t 1)(t 1) 2 t 1
t 1
 




    







  
 

 
1 1 1 1 3
2 3 ln 2 ln 2 ln .
2 2 2 3 2
 



     





 
2) Ta có:
2 3
3
4 4
5
x dx
I
x x 4




Đ
ặt
4 4 2 3
t x 4 x t 4 2x dx tdt      
Đ
ổi cận:
4
4
x 5 t 3; x 12 t 4     
4
4 4
2 2
3
3 3
tdt 1 dt 1 t 2 1 5
I ln ln
2 8 t 2 8 3
(t 4)t t 4

    

 
 
.
3) Đ
ặt
3
3 2
3
t 2 3

t 2x 2 t 2x 2 x dx t dt
2 2

        
Đ
ổi cận
:
1
x t 1
2
   
;
x 3 t 2  
.Ta có :
2
2 2
3
2 4 5 2
1
1 1
(t 2) 3 3 3 3 3
I . t dt t t dt t t
2t 2 4 2 20 4
   

 
 
 
    
 

 
 
 
 
   
 
24 3 3 12
3
5 20 4 5
   
 
 
 
    
 
 
 
 
 
   
.
4) Đ
ặt
2
t 1 1
t 1 2 x 1 x 1 dx (t 1)dt
2 2
 





        





 
Đ
ổi cận:
x 1 t 1; x 2 t 3     
3 3
2
2
1 1
1 (t 2t 5)(t 1) 1 5
I dt (t 3t 7 )dt
8 t 8 t
  
     
 
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
3
3 2
1
1 t 3t 1 32
7t 5 ln t 5 ln 3
8 3 2 8 3

 
 







     










 


 
.
Ví d
ụ
3.7.4. Tính các tích phân sau
2
5

0
1) I sin xdx



2
0
sin 2x sin x
2) I dx
1 1 3 cos x



 

3)
2
2 2
0
sin 2x
I dx
4 sin x cos x




.
L
ời giải.
1) Ta có:

2
2 2
0
I (1 cos x) sin xdx

 

. Đ
ặt
t sin x dt cos xdx  
Đổi cận :
x 0 t 0; x t 1
2

     
1 1
2 2 2 4
0 0
8
I (1 t ) dt (1 2t t )dt
15
      
 
.
2) Ta có:
2
0
(2 cos x 1) sin x.dx
I
1 1 3 cos x




 

.
Đ
ặt
2
t 1
cos x
3
t 1 3cos x
2
tdt sin xdx
3








  




 




Đ
ổi cận:
x 0 t 2, x t 1
2

     
.
2
1 2
3
2 1
t 1
2 1
2 2 2t t
3
I t dt dt
1 t 3 9 t 1


 




  






 
 
 
2
2
1
2 3
(2t 2t 3 )dt
9 t 1
   


2
3
2
1
2 2t 28 2 3
t 3t 3ln t 1 ln
9 3 27 3 2
 




      








 
.
6) Đ
ặt
2 2
2 2
3sin 2x
t 4 sin x cos x dt dx
4 sin x cos x
   

2 2
sin 2x 1
dx dt
3
a sin x b cos x
 

.
Đ
ổi cận
x 0 t 1; x t 2
2

     

2
1
1 1
I dt
3 3
  

.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Ví d
ụ
3.7.5. Tính các tích phân sau
1)
3
0
dx
I
cos x.cos x
3


 











 

2)
2
3
0
sin xdx
I
( 3 sin x cos x)




3)
6
4
0
tan x
I dx
cos 2x



.
L
ời giải.
1) Ta có:

3 3
2
0 0
dx dx
I 2 2
cos x(cos x 3 sin x)
cos x(1 3 tan x)
 
 


 
Đặt
2
dx
t tan x dt
cos x
  
Đổi cận:
x 0 t 0; x t 3
3

     
3
3
0
0
dt 2 3 4 3
I 2 ln|1 3t| ln 2
3 3

1 3t
    


.
2) Ta có:
2
3
0
sin(x )dx
6 6
I
8 sin (x )
6

 
 




2 2
2 3
0 0
cos(x )dx
3 dx 1
6
16 16
sin (x ) sin (x )
6 6

 


 
 
 
 
2
2
2
0
0
3 1 1 1
cot(x )
16 6 32 6
sin (x )
6



    


.
3) Đặt
2
dt
t tan x dx
1 t
  


. Khi đó:
2
2
1 t
cos 2x
1 t



Đổi cận:
1
x 0 t 0; x t
6
3

     
.
1 1 1
3 3 3
4 2 4
2
2 2 2 2
0 0 0
t (1 t )dt t dt dt
I t 1 dt
(1 t )(1 t ) 1 t 1 t
 





     





 
   
  
1
3
3
0
1 1 t t 1 3 1 10 3
ln t ln
2 1 t 3 2 27
3 1
 

 



    










 
.
Ví d
ụ
3.7.6. Tính các tích phân sau
1)
2
e
e
ln x
I dx
x(ln x 1)



2)
e
1
1 3 ln x.ln x
I dx
x



www.boxtailieu.net

www.boxtailieu.net
3)
ln 5
x x
ln 3
dx
I
e 2e 3


 

4)
ln 5
2x
x
ln 2
e dx
I
e 1



.
L
ời giải.
1) Đ
ặt
dx
ln x 1 t dt

x
   
Ta có:
 
3
3
2
2
t 1 3
I dt t ln t 1 ln
t 2

    

.
2) Đ
ặt
2
1 dx 2
t 1 3 ln x ln x (t 1) tdt
3 x 3
      
Khi đó:
2
2
5 3
2 2
1
1
2 2 t t 116

I t (t 1)dt
9 9 5 3 135
 




    







 

.
3) Ta có
ln 5
x
x x
ln 3
e dx
I
e 3e 2

 

Đ

ặt
x x
t e dt e dx  
Ta có:
5
5
3
3
3
dt t 2 3
I ln ln
t 1 2
t 3t 2

  

 

.
4) Ta có:
ln 5
x x
x
ln 2
e .e dx
I
e 1




Đặt
x x 2 x
t e 1 e t 1 e dx 2t.dt      
Đổi cận:
x ln 2 t 1; x ln 5 t 2     
2
2 2
2 3
2
1 1
1
(t 1)tdt t 20
I 2 2 (t 1)dt 2 t
t 3 3
 





      







 
 

.
Ví d
ụ
3.7.7. Tính các tích phân sau
1)
1
2 x 2 x
x
0
x e 2x e
I dx
1 2e
 



2)
e
2
1
ln x
I dx
x(2 ln x)



3)
4
0
x sin x cos x x cos x

I dx
x sin x cos x

 



4)
4
0
4x 1
I dx
2x 1 2


 

.
L
ời giải.
1) Ta có:
1 1 1
2 x x x
2
x x
0 0 0
x (1 2e ) e e
I dx x dx dx
1 2e 1 2e
 

  
 
  
1
1
1
3 x
x
x
0
0
0
x 1 d(1 2e ) 1 1 1 1 1 2e
ln 1 2e ln
3 2 3 2 3 2 3
1 2e
 
      


.
2) Đ
ặt
1
u ln x du dx
x
  
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Ta có

   
1 1
2 2
0 0
u 1 2
I du du
2 u
2 u 2 u
 







  







 


 
 
1

0
2
ln 2 u
2 u
 



  






 
 
2 3 1
ln 3 ln 2 1 ln
3 2 3
   
 
 
 
     
 
 
 
 
 

   
.
3) Ta có
4
4
0
0
x cos x
I 1 dx x J J
x sin x cos x 4


 




     






 

V
ới
4
0

x cos x
J dx
x sin x cos x




. Đ
ặt
t x sin x cos x dt x cos xdx   
và
1
x 0 t 1, x t 1
4 4
2
 
 



      





 
.
Do đó
1 1

1 1
4 4
2 2
1
1
1 1
J dt ln t ln 1
t 4
2
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 



 

   



 



 
 

V
ậy
1
I ln 1
4 4
2
 
 
 


 

  


 



 
 

.
4) Đ
ặt
t 2x 1 2 (t 2)dt dx     
Đ
ổi cận:
x 0 t 3, x 4 t 5     
Ta có
5 5
2
2
3 3
(2t 8t 5)(t 2) 10 34 3
I dt (2t 12t 21 )dt 10 ln
t t 3 5
  
      
 
.
7.3. Bài t
ập vận dụng
Bài 3.7.1. Tính các tích phân sau
1)
2
0
x
I dx
2 x 2 x

  


2)
1
0
dx
I
1 x x 1

  

3)
1
2
6
0
x dx
I
x 9



4)
2
2
1
1
1
x
I dx
1 1

x 1 x 3
x x


  
 
 
 
   
 
 
 
 
 
  

5)
3
5 3
2
0
x 2x
I dx
x 1




6)
 

3
2
10
2
3
4 x x x 1
I dx
x 3x 2
  

 

7)
2
1
x
I dx
1 x 1

 

8)
3
8
1
I dx
x 1 x






9)
6
2
dx
I
2x 1 4x 1

  

10)
3
0
x 3
I dx
3. x 1 x 3


  

11)
 
2 5
2 2
2
xdx
I
x 1 x 5


 

12)
3
3
1
dx
I
x x



13)
1
3
2
0
x dx
I
x x 1

 

14)
3
2
2
0,5
dx
I

x 1 x



15)
 
1
2
2
x 4 dx
I
x 4x 5




 

16)
1
2
1
dx
A
1 x 1 x


  

17)

4
2
7
dx
I
x x 9



18)
2 2
3
3
4
1
x x 2011x
I dx
x
 


www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
19)
 
0
2
1 3
dx
I

x 1 x 2x 2


  

20)
ln 3
3x 2x
x x
0
2e e
I dx
e 4e 3 1


 

21)
2
3
2
0
sin x cos x
I dx
1 cos x




22)

4
2
6
1
I dx
sin x cot x




23)
2
0
sin 2x sin x
I dx
1 3cos x





24)
3
4
3 5
4
dx
I
sin x.cos x





.
Hư
ớng dẫn giải
Bài 3.7.1.
1) Đ
ặt
 
2 2 2
t 2 x 2 x t 4 2 4 x t t 4 dt 2xdx           
Đ
ổi cận:
x 0 t 2 2,  
x 2 t 2  
Do đó:
 
2 2
2 2
3
2
2
2
1 1 t 8 4 3
I t 4 dt 4t
2 2 3 3
 






    







 

2) Đ
ặt
2
4
3
t 1 t 1
t x x 1 x dx 2 dt
2t
t
 
 



      






 
Khi đó:
   
2 1 2 1 2 1
4 3 2
3 3 3
1 1 1
t 1 t 1 t t 1
I 2. dt 2. 1 dt 2. 1 dt
t t 1 t t 1 t
  
 
 

 
   



    

 



 




 
 
 
 
  
 
2 1
2 1
2 3 2
1
1
1 1 1 1 1
2. 1 dt 2 t ln t 2 3 2 ln 2 1
t t
t t 2t


   
 
 
 
 
           
 
 
 
 
 

 
 
   

3) Đ
ặt
3 2
t x dt 3x dx  
   
   
   
1 1 1 1
2
0 0 0 0
t 3 t 3
1 dt 1 dt 1 1 1 1
J dt dt
3 3 18 18 t 3 t 3
t 3 t 3 t 3 t 3
t 9
    



    






 
 
   

   
 
1
1
0
0
1 1 t 3 1 1 1 1
l n t 3 ln t 3 ln ln ln 1 ln
18 18 t 3 18 2 18 2
 




       






 
4) Đặt
2
1 1
t x dt 1 dx

x
x
 



    





 
.
Đ
ổi cận:
x 1 t 2,  
5
x 2 t
2
  
   
5 5
5
2 2
2
2
2 2
dt 1 1 1 1 t 1 1 3 1 1 15
I dt ln ln ln ln

4 t 1 t 3 4 t 3 4 11 5 4 11
t 1 t 3
   

 
 
 
      
 
 
 
 
 
  
   
 
 
5)
 
2 2
3 3
5 3
2 2
0 0
x x 2
x 2x
I dx xdx
x 1 x 1



 
 
 
Đ
ặt:
2 2 2
t x 1 x t 1 xdx tdt      
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Đ
ổi cận:
x 0 t 1,  
x 3 t 2  
Do đó:
   
 
2 2
2
2 2
4 5
1
1 1
t 1 t 1
1 26
I tdt t 1 dt t t
t 5 5
 
 




     





 
 
6)
   
3 3
2 2
10 10 10
2 2 2
3 3 3
4 x x x 1 x x x 1
4
I dx dx dx
x 3x 2 x 3x 2 x 3x 2
    
  
     
  
 
 
10 10
10
1
2

3
3 3
4 1 1
I dx 4 dx 4 ln x 2 ln x 1 8 ln 2 ln 3
x 2 x 1
x 3x 2
 



        





 
 
 
 
Hay
1
2
I 8 ln
3

 
3
2
10 10

3
2
2
3 3
x x x 1
x x 1
I dx dx
x 2
x 3x 2
 

 

 
 
Đ
ặt:
3
2
t x 1 3t dt dx   
Đ
ổi cận:
x 3 t 1,  
x 10 t 2  
2
2
4
3
2
3

1
1
6 3t 69
I 3t 6 dt 6t A A
4 4
t 1
 
 







       
 









 


 


v
ới
2
3
1
6
A dt
t 1
 









 


H
ọc sinh tự tính tích phân
A
Do đó:
2 69
I 8 ln A
3 4
  

.
7) Đ
ặt
2
t x 1 x t 1 dx 2tdt      
Đ
ổi biến:
x 1 t 0,  
x 2 t 1  
Do đó,
1 1 1
2 3
2
0 0 0
t 1 t t 2
A 2tdt 2 dt 2 t t 2 dt
1 t t 1 t 1
 
 



     





  
 

  
1
3 2
0
t t 1 1 11
2 2t 2 ln t 1 2 2 2 ln 2 4 ln 2
3 2 3 2 3
 
 
 



          

 




 
 
 
8) Đ
ặt
t 1 x 2tdt dx    
Đ
ổi cận:
x 8 t 3,   
x 3 t 2   

Do đó,
 
   
   
3 2 2 2
2
2
8 3 3 3
t 1 t 1
dx tdt dt
I dx 2 2 dt
t 1 t 1
x 1 x
t 1
1 t t


  
    
 



   
 
2
2
3
3
t 1 1 1 2

ln t 1 ln t 1 ln ln ln ln
t 1 3 2 3

       

9) Đ
ặt
2
1
t 4x 1 t 4x 1 dx tdt
2
      
Đ
ổi cận:
x 2 t 3,  
x 6 t 5  
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Do đó:
   
6 5 5
2 2
2 3 3
dx tdt 1 1
J dt
t 1
2x 1 4x 1
t 1 t 1
 
 

 
   
 

  
 
 
 
  
 
5
2
3
1 3 1
ln t 1 ln
2 12
t 1
 







    










 
10) Đ
ặt
2
t x 1 t 1 x 2tdt dx      
Đ
ổi cận:
x 0 t 1, x 3 t 2     
Khi đó:
 
 
2
t
2 2 2
3
2
2
2
1
1
1 1 1
2t 8t 1
A dt 2t 6 dt 6 dt 6 ln t 1
t 1
t 3t 2

6t

      

 

  
Hay
3
A 3 6 ln
2
  
11) Đ
ặt
2 2 2
t x 5 t x 5 xdx tdt      
Đổi biến:
x 2 t 3  
,
x 2 5 t 5  
Khi đó:
 
5 5 5
2
2
3 3 3
tdt dt 1 1 1
I dt
4 t 2 t 2
t 4

t 4 t
 



   





 
 


  
5
3
1 t 2 1 15
ln ln
4 t 2 4 7

 

12) Đ
ặt
2
t 1 x dt 2xdx.   
Đ
ổi cận:

x 1 t 2,  
x 3 t 4.  
Khi đó
 
 
 
4 4 4
2 2 2
t t 1
1 dt 1 1 1 1
J dt dt
2 2 2 t 1 t
t t 1 t t 1
   



   






 
 
  
 
4
4

2
2
1 1 t 1 1 3 1 1 3
l n t 1 ln t ln ln ln ln
2 2 t 2 4 2 2 2
 




      





 
13)
3 2
1 1
3 2
2 2
0 0
x x x 1
A dx x x 1 x dx
x x 1 x x 1
 


 





 
 


   




  
 
 
 
   
 
 
 
 
  
 
1
1 1
5
3 2 4
0 0
0

x 1
x x 1dx x dx B B ,
5 5
      
 
với
1
3 2
0
B x x 1dx 

Đ
ặt
2 2 2
t x 1 t x 1 2tdt 2xdx tdt xdx        
Đ
ổi cận:
x 0 t 1,  
x 1 t 2.  
Khi đó
   
2
1 2 2
5 3
2 2 2 4 2
0 1 1
1
t t
B x x 1xdx t 1 t.tdt t t dt
5 3

 




       







 
  
4 2 2 2 1 1 2 2 2
5 3 5 3 15 15
 
 







     











 

 
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
14) Đ
ặt
2 2
2
2
2
2
2 2
x t 1
1 1
t 1 x dt .dx
x x
dt .dx .dx
t 1
x 1 x
1 x x 1 x



  




    

 

 





 


   
1 1 1
2 2 2
2
3 3 3
2 2 2
1 1 1 1 1
I dt dt dt
2 t 1 t 1
t 1 t 1
t 1
 




   





 
 
 

  
 
1
1
2
2
3
3
2
2
1 1 t 1 1 1 2 3
I ln t 1 ln t 1 ln ln ln
2 2 t 1 2 3
2 3
 
 
 








       







 




 

 
 
1 2 3 1 7 4 3
ln ln
2 2 3
3 2 3
 
 


15) Đặt
   
 
1 1 1
2 2 2
2 2 2
x 4 dx 2 x 2 dx
1 1
J 2 dx
2
x 4x 5 x 4x 5
x 2 1
  
  
 
  
   
 
  
1
2
2
1 1
ln x 4x 5 2K ln 2 2K
2 2


     
Trong đó

 
1
2
2
1
K dx
x 2 1



 

Đ
ặt
 
 
   
2
2 2
x 2
t
t x 2 x 2 1 dt 1 dx dx
x 2 1 x 2 1
 










        








   



 
 
2
dt dx
t
x 2 1
 
 
Đổi cận:
x 2 t 1,   
x 1 t 1 2    
Khi đó:
 
1 2

1 2
1
1
dt
K ln t ln 1 2
t


   

Do đó:
 
1
J ln 2 2 ln 1 2
2
  
16) Đ
ặt:
2
2 2
t 1 1 1
t x 1 x t x 1 x x t
2t 2 t
 




          






 
2
1 1
dx dt
2
2t
 



  





 
Đ
ổi cận :
x 1 t 2 1,    
x 1 t 2 1   
Khi đó:
 
2 1 2 1 2 1
2
2

21 2 1 2 1
1 1
dt
2
1 dt 1 1
2t
A dt
1 t 2 t 1 2
t t 1
  
 
 









 
  
 

  
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
 
2 1

2 1
2
2 1
2 1
1 1 1 1 1
ln t 1 dt
2 2 t t 1
t




 



    






 

     
 
2 1
2
2 1

1 1 t 1 1 1 1
A ln 1 2 ln ln 1 2 ln 2 1 2 1
2 2 t t 2 2


 
 



 

          


 



 
 
17)
4
2 2
7
xdx
I
x x 9




Đ
ặt :
2 2 2
t x 9 x t 9.xdx tdt     
Đ
ổi cận:
x 7 t 4,  
x 4 t 5  
 
   
5 5 5
2
4 4 4
tdt dt 1 1 1
I dt
6 t 3 t 3
t 3 t 3
t 9 t
 



   





 

 
 

  
5
4
5
1 1 1 1 t 3 1 1 1 1 7
I dt ln ln ln ln
6 t 3 t 3 6 t 3 6 4 7 6 4
4
 

 








     










  

 



 

18)
3
2 2 2 2 2 2
3
3
2
4 3 3
1 1 1
1
1
x x 2011x 2011
x
I dx dx dx
x x x

 
  
  
3
2 2

2
3
1
1
1
x
M dx
x



. Đ
ặt
3 2
3
2 2 3
1 1 2
t 1 t 1 3t dt dx
x x x
       
Đ
ổi cận:
x 1 t 0,  
3
7
x 2 2 t
2
   
Khi đó
3

7
3
2 2
2
3
2
3
3
1 0
1
1
3 21 7
x
M dx t dt
2 128
x


    
 
2 2
2 2 2 2
3
3 2
1
1 1
2011 2011 14077
N dx 2011x dx
16
x 2x


    
 
V
ậ
y,
3
14077 21 7
I M N
16 128
   
.
19)
   
0
2
1 3
dx
I
x 1 x 1 1


  

Đ
ặt
t x 1 dt dx   
Đ
ổi cận:
x 1 3 t 3,    

x 0 t 1   
Khi đó:
1 1
2 2 2
3 3
dt tdt
I
t t 1 t t 1
 
 
 
 
 
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Đ
ặt
2
2
t
u t 1 du dt
t 1
   

và
2 2
t u 1 
Đ
ổi
c

ận:
t 3 u 2,   
t 1 u 2   
Do đó:
 
2
2 2
2
2
2 2
du 1 1 1 1 u 1 1
I du ln ln 3 3 2 2
2 u 1 u 1 2 u 1 2
u 1
 




     





  
 

 
20)

ln 3 ln 3
3x 2x 3x 2x
x x 3x 2x
0 0
2e e 2e e
I dx dx
e 4e 3 1 4e 3e 1
 
 
   
 
Đ
ặt
 
3x 2x 2 3x 2x 3x 2x
t 4e 3e t 4e 3e 2tdt 12e 6e dx       
 
3x 2x
tdt
2e e dx
3
  
Đ
ổi cận:
x 0 t 1  
;
x ln 3 t 9  
Khi đó
 
9

9 9
1
1 1
1 tdt 1 1 1 8 ln 5
I 1 dt t ln t 1
3 t 1 3 t 1 3 3
 




      





 
 
 
21)
 
2 2
3 2
2 2
0 0
s inxcos x 1 cos x
I dx sin 2x dx
2
1 cos x 1 cos x

 
 
 
 
Đ
ặt :
2
t 1 cos x dt 2sin x cos xdx sin 2xdx      
Đ
ổi cận:
x 0 t 2,  
x t 1
2

  
Do đó:
 
 
 
2
1 2
1
2 1
t 1
1 1 1 1 ln 2 1
I dt 1 dt ln t t
2 t 2 t 2 2
  





      





 
 
22) Đ
ặt :
2
2 2
1 1
t cot x t cot x 2tdt dx dx 2tdt
sin x sin x
        
Đ
ổi cận:
x t 3;
6

  
x t 1
4

  
Khi đó :
 

1 3
3
1
1
3
2tdt
I 2 dt 2t 2 3 1
t
     
 
23)
 
2 2
0 0
2 cos x 1 s inx
sin 2x sin x
I dx dx
1 3cos x 1 3 cos x
 


 
 
 
Đ
ặt :
2
t 1 2
t 1 3cos x cos x , sinxdx tdt
3 3


     
Đ
ổi cận:
x 0 t 2;  
x t 1
2

  
Khi đó :
2
2
1 2
2
3
1
2 1
t 1
2 1
3
2 2t 1 2 1 34
I tdt 2 dt t t
t 3 9 9 3 27
 













   

 

 
 
 
     
 
 
 
 
 
   
 
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
24)
3 3
2
4
3 3
8
4

3
4 4
1 1 1
I dx . dx
cos x
sin x tan x
.cos x.
cos x
 
 
 
 
Đ
ặt
2
1
t tan x dt dx
cos x
  
Đ
ổi cận:
x t 1, x t 3
4 3
 
     
Khi đó
 
3
3 1
3

4
8
4 4
1
1
I t dt 4t 4 3 1 4 3 1

 


     




 

.
Chuyên đ
ề
8. Tính tích phân b
ằng ph
ương pháp từng phần
8.1. Phương pháp
Tương t
ự nh
ư nguyên hàm, ta c
ũng có thể tích tích phân bằng ph
ương pháp t
ừng phân.

Cho hai hàm s
ố u và v liên tục trên [a;b] và có đạo hàm liên tục trên [a;b]. Khi đó
b b
b
a
a a
udv uv vdu 
 
8.2. Các ví dụ minh họa
Ví d
ụ
3.8.1. Tính các tích phân sau
2 0
2
2x 1 2
0 0 1
1)I x sin 2xdx 2)I (x 2)e dx 3)I (2x x 1) ln(x 2)dx



      
  
L
ời giải.
1) Đ
ặt
du dx
u x
1
dv sin 2xdx

v cos 2x
2








 

 
 

 
 




2
2 2
0
0
0
1 1 1
I x.cos 2x cos 2xdx sin 2x
2 2 4 4 4


 
 
      

.
2) Đ
ặt
2x 1
2x 1
du dx
u x 2
1
v e
dv e
2








 




 
 



 




2
3
2x 1 2 2x 1 2x 1 2
0 0
0
1 1 1 5e e
I (x 2)e e dx e e
2 2 4 4
  

      

.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
3) Đ
ặt
2
3 2
1
du dx
u ln(x 2)
x 2

2 1
dv (2x x 1)dx
v x x x
3 2







 





 
 
  
 

  




0
3 2
3 2 0

1
1
2 1 1 4x 3x 6x
I ( x x x) ln(x 2) dx
3 2 6 x 2


 
     


0
2 3 2 0
1
1
1 32 1 4 5
(4x 5x 16 )dx ( x x 16x 32 ln(x 2))
6 x 2 6 3 2


          


16 119
ln 2
3 396
 
.
Ví dụ 3.8.2. Tính các tích phân sau
1)

4
0
I x(1 sin 2x) x.d

 

2)
3
2
1
1 ln(x 1
d
)
x
xI
 


3)
3
2
0
1 x sin x
I dx
cos x




L

ời giải.
1) Đ
ặt
1
u x, dv (1 sin 2x)dx du dx, v x cos 2x
2
      
Ta có:
4
4
0
0
1 1
I x x cos 2x (x cos 2x)dx
2 2


 



   





 

2 2

4
2
0
1 1 1
x sin 2x
16 2 4 32 4

 
 



    





 
.
2) Ta có:
3
3 3 3
2 2 2
1
1 1 1
1 ln(x 1) x ln(x 1) 1 2
I x x
d
d d J J.

x 3
x x x
  
       
  
Bây gi
ờ, ta sẽ tính
J.
Đ
ặt
2
u ln(x 1)
x
v
x
d
d


 











thì ta có:
x
u
d
d
x 1
1
v
x











 




Do đó, áp d
ụng công thức tích phân từng phần, ta được
 
3 3
3 3

1 1
1 1
3
3
1
1
ln(x 1) ln(x 1)
J x x
x x
ln(x 1) 2
ln x ln x
1 1 1
d d
x(x
1 ln 2 ln 3.
1) x
x
x 1
3
 









 

 
     

       
 
 
V
ậy
2 2
I ln 2 ln 3.
3 3
  
3)
3 3 3 3
3
0
2 2 2 2
0 0 0 0
dx x sin xdx x sin xdx x sin xdx
I tan x 3
cos x cos x cos x cos x
   

     
   
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Đ
ặt
u x du dx  

;
2
sin xdx
dv
cos x

, ch
ọn
v
cos x


.
3 3 3
3
2 2
0
0 0 0
x sin xdx x dx 2 cos xdx
I 3 3 3
cos x cos x 3
cos x sin x 1
  


        

  
=
3

0
2 1 sin x 1 2 1 2 3
3 ln 3 ln
3 2 sin x 1 3 2
2 3

   
    


.
3.3. Bài t
ập vận dụng
Bài 3.8.1. Tính các tích phân sau
1)
0
2
1
I (2x x 1) ln(x 2)dx

   

2)
2
0
I sin x.ln(1 sin x)dx

 

3)

e
3 2
1
I x ln xdx

4)
4
0
x
I dx
1 cos 2x




5)
3
2
1
3 ln x
I dx
(x 1)




6)
3
2
0

x sin x
I dx
cos x



7)
2
1
3 x
0
I x e dx

8)
 
ln 3
2 x
1
I x 2x e dx 

9)
 
2
2 x
2
0
x e
I dx
x 2




10)
 
e
2
2
1
x ln x
I dx
ln x 1



11)
 
1
3
3 3
0
1
I dx
1 x . 1 x

 

12)
   
2 2 3
3

0
6 x 3 cos x.sin x 4 1 sin x
I dx
1 sin x

     



.
Hướng dẫn giải
Bài 3.8.1.
1) Đặt
2
3 2
1
du dx
u ln(x 2)
x 2
2 1
dv (2x x 1)dx
v x x x
3 2








 





 
 
  
 

  




0
3 2
3 2 0
1
1
2 1 1 4x 3x 6x
I ( x x x) ln(x 2) dx
3 2 6 x 2


 
     



0
2
1
1 32
(4x 5x 16 )dx
6 x 2

    


0
3 2
1
1 4 5
x x 16x 32 ln(x 2)
6 3 2

 
 
     
 
 
16 119
ln 2
3 396
 
.
2) Đ
ặt
cos x

u ln(1 sin x)
du dx
1 sin x
dv sin xdx
v cos x





 


 

  
 

 

 



.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
2 2
2
2

0
0 0
cos x
I cos x.ln(1 sin x) dx (1 sin x)dx 1
1 sin x 2
 


       

 
.
3) Đặt
2
3
4
2 ln x
du dx
u ln x
x
1
dv x dx
v x
4











 

 
 
 








e
4
e
4 2 3
1
1
1 1 e 1
I x ln x x ln xdx J
4 2 4 2
    

Đ
ặt

1
1
3 4
1
1
dx
du
u ln x
x
dv x dx x
v
4










 

 
 

 








e
4 4 4
e
4 3
1
1
1 1 e e 1 3e 1
J x ln x x dx
4 4 4 16 16 16

      

4
5e 1
I
32

 
.
4) Ta có :
4
2
0
1 x
I dx

2
cos x



Đ
ặt
2
u x
du dx
dx
dv
v tan x
cos x








 

 
 


 





4
4
4
0
0
0
1 1
I x tan x tan xdx ln|cos x| ln 2
2 8 2 8



 
      

.
5) Đ
ặt
2
dx
u 3 ln x
du
x
dx
dv
1
v

(x 1)
x 1





 





 

 
 


 

 


 



3 3
3

1 1
1
3 ln x dx 3 ln 3 3 x
I ln
x 1 x(x 1) 4 2 x 1
 
       
  

3 ln 3 3
ln
4 2

 
.
6) Đ
ặt
2
u x
du dx
sin x
1
dv dx
v
cos x
cos x











 

 
 


 
 




3
3
0
0
x dx 2
I | J
cos x cos x 3



    


www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Mà :
3 3
2
0 0
cos xdx d(sin x)
J
(1 sin x)(1 sin x)
1 sin x
 
 
 

 
3
3
0
0
1 1 1 1 1 sin x
( )d(sin x) ln ln(2 3)
2 1 sin x 1 sin x 2 1 sin x



    
  

2
I ln(2 3)

3

   
.
7) Đ
ặt :
2
t x dt 2xdx  
hay
1
xdx dt
2

Đ
ổi cận:
x 0 t 0,  
x 1 t 1  
Khi đó:
1
t
0
1
I t.e dt
2


Đ
ặt
t t
u t du dt

dv e dt v e
 
 
 
 

 
 
 
 
 
Do đó:
 
1
1
1
t t t t
0
0
0
1 1 1
I te e dt t.e e
2 2 2
 





    









 

8) Đ
ặt :
 
 
2
x
x
u x 2x du x 2 dx
v e
dv e dx




   



 


 
 
 







Khi đó:
 
 
ln 3
ln 3
2 x x 2
1
1
I x 2x e 2x 2 e dx ln 3 2 ln 3 e K       

   
 
   
ln 3 ln 3 ln 3
ln 3
ln 3
x x x x x x
1
1
1 1 1

K 2x 2 e dx 2x 2 d e 2x 2 e e 2dx 2x 2 e 2e
 
         
 
 
  
     
ln 3
x
1
2x 4 e 2 ln 3 4 3 2 e 6 ln 3 12 2e        
Do đó,
 
 
2 2
I ln 3 2 ln 3 e 6 ln 3 12 2e ln 3 8 ln 3 12 e         
9) Đ
ặt :
 
 
 
2 x
x 2 x x
2
u x e
du 2x.e x e dx xe 2 x dx
dx
dv
1
v

x 2
x 2






   





 

 

 
 
 
 

 





Khi đó:

 
 
2
2 2
2 x 2 x
2
x 2 x x
2
0
0 0
0
x e x e
I dx xe dx e xe e 1
x 2
x 2
        


 
10)
     
e e e
2
2 2 2
1 1 1
x ln x x x
I dx dx dx
ln x 1 ln x 1 ln x 1
  
  

  
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
 
     
2
e e e e
1 2
2 2 2
1 1 1 1
x ln x 1
x lnx 1 x
dx dx .x.dx dx I I
ln x 1
ln x 1 ln x 1 ln x 1


     

  
   
Trong đó:
e
1
1
lnx 1
I .x.dx
ln x 1





và
 
e
2
2
1
x
I dx
ln x 1



Đ
ặt:
 
2
2
2
du dx
lnx 1
u
x ln x 1
ln x 1
x
dv xdx
v
2


















  
 
 

 







e
e

2
1 2 2
1
1
lnx 1 lnx 1 x 1
I .x.dx . I I
ln x 1 ln x 1 2 2
 
    
 

. Vậy,
1
I
2

11)
     
1 1 1 1
3 3 3
3 3 3 3
3 3 3 3 3 3 3
0 0 0 0
1 1 x x 1 x
I dx dx dx dx
1 x . 1 x 1 x . 1 x 1 x 1 x . 1 x
 
   
      
   

1 2
J J 
 
 
 
 
 
3
2
3
3
3
3
2
3 3
3 2 2 3 3
3 3
3 3
1 x
1 x '
3 1 x
1 x
'
1 x 1 x . 1 x
1 x 1 x

 




  






 



     







 
  
 
Tính :
1
1
3
3
0
1
J dx

1 x



. Đ
ặt:
3
3
1
u
1 x
dv dx















 
2
3

3 3
x
du dx
1 x . 1 x
v x




 



 







 
1
1
3
1 2
3
3 3
3 3 3
0

0
x x 1
J dx J
2
1 x 1 x . 1 x
 





   







 
  

Khi đó:
1 2 2 2
3 3
1 1
J J J J J
2 2
     
.

12)
 
2 2
3
3
0 0
6 x 3 cos x.sin x
I dx 4 1 sin xdx
1 sin x
 
  
   

 
Đ
ặt
2
2
3
3
u 6 x 3
du 6 dx
cos x.sin x
2
dv
v 1 sin x
3
1 sin x



   



 




 

 
 

 
 
 






Khi đó
 
2 3 2
0
2
I 6 x 3 1 sin x 4
3


      
.
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net
Ch
ủ đề 9
. M
ột số dạng tích phân đặc biệt
Ví dụ 3.9.1. Tính các tích phân sau
2
4
4 4
0
sin x
1) I dx
sin x cos x




4
0
2) I ln(1 tan x)dx

 

3
6
dx

3)I
1 tan x






(
0 
).
L
ời giải.
1) Đ
ặt
x t dx dt
2

    
.
Đ
ổi cận
x 0 t ; x t 0
2 2
 
     
.
4
0
2

4
4 4
4 4
0
2
sin ( t)
cos t
2
I dt dt
sin t cos t
sin ( t) cos ( t)
2 2




  
 

  
 
2
4
4 4
0
cos x
dx
sin x cos x





.
2 2 2
4 4
4 4 4 4
0 0 0
sin x cos x
2I dx dx dx I
2 4
sin x cos x sin x cos x
  
 
      
 
  
.
2) Đ
ặt
x t dx dt
4

    
. Đ
ổi cận
x 0 t ; x t 0
4 4
 
     
.

0
4 4
0 0
4
1 tan t
I ln[1 tan( t)]dt ln(1 )dt [ln 2 ln(1 tan t)]dt
4 1 tan t
 

 
        

  
4
0
ln 2 . ln 2
ln 2. dt I 2I I .
4 8

 
     

3) Đ
ặt
t x dx dt
2

    
Đ
ổi cận:

x t ; x t
3 6 6 3
   
     
.
3 3 3
6 6 6
dt tan t.dt tan x.dx
I
1 cot t 1 tan t 1 tan x
  
 
  
  
   
  
  
3 3 3
6 6 6
dx tan x.dx
2I I I dx I .
6 12
1 tan x 1 tan x
  

 
  
 
        
 

  
www.boxtailieu.net
www.boxtailieu.net