Đề thi đại học và đáp án môn toán khối A từ năm 2002 - 2014

bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao ĐẳnG năm 2002
Môn thi : toán
Đề chính thức (Thời gian làm bài: 180 phút)
_____________________________________________

Câu I (ĐH : 2,5 điểm; CĐ : 3,0 điểm)
Cho hàm số :
(1) ( là tham số).
23223
)1(33 mmxmmxxy +++= m
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi .1
=
m
2. Tìm
k để phơng trình: có ba nghiệm phân biệt. 033
2323
=++ kkxx
3. Viết phơng trình đờng thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
Câu II.(ĐH : 1,5 điểm; CĐ: 2,0 điểm)
Cho phơng trình :
0121loglog
2
3
2
3
=++ mxx (2) ( là tham số). m
1 Giải phơng trình (2) khi
.2
=
m
2. Tìm để phơng trình (2) có ít nhất một nghiệm thuộc đoạn [m

3
3;1 ].
Câu III. (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,0 điểm )
1. Tìm nghiệm thuộc khoảng )2;0(

của phơng trình: .32cos
2sin21
3sin3cos
sin +=






+
+
+ x
x
xx
x
5

2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đờng: .3,|34|
2
+=+= xyxxy
Câu IV.( ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm)
1. Cho hình chóp tam giác đều đỉnh có độ dài cạnh đáy bằng a. Gọi ABCS . ,S
M
và lần lợt N

là các trung điểm của các cạnh và Tính theo diện tích tam giác , biết rằng SB .SC
a
AMN
mặt phẳng
( vuông góc với mặt phẳng . )AMN )(SBC
2. Trong không gian với hệ toạ độ Đêcac vuông góc
Oxyz cho hai đờng thẳng:


và

.



=++
=+
0422
042
:
1
zyx
zyx





+=
+=

+=
tz
ty
tx
21
2
1
:
2
a) Viết phơng trình mặt phẳng
chứa đờng thẳng )(P
1

và song song với đờng thẳng .
2


b) Cho điểm
. Tìm toạ độ điểm )4;1;2(M
H
thuộc đờng thẳng
2

sao cho đoạn thẳng
MH

có độ dài nhỏ nhất.
Câu V.
( ĐH : 2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Đêcac vuông góc

Oxy , xét tam giác vuông tại , ABC A
phơng trình đờng thẳng
là BC ,033 = yx các đỉnh và A
B
thuộc trục hoành và
bán kính đờng tròn nội tiếp bằng 2. Tìm tọa độ trọng tâm
của tam giác . G ABC

2. Cho khai triển nhị thức:

n
x
n
n
n
x
x
n
n
x
n
x
n
n
x
n
n
x
x
CCCC

+
















++

+








=






+

3
1
3
2
1
1
3
1
2
1
1
2
1
0
3
2
1
22222222 L

( n là số nguyên dơng). Biết rằng trong khai triển đó C và số hạng thứ t
13
5
nn
C=
bằng , tìm và n20 n
x
.
Hết
Ghi chú:
1) Thí sinh chỉ thi cao đẳng không làm Câu V.

2) Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003
Môn thi : toán khối A

đề chính thức Thời gian làm bài : 180 phút
___________________________________


Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số m
x
mxmx
y ( (1)
1
2

++

=
là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và hai điểm đó có hoành
độ dơng.
Câu 2 (2 điểm).
1) Giải phơng trình .2sin
2
1
sin
tg1
2cos
1cotg
2
xx
x
x
x +
+
=
2) Giải hệ phơng trình




+=
=
.12
11
3

xy
y
y
x
x


Câu 3 (3 điểm).
1) Cho hình lập phơng
. Tính số đo của góc phẳng nhị diện
[]
. .' ' ' 'ABCD A B C D DCAB ,' ,
2) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc
Ox cho hình hộp chữ nhật
có trùng với gốc của hệ tọa độ,
yz
; 0; 0.' ' ' 'ABCD A B C D A ( ), (0; ; 0), '(0; 0; )
B
aDaAb
. Gọi (0, 0)ab>>
M
là trung điểm cạnh CC . '
a) Tính thể tích khối tứ diện '
B
DA M theo a và b .
b) Xác định tỷ số
a
b
để hai mặt phẳng và (' )ABD ()
M

BD vuông góc với nhau.
Câu 4 ( 2 điểm).
1) Tìm hệ số của số hạng chứa x
8
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
x
x






+
5
3
1


, biết rằng
)3(7
3
1
4
+=
+
+
+
nCC

n
n
n
n

( n là số nguyên dơng, x > 0,
là số tổ hợp chập k của n phần tử).
k
n
C
2) Tính tích phân

+
=
32
5
2
4xx
dx
I
.
Câu 5 (1 điểm).
Cho x, y, z là ba số dơng và x + y + z
1. Chứng minh rằng
.82
1

1

1

2
2
2
2
2
2
+++++
z
z
y
y
x
x

HếT

Ghi chú
: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . Số báo danh: .
Bộ giáo dục và đào tạo đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004
Môn thi : Toán , Khối A
Đề chính thức Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian phát đề


Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
2
x3x3
y

2(x 1)
+
=

(1).
1) Khảo sát hàm số (1).
2) Tìm m để đờng thẳng y = m cắt đồ thị hàm số (1) tại hai điểm A, B sao cho AB = 1.

Câu II (2 điểm)
1) Giải bất phơng trình
2
2(x 16)
7x
x3>
x3 x3


+

.

2) Giải hệ phơng trình
14
4
22
1
log (y x) log 1
y
x y 25.

=



+=


Câu III (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm
()
A0;2 và
()
B3;1. Tìm tọa độ trực
tâm và tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp của tam giác OAB.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi,
AC cắt BD tại gốc tọa độ O. Biết A(2; 0; 0), B(0; 1; 0), S(0; 0; 2 2 ). Gọi M là trung điểm
của cạnh SC.
a) Tính góc và khoảng cách giữa hai đờng thẳng SA, BM.
b) Giả sử mặt phẳng (ABM) cắt đờng thẳng SD tại điểm N. Tính thể tích khối chóp S.ABMN.

Câu IV (2 điểm)
1) Tính tích phân I =
2
1
x
dx
1x1+

.

2) Tìm hệ số của x
8
trong khai triển thành đa thức của
8
2
1x(1x)


+


.
Câu V (1 điểm)
Cho tam giác ABC không tù, thỏa mãn điều kiện cos2A + 2 2 cosB + 2 2 cosC = 3.
Tính ba góc của tam giác ABC.




Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


Họ và tên thí sinh Số báo danh
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005
Môn: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

C©u I (2 điểm)
Gọi
m
(C ) là đồ thị của hàm số
1
ymx
x
=+ (*) (
m là tham số).
1)
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi
1
m.
4
=

2)
Tìm m để hàm số (*) có cực trị và khoảng cách từ điểm cực tiểu của
m
(C ) đến tiệm
cận xiên của
m
(C ) bằng
1
.
2


C©u II (2 điểm)
1) Giải bất phương trình 5x 1 x 1 2x 4.−− −> −

2) Giải phương trình
22
cos 3x cos 2x cos x 0.−=

C©u III (3 ®iÓm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai đường thẳng
1
d:x y 0−= và
2
d:2x y 1 0.+−=
Tìm tọa độ các đỉnh hình vuông ABCD biết rằng đỉnh A thuộc
1
d, đỉnh C thuộc
2
d
và các đỉnh B, D thuộc trục hoành.
2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng
x1 y3 z3
d:
12 1
−+−
==
−
và mặt
phẳng (P) : 2x y 2z 9 0.+− +=
a)
Tìm tọa độ điểm
I
thuộc d sao cho khoảng cách từ
I

đến mặt phẳng
(P)
bằng 2.
b)
Tìm tọa độ giao điểm A của đường thẳng d và mặt phẳng (P). Viết phương trình
tham số của đường thẳng
∆ nằm trong mặt phẳng (P), biết ∆ đi qua A và vuông
góc với d.

C©u IV (2 điểm)
1) Tính tích phân
2
0
sin 2x sin x
Idx.
13cosx
π
+
=
+
∫

2)
Tìm số nguyên dương n sao cho

1 2 2 3 3 4 2n 2n 1
2n 1 2n 1 2n 1 2n 1 2n 1
C2.2C3.2C4.2C (2n1).2C2005
+
++ + + +

−+ − +++ =L
(
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử).

C©u V (1 điểm)
Cho
x, y, z
là các số dương thỏa mãn
111
4.
xyz
++=
Chứng minh rằng
111
1.
2x y z x 2y z x y 2z
++≤
++ + + ++


Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh …… số báo danh
Mang Giao duc Edunet -
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
32
y2x9x12x4.=−+−
2.
Tìm m để phương trình sau có 6 nghiệm phân biệt:
3
2
2x 9x 12x m.−+ =
Câu II (2 điểm)
1.
Giải phương trình:
()
66
2cosx sin x sinxcosx
0.
22sinx
+−
=
−

2.
Giải hệ phương trình:
()
xy xy 3

x, y .
x1 y1 4
⎧
+− =
⎪
∈
⎨
++ + =
⎪
⎩
\

Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ
Oxyz , cho hình lập phương ABCD.A 'B 'C 'D ' với
( )()()()
A 0;0;0 ,B 1;0;0 ,D 0;1;0 ,A' 0;0;1. Gọi M và
N
lần lượt là trung điểm của AB
và
CD .
1.
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng
A'C
và
MN.

2.
Viết phương trình mặt phẳng chứa A'C và tạo với mặt phẳng Oxy một góc α
biết

1
cos .
6
α=
Câu IV (2 điểm)
1.
Tính tích phân:
2
22
0
sin 2x
I dx.
cos x 4sin x
π
=
+
∫

2.
Cho hai số thực x 0, y 0≠≠ thay đổi và thỏa mãn điều kiện:
()
22
x y xy x y xy+=+−.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
33
11
A.
xy
=+
PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b

Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban
(2 điểm)
1.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường thẳng:
123
d:x y 3 0, d :x y 4 0, d:x 2y 0.++= −−= − =
Tìm tọa độ điểm M nằm trên đường thẳng
3
d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng
1
d bằng hai lần khoảng cách từ M đến đường thẳng
2
d.
2.
Tìm hệ số của số hạng chứa
26
x
trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
7
4
1
x,
x
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
biết
rằng

12 n 20
2n 1 2n 1 2n 1
C C C 2 1.
++ +
+++ =−
(n nguyên dương,
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử)
Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1.
Giải phương trình:
xxxx
3.8 4.12 18 2.27 0.+−− =
2.
Cho hình trụ có các đáy là hai hình tròn tâm O và O', bán kính đáy bằng chiều cao và
bằng a. Trên đường tròn đáy tâm
O lấy điểm A, trên đường tròn đáy tâm O' lấy điểm B
sao cho
AB 2a.= Tính thể tích của khối tứ diện OO'AB.
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: số báo danh:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH

Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
22
x2(m1)xm4m
y(1),
x2
++++
=
+

m
là tham số.
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m1=− .
2.
Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa
độ
O
tạo thành một tam giác vuông tại
O.


Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình:
()( )
22
1sinxcosx 1cosxsinx 1sin2x.+++ =+
2.

Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực:
4
2
3x 1 mx 1 2x 1.−+ += −

Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng
1
xy1z2
d:
211
−+
==
−
và
2
x12t
d: y 1 t
z3.
=− +
⎧
⎪
=+
⎨
⎪
=
⎩

1.
Chứng minh rằng

1
d và
2
d chéo nhau.
2.
Viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng
()
P:7x y 4z 0+− = và cắt hai đường
thẳng
1
d,
2
d.

Câu IV (2 điểm)
1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:
()
ye1x,=+
()
x
y1ex.=+
2.
Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi và thỏa mãn điều kiện xyz 1.= Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức:
222
x(y z) y(z x) z(x y)
P
yy 2zz zz 2xx xx 2yy
++ +
=++⋅

++ +


PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chỉ được chọn làm câu V.a hoặc câu V.b

Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(0; 2), B(−2; −2) và C(4; −2). Gọi H là
chân đường cao kẻ từ B; M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Viết phương trình
đường tròn đi qua các điểm H, M, N.
2.
Chứng minh rằng:
2n
135 2n1
2n 2n 2n 2n
111 1 21
C C C C
246 2n 2n1
−
−
++++ =
+

(
n là số nguyên dương,
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử).

Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1. Giải bất phương trình:

31
3
2log (4x 3) log (2x 3) 2.−+ +≤
2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAD là tam giác đều và nằm trong
mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, BC, CD. Chứng
minh AM vuông góc với BP và tính thể tích của khối tứ diện CMNP.
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………… ……………………………số báo danh: ……………………………….
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn thi: TOÁN, khối A
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề



PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
22
mx (3m 2)x 2
y(1),
x3m
+−−
=
+
với m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi

m1= .
2. Tìm các giá trị của m để góc giữa hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số (1) bằng
o
45 .
Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
11 7π
4sin x .
3π
sinx 4
sin x
2
⎛⎞
+=−
⎜⎟
⎛⎞
⎝⎠
−
⎜⎟
⎝⎠

2. Giải hệ phương trình
()
232
42
5
xyxyxyxy
4
x, y .
5

xyxy(12x)
4
⎧
++ + + =−
⎪
⎪
∈
⎨
⎪
++ + =−
⎪
⎩
\

Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm
()
A2;5;3
và đường thẳng

x1 y z2
d: .
212
−−
==

1. Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm A trên đường thẳng
d.

2. Viết phương trình mặt phẳng

(α)
chứa
d
sao cho khoảng cách từ A đến
(α)
lớn nhất.
Câu IV (2 điểm)
1. Tính tích phân
π
4
6
0
tg x
Idx.
cos 2x
=
∫

2. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có đúng hai nghiệm thực phân biệt :
4
4
2x 2x 2 6 x 2 6 x m++−+−=

(m ).∈ \

PHẦN RIÊNG
__________
Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b
__________

Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban
(2 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy viết phương trình chính tắc của elíp (E) biết rằng
(E) có tâm sai bằng
5
3
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
2. Cho khai triển
()
n
n
01 n
12x a ax ax,+=+++ trong đó
*
n ∈ `
và các hệ số
01 n
a , a , ,a

thỏa mãn hệ thức
1n
0
n
aa
a 4096.
22
+++ = Tìm số lớn nhất trong các số
01 n
a , a , , a .

Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1. Giải phương trình
22
2x 1 x 1
log (2x x 1) log (2x 1) 4.
−+
+−+ − =

2. Cho lăng trụ
ABC.A 'B ' C '
có độ dài cạnh bên bằng 2a, đáy ABC là tam giác vuông tại A,
AB = a, AC =
a3
và hình chiếu vuông góc của đỉnh
A'
trên mặt phẳng (ABC) là trung
điểm của cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp
A'.ABC
và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng
AA ' ,
B'C'
.

Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn thi: TOÁN; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề.

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm):
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số
2
23
x
y
x
+
=
+
(1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lần lượt tại
hai điểm phân biệt
A
,
B
và tam giác
OAB
cân tại gốc toạ độ
.O

Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
(
)
()()
12sin cos
3
12sin 1sin
xx
xx
−
=
+−
.
2. Giải phương trình
(
)
3
23 2 36 5 8 0 .xxx−+ − −= ∈\

Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
()
2
32
0
cos 1 cosIx
π
=−
∫

xdx
.
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp có đáy
.SABCD
A
BCD
là hình thang vuông tại
A
và
;D
2
A
BAD a==
,
;CD a
=
góc giữa
hai mặt phẳng và
()
SBC
(
)
A
BCD
bằng Gọi là trung điểm của cạnh 60 .
D
I
A
D

. Biết hai mặt phẳng
(
)
SBI

và
(
cùng vuông góc với mặt phẳng
)
SCI
(
)
A
BCD
, tính thể tích khối chóp theo
.SABCD
.a
Câu V (1,0 điểm)
Chứng minh rằng với mọi số thực dương
,,
x
yz
thoả mãn
(
)
3,
x
xyz yz++ =
ta có:

()()()()()()
33
35
3
.
x
yxz xyxzyz yz+++++ + +≤ +
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho hình chữ nhật ,Oxy
A
BCD
có điểm là giao điểm của hai đường
chéo
(6;2)I
A
C
và
B
D
. Điểm
(
)
1; 5M
thuộc đường thẳng
A
B
và trung điểm
E

của cạnh thuộc đường
thẳng
. Viết phương trình đường thẳng
CD
:50xyΔ+−=
A
B
.
2.
Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng ,Oxyz
(
)
:2 2 4 0Pxyz−−−=
và mặt cầu
(
)
222
: 2 4 6 11 0.Sx y z x y z++−−−−=
Chứng minh rằng mặt phẳng
(
)
P
cắt mặt cầu
(
)
S
theo một
đường tròn. Xác định toạ độ tâm và tính bán kính của đường tròn đó.
Câu VII.a (1,0 điểm)
Gọi và là hai nghiệm phức của phương trình

1
z
2
z
2
210zz 0
+
+=. Tính giá trị của biểu thức
22
12
.Az z=+

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho đường tròn ,Oxy
(
)
22
:446Cx y x y 0
+
+++=
và đường thẳng
với m là tham số thực. Gọi là tâm của đường tròn
(
Tìm để :23xmy mΔ+ − +=0,
I
)
.C
m
Δ

cắt
(
)
C

tại hai điểm phân biệt
A
và
B
sao cho diện tích tam giác lớn nhất.
IAB
2. Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng ,Oxyz
(
)
:221Px y z 0
−
+−=
và hai đường thẳng
1
19
:
116
xyz++
Δ==
,
2
13
:
21
1

2
x
yz−−+
Δ==
−
. Xác định toạ độ điểm
M
thuộc đường thẳng
1
Δ
sao cho
khoảng cách từ
M
đến đường thẳng
2
Δ
và khoảng cách từ
M
đến mặt phẳng
(
)
P
bằng nhau.
Câu VII.b (1,0 điểm)

Giải hệ phương trình
(
)
()
()

22
22
22
log 1 log
,.
381
xxyy
xy xy
xy
−+
⎧
+=+
⎪
∈
⎨
=
⎪
⎩
\

Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NA Ê M 2 0 1 3
−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A và khối A1
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm s o á y = −x
3

+ 3x
2
+ 3mx − 1 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm so á (1) khi m = 0.
b) Tìm m để hàm số (1) nghòch biến trên khoảng (0; + ∞ ) .
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 1 + tan x = 2
√
2 sin

x +
π
4

.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

√
x + 1 +
4
√
x − 1 −

y
4
+ 2 = y
x
2
+ 2x(y − 1) + y
2
− 6y + 1 = 0

(x, y ∈ R).
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
2

1
x
2
− 1
x
2
ln x dx.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,

ABC = 30
◦
, SBC là
tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABC và khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB).
Câu 6 ( 1 ,0 điểm). Cho các số thực dươ ng a, b, c thỏa mãn điều kiện (a + c)(b + c) = 4c
2
. Tìm giá trò
nhỏ nhất của biểu thức P =
32a
3
(b + 3c)
3
+
32b
3
(a + 3c)

3
−
√
a
2
+ b
2
c
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặ t phẳ ng với hệ tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có điểm C thuộc
đường thẳ ng d: 2x + y + 5 = 0 và A(− 4; 8). Gọi M là điểm đối xứng cu û a B qua C, N là hình chiếu
vuông góc của B trên đường thẳng MD. Tìm tọa độ các điểm B và C, biết rằng N(5; −4).
Câu 8.a (1,0 điể m). Trong không gi an với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ :
x − 6
−3
=
y + 1
−2
=
z + 2
1
và điểm A(1; 7; 3). Viết phương trình mặt phẳng (P ) đi qua A và vuông góc với ∆. Tìm tọa độ điểm
M thuộc ∆ sao cho AM = 2
√
30.
Câu 9 .a (1,0 điểm). Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt được chọn từ
các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7. Xác đònh số phần tử của S. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác su ấ t
để số đ ư ơ ï c chọn là số chẵn.

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Tro ng mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng ∆ : x − y = 0. Đươ ø ng
tròn (C) có bán kính R =
√
10 cắt ∆ tại hai điểm A và B sao cho AB = 4
√
2. Tiếp tuyến của (C)
tại A và B cắt nhau t ạ i một điểm thuộc tia Oy. Vi e á t phương trình đ ư ơ ø ng tròn (C).
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳ ng (P ) : 2x + 3y + z − 11 = 0
và m ặ t cầu (S): x
2
+ y
2
+ z
2
− 2x + 4y − 2z − 8 = 0. Chứng minh (P) tiếp xúc với (S). Tìm tọa độ
tiếp đi e å m của (P ) và (S).
Câu 9.b (1,0 điểm). Cho số phức z = 1+
√
3 i. Viết dạng lượng giác của z. Tìm phần thực và phần ảo
của số phức w = (1 + i)z
5
.
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh khô n g được sử dụ n g tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; So á báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012

Môn: TOÁN; Khối A và khối A1
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
với m là tham số thực.
422
2( 1) (1),yx m x m=− + +
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
0.m
=

b) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh của một tam giác vuông.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình 3sin 2 cos 2 2 cos 1.xx x
+
=−
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình
32 3 2
22
3922 39
(, ).
1
2
xxx yyy
xy
xyxy
⎧
−−+=+−
⎪
∈
⎨

+−+=
⎪
⎩
\
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
3
2
1
1ln( 1)
d.
x
I
x
x
++
=
∫

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp
có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu vuông góc của
trên mặt phẳng (ABC) là điểm H thuộc cạnh AB sao cho
.SABC S
2.
H
AHB
=
Góc giữa đường thẳng SC và mặt
phẳng (ABC) bằng
Tính thể tích của khối chóp S.ABC và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA
và BC theo a.

o
60 .
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực
,,
x
yz
thỏa mãn điều kiện
0.xyz
+
+=
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
|| || || 2 2 2
333 666
xy yz zx
Px
−−−
=++−++.yz
.ND

II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD. Gọi M là trung điểm
của cạnh BC, N là điểm trên cạnh CD sao cho
CN 2
=
Giả sử
(
)
11 1
;

22
M
và đường thẳng AN có
phương trình
Tìm tọa độ điểm A.
23xy−−=0.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
12
:
121
xyz
d
+−
==
và
điểm
Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB
vuông tại I.
(0;0;3).I
Câu 9.a (1,0 điểm). Cho n là số nguyên dương thỏa mãn
1
5
n
n
C
− 3
n
C
=
. Tìm số hạng chứa

5
x
trong khai
triển nhị thức Niu-tơn của
()

2
1
,0.
14
n
nx
x
x
−≠
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn
Viết phương
trình chính tắc của elip (E), biết rằng (E) có độ dài trục lớn bằng 8 và (E) cắt (C) tại bốn điểm tạo thành
bốn đỉnh của một hình vuông.
22
(): 8.Cx y+=
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
12
:,
211
xyz
d
+−
==

mặt
phẳng
và điểm
(): 2 5 0Pxy z+− += (1; 1; 2).A
−
Viết phương trình đường thẳng ∆ cắt d và (P) lần lượt
tại M và N sao cho A là trung điểm của đoạn thẳng MN.
Câu 9.b (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn
5( )
2
1
zi
i
z
.
+
=
−
+
Tính môđun của số phức
2
1.wzz=+ +
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010
Môn: TOÁN; Khối: A

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số y = x
3
− 2x
2
+ (1 − m)x + m (1), m là tham số thực.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2. Tìm m để đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x
1
, x
2
, x
3
thoả mãn điều
kiện
222
123
x
xx++ < 4.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
(1 sin cos 2 ) sin
1
4
cos
1tan
2

xxx
x
x
π
⎛⎞
++ +
⎜⎟
⎝⎠
=
+
.
2. Giải bất phương trình
2
12( 1
xx
xx
−
−−+)
≥ 1.
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân I =
1
22
0
2
d
12
xx
x
xe xe
x

e
++
+
∫
.
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M và N lần lượt là
trung điểm của các cạnh AB và AD; H là giao điểm của CN với DM. Biết SH vuông góc với mặt phẳng
(ABCD) và SH = a
3
. Tính thể tích khối chóp S.CDNM và tính khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và
SC theo a.
Câu V (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
22
(4 1) ( 3) 5 2 0
42347
xxy y
xy x
⎧
++− −=
⎪
⎨
++ −=
⎪
⎩
(x, y ∈
R).
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)

1.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d
1
: 30xy+= và d
2
: 3xy−=0. Gọi (T) là
đường tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại hai điểm B và C sao cho tam giác ABC vuông tại B. Viết
phương trình của (T), biết tam giác ABC có diện tích bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
2.
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
1
21 1
xyz−
==
−
2+
và mặt phẳng (P): x − 2y + z = 0.
Gọi
C là giao điểm của ∆ với (P), M là điểm thuộc ∆. Tính khoảng cách từ M đến (P), biết MC =
6

.
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm phần ảo của số phức z, biết
2
(2 )(1 2)zi=+ −i.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có đỉnh A(6; 6); đường thẳng đi qua trung
điểm của các cạnh
AB và AC có phương trình x + y − 4 = 0. Tìm toạ độ các đỉnh B và C, biết điểm E(1; −3)
nằm trên đường cao đi qua đỉnh
C của tam giác đã cho.
2.
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng ∆:
22
232
3
x
yz+−+
==
. Tính
khoảng cách từ
A đến ∆. Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Cho số phức z thỏa mãn
z
=
3
(1 3 )
1
i

i
−
−
. Tìm môđun của số phức
z
+ i z.
Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối: A
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề


PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
1
.
21
x
y
x
−+
=
−

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.

2. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng y = x + m luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A và
B. Gọi k
1
, k
2
lần lượt là hệ số góc của các tiếp tuyến với (C) tại A và B. Tìm m để tổng đạt
giá trị lớn nhất.
1
kk+
2
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
2
1sin2 cos2
2sin sin2 .
1cot
xx
x
x
x
++
=
+

2. Giải hệ phương trình
223
22 2
5432()0
(, ).
()2()

xy xy y x y
xy
xy x y x y
⎧
−+−+=
⎪
∈
⎨
++=+
⎪
⎩
\
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
4
0
sin ( 1)cos
d.
sin cos
x
xx x
I
x
xx x
π
++
=
+
∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB = BC = 2a;

hai mặt phẳng (SAB) và (SAC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M là trung điểm của AB;
mặt phẳng qua SM và song song với BC, cắt AC tại N. Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC)
bằng 60
o
. Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SN theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho ,,
x
yzlà ba số thực thuộc đoạn [1; 4] và x ≥ y, x ≥ z. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
.
23
=++
++
+
x
yz
P
x
yyzzx

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1.
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng ∆: x + y + 2 = 0 và đường tròn
Gọi I là tâm của (C), M là điểm thuộc ∆. Qua M kẻ các tiếp tuyến
MA và MB đến (C) (A và B là các tiếp điểm). Tìm tọa độ điểm M, biết tứ giác MAIB có diện tích
bằng 10.
22
(): 4 2 0.Cx y x y+− − =

2.
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2; 0; 1), B(0; –2; 3) và mặt phẳng
Tìm tọa độ điểm M thuộc (P) sao cho MA = MB = 3.
():2 4 0.Pxyz−−+=
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm tất cả các số phức z, biết:
2
2
.zz=+z

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho elip
22
(): 1.
41
xy
E +=
Tìm tọa độ các điểm A và B thuộc
(E), có hoành độ dương sao cho tam giác OAB cân tại O và có diện tích lớn nhất.

2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu và điểm
. Viết phương trình mặt phẳng (OAB), biết điểm B thuộc (S) và tam giác OAB đều.
222
(): 4 4 4 0Sx y z x y z++− − − =
(4; 4; 0)A
Câu VII.b (1,0 điểm) Tính môđun của số phức z, biết: (2 1)(1 ) ( 1)(1 ) 2 2−+++−=−zizii.
Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂ N SI NH ĐẠ I HỌC NĂM 2014
−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối A và Khối A1
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm s o á y =
x + 2
x − 1
(1).
a) Khảo sát sư ï biến thiên và vẽ đồ thò (C) của hàm số (1).
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) sao cho khoảng cách từ M đ e á n đường thẳng y = −x bằng
√
2.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin x + 4 c os x = 2 + sin 2x.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường co ng y = x
2
−x + 3 và đường
thẳng y = 2x + 1.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn đie à u kiện z + (2 + i) z = 3 + 5i. Tìm phần thực và phần ảo của z.
b) Từ một hộp chứa 16 thẻ được đánh số từ 1 đến 16, chọn ngẫu nhiên 4 the û . Tính xác suất
để 4 thẻ được chọn đều đư ơ ï c đánh số chẵn.
Câu 5 (1,0 đie å m). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P ) : 2x+y −2z−1 = 0
và đường thẳng d :
x − 2
1
=
y
−2
=
z + 3

3
. Tìm tọa độ giao điểm của d và (P ). Viết phương
trình mặt phẳng chứa d và vuông góc vớ i (P ).
Câu 6 (1,0 đie å m). Cho hình chóp S.ABCD co ù đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SD =
3a
2
,
hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳ ng (ABCD) là trung điểm của cạnh AB. Tính theo a
thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có điểm M
là trung điểm của đoạn AB và N là điểm thuộc đoạn AC sao cho AN = 3NC. Viết phương
trình đường thẳng CD, biết rằng M(1; 2) và N(2; −1).
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

x
√
12 − y +

y(12 −x
2
) = 12
x
3
− 8x − 1 = 2
√
y −2
(x, y ∈ R).
Câu 9 (1,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực không âm và thỏa mãn điều kiện x
2
+ y

2
+ z
2
= 2.
Tìm gi á trò lớn nhất của bie å u thức
P =
x
2
x
2
+ yz + x + 1
+
y + z
x + y + z + 1
−
1 + yz
9
.
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh khô n g được sử dụ n g tài liệu. Cán bộ coi th i không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1/4
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
Môn: TOÁN, khối A
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang)

Câu Nội dung Điểm
I 2,00
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)

Khi m1=− ta có
2
x3 1
yx2
x2 x2
−
==−+
+
+
.
• Tập xác định: D = \{ 2}
−
\ .
• Sự biến thiên:

2
22
1x4x3
y' 1
(x 2) (x 2)
+
+
=− =
++
,

x3
y' 0
x1.
=
−
⎡
=⇔
⎢
=
−
⎣



0,25
Bảng biến thiên:







y
CĐ
=
()
(
)
CT

y3 6,y y1 2.−=− = −=−



0,25




• Tiệm cận: Tiệm cận đứng x = − 2, tiệm cận xiên y = x − 2.
0,25

• Đồ thị:

0,25
2
Tìm m để hàm số có cực đại và cực tiểu và … (1,00 điểm)










()
22
2
x4x4m
y'
x2
++−
=
+
.
Hàm số (1) có cực đại và cực tiểu ⇔
(
)

22
gx x 4x 4 m=++− có 2 nghiệm
phân biệt x ≠ −2
()
2
2
'44m 0
g2 484m 0
⎧
∆= − + >
⎪
⇔
⎨
−=−+− ≠
⎪
⎩
⇔ m ≠ 0.


0,50
x − ∞
−
3
−
2
−
1+ ∞
y
' + 0
−

−
0+
y
−
6 + ∞ + ∞
−∞
−
∞
−
2
x
y
−
3
−
6
−
2
O
−
1
−
2
2/4
Gọi A, B là các điểm cực trị ⇒
(
)
A2m;2
−
−−,

(
)
B2m;4m2
−
+−.
Do
(
)
OA m 2; 2 0=− − − ≠
JJJG G
,
(
)
OB m2;4m2 0
=
−−≠
J
JJG G
nên ba điểm O, A, B
tạo thành tam giác vuông tại O ⇔
2
OA.OB 0 m 8m 8 0
=
⇔− − + =
J
JJG JJJG

⇔
m426=− ± (thỏa mãn m ≠ 0).
Vậy giá trị m cần tìm là:

m426=− ± .
0,50
II

2,00
1
Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)

Phương trình đã cho ⇔ (sinx + cosx)(1 + sinxcosx) = (sinx + cosx)
2

⇔ (sinx + cosx)(1−sinx)(1−cosx) = 0.
0,50

⇔
ππ
xkπ,x k2π,x k2π
42
=− + = + =
(k ∈
Z ).
0,50
2
Tìm m để phương trình có nghiệm (1,00 điểm)

Điều kiện:
x1≥
. Phương trình đã cho ⇔
4
x1 x1

32 m (1).
x1 x1
−−
−+ =
++

Đặt
4
x1
t
x1
−
=
+
, khi đó (1) trở thành
2
3t 2t m (2).−+=

0,50


Vì
44
x1 2
t1
x1 x1
−
==−
+
+

và
x1≥
nên 0t1.
≤
<
Hàm số
2
f(t) 3t 2t, 0 t 1=− + ≤ < có bảng biến thiên:






Phương trình đã cho có nghiệm ⇔ (2) có nghiệm t ∈ [0; 1) ⇔
1
1m
3
−< ≤ .

0,50

III

2,00
1 Chứng minh d
1
và d
2
chéo nhau (1,00 điểm)

+) d
1
qua M(0; 1; −2), có véctơ chỉ phương
1
u
J
JG
= (2; −1; 1),
d
2
qua N(−1; 1; 3), có véctơ chỉ phương
2
u
J
JG
= (2; 1; 0).
0,25
+)
12
[u ,u ]
JJGJJG
= (−1; 2; 4) và MN
J
JJJG
= (−1; 0; 5). 0,50

+)
12
[u ,u ]

JJGJJG
. MN
J
JJJG
= 21 ≠ 0 ⇒ d
1
và d
2
chéo nhau.
0,25
2 Viết phương trình đường thẳng d (1,00 điểm)

Giả sử d cắt d
1
và d
2
lần lượt tại A, B. Vì A ∈ d
1
, B ∈ d
2
nên
A(2s;1 s; 2 s), B( 1 2t;1 t;3).
−
−+ −+ +
⇒ AB
JJJG
= (2t − 2s − 1; t + s; − s + 5).
0,25
(P) có véctơ pháp tuyến
n

G
= (7; 1; − 4).
AB ⊥ (P) ⇔ AB
JJJG
cùng phương với n
G

0,25
⇔
2t 2s 1 t s s 5
714
−− + −+
==
−
⇔
5t 9s 1 0
4t 3s 5 0
+
+=
⎧
⎨
+
+=
⎩
⇔
s1
t2
=
⎧
⎨

=
−
⎩

⇒
()( )
A2;0; 1,B 5; 1;3.−−−
0,25


Phương trình của d là:
x2 y z1
71 4
−
+
==
−
.
0,25
1
1/3
0
f(t)
t
0
1/3
-1
3/4
IV

2,00
1
Tính diện tích hình phẳng (1,00 điểm)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường đã cho là:
(e + 1)x = (1 + e
x
)x ⇔ (e
x
− e)x = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 1.
0,25
Diện tích của hình phẳng cần tìm là: S =
1
x
0
xe ex dx−
∫
=
11
x
00
e xdx xe dx.−
∫∫

0,25


Ta có:
1
0

exdx
∫
=
2
1
ex
0
2
=
e
2
,
11
xxx
00
1
xe dx xe e dx
0
=−
∫
∫
=
x
1
ee 1
0
−
= .
Vậy
e

S1
2
=− (đvdt).
0,50
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của P (1,00 điểm)

Ta có:
2
x(y z)+
2x x≥
. Tương tự,
2
y(z x)
+
≥
2y y
,
2
z(x y)+ ≥
2z z
.
0,25
⇒
2y y
2x x 2z z
P
yy 2zz zz 2xx xx 2yy
≥++
++ +

.
Đặt a =
xx 2yy+
, b =
yy 2zz+
, c =
zz 2xx+
.
Suy ra:
4c a 2b
xx
9
+−
= ,
4a b 2c
yy
9
+
−
= ,
4b c 2a
zz
9
+
−
= .


0,25
Do đó

24ca2b 4ab2c 4bc2a
P
9b c a
+− +− +−
⎛⎞
≥++
⎜⎟
⎝⎠


2cab abc
46
9bca bca
⎡⎤
⎛⎞⎛⎞
=+++++−
⎜⎟⎜⎟
⎢⎥
⎝⎠⎝⎠
⎣⎦
≥
()
2
4.3 3 6 2.
9
+
−=
(Do
cab
b

ca
++ =
ca
b
c
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
+
b
1
a
⎛⎞
+
⎜⎟
⎝⎠
− 1 ≥ 2
a
b
+ 2
b
a
− 1 ≥ 4 − 1 = 3,
hoặc
cab
b
ca
++≥
3

cab
3
b
ca
⋅⋅
= 3. Tương tự,
abc
b
ca
+
+ ≥ 3).






0,25



Dấu "=" xảy ra ⇔ x = y = z = 1. Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2.
0,25
V.a

2,00
1
Viết phương trình đường tròn (1,00 điểm)

Ta có M(−1; 0), N(1; −2), AC

J
JJG
= (4; − 4). Giả sử H(x, y). Ta có:
BH AC
HAC
⎧
⊥
⎪
⎨
∈
⎪
⎩
JJJG JJJG
⇔
4(x 2) 4(y 2) 0
4x 4(y 2) 0
+
−+=
⎧
⎨
+−=
⎩
⇔
x1
y1
=
⎧
⎨
=
⎩

⇒ H(1; 1).

0,25
Giả sử phương trình đường tròn cần tìm là:
22
x y 2ax 2by c 0
+
+++= (1).
0,25
Thay tọa độ của M, N, H vào (1) ta có hệ điều kiện:

2a c 1
2a 4b c 5
2a 2b c 2.
−=
⎧
⎪
−+=−
⎨
⎪
++=−
⎩

0,25

1
a
2
1
b
2
c2.
⎧
=−
⎪
⎪
⎪
⇔=
⎨

⎪
=−
⎪
⎪
⎩

Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
22
xyxy20.
+
−+−=
0,25
4/4
2
Chứng minh công thức tổ hợp (1,00 điểm)

Ta có:
()
2n
0 1 2n 2n
2n 2n 2n
1 x C C x C x ,+=+ ++
(
)
2n
0 1 2n 2n
2n 2n 2n
1 x C C x C x−=−++
()()
(

)
2n 2n
13355 2n12n1
2n 2n 2n 2n
1 x 1 x 2 C x C x C x C x .
−−
⇒+ −− = + + ++
()()
()
11
2n 2n
13355 2n12n1
2n 2n 2n 2n
00
1x 1x
dx Cx Cx Cx C x dx
2
−−
+−−
⇒=++++
∫∫

0,50

•

()() () ()
()
1
2n 2n 2n 1 2n 1
0
1
1x 1x 1x 1x
dx
0
222n1
++
+−− + +−
=
+
∫
=
2n
21
2n 1
−
+
(1)
•

()
1
13355 2n12n1
2n 2n 2n 2n
0
Cx Cx Cx C x dx
−−
++++
∫


1
246 2n
135 2n1
2n 2n 2n 2n
0
xxx x
C. C. C. C .
246 2n
−
⎛⎞
=++++
⎜⎟
⎝⎠


135 2n1
2n 2n 2n 2n
111 1
C C C C

246 2n
−
=++ + (2).
Từ (1) và (2) ta có điều phải chứng minh.
0,50
V.b

2,00
1
Giải bất phương trình logarit (1,00 điểm)

Điều kiện: x >
3
4
. Bất phương trình đã cho ⇔
2
3
(4x 3)
log
2x 3
−
+
≤ 2
0,25
⇔ (4x − 3)
2
≤ 9(2x + 3)
0,25
⇔ 16x
2

− 42x −18 ≤ 0 ⇔ −
3
8
≤ x ≤ 3.
0,25

Kết hợp điều kiện ta được nghiệm của bất phương trình là:
3
4
< x ≤ 3.
0,25
2
Chứng minh AM ⊥ BP và tính thể tích khối tứ diện CMNP (1,00 điểm)

Gọi H là trung điểm của AD.
Do
SAD∆ đều nên SH AD.⊥
Do
()( )
SAD ABCD⊥ nên
()
SH ABCD⊥
()
SH BP 1 .⇒⊥

Xét hình vuông ABCD ta có
CDH BCP∆=∆⇒
(
)
CH BP 2 .⊥ Từ (1) và (2)

suy ra
()
BP SHC .⊥
Vì
MN // SC và AN // CH
nên
()()
AMN // SHC . Suy ra
()
BP AMN⊥ ⇒
BP AM.⊥




0,50

Kẻ
(
)( )
MK ABCD , K ABCD .⊥∈
Ta có:
CMNP CNP
1
VMK.S.
3
=
Vì
2
CNP
1a3 1 a
MK SH , S CN.CP
24 2 8
== = = nên
3
CMNP
3a
V
96
= (đvtt).
0,50

NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn nh−
®¸p ¸n quy ®Þnh.
Hết
A
S

D
C
B
H
M
N
P
K
1
bộ giáo dục và đào tạo Kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2002
Đáp án và thang điểm
môn toán khối A
Câu ý Nội dung
ĐH CĐ
I1

23
31 xxym +==
Tập xác định Rx . )2(363'
2
=+= xxxxy ,



=
=
=
2
0
0'

2
1
x
x
y
10",066" ===+= xyxy
Bảng biến thiên
+ 210x

'
y
+
0

0
+
0
"
y
y + lõm U 4
CT 2 CĐ
0 lồi





=
=
=

3
0
0
x
x
y , 4)1( =y
Đồ thị:
( Thí sinh có thể lập 2 bảng biến thiên)

1,0 đ
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ

1,5 đ
0,5đ
0,5 đ
0,5 đ
-
1
1 2 3
x
0
2
4
y
2
I2
Cách I. Ta có
2332323

33033 kkxxkkxx +=+=++ .
Đặt
23
3kka += Dựa vào đồ thị ta thấy phơng trình axx =+
23
3
có 3 nghiệm phân biệt 43040
23
<+<<< kka

()( )



>+
<




>++
<

021
30
0)44)(1(
30
2
2
kk

k
kkk
k





<<

20
31
kk
k
Cách II. Ta có
[
]
03)3()(033
222323
=++=++ kkxkxkxkkxx
có 3 nghiệm phân biệt 03)3()(
22
=++= kkxkxxf
có 2 nghiệm phân biệt khác k





<<

++
>++=

20
31
033
0963
222
2
kk
k
kkkkk
kk

5,0 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25đ
0,25 đ

5,0 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ

0,25 đ
3
Cách I.
3)(3)1(363
222'
+=++= mxmmxxy ,



+=
=
=
1
1
0
2
1
'
mx
mx
y
Ta thấy
21
xx và 'y đổi dấu khi qua
1
x và
2
x hàm số đạt cực trị tại
1
x và

2
x .
23)(
2
11
+== mmxyy và
23)(
2
22
++== mmxyy
Phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị

(
)
23;1
2
1
+ mmmM và
(
)
23;1
2
2
+++ mmmM là:

++
=
+
4
23

2
1
2
mmymx
mmxy +=
2
2
Cách II.
3)(3)1(363
222'
+=++= mxmmxxy , Ta thấy
0'09)1(99'
22
=>=+= ymm có 2 nghiệm
21
xx
và 'y đổi dấu khi qua
1
x và
2
x hàm số đạt cực trị tại
1
x và
2
x .
Ta có
23223
)1(33 mmxmmxxy +++=
()
.23363

33
1
222
mmxmmxx
m
x ++++






=
Từ đây ta có mmxy +=
2
11
2
và mmxy +=
2
22
2
.
Vậy phơng trình đờng thẳng đi qua 2 điểm cực trị là mmxy +=
2
2
.

1,0 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

1,0 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25đ
0,25 đ
0,25 đ
II 1.
Với 2=m ta có 051loglog
2
3
2
3
=++ xx
Điều kiện 0>x . Đặt 11log
2
3
+= xt ta có
06051

22
=+=+ tttt .
2
3
2
1



=
=

t
t

5,0 đ
0,25 đ

0,1 đ
0,5 đ
3
3
1
=
t (loại) ,
3
3
2
32
33log3log2

==== xxxt
3
3

=x thỏa mãn điều kiện 0>x .
(Thí sinh có thể giải trực tiếp hoặc đặt ẩn phụ kiểu khác)
0,25 đ 0,5 đ
2.
0121loglog
2
3
2
3
=++
mxx (2)
Điều kiện 0>x . Đặt 11log
2
3
+=
xt ta có
0220121
22
=+=+ mttmtt (3)
.21log13log0]3,1[
2
33
3
+=
xtxx

Vậy (2) có nghiệm ]3,1[
3
khi và chỉ khi (3) có
nghiệm
[]
2,1 . Đặt tttf +=
2
)(
Cách 1.
Hàm số )(tf là hàm tăng trên đoạn
][
2;1 . Ta có 2)1( =f và 6)2( =f .
Phơng trình
22)(22
2
+=+=+ mtfmtt có nghiệm
[]
2;1

.20
622
222
22)2(
22)1(




+
+

+
+
m
m
m
mf
mf
Cách 2.
TH1. Phơng trình (3) có 2 nghiệm
21
,tt thỏa mãn 21
21
<<
tt .
Do 1
2
1
2
21
<=
+ tt
nên không tồn tại m .
TH2. Phơng trình (3) có 2 nghiệm
21
,tt thỏa mãn
21

21
tt hoặc
21
21 tt

()
200242 mmm .
(Thí sinh có thể dùng đồ thị, đạo hàm hoặc đặt ẩn phụ kiểu khác )

0,1 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,1 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
III 1.
5
32cos
2sin21

3sin3cos
sin +=






+
+
+ x
x
xx
x
. Điều kiện
2
1
2sin x
Ta có 5
=






+
+
+
x

xx
x
2sin21
3sin3cos
sin
5






+
+++
x
xxxxx
2sin21
3sin3cos2sinsin2sin
=5
=






+
+++
x
xxxxx

2sin21
3sin3cos3coscossin
5
x
x
xx
cos5
2sin21
cos)12sin2(
=






+
+
Vậy ta có: 02cos5cos232coscos5
2
=++= xxxx
2cos =x (loại) hoặc ).(2
32
1
cos Zkkxx +==



1,0 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ

1,0 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
4
2.
Vì
(
0x ;
)

2 nên lấy
3
1

=x và
3
5
2

=x . Ta thấy
21
, xx thỏa mãn điều
kiện
2
1
2sin x . Vậy các nghiệm cần tìm là:

3
1

=x và
3
5
2

=x .
(Thí sinh có thể sử dụng các phép biến đổi khác)
Ta thấy phơng trình
3|34|
2
+=+ xxx có 2 nghiệm 0
1
=x và .5
2
=x
Mặt khác ++
3|34|
2
xxx
[]
5;0

x . Vậy
()()()
dxxxxdxxxxdxxxxS

++++++=++=

1
0
3
1
22
5
0
2
343343|34|3

()
dxxxx

+++
5
3
2
343
()( )()
dxxxdxxxdxxxS

+++++=
5
3
2
3
1
2
1
0

2
5635
5
3
23
3
1
23
1
0
23
2
5
3
1
6
2
3
3
1
2
5
3
1

++






++






+=
xxxxxxxS

6
109
3
22
3
26
6
13
=++=S (đ.v.d.t)
(Nếu thí sinh vẽ hình thì không nhất thiết phải nêu bất đẳng thức
++ 3|34|
2
xxx

[]
5;0x )
0,25 đ

1,0 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25đ
0,25 đ

1,0 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25đ
IV 1.

1đ

1đ
x
5
1
0
-1
y
3
3
2

1
8
-1
5
S
N
I
M C
A K
B
Gọi K là trung điểm của BC và MNSKI = . Từ giả thiết
MN
a
BCMN ,
22
1
==// BC I là trung điểm của SK và MN .
Ta có = SACSAB hai trung tuyến tơng ứng ANAM =
AMN cân tại
A
MNAI .
Mặt khác
()( )
()( )
()
()
SKAISBCAI
MNAI
AMNAI
MNAMNSBC

AMNSBC










=

.
Suy ra SAK cân tại
2
3a
AKSAA == .
244
3
222
222
aaa
BKSBSK ===
4
10
84
3
2
22

2
222
aaaSK
SASISAAI
==






==
.
Ta có
16
10
.
2
1
2
a
AIMNS
AMN
==

(đvdt)
chú ý
1) Có thể chứng minh MNAI nh sau:

() ()

AIMNSAKMNSAKBC
.
2) Có thể làm theo phơng pháp tọa độ:
Chẳng hạn chọn hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxyz sao cho

h
a
S
a
A
a
C
a
BK ;
6
3
;0,0;
2
3
;0,0;0;
2
,0;0;
2
),0;0;0(
trong đó h là độ dài đờng cao SH của hình chóp ABCS. .
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
6
2a)
Cách I. Phơng trình mặt phẳng )(
P
chứa đờng thẳng
1
có dạng:
()( )
042242 =++++ zyxzyx

( 0
22
+

)

()( )( )
044222 =+++

zyx
Vậy
()

2;22;
++=
P

n
r
.Ta có
()
2;1;1
2
=
u
r
//
2

và
()
22
1;2;1

M
()
P //
()() ()




=

=

PMPM
un
P
22
2
2
0
1;2;1
0.

rr
Vậy
()
02:
=
zxP
Cách II Ta có thể chuyển phơng trình
1
sang dạng tham số nh sau:
Từ phơng trình
1

suy ra .02 = zx Đặt

=
=
=
=
'4
2'3
'2
:'2
1
tz
ty
tx
tx
()
)4;3;2(,0;2;0
111
=
uM
r
//
1

.
(Ta có thể tìm tọa độ điểm
11

M bằng cách cho 020
===
zyx

và tính
()
4;3;2
21
21
;
12
11
;
22
12
1
=











=
u
r
).
Ta có
()

2;1;1
2
=u
r
//
2
. Từ đó ta có véc tơ pháp của mặt phẳng )(P là :
[]
()
1;0;2,
21
== uun
P
rrr
. Vậy phơng trình mặt phẳng )(P đi qua
()
0;2;0
1
M
và


()
1;0;2 =
P
n
r
là: 02 = zx .
Mặt khác
()()

PM 1;2;1
2
phơng trình mặt phẳng cần tìm là: 02 = zx

5,0 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ

0,1 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ
2b)
b)Cách I.
()
MHtttHH +++ 21,2,1
2
=
()
32;1;1 + ttt
()()( )
5)1(6111263211
22
222
+=+=+++= ttttttMH

đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi
()
3;3;21 Ht =
Cách II.
()
tttHH 21;2;1
2
+++ .
MH nhỏ nhất
()
4;3;210.
22
HtuMHMH ==
r

5,0 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ

0,1 đ
0,5 đ
0,5 đ

0,5 đ
0,5 đ
V1.
Ta có

()
0;1
BOxBC =
I . Đặt
ax
A
=
ta có );( oaA và
.33 == ayax
CC
Vậy
(
)
33; aaC
.
Từ công thức
()
()





++=
++=
CBAG
CBAG
yyyy
xxxx
3

1
3
1
ta có








+
3
)1(3
;
3
12 aa
G
.
Cách I.
Ta có :
|1|2|,1|3|,1| === aBCaACaAB . Do đó

1đ
0,25 đ
7
()
2
1

2
3
.
2
1
==

aACABS
ABC
.
Ta có
()
|1|3|1|3
132
2
+

=
++
=
aa
a
BCACAB
S
r = .2
13
|1|
=
+

a
Vậy .232|1|
+=a
TH1.








++
+=
3
326
;
3
347
332
11
Ga
TH2

=
3
326
;
3
134
132
22
Ga
.
Cách II.
y
C
I
O B A x
Gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp ABC . Vì 22
==
I
yr
.
Phơng trình
()
321
3
1
1.30:
0
=

==
I
x
x
xtgyBI .
TH1 Nếu A và O khác phía đối với .321+=
I
xB Từ 2),(
=
ACId
.3232 +=+=
I
xa








++

3
326
;
3
347
1

G
TH 2. Nếu A và O cùng phía đối với
.321 =
I
xB
Tơng tự
ta có .3212 ==
I
xa










3
326
;
3
134
2
G
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ

0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
2.
Từ
13
5
nn
CC = ta có 3n và

1 đ
8
()()
02835
6
)2)(1(
!1
!
5
!3!3
!
2
=−−⇔=
−−
⇔
−
=
−
nnn
nnn

n
n
n
n
4
1
−=⇒
n (lo¹i) hoÆc .7
2
=
n
Víi 7=n ta cã
.4421402.2.3514022
222
3
3
4
2
1
3
7
=⇔=⇔=⇔=

















−−−
−
−
xC
xxx
x
x
0,25 ®
0,25 ®
0,5 ®