Đề thi đại học và đáp án môn toán khối B từ năm 2002 - 2014

bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao Đẳng năm 2002
đề chính thức
Môn thi : toán, Khối B.
(Thời gian làm bài : 180 phút)
_____________________________________________
Câu I. (ĐH : 2,0 điểm; CĐ : 2,5 điểm)
Cho hàm số :
(
)
109
224
++=
xmmxy (1) ( m là tham số).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1
=
m
.
2. Tìm m để hàm số (1) có ba điểm cực trị.
Câu II. (ĐH : 3,0 điểm; CĐ : 3,0 điểm)
1. Giải phơng trình: xxxx 6cos5sin4cos3sin
2222
= .
2. Giải bất phơng trình:
(
)
1)729(loglog
3

x
x

.
3. Giải hệ phơng trình:





++=+
=
.2
3
yxyx
yxyx
Câu III. ( ĐH : 1,0 điểm; CĐ : 1,5 điểm)
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đờng :

4
4
2
x
y = và
24
2
x
y = .
Câu IV.(ĐH : 3,0 điểm ; CĐ : 3,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Oxy cho hình chữ nhật ABCD có tâm

0;
2
1
I
, phơng trình đờng thẳng AB là 022
=+ yx
và ADAB 2
=
. Tìm tọa độ các đỉnh
DCBA ,,, biết rằng đỉnh A có hoành độ âm.
2. Cho hình lập phơng
1111
DCBABCDA có cạnh bằng
a
.
a) Tính theo
a
khoảng cách giữa hai đờng thẳng BA
1
và DB
1
.
b) Gọi PNM ,, lần lợt là các trung điểm của các cạnh CDBB ,
1
,
11

DA . Tính góc giữa
hai đờng thẳng MP và NC
1
.
Câu V. (ĐH : 1,0 điểm)
Cho đa giác đều
n
AAA
221
L ,2( n n nguyên ) nội tiếp đờng tròn
()
O . Biết rằng số
tam giác có các đỉnh là 3 trong n2 điểm
n
AAA
221
,,, L nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật
có các đỉnh là 4 trong n2 điểm
n
AAA
221
,,, L , tìm n .
Hết
Ghi chú : 1) Thí sinh
chỉ thi
cao đẳng không làm Câu IV 2. b) và Câu V.
2) Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Bộ giáo dục và đào tạo kỳ thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2003
Môn thi : toán khối B

Đề chính thức Thời gian làm bài: 180 phút
_______________________________________________


Câu 1 (2 điểm). Cho hàm số ( là tham số).
32
3 (1)yx x m= + m
1) Tìm để đồ thị hàm số (1) có hai điểm phân biệt đối xứng với nhau qua gốc tọa độ. m
2) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi
m =2.
Câu 2
(2 điểm).
1) Giải phơng trình
2
otg tg 4sin 2
sin 2
xx xc
x
+ = .
2) Giải hệ phơng trình
2
2
2
2
2
3
2
3.
y

y
x
x
x
y

+
=



+

=



Câu 3 (3 điểm).
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Ox cho tam giác có y ABC
n
0
, 90 .AB AC BAC== Biết (1; 1)M

là trung điểm cạnh
B
C và
2
; 0
3

G
là trọng
tâm tam giác
. Tìm tọa độ các đỉnh .

ABC , , ABC
2) Cho hình lăng trụ đứng có đáy là một hình thoi cạnh ,
góc
.' ' ' 'ABCD A B C D ABCD a
n
0
60BAD = . Gọi
M
là trung điểm cạnh và là trung điểm cạnh '.
Chứng minh rằng bốn điểm
' NAA CC
', , ,
B
MDN
'
cùng thuộc một mặt phẳng. Hãy tính độ
dài cạnh
' theo a để tứ giác AA
B
MDN là hình vuông.
3) Trong không gian với hệ tọa độ Đêcac vuông góc Ox cho hai điểm
và điểm sao cho . Tính khoảng cách từ
trung điểm

yz
0)(2; 0; 0), (0; 0; 8)AB C (0; 6;AC

=
I
của
B
C đến đờng thẳng OA .
Câu 4 (2 điểm).
1) Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số
2
4.yx x=+
2) Tính tích phân

4
2
0
12sin
1sin2
x
I
dx
x

=
+

.
Câu 5 (1 điểm). Cho là số nguyên dơng. Tính tổng n
23 1

012
21 21 2 1
23 1
n
n
nnn
CCC
n
+

++++
+
"
n
C
(C là số tổ hợp chập k của phần tử).
k
n
n
Hết

Ghi chú
: Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.



Họ và tên thí sinh Số báo danh
Bộ giáo dục và đào tạo

Đề chính thức

Đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng năm 2004
Môn: Toán, Khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề


Câu I (2 điểm)
Cho hàm số y =
xxx 32
3
1
23
+
(1) có đồ thị (C).
1) Khảo sát hàm số (1).
2) Viết phơng trình tiếp tuyến của (C) tại điểm uốn và chứng minh rằng là tiếp tuyến của (C)
có hệ số góc nhỏ nhất.
Câu II (2 điểm)
1) Giải phơng trình xtgxx
2
)sin1(32sin5 = .
2) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số
x
x
y
2
ln
=
trên đoạn [1;
3
e

].
Câu III (3 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4;
3
). Tìm điểm C thuộc đờng
thẳng 012 = yx sao cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB bằng 6.
2) Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng


(
o
0 <

<
o
90 ). Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (ABCD) theo

. Tính thể
tích khối chóp S.ABCD theo a và

.
3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A
)4;2;4(
và đờng thẳng d:





+=

=
+=
.41
1
23
tz
ty
tx

Viết phơng trình đờng thẳng đi qua điểm A, cắt và vuông góc với đờng thẳng d.
Câu IV (2 điểm)
1) Tính tích phân I =
dx
x
xx
e

+
1
lnln31
.
2) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung
bình, 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập đợc bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu
hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và
số câu hỏi dễ không ít hơn 2 ?

Câu V (1 điểm)
Xác định m để phơng trình sau có nghiệm
22422
1112211 xxxxxm ++=

++ .

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh Số báo danh
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2005
Môn: TOÁN, khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I (2 điểm)
Gọi
m
(C ) là đồ thị của hàm số
()
2
xm1xm1
y
x1
++ ++
=
+

(*) ( m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi
m1.=
2)
Chứng minh rằng với
m
bất kỳ, đồ thị
m
(C ) luôn luôn có điểm cực đại, điểm cực tiểu
và khoảng cách giữa hai điểm đó bằng
20.

Câu II (2 điểm)
1) Giải hệ phương trình
()
23
93
x1 2y 1
3log 9x log y 3.
⎧
−+ − =
⎪
⎨
−=
⎪
⎩

2)
Giải phương trình 1 sin x cos x sin 2x cos 2x 0.++ + + =
Câu III (3 điểm)

1)
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(2;0) và B(6;4) . Viết phương trình
đường tròn
(C) tiếp xúc với trục hoành tại điểm A và khoảng cách từ tâm của (C) đến
điểm B bằng 5.
2)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hình lăng trụ đứng
111
ABC.A B C với
1
A(0; 3; 0), B(4; 0;0), C(0;3; 0), B (4;0; 4).−
a)
Tìm tọa độ các đỉnh
11
A,C. Viết phương trình mặt cầu có tâm là A và tiếp xúc với
mặt phẳng
11
(BCC B ).
b)
Gọi M là trung điểm của
11
AB. Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm
A, M và song song với
1
BC . Mặt phẳng (P) cắt đường thẳng
11
AC tại điểm N .
Tính độ dài đoạn
MN.

Câu IV
(2 điểm)
1)
Tính tích phân
2
0
sin2x cosx
Idx
1cosx
π
=
+
∫
.
2)
Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu
cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi, sao cho mỗi
tỉnh có 4 nam và 1 nữ?

Câu V (1 điểm)
Chứng minh rằng với mọi
x,∈\
ta có:
xx x
xxx
12 15 20
345
543
⎛⎞⎛⎞⎛⎞

++ ≥++
⎜⎟⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠⎝⎠
.
Khi nào đẳng thức xảy ra?

Hết

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.


Họ và tên thí sinh Số báo danh …
Mang Giao duc Edunet -
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2006
Môn: TOÁN, khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề


PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
2
xx1
y.
x2
+−

=
+

1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị
()
C của hàm số đã cho.
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị
()
C, biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận xiên
của
()
C.
Câu II (2 điểm)
1.
Giải phương trình:
x
cotgx sin x 1 tgxtg 4.
2
⎛⎞
++ =
⎜⎟
⎝⎠

2.
Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
2
xmx22x1.++=+
Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm

A(0; 1; 2)
và hai đường thẳng:
12
x1t
xy1z1
d: , d : y 1 2t
21 1
z2t.
=+
⎧
−+
⎪
== =−−
⎨
−
⎪
=+
⎩

1.
Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A, đồng thời song song với d
1
và d
2
.
2.
Tìm tọa độ các điểm M thuộc d
1
, N thuộc d
2

sao cho ba điểm A, M, N thẳng hàng.
Câu IV (2 điểm)
1.
Tính tích phân:
ln 5
xx
ln 3
dx
I
e2e 3
−
=
+−
∫
.
2.
Cho
x, y
là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
() ()
22
22
Ax1y x1yy2.=−+++++−


PHẦN TỰ CHỌN: Thí sinh chọn câu V.a hoặc câu V.b
Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban
(2 điểm)
1.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn

()
22
C:x y 2x 6y 6 0+−−+= và điểm
()
M3;1− . Gọi
1
T và
2
T là các tiếp điểm của các tiếp tuyến kẻ từ M đến
()
C . Viết phương
trình đường thẳng
12
TT .
2.
Cho tập hợp A gồm n phần tử
()
n4.≥ Biết rằng, số tập con gồm 4 phần tử của A bằng
20 lần số tập con gồm 2 phần tử của A. Tìm
{
}
k 1,2, , n∈ sao cho số tập con gồm k phần
tử của
A
là lớn nhất.
Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1.
Giải bất phương trình:
() ()
xx2

555
log 4 144 4log 2 1 log 2 1 .
−
+− <+ +
2.
Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với
AB a, AD a 2==
,
SA a= và
SA vuông góc với mặt phẳng
()
ABCD . Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AD và SC;
I là giao điểm của BM và AC. Chứng minh rằng mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt
phẳng (SMB). Tính thể tích của khối tứ diện ANIB.
Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh số báo danh
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2007
Môn thi: TOÁN, khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu I. (2 điểm)
Cho hàm số:
32 2 2
y x 3x 3(m 1)x 3m 1=− + + − − − (1), m là tham số.

1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2. Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) cách đều
gốc tọa độ O.

Câu II. (2 điểm)
1. Giải phương trình:
2
2sin 2x sin 7x 1 sin x.+−=

2. Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực
phân biệt:
()
2
x2x8 mx2.+−= −
Câu III. (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu
()
222
S:x y z 2x 4y 2z 3 0++−++−= và
mặt phẳng
()
P:2x y 2z 14 0.−+ − =
1. Viết phương trình mặt phẳng
()
Q chứa trục Ox và cắt
()
S theo một đường tròn có bán kính
bằng 3.
2. Tìm tọa độ điểm M thuộc mặt cầu
()

S sao cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng
()
P lớn nhất.

Câu IV. (2 điểm)
1. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường: yxlnx,y0,xe.=== Tính thể tích của khối tròn
xoay tạo thành khi quay hình H quanh trục Ox.
2. Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
x1 y1 z1
Px y z .
2yz 2zx 2xy
⎛⎞ ⎛⎞
⎛⎞
=+++++
⎜⎟ ⎜⎟
⎜⎟
⎝⎠
⎝⎠ ⎝⎠


PHẦN TỰ CHỌN (Thí sinh chỉ được chọn làm một trong hai câu: V.a hoặc V.b)

Câu V.a. Theo chương trình THPT không phân ban (2 điểm)
1. Tìm hệ số của số hạng chứa
10
x trong khai triển nhị thức Niutơn của
n
(2 x) ,+ biết:
()
n

n0 n11 n22 n33 n
nn nn n
3 C 3 C 3 C 3 C 1 C 2048
−− −
−+ −++−=
(n là số nguyên dương,
k
n
C là số tổ hợp chập k của n phần tử).
2.
Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm
()
A2;2 và các đường thẳng:
d
1
: x + y – 2 = 0, d
2
: x + y – 8 = 0.
Tìm tọa độ các điểm B và C lần lượt thuộc d
1
và d
2
sao cho tam giác ABC vuông cân tại A.

Câu V.b. Theo chương trình THPT phân ban thí điểm (2 điểm)
1. Giải phương trình:
()()
xx
21 21 22 0.−+ +− =
2.

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D
qua trung điểm của SA, M là trung điểm của AE, N là trung điểm của BC. Chứng minh
MN vuông
góc với BD và tính (theo a) khoảng cách giữa hai đường thẳng MN và AC.

Hết
Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: …………… ……………………………Số báo danh: ……………………………….
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn thi: TOÁN, khối B
Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề



PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu I (2 điểm)
Cho hàm số
32
y4x 6x 1=−+ (1).
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua
điểm
()
M1;9.−−

Câu II (2 điểm)
1. Giải phương trình
33 22

sin x 3cos x sinxcos x 3sin xcosx.−= −

2. Giải hệ phương trình
4322
2
x2xyxy2x9
x2xy6x6
⎧
++=+
⎪
⎨
+=+
⎪
⎩

()
x, y .∈ \

Câu III (2 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm
()( )( )
A 0;1;2 ,B 2; 2;1 ,C 2;0;1 .−−

1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm
A, B,C.

2. Tìm tọa độ của điểm M thuộc mặt phẳng
2x 2y z 3 0++−= sao cho MA MB MC.==
Câu IV (2 điểm)
1. Tính tích phân

4
0
sin x dx
4
I.
sin 2x 2(1 sin x cos x)
π
π
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠
=
++ +
∫

2. Cho hai số thực x, y thay đổi và thỏa mãn hệ thức
22
xy1.+= Tìm giá trị lớn nhất và giá
trị nhỏ nhất của biểu thức
2
2
2(x 6xy)
P.
12xy 2y
+
=
++

PHẦN RIÊNG Thí sinh chỉ được làm 1 trong 2 câu: V.a hoặc V.b
Câu V.a. Theo chương trình KHÔNG phân ban
(2 điểm)
1. Chứng minh rằng
kk1k
n1 n1 n
n1 1 1 1
n2C C C
+
++
⎛⎞
+
+=
⎜⎟
+
⎝⎠
(n, k là các số nguyên dương,
kn,≤
k
n
C
là
số tổ hợp chập k của n phần tử).
2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, hãy xác định tọa độ đỉnh C của tam giác ABC biết
rằng hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm
H( 1; 1),−−
đường phân giác
trong của góc A có phương trình
xy20−+= và đường cao kẻ từ B có phương trình

4x 3y 1 0.+−=

Câu V.b. Theo chương trình phân ban (2 điểm)
1. Giải bất phương trình
2
0,7 6
xx
log log 0.
x4
⎛⎞
+
<
⎜⎟
+
⎝⎠

2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh
2a, SA a,=
SB a 3=
và
mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các
cạnh AB, BC. Tính theo a thể tích của khối chóp S.BMDN và tính cosin của góc giữa hai
đường thẳng SM, DN.

Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
ĐỀ CHÍNH THỨC
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn: TOÁN; Khối B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số
m là tham số thực.
323
33(yx mx m=− + 1),
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi
1.m
=

b) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A và B sao cho tam giác OAB có diện tích bằng 48.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
2(cos 3 sin ) cos cos 3 sin 1.xxxxx
+
=− +

Câu 3 (1,0 điểm). Giải bất phương trình
2
1413.
x
xx++ − + ≥ x
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân
1
3
42
0

d.
32
x
I
x
xx
=
++
∫

Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp tam giác đều S.ABC với
2, .SA a AB a
=
=
Gọi H là hình chiếu
vuông góc của A trên cạnh SC. Chứng minh SC vuông góc với mặt phẳng (ABH). Tính thể tích của
khối chóp S.ABH theo a.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho các số thực x, y, z thỏa mãn các điều kiện
0xyz
+
+=
và
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

222
1.xyz++=
555
.Px y z=++
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn

Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn
22
1
(): 4,Cxy
+
=
và đường thẳng
22
2
(): 12 180Cxy x+− +=
:4dx y 0.
−
−=
Viết phương trình đường tròn có tâm
thuộc tiếp xúc với d và cắt tại hai điểm phân biệt A và B sao cho AB vuông góc với d.
2
()C ,
1
()C
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
1
:
212
x
yz
d
−
==
−
và hai

điểm
Viết phương trình mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d.
(2;1;0),A (2;3;2).B −
Câu 9.a (1,0 điểm). Trong một lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Giáo viên gọi
ngẫu nhiên 4 học sinh lên bảng giải bài tập. Tính xác suất để 4 học sinh được gọi có cả nam và nữ.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD có
và
đường tròn tiếp xúc với các cạnh của hình thoi có phương trình
2AC BD=
22
4.xy
+
=
Viết phương trình chính
tắc của elip (E) đi qua các đỉnh A, B, C, D của hình thoi. Biết A thuộc Ox.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho Viết phương trình
mặt phẳng (P) qua A và cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác ABC có trọng tâm
thuộc đường thẳng AM.
(0;0;3), (1;2;0).AM
Câu 9.b (1,0 điểm). Gọi z
1
và z
2
là hai nghiệm phức của phương trình
2
23 4 0.ziz
−
−=
Viết dạng

lượng giác của z
1
và z
2
.
HẾT
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: .
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối B
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = 2x
3
− 3(m + 1)x
2
+ 6mx (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = −1.
b) Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm cực trò A và B sao cho đường thẳng AB vuông góc với
đường thẳng y = x + 2.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình sin5x + 2 c os
2
x = 1.
Câu 3 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

2x
2
+ y
2

− 3xy + 3x − 2y + 1 = 0
4x
2
− y
2
+ x + 4 =
√
2x + y +
√
x + 4y
(x, y ∈ R).
Câu 4 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
1

0
x
√
2 − x
2
dx.
Câu 5 (1,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác
đều và nằm trong mặt phẳng vuo â ng góc với mặt phẳng đáy. Tính theo a thể tích của khối chóp
S.ABCD và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (SCD).
Câu 6 (1,0 điểm). Cho a, b, c là các số thực dương. Tìm giá trò lớn nhất của biểu thức
P =
4
√
a
2
+ b

2
+ c
2
+ 4
−
9
(a + b)

(a + 2c)(b + 2c)
.
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc phần B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 7.a (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình thang câ n ABCD có hai đường
chéo vuông góc với nhau và AD = 3BC . Đường thẳng BD có phương t rình x + 2y − 6 = 0 và tam
giác ABD có trực tâm là H(−3; 2). Tìm tọa độ các đỉnh C và D.
Câu 8.a (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(3; 5; 0) và mặt phẳng
(P ): 2x + 3y − z − 7 = 0. Viết phương trình đường thẳng đi qua A và vuông góc với (P ) . Tìm to ï a
độ điểm đối xứng của A qua (P ).
Câu 9.a (1,0 điểm). Có hai chi e á c hộp chứa bi. Hộp thứ nhấ t chứa 4 viên bi đỏ và 3 viên bi trắng,
hộp thứ hai chứa 2 viên bi đỏ và 4 viên bi trắng. Lấy ngẫu nhiên từ mỗi hộp ra 1 viên bi, tính xác
suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu.
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 7.b (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường cao hạ
từ đỉnh A là H

17
5
; −
1
5


, chân đường phân giác trong của góc A là D(5; 3) và trung điểm của cạnh
AB là M(0; 1). Tìm tọa độ đỉnh C.
Câu 8.b (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; −1; 1), B(−1; 2; 3) và
đường thẳng ∆ :
x + 1
−2
=
y − 2
1
=
z −3
3
. Viết phương trình đường t hẳ ng đi qua A, vuông góc với
hai đường thẳng AB và ∆.
Câu 9.b (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

x
2
+ 2y = 4x − 1
2 log
3
(x − 1) − log
√
3
(y + 1) = 0.
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . .
BỘ GIÁO DỤ C VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2014

−−−−−−−−−− Môn: TOÁN; Khối B
ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Câu 1 (2,0 điểm). Cho hàm số y = x
3
− 3mx + 1 (1), với m là tham số thực.
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thò của hàm số (1) khi m = 1.
b) Cho điểm A(2; 3). Tìm m để đồ thò hàm số (1) có hai điểm cực trò B và C sao cho
tam giác ABC cân tại A.
Câu 2 (1,0 điểm). Giải phương trình
√
2(sin x − 2 cos x) = 2 − sin 2x.
Câu 3 (1,0 điểm). Tính tích phân I =
2

1
x
2
+ 3x + 1
x
2
+ x
dx.
Câu 4 (1,0 điểm).
a) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện 2z + 3(1 − i) z = 1 − 9i. Tính môđun của z.
b) Để kiểm tra chất lượng sả n phẩm từ một công ty sữa, người ta đã gửi đế n bộ phận
kiểm nghiệm 5 hộp sữa cam, 4 hộp sữa dâu và 3 hộp sữa nho. Bộ phận kiểm nghiệm
chọn ngẫu nhiê n 3 hộp sữa để phân tích mẫu. Tính xác suất để 3 hộp sữa được chọn
có cả 3 loại.
Câu 5 (1,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 0; −1) và đường

thẳng d :
x − 1
2
=
y + 1
2
=
z
−1
. Viết phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d.
Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của A trên d.
Câu 6 (1,0 điểm). Cho lăng trụ ABC.A

B

C

có đáy là tam giác đều cạnh a. Hình chiếu
vuông góc của A

trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AB, góc giữa đường
thẳng A

C và mặt đáy bằng 60
◦
. Tính theo a thể tích của khối lăng trụ ABC.A

B

C


và
khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (ACC

A

).
Câu 7 (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD. Điểm
M(−3; 0) là trung đ i e å m của cạnh AB, điểm H(0; −1) là hình chiếu vuông góc của B trên
AD và điểm G

4
3
; 3

là trọng tâ m của tam giác BCD. Tìm to ï a độ các điểm B và D.
Câu 8 (1,0 điểm). Giải hệ phương trình

(1 − y)
√
x − y + x = 2 + (x − y − 1)
√
y
2y
2
− 3x + 6y + 1 = 2
√
x − 2y −
√
4x − 5y − 3

(x, y ∈ R).
Câu 9 (1 ,0 điểm). Cho các số thực a, b, c không âm và thỏa mãn điều kiện (a + b)c > 0.
Tìm giá trò nhỏ nhất của biểu thức
P =

a
b + c
+

b
a + c
+
c
2(a + b)
.
−−−−−−Hết−−−−−−
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .; Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2009
Môn: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề


PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số (1).

4
24yx x=−
2
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2. Với các giá trị nào của phương trình
,m
22
|2|
x
xm
−
= có đúng 6 nghiệm thực phân biệt ?
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình
3
sin cos sin 2 3 cos3 2(cos4 sin ).
x
xx x x x++=+

2. Giải hệ phương trình

22 2
17
(, ).
113
xy x y
xy
xy xy y
++=
⎧

∈
⎨
++=
⎩
\
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân
3
2
1
3ln
.
(1)
x
Id
x
+
=
+
∫
x
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình lăng trụ tam giác .'' '
A
BC A B C có
',
B
Ba
=
góc giữa đường thẳng

'
B
B
và mặt phẳng bằng
tam giác
(ABC)
60 ;
D
A
BC vuông tại và C
n
B
AC
=
60 .
D
Hình chiếu vuông góc của điểm
'
B
lên mặt phẳng ()
A
BC
trùng với trọng tâm của tam giác
.
A
BC Tính thể tích khối tứ diện '
A
ABC theo
.a

Câu V (1,0 điểm)
Cho các số thực
,
x
y
thay đổi và thoả mãn ()
3
42.xy xy+≥ Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
+
4422 22
3( ) 2( ) 1Axyxy xy=++ −++.

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho đường tròn ,Oxy
22
4
():( 2)
5
Cx y
−
+=
và hai đường thẳng
1
:0xy ,
Δ
−=

Xác định toạ độ tâm
2
:70xyΔ−=.
K
và tính bán kính của đường tròn
(
biết đường tròn tiếp xúc
với các đường thẳng và tâm
1
);C
1
()C
12
,ΔΔ
K
thuộc đường tròn ().C
2.
Trong không gian với hệ toạ độ cho tứ diện ,Oxyz
A
BCD có các đỉnh và
Viết phương trình mặt phẳng đi qua sao cho khoảng cách từ đến bằng khoảng
cách từ đến
(
(1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1)AB C−−
(0;3;1).D ()P ,AB C ()P
D
).P
Câu VII.a (1,0 điểm)
Tìm số phức thoả mãn: z (2 ) 10zi−+= và
. 25.zz=

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ toạ độ cho tam giác ,Oxy
A
BC cân tại
A
có đỉnh và các đỉnh (1;4)A − ,
B
C thuộc
đường thẳng Xác định toạ độ các điểm
:4xyΔ−−=0.
B
và biết diện tích tam giác
,C
A
BC bằng 18.
2.
Trong không gian với hệ toạ độ cho mặt phẳng ,Oxyz (): 2 2 5 0Px y z
−
+−= và hai điểm (3;0;1),A
−

Trong các đường thẳng đi qua
(1; 1; 3).B −
A
và song song với hãy viết phương trình đường thẳng mà
khoảng cách từ
(),P
B

đến đường thẳng đó là nhỏ nhất.
Câu VII.b (1,0 điểm)
Tìm các giá trị của tham số để đường thẳng
m
yxm
=
−+ cắt đồ thị hàm số
2
1x
y
x
−
=
tại hai điểm phân biệt
sao cho
,AB 4.AB =
Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2010
Môn: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề


PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số

21
1
x
y
x
+
=
+
.
1.
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2.
Tìm m để đường thẳng y = −2x + m cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB
có diện tích bằng
3
(O là gốc tọa độ).
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình (sin . 2 cos2 )cos 2cos 2 sin 0xxx xx++−=
2.
Giải phương trình
2
31 6 3 14 8xxxx+− − + − − =0
(x ∈ R).
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
()
2
1
ln
d
2ln

e
x
I
x
xx
=
+
∫
.
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác đều
'
có AB = a, góc giữa hai mặt phẳng
.''ABC A B C
(' )
A
BC và ()
A
BC bằng . Gọi G là trọng tâm tam giác . Tính thể tích khối lăng trụ đã cho
và tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a.
60
o
'ABC
Câu V (1,0 điểm) Cho các số thực không âm a, b, c thỏa mãn: a + b + c = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức
22 22 22 2 2 2
3( ) 3( ) 2
M
ab bc ca ab bc ca a b c=++++++++
.
PHẦN RIÊNG (3,0 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đỉnh C(− 4; 1), phân giác trong góc A có
phương trình x
+ y − 5 = 0. Viết phương trình đường thẳng BC, biết diện tích tam giác ABC bằng 24 và
đỉnh A có hoành độ dương.
2.
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho các điểm A(1; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c), trong đó b, c dương
và mặt phẳng (P): y
− z + 1 = 0. Xác định b và c, biết mặt phẳng (ABC) vuông góc với mặt phẳng
(P) và khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng (ABC) bằng
1
3
.
Câu VII.a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn:
(1 )zi iz−= + .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho điểm A(2;
3
) và elip (E):
22
1
32
xy
+
=
. Gọi F
1

và F
2
là các
tiêu điểm của (E) (F
1
có hoành độ âm); M là giao điểm có tung độ dương của đường thẳng AF
1
với
(E); N là điểm đối xứng của F
2
qua M. Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ANF
2
.
2.
Trong không gian toạ độ Oxyz, cho đường thẳng Δ:
1
21
2
x
yz
−
=
= . Xác định tọa độ điểm M trên
trục hoành sao cho khoảng cách từ M đến
Δ bằng OM.
Câu VII.b (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
2
2
log (3 1)
423

xx
yx
y
−
=
⎧
⎪
⎨
+=
⎪
⎩
(x, y ∈ R).
Hết

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2011
Môn: TOÁN; Khối: B
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
42
2( 1)
y
xmx=− + +m (1), m là tham số.
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 1.

2. Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị A, B, C sao cho OA = BC; trong đó O là gốc
tọa độ, A là điểm cực trị thuộc trục tung, B và C là hai điểm cực trị còn lại.
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình sin2xcosx + sinxcosx = cos2x + sinx + cosx.
2. Giải phương trình
2
32 62 44 10 3 ( ).xxx xx+− −+ − = − ∈\
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân
3
2
0
1sin
d.
cos
x
x
I
x
x
π
+
=
∫

Câu IV (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABCD.A
1
BB
1
C
1

D
1
có đáy ABCD là hình chữ nhật, AB = a,
3.AD a= Hình chiếu vuông góc của điểm A
1
trên mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm
của AC và BD. Góc giữa hai mặt phẳng (ADD
1
A
1
) và (ABCD) bằng 60 . Tính thể tích khối
lăng trụ đã cho và khoảng cách từ điểm B
1
o
B đến mặt phẳng (A
1
BD) theo a.
Câu V (1,0 điểm) Cho a và b là các số thực dương thỏa mãn 2(a
2
+ b
2
) + ab = (a + b)(ab + 2).
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
33 22
33 22
49
ab ab
P
ba ba
⎛⎞⎛

=+−+
⎜⎟⎜
⎝⎠⎝
⎞
⋅
⎟
⎠

PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng ∆: x – y – 4 = 0 và d: 2x – y – 2 = 0.
Tìm tọa độ điểm N thuộc đường thẳng d sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng ∆ tại
điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng
21
:
12
1
x
y−+
Δ==
−−
z
và mặt
phẳng (P): x + y + z – 3 = 0. Gọi I là giao điểm của ∆ và (P). Tìm tọa độ điểm M thuộc (P)
sao cho MI vuông góc với ∆ và
414.MI

=

Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm số phức z, biết:
53
10
i
z
z
+
−−
.=

B. Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
1
;1 .
2
B
⎛
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
Đường tròn nội tiếp
tam giác ABC tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tương ứng tại các điểm D, E, F. Cho
và đường thẳng EF có phương trình y – 3 = 0. Tìm tọa độ đỉnh A, biết A có tung
độ dương.
(3; 1)D
2. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆:
21
13

xyz+−+
==
−
5
2
và hai
điểm A(– 2; 1; 1), B(– 3; – 1; 2). Tìm toạ độ điểm M thuộc đường thẳng ∆ sao cho tam
giác MAB có diện tích bằng 35.
Câu VII.b (1,0 điểm) Tìm phần thực và phần ảo của số phức
3
13
.
1
i
z
i
⎛⎞
+
=
⎜⎟
⎜⎟
+
⎝⎠

Hết
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn: TOÁN; Khối B
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)

Câu Đáp án Điểm
a) (1,0 điểm)
Khi ta có: .
1,m =
32
33yx x=− +
• Tập xác định:

.D = \
• Sự biến thiên:
− Chiều biến thiên:
'0
2
'3 6;yx x=−
y
=
⇔
0x
=
hoặc
2.x
=

0,25

Các khoảng đồng biến: ( ; 0)
−
∞ và (2; )
+
∞ , khoảng nghịch biến: (0; 2).
− Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại
0,x
=
y
CĐ
= 3; đạt cực tiểu tại
2,x
=
y
CT
= −1.
− Giới hạn:
và
lim
x
y
→−∞
=−∞ lim .
x
y
→+ ∞
=
+∞

0,25

− Bảng biến thiên:





0,25
• Đồ thị:












0,25
b) (1,0 điểm)
2
'3 6 ;yx mx=−
'0 ⇔ hoặc y = 0x = 2.
x
m
=

Đồ thị hàm số có 2 điểm cực trị khi và chỉ khi

0m
≠
(*).
0,25
Các điểm cực trị của đồ thị là
3
(0; 3 )
A
m
và
3
(2 ; ).
B
mm−

Suy ra
và
3
3| |OA m=
( , ( )) 2 | | .dB OA m
=

0,25
48
OAB
S
∆
=
⇔
34

4
8m =
0,25
1
(2,0 điểm)
⇔ thỏa mãn (*). 2,m =±
0,25
O
2
3
−
1
x
y

+
∞
–1
3
−∞
y
'
y + 0 – 0 +
x 0 2 −∞
+
∞
Trang 1/4
Phương trình đã cho tương đương với:
cos2 3sin2 cos 3sin

x
xx+=−x

0,25
⇔
(
)
(
)
ππ
co

s 2 cos
33
xx−= +
0,25
⇔
(
)
ππ
22π ().

33
xxkk−=±+ + ∈]
0,25
2
(1,0 điểm)

⇔
2π

2π
3
x
k=+
hoặc
2π
()
3
xk k=∈] .

0,25
Điều kiện:
02
hoặc
3x≤≤− 2x ≥+3
(*).
Nhận xét:
là nghiệm của bất phương trình đã cho.
0x =
Với
bất phương trình đã cho tương đương với:
0,x>
11
43
xx
x
x
+
++−≥ (1).
0,25

Đặt
1
(2),tx
x
=+
bất phương trình (1) trở thành
2
63tt
−
≥−
22
30
30
6(3 )
t
t
tt
−<
⎡
⎢
−≥
⇔
⎧
⎢
⎨
⎢
−≥ −
⎣⎩

0,25

5
.
2
t⇔≥
Thay vào (2) ta được
15
2
2
xx
x
+
≥⇔ ≥
hoặc
1
2
x
≤

0,25
3
(1,0 điểm)

1
0
4
x⇔<≤
hoặc . Kết hợp (*) và nghiệm 4x ≥
0,x
=
ta được tập nghiệm của bất phương

trình đã cho là:
1
0; [4; ).
4
⎡⎤
∪+∞
⎢⎥
⎣⎦

0,25
Đặt tx suy ra Với
2
,=
.2dt xdx= 0
x
=
thì
0;t
=
với
1
x
=
thì
1.t
=

0,25
Khi đó
11

2
22
00
1.2d1d
22(
(1)( 2)
xxx tt
I
tt
xx
==
1)(2)
+
+
++
∫∫

0,25

()
(
)
1
1
0
0
12 1 1
dln|2|ln|1|
221 2
tt t

tt
=−=+−+
++
∫

0,25
4
(1,0 điểm)


=
3
ln3 ln2.
2
−

0,25
Gọi D là trung điểm của cạnh AB và O là tâm của ∆ABC. Ta có
A
BCD
⊥
và
A
BSO
⊥
nên (AB SCD),
⊥
do đó
.
A

BSC⊥

0,25
Mặt khác
,SC AH
⊥
suy ra S ( ).C ABH
⊥

0,25
Ta có:
33
,
23
aa
CD OC==
nên
22
33
.
3
a
SO SC OC=−=

Do đó
.11
4
SO CD a
DH
SC

==
.
Suy ra
2
11

28
ABH
a
SABDH
∆
==
1
0,25
5
(1,0 điểm)


Ta có
22
7
.
4
a
SH SC HC SC CD DH=− =− − =

Do đó
3
.
17

39
S ABH ABH
a11
6
HS
∆
==
VS

0,25
O
D
B
A
H
C
S

Trang 2/4
Với
và ta có:
0
xyz++=
222
1,xyz++=
2222 2
0( ) 2( )2 12 2 ,
x
yz x y z xyz yz x yz=++=+++ ++=−+

nên
2
1
.
2
yz x
=
−

Mặt khác
22 2
1
,
22
yz x
yz
+−
≤=
suy ra:
2
2
11
,
22
x
x
−
−≤ do đó
66
33

x−≤≤
(*).
0,25
Khi đó: P =
5223322
()()()
x
yzyz yzyz++ +− +

=
(
)
2
5222 2
1
(1 ) ( )( ) ( )
2
x
xyzyzyzyzx+− + + − + + −
⎡⎤
⎣⎦
x

=
(
)
(
)
2
52 22 2

11
(1 ) (1 )
22
x
xxxxx x
⎡⎤
+− − − + − + −
⎢⎥
⎣⎦
x
=
()
3
5
2.
4
x
x
−

0,25
Xét hàm
3
() 2
f
xx=−x
trên
66
;
33

,
⎡
⎤
−
⎢
⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
suy ra
2
'( ) 6 1;fx x
=
−

6
'( ) 0 .
6
fx x=⇔=±

Ta có
666
9
,
36
ff
⎛⎞⎛⎞
−= =−
⎜⎟⎜⎟

⎝⎠⎝⎠
66
.
36
ff
⎛⎞⎛ ⎞
=− =
⎜⎟⎜ ⎟
⎝⎠⎝ ⎠
6
9
Do đó
6
() .
9
fx≤

Suy ra
56
.
36
P ≤

0,25
6
(1,0 điểm)

Khi
6
,

36
xyz===−
6
thì dấu bằng xảy ra. Vậy giá trị lớn nhất của P là
56
.
36

0,25
(C
1
) có tâm là gốc tọa độ O. Gọi I là tâm của đường tròn (C)
cần viết phương trình, ta có
.
A
Trang 3/4
BOI
⊥
Mà
A
Bd
⊥
và
Od
∉
nên OI//d, do đó OI có phương trình y = x.
0,25
Mặt khác
2
()IC,

∈
nên tọa độ của I thỏa mãn hệ:
22
3
(3;3).
3
12 18 0
yx
x
I
y
xy x
=
⎧
=
⎧
⎪
⇔⇒
⎨⎨
=
+− +=
⎩
⎪
⎩

0,25
Do (C) tiếp xúc với d nên (C) có bán kính (, ) 2 2.RdId==
0,25
7.a
(1,0 điểm)

Vậy phương trình của (
C) là
22
(3)(3)8xy.
−
+− =
0,25
Gọi (S) là mặt cầu cần viết phương trình và I là tâm của (S).
Do
nên tọa độ của điểm I có dạng Id∈ (1 2 ; ; 2 ).Ittt
+
−
0,25
Do nên , ( )AB S∈
,
A
IBI=
suy ra .
222 2 2 2
(2 1) ( 1) 4 (2 3) ( 3) (2 2) 1tt ttt t t

−
+− + = + +− + + ⇒=−
0,25
Do đó và bán kính mặt cầu là ( 1; 1; 2)I −−
17.IA =

0,25
8.a
(1,0 điểm)

Vậy, phương trình mặt cầu (
S) cần tìm là
22 2
(1)(1)(2)17xyz++++− =.
0,25
Số cách chọn 4 học sinh trong lớp là
C

4
25
12650.=
0,25
Số cách chọn 4 học sinh có cả nam và nữ là
13 22 31
15 10 15 10 15 10
CC CC CC++
0,25
= 11075.
0,25
9.a

(1,0 điểm)

Xác suất cần tính là
11075 443
.
12650 506
P ==

0,25
B
A
I
d
(
C
2
)
(C)
(C
1
)
Trang 4/4
Giả sử
22
22
(): 1( 0).
xy
Ea
ab
b

+
=>>
Hình thoi ABCD có
2AC BD
=
và A, B, C, D thuộc (E) suy ra OA 2.OB=
0,25
Không mất tính tổng quát, ta có thể xem và ( ;0)Aa
(
)
0; .
2
a
B
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên AB,
suy ra OH là bán kính của đường tròn
()

22
: 4.Cx y+=
0,25

Ta có:
2222
11 1 1 14
.
4
OH OA OB a a
==+=+
2

0,25
7.b
(1,0 điểm)

Suy ra
do đó
b
Vậy phương trình chính tắc của (E) là
2
20,a =
2
5.=
22
1.
20 5
xy
+=

0,25
Do ,
B
Ox C Oy∈∈ nên tọa độ của B và C có dạng: Bb và Cc ( ; 0; 0) (0; ; 0).
0,25
Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, suy ra:
(
)
;;1.G

33

bc
0,25
Ta có
nên đường thẳng
AM có phương trình (1;2; 3)AM =−
JJJJG
3
.
12 3
xy
z
−
==
−

Do
G thuộc đường thẳng AM nên
2
.
36 3
bc
−
==
−
Suy ra
2b
=
và
4.c
=

0,25
8.b
(1,0 điểm)

Do đó phương trình của mặt phẳng (
P) là
1,
243
xyz
+
+=
nghĩa là ( ) : 6 3 4 12 0.Pxyz++−=
0,25
Phương trình bậc hai
2
23 4 0ziz−−=
có biệt thức
4.
∆
=

0,25
Suy ra phương trình có hai nghiệm:
1
13zi=+ và
2
13zi=− + .
0,25
• Dạng lượng giác của là

1
z
1
ππ
2cos sin .
33
zi
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

0,25
9.b
(1,0 điểm)

• Dạng lượng giác của là
2
z
2
2π 2π
2cos sin .
33
zi
⎛⎞
=+
⎜⎟
⎝⎠

0,25

O
H

x
y
D

A
B

C


HẾT
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯
ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐÁP ÁN – THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC NĂM 2013
Môn: TOÁN; Khối B
(Đáp án - thang điểm gồm 04 trang)


Câu
Đáp án Điểm
a. (1,0 điểm)
Khi m = −1 ta có
3
26yx x=−.

• Tập xác định:
.D = \
• Sự biến thiên:
- Chiều biến thiên:
2
'6 6;'0 1.yx y x=− =⇔=±
0,25
Các khoảng đồng biến: và (;1)−∞ − (1; );
+
∞ khoảng nghịch biến: (−1; 1).
- Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1, y
CT
= −4; đạt cực đại tại x = −1, y
CĐ
= 4.
- Giới hạn:
lim;lim.
xx
yy
→−∞ →+∞
=−∞ =+∞
0,25
- Bảng biến thiên:


Trang 1/4

0,25
• Đồ thị:

















0,25
b. (1,0 điểm)
Ta có hoặc
2
'6 6( 1) 6;'0 1yx mxmy x=−++ =⇔=
.
x
m
=

0,25
Điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là 1.m
≠

0,25
Ta có
32
(1; 3 1), ( ; 3 ).
A
mBmmm−−+
Hệ số góc của đường thẳng AB là
2
(1)km=− − .
Đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng
2yx
=
+ khi và chỉ khi 1k
=
−
0,25
1
(2,0 điểm)
0m⇔= hoặc 2.m
=

Vậy giá trị m cần tìm là hoặc
0m= 2.m
=

0,25
x
'y
y
−
∞

+ ∞
−1
1
0
0
+ +
−

+ ∞
−
∞

−
4
4
1
O
y

x

4
−

1
−4
Trang 2/4
Câu
Đáp án Điểm
Phương trình đã cho tương đương với sin5 cos 2 0xx
+
=
0,25
π
cos 5 cos 2
2
x
x
⎛⎞
⇔+=
⎜⎟
⎝⎠

0,25
π
522π ()
2
xxkk⇔+=±+ ∈]

0,25
2
(1,0 điểm)
π 2π
63

()
π 2π
14 7
xk
k
xk
⎡
=− +
⎢
⇔∈
⎢
⎢
=− +
⎢
⎣
]
.

0,25
22
22
233210
4424
xy xyxy
xyx xy xy
⎧
+− +−+=
⎪
⎨
−++= +++

⎪
⎩
(1)
(2)
0xy x y+≥ + ≥

Điều kiện:
. Từ (1) ta được 20,4 1yx
=
+ hoặc 21yx
0,25
.
=
+
• Với thay vào (2) ta được 1,yx=+
2
33315xx x x4
−
+= ++ +

2
3( ) ( 1 3 1) ( 2 5 4 ) 0xx x x x x⇔−++−+++−+=
2
11
()3
131 254
xx
xxx x
⎛⎞
⇔− + + =

⎜⎟
++ + + + +
⎝⎠
0,25
0

2
00
x
xx⇔−=⇔=
hoặc Khi đó ta được nghiệm (;1.x= )
x
y là và (0;1) (1; 2).
0,25
3
(1,0 điểm)
• Với thay vào (2) ta được 21yx=+,
33 4 1 9 4xx x
−
=+++

3(411)(942)0xx x⇔+ +−+ +−=

49
3
411 942
x
xx
⎛
⇔+ + =⇔=

⎜
++ + +
⎝⎠
00.x
⎞
⎟
Khi đó ta được nghiệm (; )
x
y là (0 ; 1).
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm
(; )
x
y của hệ đã cho là và (0;1) (1; 2).
0,25
Đặt
2
2dd.ttxx=−⇒=−tx
Khi 0
x
=
thì
2,t
khi
=
1
x
=
thì 1.t
=

0,25
Suy ra
2
2
1
dIt=
∫
4
t

0,25

2
3
1
3
t
=

0,25
(1,0 điểm)

22 1
.
3
−
=

0,25
Gọi H là trung điểm của AB, suy ra SH ⊥ AB và

3
.
2
a
SH =

Mà (SAB) vuông góc với (ABCD) theo giao tuyến AB, nên
SH ⊥ (ABCD).
0,25
Do đó
3
.
13

36
S ABCD ABCD
a
VS

HS==
0,25
Do AB || CD và H∈AB nên ( ,( )) ( ,( )).dASCD dH SCD=
Gọi K là trung điểm của CD và I là hình chiếu vuông góc
của H trên SK. Ta có HK⊥CD. Mà SH⊥CD ⇒ CD⊥(SHK)
⇒ CD ⊥ HI. Do đó HI ⊥(SCD).
0,25
5
(1,0 điểm)

Suy ra

22
.2
(,( )) .
7
SH HK a
dASCD HI
SH HK
== =
+
S
I

A

1

0,25
B

C
H

D

K

Trang 3/4
Câu
Đáp án Điểm
Ta có:

22
222
4244
()(2)(2)() 2(
22
ab c a b ab ac bc
abacbc ab abc
++ + + + +
+++≤+ = ≤++
).

0,25
Đặt
222
4,tabc=+++ suy ra và 2t >
2
49
.
2( 4)
P
t
t
≤−
−

Xét
2
49
() ,
2( 4)

ft
t
t
=−
−
với Ta có 2.t >
32
222 222
49 (4)(47416
'( ) .
(4) (4)
ttttt
ft
tt tt
−− + − −
=− + =
−−
)
.
Với t > 2 ta có
32 3
474164(4)(74)0ttt t tt
+
−−= −+ −> Do đó '( ) 0 4.ft t
=
⇔=
0,25
Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta được
5
.
8
P≤

0,25
6
(1,0 điểm)
Khi ta có 2abc===
5
.
8
P =
Vậy giá trị lớn nhất của P là
5
.
8

0,25
Gọi I là giao điểm của AC và BD⇒= .IB IC
Mà
IB IC
⊥
nên ΔIBC vuông cân tại I
n

o
45 .ICB⇒=
BH ⊥ AD ⇒ BH ⊥ BC⇒ ΔHBC vuông cân tại B
⇒ I là trung điểm của đoạn thẳng HC.
0,25

Do CH ⊥ BD và trung điểm I của CH thuộc BD nên tọa
độ điểm C thỏa mãn hệ
2( 3) ( 2) 0
32
26
22
xy
xy
+−−=
⎧
⎪
−+
⎨
⎛⎞
0.
+
−=
⎜⎟
⎪
⎩
⎝⎠

Do đó
(1;6).C

−

0,25
Ta có
1
3
3
IC IB BC
ID IC
ID ID AD
== =⇒=
22
10
10 5 2.
2
CH
CD IC ID IC⇒= + = = =

0,25
7.a
(1,0 điểm)
Ta có (6 2 ; )
D
tt− và
52CD
suy ra
=
22
1
(7 2 ) ( 6) 50

7.
t
tt
t
=
⎡
−+−=⇔
⎢
=
⎣

Do đó hoặc
(4;1)D (8;7).D −
0,25
(P) có véctơ pháp tuyến
(2;3; 1).n =−
JG
0,25
Đường thẳng Δ qua A và vuông góc với (P) nhận
n
J
G
làm véctơ chỉ phương, nên có phương trình
35
.
23
1
x
yz−−
==

−

0,25
Gọi B là điểm đối xứng của A qua (P), suy ra B thuộc Δ. Do đó (3 2 ;5 3 ; ).
B
ttt
+
+−
0,25
8.a
(1,0 điểm)
Trung điểm của đoạn thẳng AB thuộc (P) nên
10 3
2(3 ) 3 7 0 2.
22
tt
tt
+−
⎛⎞⎛⎞
+
+−−=⇔
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
=−

Do đó
(1;1;2).B −−
0,25
Số cách chọn 2 viên bi, mỗi viên từ một hộp là: 7.6 42.
=

0,25
Số cách chọn 2 viên bi đỏ, mỗi viên từ một hộp là: 4.2 8.
=

0,25
Số cách chọn 2 viên bi trắng, mỗi viên từ một hộp là: 3.4 12.
=

0,25
9.a
(1,0 điểm)
Xác suất để 2 viên bi được lấy ra có cùng màu là:
812 10
.
42 21
p
+
==

0,25
A
D
B
C
H
I
t
()
2

+ ∞
4
0
+
−
f
t
−
∞

5
8
0
f
'( )t
Trang 4/4
Câu
Đáp án Điểm
Ta có
HAH
∈
và
A
HHD
⊥
nên AH có phương trình:
230xy .
+
−= Do đó (3 2 ; ).Aaa
−

0,25
Do M là trung điểm của AB nên MA = MH.
Suy ra
22
(3 2 ) ( 1) 13 3aa a
−
+− =⇔=
hoặc
1
.
5
a =−

Do
A khác H nên (3;3).A
−

0,25
Phương trình đường thẳng AD là 30.y
−
= Gọi N là điểm đối xứng
của
M qua AD. Suy ra
N
AC
∈
và tọa độ điểm N thỏa mãn hệ
1
30

2
1. 0.( 1) 0
y
xy
+
⎧
−=
⎪
⎨
⎪
+
−=
⎩
(0;5).N⇒
0,25
7.b

Đường thẳng
AC có phương trình: 23150xy
(1,0 điểm)
.
−
+=
Đường thẳng
BC có phương trình: 27xy 0.
−
−=
Suy ra tọa độ điểm
C thỏa mãn hệ:
270

2 3 15 0.
xy
xy
−
−=
⎧
⎨
−
+=
⎩

Do đó
C (9;11).
0,25
Ta có vectơ chỉ phương của Δ là
(
2;3; 2 ,AB=−
JJJG
)
(2;1;3).u =−
J
G

0,25
Đường thẳng vuông góc với AB và Δ, có vectơ chỉ phương là
,.vABu
=
⎡⎤
⎣
⎦

J
G JJJGJG

0,25
Suy ra
v

()
7; 2; 4 .=
JG
0,25
8.b
(1,0 điểm)
Đường thẳng đi qua A, vuông góc với AB và Δ có phương trình là:
11
.
724
xyz
1
−
+−
==

0,25
Điều kiện: Hệ đã cho tương đương với 1; 1.xy>>−
2
33
241
log( 1) log( 1)
xyx

xy
+=−
⎧
⎨
−
=+
⎩

0,25
2
230
2
xx
yx
−−=
⎧
⇔
⎨
=−
⎩

0,25
1, 3
3, 1.
xy
xy
=− =−
⎡
⇔
⎢

==
⎣

0,25
9.b
(1,0 điểm)
Đối chiếu điều kiện ta được nghiệm (; )
x
y của hệ đã cho là (3 ;1).
0,25

Hết
D
B C H
M
N
A
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM
ĐỀ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2008
Môn: TOÁN, khối B
(Đáp án - Thang điểm gồm 04 trang)

Câu Nội dung Điểm
I 2,00
1
Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1,00 điểm)

•
TXĐ :
.\
•
Sự biến thiên : ,
2
y' 12x 12x=−
x0
y' 0
x1
=
⎡
=⇔
⎢
=
⎣
.
0,25
•
y
CĐ
= y(0) = 1, y
CT
= y(1) = −1.

0,25

•
Bảng biến thiên :

0,25


•
Đồ thị :






Trang 1/4



0,25
2
Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số (1) (1,00 điểm)

Đường thẳng với hệ số góc k và đi qua điểm có phương trình :

Δ
(
M1;9−−
)

.ykxk9=+−
Δ là tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có
nghiệm :
() ()
()
32
2
4x 6x 1 k x 1 9 2
12x 12x k 3
⎧
−+= +−
⎪
⎨
−=
⎪
⎩
Thay k từ (3) vào (2) ta được :
()
()
32 2
4x 6x 1 12x 12x x 1 9−+= − +−
()( )
2
x1 4x5 0⇔+ −=
x1
5
x.
4
=−
⎡

⎢
⇔
⎢
=
⎣

0,50










y’ + 0
−
0 +
x
−∞
0 1
y
1
1−
−∞
+∞
+∞
O

y
x
1
−1
1
•
Với thì , phương trình tiếp tuyến là : x=−1 k24=
y 24x 15.=+
•
Với
5
x
4
=
thì
15
k
4
=
, phương trình tiếp tuyến là :
15 21
yx
44
=−
.

Các tiếp tuyến cần tìm là : và
y24x15=+
15 21
yx

44
=−
.

0,50
II

2,00
1
Giải phương trình lượng giác (1,00 điểm)


Phương trình đã cho tương đương với

22 22
sinx(cos x sin x) 3 cos x(cos x sin x) 0−+ −=

cos2x(sin x 3 cosx) 0.⇔+=
0,50

k
cos2x 0 x .
42
ππ
•=⇔=+

sinx 3cosx 0 x k .
3
π
•+ =⇔=−+

π

Nghiệm của phương trình là
k
x,
42
ππ
=+

xk
3
π
=− + π

(k ).∈]
0,50
2
Giải hệ phương trình (1,00 điểm)

Hệ phương trình đã cho tương đương với
22
2
(x xy) 2x 9
x
xy 3x 3
2
⎧
+=+
⎪
⎨

=+−
⎪
⎩

2
2
2
x
x3x3 2x
2
⎛⎞
⇒ ++− =+
⎜⎟
⎝⎠
9
.

43 2
x 12x 48x 64x 0⇔+ + + =

3
x(x 4) 0⇔+=
x0
x4
=
⎡
⇔
⎢
=−
⎣

0,50



x0•=
không thỏa mãn hệ phương trình.
17
x4y
4
•=−⇒ =
.

Nghiệm của hệ phương trình là
17
(x;y) 4; .
4
⎛⎞
=−
⎜⎟
⎝⎠

0,50
III

2,00
1
Viết phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C (1,00 điểm)

Ta có
()

AB 2; 3; 1 ,=−−
JJJG
(
AC 2; 1; 1 ,=− − −
Trang 2/4
)
J
JJG
tích có hướng của hai vectơ
là
AB, AC
JJJG JJJG
()
n2;4;8=−
G
.
0,50

Mặt phẳng đi qua ba điểm A, B, C nhận
n
G
làm vectơ pháp tuyến nên có
phương trình

()()()
2x 0 4y 1 8z 2 0−+ −− −=

x2y4z60⇔+ − +=.

0,50

2
Tìm tọa độ của điểm M (1,00 điểm)


Ta có nên điểm M thuộc đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
(ABC) tại trung điểm của BC.
AB.AC 0=
JJJG JJJG
(
I0; 1;1−
)
0,50


Tọa độ của điểm M thỏa mãn hệ phương trình
2x 2y z 3 0
xy1z1
.
12 4
++−=
⎧
⎪
+−
⎨
==
⎪
−
⎩

0,50

Suy ra
()
M2;3; 7.−
IV

2,00
1
Tính tích phân (1,00 điểm)

Đặt ⇒
tsinxcosx=+
dt (cosx sinx)dx 2 sin x dx.
4
π
⎛⎞
=− =− −
⎜⎟
⎝⎠

Với x = 0 thì t = 1, với
x
4
π
=
thì t2= .
0,25

Ta có
2
sin2x 2(1 sinx cosx) (t 1) .++ + =+
Suy ra
2
2
1
2dt
I
2
(t 1)
=−
+
∫

2
1
21
2t 1
=
+

0,50

ơ

21 1432
.

22
21
−
⎛⎞
=−=
⎜⎟
+
⎝⎠
4

0,25
2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức (1,00 điểm)

22
222
2(x 6xy) 2(x 6xy)
P.
12xy2y x y 2xy2y
++
==
++ +++
Trang 3/4
2
.
.
,

•
Nếu thì Suy ra P = 2.

y0=
2
x1=
•
Xét Đặt khi đó
y0≠
xty=
2
2
2t 12t
P
t2t
+
=
++
3
,
⇔ (1).
2
(P 2)t 2(P 6)t 3P 0−+−+=
− Với phương trình (1) có nghiệm
P2=
3
t.
4
=

− Với phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi

P2≠ ,

.
2
'2P6P360 6P3Δ=− − + ≥ ⇔− ≤ ≤

0,50



P3=
khi
3
x,y
10 10
==
1
hoặc
31
x,y
10 10
=− =−
.
6

P=−
khi
32
x,y
13 13
==−
hoặc

32
x,y
13 13
=− =
.

Giá trị lớn nhất của P bằng 3, giá trị nhỏ nhất của P bằng − 6.
0,50
V.a

2,00
1
Chứng minh công thức tổ hợp (1,00 điểm)

Ta có:
kk1
n1 n1
n1 1 1
n2C C
+
++
⎛⎞
+
+=
⎜⎟
+
⎝⎠
n 1 k!(n 1 k)! (k 1)!(n k)!
.
n2 (n1)!

++−++−
++


0,50




[]
1k!(nk)!
.(n1k)(k
n2 n!
−
=+−
+
1)++


k
n
k!(n k)! 1
.
n! C
−
==

0,50
2
Tìm tọa độ đỉnh C (1,00)

• Ký hiệu Gọi là điểm đối
xứng của H qua . Khi đó thuộc đường thẳng AC.
1
d: x y 2 0,−+=
2
d:4x 3y 1 0.+−=
H'(a;b)
1
d H'
• là vectơ chỉ phương của u(1;1=
G
)
1
d, HH' (a 1;b 1)=+ +
J
JJJG
vuông góc với
và trung điểm I
u
G
a1b1
;
22
−−
⎛
⎞
⎜
của thuộc Do đó tọa độ của H' là
nghiệm của hệ phương trình

⎟
⎝⎠
HH '
1
d.
1(a 1) 1(b 1) 0
a1 b1
20
22
++ +=
⎧
⎪
⎨
−−
−+=
⎪
⎩

()
H' 3;1 .⇒ −

0,50

• Đường thẳng AC đi qua vuông góc với nên có vectơ pháp tuyến là
và có phương trình
H'
2
d
v(3;4)=−

G
3(x 3) 4(y 1) 0 3x 4y 13 0.+− −=⇔ − +=
• Tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình
3x 4y + 13 = 0
xy20
−
⎧
⎨
−+=
⎩
A(5;7).⇒

• Đường thẳng CH đi qua với vectơ pháp tuyến
(
H1;1−−
)
1
HA
2
JJJG
= (3 ; 4)
nên có phương trình 3(x + 1) + 4(y + 1) = 0 3x + 4y +7 = 0.
⇔
• Tọa độ của C là nghiệm của hệ phương trình
3x 4y 7 0
3x 4y 13 0.
++=
⎧
⎨
−+=

⎩
Suy ra C
10 3
;.
34
⎛⎞
−
⎜⎟
⎝⎠

0,50
V.b

2,00
1
Giải bất phương trình (1,00 điểm)

Trang 4/4
Bất phương trình đã cho tương đương với

2
6
xx
log 1
x4
+
>
+

2

xx
6
x4
+
⇔>
+


0,50


2
x5x24
0
x4
−−
⇔>
+

()()
x3x8
0.
x4
+−
⇔>
+

Tập nghiệm của bất phương trình là :
()

(
4; 3 8; .−− ∪ +∞
)
0,50
2
Tính thể tích và tính cosin của góc giữa hai đường thẳng (1,00 điểm)
Gọi H là hình chiếu của S trên AB, suy ra
SH
Do đó SH là
đường cao của hình chóp S.BMDN.
()
ABCD .⊥
2
SB a 3a AB+=+=
Ta có:
SA
nên tam giác SAB vuông tại S, suy ra
2222
AB
SM a.
2
==
Do đó tam giác đều, suy ra
SAM
a3
SH .

2
=
Diện tích tứ giác BMDN là

2
BMDN ABCD
1
SS
2
==
2a.

Thể tích khối chóp S.BMDN là
BMDN
1
VSH.S
3
=
3
a3
3
=
(đvtt).

0,50













S
A
B
C
H
M
N
E
D

Kẻ
(E AD)∈
ME // DN

a
AE
Đặt
.
2
=
ϕ
là góc giữa hai đường thẳng SM và DN. Ta có
suy ra
n
(SM, ME) .=
ϕ
Theo định lý ba đường vuông góc ta có
SA

AE⊥
0,50
22
a5
SE SA AE ,
2
=+=
22
a5
ME AM AE .
2
=+=
Suy ra

a

5
2
n
SME =
ϕ
Tam giác SME cân tại E nên
và
cos

.
5
a5
2
ϕ= =

NÕu thÝ sinh lµm bµi kh«ng theo c¸ch nªu trong ®¸p ¸n mµ vÉn ®óng th× ®−îc ®ñ ®iÓm tõng phÇn
nh− ®¸p ¸n quy ®Þnh.
Hết