Word_Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng

LỜI NÓI ĐẦU
Nhằm mục đích giúp cho học sinh ôn tập để thi học kỳ đồng thời
chúng tôi muốn góp một phần nhỏ vào việc ôn thi tốt nghiệp THPT và
thi tuyển sinh đại học & cao đẳng, nên chúng tôi đã biên soạn nên một
chuyên đề ngắn mang tên “Chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt
phẳng”. Nội dung tập chuyên đề gồm bảy chương:
Chương 1: Một vài khái niệm mở đầu
Chương 2: Đường thẳng trong mặt phẳng
Chương 3: Đường tròn
Chương 4: Đường Elip
Chương 5: Hypebol
Chương 6: Đường Parabol
Chương 7: Ba đường conic
Mỗi chương được trình bày gồm: Trọng tâm kiến thức-phương pháp
giải các dạng toán cơ bản-Bài tập mẫu (bài tập áp dụng)-Bài tập tự
luyện. Phần bài tập được sắp xếp từ cơ bản đến nâng cao giúp học sinh
có thể ôn tập phù hợp với mức khả năng của mình. Sau mỗi chương sẻ
có bài tập tổng hợp đề học sinh củng cố kiến thức.
Hy vọng rằng tập chuyên đề này giúp học sinh ôn tập đúng trọng
tâm và đạt hiệu quả. Các thầy cô giáo có thêm tài liệu để hướng dẫn
học sinh ôn tập.
Mặt dù có nhiều cố gắng trong việc biên soạn, nhưng đây là lần đầu
tiên biên soạn nên không thể tránh được các thiếu sót. Chúng tôi rất
mong sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn đọc để lần biên
tập sau này được hoàn thiện hơn.
Mọi ý kiến đóng góp xin liện hệ:
Nhóm học sinh trường THPT Thanh Bình 1
• Điện thoại: 01658828887
• Email: (gặp tổng biên)
Xin chân thành cảm ơn!
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!

CHƯƠNG I: MỘT VÀI KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
Bài 1: Tọa độ của véc tơ – Tọa độ của điểm
A. Kiến thức cơ bản:
1. Hệ tọa độ Đề các vuông góc:
* Hệ gồm 2 trục Ox và Oy vuông góc với nhau tại O
được gọi là hệ tọa độ Đề các vuông góc Oxy.
( gọi tắt là: hệ tọa độ Oxy).
* Trong đó: O là gốc tọa độ;
Ox: trục hoành; Oy: trục tung.
* Trên Ox có véc tơ đơn vị
i
; trên Oy có véc tơ đơn
vị
j
(
1== ji
).
2. Tọa độ của véc tơ:
a. Định nghĩa: Trong hệ tọa độ Oxy, cho véc tơ
u
tùy ý, khi đó tồn tại duy nhất
cặp số (x; y) sao cho:
u
= x
i
+ y
j
. Cặp số (x; y) được gọi là tọa độ của véc tơ
u
.

Kí hiệu:
u
=(x; y) hoặc
u
(x; y).
b. Các tính chất: Cho
u
=(x
1
; y
1
),
v
=(x
2
; y
2
) và k
∈
R, ta có:
u
+
v
= (x
1
+ x
2
; y
1
+

y
2
)
u
.
v
= x
1
.x
2
+ y
1
.y
2
u
⊥
v
⇔
u
.
v
= 0
⇔
x
1
.x
2
+ y
1
.y

2
=
0
u
–
v
= (x
1
– x
2
; y
1
–
y
2
)
2
1
2
1
yxu +=
u
//
v

⇔
u
= k
v
⇔

x
1
.y
2
= x
2
.y
1
k
u
= (kx
1
; ky
1
)
vu
vu
vu
.
.
),cos( =
u
=
v

⇔



=

=
21
21
yy
xx
3. Tọa độ của điểm:
a. Định nghĩa: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M tùy ý, khi đó tọa độ của véc tơ
OM
được gọi là tọa độ của điểm M.
Kí hiệu: M=(x; y)
⇔
OM
=(x; y)
⇔
OM
= x
i
+ y
j
. (hoặc M(x; y))
b. Các tính chất: Cho điểm A=(x
1
; y
1
), B=(x
2
; y
2
), ta có:
AB

= (x
2
– x
1
; y
2
– y
1
)
AB = BA =
2
12
2
12
)()( yyxxAB −+−=
Tọa độ trung điểm M của đoạn thẳng
AB là:
)
2
;
2
(
2121
yyxx
M
++
=
Tọa độ của điểm M chia đoạn thẳng
AB theo tỉ số k(
MA

= k
MB
, k
≠
1), là:
)
1
;
1
(
2121
k
kyy
k
kxx
M
−
−
−
−
=
B. Bài tập áp dụng:
I. Bài tập tự luận:
Bài 1: Cho 3 véc tơ
a
=(3; 7),
b
=(- 3; - 1),
c
=(- 2; - 5).

1.1). Tìm tọa độ các véc tơ sau:
a
+
b
;
b
- 2
c
;
a
- 2
b
+ 3
c
.

x
y
O
2
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
1.2). Tìm độ dài các véc tơ sau:
a
-
b
;
a
-
b
+

c
; 2
a
- 3
c
.
1.3). Tìm cosin góc giữa các véc tơ sau:
a
+
b
và
a
-
b
;
a
-
b
+
c
và
b
+ 2
c
.
1.4). Xác định các số m và n để:
c
= m
a
+ n

b
.
1.5). Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để:
a
⊥
( m
b
- 2n
c
).
1.6). Tìm tọa độ véc tơ
d
, sao cho:
d
.
a
= 17 và
d
.
b
= - 5.
Áp dụng: Giải bài tập 1 với các giải thiết sau:
a
=(3; 2),
b
=(- 1; 5),
c
=(- 2; - 5).
Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy cho 3 điểm: A(- 4; 1),
OB

= 2
i
+ 4
j
, C(2; - 2).
2.1). Chứng minh A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác.
2.2). Tính chu vi và diện tích của của tam giác ABC.
2.3). Xác định tọa độ các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA.
2.4). Xác định tọa độ điểm E thỏa mãn hệ thức:
EBEA 2=
.
2.5). Xác định tọa độ điểm F thỏa mãn hệ thức:
ABFCFBFA =++ 32
.
2.6). Xác định tọa độ điểm D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành.
Áp dụng: Giải bài tập 2 với các giả thiết sau:
a).
OA
= -
i
+ 2
j
,
OB
= 5
i
+ 7
j
,
OC

= 4
i
- 3
j
.
b). A(- 1; 2), B(5; 7), C(4; -3).
c). A(- 3; 4), B(- 5; - 1), C(4; 3).
Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm M(x; y). Tìm tọa độ của các điểm sau:
3.1). Điểm M
1
đối xứng với điểm M qua trục Ox.
3.2). Điểm M
2
đối xứng với điểm M qua trục Oy.
3.3). Điểm M
3
đối xứng với điểm M qua gốc tọa độ O.
3.4). Điểm M
4
đối xứng với điểm M qua phân giác của góc phần tư thứ nhất và thứ
ba.
3.5). Điểm M
5
đối xứng với điểm M qua phân giác của góc phần tư thứ hai và
thứ tư.
Áp dụng: Giải bài tập 3 với các giả thiết sau: A(- 1; 2) và B(4; - 2).
Bài 4: Cho hình thoi ABCD có A(1; 3), B(4; - 1), E(m; 3)
4.1). Cho AD // Ox và x
D
< 0. Tìm tọa độ đỉnh C và D?

4.2). Gọi K là tâm của hình thoi, xác định tọa độ điểm H để tứ giác AKBH là hình chữ
nhật.
4.3). Tìm tọa độ đỉnh E và F để tam giác AEF đều, biết F
∈
Ox.
Bài 5: Cho hình bình hành ABCD có diện tích S = 4, A(1; 0), B(2, 0) và tâm của
hình bình hành I(a; a). Tìm tọa độ 2 đỉnh C, D ?
Bài 6: (ĐH A05) Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(m; m), C(n; 1 – 2n), B và D thuộc Ox.
Xác định tọa độ A, B, C, D để tứ giác ABCD là hình vuông.
Bài 7: (No 95) Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 1), B(b, 3), C(c; 0). Tìm B, C để
tam giác ABC đều ?.
Bài 8: (No 00) Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(- 2; 0), B(2; 0), M(x; y). Xác định tọa độ
của M nằm phía trên Ox, sao cho
∠
AMB = 90
0
,
∠
MAB = 30
0
.
Bài 9: (Mỏ 01) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình thang cân ABCD(AB//CD), biết
A(10; 5), B(15; -5), D(- 20; 0). Tìm đỉnh C ?.
Bài 10: (GT 01) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có diện tích S = 4,
tọa độ A(1; 0), B(2; 0) và tâm I(a; a). Tìm tọa độ C, D ?.
Bài 11: (AG 00) Trong hệ tọa độ Oxy, cho hình thoi ABCD, có A(1; 3), B(4; -1).
Xác định tọa độ đỉnh C, D biết AD//Ox và x
D
< 0.

3
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
Bài 2: Tọa độ các điểm trong tam giác
A. Kiến thức cơ bản:
1. Trọng tâm G của tam giác ABC:
Cách 1:(Khi biết tọa độ 3 đỉnh)
Tọa độ G(x
G
; y
G
) được xác định bởi hệ thức:
3
CBA
G
xxx
x
++
=
3
CBA
G
yyy
y
++
=
Cách 2: (Khi biết phương trình các đường trung tuyến)
 Giải hệ PT tạo bởi 2 trong 3 đường trung tuyến.
* Chú ý: Ta cũng có thể xác định tọa độ trọng tâm G theo các nhận xét sau:
- Nếu M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, CA thì tọa độ trọng tâm G là
trọng tâm của tam giác MNP.

- Nếu M là trung điểm BC thì:
GMGA 2−=
.
2. Trực tâm H của tam giác ABC:
Cách 1: (Khi biết tọa độ 3 đỉnh)
Tọa độ trực tâm H được xác định bởi hệ thức:





=
=
⇔



⊥
⊥
0.
0.
ACBH
BCAH
ACBH
BCAH
(Thu gọn hệ thức trên ta được HPT bậc nhất 2
ẩn)
Cách 2(Khi biết phương trình các đường cao)
 Giải hệ PT tạo bởi 2 trong 3 đường cao.
* Chú ý: Tìm tọa độ chân đường cao K hạ từ đỉnh A.

Cách 1: Tọa độ K xác định bởi hệ thức:





=
⇔



⊥
BCBK
BCAK
BCBK
BCAK
//
0.
//
Cách 2: K là giao điểm của 2 đường thẳng: cạnh BC và đường cao AH.
3. Tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC:
Cách 1:(Khi biết tọa độ 3 đỉnh)
Tọa độ tâm I được xác định bởi hệ thức:




=
=
⇔




=
=
22
22
ICIA
IBIA
ICIA
IBIA
Cách 2:(Khi biết tọa độ 3 trung điểm)
Tọa độ tâm I được xác định bởi hệ thức:






=
=
⇔



⊥
⊥
0.
0.
MPIN

NPIM
MPIN
NPIM
(Thu gọn các hệ thức trên ta được HPT bậc nhất 2 ẩn)
Cách 3: (Khi biết phương trình các đường trung trực)
 Giải hệ PT tạo bởi 2 trong 3 đường trung trực.
4. Tâm J đường tròn nội tiếp tam giác ABC:
Cách 1: (Khi biết tọa độ 3 đỉnh)
Tiến hành theo 2 bước sau:

4
A
A
B
C
M
N
P
I
A
B
C
H
K
A
P
C
N
M
M

0
G
B
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
- Xác định tọa độ điểm D(
∈
BC) là chân đường
phân giác trong của góc A, từ hệ thức:
DC
AC
AB
DB −=
.
- Xác định tọa độ tâm J từ hệ thức:
JD
BD
BA
JA −=
.
Cách 2: (Khi biết phương trình các đường phân giác)
 Giải hệ PT tạo bởi 2 trong 3 đường phân giác.
*Chú ý: Để hiểu thêm các phương pháp về lập phương trình các đường phân giác
trong mặt phẳng xin đọc thêm trong cuốn: “Bài toán đường phân giác trong mặt
phẳng” của cùng tác giả.
B. Bài tập áp dụng:
I. Bài tập tự luận:
Bài 1: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có: A(- 1; 2), B(5; 7), C(4; -3).
1.1). Tính chu vi và diện tích tam giác ABC.
1.2). Tìm tọa độ trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC.
1.3). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác ABC.

Áp dụng: Giải bài tập 1 với các giả thiết sau:
a). A(- 3; 4), B(- 5; - 1), C(4; 3).
b). A(- 4; 1), B(2; 4), C(2; - 2).
c). A(2; 4), B(4; 8), C(13; 2).
Bài 2: (ĐH A04) Trong hệ tọa độ Oxy cho A(0; 2), B(-
3
; - 1). Tìm tọa độ trực tâm
và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AOB.
Bài 3: (ĐH D04) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(- 1; 0), B(4; 0), C(0;
m), m
≠
0. Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC theo m, và xác định m để tam
giác ABG vuông tại G.
Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh C(- 2; - 4), trọng tâm G(0;
4), trung điểm cạnh BC là M(2; 0). Xác định tọa độ các đỉnh A và B?
Bài 5: (ĐH B03) Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có AB =AC,
∠
BAC =
90
0
, trung điểm của BC là M(1; -1), trọng tâm của tam giác ABC là G(2/3; 0). Tìm
A, B, C ?.
Bài 6: (CT 95) Cho tam giác ABC có diện tích S = 3/2, A(2; - 3), B(3; -2), trọng tâm
G(m; 3m - 8). Tìm tọa độ đỉnh C ?.

A
B
CD
J
5

Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
CHƯƠNG II: ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG
Bài 3: Véc tơ chỉ phương – Véc tơ pháp tuyến
Phương trình đường thẳng
A. Kiến thức cơ bản:
1. Véc tơ chỉ phương:
Định nghĩa: Véc tơ
u
≠
0
được gọi là véc tơ chỉ
phương của đường thẳng d nếu
u
//d.
Nhận xét:
- Nếu
u
là Vtcp của d thì k
u
(k
≠
0) cũng là Vtcp của d.
- Đường thẳng d hoàn toàn xác định nếu biết Vtcp
u
và một điểm M
0
.
2. Véc tơ pháp tuyến:
Định nghĩa: Véc tơ
n

≠
0
được gọi là véc tơ pháp
tuyến của đường thẳng d nếu
n
⊥
d.
Nhận xét:
- Nếu
n
là Vtpt của d thì k
n
(k
≠
0) cũng là Vtpt của d.
- Đường thẳng d hoàn toàn xác định nếu biết Vtpt
n
và một điểm M
0
.
* Quan hệ giữa Vtpt
n
và Vtcp
u
:
n
⊥
u
- Nếu
u

=(a; b) thì
n
= (b; - a) hoặc
n
=(- b; a).
- Nếu
n
=(A; B) thì
u
=(B; - A) hoặc
u
=(- B; A) .
3. Các dạng phương trình đường thẳng:
3.1). Phương trình tổng quát:
a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A
2
+ B
2
≠
0).
b). Nhận xét:
- Đường thẳng d có Vtpt
n
=(A; B).
- Nếu d có Vtpt
n
=(A; B) thì d có phương trình dạng: Ax + By + m = 0
- Điểm M(x
0
; y

0
)
∈
d
⇔
Ax
0
+ By
0
+ C = 0.
- Nếu A = 0, B
≠
0, thì d có PT dạng: By + C = 0 (d // hoặc trùng Ox).
- Nếu A
≠
0, B = 0, thì d có PT dạng: Ax + C = 0 (d // hoặc trùng Oy).
- Nếu C = 0, thì d có PT dạng: Ax + By = 0 (d đi qua gốc tọa độ O(0; 0)).
- Nếu B
≠
0 thì d có PT dạng: y = -
B
A
x -
B
C
; khi đó giá trị k = -
B
A
được gọi là
hệ số góc của đường thẳng d.

3.2). Phương trình tham số:
a). Dạng:
)(
0
0
Rt
btyy
atxx
∈



+=
+=
, (d) (điều kiện: a
2
+ b
2
≠
0)
b). Nhận xét:
- Đường thẳng d có Vtcp
u
=(a; b) và đi qua điểm M(x
0
; y
0
).
- Với mỗi giá trị t = t
0

tùy ý, ta có M(x
0
+ at
0
; y
0
+ bt
0
)
∈
d.
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) thì d có PTTQ dạng: bx – ay + m = 0.
- Khử t trong PTTS của d ta có được PTTQ ; ngược lại đặt x =f(t)

d
M
0
n
6
M
0
u
d
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
( hoặc y = f(t)) trong PTTQ ta sẽ có được PTTS của d.
3.3). Phương trình chính tắc:
a). Dạng:
b

yy
a
xx
00
−
=
−
(d), (điều kiện a.b
≠
0).
b). Nhận xét:
- Đường thẳng d có Vtcp
u
=(a; b) và đi qua điểm M(x
0
; y
0
).
- Rút t từ PTTS ta được PTCT; Thu gọn PTCT của d ta được PTTQ.
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) mà a.b = 0 thì d không có phương trình chính tắc.
- Quy ước: nếu a = 0 thì d có PT: x – x
0
= 0, còn nếu b = 0 thì d có PT:
y – y
0
= 0.
3.4). Phương trình theo đoạn chắn:
a). Dạng:

1=+
b
y
a
x
(d), (điều kiện a.b
≠
0).
b). Nhận xét:
- PTTĐC là dạng đặc biệt của PTTQ của d.
- Đường thẳng d có Vtpt
n
=(1/a; 1/b) và cắt Ox tại A(a; 0), cắt Oy tại B(0; b).
3.5). Phương trình pháp dạng:
a). Dạng: Ax + By + C = 0, (d) (điều kiện: A
2
+ B
2
= 1).
b). Nhận xét:
- PTPD là dạng đặc biệt của PTTQ của d.
B. Các dạng bài tập cơ bản:
 Xác định Vtcp, Vtpt của một đường thẳng.
 Biết chuyển đổi giữa các dạng phương trình đường thẳng.
 Tìm điểm thuộc đường thỏa yêu cầu nào đó.
C. Bài tập áp dụng:
I. Bài tập tự luận:
Bài 1: Xác định véc tơ chỉ phương, véc tơ pháp tuyến, và 2 điểm A, B phân biệt
thuộc các đường thẳng có PT sau:
1.1).




−−=
+=
ty
tx
35
21
1.2).



−=
−=
3
21
y
tx
1.3).
3
3
1
5 +
=
−
− yx
1.4).
52
4

−
=
+ yx
1.5).
052 =+− yx
1.6).
0654 =−+ yx
Áp dụng: Giải bài tập 1 với các giả thiết từ: 2.1 đến 2.6
Bài 2: Chuyển dạng của các PT sau: (Tổng quát
⇔
Tham số
⇔
Chính tắc
⇔
Đoạn
chắn)
2.1). x + 5y + 1 = 0 2.2). 3x – 4y – 3 = 0
2.3).



+=
−=
ty
tx
42
2
2.4).




−=
+=
ty
tx
37
43
2.5).
4
4
3
2
−
+
=
− yx
2.6).
2
1
7
3
−
−
=
+ yx
Áp dụng: Giải bài tập 2 với các giả thiết từ: 1.1 đến 1.6
Bài 3: Cho hai điểm A(- 1; 2), B(3; 1), C( -3; 5) và đường thẳng d:




+=
+=
ty
tx
2
1
3.1). Tìm trên d điểm P sao cho P cách A một khoảng bằng
10

7
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
3.2). Tìm điểm Q trên d sao cho đoạn BQ ngắn nhất.
3.3). Tìm điểm M trên d sao cho tam giác ABM cân.
3.4). Tìm điểm N trên d sao cho tam giác ABN đều.
3.5). Tìm điểm E trên d sao cho
EBEA 2+
nhỏ nhất.
3.6). Tìm điểm F trên d sao cho
FCFBFA 32 +−
nhỏ nhất.

8
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
Bài 4: Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Phương trình chùm đường thẳng
A. Kiến thức cơ bản:
1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:
d
1

: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 và d
1
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
Xét hệ phương trình tạo bởi phương trình 2 đường thẳng d
1
, d
2
. Xẩy ra 3 khả năng
sau:
- Hệ PT vô nghiệm thì d
1
// d
2
.
- Hệ PT có nghiệm duy nhất (x
0
; y
0

) thì d
1
, d
2
cắt nhau tại 1 điểm M(x
0
; y
0
).
- Hệ PT có vô số nghiệm thì d
1
, d
2
trùng nhau.
Nhận xét:
- Nên đưa PT của d
1
, d
2
về cùng dạng TQ hoặc một TQ, một TS trước khi xét
hệ.
- Dấu hiệu nhận biết:
 Nếu A
1
/A
2

≠
B
1

/B
2
thì d
1
, d
2
cắt nhau.
 Nếu A
1
/A
2
= B
1
/B
2
≠
C
1
/C
2
thì d
1
, d
2
song song.
 Nếu A
1
/A
2
= B

1
/B
2
= C
1
/C
2
thì d
1
, d
2
trùng nhau.
- Nên dùng dấu hiệu nhận biết để kiểm tra vị trí tương đối của d
1
, d
2
; nếu chúng
cắt nhau thì xét hệ để tìm tọa độ giao điểm.
2. Phương trình chùm đường thẳng:
Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:
d
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 và d
1

: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0
Nếu d
1
và d
2
cắt nhau thì mọi đường thẳng qua giao điểm của d
1
và d
2
có phương
trình dạng: m(A
1
x + B
1
y + C
1
) + n(A
2
x + B
2
y + C
2
) = 0, (điều kiện: m
2

+ n
2
≠
0).
Nhận xét:
Sử dụng phương trình chùm đường thẳng để viết phương trình đường thẳng
qua giao điểm của hai đường thẳng mà không cần phải tìm tọa độ giao điểm
của hai đường thẳng đó.
B. Các dạng bài tập:
 Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng.
 Định tham số để hai đường thẳng thỏa yêu cầu về một vị trí tương đối nào đó.
 Lập phương trình đường thẳng qua giao điểm của hai đường thẳng.
 Tìm điểm cố định của họ đường thẳng.
C. Bài tập áp dụng:
I. Bài tập tự luận:
Bài 1: Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau và tìm tọa độ giao điểm của
chúng(nếu có):
1.1). d
1
: 4x – 10y + 1 = 0 Và d
2
: x + y + 2 = 0
1.2). d
1
: 12x – 6y + 10 = 0 Và d
2
:
2
9
1

2 −
=
− yx
1.3). d
1
: 8x + 10y – 12 = 0 Và d
2
:



−=
+−=
ty
tx
46
56
1.4). d
1
:



−−=
+=
ty
tx
33
21
Và d

2
:



−=
−=
ty
tx
21
1

9
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
1.5). d
1
:



+=
=
ty
tx
1
2
Và d
2
:
2

3
4
2
−
−
=
− yx
1.6). d
1
:
5
3
1
2 +
=
−
+ yx
Và d
2
:
10
18
2
1
−
+
=
− yx
Bài 2: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:
d

1
: mx – 2y – m
2
+ 5m = 0; d
2
: 2(m + 1)x – my + 2 = 0. (m là tham số)
Xác định các giá trị của tham số m để:
2.1). d
1
và d
2
cắt nhau.
2.2). d
1
và d
2
song song.
2.3). d
1
, d
2
và trục Ox là đồng quy.
Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:
d
1
: mx + (m – 1)y +m – 3 = 0; d
2
:




−−=
−=
tmy
tmx
21
)1(
3.1). Xác định các giá trị của tham số m để d
1
và d
2
trùng nhau.
3.2). Xác định các giá trị của tham số m để d
1,
d
2
cắt nhau và giao điểm của chúng
nằm trên đường thẳng d: 2x + y – 1 = 0.
3.3). Chứng minh khi m thay đổi, đường thẳng d
1
luôn qua một điểm cố định.
3.4). Khi d
1
và d
2
cắt nhau tại A, hãy tìm quỹ tích của điểm A khi m thay đổi.
Bài 4: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết phương trình các cạnh là:
AB: 2x – y + 7 = 0 ; BC: x + 3y – 1 = 0 ; CA: x – 3y – 5 = 0
4.1). Xác định tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
4.2). Tìm tọa độ trọng tâm và trực tâm của tam giác ABC.

4.3). Tìm tọa độ tâm đường tròn ngoại và nội tiếp tam giác ABC.
4.4). Viết phương trình các đường cao của tam giác ABC.
Bài 5: Trong hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng:
d
1
: 2x – 3y + 15 = 0; d
2
: x – 12y + 3 = 0
Viết phương trình đường thẳng đi qua giao điểm của d
1
, d
2
và thỏa mãn một trong
các điều kiện sau đây:
5.1). Đi qua điểm A(- 1; 2).
5.2). Vuông góc với đường thẳng: x – 4y + 4 = 0.
5.3). Song song với đường thẳng: 2x – 5y + 6 = 0.
5.4). Chắn trên 2 trục tọa độ những đoạn bằng nhau.
Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy, cho một hình bình hành biết tọa độ một đỉnh là (4; - 1)
và phương trình hai cạnh lần lượt là: x – 3y = 0 ; 2x + 5y + 6 = 0. hãy viết phương
trình các cạnh và tìm tọa độ các đỉnh còn lại.

10
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
Bài 5: Khoảng cách – Góc
A. Kiến thức cơ bản:
1. Khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng:
Trong hệ tọa độ Oxy, Cho đường
thẳng d: Ax + By + C = 0 và điểm M
0

(x
0
;
y
0
).
Khi đó khoảng cách từ điểm M
0
tới
đường thẳng d được xác định bởi công
thức:
22
00
0
);(
BA
CByAx
dMd
+
++
=
(1)
Nhận xét:
- Muốn sử dụng công thức (1) để tính khoảng cách từ một điểm tới một đường
thẳng, ta cần đưa phương trình của đường thẳng về dạng tổng quát.
- Nếu gọi H là hình chiếu vuông góc của M
0
trên d thì tọa độ H được xác định bởi hệ
thức:
0. =

d
uMH
( với tọa độ H phụ thuộc tham số).
- Vị trí của một điểm đối với một đường thẳng:
Cho đường thẳng d: Ax + By + C = 0 và điểm M
0
(x
0
; y
0
). Khi đó ta có kết quả
sau:
Nếu f(M
0
) = Ax
0
+ By
0
+ C > 0 thì điểm M
0
nằm về nửa mặt phẳng dương có bờ
là d.
 Nếu f(M
0
) = Ax
0
+ By
0
+ C < 0 thì điểm M
0

nằm về nửa mặt phẳng âm có bờ
là d.
Hệ qủa:
 Nếu f(M).f(N) > 0 thì điểm 2 điểm M, N nằm cùng phía đối với d.
 Nếu f(M).f(N) < 0 thì điểm 2 điểm M, N nằm khác phía đối với d.
2. Góc giữa hai đường thẳng:
Trong hệ tọa độ Oxy, Cho hai đường thẳng cắt nhau: d
1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0
và d
1
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0. Khi đó góc giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
được xác định
bởi công thức:
2

2
2
2
2
1
2
1
2121
21
.
);cos();cos(
21
BABA
BBAA
nndd
dd
++
+
==
( ở đây
1
d
n
,
2
d
n
lần lượt là các Vtpt của hai đường thẳng d
1
và d

2
)
Nhận xét:
d
1
⊥
d
2

⇔
1
d
n
.
2
d
n
= 0
⇔
A
1
.A
2
+ B
1
. B
2
= 0.
3. Phương trình đường phân giác:
Cho hai đường thẳng cắt nhau: d

1
: A
1
x + B
1
y + C
1
= 0 và d
1
: A
2
x + B
2
y + C
2
=
0. Khi đó phương trình hai đường phân giác của các góc tạo bởi d
1
và d
2
có dạng:
2
2
2
2
222
2
1
2
1

111
BA
CyBxA
BA
CyBxA
+
++
±=
+
++
B. Các dạng bài tập:
 Xác định khoảng cách từ một điểm tới một đường thẳng.
 Xác định góc của hai đường thẳng cắt nhau, góc trong của tam giác.
 Các bài toán xác định điểm và đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách.
 Viết phương trình các đường phân giác.

d
H
M
0
11
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
C. Bài tập áp dụng:
I. Bài tập tự luận:
Bài 1: Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d trong các trường hợp sau:
1.1). A(1; -2) d: 3x + 4y – 1 = 0 ; 1.4). A(- 1; 3) d: 2x – 3y + 3 = 0
1.2). A(2; 3) d:
5
3
1

2 +
=
−
+ yx
;
1.5). A(- 5; - 3) d:
3
1
4
3 −
=
−
− yx
1.3). A(- 3; 4) d:



−=
−=
ty
tx
21
1
;
1.6). A(- 2; 7) d:



+=
−−=

ty
tx
52
21
Bài 2: Tính góc giữa hai đường thẳng d
1
và d
2
trong các trường hợp sau:
2.1). d
1
: 2x + y – 14 = 0 d
2
: 2x – 10 = 0
2.2). d
1
: 2x + 3y – 1 = 0 d
2
:



+−=
−=
ty
tx
34
4
2.3). d
1

:



+=
+=
ty
tx
22
10
d
2
:



+=
−=
ty
tx
2
25
2.4). d
1
: 3x – y + 2 = 0 d
2
:
5
3
1

2
−
+
=
− yx
2.5). d
1
:
2
4
3
2 +
=
− yx
d
2
:



−=
+=
ty
tx
34
21
2.6). d
1
:
6

3
4
6 −
=
+ yx
d
2
:
2
3
3
2 +
=
−
+ yx
Bài 3: Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(5; -1), B(2; -3) và đường thẳng d:



+−=
−=
ty
tx
34
27

3.1). Tìm M thuộc d sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng: 3x + 4y – 1 = 0
bằng 2.
3.2). Tìm N thuộc d sao cho khoảng cách từ N đến đường thẳng:




−−=
+−=
ty
tx
43
32
bằng
NA.
3.3). Tính khoảng cách giữa d và đường thẳng:
3
3
2
2
−
+
=
+ yx
.
3.4). Tìm hình chiếu vuông góc của điểm B trên d, từ đó suy ra khoảng cách từ B tới
d.
3.5). Tìm bán kính đường tròn tâm A và tiếp xúc với đường thẳng d.
Bài 4: Cho đường thẳng d: 2x – 3y + 4 = 0 và điểm A(-1; 4); B(1; 3)
4.1). Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc H của điểm A trên d.
4.1). Tìm tọa độ điểm B’ đối xứng với điểm B qua đường thẳng d.
4.3). Chứng minh A và B nằm cùng một phía đối với d.
4.4). Tìm điểm C trên d sao cho chu vi tam giác ABC là nhỏ nhất.
4.5). Tìm diện tích của hình vuông có một đường chéo nằm trên d và một đỉnh là A.
Bài 5: Trong hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; -1), B(-3; 2), C(1; 6).

5.1). Tính độ dài đường cao h
A
hạ từ đỉnh A của tam giác, từ đó tính S
ABC
?
5.2). Tính cosin các góc trong của tam giác ABC.
5.3). Viết phương trình đường phân giác trong của góc B.
5.4). Viết phương trình đường phân giác ngoài của góc C.
Áp dụng: Giải bài tập 5 với giả thiết tam giác ABC có phương trình các cạnh là:

12
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
a). AB: x + 2y = 0; BC: 2x + y + 1 = 0; CA: x + y – 1 = 0.
b). AB: x – y + 4 = 0; BC: 3x + 5y + 4 = 0; CA: 7x + y – 12 = 0.
Bài 6: Trong hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: (m – 2)x + (m – 1)y + 2m – 1 = 0.
6.1). Tìm m để khoảng cách từ A(1; -1) đến đường thẳng d bằng
2
.
6.2). Tìm m để khoảng cách từ B(- 2; 3) đến đường thẳng d là lớn nhất.
6.3). Với giá trị nào của m thì d vuông góc với đường thẳng: 2x + 5y – 4 = 0.
6.4). Xác định m để góc tạo bởi d và đường thẳng: 3x – 4y + 10 = 0 một góc bằng
45
0
.

13
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
Bài 6: Các bài toán cơ bản về viết phương trình đường thẳng
A. Kiến thức cơ bản:
1. Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ chỉ phương:

Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
) và có véc tơ chỉ phương
u
=(a; b) sẽ có
phương trình dạng:
- Chính tắc:
b
yy
a
xx
00
−
=
−
(nếu a.b
≠
0)
- Tham số:
)(
0
0
Rt
btyy
atxx
∈




+=
+=
- Tổng quát: b(x – x
0
) – a(y – y
0
) = 0, hoặc: – b(x – x
0
) + a(y – y
0
) = 0.
Chú ý:
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) thì d có Vtpt
n
=(b; - a) hoặc
n
=(- b; a).
- Nếu d có Vtcp
u
=(a; b) thì d có phương trình tổng quát dạng: bx – ay + m =
0.
2. Đường thẳng đi qua một điểm và có véc tơ pháp tuyến:
Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
) và có véc tơ pháp tuyến

n
=(A; B) sẽ có
phương trình dạng:
- Tổng quát: A(x – x
0
) + B( y – y
0
) = 0.
- Tham số:
)(
0
0
Rt
Atyy
Btxx
∈



−=
+=
hoặc:
)(
0
0
Rt
Atyy
Btxx
∈




+=
−=

- Chính tắc:
A
yy
B
xx
−
−
=
−
00
hoặc:
A
yy
B
xx
00
−
=
−
−
(nếu A.B
≠
0)
Chú ý:
- Nếu d có Vtpt

n
=(A; B) thì d có Vtcp
u
=(B; - A) hoặc
n
=(- B; A).
- Nếu d có Vtpt
n
=(A; B) thì d có phương trình tổng quát dạng: Ax + By + m =
0
3. Đường thẳng đi qua một điểm và có hệ số góc:
Đường thẳng d đi qua điểm M(x
0
; y
0
) và có hệ số góc k sẽ có phương trình
dạng:
y = k(x – x
0
) + y
0
Chú ý: Nếu d có hệ số góc k thì d có phương trình dạng: y = kx + m.
4. Đường thẳng đi qua hai điểm phân biệt:
Đường thẳng d đi qua hai điểm phân biệt A(x
1
; y
1
) và B(x
2
; y

2
) sẽ có phương
trình:
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
−
−
=
−
−
Chú ý:
- Đường thẳng d qua A, B sẽ có véc tơ chỉ phương
AB
= (x
2
– x
1
; y
2
– y
1
).
- Đường thẳng d qua hai điểm A(a; 0) và B(0; b) sẽ có phương trình dạng:
1=+

b
y
a
x
5. Đường thẳng đi qua giao điểm của hai đường thẳng:
Đường thẳng d qua giao điểm của hai đường thẳng cắt nhau d
1
: A
1
x + B
1
y +
C
1
= 0 và d
2
: A
2
x + B
2
y + C
2
= 0 sẽ có phương trình dạng:
m(A
1
x + B
1
y + C
1
) + n(A

2
x + B
2
y + C
2
) = 0. (điều kiện: m
2
+ n
2

≠
0)

14
Đừng bao giờ nói bạn không thể làm một việc nào đó trước khi bạn thử sức với nó!
Chú ý: Sử dụng phương pháp này ta không phải tìm tọa độ giao điểm của hai
đường thẳng.
6. Đường thẳng song song với một đường thẳng cho trước:
Đường thẳng d song song với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương trình
dạng: Ax + By + m = 0.
Chú ý: Nếu d song song với đường thẳng: y = kx + m thì đường thẳng d có
phương trình dạng: y = kx + n. (Do hai đường thẳng song song có hệ số góc k
bằng nhau).
7. Đường thẳng vuông góc với một đường thẳng cho trước:
Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng: Ax + By + C = 0 sẽ có phương trình
dạng: Bx – Ay + m = 0 ( hoặc: – Bx + Ay + m = 0 )
Chú ý: Nếu d vuông góc với đường thẳng: y = kx + m thì đường thẳng d có
phương trình dạng: y =
k
1

−
x + n. (Do hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số
góc k bằng-1).
8. Đường thẳng tạo với đường thẳng cho trước một góc
α
:
Đường thẳng d tạo với đường thẳng: y = k
1
x + m
1
một góc
α
, sẽ có hệ số góc k
được xác định bởi công thức:
1
1
.1 kk
kk
tg
+
−
=
α
.
Chú ý: Giải phương trình trên ta tìm được hệ số góc k và quay về bài toán 3.
B. Bài tập áp dụng:
I. Bài tập tự luận:
Bài 1: Viết phương trình đường thẳng d ở cả ba dạng: Tổng quát, Tham số, Chính
tắc trong các trường hợp sau:
1.1). Đi qua điểm A(1; 2) và có véc tơ chỉ phương

u
=(- 3; 4).
1.2). Đi qua điểm B(- 3; 4) và có véc tơ pháp tuyến
n
=(4; - 5).
1.3). Đi qua điểm C(-2; -5) và có hệ số góc k = – 3 .
1.4). Đi qua hai điểm M(5; 3) và N(- 1; 6).
1.5). Đi qua hai điểm P(- 7; 0) và Q(0; 9).
1.6). Đi qua giao điểm của d
1
: 2x – 3y – 1 = 0 và d
2
:
)(
42
1
Rt
ty
tx
∈



+=
−=
đồng thời đi
qua điểm E(4; -2).
1.7). Đi qua giao điểm của d
1
:

4
2
3
2 +
=
−
− yx
và d
2
: 3x + 2y – 6 = 0 đồng thời song
song với đường thẳng d
3
: x – y + 4 = 0.
1.8). Đi qua giao điểm của d
1
: 5x – 2y + 1 = 0 và d
2
:
)(
2
3
Rt
ty
tx
∈



−=
=

đồng thời
vuông góc với đường thẳng d
3
:
2
1
1
2
−
+
=
+ yx
.
1.9). Đi qua điểm I(2; - 1) và song song với đường thẳng: x – 7y + 9 + 0.
1.10). Đi qua điểm J(- 3; -5) và vuông góc với đường thẳng:
9
3
4
1 −
=
− yx
.
1.11). Đi qua K(- 2; 0) và tạo với đường thẳng:
)(
1
31
Rt
ty
tx
∈




−=
+−=
một góc bằng 45
0
.

15
ng bao gi núi bn khụng th lm mt vic no ú trc khi bn th sc vi nú!
1.12). i qua H(9; -7) v to vi ng thng:
23
2

=
yx
mt gúc bng 60
0
.
Bi 2. Cho tam giỏc ABC vi A(4; 5), B(- 6; -1), C(1; 1).
2.1. Vit phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc.
2.2. Vit phng trỡnh cỏc ng trung tuyn ca tam giỏc.
2.3. Vit phng trỡnh cỏc ng cao ca tam giỏc.
2.4. Vit phng trỡnh cỏc ng trung trc ca tam giỏc.
2.5. Vit phng trỡnh ng phõn giỏc ca gúc A.
Mt s dng toỏn thng gp:
Dạng 1: Tam giác ABC biết đỉnh A, biết hai trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại
BM, CN. Tìm toạ độ B; C, viết phơng trình các cạnh của tam giác.
Phơng pháp:

Cách 1:
B1: Tìm toạ độ trọng tâm
( )
G G
G x ;y
của ABC
B2: Tham số hoá toạ độ của
( )
( )
B B C C
B x ;y ; C x ;y
theo phơng trình BM, CN.
B3: Tìm toạ độ của B, C: áp dụng công thức:
A B C
G
x x x
x
3
+ +
=
;
A B C
G
y y y
y
3
+ +
=
B4: Viết phơng trình các cạnh.
Cách 2:

B1: Tìm toạ độ trọng tâm
( )
G G
G x ;y
của ABC
B2: Xác định điểm H đối xứng với A qua G theo công thức trung điểm.
Khi đó tứ giác BGCH là hình bình hành.
B3: Lập phơng trình đờng thẳng HC qua H và song song với trung tuyến BM.
C là giao điểm của HC với CN.
B4: Lập phơng trình đờng thẳng HB qua H và song song với trung tuyến CN.
B là giao điểm của HB với BM.
B5: Viết phơng trình các cạnh.
ví dụ:
1, Cho tam giác ABC có
( )
A 1;3
và hai đờng trung tuyến BL:
x 2y 1 0 + =
và CK:
y 1 0 =
. Viết phơng trình các cạnh của tam giác ABC
Bài giải:
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phơng trình:
( )
x 2y 1 0 x 1
G 1;1
y 1 0 y 1
+ = =

= =



16
ng bao gi núi bn khụng th lm mt vic no ú trc khi bn th sc vi nú!
Gọi G' là điểm đối xứng với A qua G. Ta có:
( )
A G '
G
G ' G A G '
A G ' G' G A G '
G
x x
x
x 2x x x 1
2
G' 1; 1
y y y 2y a y 1
y
2
+

=

= =

+ = =


=


Tứ giác BGCG' là hình bình hành nên G'C // BL nên phơng trình G'C có dạng:
x 2y m 0 + =
.
( )
G' G'C 1 2 1 m 0 m 3 + = =
.
Phơng trình G'C là:
x 2y 3 0 =
Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ:
( )
y 1 0 x 5
C 5;1
x 2y 3 0 y 1
= =



= =

Lại có G'B // CK nên phơng trình G'B có dạng:
y n 0+ =
mà
G' G'B 1 n 0 n 1 + = =

.
Phơng trình G'B là:
y 1 0+ =
Tọa độ đỉnh B là nghiệm của hệ:
( )
y 1 0 x 3
B 3; 1
x 2y 1 0 y 1
+ = =



+ = =

Khi đó: Phơng trình cạnh AB là:
x y 2 0 + =
Phơng trình cạnh AC là:
x 2y 7 0+ =
Phơng trình cạnh BC là:
x 4y 1 0 =
2, Cho tam giác ABC có
( )
A 2;3
và hai đờng trung tuyến BM:
x 2y 1 0 + =
và CN:
x y 4 0+ =
. Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC
Lời giải
Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là nghiệm của hệ phơng trình:

( )
2x y 1 0 x 1
G 1;3
x y 4 0 y 3
+ = =



+ = =


Vì B thuộc đờng thẳng BM nên giả sử
( )
B B
B x ;y
thì:
B B
B B B B
x 1 x 1
x 2y 1 0 y B x ;
2 2
+ +

+ = =
ữ

Tơng tự
( )
C C
C x ;4 x

Mặt khác vì
( )
G 1;3
là trọng tâm của tam giác ABC nên ta có:

17
ng bao gi núi bn khụng th lm mt vic no ú trc khi bn th sc vi nú!
2
2
1
3
5
3
1
2 3 13
3 4
2
3
3
3
+ +

=

=

+ =

+
=
+ +


=
=




B C
B
B C
B
B C
C
C
x x
x
x x
x
x x
x
x
Vậy
2 5 13 1
B ; ; C ;

3 6 3 3


ữ ữ

BBTT: Cho tam giác ABC có
( )
A 3;1
và hai đờng trung tuyến BM:
2x y 1 0 =
và CN:
x 1 0 =
. Lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC
Dạng 2: Tam giác ABC biết đỉnh A và 2 đờng cao BH, CK. Tìm tọa độ các đỉnh B; C,
lập phơng trình các cạnh của tam giác ABC.
Phơng pháp:
B1: Lập phơng trình cạnh AB đi qua A và vuông góc với CK
Lập phơng trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH
B2: Tìm toạ độ điểm B, C.
B3: Lập phơng trình cạnh BC
Ví dụ
1, Lập phơng trình các cạnh của
ABC
nếu cho
( )
A 2; 1
và 2 đờng cao xuất phát từ B
và C có phơng trình lần lợt là
2x y 1 0 + =
và

3x y 2 0+ + =
Bài giải:
Vì
BH AC
nên cạnh AC có phơng trình
x 2y m 0+ + =
, AC qua A nên
2 2 m 0 m 0 + = =
. Phơng trình cạnh AC là:
x 2y 0+ =
Vì
CK AB
nên cạnh AB có phơng trình
x 3y n 0 + =
, AB qua A nên
2 3 n 0 n 5+ + = =
. Phơng trình cạnh AB là:
x 3y 5 0 =
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ
4
x
x 2y 0
4 2
5
C ;
3x y 2 0 2
5 5
y
5

=

+ =





ữ
+ + =



=


Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ
8
3 5 0
8 11
5
;
2 1 0 11
5 5
5

=

=

ữ
+ =



=


x
x y
B
x y
y

18
ng bao gi núi bn khụng th lm mt vic no ú trc khi bn th sc vi nú!
Khi đó
( )
4 13 1
BC ; 4;13
5 5 5

= =
ữ

uuur

nên vectơ pháp tuyến của BC là
( )
BC
n 13; 4=
uuur
. Phơng
trình cạnh BC có dạng:
8 11
13 x 4 y 0 13x 4y 12 0
5 5

+ + = + =
ữ ữ

2, Tam giác ABC có
( )
A 2;1
và phơng trình hai đờng cao lần lợt là BH:
x y 1 0+ + =
và
CK:
2x y 2 0+ =
. Tìm tọa độ các đỉnh B, C của tam giác ABC
Bài giải:
Cạnh AB đi qua
( )
A 2;1
và vuông góc với CK:
2x y 2 0+ =
nên AB có phơng trình:

( ) ( )
1 x 1 2 y 2 0 x 2y 3 0 = + =

Tơng tự cạnh AC đi qua
( )
A 2;1
và vuông góc với BH:
x y 1 0+ + =
nên AC có phơng
trình:
( ) ( )
1 x 1 1 y 2 0 x y 1 0 = + =

Toạ độ điểm B là nghiệm của hệ:
5
2 3 0
5 2
3
;
1 0 2
3 3
3

=

+ =

ữ
+ + =



=


x
x y
B
x y
y
Toạ độ điểm C là nghiệm của hệ:
1
x
x y 1 0
1 4
3
C ;
2x y 2 0 4
3 3
y
3

=

+ =

ữ
+ =



=



BBTT:
1, Lập phơng trình các cạnh của
ABC
nếu cho
( )
A 1; 3
và 2 đờng cao xuất phát từ
B và C có phơng trình lần lợt là
5x 3y 25 0+ =
và
3x 8y 12 0+ =
2, Cho
ABC
có phơng trình cạnh AB:
5x 3y 2 0 + =
và 2 đờng cao xuất phát từ A và
B có phơng trình lần lợt là

4x 3y 1 0 + =
và
7x 2y 22 0+ =
Dạng 3: Tam giác ABC biết 1 đỉnh A, phơng trình đờng cao BH và trung tuyến xuất
CK. Xác định tọa độ đỉnh B, C; lập phơng trình các cạnh.
Phơng pháp:
B1: Lập phơng trình cạnh AC đi qua A và vuông góc với BH.
Từ đó tìm đợc tọa độ điểm C là giao điểm của AC và trung tuyến CK.

19
ng bao gi núi bn khụng th lm mt vic no ú trc khi bn th sc vi nú!
B2: Tham số hoá toạ độ
( ) ( )
B B K K
B x ;y ; K x ;y
(với K là trung điểm của AB) theo phơng
trình BH, CK. Tìm toạ độ B nhờ:
A B
K
A B
K
x x
x
2
y y
y
2
+

=

+

=


B3: Lập phơng trình cạnh AB; BC
ví dụ:
1, Xác định tọa độ của các đỉnh A; C của
ABC
biết
B(0; 2)
và đờng cao
(AH) : x 2y 1 0 + =
; trung tuyến
(CM) : 2x y 2 0. + =
Bài giải:
Theo bài ra BC đi qua
B(0; 2)
và vuông góc với
(AH) : x 2y 1 0 + =
nên phơng trình
cạnh BC là:
2x y 2 0+ + =
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ:

2 2 0 1
2 2 0 0

+ + = =



+ = =

x y x
x y y
vậy
( )
C 1;0
Giả sử
( )
A A
A x ;y
ta có:
A B A
M M
A B A
M M
x x x 0
x x
2 2
y y y 2
y y
2 2
+ +

= =

+

= =


Vì M thuộc trung tuyến CM nên
A A
A A
x y 2
2. 2 0 2x y 6 0
2 2

+ = + =
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ:
A
A A
A A
A
11
x
x 2y 1 0
11 4
3
A ;
2x y 6 0 4
3 3
x

3

=

+ =





ữ
+ =



=


Vậy
11 4
A ;
3 3


ữ

;
( )
C 1;0
2, Xác định tọa độ của các đỉnh B; C của

ABC
biết
A(4; 1)
và đờng cao
(BH) : 2x 3y 0 =
; trung tuyến
(CK) : 2x 3y 0.+ =
Bài giải:

20
ng bao gi núi bn khụng th lm mt vic no ú trc khi bn th sc vi nú!
Theo bài ra AC đi qua
A(4; 1)
và vuông góc với
(BH) : 2x 3y 0 =
nên phơng trình
cạnh AC là:
3x 2y 10 0+ =
Suy ra toạ độ C là nghiệm của hệ:
( )
3 2 10 0 6
6; 4
2 3 0 4
+ = =



+ = =

x y x

C
x y y
Giả sử
( )
B B
B x ;y
ta có:
B B
2x 3y 0 =
nên
B B
2
y x
3
=
vậy
B B
2
B x ; x
3

ữ

Tơng tự toạ độ của
K K
2
K x ; x
3

ữ

. Vì K là trung điểm của AB nên ta có:
B
A B
K
K
A B
B
K
K
K
K B
K B
B
4 x
x x
x
x
2
2
2
y y
1 x
2x
y
3
2
3 2
11

x
2x x 4
5 5
8
B ;
4x 2x 3
5
4 6
x
4
+

+
=


=




+
+

=
=

=

=





ữ
+ =



=


BTTT: Lập phơng trình các cạnh của
ABC
biết
C(3;5)
và phơng trình đờng cao và đ-
ờng trung tuyến xuất phát từ 1 đỉnh lần lợt là
5x 4y 1 0+ =
và
8x y 7 0+ =
Dạng 4: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC và biết trọng tâm G. Xác định tọa độ
các đỉnh, lập phơng trình cạnh còn lại.
Phơng pháp:
B1 (Chung cho 2 cách): tìm toạ độ điểm A là giao điểm của AB và AC

Suy ra toạ độ điểm M là trung điểm của BC nhờ :
AG 2GM=
uuur uuuur
hoặc
3
AM AG
2
=
uuuur uuur
Cách 1:
B2: Tham số hoá toạ độ của
( )
( )
B B C C
B x ;y ; C x ;y
theo phơng trình AB, AC
B3: Tìm toạ độ của B; C nhờ:
B C
M
B C
M
x x
x
2
y y
y
2
+

=

+

=


B4: lập phơng trình của BC.
Cách 2:

21
ng bao gi núi bn khụng th lm mt vic no ú trc khi bn th sc vi nú!
B2: Viết phơng trình đờng thẳng MN qua M và song song với AC với N là trung điểm của
AB. Tìm tọa độ điểm N.
B3: Từ
AB 2AN=
uuur uuur
suy ra tọa độ điểm B. Phơng trình cạnh BC qua B và nhận
BM
uuur
làm
vectơ chỉ phơng. Từ đó tìm tọa độ C.
Ví dụ:
1, Tam giác ABC biết phơng trình AB:
4x y 15 0+ + =
; AC:
2x 5y 3 0+ + =
và trọng tâm
( )

G 2; 1
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, viết phơng trình BC.
Bài giải
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
( )
4x y 15 0 x 4
A 4;1
2x 5y 3 0 y 1
+ + = =



+ + = =


Gọi
( )
M x;y
là trung điểm của BC, vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:
3
AM AG
2
=
uuuur uuur
( )
( )
( )
M A G A
M
M

M A G A
3
x x x x
x 1
2
M 1; 2
3 y 2
y y y y
2

=

=




=


=



Gọi N là trung điểm của AB. Phơng trình đờng thẳng MN // AC có dạng:
2x 5y m 0+ + =
. Điểm
M MN 2 10 m 0 m 12 + = =
.
Phơng trình MN là:

2x 5y 12 0+ + =
Tọa độ điểm N là nghiệm của hệ
7
2x 5y 12 0
x
7
N ; 1
2
4x y 15 0
2
y 1

+ + =
=





ữ
+ + =



=

Ta có
( )
( )
( )

B A N A
B
B
B A N A
x x 2 x x
x 3
AB 2AN B 3; 3
y 3
y y 2 y y

=
=


=

=
=



uuur uuur
Đờng thẳng BC qua B và nhận
( )
BM 2;1=
uuur
làm vectơ chỉ phơng có dạng:
x 3 y 3
x 2y 3 0
2 1

+ +
= =
Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:
( )
x 2y 3 0 x 1
C 1; 1
2x 5y 3 0 y 1
= =



+ + = =

2, Tam giác ABC biết phơng trình AB:
x y 1 0+ =
; AC:
x y 3 0 + =
và trọng tâm
( )
G 1;2
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

22
ng bao gi núi bn khụng th lm mt vic no ú trc khi bn th sc vi nú!
Bài giải
Toạ độ điểm A là nghiệm của hệ:
( )
x y 1 0 x 2
A 2;1
x y 3 0 y 1

+ + = =



+ = =


Gọi
( )
M x;y
là trung điểm của BC, vì G là trọng tâm nên:
AG 2GM=
uuur uuuur
( )
( )
5
x
3 2 x 1
5 5
2
M ;
5
2 2
1 2 y 2
y
2

=

=

ữ
=




=



Vì B thuộc AB nên toạ độ
( )
B B
B x ;y
với
B B B B
x y 1 0 y 1 x+ = =

nên
( )
B B
B x ;1 x
. Tơng tự
( )
C C
C x ;x 3+

Mà
5 5
M ;
2 2

ữ

là trung điểm của BC nên ta có:
B C B C
M
B C B
CB C B C B C
M
x x 5 x x
x
x x 5 x 1
2 2 2
x 4y y 5 1 x x 3 x x 3
y
2 2 2
+ +

= =

+ = =

=+ + + + =



= =


nên
( ) ( )
B 1;0 ; C 4;7
BBTT: Tam giác ABC biết phơng trình AB:
2x 3y 7 0 =
; AC:
x 9y 28 0+ + =
và trọng
tâm
( )
G 4; 2
. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC
Dạng 5: Tam giác ABc biết hai cạnh AB, AC và trực tâm H. Tìm tọa độ các đỉnh của
tam giác ABC, viết phơng trình cạnh BC.
Phơng pháp:
B1: tìm toạ độ điểm A là giao điểm của AB và AC
B2: Tham số hoá toạ độ của B(x
B
; y
B
) theo AB
B3: Tìm toạ độ của B:
Vì H là trực tâm nên

HB
uuur
là vectơ pháp tuyến của AC. Vậy
AC
HB.u 0=
uuur uuur
B4: Phơng trình cạnh BC qua B và có
HA
uuur
là véc tơ pháp tuyến.
Ví dụ:
Tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB:
5x 2y 6 0 + =
và cạnh AC:
4x 7y 21 0+ =
và
( )
H 0;0
là trực tâm của tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơng trình cạnh BC.
Bài giải:

23
ng bao gi núi bn khụng th lm mt vic no ú trc khi bn th sc vi nú!
Toạ độ của A là nghiệm của hệ phơng trình:
( )
5x 2y 6 0 x 0
A 0;3
4x 7y 21 0 y 3
+ = =

+ = =


Vì
( )
B B
B B B B B B
5x 6 5x 6
B x ;y AB 5x 2y 6 0 y B x ;
2 2
+ +

+ = =
ữ


Mặt khác vì H là trực tâm nên
HB AC
Suy ra
HB
uuur
là vectơ pháp tuyến của AC. Suy ra:
( )
B
AC B B
5x 6
HB.u 0 7x 4 0 x 4 B 4; 7
2

+
= = =
uuur uuur

Tơng tự,
HA
uuur
là vectơ pháp tuyến của BC. Vậy phơng trình cạnh BC là:
( ) ( )
0 x 4 3 y 7 0 y 7 0+ + + = + =
Tọa độ đỉnh C là nghiệm của hệ:
35
y 7 0
x
35
C ; 7
2
4x 7y 21 0
2
y 7

+ =
=





ữ
+ =

=


BTTT: Tam giác ABC biết phơng trình cạnh AB:
3x 2y 1 0 =
và cạnh AC:
x y 3 0+ =
và
( )
H 2;4
là trực tâm của tam giác. Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơng
trình cạnh BC.
Dạng 6: Tam giác ABC biết hai cạnh AB, AC và I là tâm đờng tròng ngoại tiếp tam
giác. Xác định tọa độ các đỉnh và lập phơng trình cạnh BC.
Phơng pháp:
B1: Tìm toạ độ điểm A là giao của AB và AC
Gọi M là trung điểm cạnh AB. Vì I là trực tâm nên
IM AB M
Tìm toạ độ của B nhờ M là trung điểm của AB
B2: Gọi N là trung điểm của AC. Vì I là trực tâm nên
IN AC N
Tìm toạ độ của C nhờ N là trung điểm của AC
B3: Lập phơng trình cạnh BC
Ví dụ:
Tam giác ABc biết phơng trình cạnh AB:
x y 1 0+ =
; cạnh AC:

2x y 2 0 =
và
( )
I 1;1
là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác. Xác định tọa độ các đỉnh.
Bài giải:
Tọa độ điểm A là nghiệm của hệ
( )
x y 1 0 x 1
A 1;0
2x y 2 0 y 0
+ = =



= =

Gọi
( )
M M
M x ;y
là trung điểm của AB. Ta có

24
ng bao gi núi bn khụng th lm mt vic no ú trc khi bn th sc vi nú!
( )
M M M M M M
x y 1 0 y 1 x M x ;1 x+ = =
Vì
IM AB

nên
( ) ( )
AB M M M
1 1 1
IM.u 0 1 x 1 x 0 x M ;
2 2 2

= + = =
ữ

uuur uuur
Tơng tự
( )
N N
N x ;2x 2
trung điểm của AC
Ta có:
( ) ( )
AC N N N
7 7 4
IN.u 0 1 x 1 2 2x 3 0 x N ;
5 5 5

= + = =
ữ

uur uuur
Mặt khác vì M là trung điểm của AB nên suy ra
( )
B 0;1

Tơng tự vì N là trung điểm của AC nên suy ra
9 8
B ;
5 5

ữ

Dạng 7: Tam giác ABC biết đỉnh A, hai đờng phân giác trong của góc B và góc C.
Tìm tọa độ các đỉnh và lập phơng trình các cạnh của tam giác.
Phơng pháp:
B1: Tìm điểm A
1
là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc B.
Suy ra A
1
thuộc đờng thẳng BC
B2: Tìm điểm A
2
là điểm đối xứng của A qua đờng phân giác trong của góc C.
Suy ra A
2
thuộc BC
B3: Lập phơng trình đờng thẳng BC đi qua
1 2
A ;A
B4: Tìm tọa độ của B; C là giao điểm của BC với AB; AC
Chú ý: Bài toán: Tìm điểm đối xứng M của M qua đờng thẳng

Phơng pháp:
B1: Lập phơng trình của d qua M và d vuông góc với

B2: Gọi I là giao điểm của d với

. Tìm đợc I
B3: Gọi M là điểm đối xứng với M qua

. Khi đó I là trung điểm của MM
Vậy tìm đợc M nhờ:
M M '
I
M M'
I
x x
x
2
y y
y
2
+

=



+

=


Ví dụ: Cho

:
x 3y 2 0+ + =
và
( )
M 1;3
. Tìm điểm M đối xứng với M qua

Bài giải:
Gọi d là đờng thẳng qua M và vuông góc với

. Ta có
d
n u (3; 1)

= =
uur uur
vậy phơng trình tổng quát của d:
( ) ( )
3 x 1 1 y 3 0 3x y 6 0+ = + =
gọi I là giao điểm của d với

, toạ độ của I là nghiệm của hệ:

25