một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh khối 10 trường thpt quảng xương 4

A. ĐẶT VẤN ĐỀ
Kiến thức về đường tròn là một trong những phần kiến thức quan trọng trong
chương trình lớp 10, những năm gần đây, các đề thi tuyển sinh vào Đại học, cao
đẳng cũng thường ra vào phần này. Các dạng toán về viết phương trình đường tròn
và các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn, là các dạng bài
tập chủ yếu mà các đề thi hay khai thác. Phần nữa, vì chuyên đề phương pháp tọa
độ trong mặt phẳng là hoàn toàn mới đối với học sinh khối 10 – THPT, do vậy khi
gặp đến những kiến thức này ngay cả các em học sinh học khá tốt cũng vẫn thường
hay lung túng trong việc tiếp cận các bài toán mới.
Trước thực tiễn đó, tôi chọn nghiên cứu đề tài: “Một số dạng toán về sự
tương giao giữa đường thẳng và đường tròn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học
chuyên đề phương pháp tọa độ trong mặt phẳng cho học sinh khối 10 trường
THPT Quảng Xương 4” để khắc sâu cho học sinh các kỹ năng viết phương trình
đường tròn, viết phương trình đường thẳng, kỹ năng xác định góc giữa hai đường
thẳng, khoảng cách từ điểm đến đường thẳng …và vận dụng linh hoạt các công
thức trong quá trình làm toán.
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I. Cơ sở khoa học:
Đề tài nghiên cứu : “Một số dạng toán về sự tương giao giữa đường thẳng và
đường tròn nhằm nâng cao hiệu quả dạy học chuyên đề phương pháp tọa độ
trong mặt phẳng cho học sinh khối 10 trường THPT Quảng Xương 4” là đề tài
khai thác các kiến thức toán học thuộc chương III - bộ môn Hình học lớp 10. Song
đề tài này còn giúp học sinh ôn tập lại khá nhiều các kiến thức về hình học tổng
hợp mà các em đã học ở các lớp cấp THCS.
1
II. Cơ sở thực tiễn:
Khi học xong các kiến thức về phương trình đường tròn, SGK chỉ trình bày
về phương trình đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn ở một trong ba bài toán cơ
bản về tiếp tuyến, rất ít ví dụ về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn, do
vậy khi gặp những bài toán như thế (trong các đề thi đại học, cao dẳng hàng năm
vẫn thường gặp dạng toán này) học sinh thường gặp lung túng và khó tìm hướng

giải quyết. Trong đề tài này tác giả muốn khai thác thêm các dạng toán khác nhằm
khắc sâu cho học sinh các kiến thức về viết phương trình đường tròn, phương trình
đường thẳng.
Trong quá trình giảng dạy học sinh, nhất là học sinh các lớp đầu khá, tôi
thường lồng ghép các bài tập dạng này trong các tiết lý thuyết về phương trình
đường tròn, trong các buổi học theo yêu cầu và học tự chọn.
III. Kiến thức cơ sở và các ví dụ về sự tương giao:
3.1. Kiến thức chuẩn bị.
Phần này trình bày các khái niệm và các tính chất cơ bản về đường tròn, vị trí
tương đối về đường thẳng và đường tròn, vị trí tương đối giữa hai đường tròn.
a. Phương trình chính tắc của đường tròn C(I, R) là
( ) ( )
2 2
2
x a y b R− + − =
,
với I(a, b)

b.Phương trình đường tròn dạng khai triển: phương trình
2 2
-
2 2 0x y ax by c+ + + + =
là phương trình đường tròn khi a
2
+ b
2
– c > 0.
Khi đó, đường tròn có tâm I(-a, - b), bán kính
2 2
R a b c= + −

c. Vị trí tương đối của một điểm với một đường tròn: Cho đường tròn C(I,
R), và điểm M.
- Nếu IM < R thì điểm M nằm phía trong đường tròn,
- Nếu IM = R thì điểm M nằm trên đường tròn,
- Nếu IM> R thì điểm M nằm phía ngoài đường tròn.
2
d. Vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn: Cho đường tròn C(I, R),
và đường thẳng
∆

- Nếu
( , )d M R∆ >
thì đường thẳng
∆
không giao với đường tròn,
- Nếu
( , )d M R∆ =
thì đường thẳng
∆
tiếp xúc với đường tròn, khí đó,
∆
gọi là
tiếp tuyến của đường tròn, giao điểm của
∆
và đường tròn gọi là tiếp điểm.
- Nếu
( , )d M R∆ <
thì đường thẳng
∆

cắt đường tròn tại hai điểm, Tọa độ giao
điểm là nghiệm của hệ tạo bởi đường thẳng và đường tròn.
e. Vị trí tương đối giữa hai đường tròn. Cho hai đường tròn
( )
, C I R
và
( )
’ ’, ’C I R

- Nếu II’ < |R – R’| thì hai đường tròn chứa nhau.
- Nếu II’ = |R – R’| thì hai đường tròn tiếp xúc trong nhau.
- Nếu |R – R’| <II’ < R + R’ thì hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
-Nếu II’ = R + R’ thì hai đường tròn tiếp xúc ngoài nhau
-Nếu II’ > R + R’ thì hai đường tròn ngoài nhau (không giao nhau)
3.2. Các bài toán về sự tương giao của đường thẳng và đường tròn.
Trong phần này tôi chia thành các dạng toán nhỏ như: đường thẳng cắt
đường tròn, đường thẳng tiếp xúc với đường tròn, đường thẳng và đường tròn
không giao nhau. Mỗi dạng toán, dựa trên những kiến thức cơ bản đã nêu ở trên, tôi
trình bày một số ví dụ và lời giải cho những ví dụ ấy, cuối mỗi dạng là các bài tập
tương tự để giúp học sinh củng cố, khắc sau kiến thức phương pháp đã được học.
DẠNG I. CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ TIẾP XÚC GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ
ĐƯỜNG TRÒN
Trong phần này, tôi nêu các ví dụ là các bài toán về lập phương trình
đường tròn trong mối quan hệ tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn, để
giúp học sinh tiếp cận các kiến thức này, tôi cung cấp cho học sinh điều kiện để
3
một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn (đường thẳng tiếp xúc với đường
tròn), ba bài toán cơ bản về tiếp tuyến đối với đường tròn, (gồm bài toán về tiếp
tuyến tại một điểm thuộc đường tròn, bài toán về tiếp tuyến của đường tròn đi
qua một điểm năm ngoài đường tròn và bài toán tiếp tuyến với đường tròn có hệ

số góc cho trước) …
Ví dụ 1. Lập phương trình đường tròn (C) tiếp xúc với đường thẳng
( )
1
: 2 1 0d x y+ − =
;
( )
2
: 2 2 0d x y− − =
, và có tâm thuộc đường thẳng
( )
: 1 0.d x y− − =
Lời giải: Gọi I(t; t - 1) là tâm đường tròn (C). Vì (C) tiếp xúc với (d
1
) và (d
2
) nên
( ) ( )
1 2
, , | 3 2 | | 3| 5 Rd I d d RI d t t= ⇔ − = + ==
Giải ra ta được
2 2
2 2
5 5 3 11 5 3 121
( ; ) ( ):( ) ( )
2 2 2 2 2 20
2 5
1 1 5 11 1 5 121
( ; ) ( ):( ) ( )
4 4 4 4 4 80

4 5
t I R C x y
t I R C x y

= ⇒ ⇒ = ⇒ − + − =



= − ⇒ − − ⇒ = ⇒ + + + =


Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán đã cho là
2 2
5 3 121
( ):( ) ( )
2 2 20
C x y− + − =
và
2 2
1 5 121
( ):( ) ( )
4 4 80
C x y+ + + =
.
Ví dụ 2. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(4; 2). Lập phương trình đường tròn
(C) tiếp xúc với hai trục tọa độ và đi qua điểm A.
Lời giải: Gọi điểm I(a; b) là tâm của đường tròn (C). Vì (C) tiếp xúc với hai trục
tọa độ nên
( ) ( )
, , OyOx | | | |R a b Rd I d I = ⇔ = ==

Lại vì
( )
4; 2 ( )A C∈
nên I phải có tọa độ dương, do đó
0a b= >
, khi đó, đường
tròn có phương trình :
2 2 2
( ) ( ) ( )C x a y a a− + − =
4
( )
2 2 2
2
( ) (4 ) (24; 2 )
10
a
C a a a
a
A
=

∈ ⇒ − + − = ⇒

=

Vậy có hai đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán là:
2 2
2 2
( ) ( 2) ( 2) 4
( ) ( 10) ( 10) 100

C x y
C x y
− + − =
− + − =
Ví dụ 3. Cho đường tròn
2 2
( ) : 12 4 36 0C x y x y+ − − + =
a. Xác định tâm và bán kính của (C).
b. Lập phương trình đường tròn (C’), tiếp xúc với hai trục tọa độ và tiếp xúc
ngoài với (C).
Lời giải:
a. Ta có tâm của đường tròn (C) là I(6; 2), bán kính R = 2.
b. Gọi
'( , )I a b
là tâm của (C’), theo bài ra, vì (C’) tiếp xúc với hai trục tọa độ
nên
( ) ( )
, , OyOx | | | | 'R ad bd I RI = = ⇔ = =
- Nếu
'( , ) ( 6, 2)a b I a a II a a= ⇒ ⇒ = − −
uur
, vì (C) và (C’) tiếp xúc ngoài nhau nên
2 2 2 2 2
' ( 6) ( 2) ( ') (2 | |)II a a R R a= − + − = + = +
2
16 4 | | 36 0 (1)a a a⇔ − − + =

Khi
0a >
,

2 2
2
2 2
2 ( '):( 2) ( 2) 4
(1) 20 36 0
18 ( ') :( 18) ( 18) 324
a C x y
a a
a C x y

= ⇒ − + − =
⇔ − + = ⇒

= ⇒ − + − =

Khi
0a <
,
2
(1) 12 36 0 6a a a⇔ − + = ⇒ =
không thỏa mãn.
- Nếu
'( , ) ( 6, 2)a b I a a II a a= − ⇒ − ⇒ = − − −
uur
, vì (C) và (C’) tiếp xúc ngoài
nhau nên
2 2 2 2 2
' ( 6) ( 2) ( ') (2 | |)II a a R R a= − + + = + = +
2
8 4 | | 36 0 (2)a a a⇔ − − + =

Khi
0a >
,
2 2 2
(2) 12 36 0 6 ( ') :( 6) ( 6) 36a a a C x y

⇔ − + = ⇒ = ⇒ − + + =

5
Khi
0a <
,
2
(2) 4 36 0a a⇔ − + =
, phương trình vô nghiệm.
Vậy có 3 đường tròn thỏa mãn yêu cầu bài toán đã cho
2 2
2 2
2 2
( '):( 2) ( 2) 4,
( '):( 18) ( 18) 324,
( '):( 6) ( 6) 36.
C x y
C x y
C x y
− + − =
− + − =
− + + =
Các bài tập tương tự:
Bài 1. Lập phương trình đường tròn (C) đi qua hai điểm A(1; 4), B(4; 4) và tiếp xúc

với Ox.
Đáp số:
2
2 2
15 73 73
( ) :( ) ( )
6 32 32
C x y
 
− + − =
 ÷
 
Bài 2. Lập phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc đường thẳng
: 5 2 31 0x y∆ − + =
đồng thời tiếp xúc với hai trục tọa độ.
Đáp số:
2
2 2
31 31 31
( ) :( ) ( )
7 7 7
C x y
 
+ + − =
 ÷
 
và
2
2 2
31 31 31

( ) :( ) ( )
3 3 3
C x y
 
+ + + =
 ÷
 
.
Bài 3. Lập phương trình đường tròn (C) tiệp xúc với ba đường thẳng
1 2 3
: 2 0; : 6 0; : 0x x x y∆ − = ∆ − = ∆ − =
Đáp số:
2 2 2
( ) :( 4) ( 2 2 4) 4C x y− + + − =
và
2 2 2
( ) :( 4) ( 2 2 4) 4C x y− + − − =
Bài 4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) : 2C x y+ =
, viết phương
trình tiếp tuyến
∆
với (C) sao cho
∆
cắt Ox, Oy tại hai điểm A, B mà diện tích
OAB∆
bé nhất.
Bài 5. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn
2 2

4
( ) : ( 2)
5
C x y− + =
và các
đường thẳng
1 2
: 0; : 7 0x y x y∆ − = ∆ − =
, Xác định tọa độ tâm K và bán kinh
đường tròn (C’) tiếp xúc với các đường thẳng
1 2
,∆ ∆
và tâm
( )K C∈
.
6
Với cách tiếp cận này tôi thấy, sau khi học xong dạng toán 1, các em đã có
định hướng tốt cho bài toán lập phương trình đường tròn khi biết nó thỏa mãn
điều kiện nào đó về sự tiếp xúc với đường thẳng, thông qua đó các em có dịp ôn
tập các kiến thức về khoảng cách, bài toán về tiếp tuyến của đường tròn,…
DẠNG II. CÁC BÀI TOÁN VỀ SỰ CẮT NHAU GIỮA ĐƯỜNG THẲNG VÀ
ĐƯỜNG TRÒN
Để dạy cho học sinh của mình hiểu được phần này, tôi ôn tập cho các em
về điều kiện để một đường thẳng cắt một đường tròn, công thức tính độ dài của
dây cung, các công thức tính diện tích tam giác, các kiến thức về phép toán
vectơ, …
Ví dụ 4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x
2
+ y
2

- 4x - 8y + 11 = 0 và
điểm M(1; 2)
a. Kiểm tra vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (C),
b. Lập phương trình đường thẳng (d) qua M sao cho (d) cắt (C) tại hai điểm A,
B thỏa mãn M là trung điểm của AB.
c. Lập phương trình đường thẳng (
∆
) qua M sao cho (
∆
) cắt (C) tại 2 điểm AB
thỏa mãn MA = 2MB
Lời giải:
a. Ta có tâm và bán kính của (C): I(2; 4), R= 3.
5 3MI R= < =
nên điểm M nằm trong đường tròn (C).
b. Vì M là trung điểm của AB nên
AB MI⊥
. Do đó, (d) là đường thẳng qua
M và nhận
(1,2)MI =
uuur
làm vec tơ pháp tuyến, suy ra phương trình
( ) : 2 5 0d x y+ − =

7
c. Giả sử
( , '); ( , ')A a a B b b
ta có
( 1; ' 2); ( 1; ' 2)MA a a MB b b= − − = − −
uuur uuur

. Do
2MA MB
=
nên
1 2( 1) 2 3
2 (3 2 ;6 2 ')
' 2 2( ' 2) ' 2 ' 6
a b a b
MA MB A b b
a b a b
− = − − = − +
 
= − ⇔ ⇔ ⇒ − −
 
− = − − = − +
 
uuur uuur

Lại vì
, ( )A B C∈
nên
2 2
2 2
(6-2b') 4(3 2 ) 8(6 2 ') 11 0
' 4 8 ' 11
3 )
0
( 2b b b
b b b b
+ − − − − +


− =
+ − − + =





giải ra ta được
2; ' 1
2 11
; '
5 5
b b
b b
= =



= − =


(2;1)
2 11
( ; )
5 5
B
B



⇒

−


: 3 0
: 7 15 0
BM x y
BM x y
∆ ≡ + − =

⇒

∆ ≡ + − =


Ví dụ 5. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng
: 2 1 0mx y m∆ + − − =
và đường
tròn
2 2
( ) : ( 1) ( 2) 4C x y− + − =
.
a. Tìm m để
∆
cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt A, B sao cho đọ dài AB ngắn
nhất.
b. Tìm quỹ tích trung điểm H của đoạn thẳng AB khi

∆
thay đổi.
Lời giải:
a. Đường tròn
( )C
có tâm I(1; 2) bán kính R = 2, ta thấy
∆
luôn đi qua điểm
(2;1)M
và
2 2IM R= < =
nên điểm M nằm phía trong đường tròn
( )C
, vì vậy
∆

luôn cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt A, B.
Gọi H là trung điểm của đoạn thẳng AB và
( , )d I IH∆ =
. Khi đó,
AB
ngắn nhất
khi
IH
dài nhất. Do
,IH AB M AB⊥ ∈
nên
IH IM≤

, vì vậy
max
IH IM=
xảy ra
khi
IM∆ ⊥
. Vậy
∆
là đường thẳng qua M và nhận
IM
uuur
làm véctơ pháp tuyến
: 1 0x y⇒∆ − − =
.
8
b. Điểm H là trung điểm của AB nên
IH IM⊥
do đó, H nằm trên đường tròn
( ')C
đường kính IM. Phương trình
2 2
3 3 1
( '): ( ) ( ) .
2 2 2
C x y− + − =

Ví dụ 6. Xét hai số thực
,x y
thỏa mãn điều kiện
2 2

4 5 0x x y+ + − =
. Tìm giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức
3 4T x y= +
.
Lời giải: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, lấy điểm M(x, y) thuộc đường thẳng
:3 4 0x y T∆ + − =
.
Hai số x, y thỏa mãn
2 2
4 5 0x x y+ + − =
nên
2 2
( , ) ( ) : 4 5 0M x y C x y x∈ + + − =

là đường tròn tâm
( 2;0)I −
, bán kính
3R =
.
M là điểm chung của
( ), ( , ) | 6 | 15 21 9C d I R T T∆ ⇔ ∆ ≤ ⇔ + ≤ ⇔ − ≤ ≤
. Đẳng
thức xảy ra khi
∆
là tiếp tuyến của
( )C
.
Như vậy,
max

9T =
khi x, y thỏa mãn hệ
2 2
1
4 5 0
5
12
3 4 9 0
5
x
x y x
x y
y

= −


+ + − =

⇒
 
+ − =


=



min
21T = −

khi x, y thỏa mãn hệ
2 2
19
4 5 0
5
12
3 4 21 0
5
x
x y x
x y
y

= −


+ + − =

⇒
 
+ + =


= −


.
Ví dụ 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) : 4 4 6 0C x y x y+ + + + =

và đường thẳng
: 2 3 0x my m∆ + − + =
. Gọi
I
là tâm đường tròn
( )C
. Tìm m để
∆

cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt
,A B
sao cho diện tích
IAB
∆
đạt giá trị lớn nhất.
9
Lời giải: Đường tròn
( )C
có tâm
( 2; 2)I − −
bán kính
2R =
. Ta có,
2
1
. .sin 1
2 2
IAB

R
S IA IB AIB
∆
= ≤ =
Vậy,
max
1
IAB
S
∆
=
khi
2
0
| 2 2 2 3|
( , ) 1 1
8
2
1
15
m
R m m
IA IB d I
m
m
=

− − − +

⊥ ⇒ ∆ = = ⇔ = ⇒


=
+

Ví dụ 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho điểm
(0;1)A
và đường tròn
2 2
( ) : 2 4 5 0C x y x y+ − + − =
. Viết phương trình đường thẳng
∆
cắt
( )C
tại hai
điểm M và N sao cho
AMN∆
vuông cân tại A.
Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; 2), bán kính
10, (0; 2)R IA= = −
uur
. Ta có, IM
= IN và AM = AN nên
AI MN⊥
nên phương trình
: y m∆ =
. Gọi hai giao điểm
M(x
1
; m), N(x
2

; m)
trong đó x
1
; x
2
là nghiệm của phương trình x
2
– 2x + m
2
+ 4m – 5 = 0 (1)
Để phương trình (1) có hai nghiệm x
1
; x
2
phân biệt thì m
2
+ 4m – 6 < 0 (2)
2
1 2
. 0 ( 1)( 1) 0AM AN AM AN x x m⊥ ⇔ = ⇔ − − + =
uuuur uuur
2
1 2 1 2
( ) 1 0x x x x m⇔ − + + + =
Áp dụng định lý Vi-et đối với phương trình (1) suy ra
2
1
2 4 – 6 0
3
m

m m
m
=

+ = ⇒

= −

thỏa mãn (2).
Vậy phương trình
: 1y∆ =
hoặc
: 3y∆ = −

Ví dụ 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng
1
: 3 0d x y+ =
và
2
: 3 0d x y− =
. Gọi (T) là đường tròn tiếp xúc với d
1
tại A, cắt d
2
tại B, C sao cho
10
ABC∆
vuông tại B. Viết phương trình đường tròn (T), biết rằng tam giác ABC có
diện tích bằng
3

2
và điểm A có hoành độ dương.
Lời giải: Ta có
1
( , 3), ( 0)A d A a a a∈ ⇒ − >
. Từ
1
: 3 4 0AC d AC x y a⊥ ⇒ − − =
C
là giao điểm của d
2
và AC, suy ra C(-2a; -2
3
a)
2
: 3 2 0;BA d BA x y a⊥ ⇒ + + =

B là giao điểm của d
2
và BA, suy ra
3
( ; )
2 2
a a
B − −

Ta có,
1 3 1
. 3 .3 3 .
2 2

3
1 2
( ; 1), ( ; 2).
3 3
ABC
S BA BC a a a
A C
∆
= = ⇔ = ⇔ =
⇒ − − −
Đường tròn (T) có tâm
1 3
( ; )
2
2 3
I − −
(I là trung điểm của AC) và bán kính
1R IA= =
. Vậy phương trình đường tròn cần tìm là
2 2
1 3
( ) : ( ) ( ) 1.
2
2 3
T x y+ + + =
Các bài tập cũng cố.
Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho đường tròn
2 2
( ): 4 8 11 0C x y x y+ − − + =

và đường thẳng
: 1 0d x y− − =
.
a. Chứng minh rẳng d cắt (C) tại hai điểm phân biệt AB, Tìm tọa độ A, B.
b. Tìm m thuộc (C) sao cho tam giác MAB vuông.
Đáp số: a. A(5; 4), B(4; 5) hoặc ngược lại.
b. - Tam giác vuông tại M
19 7
( ; )
12 12
M⇒

11
- Tam giác MAB vuông tại B
( 1;4)M⇒ −
hoặc
(2;1)M
- Tam giác MAB vuông tại A
(2;7)M⇒
hoặc
(5;4)M
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Cho đường tròn
2 2
( ) : 2 4 0C x y x y+ + − =
và
đường thẳng
: 1 0d x y− + =
. Lập phương trình đường thẳng
/ /d∆
sao cho

∆
cắt
( )C
tại hai điểm MN thỏa mãn MN = 2.
Đáp số: Phương trình đường thẳng
∆
cần tìm là
3 2 2 0x y− + ± =

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) : 4 6 3 0C x y x y+ − + − =

và đường thẳng
: 2 0x my∆ + − =
. Gọi
I
là tâm đường tròn
( )C
.
a. Chứng minh rằng
∆
luôn cắt
( )C
tại hai điểm phân biệt
,A B

b. Tìm m sao cho diện tích
IAB
∆

đạt giá trị lớn nhất.
Đáp số: b.
2 2m = ±
.
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) : 9C x y+ =
và điểm
( )
1; 2A
. Lập phương trình đường thẳng
∆
qua A, cắt (C) tại hai điểm B, C sao
cho BC đạt giá trị bé nhất.
Đáp số:
2 5 0:x y −∆ + =

Sau khi được học dạng toán 2, tôi thấy các em có tư duy tốt về mối quan
hệ về vị trí tương đối giữa đường thẳng và đường tròn, thông qua các ví dụ các
em đã có thể nhận dạng và định hướng lời giải cho các bài tập, điều này có
nghĩa các em đã chủ động giải quyết được các bài tập về sự tương giao về đường
thẳng và đường tròn.
DẠNG III. CÁC BÀI TOÁN ĐƯỜNG THẲNG KHÔNG GIAO VỚI ĐƯỜNG
TRÒN
12
Đây là mối quan hệ cuối cùng của sự tương giao của đường thẳng và
đường tròn, Để học sinh tiếp cận được dạng toán này, tôi cung cấp cho các em
bất đẳng thức cơ bản về hình học bất đẳng thức tam giác, trong quá trình giải
bài tập, tôi cố gắng vẽ hình trực quan giúp các em dễ dàng hơn trong việc tiếp
thu kiến thức .

Ví dụ 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) : 2 2 7 0C x y x y+ − − − =
và đường thẳng
:3 4 13 0x y∆ + + =
. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
khoảng cách từ một điểm M trên (C) đến đường thẳng
∆
.
Lời giải: Đường tròn (C) có tâm I(1; 1) và bán kính R = 3,
( , ) 4d I R∆ = >
nên
đường thẳng
∆
không cắt đường tròn (C).
Ta viết các tiếp tuyến của (C) song song với
∆
. Có hai tiếp tuyến là:
1 2
:3 4 8 0, :3 4 22 0x y x y∆ + + = ∆ + − =
với hai tiếp điểm lần lượt là:
1 2
4 7 14 17
( ; ), ( ; )
5 5 5 5
M M− −
,
khi đó,
1 2
( , ) 1; ( , ) 7d d∆ ∆ = ∆ ∆ =

. Với mọi điểm M thuộc đường tròn (C) ta có
1 2
1 ( , ) ( , ) ( , ) 7d d M d= ∆ ∆ ≤ ∆ ≤ ∆ ∆ =
Như vậy:
1
4 7
min d(M, ) = 1 khi M M ( ; )
5 5
∆ ≡ − −
1
14 17
Max d(M, ) = 7 khi M M ( ; )
5 5
∆ ≡
.
Nhận xét: Ta có thể thấy ngày rằng hai điểm M
1
; M
2
là giao của đường thẳng d qua
I và vuông góc với
∆
.
13
M
1
I
Max d(M,
∆
) = d(I,

∆
) + R và min d(M,
∆
) = d(I,
∆
) – R.
Ví dụ 11. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) : 2 4 1 0C x y x y+ − + + =
và
đường thẳng thay đổi
: 2 2 0mx y m∆ + − − =
. Tìm m để khoảng cách nhỏ nhất từ
điểm M thuộc (C) đến đường thẳng
∆
đạt giá trị lớn nhất.
Lời giải:
Đường tròn (C) có tâm I(1; -2) bán kính R = 2. Gọi h là khoảng cách nhỏ nhất từ M
đến
∆
. Ta thấy
∆
luôn đi qua điểm N(2; 2) ở ngoài đường tròn (C).
Trường hợp
∆
cắt (C) thì h = 0.
Trường hợp
∆
không cắt (C). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ I xuống
∆

, A là giao điểm của IH và (C), B là giao điểm của IN và (C), khi đó h = HA. Dễ
thấy h đạt giá trị lớn nhất khi
H N≡
. Khi đó,
17 2h IN R= − = −
. Lúc này
IN∆ ⊥
, từ đó ta suy ra được
1
.
4
m =

Ví dụ 12. Xét các số thực a, b, c, d thỏa mãn các điều kiện
2 2
2 2 23 0a b a b+ − + − =
và
3 4 23 0c d− + =
14
I
B
A
H
N
I
M
2
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2
( ) ( )T c c b d= − + −

.
Lời giải: Xét điểm A(a, b) thuộc đường tròn
2 2
( ) : 2 2 23 0C x y x y+ − + − =
có tâm
(1; 1)I −
, bán kính R = 5, điểm B(c, d) thuộc đường thẳng
:3 4 23 0x y∆ − + =
. Khi
đó
2
T AB=
, Ta có
( , ) 6d I R∆ = >
nên
∆
không giao với (C). T đạt giá trị nhỏ
nhất khi AB ngắn nhất, theo ví dụ 10, ta có
min ( , ) 1AB d I R= ∆ − =
. Khi đó B là
hình chiếu của I lên
∆
, A là giao điểm của đoạn thẳng IB và đường tròn (C). Từ đó
suy ra được
13 19
2, 3, ,
5 5
a b c d
−
= − = = =

. Vậy T
min
= 1.
Các bài tập cũng cố.
Bài 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) : 4 6 12 0C x y x y+ − − − =
. Tìm
tọa độ điểm M thuộc đường thẳng
: 2 3 0d x y− + =
sao cho IM = 2R, trong đó I là
tâm và R là bán kính đường tròn (C).
Bài 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn
2 2
( ) : 8 6 21 0C x y x y+ − + + =
và
đường thẳng
: 1 0d x y+ − =
. Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD
ngoại tiếp đường tròn (C), Biết rằng A nằm trên d.
Đây là mối quan hệ cuối cùng của sự tương giao của đường thẳng và
đường tròn, dạng bài tập này giúp các em có cái nhìn tổng quát về sự tương giao
đó. Thông qua dạng bài tập này, tôi đưa thêm vào các bài toán cực trị hình học
để nâng cao hơn tư day cho học sinh, giúp các em phát triển sâu hơn về tư duy
logic trong bài toán hình học.
15
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT
Trong các năm tôi giảng dạy học sinh của mình các kiến thức về đường tròn,
tôi nhận thấy bằng cách tiếp cận các bài tập có trong đề tài tôi giới thiệu này, các
em học sinh của mình phần lớn nắm được các kiến thức quan trọng về đường tròn

nói riêng và các kiến thức về phương pháp tọa độ trong mặt phẳng nói chung, các
em linh hoạt hơn trong cách sử dụng các loại phương trình đường thẳng, đường
tròn.
Đề tài của tôi đã được kiểm nghiệm trong các năm học giảng dạy lớp 10, và
12, trong quá trình ôn thi Đại học – Cao đẳng đã được học sinh đồng tình và đạt
được kết quả, nâng cao khả năng tư duy các phương pháp giải toán hình học bằng
phương pháp tọa độ. Các em hứng thú học tập hơn, ở những lớp có hướng dẫn kỹ
các em học sinh với mức học trung bình cứng trở lên đã có kỹ năng giải tốt các bài
tập – các đề thi Tốt nghiệp và Đại học. Khả năng vận dụng vào chứng minh hình
học của các em được tăng lên rõ rệt. Cụ thể ở các lớp tôi giảng dạy sau khi áp dụng
sáng kiến này vào giảng dạy thì số học sinh hiểu và có kỹ năng giải được cơ bản
các dạng toán nói trên và qua đó tiếp cận các bài toán phương pháp tọa độ một cách
dễ dàng hơn.
Đề tài là sự sưu tầm tích lũy qua nhiều năm, các phương pháp và ví dụ trong
đề tài đã được tìm tòi trong các đề thi Đại học – Cao đẳng, các webside về toán, các
chuyên đề trong báo Toán học tuổi trẻ, …
16
Mặc dù cố gắng tìm tòi, nghiên cứu song chắc chắn còn có nhiều thiếu sót và
hạn chế. Tôi rất mong được sự quan tâm của tất cả các đồng nghiệp bổ sung và góp
ý cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn.
MỤC LỤC
Trang
A. ĐẶT VẤN ĐỀ 1
B. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1
I. Cơ sở khoa học 1
II. Cơ sở thực tiễn 2
III. Kiến thức cơ sở và các ví dụ về sự tương giao 2
III.1. Kiến thức cơ sở 3
III.2. Các bài toán về sự tương giao giữa đường thẳng và đường tròn 3
Dạng I. Các dạng toán đường thẳng tiếp xúc với đường tròn 3

Dạng II. Các dạng toán về sự cắt nhau giữa đường thẳng với đường tròn 6
Dạng III. Các bài toán đường thẳng không giao với đường tròn 12
C. KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT 15
Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của
người khác
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Quảng Xương, ngày 10 tháng 05 năm 2013
Người thực hiện
LÊ DUY LỰC
17
18