Tổng hợp các đề thi và đáp án kì thi học sinh giỏi môn Toán THPT Hoa Kì (từ trước đến 2014)
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (7.1 MB, 192 trang )
THI HOẽC SINH
GIOI TOAN
THPT HOA KYỉ
1993-2003
Tran Quang Nghúa dũch
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
2
THI HỌC SINH GIỎI TOÁN TRUNG HỌC HOA KỲ (AHSME và AMC))
(American High School Mathematics Examination and American Mathematics Competition)
The American High School Mathematics Examination (AHSME) là kì thi đầu tiên trong
loạt kì thi dùng để thử thách các học sinh giỏi toán, khối 12 và thấp hơn, từ đó chọn ra
đội tuyển đại diện cho nước Mỹ tham gia kì thi Olympic Toán Quốc tế (International
Mathematics Olympiad (IMO)).
Kì thi AHSME gồm 30 câu hỏi trắc nghiệm 5 lựa chọn làm trong 75 phút. Các câu hỏi có độ khó tăng
dần.
Mỗi trả lời đúng: 5 điểm. Mỗi trả lời sai: - 2 điểm. Mỗi câu hỏi không làm: 0 điểm nào.
Bắt đầu từ năm 2000, kỳ thi AHSME được thay bằng AMC 12 (American Mathematics Competition) dành
cho học sinh học lớp 12.
Bài thi AMC 12 có 25 câu hỏi trắc nghiệm nhiều lựa chọn trong thời hạn 75 phút. Bắt đầu từ năm 2008
thí sinh không được sử dụng máy tính.
Những thí sinh đạt điểm cao sẽ được mời tham gia tiếp vào kỳ thi AIME (American Invitation
Mathematics Examination). Những thí sinh đạt điểm cao trong kỳ thi này lại bước vào kỳ thi UMO
(USA Mathematical Olympiad) mà những thí sinh được điểm cao nhất được tập hợp thành đội tuyển dự
thi vào kỳ thi danh giá nhất trên thế giới, đó là kỳ thi IMO (International Mathematical Olympiad:
(Olympic Toán Quốc Tế).
Các bài toán thuộc lãnh vực số học, đại số, hình học, lý thuyết số, tỗ hợp và xác suất và những nội dung
khác của chương trình toán phổ thông mà học sinh có thểà giải được mà không cần công cụ giải tích.
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
3
NĂM 1993
1 Với số nguyên a, b, c, ta đònh nghóa:
[a, b, c] = ab – bc + ca.
Thế thì: [1, - 1, 2] =
a) – 4 b) – 2 c) 0 d) 2 e) 4
2 Trong tam giác ABC, góc A = 550, góc C =
750, D trên cạnh AB, E trên cạnh BC.
Nếu DB = BE, thế thì góc BED =
a) 500 b) 550 c) 600 d) 650 e) 700
3 Tính (không dùng máy)
15
30
45
15
a) (1/3)
15
b) (1/3)
2
c) 1 d) 3
15
e) 5
15
4 Ta đònh nghóa phép toán “ o “ như sau:
x o y = 4x – 3y + xy,
với mọi số thực x và y. Có bao nhiêu số
thực y sao cho: 3 o y = 12?
a) 0 b) 1 c) 3 d) 4 e) nhiều hơn 4
5 Năm trước một xe đạp giá 160 $, một mũ
bảo hộ giá 40$. Năm nay giá xe đạp tăng
5 %, giá mũ tăng 10%. Vậy giá xe đạp
và mũ kể chung tăng bao nhiêu phần
trăm?
a) 6 % b) 7 % c) 7, 5 % d) 8 % e) 15 %
6
114
1010
48
48
a)
2
b) 16 c) 32 d) 12
2/3
e) 512, 5
7 Kí hiệu R
k
chỉ một số nguyên mà trong cơ hệ 10
nó được biểu diễn thành một dãy k số 1.
Ví dụ: R
3
= 111, R
5
= 11111, Khi lấy R
24
chia cho
R
4
, thương số Q là một số nguyên mà trong cơ hệ
10 được biễu diễn thành một dãy chỉ chứa chữ số 0
và 1. Vậy số chữ số 0 trong Q là:
a) 10 b) 11 c) 12 d) 13 e) 15
8 Gọi C
1
, C
2
là các đường tròn bán kính 1 nằm
trong cùng một mặt phẳng và tiếp xúc nhau. Hỏi có
bao nhiêu đường tròn bán kính 3 nằm trong mặt
phẳng ấy và tiếp xúc với cả hai đường tròn C
1
và C
2
.
a) 2 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8
9 Xứ A có c % dân số trái đâát và sở hữu d % của
cải thế giới. Xứ B có e % dân số trái đâát và sở hữu f
% của cải thế giới. Giả sữ mọi công dân của A đều
chia xẻ của cải như nhau, công dân xứ B cũng vậy.
Hãy tìm tỉ số giữa của cải công dân xứ A và công
dân xứ B.
a) cd/ef b) ce/df c) cf/de d) de/cf e) df/ce
10 Gọi r là số sinh ra khi nhân cả cơ số và số mũ
của a
b
lên ba lần, a, b > 0. Nếu r bằng tích của a
b
và
x
b
với x > 0, thế thì x =
a) 3 b) 3a
2
c) 27a
2
d) 2a
3
b e) 3a
2
b
11 Biết log
2
(log2 (log2 (x))) = 2, thế thì trong cơ hệ
10, biểu diễn của x có bao nhiêu chữ số?
a) 5 b) 7 c) 9 d) 11 e) 13
12 Nếu
x
xf
2
2
)2(
với mọi x > 0, thế thì
2 f(x) =
a)
x1
2
b)
x2
2
c)
x1
4
d)
x2
4
e)
x4
8
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
4
13 Một hình vuông có chu vi 20 nội tiếp trong hình
vuông có chu vi 28. Tìm khoảng cách lớn nhất giữa
một đỉnh của hình vuông trong với một đỉnh của
hình vuông ngoài.
a)
58
b) 7
5
/2 c) 8 d)
65
e) 5
3
14 Ngũ giác lồi ABCDE có góc A = góc B = 1200,
EA = AB = BC = 2 và CD = DE = 4.
Tìm diện tích của ngủ giác.
a) 10 b) 7
3
c) 15 d) 9
3
e) 12
5
15 Có bao nhiêu giá trò của n sao cho các góc trong
của đa giác n-cạnh đều có số đo là số nguyên?
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24
16 Xét dảy số không giãm những số nguyên dương 1,
2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5
trong đó số nguyên dương thứ n xuất hiện n lần.
Tìm dư số khi chia số hạng thứ 1993 cho 5.
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
17 An vẽ một tấm bia lên mặt một đồng hồ hình
vuông, dùng các vò trí chỉ giờ làm đường biên (xem
hình). Nếu t là diện tích của một trong 8 miền tam
giác như miền giữa 12 giờ và 1 giờ, và q là diện tích
của một trong bốn tứ giác ở góc như tứ giác giữa 1
giờ và 2 giờ, thế thì q/t =
a) 2
3
- 2 b) 3/2 c) (
5
+ 1)/2 d)
3
e) 2
18 An và Bình bắt đầu công việc mới của họ vào
cùng một ngày. Lòch làm việc của An là làm 3 ngày
rồi nghỉ một ngày. Còn lòch của Bình là làm liền 7
ngày rồi nghỉ 3 ngày. Hỏi trong số 1000 ngày làm
việc hai người có bao nhiêu ngày nghỉ chung?
a) 48 b) 50 c) 72 d) 75 e) 100
19 Phương trình
1
24
nm
có bao nhiêu nghiệm
(m, n) với m, n là các số nguyên dương?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) nhiều hơn 4
20 Cho phương trình: 10z
2
– 3iz – k = 0, trong đó z
là ẩn số phức và i
2
= - 1, k là tham số. Phát biểu
nào sau đây là đúng
a) Với mọi số thực dương k, cả hai nghiệm đều là số
thuần ảo.
b) Với mọi số thực âm k, cả hai nghiệm đều là số
thuần ảo.
c) Với mọi số thuần ảo k, cả hai nghiệm đều thực
và hữu tỉ.
d) Với mọi số thuần ảo k, cả hai nghiệm đều thực
và vô tỉ.
e) Với mọi số phức k, không có nghiệm nào là thực.
21 Cho a
1
, a
2
, . . . , a
k
là cấp số cộng với a
4
+ a
5
+. .
. . + a
13
+ a
14
= 77.
Biết a
k
= 13, thế thì k =
a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
5
22 Hai mươi khối lập phương được sắp xếp như sau.
Dưới cùng là lớp thứ nhất gồm 10 khối được xếp
theo hình tam giác, sau đó lớp thứ hai gồm 6 khối
cũng sắp xếp theo hình tam giác đặt chồng lên và
ngay chính giữa lớp dưới, tiếp theo là lớp gồm 3
khối. cũng theo hình tam giác đặt chồng lên cũng
ngay chính giữa lớp thứ hai, và cuối cùng là một
khối đặt ở trên cùng ngay chính giữa lớp thứ ba.
Các khối ở lớp dưới cùng được đánh số từ 1 tới 10
theo một trật tự nào đó. Mỗi khối thuôc lớp 2, 3 và
4 được gán cho một số là tổng của các số đã gán cho
ba khối mà nó nằm lên. Hãy tìm con số nhỏ nhất
có thể gán cho khối trên cùng.
a) 55 b) 83 c) 114 d) 137 e) 144
23 Các điểm A, B, C và D thuộc đường tròn đường
kính 1, và điểm X trên đường kính AD. Biết BX =
CX và 3 góc BAC = góc BXC = 360, thế thì AX =
a)
0
18cos
12cos6cos
oo
b)
0
18sin
12sin6cos
oo
c)
0
18cos
12sin6cos
oo
d)
0
18sin
12sin6sin
oo
e)
0
18cos
12sin6sin
oo
24 Một hộp chứa 3 đồng tiền mới và 4 đồng tiền
cũ. Từng đồng một được lấy ra một cách ngẫu nhiên
khỏi hộp và không được thay thế. Nếu a/b (a/b tối
giản) là xác suất sao cho phải lấy ra hơn bốn lần
thì đồng tiền mới thứ ba mới xuất hiện, thế thì
a + b =
a) 11 b) 20 c) 35 d) 58 e) 66
25 Cho góc xOy = 120
0
, và P là một điểm cố đònh
thuộc tia phân giác trong của góc xOy. Xét tất cả
những tam giác đều phân biệt PQR với Q và R
thuộc hai tia Ox và Oy. (Điểm Q và R có thể thuộc
cùng một tia, và hoán vò hai tên Q và R vẫn được
coi là một tam giác). Vậy thì có bao nhiêu tam giác
như thế?
a) đúng 2 b) đúng 3 c) đúng 7
d) đúng 15 e) nhiều hơn 15
26 Tìm giá trò lớn nhất của hàm số:
F(x) =
Rxxxxx ,48148
22
a)
7
- 1 b) 3 c) 2
3
d) 4 e)
555
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
6
27 Đô dài các cạnh của tam giác ABC là 6, 8, và 10.
Một đường tròn có tâm P và bán kính 1 lăn bên
trong tam giác ABC, luôn luôn tiếp xúc với ít nhất
một cạnh của tam giác. Khi P trở lại vò trí đầu tiên
đã xuất phát, P đã đi được một đoạn đường dài bao
nhiêu?
a) 10 b) 12 c) 14 d) 15 e) 17
28 Có bao nhiêu tam giác có các đỉnh trong mặt
phẳng tọa độ có tọa độ (x, y) với x, y nguyên thỏa
1 ≤ x ≤ 4 và 1 ≤ y ≤ 4.
a) 496 b) 500 c) 512 d) 516 e) 560
29. Tập hợp nào dưới đây KHÔNG thể là đô dài
đường chéo của các mặt một hình hộp chữ nhật
a){4, 5, 6 } b){4, 5, 7 } c){4, 6, 7 }
d){5, 6, 7 } e){5, 7, 8 }
30 Cho 0 ≤ x
0
< 1, và:
x
n
=
1212
122
1
1
1
1
nn
nn
xkhix
xkhix
với mọi số nguyên n > 0. Có bao nhiêu x
0
sao cho x
0
= x
5
a) 0 b) 1 c) 5 d) 31 e) nhiều vô số
BÀI GIẢI
1. (d) [1, - 1, 2] = 1 (- 1) – (- 1)2 + 2. 1
= 1 – 1 + 2 = 2
2. (d) Ta có: góc B = 180
0
– (55
0
+ 75
0
)
= 50
0
.
Vi tam giác BDE cân nên:
góc BED = (180
0
– B) = 65
0
3. (e)
15
15
15
1515
30
5
3
15
15.3
15
4.(e) Thế x = 3, ta được:
3 o y = 12 – 3y + 3y
Vậy mọi y.
5. (a) Năm trước xe đạp và mũ giá 160 $ + 40 $
= 200 $. Năm nay, giá xe đạp tăng 0, 05.160 $ =
8 $, trong khi giá mũ tăng 0,10. 40$ = 4 $.
Do đó giá xe và mũ tăng tổng cộng 12 $, tức
tăng: 12/200 = 6%
6. (b)
2212
2030
11243
102103
114
1010
22
22
)2()2(
)2()2(
48
48
1622
2
2
)21(2
)12(2
48
12
20
1012
1020
7. (e) Vì
110
1)10(
110
110
9
9
4
64
4
24
4
24
4
24
R
R
R
R
= 10
20
+ 10
16
+ 10
12
+ 10
8
+ 10
4
+ 1
= 100010001000100010001
Vậy có 15 chữ số 0 trong Q.
8. (d) Có tất cả 6 đường tròn như thế. Hai đường
tròn tiếp xúc trong với C
1
và C
2
, hai đường tròn
tiếp xúc ngoài với C
1
, C
2
và hai đường tròn tiếp
xúc trong với đường tròn này và ngoài với đường
tròn kia.
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
7
Câu hỏi: Nếu đường tròn thứ ba có bán kính là 2
(hay 3/2 hay 1/2) thì kết quả trên thay đổi thế
nào?
9. (d) Gọi P là dân số và W là của cải thế giới,
thế thì Pc / 100 công dân của A sở hữu Wd /
100 đơn vò của cải, vì thế mỗi công dân của A
sở hữu
Pc
Wd
Pc
Wd
100/
100/
đơn vò của cải
Tương tự, mỗi công dân của B sở hữu Wf / Pe
đơn vò của cải.
Tỉ số cần tìm là:
cf
de
PeWf
PcWd
/
/
10. (c) Vì r = (3a)
3b
= ((3a)
3
)
b
= (27a
3
)b, và r = a
b
x
b
= (ax)
b
, ta suy ra:
(27a
3
)
b
= (ax)
b
<=> 27a
3
= ax
<=> x = 27a
2
.
Ghi chú: Có thể chứng tỏ các lựa chọn khác đều
sai bằng cách cho a = b = 1.
11. (a) Ta có: log
2
(log
2
(log
2
(x))) = 2
<=> log
2
(log
2
(x)) = 2
2
= 4
<=> log
2
x = 2
4
= 16
<=> x = 2
16
= 2
6
. 2
10
64. 1000
Vậy nó có 5 chữ số khi viết trong cơ hệ 10.
12. (e)
x4
8
13. (d) Đỉnh hình vuông
nội tiếp chia cạnh hình
vuông lớn thành hai đoạn
x và y với x ≤ y. Ta có:
x + y = 7 và
x
2
+ y
2
= 25
Giải hệ trên ta được:
x = 3 và y = 4.
Khoảng cách lớn nhất là: AB =
22
y + y) +(x
=
22
4 + 7
=
65
14. (b) Nối CE, tứ giác ABCE là hình thang cân.
Vẽ AF và BG vuông góc CE. Các tam giác AEF
và BCG là nửa tam giác đều, cho ta: EF = CG =
AE/2 = 1, AF =
3
và FG = AB = 2 => CE = 4 => tam giác CDE
đều.
Vậy diện tích cần tìm là:
| ABCE | + | CDE |
= 1/2. (2 + 4)
3
+ 4
2
3
/4 = 7
3
Ghi chú: Nếu kéo dài DE,
DC cắt AB cắt tại J và K
như hình bên, ta có thể
tính diện tích ABCDE
bằng 7/9 diện tích tam
giác đều DJK.
15. (d) Vì số đo của một góc trong của đa giác n
– cạnh đều là
nn
n
o
360
180
180)2(
Suy ra n phải là ước số của 360.
Vì 360 = 2
3
. 3
2
. 5
1
, nên ước số của nó có dạng:
N = 2
a
. 3
b
. 5
c
với a = 0, 1, 2 hay 3; b = 0, 1 hay
2; và c = 0 hay 1.
Do đó có 4. 3. 2 = 24 ước số của 360.
Vì n ≥ 3, ta loại bỏ số 1 và 2, còn lại 22 giá trò có
thể có của n.
16. (d) Số nguyên dương thứ n xuất hiện lần
cuối cùng tại vò trí thứ:
1 + 2 + 3 + + n = n(n + 1)/2
Vì 62. 63/2 = 1953, 63. 64/2 = 2016, suy ra rằng
số hạng thứ 1993 là số 63. Số này khi chia cho 5
có dư số là 3.
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
8
17. (a) Gọi O là tâm đồng hồ, tam giác từ 12 giờ
đến 1 giờ là AOB, tứ giác từ 1 giờ đến 2 giờ là
OBCD, và tam giác từ 2 giờ đến 3 giờ là ODE.
Đặt AB = 1, ta có góc AOB = góc BOD = góc
DOE = 30
0
nên OA =
3
, suy ra:
|OACE| = 3 và | AOB | = | DOE | =
3
/2.
Do đó:
232
2/3
33
||
||2||
||
||
AOB
AOBOACE
AOB
OBCD
t
q
Ghi chú: Kí hiệu | AB D | chỉ diện tích đa giác
AB D
18. (e) Lòch làm việc của An có chu kì 4 ngày,
của Bình có chu kì 10 ngày. Bội số chung của 4
và 10 là 20. Xét chung họ có chu kì 20 ngày, và
có 50 chu kì như thế trong 1000 ngày. Nếu đánh
số ngày trong mỗi chu kì là 1, 2, , 20, thì An
nghỉ vào các ngày 4, 8, 12 và 20, còn Bình nghỉ
vào các ngày 8, 9, 10, 18, 19, 20. Như vậy cả hai
cùng nghó vào ngày 8 và 20, tức nghỉ chung hai
ngày trong mỗi chu kì. Do đó họ có cả thảy 2 x
50 = 100 ngày nghó chung trong 1000 ngày đầu
tiên.
Cách khác: Ta lập bảng như sau:
A: x x x o x x x o x x x o x x x o x x x o
B: x x x x x x x o o o x x x x x x x o o o
Chú ý cứ 20 ngày bảng lại lập lại như cũ. Vì có 50
chu kì trong 1000 ngày, nên có tất cả 2 x 50 =
100 ngày nghỉ chung.
19. (d) Vì m và n phải dương, suy ra m > 4 và n
> 2. Mặt khác:
1
24
nm
<=> (m – 4) (n – 2) = 8
ta chỉ cần tìm xem có bao nhiêu cách phân tích 8
dưới dạng ấy.
Có 4 cách: 1. 8, 2. 4, 4. 2 và 8. 1, ứng với 4
nghiệm (m, n) = (5, 10), (6, 6), (8, 4) và (12, 3).
20. (b) Dùng công thức nghiệm, ta được:
z =
20
4093 ki
với
= - 9 + 40k.
• Nếu k = 1:
= 31 => (a) sai.
• Nếu k < 0:
< 0 => (b) đúng
• Nếu k = i:
= - 9 + 40i = (4 + 5i)
2
=> nghiệm là:
ii
10
1
5
1
;
5
2
5
1
=> (c) và (d) sai.
• Nếu k = 0 (một số phức): nghiệm là 0 và 3i/10
=> (e) sai.
21. (b) Trong một cấp số cộng có số các số hạng
là lẻ thì số hạng chính giữa là trung bình cộng
của tất cả các số hạng. Vì a
4
, a
7
, a
10
lập thành
một cấp số cộng có tổng là 17, do đó: a
7
= 17/3.
Vì a
4
, a
5
, , a
14
lập thành cấp số cộng có 11 số
hạng và tổng là 77 nên số hạng giữa a
9
= 77/11
= 7.
Gọi d là công sai của cấp số cộng đã cho, ta có:
2d = a
9
– a
7
= 4/3 => d = 2/3.
Từ: a
7
= a
1
+ 6d, suy ra: a
1
= 5/3.
Từ: a
k
= a
1
+ (k – 1) d, ta suy ra:
13 = 5/3 + (k - 1)2/3 <=> k = 18.
22. (c) Theo trực giác, ta thấy rằng khối lập
phương ở trung tâm được đếm nhiều lần nhất, do
đó nên được gán số 1 và những khối lập phương
ở góc được xét tới ít lần nhất, do đó nên được
gán những số 8, 9 và 10. Ví dụ, để đi đến đáp số
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
9
đúng, ta gán cho lớp dưới cùng những số sau
Chính xác hơn, ta giải như sau: Giả sử các số
được gán ở lớp dưới là:
Các số ở lớp thứ hai được sắp xếp như sau:
Các số của lớp thứ ba là:
Do đó t = 6c + 3(e
1
+ e
2
+ e
3
+ e
4
+ e
5
+ e
6
) +
(v
1
+ v
2
+ v
3
) là con số được gán cho khối lập
phương trên cùng. Số này nhỏ nhất khi c = 1,
{e
1
, e
2
, e
3
, e
4
, e
5
, e
6
} ={2, 3, , 6, 7 }
Và {v
1
, v
2
, v
3
} ={8, 9, 10 }.
Do đó giá trò nhỏ nhất của t là:
6 (1) + 3 (2 + 3 + + 7) + (8 + 9 + 10) = 114.
23. (b) Ta có AD là phân giác góc BAC và BXD
=> góc BAD = 6
0
.
Trong tam giác vuông ABD:
AB = AD cosBAD = cos 6
0
.
Chú ý góc AXB = 162
0
và góc ABX = 12
0
.
p dụng đònh lí hàm sin:
oo
o
AX
ABX
AX
AXB
AB
12sin62sin
6cos
sinsin
Mà sin 162
0
= sin 18
0
, suy ra:
o
oo
AX
18sin
12sin6cos
24. (e) Ta tính xác suất sao cho không hơn bốn
lần rút, ta đã được đồng tiền mới thứ ba.
Vì có
C
4
3
cách chọn ba đồng tiền mới trong bốn
lần rút và có tất cả
C
7
3
cách chọn được chúng,
xác suất được ba đồng tiền mới trong bốn lần rút
là:
35
4
7
3
4
3
C
C
.
Vậy xác suất cần tìm là: 1 - 4/35 = 31/35
=> a + b = 66.
25. (e) Gọi A là điểm trên tia Ox sao cho OA =
OP. Tam giác OAP là tam giác đều cố đònh. Gọi
Q là điểm bất kì trên đoạn OA. Trên Oy ta lấy
điểm R sao cho OR = AQ. Hai tam giác ABQ và
ORP bằng nhau (c.g.c) => PQ = PR và góc QPR
= góc APO = 60
0
, chứng tỏ tam giác PQR là tam
giác đều.
Vì Q bất kì nên có vô số tam giác PQR thỏa điều
kiện đề bài.
Câu hỏi: Nếu xOy
≠
120
0
, kết quả còn đúng
không?
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
10
26. (c) Viết lại f(x) =
22
7) -(x - 1 4) -(x - 16
Số hạng đầu tiên là hàm số mà đồ thò là nửa
đường tròn ở phiá trên trục hoành, có tâm (4, 0),
bán kính 4. Số hạng thứ hai là hàm số mà đồ thò
là nửa đường tròn ở phía trên trục hoành, có tâm
(7, 0), bán kính 1.
Suy ra f (x) chính là hiệu hai tung độ của hai
điểm trên nưả đường tròn cùng có hoành độ là x
với 6 ≤ x ≤ 8.
Căn cứ vào hình vẽ, f(x) lớn nhất khi x = 6.
Giá trò lớn nhất là: f(6) = 2
3
.
Cách khác: Hs f(x)
6) - x)(x - (8 x)x- (8
xác
đònh khi 6
≤
x
≤
8. Ta có:
f(x) =
6
86
6
6
)6(8
xx
x
xx
xx
xxx
Tử lớn nhất và mẫu nhỏ nhất cùng lúc khi x = 6,
do đó gtln của f(x) là f(6).
27. (b) Tập hợp các điểm P là tam giác A’ B’ C’
đồng dạng với tam giác ABC, gổm những đoạn
cách AB, BC, CA một khoảng là 1.
Gọi D và E là tiếp điểm với AB và BC của
đường tròn (P) khi P trùng với B’. Ta có:
BD = BE = B’DcotgB/2 = cotgB/2
Tương tự khi P trùng với B’ và C’. Như vậy đoạn
đường mà P di được là:
A’B’ + B’C’ + C’A’ = AB + BC + CA –
- 2 cotgA/2 - 2 cọtgB/2 - 2cotgC/2
Ta có:: cot A/2 =
3
5/3
5/41
sin
cos1
A
A
Tương tự, ta tính được: cot C/2 = 2.
Còn cot B/2 = cot(45
o
) = 1.
Vậy đoạn đường cần tìm là:
8 + 6 + 10 – 2(3) – 2(1) – 2(2) = 12
Cách khác: Theo cách giải trên AA’ là phân giác
trong góc A cũng như của góc A’. Tương tư, BB’
và CC’ là phân giác của góc B, B’ cũng như góc
C. C’. Do đó các tam giác ABC và A’B’C’ có cùng
tâm đường tròn nội tiếp. Bán kính đường tròn nội
tiếp của tam giác A’B’C’ nhỏ hơn của tam giác
ABC là 1. Bán kính đường tròn nội tiếp của một
tam giác vuông cạnh góc vuông là a và b, cạnh
huyền c cho bởi công thức r = S/p với S diện tích
và p là nửa chu vi của tam giác. Như vậy:
r = ab/(a +b + c)
Suy ra bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC
là (8)(6)/(8 + 6 + 10) = 2, và do đó bán kính
đường tròn nội tiếp tam giác A’B’C’ là 2 – 1 = 1.
Vì tỷ số hai bán kính bằng tỷ số chu vi, do đó chu
vi tam giác A’B’C’ là: (8 + 6 + 10)/2 = 12.
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
11
28. (d) Có tất cả
C
3
16
= 560 tổ hợp ba điểm chọn
trong 16 điểm đã cho. Chúng ta phải loại ra các
tổ hợp ba điểm thẳng hàng.
Có tất cả 4 đoạn thẳng và 4
đoạn ngang mỗi đoạn chứa 4
điểm.
Tám đoan này chứa tất cả: 8.
C
3
4
= 32 tổ hợp ba điểm
thẳng hàng.
Tương tự, có tất cả: 2.
C
3
4
+
4.
C
3
3
= 8 + 4 = 12 tổ hợp ba
điểm thẳng hàng trên các
đường xiên 45
0
(có hệ số góc
1).
Vậy số các tam giác cần tìm là: 560 – 32 – 12 =
516.
Thách thức: Tìm số tam giác có các đỉnh là các
mắt lưới có kích thước n x n, hay tổng quát hơn
m x n.
29. (b) Gọi a ≤ b ≤ c là đô dài các cạnh hình
hộp, x ≤ y ≤ z là đô dài đường chéo các mặt.
Ta có:
x
2
= a
2
+ b
2
, y
2
= a
2
+ c
2
, z
2
= b
2
+ c
2
.
Suy ra: z
2
= x
2
+ y
2
– 2a
2
< x
2
+ y
2
là điều kiện
cần để tập hợp {x, y, z } là đô dài các đường
chéo của hình hộp. Chỉ có câu (b) không thỏa
điều kiện này.
Đây cũng là điều kiện đủ vì giải hệ trên ta được:
a
2
= (x
2
+ y
2
- z
2
)/2, b
2
= (x
2
- y
2
+ z
2
)/2,
c
2
= (- x
2
+ y
2
+ z
2
)/2
30. (d) Khi viết số x
0
[0, 1) trong cơ hệ 2, nó
có dạng:
x
0
= 0. d
1
d
2
d
3
d
4
d
5
d
6
d
7
(mỗi d
i
= 0 hay 1)
Thuật toán đã cho chỉ ra rằng ta phải dời dấu
phẩy về bên phải một chữ số và bỏ đi chữ số bên
trái dấu chấm. Như vậy:
x
0
= 0. d
1
d
2
d
3
d
4
d
5
d
6
d
7
=> x
1
= 0. d
2
d
3
d
4
d
5
d
6
d
7
=> x
2
= 0. d
3
d
4
d
5
d
6
d
7
Do đó để x
0
= x
5
, ta phải có:
0. d
1
d
2
d
3
d
4
d
5
d
6
d
7
= 0. d
6
d
7
d
8
d
9
d
10
d
11
d
12
Điều này xãy ra khi và chỉ khi x
0
có biều diễn nhò
phân có tính tuần hoàn với d
1
d
2
d
3
d
4
d
5
là chu
kì.
Có 2
5
= 32 chu kì như thế. Tuy nhiên nếu d
1
=
d
2
= d
3
= d
4
= d
5
= 1 thì x
0
= 1.
Do đó tất cả có 32 – 1 = 31 giá trò x
0
[0, 1) sao
cho x
0
= x
5
.
GHI NHẬN:
Trong số 347.720 bài thi được phát cho các thí
sinh trên 5694 trường PT, chỉ có 2 bài thi được
điểm tuyệt đỉnh. Trong số 3273 học sinh được
vinh danh trong bảng Danh Dự, thống kê sau ghi
lại phần trăm số học sinh chọn đúng, cũng như
chọn sai các câu hỏi.
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
12
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
13
NĂM 1994
1 4
4
. 9
4
. 4
9
. 9
9
=
a) 1313 b) 1336 c) 3613 d) 3636 e) 129626
2 Một hình chữ nhật lớn được chia thành bốn
hình chữ nhật nhỏ bằng hai đoạn song song với các
cạnh hình chữ nhật. Diện tích ba hình chữ nhật
này được cho trong hình. Tìm diện tích hình chữ
nhật thứ 4.
a) 10 b) 15 c) 20 d) 21 e) 25
3 Bao nhiêu biểu thức sau bằng với x
x
+ x
x
với
mọi x > 0?
I: 2x
x
II: x
2x
III: (2x)
x
IV: (2x)
2x
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
4 Trong mặt phẳng Oxy, đoạn nối hai điểm (- 5, 0)
và (25, 0) là đường kính của đường tròn. Nếu điểm
(x, 5) thuộc đường tròn đó, thế thì x =
a) 10 b) 12.5 c) 15 d) 17.5 e) 20
5 Pat đònh nhân một số cho 6 nhưng lại đem chia
cho 6. Sau đó Pat đònh cộng 14 rồi lại quên lại trừ
cho 14. Sau các lỗi lầm này, kết quả là 16. Nếu Pat
làm đúng như dự đònh thì kết quả tìm được sẽ là
một số
a) nhỏ hơn 400 b) giữa 400 và 600
c) giữa 600 và 800 d) giữa 800 và 1000
e) lớn hơn 1000
6 Xét dãy số a, b, c, d, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, trong đó
mỗi số hạng bằng tổng hai số hạng đi liền trước nó.
Tìm a.
a) – 3 b) - 1 c) 0 d) 1 e) 3
7 Hai hình vuông ABCD và EFGH bằng nhau, AB
= 10, và G là tâm hình vuông ABCD. Diện tích của
phần mặt phẳng được hai hình vuông này che phủ
là
a) 75 b) 100 c) 125 d) 150 e) 175
8 Trong đa giác cho bởi hình dưới, mỗi cạnh đều
vuông góc với cạnh liên tiếp, và tất cả 28 cạnh đều
bằng nhau. Chu vi đa giác là 56, tìm diện tích của
hình đa giác.
a) 84 b) 96 c) 100 d) 112 e) 196
9 Nếu góc A gấp 4 lần góc B, và góc phụ của B
gấp bốn lần góc phục của A, thế thì góc B =
a) 10
o
b) 12
o
c) 15
o
d) 18
o
e) 22.5
o
10 Với hai số thực phân biệt x và y, gọi M(x, y) là
số lớn hơn giữa hai số x và y và gọi m(x, y) là số
nhỏ hơn giữa hai số x và y. Nếu a < b < c < d < e,
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
14
thế thì M(M(a, m(b, c)),m(d,m(a,e))) =
a) a b) b c) c d) d e) e
11 Ba khối lập phương có thể tích 1, 8, và 27 dán
vào nhau tại các mặt của chúng. Diện tích nhỏ nhất
có thể có của bề mặt khối đa diện tạo được là
a) 36 b) 56 c) 70 d) 72 e) 74
12 Nếu i
2
= - 1, thế thì (i - i
- 1
)
- 1
=
a) 0 b) - 2i c) 2 d) - i/2 e) i/2
13 Trong tam giác ABC, AB = AC.
Nếu tồn tại điểm P ở giữa A và B sao
cho AP = PC = CB, thế thì góc A =
a) 30
o
b) 36
o
c) 48
o
d) 60
o
e) 72
o
14 Tìm tổng các số hạng của một
cấp số cộng:
20 + 20
1
/
5
+ 20
2
/
5
+ + 40
a) 3000 b) 3030 c) 3150 d) 4100 e) 6000
15 Có bao nhiêu số n thuộc {1, 2, 3, , 100} sao cho
chữ số hàng chục của n
2
là số lẻ?
a) 10 b) 20 c) 30 d) 40 e) 50
16 Một số bi trong túi là đỏ và phần còn lại là
xanh. Nếu bỏ bớt một bi đỏ thì một phần bảy số bi
còn lại là đỏ. Nếu bỏ bớt hai bi xanh thay vì bỏ bớt
một bi đỏ thì một phần năm số bi còn lại là đỏ. Hỏi
trong túi lúc đầu có bao nhiêu bi?
a) 8 b) 22 c) 36 d) 57 e) 71
17 Một hình chữ nhật có kích thước 8 x 2
2
có
tâm trùng với tâm của đường tròn bán kính 2. Diện
tích phần chung của hình chữ nhật và hình tròn là
a) 2π b) 2π + 2 c) 4π - 4
d) 2π+ 4 e) 4π – 2
18 Tam giác ABC nội tiếp trong một đường tròn,
góc B = góc C = 4 góc A. Nếu B và C là hai đỉnh
liên tiếp của một đa giác đều n cạnh nội tiếp trong
đường tròn này, thế thì n =
a) 5 b) 7 c) 9 d) 15 e) 18
19 Dán một dóa với nhãn "1", hai dóa với nhãn "2",
ba dóa với nhãn "3", , năm chục dóa với nhãn "50".
Cho tất cả 1 + 2 + 3 + + 50 = 1275 dóa này vào
hộp. Rút ngẫu nhiên từng dóa và không bỏ lại. Hỏi
số dóa tối thiểu phải rút ra sao cho phải có ít nhất
mười dóa đều có cùng nhãn?
a) 10 b) 51 c) 415 d) 451 e) 501
20 Giả sử x, y, z là một cấp số nhân có công bội là
r và x ≠ y. Nếu x, 2y, 3z là một cấp số cộng, thế thì
r bằng
a) 1/4 b) 1/3 c) 1/2 d) 2 e) 4
2 1 Có bao nhiêu số làm phát biểu sau là sai:
"Nếu N là một số nguyên dương lẻ có tổng các chữ số
là 4 và không có chữ số nào bằng 0, thế thì N là số
nguyên tố"
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
22 Chín ghế xếp thành hàng trên đó có 6 học
sinh và các thầy Alpha, Beta và Gamma. Ba thầy
đến trước và chôn ghế ngồi sao cho mỗi thầy ngồi ở
giữa hai học sinh. Có bao nhiêu cách mà ba thầy có
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
15
thể lựa chọn ghế ngồi?
a) 12 b) 36 c) 60 d) 84 e) 630
23 Trong mặt phẳng Oxy, xét một hình có dạng
chữ L giới hạn bởi những đoạn nằm ngang hay dọc
với các đỉnh (0, 0), (0, 3), (3, 3), (3, 1), (5, 1) và (5, 0).
Độ dốc của đường thẳng qua gốc toạ độ chia miền
này thành hai phần có diện tích bằng nhau là
a) 2/7 b) 1/3 c) 2/3 d) 3/4 e) 7/9
24 Một mẫu gồm năm dữ kiện số trung bình là 10
và số trung vò là 12. Giá trò nhỏ nhất mà hàng số
(hiệu số giữa dữ kiện lớn nhất và nhỏ nhất) của
mẫu dữ kiện có thể đạt được la:ø
a) 2 b) 3 c) 5 d) 7 e) 10
25 Nếu x và y là những số thực khác 0 sao cho
|x| + y = 3 và |x|y + x3 = 0,
thế thì số nguyên gần nhất với x - y là
a) - 3 b) - 1 c) 2 d) 3 e) 5
26 Một đa giác đều có
m cạnh được bao bọc
vừa khít (không kẻ hở,
không che lấp) bằng m
đa giác đều có n cạnh.
(Hình cho thấy trường
hợp m = 4, n = 8). Nếu
m = 10, tìm giá trò của n.
a) 5 b) 6 c) 14 d) 20 e) 26
27 Một bao bắp rang chứa 2/3 bắp trắng và 1/3
bắp vàng. Chỉ có 1/2 bắp trắng sẽ nổ, trong khi 2/3
bắp vàng sẽ nổ. Một hạt bắp được chọn một cách
ngẫu nhiên từ bao và nổ dòn khi cho vào lò. Tìm
xác suất để hôït bắp ấy màu trắng.
a) 1/2 b) 5/9 c) 4/7 d) 3/5 e) 2/3
28 Trong mặt phẳng Oxy, có bao nhiêu đường
thẳng cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương
và nguyên tố và cắt trục tung tai điểm có tung độ
dương và đi qua điểm (4, 3).
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4
29 Các điểm A, B, C trên đường tròn bán kính r
sao cho AB = AC, AB > r, và độ dài của cung nhỏ
BC là r. Nếu đo góc bằng đơn vò radian, thế thì
AB/BC =
a) 1/2csc(1/4) b) 2cos(1/4) c) 4sin(1/4)
d) csc(1/2) e) 2sec(1/4)
Ghi chú: csc(a) = 1/sina, sec(a) = 1/cosa
30 Khi ném n hột xúc sắc 6 mặt, xác suất để được
tổng số các mặt hiện lên bằng 1994 là một số lớn
hơn 0 và cũng bằng với xác suất để được một tổng
số S. Giá trò nhỏ nhất có thể có của S là
a) 333 b) 335 c) 337 d) 339 e) 341
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
16
BÀI GIẢI .
1. (c) 4
4
. 9
4
. 4
9
. 9
9
= (4. 9)
4
. (4. 9)
9
= 36
4
. 36
9
= 36
13
2. (b) Hai hình chữ nhật có cùng chiều cao thì
diện tích tỉ lệ với cạnh đáy a
và b.
Do đó:
35
?
14
6
b
a
=>? = 15
=> diện tích cần tìm là 15.
3. (b) Chỉ có 2x
x
là bằng x
x
+ x
x
với mọi x > 0.
Cho x = 2 hay x = 3 sẽ loại bỏ các lựa chọn khác.
4. (a) Bán kính đường tròn là
1
/
2
AB =
1
/
2
(25 – (– 5)) = 15,
và tâm là trung điểm của AB, có tọa độ (10, 0).
Vậy phương trình đường tròn là:
(x – 10)
2
+ y
2
= 152
Thế y = 15, ta được x = 10.
5. (e) Số ban đầu thỏa:
(n/6) - 14 = 16 <=> n = 180
Do đó kết quả đúng phải là:
6 (180) + 14 = 1094.
6. (a) Ta tính d, c, b và a theo thứ tự đó. Ta có
1 = d + 0 => d = 1.
Rồi: 0 = c + d => c = - 1.
Tiếp theo: 1 = d = b + c = b – 1 => b = 2.
Cuối cùng: - 1 = c = a + b = a + 2 => a = - 3.
Cách khác: Kể từ a và b, dảy số là:
a, b, a + b, a + 2b, 2a + 3b, 3 + 5b
Ta có: 2a + 3b = 0 và 3a + 5b = 1.
Giải hệ này, ta được a = - 3.
7. (e) Mỗi hình vuông có diện tích là 100. Phần
trùng nhau, tam giác
ABG, có diện tích bằng
¼ diện tích hình vuông
là 25.
Vậy diện tích cần tìm là:
100 + 100 – 25
= 175.
.
8. (c) Đặt đa giác trên một lưới 7 x 7 ô vuông.
Gọi đô dài cạnh đa giác là s.
Chu vi đa giác là 28 s = 56 => s = 2.
Miền giới hạn bởi đa giác chiếm
1 + 3 + 5 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25 ô vuông,
do đó diện tích đa giác là 25 s
2
= 100.
Cách khác: Cắt các ô vuông của đa giác ở xa tâm
nhất (đánh số 1, 2, 3, 4 rồi dán vào các ô a, b, c,
d, ta được hình vuông cạnh dài 5s. Suy ra diện
tích là
(5s)
2
= 100.
9. (d) Vì A = 4B và 90
0
– B = 4(90 – A), ta suy ra
90
0
– B = 4 (90
0
– 4B)
<=> B = 180
10. (b) Vì m( b, c) = b và m( a, e) = a, ta có:
M(M(a, m (b, c)), m(d, m(a, e))))
= M(M(a, b), m(d, a))
= M(b, a) = b
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
17
11. (d) Tổng diện tích các mặt ba khối lập
phương là 6 + 24 + 54 = 84.
Ta có thể gắn mỗi khối vào hai khối kia sao cho
mỗi gắn kết làm giảm diện tích toàn phần đi hai
lần diện tích một mặt của khối lập phương nhỏ
hơn. Diện tích của tổ hợp ba khối là:
84 – 2(1) – 2(1) – 2(4) = 72.
12. (d)
1
1
2
1
111
)
1
(
ii
i
i
i
22
ii
13. (b) Đặt góc A = x (độ). Thế thì:
góc PCA = x vì AP = PC.
Suy ra: góc BPC = góc A + góc
PCA
= 2x (góc
ngoài)
Vì PC = CB, ta được:
góc B = 2x
=> góc ACB = 2x vi AB = AC.
Do đó: x + 2x + 2x = 180
Suy ra: A = x = 36 (độ).
14. (b) Ta có: u
1
= 20, u
n
= 40 và công sai d =
1/5. Vậy số các số hạng là:
1
1
d
uu
n
n
= 101
Do đó tổng các số hạng là:
101.
2
4020
= 101. 30 = 3030.
15. (b) Trong tập hợp {1, 2, 3, , 10}, chỉ có hai
số nguyên mà bình phương của nó có chữ số
hàng chục là lẻ, đó là: 4
2
= 16 và 6
2
= 36.
Vì (n + 10)
2
= n
2
+ (20n + 100) và chữ số hàng
chục của số 20n + 100 là chẵn nên chữ số hàng
chục của(n + 10)
2
là lẻ khi và chỉ khi chữ số
hàng chục của n
2
là lẻ.
Từ đó suy ra trong tập hợp {1, 2, 3, , 100}, chỉ
có những số tận cùng là 4 hay 6 thì bình phương
của nó mới có chữ số lẻ.
Như vậy có tất cả 10 x 2 = 20 số như thế.
Cách khác: Vì 0
2
và 100
2
không có chữ số hàng
chục là lẻ, nên ta có thể xét tập hợp {0, 1, 2, ,
99}. Số n thuộc tập hợp này có dạng:
n = 10m + d
với d = 0,1, 2, , 9 và m = 0, 1, 2, , 9.
Vì n
2
= 10 (10m
2
+ 2md) + d
2
và 10m
2
+ 2md
chẵn, suy ra chữ số hàng chục của n
2
lẻ khi và
chỉ khi chữ số hàng chục của d
2
là lẻ <=> d = 4
hay d = 6.
Có 10 cách chọn m để cặp với hai cách chọn d,
do đó có tất cả: 10 x 2 = 20 số cần tìm.
16. (b) Gọi d là số bi đỏ và n là tổng số bi lúc
đầu. Thế thì:
7
1
1
1
n
d
và
5
1
2
n
d
<=> 7d – 7 = n – 1 và 5d = n – 2
Giải hệ này, ta được: n = 22.
17. (d) Gọi O là tâm đường tròn và hình chữ
nhật, A, B, C, D là giao điểm của của chúng.
Vì AO = OB = 2 và AB = 2
2
nên AOB là tam
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
18
giác vuông cân. Suy ra các góc tại O đều vuông.
Tổng diện tích các hình quạt AOB và COD là:
2. (π
2
/4) = 2π
Tổng diện tích hai tam giác vuông cân AOD và
BOC là: 2 (2
2
/2) = 4
Do đó diện tích phần chung của hai hình là
2π + 4
18. (c) Vì 180
0
= A + B + C = A + 4A + 4A
<=> A = 20
0
.
Do đó sđ BC = 2A = 40
0
, suy ra đa giác có
360
0
/ 40
0
= 9 cạnh.
Ghi chú: Tổng quát nếu B = C = k. A thì n = 2k+1
19. (c) Số diã tối đa lấy ra mà không có được 10
dóa có cùng nhãn là 414: chẳng hạn lấy tất cả
những dóa có nhãn từ “ 1 “ đến “ 9 “, số dóa là: 1
+ 2 + + 9 = 45 dóa. Sau đó với 41 số nhãn còn
lại từ 10 đến 50, mỗi loại ta lấy 9 dóa: có tất cả 9
x 41 = 369.
Như vậy tổng cộng có 45 + 369 = 414 dóa.
Dóa thứ 415 sẽ cho ta 10 dóa có cùng nhãn. Do
đó 415 là số dóa tối thiểu phải lấy ra để bảo đãm
trong đó có ít nhất mười dóa có cùng nhãn.
20. (b) Từ giả thiết, ta có:
y = xr (1), z = xr
2
(2) và 3z + x = 4y (3)
Thế (1) và(2) vào (3):
3xr
2
+ x = 4xr <=> 3r
2
– 4r + 1 = 0(x ≠ 0)
<=> r = 1/3 hay r = 1.
Vì x ≠ y nên r ≠ 1, do đó: r = 1/3.
21. (c) Ta kiểm tra tất cả số nguyên dương có
chữ số khác 0, tổng các chữ số là 4:
13, 31, 121, 211, 1111.
Ta thấy rằng: 121 = 11
2
, 1111 = 11. 101 là hai
phản ví dụ cần tìm.
22. (c) Tưởng tượng sáu sinh viên đứng thành
một hàng. Giữa họ có tất cả 5 chổ trống. Với 5
chổ trống này ta có thể xếp 3 vò giáo sư thỏa yêu
cầu.
Mỗi cách xếp các giáo sư là một chỉnh hợp 5
chập 3, do đó có tất cả
A
3
5
= 5. 4. 3 = 60 cách
sắp xếp.
23. (e) Diện tích của hình chữ L OABCDE là:
3
2
+ 2. 1 = 11.
Diện tích hình thang OABC là:
1/2. 1. (2 + 5) = 7/2 < 11/2
Diện tích tam giác ODE là:
1/2. 3
2
= 9/2 < 11/2
Do đó đường thẳng cần tìm y = mx phải cắt đoạn
CD tại điểm F có tọa độ (3, 3m) với 1 < 3m < 3
Diện tích hình thang ở phía trên đường thẳng y =
mx là:
1/2. DE. (OE + DF) = 1/2. 3. [3 + (3 - 3m)]
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
19
= 1/2. (18 - 9m)
Ta phải có: 1/2. (18 - 9m) = 11/2 <=> m = 7/9.
24. (c) Vì số trung bình là 10, tổng số các dữ kiện
phải bằng 50.
Số trung vò là 12 nên có một dữ kiện là 12, hai dữ
kiện không nhỏ hơn 12 và hai dữ kiện còn lại
không lớn hơn 12.
Nếu một dữ kiện lớn tăng thêm x thì dữ kiện nhỏ
phải giảm đi x để số trung bình vẫn là 10. Nhưng
khi đó hàng số tăng lên.
Do đó để hàng số nhỏ nhất thì phải có ba dữ kiện
đều bằng 12 và hai dữ kiện còn lại phải có tổng
là:
50 – 3. 12 = 14.
Vậy mẫu thống kê 7, 7, 12, 12, 12 sẽ làm hàng
số nhỏ nhất, và giá trò nhỏ nhất mà hàng số có
thể đạt được là 12 – 7 = 5.
25. (a) Xét x > 0: Ta có hệ
x + y = 3 và y + x
2
= 0.
Khử y giữa hai phương trình, ta được:
x
2
– x + 3 = 0
Phương trình này không có nghiệm thực.
Xét x < 0: Ta có hệ
– x + y = 3 và – y + x
2
= 0.
Khử y, ta được:
x
2
– x – 3 = 0
Phương trình này có nghiệm âm.
Vậy x – y = - 3.
26. (a) Số đo của mỗi góc trong của một k – giác
đều là:
k
o
o
360
180
Trong bài này, mỗi đỉnh của m – giác đều được
bao quanh bởi một góc của m – giác đều và hai
góc của n – giác đều. Do đó:
(180
o
- 360
o
/m) + 2(180
o
- 360
o
/n) = 360
o
(1)
Thế m = 10, ta được n = 5.
Ghi chú: Phương trình (1) <=> (m – 2)(n – 4) = 8.
Các nghiệm nguyên dương duy nhất là:
(m, n) = (3, 12), (4, 8), (10, 5).
27. (d) Gọi 3n là tổng số hạt bắp trong túi trong
đó có 2n hạt trắng và n hạt vàng. Vậy số hạt
bắp nở bung là:
n + 2n/3 = 5n/3.
Do đó xác suất để hạt bắp nở bung là hạt bắp
trắng là:
5
3
3/5
n
n
28. (c) Phương trình của đường thẳng theo đoạn
chắn:
1
b
y
p
x
, trong đó p nguyên tố và b nguyên
dương.
Thế x = 4 và y = 3, ta được:
4
12
3
4
3
1
34
pp
p
b
bp
Chỉ có hai số nguyên tố p = 5 và p = 7 cho ta b
nguyên dương. Do đó có hai đường thẳng cần tìm
có phương trình:
.1
77
,1
155
yxyx
29. (a) Gọi AD là đường kính, O là tâm đường
tròn. Nối BC cắt AD tại E. Tính theo radian:
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
20
góc BOC = r / r = 1, suy ra:
góc BAC = 1/2 và góc BAE = 1/4.
Vì BE
EA, ta có:
)4/1sin(2
1
sin2
1
.
2
1
BAEBE
AB
BC
AB
30. (c) Khi ném n hột xúc sắc, ta được một tổng
số có thể là bất cứ số nào từ n tới 6n. Số khả
năng để được tổng số là n + k cũng nhiều bằng
như được tổng số là 6n – k, và số khả năng này
tăng khi k tăng từ 0 tới 5n/2.
Tổng S = n + k sẽ nhỏ nhất khi ta chọn n và k
nhỏ như có thể thỏa: 6n – k = 1994.
Vì bội số nhỏ nhất của 6 lớn hơn hay bằng 1994
là 1998 = 6. 333, nên S nhỏ nhất khi n = 333 và
k = 1998 – 1994 = 4.
Và giá trò nhỏ nhất của S là n + k = 333 + 4 =
337.
Cách khác: Trong hột xúc sắc tiêu chuẫn, mặt 6
và 1, mặt 5 và 2, mặt 4 và 3 đối diện nhau. Để
được một tổng số là 1994 với nhiều mặt 6 nhất, ta
phải có 332 mặt 6 và một mặt 2 hiện lên. Khi đó
332 mặt 1 và 1 mặt 5 ở bên dưới ứng với tổng số
332 + 5 = 337, là giá trò nhỏ nhất của S cần tìm.
.
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
21
NĂM 1995
1 Kim đạt được 87, 83 và 88 điểm trong ba kì
thi toán đầu tiên. Nếu Kim được 90 điểm trong
kì thi thứ tư, thế thì điểm số trung bình của
Kim sẽ
a) vẫn như cũ b) tăng lên 1 c) tăng lên 2
d) tăng lên 3 e) tăng lên 4
2 Nếu
22 x
, thế thì x =
a) 1 b)
7
c) 7 d) 49 e) 121
3 Giá bán trong siêu thò của một món hàng
điện là 99$ 99. Một hảng quảng cáo bán trên
truyền hình cũng thiết bò ấy theo phương thức
trả làm 3 lần, mỗi lần 29$ 98, cộng phí chuyên
chở đến tận nhà là 9$ 98. Hỏi mua hàng trên
truyền hình được lợi bao nhiêu?
a) 6 xu b) 7 xu c) 8 xu d) 9 xu e) 10 xu
Ghi chú: Mỗi 1$ bằng 100 xu.
4 Nếu M bằng 30% của Q, Q bằng 20% của
P và N bằng 50% của P, thế thì M/N =
a) 3/250 b) 3/25 c) 1 d) 6/5 e) 4/3
5 Một khu vườn hình chữ nhật rộng 300 foot
và dài 400 foot. Bằng phương pháp thống kê ta
tính được trung bình có 3 con kiến trên mỗi
inch vuông của khu vườn [12 inch = 1 foot].
Trong những số dưới đây, số nào gần nhất với
số kiến trong khu vườn?
a) 500 ngàn b) 5 triệu c) 50 triệu
d) 500 triệu e) 5 tỉ
6 Hình bên khi gấp lại có thể tạo thành khối
lập phương. Trong khối lập
phương này, mặt mang mẫu tự
nào đối diện với mặt có dấu
x.
a) A b) B c) C
d) D e) E
7 Bán kính trái đất tại đường xích đạo xấp xỉ
4000 dặm. Giả sử một máy bay phản lực bay
một vòng quanh trái đất phía trên đường xích
đạo với vận tốc 500 dặm một giờ đối với trái
đất. Nếu đường bay cách đường xích đạo một
khoảng không đáng kể, thế thì số giờ bay gần
nhất với số nào dưới đây?
a) 8 b) 25 c) 50 d) 75 e) 100
8 Cho tam giác ABC có
C = 90
0
, AC = 6 và BC =
8. D và E thuộc đoạn AB
và BC và góc BED = 90
0
.
Biết DE = 4, thế thì BD =
a) 5 b) 16/3 c) 20/3
d) 15/2 e) 8
9 Cho hình vuông với các đường chéo và các
đoạn nối trung điểm các cạnh đối. Hỏi trong
hình có tất cả bao nhiêu tam giác lớn nhỏ?
a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
22
10 Diện tích của tam giác giới hạn bởi các
đường thẳng y = x , y = - x và y = 6 là:
a) 12 b) 12
2
c) 24 d) 24
2
e) 36
11 Trong cơ hệ 10, có bao nhiêu số gồm 4 chữ
số N =
abcd
thỏa mãn ba điều kiện sau:
(i) 4.000 ≤ N < 6000 (ii) N là bội số của 5
(iii) 3 ≤ b < c ≤ 6
a) 10 b) 18 c) 24 d) 36 e) 48
12 Cho hàm số bậc nhất f có tính chất:
f (1) ≤ f( 2), f(3) ≥ f (4) và f(5) = 5
Phát biểu nào dưới đây là đúng?
a) f(0) < 0 b) f(0) = 0
c) f(1) < f(0) < f ( - 1)
d) f(0) = 5 e) f(0) > 5
13 Bài toán cộng bên dưới không đúng. Hãy
sữa một chữ số d, ở bất cứ vò trí nào, thành chữ
số e để bài toán trên là đúng. Tìm tổng của d
và e.
7 4 2 5 8 6
+ 8 2 9 4 3 0
1 2 1 2 0 1 6
a) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) lớn hơn 10
14 Biết f(x) = ax
4
– bx
2
+ x + 5 và
f( - 3) = 2,
thế thì f(3) =
a) – 5 b) – 2 c) 1 d) 3 e) 8
15 Năm điểm trên đường tròn được đánh số 1,
2, 3, 4, 5 theo chiều kim đồng hồ. Một chú rận
nhảy theo chiều kim đồng hồ từ điểm này đến
điểm khác quanh đường tròn. Nếu nó nhảy từ
điểm số lẻ, nó nhảy tiếp tới điểm kế tiếp, nếu
nhảy từ điểm số chẵn, nó nhảy tiếp thêm 2
điểm. Nếu chú rận bắt đầu từ điểm số 5, hỏi
sau 1995 bước nhảy, nó nhảy tới tại điểm nào.
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
16 An xem đấu bóng ở thành phố A, và ước
lượng có 50.000 khán giả. Bình xem đấu bóng
tại thành phố Boston và ước lượng có 60.000
khán giả. Một viên chức thể thao biết rõ số
khán giả thực sự của hai trận, cho biết:
(i) Số khán giả thực sự ở thành phố Atlanta thì
trong vòng 10% mà An ước lượng.
(ii) ơc lượng của Bình thì trong vòng 10% số
khán giả thực sự ở thành phố Boston.
Tính gần đúng đến 1000, hiệu số lớn nhất có
thể có giữa số khán giả của hai trận là:
a) 10.000 b) 11.000 c) 20.000
d) 21.000 e) 22. 000
17 Cho ngủ giác đều ABCDE, một đường tròn
tiếp xúc với DC tại D và tiếp xúc với AB tại A.
Tính số đo theo độ của cung nhỏ AD.
a) 72 b) 108 c) 120 d) 135 e) 144
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
23
18 Cho một góc xOy = 30
0
. A và B lần lượt là
hai điểm trên Ox và Oy sao cho AB = 1. Tính
giá trò lớn nhất của đô dài OB.
a) 1 b)
2
31
c)
3
d) 2 e)
3
4
19 Cho tam giác đều DEF nội tiếp trong tam
giác đều ABC sao cho DE vuông góc BC. Tỉ
số diện tích tam giác DEF và tam giác ABC là:
a) 1/6 b) 1/4 c) 1/3 d) 2/5 e) ½
20 Nếu a, b, và c là ba số ( không nhất thiết
khác nhau) chọn ngẫu nhiên và có thay thế từ
tập hợp {1, 2, 3, 4, 5}, xác suất để ab + c chẵn
là:
a) 2/5 b) 59/125 c) ½ d) 64/125 e) 3/5
21 Hai đỉnh không liên tiếp của một hình chữ
nhật là (4, 3) và (- 4, - 3 ), và tọa độ các đỉnh
khác là số nguyên. Có bao nhiêu hình chữ nhật
như thế?
a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5
22 Một ngủ giác được tạo ra bằng cách cắt rời
một tam giác ngay đỉnh một tờ giấy hình chữ
nhật. Năm cạnh hình ngủ giác có đô dài là 13,
19, 20, 25 và 31, các cạnh nầy không nhất thiết
kể theo thứ tự quanh ngủ giác. Diện tích ngủ
giác là:
a) 459 b) 600 c) 680 d) 720 e) 745
23 Cạnh một tam giác có đô dài 11, 15 và k,
với k là số nguyên. Có bao nhiêu giá trò k để
tam giác là tam giác tù?
a) 5 b) 7 c) 12 d) 13 e) 14
24 Tồn tại các số nguyên dương A, B và C,
không có ước số chung lớn hơn 1, sao cho:
A log
200
5 + B log
200
2 = C
Tìm A + B + C.
a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
24
25 Một bảng gồm 5 số nguyên dương có số
trung bình là 12. Số mốt và số trung vò đều
bằng 8. Hiệu của số lớn nhất và nhỏ nhất là 18.
Thế thì số lớn thứ hai trong bảng có thể có tất
cả bao nhiêu giá trò?
a) 4 b) 6 c) 8 d) 10 e) 12
26 Xem hinh, AB và CD là hai đường kính
của đường tròn tâm O, AB vuông góc CD và
dây DF cắt AB tại E. Biết DE = 6 và EF = 2,
thế thì diện tích hình tròn là:
a) 23π b) 47π/2 c) 24π d) 49π/2 e) 25π
27 Xét dãy số tam giác gồm các số 0, 1, 2, 3,
dọc theo các cạnh còn những số bên trong có
được bằng cách cộng hai số kế cận ở hàng trên.
Hình dưới là dảy tam giác từ cột 1 đến cột 6
0
1 1
2 2 2
3 4 4 3
4 7 8 7 4
5 11 15 15 11 5
Gọi f (n) là tổng các số ở hàng n. Tìm dư số của
phép chia f(100) cho 100.
a) 12 b) 30 c) 50 d) 62 e) 74
28 Hai dây song song của đường tròn có đô
dài lần lượt là 10 và 14, khoảng cách giữa chúng
là 6. Một dây cung song song với hai dây này và
cách đều chúng có đô dài là
a
, vậy a =
a) 144 b) 156 c) 168 d) 176 e) 184
29 Có bao nhiêu tập hợp 3 phần tử là các số
nguyên dương {a, b, c} sao cho a.b.c = 2310?
a) 32 b) 36 c) 40 d) 43 e) 45
30 Một khối lập phương lớn tạo bởi 27 khối
lập phương đơn vò. Một mặt phẳng vuông góc
với đường chéo của khối lập phương lớn tại
trung điểm của nó. Mặt phẳng này cắt ngang
bao nhiêu khối lập phương đơn vò?
a) 16 b) 17 c) 18 d) 19 e) 20
VIETMATHS.NET
www.hoctoancapba.com.vn
25
BÀI GIẢI
1. (b) Điểm số trung bình thay đổi từ (87 + 83 +
88)/3 = 86 đến (87 + 83 + 88 + 90)/4 = 87, tức
tăng lên 1.
2. (d) Bình phương hai vế ta được:
2 +
x
= 9
<=> x = 7
<=> x = 49
3.(b) Giá tổng cộng theo quảng cáo là :
29, 98 x 3 + 9, 98 = 99, 92 $
Do đó rẽ hơn: 99, 99 – 99, 9 2 = 0, 07 $ tức 7 xu
so với giá ở siêu thò.
4.(b) Vì M = 0,3 Q = 0,3 (0,2P ) = 0,06 P và
N = 0,5 P. Do đó:
M/N = 0,06P/0,5P = 3/25
5. (c) Số kiến xấp xỉ bằng:
(300 ).(400). (12)
2
. 3 = 300. 400. 144. 3
50. 10
6
6. (c) Lấy A là đáy, lật B làm
mặt sau, lật x lên làm mặt
trái và C lật qua làm mặt
phải, đối diện với x.
7. (c) Quảng đường bay xấp xỉ bằng đô dài
đường xích đạo là: C = 2π. 4000 = 8000π dặm.
Số giờ bay là:
16
500
800
Giá trò này > 16. 3,1 = 49,6 giờ và < 16.3,2 = 51,2
giờ
Vậy đáp số gần nhất là: 50 giờ
8. (c) p dụng đònh lí Pitago, ta được: AB = 10.
TheoTalet:
3
20
6
4.10
BD
AC
DE
AB
BD
9. (d) Tất cả tam giác trong hình đều là tam giác
vuông cân.
Mọi tam giác đều gồm 1, 2 hay 4 tam giác nhỏ.
Có 8 tam giác nhỏ, có 4 tam giác hợp bởi 2 tam
giác nhỏ và 4 tam giác hợp bởi 4 tam giác nhỏ.
Vậy có tất cả 16 tam giác trong hình.
10. (e) Tam giác giới hạn bởi ba đường là tam
giác OAB với A (6, 6), B ( - 6, 6 ). Diện tích tam
giác là:
. AB. OL = 1/2. 12. 6 = 36
11. (c) Điều kiện ( i ) <=> a
{4, 5}.
Điều kiện ( ii ) <=> d
{0, 5}
Điều kiện ( iii ) <=> (b, c) = (3, 4), (3, 5), (3, 6 ),
(4, 5), (4, 6), (5, 6).
Theo qui tắc nhân, có tất cả: 2. 2. 6 = 24 số N
cần tìm.
VIETMATHS.NET
