Các đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)

Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
Đề số 1:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 3,0 điểm)
Cho hai đường thẳng
1
d
và
2
d
có phương trình:

1
d
: y = x + 2
2
d
: y = ax + b
a. Xác định a, b để đường thẳng
2
d
đi qua hai điểm M( 3;0) và N( 0;12).
Vẽ
1
d
và

2
d
trên cùng một hệ trục toạ độ.
b. Hãy tính diện tích tứ giác giới hạn bởi hai hệ trục toạ độ và đồ thị của hai
đường thẳng đã cho.
Câu 2: ( 4,0 điểm )
1. Chứng minh rằng:
3 3
1 1
2 2
1
3 3
1 1 1 1
2 2
+ −
+ =
+ + − −
2. Cho
4 4
91 16 5x x+ − + =
. Hãy tính
x
.
Câu 3: ( 5,0 điểm)
a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1
2 3
A
x

=
− −
b. Tìm các số tự nhiên
m
sao cho:
3
3m +
chia hết cho
3m +
Câu 4: ( 6,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O bán kính R. Từ một điểm
P
ở trong đường tròn kẻ hai dây
&AB CD
vuông góc với nhau. Chứng minh rằng:
a.
2 2
. .PA PB PC PD R PO= = −
b.
2 2 2 2
PA PB PC PD+ + +
không phụ thuộc vào vị trí điểm
P
.
Câu 5: ( 2,0 điểm)
Cho các số thực
,x y
thoả mãn:
2 2
( 1 )( 1 ) 1x x y y+ + + + =

1
ĐỀ BÀI
(Đề gồm 01 trang)
Đề chính thức
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
Tính giá trị biểu thức:
2011 2011
2011A x y= + +
_________________________Hết______________________________
Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……………
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:…………………………………………………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm…05… trang)

Câu thứ
(…….điểm)
Ý Nội dung
Thang
điểm
Câu 1
(3,0 điểm)
1
* Do
2
d
đi qua hai điểm M,N nên ta có:

3 0 4
12 12
a b a
b b
+ = = −
 
⇔
 
= =
 
Vậy: pt đường thẳng
2
d
là y = - 4x +12
* Vẽ đồ thị:
0,5
0,5
2
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
2
* Đường thẳng
1
d
cắt Oy tại điểm A( 0;2)
Đường thẳng
2
d
cắt Ox tại điểm C( 3;0)
Đường thẳng
1

d
cắt Đường thẳng
2
d
tại điểm B( 2;4)
* Ta phải tính diện tích của tứ giác: OABC. Gọi D là hình chiếu
của B trên Ox, suy ra: D( 2;0)
Ta có:
OABC OABD BDC
S S S= +
Mà:
1
( ). 6
2
OABD
S OA BD OD= + =

1
. 2
2
BDC
S BD CD= =
* Vậy:
8
OABC
S =
0,5

0,5
0,5

0,5
Câu 2 1
3
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
(4,0 điểm)
Ta có:
*
3 3 3
1 1 1
2 3
2 2 2
3 1 3 3
3 4 2 3
1
1 1 1
2
2 4
+ + +
+
= = =
+ +
+
+
+ + +
*
3
1
2 3
2
3 3

3
1 1
2
−
−
=
−
− −
2 3 2 3
1
3 3 3 3
VT VP
+ −
⇒ = + = =
+ −
1,0
0,5
0,5
2
Ta có:
4 4
4 4
75
91 16 5 (1) 5
91 16
x x
x x
+ − + = ⇔ =
+ + +
4 4

91 16 15x x⇔ + + + =
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
4
4
91 10
3
16 5
x
x
x

+ =

⇔ = ±

+ =


0,5
0,5
1,0
Câu 3
(4,0 điểm)
1
Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
2
1
2 3
A

x
=
− −
Điều kiện:
3x ≤
Ta có
0A >
xét biểu thức
1
B
A
=
=
2
2 3 x− −
0,5
0,5
4
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
Vì
2
0 3 3x≤ − ≤


2
3 3 0x⇔ − ≤ − − ≤

2
2 3 2 3 2x− ≤ − − ≤
B⇒

đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi
3x = ±
B
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
2 3−
khi
0x =
Do đó
2
1
2 3
A
x
=
− −
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
1
2
khi
3x = ±
2
1
2 3
A
x
=
− −
đạt giá trị lớn nhất bằng
1
2 3

2 3
= +
−
khi
0x =
0,5
0,5
2
Ta có

( )
( )
3 3 2
3 27 24 3 3 9 24m m m m m+ = + − = + − + −
Vì :
( )
( )
( )
2
3 3 9 3m m m m+ − + +M
Nên
( ) ( )
3
( 3) 3 24 3m m m+ + ⇔ +M M
Vì
m N∈
nên ta có:

3 3 0
3 4 1

3 6 3
3 12 9
3 24 21
3 8 5
m m
m m
m m
m m
m m
m m
+ = =
 
 
+ = =
 
 
+ = =
⇔
 
+ = =
 
 
+ = =
 
+ = =
 
Vậy với
0; 1; 3; 5; 9; 21m m m m m m= = = = = =
thì

( )
3
( 3) 3m m+ +M
0,5
0,5
1,0
5
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
Câu 4
(6,0 điểm)
1
Ta có
PAD PCB∆ ∆:

PA PD
PC PB
⇒ =

. .PA PB PC PD⇒ =
Gọi
H
là trung điểm của
AB
Ta có :
( ) ( )
.PA PB HA HP HB PH= − +

=
2 2
HA PH−

=
( ) ( )
2 2 2 2
R OH PO OH− − −
=
2 2
R PO−
O
E
B
A
H
D
C
P
1,0
2,0
2
Gọi
E
là điểm đối xứng với
B
qua
O
Ta có
/ /AE CD
vì cùng vuông góc với
AB
AC DE⇒ =

Ta có
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
PA PB PC PD PA PC PB PD+ + + = + + +
2 2 2 2 2 2
4AC BD DE BD BE R= + = + = =
1,5
1,5
6
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
Câu 5
( 2,0 điểm)
( ) ( )
2 2
1 1 1x x y y+ + + + =
Ta có
( ) ( )
2 2
1 1 1x x x x+ + + − =

2 2
1 1y y x x⇒ + + = + −

(1)
Tương tự
2 2
1 1x x y y+ + = + −
(2)
Từ (1) và (2)
2 2 2 2

1 1 1 1y y x x x x y y⇒ + + + + + = + − + + −
2 2 0x y
x y
⇔ + =
⇔ = −
2011 2011
2011 2011A x y= + + =
0,5
0,5
0,5
0,5
Hết
- Lưu ý chung toàn bài:
+ Điểm toàn bài là tổng điểm các bài thành phần, vẫn giữ lại 2 số hạng thập phân
không làm tròn số.
+ Nếu thí sinh giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn
cho điểm tối đa bài đó.
Đề số 2:
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1: ( 3,5 điểm)
7
ĐỀ BÀI
(Đề gồm 01 trang)
Đề số 02
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)

Cho biểu thức:
2 2 2
2
2
( 3) 12
( 2) 8
x x
y x x
x
− +
= + + −
a. Rút gọn biểu thức y.
b. Tìm các giá trị nguyên của
x
để
y
là số nguyên.

Câu 2: (3,5 điểm)
Cho hệ phương trình:
1
x y m
mx y
+ =


+ =

(
m

là tham số )
1. Giải hệ phương trình khi
m
= 2 .
2. Tìm
m
để hai đường thẳng
x y m+ =
và
1mx y+ =
cắt nhau tại duy nhất
một điểm nằm trên Parabol:
2
2y x= −
.
Câu 3: (5,0 điểm)
Cho đường thẳng (d): (m - 2) x + (m – 1) y = 1 ( m là tham số )
a. Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng (d) luôn đi qua một điểm cố định.
b. Khi m
≠
2, m
≠
1 tìm các giá trị của m để khoảng cách từ gốc toạ độ O đển
đường thẳng (d) là lớn nhất.
Câu 4: ( 6,0 điểm)
Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH. Vẽ đường tròn (I) đường kính BH
cắt AB tại D. Vẽ đường tròn (K) đường kính HC cắt AC tại E.
Chứng minh rằng:
1. AB.AD = AE.AC
2. DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).

3. Diện tích tứ giác DEKI bằng một nửa diện tích tam giác ABC.
Câu 5: ( 2,0 điểm)
Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức sau:

3 6y x x
= − + +
__________________________Hết_______________________________
Họ và tên thí sinh:…………………………………… Số báo danh:……………
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:…………………………………………………
8
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
CAO BẰNG
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI
CẤP TỈNH LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2010-2011
Môn: TOÁN
(Hướng dẫn chấm gồm…05… trang)

Câu thứ
(….điểm)
Ý Nội dung
Thang
điểm
Câu 1
(3,5 điểm)
1
( )
( )
2
2 2

2
2
3 12
2 8
x x
y x x
x
− +
= + + −
(1)
Điều kiện:
0x ≠
(1)
( )
( )
2
2
2
2
3
2
x
y x
x
+
⇔ = + −

2
3
2

x
y x
x
+
⇔ = + −
Nếu
x
< 0 thì
2
2 2 3x x
y
x
− + −
=
Nếu
0 2x< <
thì
2 3x
y
x
+
=
Nếu
2x ≥
thì
2
2 2 3x x
y
x
− +

=
0,5
0,5
0,5
0,5
2
Ta có
3
2y x x
x
= + + −

Khi
x
là số nguyên thì
2x x+ −
là số nguyên do đó
y
là
số nguyên khi
3
x
là số nguyên
1
3
x
x
= ±

⇔


= ±

Vậy với
1; 3x x= ± = ±
thì
y
là số nguyên
1,0
0,5
Câu 2
(3,5 điểm)
1
Khi m = 2 ta có hệ:
2 1
2 1 3
x y x
x y y
+ = = −
 
⇒
 
+ = =
 
1,0
9
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
2
Hệ đã cho
( 1) 1

y m x
m x m
= −

⇔

− = −

Với
1m ≠
hệ có nghiệm duy nhất:
1
1
x
y m
= −


= +

Do đó với
1m ≠
thì hai đường thẳng trên cắt nhau tại một
điểm duy nhất I ( -1; m+1)
Để I thuộc (P):
2
2y x= −
thì: m + 1 = -2
⇔
m = -3

vậy m = -3 là giá trị cần tìm.
0,5
1,0
0,5
0,5
Câu 3
(5,0 điểm)
1
(d):
( ) ( )
2 1 1m x m y− + − =
( )
0 0
;M x y
là điểm cố định của đường thẳng (d) khi và chỉ
khi :
( ) ( )
0 0
2 1 1m x m y− + − =
nghiệm đúng với mọi
m

( )
0 0 0 0
2 1 0x y m x y⇔ + − − − =
nghiệm đúng với mọi
m

0 0
0 0

0
2 1 0
x y
x y
+ =

⇔

− − − =



0
0
1
1
x
y
= −

⇔

=

Vậy
( )
1;1M −
là điểm cố định của đường thẳng (d)
0,5
1,0

0,5
2 Với
2m ≠
và
1m ≠
đường thẳng (d) cắt trục ox tại điểm
1
;0
2
A
m
 
 ÷
−
 
cắt trục oy tại điểm
1
0;
1
B
m
 
 ÷
−
 
Ta có
1
2
OA
m

=
−

1
1
OB
m
=
−
0,5
0,5
O
O
A

AA
A

AAAaa
aAaAA
AAAÂA
H
HHHH
H
B
10


AA
A AA

Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
Gọi H là hình chiếu vuông góc của O trên (d) ta có OH là
khoảng cách từ O đến (d)
2 2 2
1 1 1
OH OA OB
= +
=
( ) ( )
2 2
2 1m m− + −

=
2
2 6 5m m− +
=
2
3 1
2
2 2
m
 
− +
 ÷
 

1
2
≥
Đẳng thức xảy ra khi

3
2
m =
2
1
OH
đạt giá trị nhỏ nhất bằng
1
2
khi
3
2
m =
2
OH⇒
đạt giá trị lớn nhất bằng 2 khi
3
2
m =
OH⇒
đạt giá trị lớn nhất bằng
2
khi
3
2
m =
1,0

0,5
0,5

Câu 4
(6,0 điểm)
*Vẽ hình:
O
O
A

AA
A

AAAaa
aAaAA
AAAÂA
H
HHHH
H
B
11
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
B
A
H
I
K
C
D
E
1
Nối DH, EH ta có:
Trong tam giác vuông ABH:

2
.AH AD AB=
Trong tam giác vuông ACH:
2
.AH AC AE=

⇒
AD.AB = AC.AE
0,75
0,75
0,5
2
Theo giả thiết,
* Tứ giác ADHE là hình chữ nhật nên:
⇒ ∆
JDH cân tại J
2 2
ˆ ˆ
D H⇒ =
* Tam giác IDH cân tại I
1 1
ˆ ˆ
D H⇒ =
Do đó:
0
1 2 1 2
ˆ ˆ ˆ ˆ
90IDE D D H H= + = + =
ID DE⇒ ⊥ ⇒
DE là tiếp tuyến của (I)

* Tương tự : DE là tiếp tuyến của (K)
Vậy: DE là tiếp tuyến chung của hai đường tròn (I) và (K).
0,5
0,5
0,5
0,5
3 Ta có: DEKI là hình thang vuông nên: 0,5
0,5
12
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
DEKI
S
=
1
2
(DI + KE). DE =
1
2
(IH + HK). AH
=
1
2
.
2
BC
.AH =
1
2
ABC
S

0,5
0,5
Câu 5
( 2,0 điểm)
• ĐK:
6 3x− ≤ ≤
• Ta có : y luôn dương, do đó:
2
9 2 (3 )( 6) 9y x x= + − + ≥

2
9 3y y⇒ ≥ ⇒ ≥
Dấu bằng xảy ra khi : x = 3; x= - 6
• Xét
2
(3 )( 6) 3 18P x x x x= − + = − − +

2 2
81 3 9 81 3 81
( 2. . ) ( )
4 2 4 4 2 4
x x x= − + + = − + ≤

81
4
P⇒ ≤

⇒
2
(3 )( 6)x x− +

≤

81
2.
4
= 9

⇒

2
18y ≤

⇒

3 2y ≤
Dấu bằng xảy ra khi
3
2
x = −
Vậy:
ax y = 3 2M

⇔

3
2
x = −

3Miny =

⇔

6
3
x
x
= −


=

0,25
0,75
0,75
0,25
Hết
13
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)
- Lu ý chung ton bi:
+ im ton bi l tng im cỏc bi thnh phn, vn gi li 2 s hng thp phõn
khụng lm trũn s.
+ Nu thớ sinh gii theo cỏch khỏc m lp lun cht ch, tớnh toỏn chớnh xỏc thỡ vn
cho im ti a bi ú.
s 3:
Sở Giáo Dục và Đào Tạo
Cao Bằng
Đề thi chọn học sinh Giỏi lớp 9
Cấp tỉnh năm học 2009 - 2010
Môn: Toán

Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (4im)
Cho biu thc P=
1 1 1x x x x x
x x x x x
+ +
+
+
1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm giá trị của x để P =
9
2
Cõu 2 (4im)
1. Tìm các số nguyên dơng x , y thỏa mãn phơng trình:
xy 2x =3y -1
2. Cho x,y,z là các số thực . Chứng minh rằng

2 2 2 2
( ) 3( )x y z x y z+ + + +
Câu 3 (4 điểm)
1. Cho parabol (P) : y = -x
2
.Đờng thẳng y = m cắt parabol(P) tại hai điểm A và
B.Tìm các giá trị của m để tam giác OAB là tam giác đều . Tính diện tích của tam giác
đều đó
2. Vẽ đồ thị hàm số y =
1 4x x+ +
.Từ đó suy ra các giá trị của m để phơng trình
1 4x x+ +
=m có hai nghiệm phân biệt

Câu 4 (6 điểm)
Cho hình thang vuông ABCD (
à
à
0
90A D= =
), tia phân giác của góc C đi qua trung
điểm I của AD.
1. Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn tâm I, bán kính IA.
2. Cho AD =2a, tính tích số AB.CD theo a.
3. Gọi H là tiếp điểm của BC với đờng tròn tâm I, bán kính IA. K là giao điểm của
AC và BD. Chứng minh rằng KH song song với BC.
Câu 5 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
14
Đề dự bị
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)
P=
2 2
1 1
a b
a b
+

với
a
>1,
b
>1.
Hết

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:.
Sở giáo dục và đào tạo
Cao Bằng
Hớng dẫn chấm đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
cấp tỉnh năm học 2009 - 2010
Môn: Toán
(Hớng dẫn chấm gồm 04 trang)
Cõu Ni dung im
1 4,00
1
Rỳt gn (2,00 dim)
iu kin xỏc nh
0
0 0
0
1
0
0
x
x x x
x
x
x x x x
x

+







0,5
P=
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )
1 1 1 1
1
1 1
x x x x x x
x
x
x x x x
+ + + +
+
+

+
0,5
=
1 1 1x x x x x
x x x
+ + + +
+
=
( )
2
1
2 1
x
x x
x x
+
+ +
=
1,0
2
Tỡm cỏc giỏ tr ca x P=
9
2
(2,00 dim)
P=
9
2


( )

2
1
9
2 5 2 0
2
x
x x
x
+
= + =
1,0



( ) ( )
4
2
2 2 1 0
1
1
4
2
x
x
x x
x
x

=

=


=


=
=



(tha món K)
Vy
1
4 ;
4
x x= =
l giỏ tr cn tỡm
1,0
2 4,00
1
Tỡm cỏc s nguyờn dng .(2,00 dim)
15
Đề dự bị
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)
( )
2 3 1 3 2 1 (*)xy x y y x x = =
Nu x=3 : phng trỡnh (*) khụng tha món
0,5

( )
2 3 5
2 1
ờu 3: ( )
3 3
5
2
3
x
x
N x y y
x x
y
x
+

= =

= +

0,5

y Z
thỡ
5
3
3
Z x
x

l c s ca 5
3 5 8
3 5 2 ( )
3 1 4
3 1 2
x x
x x loai
x x
x x
= =


= =



= =

= =

0,5
Vi : x=8 : y=3
x=2 : y=-3 (loi vỡ x,y nguyờn dng)
x=4 : y=7
Vy giỏ tr x,y nguyờn dng cn tỡm l (x;y)=(8; 3)v
(x:y)=(4;7)
0,5
2
Cho x, y, z l nhng s thc (2,00 dim)

( )
( )
( )
( )
2
2 2 2
2
2 2 2
3
3 0
x y z x y z
x y z x y z
+ + + +
+ + + +
0,5

( )
2 2 2
2 2 2 2 0x y z xy xz yz+ +
0,5
( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2 0x xy y x xz z y yz z + + + + +
0,5
( ) ( ) ( )
2 2 2
0x y x z y z + +
0,5
3 4,00
1 Tìm các giá trị của m (2,00 điểm)

đờng thảng y = m cắt (P) tại hai điểm A và B suy ra m < 0 0,5
PT hoành độ giao điểm: - x
2
= m

x =
m
(m < 0).
Vậy, giao điểm của đờng thẳng y = m với (P) là
A(-
m
;
m
); B(
m
;
m
).
0,5
AB =
B A
x x
=2
m
;
Gi I l giao im ca ng thng y = m vi trc tung =>
I(0;m) ta cú OI l ng cao ca tam giỏc OAB
Tam giác AOB đều khi v ch khi OI = AB.
3
2

m OI =
m

0,5
16
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)

2
2 3
3 3
2
0 ( )
3
m
m m m m m
m loai
m
−
⇒ = ⇔ = − ⇔ = −
=

⇔

= −

=> m= -3
DiÖn tÝch tam gi¸c AOB lµ S =
1
.2 3. 3 3 3
2

− =
(®v dt) 0,5
2
Vẽ đồ thị hàm số……( 2,00 điểm)
Ta có -2x+3 với x<-1
y = 5 với -1≤ x < 4
2x-3 với x≥ 4
0,5
Đồ thị
1,0
Từ đồ thị suy ra pt
1 4x x m+ + − =
có hai nghiệm phân biệt
khi m >5
0,5
4 6,00
1
Chứng minh BC là tiếp tuyến ….… (2,00 diểm)
Kẻ IH vuông góc với BC tại H ,ta chứng minh H
∈
(I; IA)
0,5
Theo giả thiết
·
0
90IDC =
, xét hai tam giác vuông IDC và
IHC có IC chung
·
·

ICD ICH=
( vì CI là phân giác góc C )
0,5
17
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
Suy ra ∆ICD=∆IHC => IH =ID (=IA=
2
AD
) => H
∈
(I; IA) 0,5
Vì IH vuông góc với BC tại H => BC là tiếp tuyến của
(I;IA) tại điểm H
0,5
2
Tính tích số AB.CD theo a (2,00 diểm)
Cho AD = 2a => IA = ID = a .Vì BA là tiếp tuyến của (I;IA)
tại A nên BA =BH ,ta lại có IA = IH =>∆ABI = ∆HBI =>
·
·
AIB HIB=
0,5
Ta có
·
·
0
180ABC BCD+ =
vì AB//CD mà
·
·

ABI HBI=
(do
BA,BH là tiếp tuyến của (I;IA) )
·
·
ICD ICH=
( theo giả thiết ) =>
·
·
·
·
0
0
180
90
2 2
ABC BCD
IBH ICH
+
+ = = =
=>
·
0
90BIC =
0,5
Trong tam giác IBC vuông tại I ta có IH vuông góc với BC
=> HB.HC = IH
2
=a
2

0,5
Mặt khác theo tính chất của tiếp tuyến ta có BH =BA,
CH =CD => AB.CD = HB.HC =a
2
0,5
3
Chứng minh KH song song với BC (2,00 diểm)
K AC BD= ∩
Ta có ∆ABK đồng dạng với ∆CDK (vì AB // CD)
=>
AB BK
CD DK
=

0,5
Theo tính chất tiếp tuyến có AB=BH ;CD=CH =>
BK BH
DK CH
=
1,0
Theo định lý Ta-let đảo ta có HK // với CD 0,5
5 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2.00
Đặt
0,0
1
1
1
1
>>




+=
+=
⇔



−=
−=
yx
yb
xa
by
ax
0.5
Ta có
( ) ( )
2 2
1 1
1 1
4
x y
P x y
x y x y
+ +
 
 
= + = + + + +
 ÷

 ÷
 
 
0,5
Dễ dàng chứng minh;
1 1
2, 2 8x y P
x y
+ ≥ + ≥ ⇒ ≥
0,5
Suy ra minP=8
2
2
1
2
2 1 0 1
1
1
2 1 0
2
x
x x x
x
y
y y
y
y

+ =



− + = =

 
⇔ ⇔ ⇔
  
=
− + =


 
+ =


0,5
HÕt
18
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)
- Lu ý chung toàn bài:
+ Điểm toàn bài là tổng điểm các bài thành phần, vẫn giữ lại 2 số hạng thập phân.
+ Nếu thí sinh giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn
cho điểm tối đa bài đó.
s 4:
Sở Giáo Dục và Đào Tạo
Cao Bằng
Đề thi chọn học sinh Giỏi lớp 9
cấp tỉnh năm học 2009-2010
Môn: Toán
Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (4 điểm)

Cho biểu thức
3 2 1 1
:
1
( 2)( 1) 1 1
a a a a
P
a
a a a a

+ + +

= +

ữ

+ +


1. Rút gọn biểu thức P
2. Tìm
a
để
1 1
1
8
a
P
+

Câu 2(4 điểm)
1. Tìm các số nguyên dơng x,y thỏa mãn phơng trình

1 1 1
2x y
+ =
2. Chứng minh rằng
A =
2 3 5 13 48
6 2
+ +
+
là số nguyên
Câu 3 (4 điểm)
1. Cho h phng trỡnh
1x ay
ax y a
+ =


+ =

vi a l tham s.
a) Chng minh h phng trỡnh luụn cú mt nghim duy nht vi mi giỏ tr ca a
b) Tỡm cỏc giỏ tr ca a h phng trỡnh cú nghim (x;y) tha món x<1, y<1.
2. Cho hàm số f(x) =ax + b có tính chất
(3) (1) (2)f f f
và
(4) 2f =
. Chứng minh

rằng a=0 và f(0)=2
Câu 4 (6 điểm)
Cho hình vuông ABCD. Trên cạnh AB lấy điểm M, (M không trùng với Avà
B),trên tia đối của tia CB lấy điểm N sao cho AM = CN . Gọi E là trung điểm của MN.
Tia DE cắt tia BC tại F, qua M vẽ đờng thẳng song song với AD cắt DF tại H . Chứng
minh rằng
1. Tứ giác MFNH là hình thoi.
19
Đề chính thức
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)
2. ND
2
= NB.NF
3. Chu vi tam giác BMF không đổi khi M di động trên cạnh AB
Câu 5 (2 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P = x
2
+5y
2
+5z
2
- 4xy - 4yz- 4z+12
Hết
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Họ tên, chữ ký của giám thị 1:.
Sở giáo dục và đào tạo
Cao Bằng
Hớng dẫn chấm đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9
cấp tỉnh năm học 2009 - 2010

Môn: Toán
(Hớng dẫn chấm gồm 04 trang)
Câu Nội dung Điểm
1
4,00
1 Rút gọn P (2,00 điểm)
Điều kiện
0
1
a
a





0,5
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
1 2 1
2
:
1
2 1 ( 1) 1
a a a a
a
P
a

a a a a

+ + +

=


+ +

0,5
( ) ( )
1 1
1 1
.
1 2 2
a a
a
a a a
+
+
= =

1,0
2 Tìm a để (2,00 điểm)
1 1 6 9
1 0
8
8( 1)
a a a
P

a
+ +

+
(1) 1,0
Do a>0 nên
1a +
>0. Từ (1) suy ra
2 2
( 3) 0 ( 3) 0 3 0
3 9
a a a
a a
=
= =
1,0
2
4,00
1 Tìm x,y nguyên dơng(2,00 điểm)
( ) ( )
1 1 1
2 2 2 2 1
2
x y xy x y x
x y
+ = + = =

(x 0; y0)
Nếu x=2 thì phơng trình (1) không thỏa mãn
0,5

Nu x 2 thỡ (1)


2 4
2
2 2
x
y
x x
= = +

0,5
20
Đề chính thức
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)

y Z
thỡ
4
2
2
Z x
x


l c s ca 4,
Tc l
3
1
2 1

4
2 2
0 ( )
2 4
2 ( )
6
x
x
x
x
x
x loai
x
x loai
x
=


=

=


=

=


=

=


=

=

(vỡ x nguyờn dng)
Khi: x=3 thỡ y=6 ; x=1 thỡ y=-2 (loi);
x=4 thỡ y=4 ; x=6 thỡ y=3 (vỡ y nguyờn
dng)
0,5
Vậy phơng trình đã cho có nghiệm (x;y) là
(3;6); (4;4); (6;3)
0,5
2 Chứng minh rằng (2,00 điểm)
A=
2
2 3 5 (1 2 3)
6 2
+ +
+
0,5
=
( )
2
2 3 3 1
6 2
+

+
0,5
=
2 2 3 8 4 3
6 2 6 2
+ +
=
+ +
0,5
=
( )
2
6 2
1
6 2
+
=
+
(là số nguyên) 0,5
3 4,00
1
Cho h phng trỡnh ( 2,50 im)
a
Chng minh rng h luụn cú nghim duy nht
(1,00 im)
T x+ay =1 (1) suy ra x =1- ay thay vo
phng trỡnh:
ax +y =a (2) ta c (
2
1) 2a y a+ =

(3)
0.5
Vỡ
2
1 0a +
vi mi a nờn phng trỡnh (3) cú
nghim duy nht
2
2
1
a
y
a
=
+
, thay vo (1) ta
c duy nht giỏ tr
x=1- ay.
Vy h phng trỡnh cú duy nht nghim
(x;y) vi mi a
0,5
21
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)
b
Theo cõu a ta cú vi mi a h pt luụn cú
nghim duy nht (x;y) =
2
2 2
1 2
;

1 1
a a
a a


ữ
+ +

0,5
h cú nghim (x;y) tha món x<1, y<1 thỡ
2
2 2
2
2
2
1
1
1 1
1
2
2 1
1
1
a
a a
a
a
a a
a

+

+


+




+

(vỡ a
2
+1>0 )
0,5
( )
2
2
2 0
0
1
1 0
a
a
a

a












Vy vi a

0 v a1 thỡ h pt cú nghim (x;
y) tha món x<1; y<1
0,5
2 Cho hàm số (1,50 điểm)
f(3) f(1) f(2)

3a + b a + b 2a + b

3a a 2a
0,5
Do 3a a nên a 0 (1)
Do 2a a nên a 0 (2)
0,5
Từ (1) và (2) suy ra a = 0. Vậy hàm số đã cho
f(x) = b (hàm số hằng)

Theo đầu bài f(4) = 2 nên f(0) = 2 và hàm số
đã cho là hàm số f(x) = 2
0,5
4
6,00
1
Chứng minh tứ giác l hỡnh thoi (2im)
Xét hai tam giác vuông: MAD và NCD ta
có AM = CN;
ã
ã
0
90 ;MAD NCD AD CD= = =
suy
ra MAD = NCD
0,5
Suy ra DM = DN và
ã
ã
ADM CDN=
0,5
Mặt khác
ã
ã
ã
ã
0 0
90 90ADM MDC suy ra NDC MDC+ = + =
suy
ra MND vuông cân tại D, mà E là trung

0,5
22
Hình vẽ câu
4
Cỏc thi hc sinh gii mụn Toỏn lp 9 cp tnh ( kốm ỏp ỏn)
điểm của MN => DE l trung trc ca MN,
H

DE => NH = HM.
Ta cú MHE = NEF (g,c,g) => MH=NF
Ta li cú MH// NF => MFNH l hỡnh bỡnh
hnh
Vy t giỏc MFNH l hỡnh thoi
0,5
2
Chứng minh (2im)
Xét hai tam giác: FDN và DBN ta thy gúc
à
N
chung v
ã ã
0
45FDN DBN= =

0,5
suy ra
NDF

ng dng
( ; )NBD g g

0,5
Suy ra
ND NF
NB ND
=
0,5
Suy ra ND
2
= NB.NF
0,5
3 Chu vi tam giỏc (2 im)
Gi P l chu vi ca tam giỏc BMF ta cú :
P = BM+MF +BF =BM+BF+FN
0,5
= BM + BF +FC +CN =(BM+CN)+(BF+FC)
0,5
=(BM+AM) +(BF+ FC) (vỡ AM=CN)
0,5
=AB+BC =2AB khụng i
0,5
5 Tỡm giỏ tr nh nht 2,00
P=x
2
+5y
2
+5z
2
-4xy-4yz-4z+12
=(x
2

-4xy+4y
2
)+(y
2
-4yz+4z
2
)+(z
2
-4z+4)+8
0,5
=(x-2y)
2
+(y-2z)
2
+(z-2)
2
+88 0,5
Vy MinP= 8
2 0 8
2 0 4
2 0 2
x y x
y z y
z z
= =


= =

= =

1,0
Hết
- Lu ý chung toàn bài:
+ Điểm toàn bài là tổng điểm các bài thành phần, vẫn giữ lại 2 số hạng thập phân.
+ Nếu thí sinh giải theo cách khác mà lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác thì vẫn
cho điểm tối đa bài đó.
23
Các đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9 cấp tỉnh ( kèm đáp án)
24