Đề thi và đáp án chi tiết học sinh giỏi môn toán lớp 12

đề thi hsg môn toán 12
(thời gian :180 phút)
Câu 1 (2.0đ) Tính tổng sau S
n
=
nn
x
tg
x
tg
x
tg
22
1

22
1
22
1
22
+++
Câu 2 (2.0 đ) Tính tích phân sau


+
2
0
2222
sincos
sin

dx
xbxa
xcox
(Với a
)0;0 b
Câu 3 (2.0 đ) Cho hệ phơng trình



=+
=+
xyx
mmyx
22
1/ Biện luận số nghiệm của hệ phơng trình theo m
2/ Khi hệ có hai nghiệm (x
1
;y
1
);(x
2
;y
2
) tìm m để S = (x
2
-x
1
)
2
+(y

2
-y
1
)
2
đạt giá trị lớn
nhất
Câu 4 (2.0 đ) Giải phơng trình
12831()112(3
22
+++=+ xxxx

Câu 5 (2.0đ ) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phơng trình sau đây có
nghiệm

xxx
m
222
sincossin
332 +
Câu 6 (2.0 đ ) Tìm giới hạn sau
3
2
)sin1)(sin1)(sin1(
sin1
xxx
x
LimL
pnm
pnm

x


=
++


(với m ,n ,p là ba số nguyên dơng cho trớc )
Câu7 (2.0đ) Giải và biện luận theo tham số m hệ bất phơng trình sau









+


m
x
x
x
2sin
sin1
2
2
3cos51

log
4
4
cos

Câu 8 ( 2.0 đ ) Cho tứ diện OABC có OA ,OB ,OC đôi một vuông góc với nhau. Vẽ
đờng cao OH của tứ diện .
Đặt

COHBOHAOH
BCACABCBCABA
===
===

;;
;;
Chứng minh rằng
CBA 2sin
sin
2sin
sin
2sin
sin
222

==
Câu 9 (4.0đ ) Cho hình chóp tam giác SABC .Biết rằng tồn tại hình cầu tâm O, bán
kính R ( O nằm trên đờng cao hình chóp) tiếp xúc với cả 6 cạnh hình chóp.
1/ Chứng minh rằng SABC là hình chóp đều.
2/ Cho SC =R

3
. Tính chiều cao hình chóp.

đáp án
(đề thi hsg môn toán 12)
Câu 1 Ap dụng :
( )
nn
x
tg
x
co
u
u
u
2
2
1
)
2
cos(lnln
/
/
/
==
Do đó nếu đặt
/
2
)(ln
2

cos
2
cos.
2
cos
nn
n
n
PS
xxx
P ==
có

x
x
xxxx
x
P
n
n
nnn
n
n
sin
2
1
.
2
sin
1

2
cos
2
cos.
2
cos
2
sin
2
sin
1
1
===

do đó
nnn
n
n
x
ggxx
x
S
2
cot
2
1
cotsin
2
1

.
2
sin
1
ln
/
+=












=
Câu 2
Đặt I là tích phân đã cho.Xét 2 trờng hợp sau:
:
baTH
a
xxd
a
IbaTH

===

:
2
1
)(sinsin.
1
:
2
2
0
1

Với

[ ]
( )
ab
t
ab
t
dt
ab
I
xdxxabdxxxbxxadtxbxat
b
a
b
a
+
=

=

=
=+=+=

11
2
1
cossin)(2cossin2sincos2sincos
/
2
2
2
2
2222
22222222
Kl :
ba
I
+
=
1
Câu 3
Hệ pt
( )
( )

=+
=+

2
4
1
)
2
1
(
10.
22
yx
mymx
Nhận xét : (1) là pt dờng thẳng D
m
: x+(y-1).m =0 đi qua điểm cố định A
(0;1)
(2) là pt đờng tròn ( C) có tâm I
(1/2;0)
, bán kính R=1/2
do đó số nghiệm của pt chính là số giao điểm của D
m
và (C)
Tiếp tuyến của (C) xuất phát từ A chính là OA, (x=0) và dờng thẳng AB
Đặt
( )
1

3
4
1
.2
.2.
_
2
_________
==

===




tgdo
tg
tg
OAtgOAOBOAI
Mặt khác ,
___
OB
là hoành độ giao điểm của D
m
và Ox nên
___
OB
=m
Biện luận
./ m=0 hoặc m=4/3 ,hpt có nghiệm duy nhất.

./ o<m<4/3 ,hpt có hai nghiệm phân biệt .
./ m<0 hoặc m>4/3, hpt vô nghiệm .
2/ S =M
1
M
2
2
do đó diện tích S đạt giá trị lớn nhất khi và chỉ khi M
1
M
2
đi qua I
2
1
2
1
_____
=== mOIOB
Câu 4
Đặt
112
2
+= xt
thay vào pt đợc t =x/3 hoặc t= 1-3x
Giải ra đợc x=0
KL : Pt có nghiệm x = 0
Câu 5
)1(3
3
2

3.32
22
2
222
sincos
sin
sincossin
mm
xx
x
xxx
+






+


Xét hàm số
( )
)(,3
3
2
22
2
sincos
sin

Rxf
xx
x
x
+






=

Vì

3312cossincos
1
3
2
0sin
22
2
sincos22
sin
2
=

xx
x
xxx
xx
do đó
( )
Rxf
x
4
. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = k
)( Zk


Kết luận :Bpt có nghiệm với m
4
.
Câu 6
Đặt y= sin x ( khi
)1
2
yx

. Ta có
( )( )( )
( )
( )

( )( )
(
)
=
+++++++++
++++
=


=

++

++

3
111
12
1
3
1
1 1) 1(1
1)1(
111
1
pnm
pnm
y
pnm
pnm

y
yyyyyyy
yyyy
Lim
yyy
y
LimL
( )
( )( )
(
)
3
3
111
12
1

1 1) 1(
1
pnm
pnm
yyyyyy
yyy
Lim
pnm
pnm
y
++
=
+++++++++

++++
=

++

Câu 7
Điều kiện :
( )
1
02sin
03cos51
4





x
x
Bpt đầu của hệ tơng đơng với :

2
2
2
4
2
2
2
2
2
3cos51
Log
x
Log
)(
36
03cos03cos
2
1
2
3cos51
4

4
Zkkxxx
x
+==










Do đ/k (1) chỉ cần xét






+=
+=




2
6
5

2
6
kx
kx
Xét bất pt thứ hai của hệ, đặt
( )
x
x
f
x
2sin
sin1+
=
do
( )
x
f
có chu kỳ

2
nên ta chỉ cần tính
3
3
;3;
3
3
;3
6
5
6

5
62
====

ffff
Kl :














2
6
5
;2
6
3/
2
6
5
;2
6
3
3
3

/.
2
6
;2
6
5
3
3
3
3
/.
2
6
5
3
3
3/.
3/.
kxkxm
kxkxm
kxkxm
kxm
xm
+=+=
+=+=
+=+=
+=

Câu 8
Dễ thấy H là trực tâm
ABC

và
ABC

là tam giác nhọn,AH kéo dài cắt BC tại
A
1
,do đó AA
1

BC. Vì OA

(OBC) nên theo đ/l ba đờng vuông góc ,có OA
1

BC. Ta
có
( )
1sin
2
2
2
OA
AH

=

Xét tam giác vuông OAA
1
đỉnh O, có OA
2
= AH. AA
1
, từ (1) có
1
2
sin
AA
AH
=

Vẽ đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC ,gọi I là tâm của nó ,gọi G là trọng tâm tam giác ABC,
khi đó H, G, I thẳng hàng (đờng thẳng Ơle) và HG =2 .IG suy ra AH = 2 .IM và Â=
( )
2
.
.2
.
.2
.2 2cos.sin.22sin
2
R
AHBC
IB
AH

IB
BC
IB
IM
IB
BM
AAABIMCAB =====
( với R là bán kính đờng tròn ngọài tiếp tam giác ABC)
Từ (1) và (2) ta có :
ABC
S
R
AABC
R
A

==
2
1
22

2
2sin
sin

C/m tơng tự cũng có
ABC
S
R
CB

==
222
2sin
sin
2sin
sin

Từ đó suy ra điều phải chứng minh.
Câu 9

Gọi M,N, P là các tiếp điểm của hình cầu với các cạnh AB, BC , CA.Gọi SH là đờng cao
hình chóp ,O là tâm hình cầu đã cho, khi đó O thuộc SH.Theo định lý ba đờng vuông góc , có
HM

AB(vì OM

AB,do hình cầu tiếp xúc AB tại M) Tơng tự HN

BC, HP

AC. Vì OM
=ON =OP =R nên HM =HN =HP do đó H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC.
Gọi K, E là tiếp điểm hình càu Với SA và SC .Ta có SK SE (hai tiếp tuyến cùng xuất phát
từ một điểm),do đó

KSO=

SOE
SCSASCHSAHOSEKSO

===
Lập luận tơng tự đợc SA=SB hay SA=SB=SC do đó H là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác
ABC ,suy ra tam giác ABC đều,vậy hình chóp SABC đều.
2/
Đặt
AHAS
AS
AH
R
R
OS
OK
ASH .3
3
3
3
sin ======

Đặt SH=h ;HN=x do đó AH =x
Xét tam giác vuông SAH, có : SA
2
=SH
2
+ AH
2
nên h
2
= 8 x
2
từ đó

R
2
= h
2
2.h .R
( )
133
22
xR ++
Thay h
2
=8.x
2
vào (1) đợc : 9.h
2
16
( )
20.16 3
2
=+ RRh
Từ (2)
3
.34 R
h =
hoặc
9
.34 R
h =
(loại, vì h=SH >SO
9

.34
3.
R
R =
)
Vậy SH=
3
.34 R
Hớng dẫn chấm môn toán 12
Câu 1 (2,0đ)
./ HS biết sử dụng công thức (lnu)
/
=u

/u (1,0 đ)
. / Viết đợc P
n
=
x
x
n
n
sin.
2
1
.
2
sin
1
(0,5đ)

. / Kl :
nn
n
x
ggxS
2
cot.
2
1
cot +=
(0,5 đ)
Câu 2 ( 2,0 đ)
Th
1
:
a
I
2
1
=
(0.5 đ)
Th
2
: Đặt

ba
I
xxabdtxbxat
+
=

=+=
1
cos.sin) (2sin.cos.
222222
(1.5 đ)
Câu 3 (2,0 đ)
1/
. / Nhận xét đợc số nghiệm của pt là số giao điểm của D
m
và (C) (1.0 đ)
. / Kl đúng (0.5 đ)
2 / m = 1 / 2 (0.5 đ)
Câu 4 (2.0 đ)
./ Đặt t=





=
=
+
xt
x
t
x
31
3
12
2

(1.0 đ)
. / Giải đợc x = 0 (1.0 đ)
Câu 5 (2.0 đ)
. / Đa đợc
( )
mf
xx
x
x
+






=

22
2
sincos
sin
3
3
2
(1.0 đ)
. / Nx :
33;1
3
2

22
2
sincos
sin







xx
x
(0.5 đ)
. / Kl : m
4
(0.5 đ)
Câu 6 (2.0 đ)
. / Đặt y = sinx ;
)1
2
( yx

(0.5 đ)
. / l =
3
( )
1
pnm
yy

Lim
++
+++
(1.0 ®)
. / Kl : (0.5 ®)
C©u 7 (2.0 ®)
. / ® / k (0.5 ®)
. / Bpt (1 )
3
.
6
ππ
kx +=⇔
(0.5 ®)
. / Tõ ® / k






+±=
+±=
⇒
π
π
π
π
2.
6

5
2.
6
kx
kx
(0.5 ®)
. / Kl ®óng (0.5 ®)
C©u 8 ( 4,0 ®)
C©u 9 (2.0 ®)
. / Nx : O
SH∈
( 0,5 ® )
. / H lµ t©m ®êng trßn néi tiÕp ( 0.5 ®)
./ H lµ t©m ®êng trßn ngo¹i tiÕp (0,5 ®)
. / Kl (0,5 ®)