Bài giảng Đại số tuyến tính (ĐH Bách khoa Tp.HCM) Chương 6 Ánh xạ tuyến tính:

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng


Đại số tuyến tính
Chương 6: Ánh xạ tuyến tính
Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh
Email :
Website: www.tanbachkhoa.edu.vn;
www2.hcmut.edu.vn/~dangvvinh
Nội dung

I – Định nghĩa và ví dụ.
III – Ma trận của ánh xạ tuyến tính trong cặp cơ sở
IV –Ma trận chuyển cở sở, đồng dạng
II – Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính
I. Định nghĩa và ví dụ

Cho hai tập hợp tùy ý X và Y khác rỗng.
Định nghĩa ánh xạ
:
f X Y

, ! : ( )
x X y Y y f x
    
Ánh xạ giữa hai tập X và Y là một qui tắc sao cho mỗi x
thuộc X tồn tại duy nhất một y thuộc y để y = f(x)
Ánh xạ f được gọi là đơn ánh nếu
1 2 1 2
( ) ( )

x x f x f x
  
Ánh xạ f được gọi là toàn ánh nếu
, : ( )
y Y x X y f x
    
Ánh xạ f được gọi là song ánh nếu đơn ánh và toàn ánh.
I. Định nghĩa và ví dụ


Cho ánh xạ tức là chỉ ra qui luật, dựa vào đó có thể biết ảnh
của mọi phần tử thuộc X.
Có rất nhiều cách cho ánh xạ: bằng đồ thị, bằng biểu đồ,
bằng biểu thức đại số, bằng cách liệt kê,…
Hàm số mà ta học ở phổ thông là ví dụ về ánh xạ.
I. Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa ánh xạ tuyến tính
Cho V và W là hai không gian véctơ trên cùng trường số K.
2.
( , ) ( ) ( )

K v V f v f v
  
    
Ánh xạ tuyến tính giữa hai không gian véctơ V, W
:
W
f V


là một ánh xạ thỏa
1.
1 2 1 2 1 2
( , ) ( ) ( ) ( )

v v V f v v f v f v
    
I. Định nghĩa và ví dụ


Chứng tỏ ánh xạ cho bởi
2
3
:
R
R
f

2
1 2
1
3
1
3
3
( , , ); ( ) ( 2 3 ,2 )
x
x x x x
x x
x

x
f x
     
Ví dụ
là ánh xạ tuyến tính.
1 2 3 1 2 3 3
( , , ); ( , , )
x x x x y y y y R
   
1 1
2
3 3
2
( ) ( , , )
x y
x y
x
f x y
y
f





3 3 3
1 1 1
3
2 2
1

3
2
( ) ( ,
3
)
2
2
2
x y x
x y x y
x y
x
y
f y
 




 
 
1 1
3 3
1
2
1
3
2
3
3 3

( ) ( ,
2 2
)
2 2
( , )
x x y y
f x y
x
y
y y
x
x
    
 


( ) ( ) ( )
f x y f x f y
  
Tương tự chứng minh điều kiện thứ hai, suy ra f là ánh xạ tuyến
tính.
I. Định nghĩa và ví dụ


Cho là ánh xạ tuyến tính.
W
V
f

:

Cho E ={e
1
, e
2
, …, e
n
} là tập sinh của V.
Giả sử biết f(e
1
), f(e
2
), …, f(e
n
).
1 1 2 2
n n
x V x x e x e x e
      

1 1 2 2
( ) ( )
n n
f x f x e x e x e
   

1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n
f x f x e f x e f x e
   


1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
n n
f x x f e x f e x f e
   

Ánh xạ tuyến tính được xác định hoàn toàn nếu biết được
ảnh của một tập sinh của V.
I. Định nghĩa và ví dụ


Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết
3 2
:
f R R

(1,1,1) (1,2),
f

(1,1,0) (2, 1),
f
 
(1,0,1) ( 1,1);
f
 
1. Tìm f (3,1,5)
2. Tìm f (x)
1. Giả sử

(3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)
  
  
3
1
5
  
 
 
  


  


 

2, 3, 2
  
    
(3,1,5) ( (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1))
f f
  
   
(3,1,5) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)
f f f f
  
   
(3,1,5) 2(2, 1) 3(1,2) 2( 1,1)
f

     
( 3,10)
 
I. Định nghĩa và ví dụ


Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết
3 2
:
f R R

(1,1,1) (1,2),
f

(1,1,0) (2, 1),
f
 
(1,0,1) ( 1,1);
f
 
1. Tìm f (3,1,5)
2. Tìm f (x)
2. Giả sử
1 2 3
( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)
x x x x
  
   
1

2
3
x
x
x
  
 
 
  


  


 

1 3
1 2 3
1 2
x x
x x x
x x



 


    



 

1 2 3
( ) ( , , ) (1,1,0) (1,1,1) (1,0,1)
f x f x x x f f f
  
    
1 3 1 2 3 1 2
( ) ( )(2, 1) ( )(1,2) ( )( 1,1)
f x x x x x x x x
         
2 3 1 2 3
( ) (2 , 2 3 )
f x x x x x x
    
Ánh xạ f được xác định hoàn toàn
nếu biết được ảnh của một cơ sở của
R
3
. Chọn cơ sở chính tắc
I. Định nghĩa và ví dụ


Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz
quanh trục 0z một góc 30
o
ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ
hướng dương của trục 0z. Tìm f(x).

Đây là ánh xạ
3 3
:
f R R

o
y
z
x
(0,0,1) (0,0,1)
f

3 1
(1,0,0) ( , ,0)
2 2
f 
1 3
(0,1,0) ( , ,0)
2 2
f


1 2 1 2 3
3 1 1 3
( ) ( , , )
2 2 2 2
f x x x x x x
   
Ánh xạ f được xác định hoàn toàn nếu biết được ảnh của một
cơ sở của R

3
.
I. Định nghĩa và ví dụ


Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép đối xứng trong không gian
0xyz qua mặt phẳng . Tìm f(x).
Tương tự ví dụ trước, đây là ánh xạ
3 3
:
f R R

(2, 1,3) ( 2,1, 3)
f
   
(1,2,0) (1,2,0)
f

(0,3,1) (0,3,1)
f

( )
f x

2 3 0
x y z
  
Nếu chọn cơ sở chính tắc thì việc tìm ảnh qua mặt phẳng đã
cho phức tạp. Ta chọn cơ sở của R

3
là: pháp véctơ của mặt
phẳng và cặp véctơ chỉ phương của mặt phẳng.
I. Định nghĩa và ví dụ


Ánh xạ nào sau đây là ánh xạ tuyến tính?
Ví dụ
1.
)
,
3
2
(
)
,
(
;
:
1
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x

x
f
R
R
f



2.
)
0
,
2
(
)
,
(
;
:
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
f

R
R
f



3.
)
1
,
2
(
)
,
(
;
:
1
2
1
2
1
2
2




x
x

x
x
x
f
R
R
f
4.
)
,
1
(
)
,
(
;
:
2
1
2
1
2
2
x
x
x
x
f
R
R

f



5.
),(),(;:
2
1
2
1
2
1
2
2
xxxxxfRRf 
6
)
,
(
)
,
(
;
:
1
2
2
1
2
2

x
x
x
x
f
R
R
f


II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Cho ánh xạ tuyến tính.
Định nghĩa nhân của ánh xạ tuyến tính
W
V
f

:


0
)
(
|



x
f

V
x
Kerf
Nhân của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các vectơ x
của không gian véctơ V, sao cho f(x) = 0.
V W
0
Kerf
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là tập hợp tất cả các phần tử y
của không gian véctơ W sao cho tồn tại để y = f(x).
Định nghĩa ảnh của ánh xạ tuyến tính


)
(
:
|
Im
x
f
y
V
x
W
y
f






Cho ánh xạ tuyến tính.
W
V
f

:
x V

V
W
Imf
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính


Định lý
Cho ánh xạ tuyến tính
W
V
f

:
1. Nhân của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của V.
2. Ảnh của ánh xạ tuyến tính f là không gian con của W.
3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)
Chứng minh.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

3. dim(kerf) +dim(Imf) = dim (V)Chứng minh.
Giả sử dim(Kerf) = m.Tồn tại cơ sở của nhân
1 2
, , ,
{ }
m
E e e e

Bổ sung vào E để được cơ sở của V:
1 1 1
, , , , , }
{
m n
E e e v v

Ta chứng tỏ cơ sở của Imf là:
2 1
( ), , ( )
{ }
n
E f v f v

Im : ( )
y f x V y f x
     
1 1 1 1
( )
m m n n
y f e e v v

   
      
1 1 1 1
( ) ( ) ( ) ( )
m m n n
y f e f e f v f v
   
      
1 1
( ) ( ).
n n
y f v f v
 
   
Vậy E
2
là tập sinh của Imf.
1) E
2
là tập sinh:
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính


2) Chứng minh E
2
độc lập tuyến tính.
1 1
( ) 0
n n
f v v

 
   
1 1
.
er
n n
v v K f
 
   
1 1 1 1

n n m m
v v e e
   
     
1 1 1 1
0
n n m m
v v e e
   
      
Vì E
1
độc lập tt nên
1 2
0
m
  
   
Suy ra E

2
độc lập tuyến tính.
1 1
( ) ( ) 0
n n
f v f v
 
  
Giả sử
Vậy E
2
là cơ sở của Imf.
dim(Imf ) = n. Hay dim(Imf ) + dim(Kerf ) = m + n = dim(V).
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính


Mệnh đề
Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra
bởi ảnh của một tập sinh của V.
Chứng minh.
1 2
, , ,
{ }
n
E e e e

Giả sử tập sinh của V là
Im
y f
 

: ( )
x V y f x
   
Vì x thuộc V nên x là thtt của E.
1 1 2 2
( )
n n
y f x e x e x e
   
Ánh xạ f là tuyến tính nên ta có
1 1 2 2
( ) ( ) ( )
n n
y x f e x f e x f e
   
1 2
( ), ( ), , ( )
{ }
n
F f e f e f e

sinh ra y.
1 2
Im ( ), ( ), , ( )
n
f f e f e f e
  
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính

Các bước tìm ảnh của ánh xạ tuyến tính.
1. Chọn một cơ sở của V là
1 2
, , ,
{ }
n
E e e e

3.
1 2
Im ( ), ( ), , ( )
n
f f e f e f e
 
Chú ý: a) Còn có nhiều cách giải khác.
2. Tìm
1 2
( ), ( ), , ( )
n
f e f e f e
b) Tùy theo đề bài mà ta chọn cơ sở (ở bước 1) phù hợp, để việc
tìm ảnh của cơ sở đó nhanh.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính


Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết
3 3
:

f R R

3
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) :
( ) ( , , ) ( ,2 3 ,3 5 )
x x x x R
f x f x x x x x x x x x x x x
  
       
1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.
1 2 3
( , , ) Ker
x x x x f
  
( ) 0
f x
 
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ,2 3 ,3 5 ) (0,0,0)
x x x x x x x x x
       
1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
2 3 0
3 5 0
x x x

x x x
x x x
  


   


  

1 2 3
2 ; ;
x x x
  
    
(2 , , )
x
  
  
(2, 1,1)
x

  
Vậy E={(2,-1,1)} là tập sinh và cũng là cơ sở của Kerf
dim(Kerf) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính


Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết

3 3
:

f R R
3
1 2 3
1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) :
( ) ( , , ) ( ,2 3 ,3 5 )
x x x x R
f x f x x x x x x x x x x x x
  
       
2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.
Chọn cơ sở chính tắc của R
3
là
(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
{ }
E

Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi
ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R
3
.
Im (1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)
f f f f
 
Im (1,2,3),(1,3,5),( 1, 1, 1)
f

    
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
dim(Im ) 2
f

Cơ sở: E={(1,1,1), (0,1,2)}
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính


Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết
3
3
:
f R R

1. Tìm cơ sở và chiều của Kerf.
Cách 1(thường sử dụng).
(1,1,1) (1,2,1);
f

(1,1,2) (2,1, 1);
f
 
(1,2,1) (5,4, 1);
f
 
1 2 3 3
( , , )
x x x x R

  
1 2 3
( , , ) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1)
x x x x
  
   
1
2
3
2
2
x
x
x
  
  
  
  


   


  

1 2 3
3 1
2 1
3
x x x

x x
x x



  


  


 

1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( 4 4 , 2 ,5 2 2 )
f x x x x x x x x x x
        
er
1 2 3
( , , )
x x x x K f
  
( ) 0
f x
 
Hệ thuần nhất
(2 , ,4 )
x
  
 

(2,1,4)
x

 
Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính


(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1)
{ }
E

Cách 2. Chọn cơ sở
Ker
x f
 
( ) 0
f x
 
Giả sử tọa độ của x trong E là
1
2
3
[ ]
E
x
x x
x
 
 


 
 
 
1 2 3
(1,1,1) (1,1,2) (1,2,1)
x x x x
   
1 2 3
( ) (1,1,1) (1,1,2) (1,2,1)
f x x f x f x f
   
1 2 3 1 2 3 1 2 3
( ) ( 2 5 ,2 4 , )
       
f x x x x x x x x x x
Hệ thuần nhất, giải ra có
( ) 0
f x

1 2 3
, 2 ,
x x x
  
    
2
[ ]





 
 
 
 
 
 
E
x
(1,1,1) 2 (1,1,2) (1,2,1)
x
  
    
( 2 , , 4 ) (2,1,4)
x
   
      
Cơ sở của Kerf E={(2,1,4)}, dim(Kerf) = 1.
II. Nhân và ảnh của ánh xạ tuyến tính


Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính , biết
3
3
:
f R R

2. Tìm cơ sở và chiều của ảnh Imf.
(1,1,1) (1,2,1);

f

(1,1,2) (2,1, 1);
f
 
(1,2,1) (5,4, 1);
f
 
Chọn cơ sở của R
3
là
(1,1,1),(1,1,2),(1,2,1)
{ }
E

Ảnh của ánh xạ tuyến tính là không gian con được sinh ra bởi
ảnh của một cơ sở (tập sinh) của R
3
.
Im (1,1,1), (1,1,2), (1,2,1)
f f f f
 
Im (1,2,1),(2,1, 1),(5,4, 1)
f
   
Lập ma trận, dùng bđsc đối với hàng đưa về bậc thang, kết luận:
dim(Im ) 2
f

Cơ sở: E={(1,2,1), (0,1,1)}

Có thể tìm f(x) như ở ví dụ trước rồi
tìm nhân và ảnh.
I. Định nghĩa và ví dụ


Ví dụ
Cho ánh xạ tuyến tính là phép quay trong không gian 0xyz
quanh trục 0z một góc 30
o
ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ
hướng dương của trục 0z.
Tìm cơ sở và chiều của nhân và ảnh.
o
y
z
x
Ta giải bằng cách lập luận đơn giản sau:
Qua phép quay chỉ có mỗi véctơ 0 có
ảnh bằng 0. Vậy nhân chứa một véctơ
0, dim(Kerf) = 0, không có cơ sở.
dim(kerf) + dim(Imf) = dim (R
3
). Suy ra dim(Imf) = 3
Vậy Imf = R
3
.