Bài giảng Đại số tuyến tính (ĐH Bách khoa Tp.HCM) Chương 5 Không gian Euclid:

Trường Đại học Bách khoa tp. Hồ Chí Minh
Bộ môn Toán Ứng dụng


Đại số tuyến tính
Chương 5: Không gian Euclid
• Giảng viên Ts. Đặng Văn Vinh (12/2007)

Nội dung

5.1 – Tích vô hướng của hai véctơ. Các khái niệm liên quan.
5.3 – Quá trình trực giao hóa Gram – Schmidt.
5.2 – Bù vuông góc của không gian con.
5.4 – Hình chiếu vuông góc, khoảng cách đến không gian con.
5.1
Tích vô hướng


Định nghĩa tích vô hướng
Tích vô hướng trong R-kgvt V là một hàm thực sao cho
mỗi cặp véctơ u và v thuộc V, tương ứng với một số thực ký
hiệu (u,v) thỏa 4 tiên đề sau:
a.
( , ) ( , ) ( , )
u v V u v v u
  
b.
( , ,w V) ( , ) ( , ) ( , )
u v u v w u w v w
    
c.

( , , ) ( , ) ( , )
R u v V u v u v
  
    
d.
( ) ( , ) 0;( , ) 0 0
u V u u u u u
     
Không gian thực hữu hạn chiều cùng với một tích vô
hướng trên đó được gọi là không gian Euclid.
Giải.
5.1.
Tích vô hướng


Trong không gian cho qui tắc
2
R
Ví dụ
1 2 2 1 2 2
( , ) ; ( , )
x x x R y y y R
     
1 2 1 2 1 1 1 2 2 1 2 2
( , ) (( , ),( , )) 2 2 10
x y x x y y x y x y x y x y
    
1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ
(2,1), (1, 1)

u v
  
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ là
(2,1), (1, 1)
u v
  
( , ) ((2,1),(1, 1))
u v
 
2.1 2.2.( 1) 2.1.1 10.1.( 1) 10
       
5.1.
Tích vô hướng


Ví dụ
2 2
1 1 1 2 2 2 2
( ) ; ( ) [x].
p x a x b x c q x a x b x c P       
Trong không gian cho qui tắc
2
[x]
P
1
0
( , ) ( ) ( )
p q p x q x dx



1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của
2
( ) 2 3 1, ( ) 1
p x x x q x x
    
1
0
( , ) ( ). ( )
p q p x q x dx


1
2
0
(2 3 1)( 1)
x x x dx
   

1
6

2. Tích vô hướng của hai véctơ (p,q) là
5.1.
Tích vô hướng


Định nghĩa độ dài véctơ
Độ dài véctơ u là số thực dương ký hiệu bởi ||u|| và được
định nghĩa như sau

|| || ( , )
u u u

Véctơ có độ dài bằng 1 gọi là véctơ đơn vị.
Chia một véctơ cho độ dài của nó ta được véctơ đơn vị.
Quá trình tạo ra véctơ đơn vị được gọi là chuẩn hóa.
5.1.
Tích vô hướng


Bất đẳng thức tam giác.
Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V.
|| || || || || ||

u v u v
  
Bất đẳng thức Cauchy-Schwatz
Trong không gian Euclid V, ta có bất đẳng thức sau
| ( , ) | || ||.|| ||
u v u v

dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi u và v phụ thuộc tuyến tính.
5.1.
Tích vô hướng


Định nghĩa khoảng cách giữa hai véctơ
Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V, khoảng cách
giữa hai véctơ u và v, ký hiệu bởi d(u,v), là độ dài của véctơ
u – v. Vậy d(u,v) = ||u – v||

Định nghĩa góc giữa hai véctơ
Cho hai véctơ u và v của không gian Euclid V.
Góc giữa hai véctơ u và v là đại lượng thỏa

( , )
cos
|| ||.|| ||
u v
u v


Trong không gian cho qui tắc
5.1.
Tích vô hướng


Ví dụ
1 2 3 3 1 2 3 3
( , , ) ; ( , , )
x x x x R y y y y R
     
Trong không gian cho qui tắc
3
R
1 2 3 1 2 3
( , ) (( , , ),( , , ))
x y x x x y y y

1. Chứng tỏ (x,y) là tích vô hướng.
2. Tính tích vô hướng của hai véctơ

(2,1,0), (3, 2,4)
u v
  
1 1 1 2 2 1 2 2 3 3
5 2 2 3
x y x y x y x y x y
    
2. ( , ) ((2,1,0),(3, 2,4))

u v
 
5.2.3 2.2.( 2) 2.1.3 3.1.( 2) 0.4
      
( , ) 22.
u v

Trong không gian cho qui tắc
5.1.
Tích vô hướng


Ví dụ
1 2 3 3 1 2 3 3
( , , ) ; ( , , )
x x x x R y y y y R
     
Trong không gian cho qui tắc
3
R
1 2 3 1 2 3

( , ) (( , , ),( , , ))
x y x x x y y y

1 1 1 2 2 1 2 2 3 3
5 2 2 3
x y x y x y x y x y
    
3. Tìm độ dài của véctơ
(3,2,1)
u

|| || ( , )
u u u

((3,2,1),(3,2,1))

|| || 5.3.3 2.3.2 2.2.3 3.2.2 1.1
u
    
|| || 82
u 
Chú ý: So sánh với độ dài véctơ ở phổ thông! Cùng một véctơ
nhưng “dài” hơn!!!
5.1.
Tích vô hướng


Ví dụ
1 2 3 3 1 2 3 3
( , , ) ; ( , , )

x x x x R y y y y R
     
Trong không gian cho qui tắc
3
R
1 2 3 1 2 3
( , ) (( , , ),( , , ))
x y x x x y y y

1 1 1 2 2 1 2 2 3 3
5 2 2 3
x y x y x y x y x y
    
4. Tìm khoảng cách giữa hai véctơ
(1,2,1) (3,0,2)
vaø
u v
 
( , ) || ||
d u v u v
 
( , )
u v u v
  
(( 2,2, 1),( 2,2, 1))
    
( , ) 5.( 2).( 2) 2.( 2).2 2.2.( 2) 3.2.2 1.1
d u v
        
( , ) 17

d u v 
Chú ý: So sánh với khoảng cách giữa hai véctơ ở phổ thông.
Khoảng cách giữa hai điểm “lớn” hơn!!!
Trong không gian cho qui tắc
5.1.
Tích vô hướng


Ví dụ
1 2 3 3 1 2 3 3
( , , ) ; ( , , )
x x x x R y y y y R
     
Trong không gian cho qui tắc
3
R
1 2 3 1 2 3
( , ) (( , , ),( , , ))
x y x x x y y y

1 1 1 2 2 1 2 2 3 3
5 2 2 3
x y x y x y x y x y
    
5. Tìm góc giữa hai véctơ
(1,0,1) (2,1,0)
vaø
u v
 
( , )

cos
|| ||.|| ||
u v
u v


12 12
6. 31 186
 
12
arccos
186
a 
5.1.
Tích vô hướng


Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P
2
[x], đặt
1. Chứng tỏ (p,q) là tích vô hướng.
1
1
( , ) ( ) ( )
p q p x q x dx



2. Tính (p,q) với
2

( ) 2 3 1; ( ) 3
p x x x q x x
    
1
1
( , ) ( ). ( )
p q p x q x dx



1
2
1
(2 3 1)( 3)
x x x dx

   

12
 
5.1.
Tích vô hướng


Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P
2
[x], đặt
1
1
( , ) ( ) ( )

p q p x q x dx



3. Tìm độ dài của véctơ
( ) 2 3
p x x
 
|| || ( , )
p p p

1
1
( ). ( )
p x p x dx



1
2
1
(2 3)
x dx

 

62
3

5.1.

Tích vô hướng


Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P
2
[x], đặt
1
1
( , ) ( ) ( )
p q p x q x dx



4. Tính khoảng cách giữa hai véctơ p(x) và q(x) với
2 2
( ) 2; ( ) 2 3
p x x x q x x x
     
( , ) || ||
d p q p q
 
( , )
p q p q
  
(3 1,3 1)
x x
  
1
2
1

(3 1)
x dx

 

2 2

5.1.
Tích vô hướng


Cho hai véctơ p(x) và q(x) của R-Kgvt P
2
[x], đặt
1
1
( , ) ( ) ( )
p q p x q x dx



5. Tính góc giữa hai véctơ
2
( ) ; ( ) 2 3
p x x x q x x
   
( , )
cos
|| ||.|| ||
p q

p q


1
1
1 1
1 1
2 2
p(x)q(x)dx
[p(x)] dx [q(x)] dx

 


 
5.2. Tích vô hướng

Định nghĩa
Véctơ x vuông góc với tập hợp M, nếu
( ) x y
y M
  
Định nghĩa sự vuông góc
Hai vectơ u và v được gọi là vuông góc nhau, nếu
(u,v) = 0, ký hiệu
u v

5.1.
Tích vô hướng

Định nghĩa họ trực giao
Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ
trực giao, nếu
( , ) ( ) .
thì
x y M x y x y
   
Định nghĩa họ trực chuẩn
Tập hợp con M của không gian Euclid V được gọi là họ
trực chuẩn, nếu
1.
tröïc giao.
M
2. || || 1.
( )
x M x
  
5.1.
Tích vô hướng


Mệnh đề
Véctơ x vuông góc với không gian con F khi và chỉ khi x
vuông góc với tập sinh của F.
Chứng minh.
Hiển nhiên.
Giả sử x vuông góc với tập sinh
1 2
, , , .

m
f f f
f F
 
1 1 2 2

m m
f f f f
  
    
Xét tích vô hướng
( , )
x f
1 1 2 2
( , )
m m
x f f f
  
   
1 1 2 2
( , ) ( , ) ( , ) ( , )
m m
x f x f x f x f
  
    
( , ) 0
x f
 
hay x vuông góc f.
Vậy x vuông góc với F.

5.1.
Tớch vụ hng


Trong khụng gian R
3
vi tớch vụ hng chớnh tc cho
khụng gian con
Vớ d

1 2 3
1 2 3
1 2 3
0
( , , )
2 3 0
x x x
F x x x
x x x






cho vộct x = ( 2, 3, m). Tỡm tt c m x vuụng gúc vi F.
Bc 1. Tỡm tp sinh ca F
{(4,-3,1)}
Bc 2.
vuoõng goực vụựi taọp sinh cuỷa .

x F x F

(4, 3,1)
x

((2,3, ),(4, 3,1)) 0
m

4.2 ( 3).3 1. 0
m

chỳ ý tớch vụ hng!!
1.
m

5.2.
Bù vuông góc của không gian con


Định nghĩa bù vuông góc của không gian con
Cho không con F của không gian Euclid V. Tập hợp
|
{ }
F x V x F

  
được gọi là bù vuông góc của không gian con F.
Định lý
1.
laø khoâng gian con cuûa V.

F

2. dim( ) dim( ) dim

F F V

 
Cho không con F của không gian Euclid V. Khi đó
5.2.
Bù vng góc của khơng gian con


Bước 1. Tìm một tập sinh của F. Giả sử đó là
Bước 2. Tìm khơng gian con bù vng góc.
Các bước tìm cơ sở và chiều của khơng gian
F

1 2
, , ,
{ }
m
f f f
y F

 
y F
 
vuông góc với tập sinh của
y F


1
2

m
y f
y f
y f











1
2
( , ) 0
( , ) 0

( , ) 0
m
y f
y f
y f












là không gian nghiệm của hệ.
F

0.
hệ thuần nhất AX
 
5.2.
Bù vuông góc của không gian con


Ví dụ. Cho là không gian
con của R
3
. Tìm cơ sở và chiều của .
(1,1,1),(2,1,0),(1,0, 1)
F
  
F

Giải.
1 2 3

( , , )
x x x x F x F

    
(1,1,1)
(2,1,0)
(1,0, 1)
x
x
x



 


 

1
2
3
2
x
x
x







  




(1, 2,1)
F

   
cơ sở: {(1,-2,1)}; Dim =1.
F

1 2 3
1 2
1 3
0
2 0
0
x x x
x x
x x
  


  


 


( , 2 , ) (1, 2,1)
x
   
    
5.2.
Bù vuông góc của không gian con


Ví dụ. Cho
F



1 2 3 3 1 2 3 1 2 3
( , , ) | 0 & 2 0
F x x x R x x x x x x
       
là không gian con của R
3
. Tìm cơ sở và chiều của .
Giải. Bước 1. Tìm tập sinh của F.
1 2 3
( , , )
x x x x F
  
1
2
3
2
3

x
x
x






  




Bước 2. Tương tự như ở ví dụ trước.
Vậy tập sinh của F là {(2,-3,1)}
1 2 3
1 2 3
0
2 0
x x x
x x x
  



  

(2 , 3 , ) (2, 3,1)
x

   
    
5.2.
Bù vuông góc của không gian con


Định lý
Cho S= {u
1
, u
2
, , u
m
} là tập hợp con, trực giao, không chứa
véctơ không của không gian Euclid V. Khi đó S độc lập tt.
Chứng minh (bằng định nghĩa của độc lập tuyến tính)
Giả sử
1 1 2 2
0
m m
u u u
  
   
Khi đó
1 1 1 2 2
( , )
m m
u u u u
  
  

1
( ,0) 0
u
 
1 1 1 2 1 2 1
( , ) ( , ) ( , ) 0
m m
u u u u u u
  
    
1 1 1
( , ) 0
u u

 
vì S không chứa véctơ 0 nên
1 1
( , ) 0
u u

1
0

 
Tương tự ta chứng minh được
2 3
0
m
  
   

Vậy S độc lập tuyến tính.