Bài giảng Đại số tuyến tính (ĐH Bách khoa Tp.HCM) Chương 4 Không gian vec tơ (tt):

Trường ĐH Bách khoa tp Hồ Chí Minh
Khoa Khoa học ứng dụng - Bộ mơn Tốn ứng dụng


Đại số tuyến tính
Chương 4: KHÔNG GIAN VÉCTƠ (tt)
•
Giảng viên TS. Đặng Văn Vinh
Nội dung


I – Toạ độ của véctơ.
II – Không gian con.
III - Tổng và giao của hai không gian con.
I. Toạ độ của véctơ


Cho E ={e
1
, e
2
, …, e
n
} là cơ sở sắp thứ tự của K-kgvt V
Định nghĩa toạ độ của véctơ
1 1 2 2

    
n n
x x e x e x e
1

2
[ ]
E
n
x
x
x
x
 
 
 

 
 
 

x V
 
Bộ số được gọi là tọa độ của véctơ x trong
cơ sở E.
1 2
( , , , )
n
x x x
I. Toùa ủoọ cuỷa veựctụ


2 2 2
Cho { 1; 2 1; 2}
E x x x x x x

Vớ d
Tỡm vộct p(x), bit to trong c s E l
3
[ ( )] 5
2
E
p x






l c s ca khụng gian
2
[x]
P
3
[ ( )] 5
2






E
p x
2 2 2

( ) 3( 1) 5( 2 1) 2( 2)

p x x x x x x x
( ) 5 2

p x x
I. Toùa ủoọ cuỷa veựctụ


Cho {(1,1,1);(1,0,1);(1,1,0)}
E

Vớ d
l mt vộct ca R
3
. Tỡm to ca vộct x trong c s E.
l c s ca R
3
v x = (3,1,-2)
Gi s
1
2
3
[ ]

E
x
x x
x
1 1 2 2 3 3

x x e x e x e
1 2 3
(3,1, 2) (1,1,1) (1,0,1) (1,1,0)

x x x
1 2 3
1 3
1 2
3
1
2








x x x
x x
x x
4
[ ] 2

5







E
x
I. Tọa độ của véctơ


2
2
Cho { 1; 1;2 1} là cơ sở [ ].
E x x x x P x
    
Ví dụ
Tìm toạ độ của véctơ p(x) = 3x
2
+4x-1 trong cơ sở E.
Giả sử
[ ( )]
 
 

 
 
 

E
a
p x b
c
1 2 3
( ) . . .
   
p x a e b e c e
2 2
3 4 1 ( 1) ( 1) (2 1)
         
x x a x x b x c x
3
2 4
1



  


   

a
a b c
a b c
3
[ ( )] 9
5
 

 
  
 
 
 
E
p x
I. Toùa ủoọ cuỷa veựctụ


1 1
2 2
2. [ ]
E
n n
x y
x y
x y
x y

1 1
2 2
1.
n n
x y
x y
x y
x y












1
2
[ ]
E
n
y
y
y
y

Tớnh cht ca ta vộct
1
2
[ ]
E
n
x
x
x
x








1
2
3. [ ]
E
n

x
x
x
x












I. Tọa độ của véctơ


Ý nghĩa của toạ độ véctơ.
Trong khơng gian n chiều V cho một cơ sở
E ={e
1
, e
2
, …, e
n
}.
Tất cả các vectơ của V đều biễu diễn qua E dưới dạng tọa độ.
Hai phép tốn cơ bản: cộng hai vectơ và nhân vectơ với một

số, và sự bằng nhau trong V có thể phức tạp.
Theo tính chất của tọa độ, ta thấy các phép tốn này giống
hồn tồn trong R
n
.
Suy ra cấu trúc của khơng gian vectơ V hồn tồn giống R
n
.
Chứng minh được V và R
n
đồng cấu với nhau, vậy nên trong
nghiên cứu ta đồng nhất V và R
n
.
Tất cả các khơng gian n chiều đều coi là R
n
.
I. Tọa độ của véctơ


2 2 2
2
{ 1;3 2 1;2 } [ ].
Cho là tập con của      
M x x x x x x P x
Ví dụ
Hỏi M độc lập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính.
Chọn cơ sở chính tắc của P
2
[x] là .

2
, ,1
{ }
E x x

2
1
1 1
1
E
[ ]x x
 
 
  
 
 
 
2
3
2 1 2
1
E
[3 ]x x
 
 
  
 
 
 
2

2
1
0
E
[2 ]x x
 
 
 
 
 
 
Hạng của M = hạng của họ vectơ của M ở dạng toạ độ.
1 3 2
1 2 1
1 1 0
A
 
 

 
 
 
( ) 2
r A
 
Vậy M phụ thuộc tuyến tính
Tập con F
II. Khoâng gian con

V là K-kgvt
Tập con F 2 phép toán trong V K- kgvt F
Kg con F
II. Khoâng gian con


Tập con khác rỗng F của K-kgvt V là không gian con của V
khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây thỏa.
1. , :
f g F f g F
   
2. , :
 
    
f F K f F
Định lý
II. Khoâng gian con




1 2 3 3 1 2 3
( , , ) | 2 0
F x x x R x x x
    
Ví dụ
1. Chứng tỏ F là không gian con của R
3
2. Tìm cơ sở và chiều của F.
Giải câu 2.

1 2 3
( , , )
  
x x x x F
1 2 3
2 0
   
x x x
3 1 2
2
  
x x x
Khi đó
1 2 3 1 2 1 2
( , , ) ( , , 2 )
  
x x x x x x x x
1 2
(1,0,1) (0,1,2)
  
x x x
Suy ra là tập sinh của F.
(1,0,1);(0,1,2)
{ }

E
Kiểm tra thấy E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F.
dim( ) 2
 
F

II. Khoâng gian con




2
( ) [x]| (1) 0 & (2) 0
   
F p x P p p
Ví dụ
1. Chứng tỏ F là không gian con của P
2
[x].
2. Tìm cơ sở và chiều của F.
Giải câu 2.
2
( )
    
p x ax bx c F
(1) 0 (2) 0
&
  
p p
Suy ra là tập sinh của F.
2
3 2
{ }
  
E x x
Hiển nhiên E độc lập tuyến tính. Vậy E là cơ sở của F.

dim( ) 1
 
F
0
4 2 0
  



  

a b c
a b c
; 3 ; 2
  
    
a b c
2
( ) 3 2
  
   
p x x x
2
( ) ( 3 2)

   
p x x x
II. Khoâng gian con

Ví dụ

2
1 1
[ ]| 0
2 2
F A M R A


 
  

 

 

1. Chứng tỏ F là không gian con M
2
[R]
2. Tìm cơ sở và chiều của F.
II. Khoâng gian con


L(M)=Span
1 2 1 1 2 2
{ , , , } { }
n n n i
v v v v v v R
   
     


1 2
{ , , , }
n
M v v v V
 

1. L(M) là không gian con của V
2. dim(L(M)) = Hạng của họ M.
II.
Không gian con


Giả sử dim(V) = n
1 2
{ , , , }
m
M x x x

Hạng M = Hạng Ma trận
M phụ thuộc tt
M độc lập tt
hạng M < m
M tập sinh của V
M là cơ sở của Vx là tổ hợp tt của M
hạng M = m hạng M = dim(V)
hạng M = dim(V) = số vectơ trong M
hạng M = hạng M thêm vectơ x
Kgian con <M>
Chiều kgian con M = hạng M

II. Khoâng gian con


Cho
(1,1,1);(2,1,1);(3,1,1)
F
 
Tìm cơ sở và chiều của F.
Ví dụ
II. Khoâng gian con


Cho
2 2 2
1,2 3 1, 2 2
F x x x x x x
       
Tìm cơ sở và chiều của F.
Ví dụ
II. Khoâng gian con


Ví dụ
2
,
2
 


 

 
 
 
 


a b a b
F a b R
b a
Tìm cơ sở và chiều của F.
II. Khoâng gian con


Ví dụ
1 1 2 1 3 1 1 0
, , ,
2 1 0 1 2 1 2 0
F
       

       
 
       
Tìm cơ sở và chiều của F.
II. Khoâng gian con


Cho
(1, 2,3); {(1,1,1);(2,1,0);(3, 1,3)}
x M

   
x có thuộc không gian con sinh ra bởi M?
Ví dụ
II. Khoâng gian con


Cho
(1,0, ); {(1,1,1);(2,3,1);(3,2,0)}
x m M
 
Tìm tất cả giá trị của m để x thuộc không gian con sinh ra
bởi M?
Ví dụ
III. Toồng vaứ giao cuỷa hai khoõng gian con


Cho F v G l hai khụng gian con ca K-kgvt V.
Giao ca hai khụng gian con F v G l tp hp con ca V, ký
hiu bi
nh ngha giao ca hai khụng gian con
{ | vaứ }
F G x V x F x G


Tng ca hai khụng gian con F v G l tp hp con ca V,
ký hiu bi
nh ngha tng ca hai khụng gian con
{ | vụựi vaứ }
F G f g f F g G

III. Toồng vaứ giao cuỷa hai khoõng gian con


2.
nh lý
1. l hai khụng gian con ca V.
&
F G F G


dim( ) dim( ) dim( ) dim( )
F G F G F G


Kt qu
F G F F G V


F G G F G V


III. Toồng vaứ giao cuỷa hai khoõng gian con


Cỏc bc tỡm khụng gian con F+G
1. Tỡm tp sinh ca F. Gi s l {f
1
, f
2
, , f

n
}
1 2 1 2
3. , , , , , , ,
n n
F G f f f g g g

2. Tỡm tp sinh ca G. Gi s l {g
1
, g
2
, , g
n
}