SKKN hướng dẫn học sinh lớp 9 tự học một số bất đẳng thức quen thuộc

Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
LờI NóI ĐầU
Thực tế chứng minh những thiên tài nhờ tự học mà chúng ta có thể kể
ra đó là Cac Mác, Lê-nin, Hồ Chí Minh trong lĩnh vực triết học, Michael
Faraday, Newton trong lĩnh vực vật lý, Ga loa, Abel, Nguyễn Cảnh Toàn,
Hoàng Tụy trong lĩnh vực toán học

Họ là những tấm gơng vĩ đại về tự học
và thành công.
Đối với học sinh hiện nay, có quá nhiều em không biết tự học. Có rất
nhiều lý do đa ra giải thích cho việc này. Có thể kể ra một số nguyên nhân
chính đợc nhiều nhà giáo dục đa ra.Thứ nhất, do tâm lý học sinh chỉ cần đến
lớp ghi chép bài đầy đủ và học bài cẩn thận là tới lúc thi có thể đạt đợc điểm
cao vì những gì mình viết ra là những gì sách nói, thầy cô dạy, sai làm sao đ-
ợc. Học sinh ngày nay đã quá phụ thuộc vào các bài giảng của thầy cô trên
lớp,thầy cô dạy nh thế nào thì lại hiểu và học nh thế ấy dẫn đến quá trình thụ
động,thiếu suy nghĩ và sáng tạo trong lúc học để đào sâu kho tàng kiến thức
còn ẩn sâu các bài giảng của thầy cô. Và cũng chính vì chỉ học cô đọng trong
các bài giảng bốn mơi lăm phút trên lớp của thầy cô mà dẫn đến tình trạng
học sinh phải đi học thêm tràn lan. Mà khi đã học thêm tràn lan thì lại càng
khiến mọi ngời không chịu tự học, càng thêm phụ thuộc vào việc học thêm.
Thứ hai, do chính các thầy cô mặc dù biết tầm quan trọng của tự học nhng
không tìm ra phơng pháp hớng dẫn cho học sinh.Thứ ba, do việc ngày nay
khi việc học đợc nâng cao thì có quá nhiều sách tham khảo,văn mẫu, hớng
dẫn nhng hầu hết các tài liệu này ngời viết theo quan điểm

chữa bài tập,
phân dạng bài

chứ không đi sâu vào vấn đề

tại sao lại nghĩ đợc nh vậy?

,
việc định hớng cho ngời tự học của các tài liệu này còn nhiều hạn chế.
Giúp học sinh tự học là nhiệm vụ quan trọng của ngời Thầy. Có nhiều
biện pháp để đạt đợc mục đích đó. Bản thân tôi thờng viết các chuyên đề nhỏ,
với

giọng văn

nh những lời tâm sự hớng tới sự đồng cảm với học trò của
mình đó là

Tại sao Thầy lại nghĩ ra đợc cách giải ấy?

chứ không phải

Thầy
giải bài tập đó em có hiểu không?

.
Để hoàn thiện đề tài này, tôi đã nhận đợc sự góp ý, chia sẻ của bạn bè
đồng nghiệp và đặc biệt là sự đón nhận của các em học sinh. Đây chính là
nguồn động viên lớn lao cho tôi trong cuộc sống.
Xin đợc trân trọng cảm ơn!

Phù Cừ, ngày 20 tháng 4 năm 2012

MụC LụC
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 1 -

Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
Nội dung Trang
Phần 1: Mở đầu
3
I- Cơ sở khoa học. 3
1- Cơ sở lý luận 3
2- Cơ sở thực tiễn 3
II- Mục đích nghiên cứu đề tài 4
III- Đối tợng và phạm vi nghiên cứu 4
IV- Kế hoạch nghiên cứu 5
1- Các phơng pháp nghiên cứu 5
2- Kế hoạch cụ thể 5
Phần 2: Nội dung
Chơng 1:Một số vấn đề cơ bản về tự học
6
1-Quan điểm về tự học 6
2- Tự học và nghiên cứu khoa học 6
3- Phơng pháp tự học bồi dỡng năng lực tự học, kỹ năng tự học 6
4- Một số biện pháp cơ bản hớng dẫn HS tự học 7
Chơng 2: Thực trạng của vấn đề tự học và giáo dục học sinh tự
học hiện nay.
9
1- Đánh giá chung 9
2- Tổng hợp số liệu điều tra thực tiễn. 10
Chơng 3:Bất đẳng thức quen thuộc
12
Chủ đề 1: Bất đẳng thức Cô-si
12
Chủ đề 2: Bất đẳng thức Svac-xơ
25

Phần 3: Kết luận
35
1- Kết quả và bài học kinh nghiệm 35
2- Khuyến nghị và đề xuất 36
Tài liệu tham khảo
37
DANH MụC NHữNG CHữ VIếT TắT TRONG Đề TàI
Viết tắt Viết đúng
ĐMPPDH Đổi mới phơng pháp dạy học
GV Giáo viên
HS Học sinh
BĐT Bất đẳng thức.
STK Sách tham khảo
PHầN MộT: Mở ĐầU
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 2 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
I- CƠ Sở KHOA HọC.
1) Cơ sở lý luận.
Một số vấn đề cơ bản về dạy học tích cực.
1.1 Dạy học tích cực là gì?
Dạy học tích cực là một thuật ngữ rút gọn, đợc dùng ở nhiều nớc để chỉ những ph-
ơng pháp giáo dục, dạy học theo hớng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo
của ngời học.
"Tích cực" trong PPDH - tích cực đợc dùng với nghĩa là hoạt động, chủ động, trái
nghĩa với không hoạt động, thụ động chứ không dùng theo nghĩa trái với tiêu cực.
Dạy tích cực hớng tới việc hoạt động hóa, tích cực hóa hoạt động nhận thức của ng-
ời học, nghĩa là tập trung vào phát huy tính tích cực của ngời học chứ không phải là
tập trung vào phát huy tính tích cực của ngời dạy.
Học tích cự chỉ xảy ra khi học sinh đợc trao cơ hội thực hiện các tơng tác đề tài
chính trong một giai đoạn giáo dục, đợc động viên để hình thành tri thức hơn là

việc nhận tri thức từ việc giới thiệu của giáo viên. Trong một môi trờng học tập
tích cực, giáo viên là ngời tạo điều kiện thuận lợi cho việc học chứ không phải
là ngời đọc chính tả cho học sinh chép!
1.2 Đặc trng cơ bản của dạy- học tích cực.
1.2.1. Dạy học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh.
1.2.2. Dạy học chú trọng rèn luyện ph ơng pháp tự học, tự đọc.
1.2.3. Tăng cờng học tập cá thể phối hợp với học tập hợp tác
1.2.4. Kết hợp đánh giá của thầy và tự đánh giá của trò.
(Một số vấn đề đổi mới PP dạy học môn toán THCS - Tôn Thân - Phan Thị Luyến -
Đặng Thị Thu Thủy)
Chúng ta đều biết cách học tích cực thì phong phú nhng có chung một đặc
trng là Khám phá và Khai phá, có thể hiểu: 4 cách học
1.Học bất kỳ lúc nào
2. Học bất kỳ nơi nào
3. Học bất kỳ ngời nào
4. Học bất kỳ nguồn nào
(Theo tài liệu tập huấn giáo viên dạy học, KTĐG theo chuẩn KTKN trong
chơng trình giáo dục phổ thông- Vụ giáo dục trung học- Tháng 7/2010)
2) Cơ sở thực tiễn.
Bản thân tôi là ngời đã có nhiều năm kinh nghiệm trong công tác, nhiều năm
nay đã tự nghiên cứu vấn đề ĐMPPDH và đã triển khai một số chuyên đề cấp trờng
về ĐMPPDH, đặc biệt là trong những năm học gần đây, tôi đợc Sở giáo dục và Đào
tạo Hng yên cử đi các lớp tập huấn tại BGD&ĐT về Một số vấn đề ĐMPPDH môn
toán THCS. Nhiều năm học trớc tôi đã triển khai đề tài cấp trờng về phơng pháp
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 3 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
dạy-học môn Toán trong các tình huống điển hình đó là Phơng pháp dạy học
trong tình huống tổ chức hoạt động Dạy-Học định lý, tính chất ở môn Toán đợc
xếp loại C cấp Tỉnh năm 2010, nghiên cứu về Dạy học tích cực trong tình huống tổ
chức hoạt động Dạy-Học tiết ôn tập ở môn Toán đợc xếp loại B cấp Tỉnh năm

2011. Đợc giảng dạy tại trờng THCS Phù Cừ- trờng chất lợng cao của huyện, hầu
hết học sinh nhà trờng có nhận thức khá trở lên về bộ môn toán. Đây là điều kiện
thuận lợi cho tôi triển khai nghiên cứu các đề tài về ĐMPPDH.
Xác định đợc vai trò quan trọng của việc giáo dục học sinh tự học, bản thân tôi
luôn cố gắng tìm tòi lời giải của bài toán Làm thế nào khuyến khích và giúp đỡ
học sinh của mình tự học?. Một trong những đáp án của bài toán trên là viết
những tài liệu với giọng văn nh những lời tâm sự hớng tới sự đồng cảm với học
trò của mình đó là Tại sao Thầy lại nghĩ ra đợc cách giải ấy? chứ không phải
Thầy giải bài tập đó em có hiểu không?. Tài liệu tôi viết dành tặng cho học sinh
của mình tôi thờng chọn những vấn đề toán học gần gũi với các em, đặc biệt là phù
hợp với đối tợng học sinh. Trong phạm vi của Kinh nghiệm dạy học này tôi chuyển
tải đề tài Hớng dẫn học sinh tự học một số bất đẳng thức quen thuộc một chủ
đề kiến thức toán học tơng đối khó đối với học sinh. Tôi viết dành cho học sinh khá
giỏi lớp 8, 9. Rất hy vọng chuyên đề này đợc sự quan tâm của các bạn đồng nghiệp.
II- MụC ĐíCH NGHIÊN CứU CủA Đề TàI.
- Nghiên cứu các giải pháp thực hiện mục tiêu Dạy học chú trọng rèn luyện phơng
pháp tự học, tự đọc.
- Vận dụng vào trong các tình huống dạy- học điển hình khác theo hớng tích cực.
- Vận dụng vào thực tế các nhà trờng trên cơ sở đối tợng học sinh, phơng tiện dạy
học hiện có.
III- ĐốI TƯợNG Và PHạM VI NGHIÊN CứU.
* Đề tài nghiên cứu về Phơng pháp hớng dẫn học sinh tự học trong quá trình học
tập môn Toán.
* Nghiên cứu trong phạm vi hớng dẫn học sinh tự học chủ đề toán học Bất đẳng
thức quen thuộc Cô-si và Svac-xơ
* Nghiên cứu trên cơ sở thực hiện là nội dung, chơng trình, kế hoạch giáo dục ở tr-
ờng THCS, các định hớng và quan điểm về ĐMPPDH, các thầy cô giáo và các em
học sinh trờng THCS Phù Cừ.
IV- Kế HOạCH NGHIÊN CứU.
a) Phơng pháp nghiên cứu:

Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 4 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
1/ Phơng pháp nghiên cứ lý luận
Nghiên cứu một số tài liệu về khoa học phơng pháp dạy học, đổi mới PPDH
môn toán, quản lý và chỉ đạo của ngời hiệu trởng, các văn kiện của Đảng, nhiệm vụ
năm học, hớng dẫn thực hiện kế hoạch năm học của các cấp để xây dựng lý luận
cho đề tài.
2/ Nhóm phơng pháp thực tiễn
Giảng dạy trực tiếp, dự giờ, quan sát, hội thảo, đàm thoại, tổng kết kinh nghiệm để
rút ra bài học về việc tự học môn Toán THCS.
3/ Nhóm phơng pháp hỗ trợ
Điều tra thống kê, lập bảng biểu so sánh dữ liệu đánh giá
b) Kế hoạch
1/ Đăng ký nghiên cứu chuyên đề Hớng dẫn học sinh tự học trong quá trình học
tập môn Toán với trờng THCS Phù Cừ từ đầu năm học 2010-2011.
2/ Thực hiện nhóm phơng pháp thực tiễn tại trờng THCS Phù Cừ trong năm học
2010-2011-2012. bao gồm:
+ Điều tra thực tiễn qua học sinh trờng THCS Phù Cừ (Từ tháng 12/2011)
+ Tổ chức chuyên đề cấp Tổ đối với Tổ KHTN (tháng 2 năm 2012)
+ Tổng kết, viết đề tài, thông qua Hội đồng khoa học trờng THCS Phù Cừ
(Tháng 4 năm 2012)
PHầN HAI: NộI DUNG.
Chơng I- Một số vấn đề cơ bản về Tự học.
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 5 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
1. Quan điểm về tự học
a) Chất lợng và hiệu quả giáo dục đợc nâng cao khi và chỉ khi tạo ra đợc
năng lực sáng tạo của ngời học, khi biến đợc quá trình giáo dục thành quá trình tự
giáo dục. Luật Giáo dục đã ghi rõ: Phơng pháp giáo dục phải coi trọng việc bồi d-
ỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu, tạo điều kiện cho ngời học phát triển t duy sáng

tạo, rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu, thực nghiệm, ứng dụng.
Nh vậy, phơng pháp dạy và học cần thực hiện theo ba định hớng:
- Bồi dỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu;
- Tạo điều kiện cho ngời học phát triển t duy sáng tạo;
- Rèn luyện kỹ năng thực hành, tham gia nghiên cứu, ứng dụng.
b) Mục đích của đổi mới phơng pháp dạy học ở các trờng phổ thông là thay
đổi lối dạy truyền thụ một chiều sang dạy học theo các phơng pháp dạy học tích
cực với các kỹ thuật dạy học tích cực nhằm giúp học sinh phát huy tính tích cực, tự
giác, chủ động sáng tạo, rèn thói quen và khả năng tự học làm cho Học là quá
trình kiến tạo; học sinh tìm tòi, khám phá,phát hiện, luyện tập, khai thác và xử
lý thông tin, tự hình thành tri thức. Chú trọng hình thành các năng lực Tự học,
Sáng tạo, Hợp tác (Tài liệu tập huấn giáo viên môn Toán Vụ giáo dục trung
học- tháng 7 năm 2010)
2. Tự học và nghiên cứu khoa học
2.1. Tự học
Trong quá trình học tập bao giờ cũng có tự học, nghĩa là tự mình lao động trí
óc để chiếm lĩnh kiến thức. Trong tự học, bớc đầu thờng có nhiều lúng túng nhng
chính những lúng túng đó lại là động lực thúc đẩy học sinh t duy để thoát khỏi
lúng túng, nhờ vậy mà thành thạo lên, và đã thành thạo thì hay đặt những dấu hỏi,
phát hiện vấn đề và từ đó đi đến chiếm lĩnh tri thức.
Theo đặc trng cơ bản của các phơng pháp dạy học tích cực yeu cầu: Dạy học chú
trọng đến rèn luyện phơng pháp học tập và phát huy năng lực tự học của học sinh.
Phơng pháp tích cự xem việ rèn luyện phơng pháp học tập và năng lực tự học của
học sinh không chỉ là một biện pháp nâng cao hiệu quả dạy-học mà còn là một
mục tiêu dạy học (Tài liệu tập huấn giáo viên môn Toán Vụ giáo dục trung học-
tháng 7 năm 2010). Nếu rèn luyện cho ngời học có đợc phơng pháp, kỹ năng, thói
quen, niềm say mê, ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy năng lực
vốn có của mỗi ngời, kết quả học tập sẽ đợc nhân lên gấp bội. Vì vậy, ngày nay ng-
ời ta luôn nhấn mạnh mặt hoạt động học trong quá trình dạy học, đặt vấn đề phát
triển tự học ngay trong trờng phổ thông, không chỉ tự học ở nhà mà còn tự học

trên lớp, học bất kỳ nguồn nào.
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 6 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
2.2. Nghiên cứu khoa học
Việc nghiên cứu khoa học dĩ nhiên tác động trở lại việc học và có phát triển
tự học lên đến nghiên cứu khoa học thì mới có thực tiễn để hiểu sâu mối quan hệ
giữa t duy độc lập và t duy sáng tạo. Đối với học sinh khá, giỏi ngời làm công tác
giáo dục cần hớng cho học sinh tới việc nghiên cứu khoa học bắt đầu bằng việc
tạo ra động lực tiếp cận khoa học cho học sinh.
3. Phơng pháp tự học có tác dụng bồi dỡng năng lực tự học, kỹ năng tự học làm
cầu nối giữa học tập và nghiên cứu khoa học của ngời học.
Hoạt động nghiên cứu khoa học của học sinh khá giỏi loại hình hoạt động rất
cơ bản do tính chất đặc thù của quá trình phát triển năng lực t duy. Theo tôi, khả
năng nghiên cứu khoa học của học sinh là năng lực thực hiện có hiệu quả các hoạt
động nghiên cứu khoa học trên cơ sở lựa chọn, tiến hành hệ thống các thao tác trí
tuệ và thực hành nghiên cứu khoa học phù hợp với điều kiện và hoàn cảnh nhất
định nhằm đạt mục đích nghiên cứu khoa học đề ra. Hoạt động nghiên cứu khoa
học có thể diễn ra theo các giai đoạn sau:
- Định hớng nghiên cứu;
- Xây dựng kế hoạch nghiên cứu;
- Thực hiện kế hoạch nghiên cứu;
- Kiểm tra, đánh giá kết quả nghiên cứu;
- Báo cáo kết quả nghiên cứu.
4. Một số biện pháp cơ bản hớng dẫn học sinh tự học:
4.1 Một số kỹ năng cơ bản về tự học của học sinh
1- Lập kế hoạch học tập:
Trớc khi làm bất cứ chuyện gì, nên lập kế hoạch. Nếu không có kế hoạch thì
không làm chủ đợc thời gian, nhất là khi có điều gì bất trắc xảy đến. Một kế hoạch
học tập tốt cũng giống nh chiếc phao cứu hộ vậy. Mỗi ngời, tùy vào nhu cầu của
mình, sẽ lập một kế hoạch học tập riêng, kế hoạch đó có thể thay đổi khi cần, nhng

điều quan trọng là phải tuân thủ kế hoạch đã đề ra.
Kế hoạch học tập giúp quản lý thời gian.Bất cứ ai cũng có 168 giờ mỗi tuần,
nhng có ngời sử dụng quỹ thời gian đó có hiệu quả hơn ngời khác. Học sinh có rất
nhiều thứ để làm, bạn hãy liệt kê tất cả công việc cho từng ngày sau đó, nếu bạn
thấy còn ít hơn 30 giờ mỗi tuần để tự học thì bạn hãy kiểm điểm lại xem tại sao
mình phí thời gian nh vậy.
2- Học ở đâu:
Bạn có thể học ở bất kỳ nơi nào, mặc dù rõ ràng có một số nơi thuận lợi hơn
cho việc học. Th viện, phòng đọc sách, phòng riêng là tốt nhất. Quan trọng là nơi
đó không làm phân tán sự tập trung của bạn. Cho nên hãy làm cho việc lựa chọn
nơi học thích hợp trở thành một phần của thói quen học tập của bạn.
3- Khi nào nên học tập:
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 7 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
Nói chung chỉ nên học lúc chúng ta thoải mái, minh mẫn, vào đúng khoảng
thời gian đã lên kế hoạch để học. Nguyên tắc là không học trong vòng 30 phút sau
khi ăn, và trớc khi đi ngủ, không học ngốn vào giờ chót trớc khi đến lớp.
4- Học cho giờ lý thuyết:
Nếu bạn học trớc để chuẩn bị cho giờ lên lớp, cần đọc tất cả những tài liệu,
cần đọc trớc và ghi chú thích những điểm cha hiểu. Nếu bạn học sau giờ lên lớp,
cần chú ý xem lại những thông tin ghi chép đợc.
5- Học cho giờ cần phát biểu, trả bài (chẳng hạn giờ Ngoại ngữ):
Bạn nên dùng khoảng thời gian ngay trớc các giờ học này để luyện tập kỹ
năng phát biểu với các học viên khác ( nếu cần). Điều này sẽ giúp bạn hoàn thiện
kỹ năng phát biểu.
6- Học bất kỳ ngời nào. Học bất kỳ nguồn nào
Đây chính là một đặc trng quan trọng của dạy học tích cực. Tuy nhiên, đối
với học sinh phổ thông cần và rất cần định hớng và giúp đỡ của giáo viên về
nguồn tri thức mà các em có đợc.
7- Sửa đổi kế hoạch học tập.

Đừng lo ngại khi phải sửa đổi kế hoạch. Thật sự kế hoạch chỉ là cách bạn dự
tính sẽ dùng quỹ thời gian của mình nh thế nào, cho nên một khi kế hoạch không
hiệu quả, ta có thể sửa đổi nó. Nên nhớ rằng, việc lập kế hoạch là giúp bạn có thói
quen học tốt hơn và khi đó việc lập kế hoạch sẽ trở nên dễ dàng hơn.
Bạn phải ý thức một sự thật đơn giản là tuân theo đúng kế hoạch học tập đã định là
một chuyện rất khó làm, trong khi vỡ kế hoạch là một việc dễ làm nhất trên thế
gian này.
4.2 Một số biện pháp hớng dẫn học sinh tự học.
a) Tự học qua sách giáo khoa:
- SGK là nguồn tri thức quan trọng cho học sinh, nó là 1 hớng dẫn cụ thể để
đạt lợng liều lợng kiến thức cần thiêt của môn học, là phơng tiện phục vụ đắc lực
cho giáo viên và học sinh. Do đó tự học qua SGK là vô cùng quan trọng để học sinh
tham gia vào quá trình nhận thức trên lớp và củng cố khắc sâu ở nhà.
- Để học sinh tự nghiên cứu trớc SGK ở nhà thì giáo viên không nên chỉ đơn giản là
nhắc các em đọc trớc bài mới mà cần nêu cụ thể câu hỏi mà khi đọc xong bài mới
các em có thể trả lời đợc. Đó là cách giao nhiệm vụ cụ thể giúp học sinh đọc sách
giao khoa có mục tiêu cụ thể rõ ràng.
- SGK cũng là tài liệu để học sinh đọc thêm cho rõ ràng những kiến thức mà giáo
viên truyền đạt trên lớp vì vậy những ví dụ mẫu giáo viên không nên thay đổi để
nếu học sinh đã đọc trớc sẽ tham gia ngay đợc vào bài giảng, những học sinh yếu
có thêm 1 tài liệu để đọc lại khi cha rõ cách giáo viên hớng dẫn.
- Đối với những nội dung mà sách giáo khoa đã có chi tiết đầy đủ thì không nên ghi
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 8 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
lên bảng cho học sinh chép mà cho các em về tự đọc trong SGK, cách làm này vừa
tiết kiệm thời gian vừa tạo thói quen đọc SGK cho học sinh và làm cho bài giảng
không bị nhàm chán.
b) Tự học qua sách bài tập, sách tham khảo:
- Đối với học sinh trong trờng, sách bài tập đều có nên giáo viên phải tận dụng tài
liệu này để giúp học sinh tự học hiệu quả.

- Việc cho bài tập về nhà cũng cho theo thứ tự dạng bài tập của SGK và SBT để học
sinh có 1 lợng bài tập tơng tự đủ lớn (các bài này đều có lời giải chi tiết) để có thể
tự mình làm đợc các bài trong SGK. Khi cho bài theo cách này sẽ giúp học sinh có
1 cách học mới là khi gặp khó khăn sẽ tự tìm kiếm một phơng án tơng tự đã có để
giải quyết chứ không thụ động chờ đợi giáo viên hớng dẫn.
c) Tự nghiên cứu:
Giáo viên nên hớng dẫn học sinh làm các BT lớn, có kiểm tra đánh giá để
học sinh có khả năng tự phân tích tổng hợp. Đối với học sinh THCS, muốn hiệu quả
cao, giáo viên phải biết viết các tài liệu theo hớng các chuyên đề nhằm định hớng
về T duy và Kỹ năng cho học sinh đồng thời tạo ra động lực thúc đẩy học sinh
nghiên cứu khoa học.
d) Hợp tác nghiên cứu, học tập
Trong học tập không phải mọi tri thức, kỹ năng, thái độ đều đợc hình thành
bằng các hoạt động cá nhân độc lập. Lớp học, nhóm học là môi trờng giao tiếp tạo
nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trên con đờng chiếm lĩnh nội dung học
tập. Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập thể, các ý kiến cá nhân đợc bộc lộ,
khẳng định hay bác bỏ để qua đó ngời học đợc nâng mình lên một trình độ mới.
Chơng II- Thực trạng của vấn đề Tự học
và giáo dục học sinh Tự học hiện nay.
I- Đánh giá chung
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 9 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
Trong việc đổi mới PPDH lấy học sinh làm trung tâm thì việc tự học của học
sinh vô cùng quan trọng, để điều khiển quá trình tự học sao cho có hiệu quả nhất
thì việc kiểm tra đánh giá của giáo viên đỏi hỏi phải thật khéo léo, đa dạng góp
phần tích cực làm chuyển biến quá trình tự học của học sinh.
Tuy vậy, trong thực tế dạy học hiện nay việc áp dụng phơng pháp dạy học h-
ớng dẫn học sinh tự học của giáo viên ở tất cả các môn học nói chung và môn toán
nói riêng còn gặp rất nhiều lúng túng và khó khăn. Cách học của học sinh vẫn đơn
giản là cố gắng hoàn thành hết số bài tập giáo viên giao về nhà (bằng mọi cách có

thể), và học thuộc trong vở ghi đối với các môn học thuộc. Đối với giáo viên thì chỉ
quen thuộc với cách kiểm tra bài cũ đầu giờ cốt sao cho đủ số lần điểm miệng.
Việc kiểm tra định kỳ chỉ đơn giản là thực hiện theo phân phối chơng trình, trớc khi
kiểm tra sẽ giới hạn cho học sinh một phần kiến thức.
Đa số giáo viên thờng quan niệm kiến thức là mục đích của quá trình dạy
học nên chỉ quan tâm đến phơng pháp truyền thụ kiến thức của bài đúng với nội
dung SGK. Một số giáo viên cha có kỹ năng soạn bài, vẫn áp dụng một cách rập
khuôn, máy móc lối dạy học "truyền thống" chủ yếu giải thích, minh hoạ tái hiện,
liệt kê kiến thức theo SGK là chính, ít sử dụng câu hỏi tìm tòi, tình huống có vấn
đề coi nhẹ rèn luyện thao tác t duy, năng lực thực hành, ít sử dụng các phơng tiện
dạy học nhất là các phơng tiện trực quan để dạy học và tổ chức cho học sinh nghiên
cứu thảo luận trên cơ sở đó tìm ra kiến thức và con đờng để chiếm lĩnh kiến thức
của học sinh.
Thực tế, giáo viên thờng soạn bài bằng cách sao chép lại SGK hay từ thiết kế
bài giảng, không dám khai thác sâu kiến thức, cha sát với nội dung chơng trình, h-
ớng dẫn học sinh vận dụng kiến thức giải quyết những vấn đề từ nhỏ đến lớn trong
thực tế đời sống và sản xuất. Khi dạy thờng nặng về thông báo, không tổ chức hoạt
động học tập cho các em, không dự kiến đợc các biện pháp hoạt động, không hớng
dẫn đợc phơng pháp tự học.
Mặt khác, phơng pháp dạy học phổ biến hiện nay vẫn theo "lối mòn", giáo
viên truyền đạt kiến thức, học sinh thụ động lĩnh hội tri thức. Thậm chí có giáo viên
còn đọc hay ghi phần lớn nội dung lên bảng cho học sinh chép nội dung SGK. Việc
sử dụng các phơng tiện dạy học: phiếu học tập, tranh ảnh, băng hình, bản trong
chỉ dùng khi thi giáo viên hay có đoàn thanh tra, kiểm tra đến dự, còn các tiết học
thông thờng hầu nh "dạy chay".
Do việc truyền đạt kiến thức của giáo viên theo lối thụ động nên rèn luyện
kỹ năng tự học cũng nh việc hớng dẫn tự học của giáo viên cho học sinh không đợc
chú ý làm cho chất lợng giờ dạy không cao
2) Tổng hợp số liệu điều tra thc tiễn. (Điều tra bắt đầu từ tháng 2 năm 2011)
2.1 Điều tra về việc tự học của học sinh

Kết quả qua phiếu điều tra:
Mức độ Tự đọc bài mới SGK Tự học STK sau bài Học theo tài liệu
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 10 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
Lớp trớc khi đến lớp học trên lớp của giáo viên
9A (45hs) 1/45=2,2% 20/45=44,5% 24/45=53.3%
8A (44hs) 0/45=0% 23/44=52,3% 21/44=47,7%
8B (45hs) 1/45=2,2% 22/45=49% 22/45=48,8%
7A (48hs) 3/48=6,3% 31/48=64,6% 14/48=29,1%
7B (47hs) 2/47=4,3% 19/47=40,4% 26/47=55,3%
ĐáNH GIá CáC KếT QUả ĐIềU TRA
Hầu hết học sinh không đọc bài mới trớc khi lên lớp. Qua trao đổi, tôi thấy các em
có chung câu trả lời là khó, với lại hôm sau đã đợc Thầy dạy rồi!. Có nhiều em tự
học thêm STK. Qua trao đổi, tôi thấy nguyên nhân có học chủ yếu do Thầy ra thêm
bài tập về nhà ở tài liệu này
2.2 Kết quả điều tra những tác động của giáo viên đối với việc tự học của học
sinh thông qua biện pháp viết tài liệu phát cho học sinh
2.2.1. Điều tra học sinh khối 8, 9 của trờng THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra: Em
có thích tài liệu theo chuyên đề của Thầy gửi cho các em tự học không? nguyên
nhân?(em có thể chọn nhiều lý do theo chính kiến của em
Mẫu phiếu:
1* Không thích
Lý do: a) Do tài liệu chỉ có bài tập mà không có lời giải
b) Do tài liệu có quá nhiều bài tập khó
c) Do tài liệu có nhiều chỗ không có trong SGK.
2* Thích
Lý do: a) Do tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời giải
b) Do tài liệu có sẵn hớng dẫn giải
c) Do có nhiều vấn đề mở rộng
Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:

1. Vấn đề nguyên nhân không thích tài liệu
Có 55% phiếu có chọn không thích - trong đó có 46% chọn lý do a) 57% chọn lý
do b) và 14% chọn lý do c)
2. Vấn đề nguyên nhân thích tài liệu
Có 85% chọn lý do a) 13% chọn lý do b) và 65% chọn lý do c).
2.2.2. Điều tra học sinh khối 8, 9 của trờng THCS Phù Cừ qua câu hỏi điều tra:
Em học đợc khoảng bao nhiêu % nội dung các tài liệu mà thầy viết (trong khoảng
các mứ c dới đây)
a) Khoảng 5-10% b) Khoảng 10-15%
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 11 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
c) Khoảng 20-30% d) Khoảng 40-50%
e) Khoảng 60-80% f) Khoảng 85-100%
Trong tổng số 150 phiếu thu về khi cho thấy:
Phơng án
a b c d e f
Số lợng 9 14 20 34 53 22
ĐáNH GIá CáC KếT QUả ĐIềU TRA
*1. Có nhiều em học sinh không thích tài liệu chỉ là các bài tập, thậm chí cả
tài liệu gồm bài tập của thầy có hớng dẫn giải.
*2. Có rất nhiều học sinh thích tài liệu viết chi tiết các suy nghĩ dẫn tới lời
giải, với loại tài liệu này số lợng học sinh học đợc từ 50% nội dung trở lên chiếm
phần lớn điều này có nghĩa là tài liệu này phù hợp với các em, đợc các em đón
nhận nhiều.
Từ những nghiên cứu thực tế trên, tôi nhận thấy giải pháp viết các
chuyên đề trình bày theo các chủ đề toán học, tài liệu kết hợp bài tập với những
suy nghĩ của mình dẫn tới cách giải có sức giáo dục tốt ý thức tự học của học sinh.
CHƯƠNG III- bất đẳng thức quen thuộc
Chủ đề 1: Bất đẳng thức Cô-si
I- Đặc điểm nhận dạng.

Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 12 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
1) Xét bất đẳng thức Cô-si cho 2 số không âm x, y đợc viết dới 3 dạng sau:
2
2 2
2 (2.1) (2.2) 2 (2.3)
2
x y
x y xy xy x y xy
+

+ +
ữ

Có thể nhận thấy có đặc điểm điển hình sau:
*1) Vai trò các biến nh nhau.
*2) Bậc đối với tập hợp các biến ở hai vế bằng nhau.
*3) Bậc đối với từng biến giảm 2 lần theo chiều

.
*4) Tổng

Tích.
2) Tơng tự nh vậy đối với bất đẳng thức Cô-si cho 3 số không âm x, y, zđợc viết dới
3 dạng sau:
3
3 3 3
3
3 (3.1) 3 (3.2) 3 (3.3)
3

x y z
x y z xyz xyz x y z xyz
+ +

+ + + + ì
ữ

Chỉ có đặc điểm *3) là khác ở chỗ: Bậc đối với từng biến giảm 3 lần theo chiều

. Bạn hãy tự tìm hiểu các đặc điểm trên đối với bất đẳng thức Cô-si nhiều số nhé.
Chẳng hạn với BĐT Cô-si cho 4 số không âm:
3) Bất đẳng thức Cô-si cho 4 số không âm có thể suy ra từ BĐT Cô-si cho 2 số
không âm. Thật vậy Cho 4 số không âm x, y, z, t. áp dụng liên tiếp BĐT Cô-si cho
2 số không âm ta có:
2.1
+ + + + =2 2 2.2 . 4x y z t xy zt xy zt xyzt
2.2
( )
+ + + + = + =
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2.2 4x y z t x y z t x y z t xyzt xyzt
4) Vấn đề đặt ra là Tìm hiểu về đặc điểm điển hình để làm gì?
Nếu bạn nắm vững đặc điểm điển hình thì giúp bạn cảm nhận đợc hớng
giải quyết tức là định hớng đợc t duy cho mình.
Dới đây là một số ví dụ điển hình.
II- Ví dụ và bài tập vận dụng.
1- Ví dụ điển hình.
Ví dụ 1:
+ + + +Cho ba số không âm a, b, c. Chứng minh a b c ab bc ca
.

Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 13 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
? Nghĩ nh thế nào?
Bạn nghĩ nh thế nào ? Còn tôi tự cảm nhận thấy bậc hai vế bằng nhau! Với tôi quan
niệm về bậc rất đặc biệt, nếu ab là đơn thức bậc 2 thì tôi quan niệm
ab
có bậc 1.
Điều này giống nh là khi ta quan niệm a, b có đơn vị là m (mét) thì ab có đơn vị là
m
2
(mét vuông) và do vậy
ab
có đơn vị là m (mét) vậy. Đôi khi tôi còn quan niệm
+
2
a
b c
là một biểu thức bậc 2 đối với a và bậc 1 đối với tập hợp các biến a, b, c.
Điều này có thể bạn sẽ cời tôi vì làm gì có bậc đối với biểu thức
+
2
a
b c
! Nhng tôi là
vậy, sự linh hoạt trong suy nghĩ giúp tôi giải quyết đợc nhiều bài.
Trở lại bài toán ban đầu, chính đặc điểm 3 giúp tôi nghĩ tới sử dụng bất đẳng
thức Cô-si cho 2 số không âm (bậc từng biến giảm 2 lần mà!). Nhng vế trái có 3 số
thì ta làm nh thế nào? Ta cần làm tăng số lợng chẳng hạn bằng cách nhân hai vế
BĐT với cùng một số hoặc kết quả đó từ nhiều bất đẳng thức Ta có lời giải sau:
( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )
= + + + + +
= + + + + + + +
+ + + +
Ta có 2 a+b+c
áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta đợc:
2 a+b+c 2 2 2
suy ra
a b b c c a
a b b c c a ab bc ca
a b c ab bc ca
Ta có thể trình bày bài toán ở dạng khác:
( )
+ +
+ + + + + +
áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta đợc:
a+b 2 ; 2 ; 2
Cộng 3 bất đẳng thức trên tơng ứng các vế ta đợc:
2 a+b+c 2 2 2 hay .
ab b c bc c a ac
ab bc ca a b c ab bc ca
Ví dụ 2: Cho ba số dơng a, b, c. Chứng minh
( ) ( ) ( )
+ + + 8a b b c c a abc
.
? Nghĩ nh thế nào?
Nhìn vào BĐT cần chứng minh ta thấy bậc hai vế đối với tập các biến là nh nhau,
bậc đối với từng biến thì sao? Chẳng hạn biến a vế trái có bậc 2 (nếu ta thực hiện
khai triển). Nh vậy với chiều

thì biến a giảm 2 lần. Điều này gợi ý cho tôi sử
dụng BĐT Cô-si 2 số. Ta có lời giải sau:
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 14 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
( ) ( ) ( )
+ +
+ + =
áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta đợc:
a+b 2 ; 2 ; 2
Nhân 3 bất đẳng thức trên (các BĐT hai vế không âm, cùng chiều)tơng ứng các
vế ta đợc: a+b 8 8
ab b c bc c a ac
b c c a ab bc ca abc
Ví dụ 3: Cho ba số dơng a, b, c thỏa mãn a+b+c=1.
Chứng minh
4 4 4
a b c abc+ +
? Nghĩ nh thế nào?
Nhìn vào BĐT ta thấy bậc của hai vế không bằng nhau. Tuy nhiên điều gây ấn t-
ợng mạnh cho ta là Tổng

Tích đồng thời bậc từng biến giảm! Điều này gợi
cho ta nghĩ tới việc sử dụng BĐT Cô-si. Trớc hết ta làm cho hai vế cân bằng bậc
(nguyên nhân bậc không cân bằng là do các biến bị ràng buộc bởi điều kiện). Một
cách quen thuộc ta viết
( )
abc a b c abc= + +
vì
1a b c+ + =
.

BĐT trở thành
( )
+ + + + + + + +
4 4 4 4 4 4 2 2 2
hay a b c abc a b c a b c a bc b ac c ab
.
Để xuất hiện tích
2
a bc
từ a
4
, b
4
, c
4
ta thấy theo chiều

thì bậc biến b, c giảm 4
lần còn biến a giảm 2 lần. Nh vậy ta sử dụng BĐT Cô-si cho 4 số (hai lần hai số).
Ta có lời giải sau:
( ) ( ) ( )
+ + + + = +
4 4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2
áp dụng BĐT Cô-si cho hai số không âm ta đợc:
x 2 2 2 4 (*)y z t x y z t x y z t xyzt
áp dụng (*) ta đợc
+ + + = =
4 4 4 4 2
4 4a a b c aabc a bc
. Tơng tự ta cũng có:

+ + + =
4 4 4 4 2
4 4a b b c abbc b ac
và
+ + + =
4 4 4 4 2
4 4a b c c abcc c bc
.
Cộng các BĐT trên ta đợc
( ) ( )
( )
+ + + + + + + + =
4 4 4 2 2 2 4 4 4
4 4 haya b c a bc b ac c ab a b c abc a b c abc
Lời bình: Tính chất về bậc cân bằng hai vế trong BĐT này đã bị mất đi. Nguyên
nhân do các biến đã bị ràng buộc bởi một điều kiện. Trong nhiều tình huống tính
chất về bậc không còn rõ nét nữa. Dới đây là một vài ví dụ:
Ví dụ 4: Cho ba số dơng a, b, c thỏa mãn
a+b+c =3
. Tìm giá trị nhỏ nhất của các
biểu thức sau:
2 2 2 3 3 3
A a b c B a b c= + + = + +
? Nghĩ nh thế nào?
Xét biểu thức A. Ta cần chiều biến đổi
" "
từ
2 2 2
a b c+ +
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 15 -

Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
đánh giá về a+b+c. Xét các đặc điểm điển hình ta nghĩ ngay tới việc sử dụng BĐT
Cô-si cho 2 số không âm (vì bậc giảm 2 lần mà!). Vấn đề là chọn 2 số nào? Ta thấy
chắc chắn có a
2
. Giả sử số thứ hai là k
2
, ta có
2 2
2a k ak+
mà kết quả ta hớng tới
là biến a có số mũ là 1 (theo điều kiện của bài) nên k là hằng số. Mặt khác do a, b,
c có vai trò nh nhau nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi a=b=c=1 (theo điều kiện
a+b+c=3) do vậy k=1. Từ đó ta có lời giải sau:
áp dụng BĐT Cô-si ta có
( )
+ + +
+ + + + + = + +
2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
a 1 2 ; 1 2 ; 1 2
Cộng ba BĐT trên tơng ứng các vế ta đợc
a 3 2 6 a 3
(dấu "=" xảy ra ví dụ khi a=b=c=1). Vậy Min A là 3
a b b c c
b c a b c b c
* Với những suy nghĩ tơng tự bạn có thể tìm đợc hớng giải quyết khi tìm Min B
Cùng với hớng suy nghĩ trên, ta xét thêm ví dụ sau:
Ví dụ 5: Cho 3 số dơng a, b, c thỏa mãn
+ + =

2 2 2
3
.
4
a b c
Tìm Min
= + +
3 3 3
M a b c
.
? Nghĩ nh thế nào?
Thoạt nhìn ta thấy yêu cầu bài cần đánh giá từ bậc 3 hớng tới bậc 2 theo chiều
" "
. So với đặc điểm điển hình thì vớng chính ở điểm này. Câu hỏi đặt ra là sử
dụng Cô-si nh thế nào để có thể hạ đợc từ bậc 3 xuống bậc 2? áp dụng BĐT Cô-
si cho 3 số trong đó chắc chắn có a
3
, hai số còn lại ta chọn là k
3
và m
3
. Ta có
+ +
3 3 3
3 .a k m akm
Để hớng tới a
2
rõ ràng ta cần chọn k=a và m là hằng số.
Vì a, b, c có vai trò nh nhau nên ta dự đoán dấu = xảy ra khi
= = =

1
2
a b c

(theo điều kiện
+ + =
2 2 2
3
4
a b c
). Trong BĐT Cô-si, dấu = xảy ra khi các số bằng
nhau nên
=
1
2
m
. Ta có lời giải sau:
áp dụng BĐT Cô-si ta có

+ + =
ữ

3
3 3 2
1 1 3
3 .
2 2 2
a a aa a
Tơng tự ta có

+ + + +
ữ ữ

3 3
3 3 2 3 3 2
1 3 1 3
và
2 2 2 2
b b b c c c
.
Từ ba BĐT trên ta đợc:
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 16 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
( )

+ + + + + +
ữ


3
3 3 3 2 2 2
3 3 3
1 3 9
2 2 2 3 a =
2 2 8
3 1
Suy ra a +b +c . (dấu "=" xảy ra ví dụ khi a=b=c= )
8 2
3
Vậy Min M là

8
a b c b c
Ví dụ 6: Cho a, b là hai số dơng. Chứng minh
+ + +
2 2
1 1
2 2 6a b
a b
? Nghĩ nh thế nào?
Nhìn vào BĐT ta thấy ấn tợng đầu tiên là vế trái là biểu thức chứa biến, vế phải là
một số (chiều đánh giá lớn hơn hoặc bằng), a và b tuy có vai trò nh nhau nhng
chúng không bị ràng buộc gì ngay cả trong vế trái! điều này giúp ta nghĩ đến chia
vế phải thành hai nhóm tiến hành đánh giá độc lập

+ + +
ữ ữ

2 2
1 1
2 2 6a b
a b
.
Mỗi nhóm nếu ta chỉ xác định gồm 2a và
2
1
a
số thì tích của chúng là
2
a
. Điều này

gợi cho ta viết thành tổng nhiều số có tích là hằng số. Ta có lời giải sau:
áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dơng ta đợc:
= =
3 3
2 2 2 2
1 1 1 1
a+a+ 3 . . 3. Tơng tự ta có b+b+ 3 . . 3
a b
a a b b
a b
Cộng hai BĐT trên ta đợc

+ + +
ữ ữ

2 2
1 1
2 2 6a b
a b
.
Lời bình: 1) Ta có thể thay bài toán bằng loại hình câu hỏi khác:
Cho a, b là hai số dơng. Tìm Min P=
+ + +
2 2
1 1
2 2a b
a b
2) Việc tách 2a=a+a mang tính quyết định của lời giải. Tuy nhiên với bài toán
Cho a, b là hai số dơng. Tìm Min P=
+ + +

2 2
1 1
3 4a b
a b
thì lời giải nh thế nào?
Nếu ta viết
+ = + +
2 2
1 1
3 2a a a
a a
có đợc không? Ta có :
+ = + + =
3
3
2 2 2
1 1 1
3 2 3 .2 . 3 2.a a a a a
a a a
=
2
1
Dấu "=" xảy ra khi a=2a= 0 không thỏa mãn!
a
a
Nh vậy không phải tách nh thế nào cũng đợc phải không bạn? Ta phải tách thành 3
số bằng nhau tại vì dấu = xảy ra trong BĐT Cô-si là khi các số bằng nhau. Ta có
lời giải:
áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dơng ta đợc:
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 17 -

Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
+ = + + =
= =
3
3
2 2 2
3
3
2
1 3 3 1 3 3 1 9
3 3 . . 3 .
2 2 2 2 4
3a 3a 1 2 2
Dấu "=" xảy ra khi = =
2 2 a 3 3
a a a a
a
a a a
a a
+ + = + + =
= =
3
3
2 2 2
3
3
2
1 1 1
2 2 2 2 3 2 .2 . 3 4.
1 1 1

Dấu "=" xảy ra khi 2b=2b=
b 2 2
b b b b b b
b b b
b a
Kỹ năng tách, thêm bớt khi sử dụng Cô-si là mấu chốt của vấn đề. Ta xét ví dụ tiếp
Ví dụ 7: Tìm Min
=
4
5 3P x x
.
? Nghĩ nh thế nào?
Thoạt nhìn chẳng ai lại nghĩ tới sử dụng BT Cô-si cả. Sự cố gắng nhìn nhận P là
một đa thức để viết dới dạng tổng các biểu thức không âm với 1 hằng số gặp nhiều
khó khăn. Ta nghĩ một cách cơ bản nhất:
Giả sử Min P =m ta có
= + +
4 4
5 3 5 3P x x m x x m
. Tới đây thì ta đã
nhìn ra BĐT Cô-si rồi bởi các tính chất đặc trng của nó. Theo chiều

bậc của x
giảm 4 lần tức là ta cần áp dụng BĐT Cô-si cho 4 số. Chọn 4 số nào? trong khi ta
chỉ bắt đầu bởi x
4
. Giả sử ba số còn lại đều là k
4
với k>0 (ba số này chắc chắn bằng
nhau để đảm bảo dấu = khi đánh giá theo BĐT Cô-si xảy ra đợc). Ta có

+ + + =
4 4 4 4 3
4 4x k k k kkk x k x
Ta cần chọn k sao cho
=
3 3
3
5 5
4 5 . Ta chỉ cần chọn k =
4 4
k x x k
Ta có lời giải sau: áp dụng BĐT Cô-si

+ + + =
ữ ữ ữ
ữ ữ ữ

4 4 4
4
3 3 3 3 3 3
5 5 5 5 5 5
Ta có x 4 . . 5 5
4 4 4 4 4 4
x x x

+ =
ữ ữ
ữ ữ

ữ
ữ

4 4
4 4
3 3
4
3 3
5 5
Suy ra x 3 5 5 3 3 3
4 4
5 5
Dấu "=" xảy ra ví dụ khi x= . Vậy Min P là 3 3
4 4
x P x x
Lời bình: Tôi cố tình chọn một ví dụ mà giá trị nhỏ nhất của nó trông rất cồng
kềnh. Liệu bạn có đủ kiên nhẫn viết P dới dạng tổng các biểu thức không âm với 1
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 18 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
hằng số là


ữ
ữ

4
3
5
3 3

4
đợc không?! Trong ví dụ này tôi cho rằng việc suy nghĩ
giả sử Min P là m và sau đó đa về giải quyết bài toán theo hớng Cô-si là mấu
chốt. Việc chọn đợc số k chỉ là một kỹ thuật nhỏ trong bài mặc dù đợc đánh giá là
một kỹ thuật điển hình khi sử dụng BĐT Cô-si.
Với các bạn học sinh lớp 8, hãy tự giải bài tập sau: Tìm Min của
4
4 1P x x=
Ví dụ 8: Tìm Max, Min của
+
= =
+ +
2 2
4 4 1
1 4
x x
A B
x x

? Nghĩ nh thế nào?
Ta xét biểu thức A. Điều mà ta nghĩ tới là làm thế nào để đánh giá A? A là một
phân thức dạng
=
T
A
M
. Chẳng hạn ta cần
A k
thì có thể
1) Đánh giá

.T k M

2) Đánh giá
.M k T

3) Đánh giá đồng thời

1 2
. và .T k X M k X
. Xét lời giải sau

+
+ + +
2
2 2 2
1 1 1 4
Ta có x 1 2 2 2
1 2 2 1 2 1
x
x x
x
x x x
A=-2 chẳng hạn với x=-1; A=2 chẳng hạn với x=1. Vậy Min A là -2 và Max A là 2.
Với biểu thức B thì sao? Chẳng hạn ta đánh giá mẫu (M) theo tử (T).
( )
( )
+ + = + +
+
=
2 2

2
Giả sử cần chọn k sao cho x 4 4 1 4 x 4 4
Theo BĐT Cô-si ta có x 4 2 4 .
Nh vậy ta chọn k ví dụ thỏa 2 4-k 4
k x kx k k kx
k k x
k
Xin nhờ bạn tiếp tục nhé. Tất nhiên dạng này ta có thể sử dụng nhiều cách khác.
Vấn đề là tùy theo cách nhìn nhận về biểu thức B của bạn. Ta xét ví dụ sau về phân
thức:
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
+
=

2
x 5
I với -1<x<1
1 x
? Nghĩ nh thế nào?
Nếu ta chỉ nhìn về Bậc đơn thuần thì bậc của
+x 5
và bậc của

2
1 x
là nh nhau.
Và nh thế thì không vận dụng BĐT Cô-si đợc?!
Tuy nhiên nhận thấy mẫu của phân thức có thể viết đợc dới dạng
( ) ( )
2

1 1 1x x x = +
. Bài toán trở về tìm Min của
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 19 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
( ) ( )
+
=
+
x 5
I với -1<x<1
1 x 1 x
. Dạng mới của biểu thức này đã thể hiện rõ những
đặc điểm đặc trng của BĐT Cô-si. Với chiều
" "
ta cần viết x+5 thành tổng hai
biểu thức của 1-x và 1+x. Giả sử
( ) ( )
+ = + + x 5 a 1 x b 1 x
Ta có
( ) ( ) ( )
+ = + +Ta có a 1+x b 1 x x a b a b
. Cân bằng hệ số ta đợc
= =



+ = =

a b 1 a 3
a b 5 b 2

. Từ đó ta có lời giải sau:
Ta có
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
+ = + + + =

= + = =
2
2
x 5 3 1 x 2 1 x 2 3 1 x .2 1 x 2 6 1 x
x+5 1
Do đó 2 6. (dấu "=" xảy ra khi 3 1 x 2 1 x x t / mĐK
5
1-x
Vậy giá trị nhỏ nhất của I là 2 6
Lời bình: Mấu chốt của t duy là ta viết đợc
( ) ( )
2
1 1 1x x x = +
. Điều này làm
giảm bậc của mẫu phân thức đồng thời gợi ý cho ta sử dung BĐT Cô-si. Kỹ thuật
tách x+5 thành tổng hai biểu thức nh trên chỉ là một mẹo nhỏ mà ngời sử dụng
BĐT Cô-si cần nắm vững kỹ năng này.
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của

= +
2x-3 2y 3
A
y-3 x-3

với x>3 và y>3
? Nghĩ nh thế nào?
Quan sát ta thấy: A là tổng của hai phân thức trong đó x, y có vai trò nh nhau. Điều
này cho ta dự đoán giá trị nhỏ nhất xảy ra có thể do x=y.
Điều này cha gợi ý cho ta đợc điều gì nhiều. Với chiều
" "
nếu ta sử dụng BĐT
Cô-si ta chuyển đợc biểu thức về dạng Tích, dạng này cho phép ta dễ dàng
chuyển mẫu của hai phân thức cho nhau. Lúc đó ta đợc 2 biểu thức độc lập. Cụ thể
ta có lời giải sau:
áp dụng BĐT Cô-si ta có:

= + =
2x-3 2y 3 2x-3 2y 3 2x-3 2y 3
A 2 . 2 . ("=" khi x=y)
y-3 x-3 y-3 x-3 x-3 y-3
.
Mặt khác
( ) ( ) ( )
= + = 2x 3 2 x 3 3 2 2 x 3 3 2 6 x 3
Suy ra



2x 3 9
2 6 (dấu "=" xảy ra khi x= )
2
x 3
Tơng tự

2y 3 9
2 6 (dấu "=" xảy ra khi y= )
2
y 3
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 20 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
Do vậy
=
A 2 2 6.2 6 4 6

9
(dấu "=" xảy ra khi y=x= )
2
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là
4 6
.
Ví dụ 11: Cho ba số dơng a, b, c thỏa mãn
2 2 2
3a b c+ + =
.
Chứng minh
2 2 2 2 2 2
3
2
a b c
b c a c b a
+ +

+ + +
? Nghĩ nh thế nào?
Quan sát vế trái ta thấy:
Nx1) Thấy vai trò các biến nh nhau nên dấu = xảy ra ở BĐT khả năng là khi
a=b=c. Kết hợp ĐK ban đầu ta đợc a=b=c=1.
Nx2) Có thể biến đổi vế trái trở về dạng tổng của 3 biểu thức độc lập:
2 2 2
3 3 3
a b c
a b c
+ +

.
Nx3) Căn cứ ĐK ta sẽ cố gắng đánh giá vế trái về
( )
2 2 2
.k a b c+ +
với k là một
hằng số nào đó. Do ba phân thức vế trái độc lập nên cần xác định k để


2
2
.
3
a
k a
a

Kết hợp Nx1) ta đợc

= =

2
2
1 1
.1
3 1 2
k k
. Vậy cần chứng minh


2
2
1
.
3 2
a
a
a
( ) ( )
+
2 2 2 3 3
3 2 3 2 3 2 2 3a a a a a a a a a
. BĐT cuối cùng
này có đầy đủ đặc trng của BĐT Cô-si. Ta có lời giải sau:
Ta có
( )
+ = + +
3 3 3 3 3 2
Ta có a 2 1 1 3 3 2 3 2 (*)a a a a a a

Mặt khác a>0 và
>
2 2
3 3 0a a
nên
( )


2 2 2
2
1
(*) 3 2
3 2
a
a a a a
a
Tơng tự ta có


2 2
2 2
1 1
và
3 2 3 2
b c
b c
b c
Do vậy
2 2 2
2 2 2

1 1 1 3
3 3 3 2 2 2 2
a b c
a b c
a b c
+ + + + =

Ví dụ 12: Cho hai số dơng x, y thỏa mãn
+ =
2 2
1
.
2
x y
Tìm giá trị nhỏ nhất của


= + + + +
ữ
ữ


1 1
1 1A x y
y x
.
? Nghĩ nh thế nào?
Quan sát A ta có nhận xét cơ bản sau:
Nx1) Ta thấy vai trò các biến nh nhau nên dấu = xảy ra ở BĐT khả năng là khi
x=y. Kết hợp ĐK ban đầu ta đợc

= = ì
1
2
x y
Nx2) Khai triển A ta có thể chia A thành các nhóm x, y có vai trò nh nhau
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 21 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.


= + + + + = + + + + + + ì
ữ
ữ


1 1 1 1 1
1 1 3A x y x y xy
y x x y xy

Tới đây, có nhiều bạn sẽ cho là dễ quá vì có thể nhóm thành các nhóm có tích
không đổi để áp dụng BĐT Cô-si!


= + + + + + + + + + =
ữ ữ
ữ


1 1 1 1 1 1
3 3 2 . 2 . 2 . 9A x y xy x y xy
x y xy x y xy

Thật tiếc dấu = xảy ra khi đánh giá

+ = =
ữ

1 1 1
2 . 2 khi x= 1
x
x x x
x x
.
Tơng tự cần y=1. Rõ ràng x=y=1 không thỏa mãn ĐK
+ =
2 2
1
.
2
x y

Chỉ có đánh giá
+ =
1 1
2 . 2xy xy
xy xy
dấu = xảy ra khi x=y. Bạn đã bao giờ sai
lầm thế này cha?. Ta đi tìm nguyên nhân của sai lầm trong lời giải trên.
Việc nhóm

+
ữ

1
x
x
về mặt ý tởng là tốt. Bởi ta đợc đặc trng cơ bản là tổng
các số có tích không đổi. Để giữ đợc đặc trng cơ bản trên ta nhóm
+
k
x
x
(k là
hằng số). Vấn đề là chọn k là bao nhiêu?
Theo BĐT Cô-si ta có
+ =
2
k
2 . . dấu "=" xảy ra khi x=
x
k k
x x k x
x x
.
Mặt khác theo Nx1) thì
= =
1 1
nên k=
2 4
x y
. Ta có lời giải sau:

= + + + + + + + + +
ữ ữ ữ
ữ


+ + + ì + + = + ì + ì
1 1 3 1 1 1 15
3
4 4 4 16 16
1 1 3 1 1 15 3 1 15 1
3 2 . 2 . 2 2 . 7 2
4 4 4 16 4 16
A x y xy
x y x y xy xy
A x y xy
x y xy xy xy xy xy
Lại có
= +
2 2
1 1
2 4
2
x y xy
xy
. Do vậy
+ + =
3 15 49
7 4 .4
2 16 4

A
Lời bình Qua những ví dụ nêu trên, ta thấy sự khó khăn khi sử dụng BĐT Cô-si
chính là vấn đề Bậc trong đặc điểm điển hình của BĐT Cô-si. Trong một số tình
huống cần tăng hay giảm bậc thật không đơn giản, biện pháp thờng sử dụng là
kết hợp với 1 hằng số. Ta xét thêm một số ví dụ sau:
Ví dụ 13: Cho ba số a, b, c dơng thỏa mãn
+ + 3ab bc ca
. Chứng minh rằng
( )
+ + + + + + +
2 2 2
3 3 3 2a b c a b c
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 22 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
? Nghĩ nh thế nào?
Quan sát bậc hai vế ta thấy nếu xét theo chiều
" "
thì bậc từng biến giảm 4 lần.
Chính sự nhận xét này cho ta suy nghĩ cần nâng bậc vế trái. Các tính chất đặc tr-
ng của BĐT Cô-si đợc bộc lộ rõ, nên về mặt t duy, ta nghĩ về BĐT Cô-si là rất tự
nhiên!.
Ta thấy vai trò các biến nh nhau nên dấu = xảy ra ở BĐT khả năng là khi a=b=c.
Kết hợp ĐK ban đầu ta đợc a=b=c=1 khi đó a+3=b+3=c+3=4.
Trớc hết ta nâng bậc lên bậc 1 từ căn bậc 2 (ta hiểu là bậc 1/2 ). Ta có:
( ) ( ) ( )
( )
+ + + + +
+ =
+ + +

+ + +
+ + + + +
2 2 2 2 2
2 2 2
3 4 7 7 7
3 4 . Tơng tự b+3 4 và c+3 4
2 2 2 2
21
suy ra VT . Tới đây ta tiếp tục làm "tăng" bậc từ bậc 1 lên bậc 2
4
do dự đoán a=b=c=1 nên ta có a 1 2 ; 1 2 và c 1 2
2 3.
a a b c
a
a b c
a b b c
a b c a b c
( )
+ + + +

2 2 2
1
3 21
2
Do vậy VT
4
a b c
Nh vậy ta sẽ thử chứng minh
( )
( )

+ + + +
+ +
2 2 2
2 2 2
1
3 21
2
2
4
a b c
a b c
tức là cần
chứng minh
+ +
2 2 2
3a b c
với điều kiện
+ + 3ab bc ca
. Điều này đơn giản vì
luôn có
+ + + +
2 2 2
a b c ab bc ca
.
Lời bình Thực ra lúc đầu tôi nhận thấy điều kiện
+ + 3ab bc ca
có bậc trung gian
giữa VT và VP nên đã cố gắng đánh giá từ
+ +
2 2 2

a b c
về xuất hiện
+ +ab bc ca

và từ VT
+ + + + +3 3 3a b c
xuất hiện
+ +ab bc ca
. Nhng tôi đã gặp khó khi
đánh giá từ VT về xuất hiện
+ +ab bc ca
và cho rằng không sử dụng đợc BĐT Cô-
si. Bạn thấy đấy, sự máy móc trong t duy đã làm khổ chính mình!
2- Tiểu kết 1:
Chúng ta cùng nhìn lại các ví dụ vừa đa ra. Để sử dụng BĐT Cô-si, kinh nghiệm
của tôi là cần thành thạo hai kỹ năng cơ bản sau:
Một: Làm thay đổi bậc của biểu thức đánh giá cần hớng tới.
Hai: Chọn hằng số để ghép thêm khi sử dụng Cô-si thông qua dự đoán dấu =
xảy ra khi nào?
Dới đây là một số bài tập vận dụng.
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 23 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
3- Bài tập vận dụng.
Bài 1: Chứng minh các bất đẳng thức sau:
+ + +
+ + + +
+ + + +
+ + + +
+

2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2
2 2
1) ( )( )( ) 8
2)
1 1 1
3) ( )( ) 9 với x, y, z>0
4) với x, y, z>0
5) 8 với x,y>1
1 1
x y z y x z x y z
x y z xy yz zx
x y z
x y z
xy xy xy
x y z
z z z
x y
x y
+ + + > + =
2 2
1 1 1
6) 5 , 0;
x 2
x y với x y x y
y

+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +

2 2 2
2 2 2
3
7) Cho a,b,c là các số dơng thoả mãn a+b+c . Chứng minh:
2
1 1 1 15
7.1
2
15
7.2
2
1 1 1
7.3
a b c
a b c
a b c
a b c
b c a
a b c
b c a a b c
+ + + + +
+ + + + +
+ + + + +
3 3 3
2 2 2
3 3 3
2 2 2
15
7.4 .
2

1 1 1 51
7.5
2
1 1 1 51
7.6
2
a b c a b c
bc ac ab b c a
a b c
a b c
a b c
ab bc ca

+ + + +
3 3 3 2 2 2
4 4 4 2 2 2 2 2 2
8. a +b +c b+b c+c a với a, b, c là các số dơng.
9. a với a, b, c là các số dơng.
a
b c a b b c c a
+ + + +
4 4 4 3 3 3
10. a với a, b, c là các số dơng. b c a b b c c a
+
+ 11. 2 với a, b là các số dơng.
2
a b
a b
+ +
+

+ + =
+ +
1 1 2 1
12. với a, b là các số dơng.
a
1 a
13. abc với a, b, c là các số dơng thoả mãn 1.
8 1+a 1 1
b a b
ab
b c
b c
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 24 -
Hớng dẫn học sinh tự học một số Bất đẳng thức quen thuộc.
Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất các biểu thức sau:
( ) ( ) ( )
+
= =


+
= =

+ + +
=
+ +
=
2
2 2 2
4 4 4

x 3 x 2 1 7 x
A với x>2 B với -2<x<2
3 4x 8
3 4 x
3x 2 2x 4 x 2 5
C với x>3 D với x>2
2 x 3 x 2
1 2 x 1 3 y 1 4 z
E với x, y, z là ba số dơng
xyz
x y z
F với x, y, z là ba số dơng thỏa mãn x+y+z=1
xyz
+ + +
5x 7y 9 32
G = với x, y, z là ba số dơng
2 2 x y

= + + + + + + + =
ữ ữ ữ
ữ ữ ữ


= + + + + + =
ữ ữ ữ
ữ ữ ữ

2 2 2
1 1 1
H x y z với x, y, z>0 và x y z 1

y z x
1 1 1
I 1 1 1 với x, y, z>0 và x y z 1
x y z
( )

+ + + + +
ữ

1 1 1 x y z
K= xyz+1 x y z với x,y,z>0
x y z y z x
( ) ( )


+ + + +
ữ
ữ


1 1
M= 1+x 1 1 y 1 với x>0 và y>0
y x
( ) ( )

+
+
+ + +
+ +
2

2 2 2
4
N=x+ với x>y và y 0
x-y y 1
6 10
P= 2x+3y+ với x,y>0 và x+y 4
x y
1 1 1 1
Q= với x,y,z>0 và x+y+z=1
x y z xy yz zx
+ + +
= + +
+ + +
4 3 3 2
R=4x+ 9 với x, y dơng thoả mãn 12.
x x
với a, b, c là ba số dơng.
2 3 2 3 2 3
y
y y
a b c
S
b c c a a b
Bùi Đăng Thơng THCS Phù Cừ E-mail: Bù - 25 -