Chuyên đề luyện thi đại học khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95






I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Sự biến thiên của hàm không có tham số

Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính
'
y
và giả
i ph
ươ
ng trình
' 0
y
=

để
tìm các nghi
ệ
m.
+ L
ậ

p b
ả
ng bi
ế
n thiên (ho
ặ
c ch
ỉ
c
ầ
n b
ả
ng xét d
ấ
u
'
y
) và k
ế
t lu
ậ
n trên c
ơ
s
ở
các
đ
i
ể
m t

ớ
i h
ạ
n.

Chú ý:
Quy t
ắ
c xét d
ấ
u c
ủ
a hàm
đ
a th
ứ
c và phân th
ứ
c.

Các ví d
ụ

đ
i
ể
n hình:
Ví dụ 1:
Xét s
ự

bi
ế
n thiên c
ủ
a các hàm s
ố
sau
đ
ây:
a)
3 2
2 3 1.
y x x
= − + +
b)
3 2
3 3 1.
y x x x
= − + +

c)
4 2
2 1.
y x x
= − −
d)
2
5 4 3
1 1
2 1.

5 4 2
x
y x x x x
= − − + + −

Lời giải:
a)
3 2
2 3 1.
y x x
= − + +


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
( ) ( )
2
0
6 6 6 1 0 6 1 0
1
x
y x x x x y x x
x

=

′ ′
= − + = − − → = ⇔ − − = ⇔

=


 Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞ 0 1 +∞
'
y


− 0 + 0 −

V
ậy hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (1; +∞).
b)
3 2
3 3 1.
y x x x
= − + +

 Tập xác định: D = R.
 Đạo hàm:
( )
2
2

3 6 3 3 1 0 0, .
y x x x y x D
′ ′
= − + = − ≥ → ≥ ∀ ∈

V
ậ
y hàm s
ố

đ
ã cho luôn
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh.
c)
4 2
2 1
y x x
= − −


T
ậ
p xác

đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
( ) ( )
3 2 2
0
4 4 4 1 0 4 1 0
1
x
y x x x x y x x
x
=

′ ′
= − = − → = ⇔ − = ⇔

= ±



B
ả
ng xét d
ấ
u c
ủ
a

đạ
o hàm:
x
−∞ −1 0 1 +∞
'
y

− 0 + 0 − 0 +

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−∞; −1) và (0; 1).
d)
2
5 4 3
1 1
2 1.
5 4 2
x
y x x x x

= − − + + −


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
( ) ( )( )
2
4 3 2
1
3 2 1 1 2 0 1
2
x
y x x x x x x x y x
x
= −


′ ′
= − − + + = + − − → = ⇔ =


=


Do
( )
2
1 0,
x x
+ ≥ ∀
nên d
ấ
u c
ủ
a
'
y
ch
ỉ
ph
ụ
thu
ộ
c vào bi
ể
u th
ứ
c (x − 1)(x − 2).
Tài liệu bài giảng:

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  P1
Thầy Đặng Việt Hùng
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
 Bảng xét dấu của đạo hàm:
x
−∞ −1 1 2 +∞
'
y

+ 0 + 0
−
0 +

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (
−∞
; 1) và (2; +
∞
); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (1; 2).
Ví dụ 2:

Xét s
ự
bi
ế
n thiên c
ủ
a các hàm s
ố
cho d
ướ
i
đ
ây:
a)
1
.
2 2
x
y
x
+
=
−
b)
2
3 3
.
1
x x
y

x
+ +
=
+

c)
2
1 .
1
y x
x
= − +
+
d)
2
2 2.
y x x
= − +

e)
2
2 .
y x x
= −
f)
2 1
.
3 2
x
y

x
+
=
−

Lời giải:
a)
1
.
2 2
x
y
x
+
=
−


T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
\ 1 .
D R=



Đạ
o hàm:
( )
2
4
0,
2 2
y x D
x
−
′
= > ∀ ∈ →
−
hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh.
b)
2
3 3
.
1
x x

y
x
+ +
=
+


T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
\ 1 .
D R
= −



Đạ
o hàm:
(
)
(
)
( ) ( )
2
2
2

2 2
0
2 3 1 3 3
2
0 2 0
2
1 1
x
x x x x
x x
y y x x
x
x x
=
+ + − − −

+
′ ′
= = → = ⇔ + = ⇔

= −
+ +



B
ả
ng xét d
ấ
u c

ủ
a
đạ
o hàm:
x
−∞ −2 −1 0 +∞
'
y

+ 0 − || − 0 +
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−2; −1) và (−1; 0).
c)
2
1 .
1
y x
x
= − +

+


T
ậ
p xác
đị
nh:
{
}
\ 1 .
D R
= −



Đạ
o hàm:
( )
2
2
1 0,
1
y x D
x
′
= − − < ∀ ∈ →
+
hàm s
ố

luôn ngh
ị
ch bi
ế
n trên t
ậ
p xác
đị
nh c
ủ
a nó.
d)
2
2 2.
y x x
= − +


Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
( )
2
2
2 2 0 1 1 0, .
x x x x D R
− + ≥ ⇔ − + > ∀ → =



Đạ
o hàm:
( )
2
2 2
2 2
1
0 1.
2 2 2 2 2
x x
x
y y x
x x x x
′
− +
−
′ ′
= = → = ⇔ =
− + − +


B
ả
ng xét d
ấ
u c
ủ
a

đạ
o hàm:
x
−∞ 1 +∞
'
y

− 0 +
Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (1; +∞) và ngh
ị
ch bi
ế
n trên (−∞; 1).
e)
2
2 .
y x x
= −


Hàm s
ố
xác
đị

nh khi
(
)
[
]
2
2 0 2 0 0 2 0; 2 .
x x x x x D− ≥ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ → =


Đạ
o hàm:
( )
2
2 2
2
1
0 1.
2 2 2
x x
x
y y x
x x x x
′
−
−
′ ′
= = → = ⇔ =
− −

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
 Bảng xét dấu của đạo hàm:
x 0 1 2
'
y

+ 0
−

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên (0; 1) và ngh
ị
ch bi
ế
n trên (1; 2).
f)
2 1
.
3 2
x
y
x
+

=
−


Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
1
2 1 0
1 2
2
; \ .
2
2
2 3
3
3
x
x
D
x
x

+ ≥
≥ −


 

   
⇔ → = − + ∞
   
 
≠
   
 
≠






Đạ
o hàm:
( )
( )
( )
( )
( )
2 2 2
2
3 2 3 2 1
3 2 3 2 1
3 5 5 1
2 2 1
0
3 2
3 2 3 2 . 2 1 3 2 . 2 1

x x
x x
x
x
y y x
x x x x x
− − +
− − +
− −
+
′ ′
= = = → = ⇔ = − < −
− − + − +


B
ả
ng xét d
ấ
u c
ủ
a
đạ
o hàm:
x
1
2
−

2

3
+∞
y’
− || −
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên
1 2
;
2 3
 
−
 
 
và
2
; .
3
 
+∞
 
 

BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
1)
2 5.
y x
= − +
2)
3
3 2.

y x x
= − +

3)
3 2
2 3 2.
y x x
= − + +
4)
3 2
3 3 12.
y x x x= − + −

5)
4 2
2 5.
y x x
= − +
6)
4 2
4 1.
y x x
= − + −

7)
3 2
2 2.
y x x x
= + + −
8)

2
2 3 1.
y x x
= + +

9)
1
.
2
x
y
x
+
=
−
10)
2 1
.
1
x
y
x
−
=
+

11)
1
.
3 2

x
y
x
−
=
−
12)
2
3 3
.
1
x x
y
x
+ +
=
+

13)
1
.
y x
x
= +
14)
1
2 3 .
1
y x
x

= − −
+

Dạng 2. Sự biến thiên của hàm có tham số

Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải
Xét tam th
ức bậc hai:
(
)
2
,
f x ax bx c
= + +
g
ọ
i x
1
; x
2
là hai nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình f(x) = 0, v
ớ
i x
1

< x
2
+ N
ế
u a > 0:
( )
( )
2
1
1 2
0
0
x x
f x
x x
f x x x x
>

> ⇔

<

< ⇔ < <
+ N
ế
u a < 0:
(
)
( )
1 2

2
1
0
0
f x x x x
x x
f x
x x
> ⇔ < <
>

< ⇔

<


+
( )
0
0,
0
a
f x x R
>

> ∀ ∈ ⇔

∆ <

+

( )
0
0,
0
a
f x x R
<

< ∀ ∈ ⇔

∆ <


+
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
α β
0
α β
0,
α
;
β
:
0
α β
x x
a

x x
f x x
a x x
< < <

> →

< < <
> ∀ ∈

< → < < <
+
( ) ( )
1 2
1 2
1 2
0
α β
0,
α
;
β
:
α β
0
α β
a x x
f x x
x x
a

x x
> → < < <
< ∀ ∈
< < <

< →

< < <



Các ví dụ điển hình:
Ví dụ: Tìm m
để
hàm s
ố

a)
( )
3
2
1
3
x
y x m x m
= − + − +

đồ
ng bi
ế

n trên R.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
b)
( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= − + + − +
nghịch biến trên R.
c)
(
)
( )
3
2
1
3 2 2
3
m x
y mx m x
−
= + + − +

đồ
ng bi
ế

n trên R.

Lời giải:
a)
( )
3
2 2
1 2 1
3
x
y x m x m y x x m
′
= − + − + → = − + −

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên R khi
(
)
0, 0 1 1 0 2.
y x R m m
′ ′
≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≥

V
ậ

y hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên R khi m
≥
2.
b)

( )
3 2 2
1
3 2 1 2 3 2.
3
y x mx m x y x mx m
′
= − + + − + → = − + + −

Hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R khi
( )
2
3 17 3 17

0, 0 3 2 0 .
2 2
y x R m m m
− − − +
′ ′
≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤

V
ậ
y hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên R khi
3 17 3 17
.
2 2
m
− − − +
≤ ≤

c)
(
)
( ) ( )
3
2 2
1

3 2 2 1 2 3 2
3
m x
y mx m x y m x mx m
−
′
= + + − + → = − + + −

Để
hàm s
ố
luôn
đồ
ng bi
ế
n trên R thì
0, .
y x R
′
≥ ∀ ∈


Khi
1 0 1 2 1.
m m y x
′
− = ⇔ = → = +

Ta th
ấ

y hàm s
ố
ch
ỉ

đồ
ng biên trên
1
;
2
 
− +∞
 
 
nên không thỏa mãn yêu cầu.
 Khi
( )( )
2
2
1
1
1 0
1 0 1 0,
0
1 3 2 0
2 5 2 0
m
m
m
m m y x R

m m m
m m
>
>


− >

 
′
− ≠ ⇔ ≠ → ≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔
  
′
∆ ≤
− − − ≤
− + − ≤






1
2
2.
1
2
m
m
m

m
>


 ≥

⇔ → ≥




≤




V
ậy với m ≥ 2 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1)
Tìm m để hàm số
( )
3
2
1
3
x
y x m x m
= − + − +
đồng biến trên R.

2) Tìm m để hàm số
(
)
3 2
3 3 2 1 1
y x mx m x
= − + − +

đồ
ng bi
ế
n trên R.
3)
Tìm m
để
hàm s
ố

( )
3 2
1
3 2 1
3
y x mx m x
= − + + − +
ngh
ị
ch bi
ế
n trên R.

4)
Tìm m
để
hàm s
ố

( ) ( )
3
2
5
1 2 3
3 3
x
y m x m x
= + − + − +

đồ
ng bi
ế
n trên R.
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I

Ph
ươ
ng pháp:
+ Tìm t
ậ
p xác
đị

nh c
ủ
a hàm s
ố
.
+ Tính
'
y
và gi
ả
i ph
ươ
ng trình
' 0
y
=

để
tìm các nghi
ệ
m.
+ L
ậ
p b
ả
ng bi
ế
n thiên và d
ự
a vào b

ả
ng bi
ế
n thiên
để
k
ế
t lu
ậ
n v
ề

đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u c
ủ
a hàm s
ố
.

Chú ý: V

ớ
i m
ộ
t s
ố
d
ạ
ng hàm
đặ
c bi
ệ
t (th
ườ
ng là hàm vô t
ỉ
) thì ta ph
ả
i tính gi
ớ
i h
ạ
n t
ạ
i các
đ
i
ể
m biên
để
cho b

ả
ng
bi
ế
n thiên
đượ
c ch
ặ
t ch
ẽ
h
ơ
n.

Các ví d
ụ

đ
i
ể
n hình:
Ví dụ 1:
Tìm các kho
ả
ng
đơ
n
đ
i
ệ

u và c
ự
c tr
ị
c
ủ
a các hàm s
ố
sau:

a)
3 2
2 3 36 10.
y x x x= + − −
b)
4 2
2 3.
y x x
= + −

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
c)
2 4
2 .
y x x
= −
d)
4 3

1
3.
4
y x x
= − +

Lời giải:
a)
3 2
2 3 36 10.
y x x x= + − −

 Tập xác định: D = R.
 Đạo hàm:
( )
2 2 2
3
' 6 6 36 6 6 ' 0 6 0
2
x
y x x x x y x x
x
= −

= + − = + − → = ⇔ + − = ⇔

=


 Bảng biến thiên:

x
−∞ −3 2 +∞
'
y

+ 0
−
0 +
y
71 +
∞


−∞

−
54

T
ừ
b
ả
ng bi
ế
n thiên ta th
ấ
y hàm s
ố

đồ

ng bi
ế
n trên (
−∞
; 3) và (2; +
∞
); hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên (
−
3; 2).
Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i x =
−
3; y = 71 và
đạ
t c

ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2; y =
−
54.
b)
4 2
2 3.
y x x
= + −


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
(
)
3 2
4 4 4 1 0 0.
y x x x x y x
′ ′

= + = + → = ⇔ =

 Bảng biến thiên:
x
−∞ 0 +∞
'
y

− 0 +

y
+∞ +∞

−3

T
ừ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞).
Hàm s
ố đạt cực tiểu tại x = 0; y = −3.
c)
2 4
2 .
y x x
= −

 Tập xác định: D = R.
 Đạo hàm:
( ) ( )
3 2 2
0

4 4 4 1 0 1 0
1
x
y x x x x y x x
x
=

′ ′
= − = − → = ⇔ − = ⇔

= ±


 Bảng biến thiên:

x
−∞ −1 0 1 +∞
'
y

+ 0 − 0 + 0 −
y
1 1

−∞ 0 −∞

T
ừ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm số nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞).
Hàm s
ố đạt cực đại tại x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1.

Hàm s
ố đạt cực tiểu tại x = 0; y = 0.
d)
4 3
1
3.
4
y x x
= − +


Tập xác định: D = R.
 Đạo hàm:
( ) ( )
3 2 2 2
0
3 3 0 3 0
3
x
y x x x x y x x
x
=

′ ′
= − = − → = ⇔ − = ⇔

=


 Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên như hình vẽ

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
x
−∞ 0 3 +∞
'
y


−
0
−
0 +
y
+
∞
+
∞



15
4
−


T
ừ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (3; +∞) và hàm số nghịch biến trên (−∞; 3).
Hàm s

ố đạt cực tiểu tại
15
3; .
4
x y= = −
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
a)
2
1 .
y x x
= −
b)
2
2 3 1.
y x x
= + +
c)
1
.
3
x
y
x
+
=
+

Lời giải:
a)
2

1 .
y x x
= −


Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
[
]
2
1 0 1 1 1;1 .
x x D− ≥ ⇔ − ≤ ≤ → = −


Đạ
o hàm:
2 2
2 2
2 2
1 2 1
1 0 1 2 0
2
1 1
x x
y x y x x
x x
−

′ ′
= − − = → = ⇔ − = ⇔ = ±
− −


B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x
−1
1
2
−
1
2
+1
'
y

− 0 + 0 −
y
0
1
2


1
2

− 0

Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên
1 1
;
2 2
 
−
 
 
; hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế
n trên
1
1;
2
 
− −
 
 

và
1
;1 .
2
 
 
 

Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
1 1
;
2 2
x y= = và
đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ

i
1 1
; .
2 2
x y= − = −
b)
2
2 3 1.
y x x
= + +


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
2
2 2
2 2
3 2 1 3
2 0 2 1 3 0 2 1 3
1 1
x x x
y y x x x x
x x

+ +
′ ′
= + = → = ⇔ + + = ⇔ + = −
+ +

2 2 2
0
0 0
2
2
4 4 9 5 4
5
5
x
x x
x
x
x x x
<

< <
 
  
⇔ ⇔ ⇔ → = −
  
= ±
+ = =
 
 





Gi
ớ
i h
ạ
n:
(
)
2
2 2
1 1
lim 2 3 1 lim 2 3 1 lim 2 3 1
x x x
x x x x x
x x
→−∞ →−∞ →−∞
   
+ + = + + = − + = +∞
   
   
   

(
)
2
2 2
1 1
lim 2 3 1 lim 2 3 1 lim 2 3 1

x x x
x x x x x
x x
→+∞ →+∞ →+∞
   
+ + = + + = + + = +∞
   
   
   


B
ả
ng bi
ế
n thiên:


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
x
−∞
2
5
− +∞
'
y

− 0 +
0
y
+∞ +∞


5



Hàm s
ố

đồ
ng bi
ế
n trên
2
;
5
 
−∞ −
 
 
; hàm s
ố
ngh
ị
ch bi
ế

n trên
2
; .
5
 
+∞
 
 

Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
2
; 5.
5
x y= − =
c)
1
.
3
x
y

x
+
=
+


Hàm s
ố
xác
đị
nh khi
[
]
3 0 3 3; .
x x D
+ > ⇔ > − → = − + ∞



Đạ
o hàm:
( )
( )
( )
( )
( )
1
3
2 3 1 3 2
5

2 3
0, .
3
2 3 3 2 3 3 2 3 3
x
x
x x x
x
x
y y x D
x
x x x x x x
+
+ −
+ − − + +
+
+
′ ′
= = = = → > ∀ ∈
+
+ + + + + +


B
ả
ng bi
ế
n thiên:
x
−3 +∞

'
y
+
y
+∞

−∞

Hàm s
ố

đ
ã cho luôn
đồ
ng bi
ế
n trên mi
ề
n xác
đị
nh và không có c
ự
c tr
ị
.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm c
ự
c tr
ị

c
ủ
a các hàm s
ố
sau b
ằ
ng quy t
ắ
c I:
1)
2 3
3 2
y x x
= −
2)
3 2
2 2 1.
y x x x
= − + −
3)
3 2
1
4 15 .
3
y x x x
= − + −
4)
4
2
3.

2
x
y x
= − +
5)
4 2
4 5.
y x x
= − +
6)
4
2
3
.
2 2
x
y x
= − + +

DẠNG 2. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II

Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính
'
y
và giải phương trình
' 0
y
=

để tìm các nghiệm.
+ Tính
''
y
tại các giá trị nghiệm tìm được ở trên rồi kết luận.



Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường được áp dụng cho các hàm số khó lập bảng biến thiên như hàm lượng giác,
hàm siêu vi
ệt, hàm vô tỉ

Các ví dụ điển hình:
Ví dụ mẫu: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
a)
sin 2 .
y x x
= −
b)
1
cos cos2 .
2
y x x
= +
c)
2
2 .
y x x x
= + −

Lời giải:
a)
sin 2 .
y x x
= −


T
ậ
p xác
đị
nh: D = R.


Đạ
o hàm:
1
π π
2cos 2 1 0 cos 2 2 2
π π
2 3 6
y x y x x k x k
′ ′
= − → = ⇔ = ⇔ = ± + → = ± +

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
 Đạo hàm bậc hai:
π π

π 4sin 2π 2 3 0
6 3
4sin 2
π π
π 4sin 2π 2 3 0
6 3
y k k
y x
y k k
   
′′
+ = − + = − <
   
   
′′
= − →
   
′′
− + = − − + = >
   
   

Vậy hàm số đạt cực đại tại
π π π 3 π
π; sin 2π π π.
6 3 6 2 6
x k y k k k
 
= + = + − − = − −
 

 

Hàm số đạt cực tiểu tại
π π π 3 π
π; sin 2π π π.
6 3 6 2 6
x k y k k k
 
= − + = − + + − = − + −
 
 

b)
1
cos cos2 .
2
y x x
= +


Tập xác định: D = R.

Đạo hàm:
( )
2π1
2
π
cos
sin sin 2 sin 1 2cos 0
32

sin 0
π
x k
x
y x x x x y
x
x k


= ± += −


′ ′
= − − = − + → = ⇔ ⇔


=
=





Đạo hàm bậc hai:
cos 2cos2
y x x
′′
= − −
+ N
ế

u
( ) ( ) ( )
2π 2π 4π 3
4
π cos 4 π 2cos 8 π 0
3 3 3 2
2
2 π cos 2 π 2cos 4 π 3 0
y n n n
k n
y n n n
     
′′
± + = − ± + − ± + = >
     
= →
     
′′
= − − = − <

+ Nếu
( ) ( ) ( )
2π 2π 4π 3
4
π 2π cos 4 π 2π 2cos 8 π 4π 0
3 3 3 2
2 1
π 2 π cos π 2 π 2cos 2π 4 π 1 0
y n n n
k n

y n n n
     
′′
± + + = − ± + + − ± + + = >
     
= + →
     
′′
+ = − + − + = − <

Vậy hàm số đạt cực đại tại
( ) ( )
3
; 2
1
2
π; cos π cos 2π
1
2
; 2 1
2
k n
x k y k k
k n

=

= = + =



− = +



Hàm số đạt cực tiểu tại
3
; 2
2π 2π 1 4π
4
π; cos π cos 2π
1
3 3 2 3
; 2 1
4
k n
x k y k k
k n

− =

   
= ± + = ± + + ± + =

   
   

= +



c)
2
2 .
y x x x
= + −


Hàm số xác định khi
[
]
2
2 0 0 2 0; 2 .
x x x D− ≥ ⇔ ≤ ≤ → =

Đạo hàm:
2
2 2
2 2
2 2
1
2 2 2 1
1 0 2 1 2 1
2 2 1
2 2 2
x
x x x x
y y x x x x x x
x x x x
x x x x
≥


− − + −

′ ′
= + = → = ⇔ − + − ⇔ − = − ⇔

− = − +

− −


2
1
2 2 1
1
1
2 2
.
2
2
2
2 4 1 0
2 2 1
1
2
2
x
x
x
x

x x
x
≥



+

≥

= = +
+
 

⇔ ⇔ → =
 

− + =




−


= = −







Đạ
o hàm b
ậ
c hai:
( )
( ) ( )
2
2
2 2
2
2
2 2 2 2 2
1
2
1 2 2 1 1
2
0
2
2 2 2 2 2
x
x x
x x x x x
x x
y
x x
x x x x x x x x x x
−

− − −
′
 
− − − + −
−
′′
= = = = − <
 
 
−
− − − − −
 

V
ậy hàm số đạt cực đại tại
2 2
; 1 2.
2
x y
+
= = +
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc II:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
1)
2
4.
y x x

= −
2)
2
2 5.
y x x
= − +
3)
2
4sin .
y x x
= −

4)
2
cos 3 .
y x
=
5)
sin cos .
2 2
x x
y = − 6)
2
4
.
3 2
x
y
x
−

=
−

DẠNG 3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ

Ph
ươ
ng pháp:

+ Hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
khi
' 0
y
=
có nghi
ệ
m và
đổ
i d
ấ
u qua các nghi
ệ
m.
+ Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i các
đ
i
ể
m có hoành
độ
x
1
;
x
2
thì khi
đ
ó x
1
;
x
2

là hai nghi
ệ
m c
ủ
a
' 0.
y
=

+ Hàm s
ố

đạ
t
cực đại
t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x
0
khi
(
)
( )
0

0
0
0
y x
y x
′

=


′′
<



+ Hàm s
ố

đạ
t
cực tiểu
t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x

0
khi
(
)
( )
0
0
0
0
y x
y x
′

=


′′
>




Các ví d
ụ

đ
i
ể
n hình:
Ví dụ mẫu: Cho hàm số

3 2
3 2 3 1
y x mx x m
= − + − +
. Tìm giá tr
ị
c
ủ
a m
để

a)
hàm s
ố
có c
ự
c tr
ị
.
b)
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i, c
ự

c ti
ể
u t
ạ
i x
1
, x
2
th
ỏ
a mãn x
1
+ 2x
2
= 3.
c)
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i
đ
i
ể

m có hoành
độ
x = 2.
d)
hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ
i t
ạ
i
đ
i
ể
m có hoành
độ
x = –1.
Lời giải:
a)
Ta có
2
3 6 2
y x mx
′
= − +

Hàm s
ố

đ
ã cho có c
ự
c tr
ị
khi
' 0
y
=
có nghi
ệ
m và
đổ
i d
ấ
u khi qua các nghi
ệ
m.
⇔
y’ = 0 có hai nghi
ệ
m phân bi
ệ
t
2 2
6
2

3
0 9 6 0
3
6
3
m
m m
m

>


′
⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ > ⇔

< −



V
ậy với
6 6
;
3 3
m m> < − thì hàm s
ố

đ
ã cho có c
ự

c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u.
b)
G
ọ
i x
1
; x
2
là hoành
độ
các
đ
i
ể
m c
ự
c
đạ
i, c
ự
c ti
ể
u. Khi
đ

ó x
1
; x
2
là nghi
ệ
m c
ủ
a ph
ươ
ng trình
' 0
y
=
.
Theo
đị
nh lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
2
2
3
x x m
x x
+ =



=




Theo gi
ả
i thi
ế
t ta có x
1
+ 2x
2
= 3
( )( )
1 2 1
1 2 2
1 2
2 3 4 3
2 3 2
2 2
4 3 3 2
3 3
x x x m
x x m x m
x x m m
 
 
+ = = −
 
→ + = ⇔ = −
 

 
 
= − − =
 

2 2
29
8 18 0 24 54 29 0
3
m m m m
→ − + = ⇔ − + = →
ph
ươ
ng trình vô nghi
ệ
m.
V
ậ
y không có giá tr
ị
nào c
ủ
a m th
ỏ
a mãn
đề
bài.
c)
Ta có
6 6

y x m
′′
= −

Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c ti
ể
u t
ạ
i x = 2 khi
( )
( )
7
2 0
3.4 12 2 0
7
.
6
12 6 0
6
2 0
2
y
m
m

m
m
y
m

′
 =
− + =
=

 
⇔ ⇔ → =
  
− >
′′
>




<


Giá tr
ị

7
6
m
=

th
ỏ
a mãn
đ
i
ề
u ki
ệ
n t
ồ
n t
ạ
i c
ự
c tr
ị
nên là giá tr
ị
c
ầ
n tìm.
d)
Hàm s
ố

đạ
t c
ự
c
đạ

i t
ạ
i x = –1 khi
( )
( )
5
1 0
3 6 2 0
5
.
6
6 6 0
6
1 0
1
y
m
m
m
m
y
m

′
 − =
+ + =
= −

 
⇔ ⇔ → = −

  
− − <
′′
− <




> −


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Giá trị
5
6
m
= −
thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1.
Cho hàm số
( )
3 2
1
2 3 2.
3
y x mx m x
= + + + +

Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn 2x
1
+ 3x
2
= –2.
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2.
Bài 2. Cho hàm số
( )
3 2
1
6 1
3
y x mx m x
= + + + −
. Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x
1
, x
2
thỏa mãn
1 1
1 2

1 1
.
3
x x
x x
+
+ =

c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị ?
a) y = x
3
– 3x
2
+ 3mx + 3m + 4.
b) y = mx
3
+ 3mx
2
– (m – 1)x – 1.
Bài 4. Tìm a, b để hàm số
a) y = ax
4

+ bx
2
đạt cực trị bằng –9 tại điểm
3.
x =

b)

2
ax
bx ab
y
bx a
+ +
=
+

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i x = 0 và x = 4.
c)

2
2
ax 2
1
x b
y
x
+ +
=

+

đạ
t c
ự
c
đạ
i b
ằ
ng 5 t
ạ
i
đ
i
ể
m x = 1.
Bài 5.
Tìm m
để
hàm s
ố

a)

( )
(
)
(
)
3 2 2 2

2 1 4 1 2 1
y x m x m m x m
= + − + − + − +

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m x
1
, x
2
sao cho
( )
1 2
1 2
1 1 1
.
2
x x
x x
+ = +

b)

3 2
1
1
3
y x mx mx
= − + −

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m x
1
, x
2
sao cho
1 2
8.
x x
− ≥

c)

3 2
1 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x
= − − + − +

đạ
t c
ự
c tr
ị
t
ạ
i hai
đ
i
ể
m x
1
, x
2
sao cho x
1
+ 2x
2
= 1.

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95







III. ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM
Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn:

Tính đạo hàm
'
y
rồ
i tính ti
ế
p
''
y


Gi
ả
i ph
ươ
ng trình
'' 0

y
=
, t
ừ

đ
ó tìm
đượ
c t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m u
ố
n.

Xét d
ấ
u c
ủ
a
''
y

để
k

ế
t lu
ậ
n:
+ n
ế
u
'' 0
y
>
thì
đồ
th
ị
hàm s
ố
lõm.
+ n
ế
u
'' 0
y
<
thì
đồ
th
ị
hàm s
ố
l

ồ
i.
Ví dụ 1:
Tìm t
ọ
a
độ

đ
i
ể
m u
ố
n và các kho
ả
ng l
ồ
i, lõm c
ủ
a
đồ
th
ị
các hàm s
ố
sau:

a)
y = 2x
3

– 6x
2
+ 2x.
b)
y = x
3
+ 6x – 4.

c)
4 2
1 5
3 .
2 2
y x x
= − +
d)
4 2
2.
4 2
x x
y
= + −

Ví dụ 2:
Tìm a, b
để
hàm s
ố
y = ax
3

+ bx
2
+ x + 2 nh
ậ
n
đ
i
ể
m U(1; –1) làm
đ
i
ể
m u
ố
n.
Ví dụ 3:
Tìm m
để
hàm s
ố

2
3
3
1
x
y x
m
= + +
nh

ậ
n
đ
i
ể
m U(–1; 3) làm
đ
i
ể
m u
ố
n.
BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài 1:

Tìm m
để
ti
ế
p tuy
ế
n t
ạ
i
đ
i
ể
m u
ố
n c

ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố

a)
y = x
3
+ 3x
2
– mx + 2 song song v
ớ
i
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = 3x – 5.
b)
y = x
3
+ 3mx
2
– 2mx + 3 vuông góc v
ớ
i
đườ
ng th

ẳ
ng
∆
: y = x – 3.
Bài 2:
Tìm m, n
để

đồ
th
ị
các hàm s
ố

a)

4 3 2
2 6 2 1
y x x x mx m
= − − + + −
có hai
đ
i
ể
m u
ố
n th
ẳ
ng hàng v
ớ

i
đ
i
ể
m A(1; –2).
b)

3
2
2
3 3
x
y x mx
= − − + +
có
đ
i
ể
m u
ố
n n
ằ
m trên
đườ
ng th
ẳ
ng d : y = x + 2.
Bài 3:
Tìm m, n
để

đồ
th
ị
các hàm s
ố

a)
y = x
3
– 3mx
2
+ 9x + 1 có
đ
i
ể
m u
ố
n thu
ộ
c
đườ
ng th
ẳ
ng d: y = x + 1.
b)
y = 3x
3
– 9x
2

+ 6x + m – 2 có
đ
i
ể
m u
ố
n n
ằ
m trên tr
ụ
c hoành.
c)
y = x
3

– 3mx
2
+ (3 + 2m
2
)x + m
2
+ 3 có
đ
i
ể
m u
ố
n cách
đề
u hai tr

ụ
c t
ọ
a
độ
Ox, Oy.
IV. TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1) Nhắc lại một số giới hạn quan trọng


( )
1 2
2
0
lim lim
0
− −
→∞ →∞
+∞ >

 
 
+ + = + + + =

 
 
−∞ <
 
 


n n n n
x x
khi a
b c
ax bx cx x a
khi a
x x


0
0
0
1 1
lim 0 lim 0
1
lim
1
lim
1
lim
+
−
→∞ → ∞
→
→
→

= → =





= +∞



= ∞ →



= −∞




n
x x
x
x
x
x x
x
x
x

Tài liệu bài giảng:

KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ  P2
Thầy Đặng Việt Hùng

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95

1
1 1 0
1
1 1 0
0;
a x
lim ;
x
;
−
−
−
→∞
−


>

+ + + +

= ∞ <
+ + + +


=



n n
n n
m m
x
m m
n
m
khi m n
a x a x a
khi m n
b b x b x b
a
khi m n
b

2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số


Đị
nh ngh
ĩ
a:
Đườ
ng th
ẳ
ng x = a
đượ
c g
ọ

i là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng (TC
Đ
) c
ủ
a
đồ
th
ị
y = f(x) khi lim ( )
x a
f x
→
= ∞

+ n
ế
u lim ( )
x a
f x
→
= +∞
thì x = a là ti
ệ
m c

ậ
n
đứ
ng bên ph
ả
i.
+ n
ế
u lim ( )
x a
f x
→
= −∞
thì x = a là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng bên trái.

Cách tìm ti
ệ
m cân
đứ
ng:
Đồ
th
ị
hàm phân th

ứ
c th
ườ
ng có ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng, và giá tr
ị
x = a th
ườ
ng là nghi
ệ
m c
ủ
a m
ẫ
u s
ố
, ho
ặ
c t
ạ
i x = a thì hàm
s
ố

đ

ã cho không xác
đị
nh.
Ví dụ 1:
Tìm ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau
a)
2
9
x
y
x
=
−
b)
2
2

4 5
x
y
x x
+
=
+ −

H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)
Ta có
2
3
lim 3
9
→±
 
= ∞ → = ±
 
 
−
 
x
x

x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
b)
Xét ph
ươ
ng trình
2
1
4 5 0
5
=

+ − = ⇔

= −


x
x x
x

Ta có
2
1
2
5
2
lim
4 5
1; 5
2
lim
4 5
→
→−
 +
 
= ∞
 

+ −
  
→ = =

+
 


= ∞
 

+ −
 

x
x
x
x x
x x
x
x x
là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: Biện luận theo m số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
2
2
.
3
−
=
+ +
x
y
x x m

Hướng dẫn giải :
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm khác 2 của phương trình x
2

+ 3x + m = 0.
 Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x
2
+ 3x + m = 0 vô nghi
ệm
9
0 9 4 0 .
4
⇔ ∆ < ⇔ − < ⇔ >
m m
 Đồ thị hàm số có một tiệm cận khi phương trình x
2
+ 3x + m = 0 có nghiệm kép khác 2, hoặc có hai nghiệm phân
biệt, trong đó một nghiệm x = 2.
Điều đó xảy ra khi
2
9
0 9 4 0
9
4
3
4
2 2
2 2
9
0 9 4 0
10
4
2 6 0 10



∆ = ⇔ − = ⇔ =




→ =



= − ≠ ⇔ − ≠






∆ > ⇔ − > ⇔ <


→ = −



+ + = ⇔ = −



m m
m

b
x
a
m m
m
m m

 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận khi phương trình x
2
+ 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2.
Khi
đó ta có
2
9
9
0 9 4 0
4
4
10
2 6 0 10


∆ > ⇔ − > ⇔ <
<
 
→
 
 
≠ −
+ + ≠ ⇔ ≠ −



m m
m
m
m m

3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số


Đị
nh ngh
ĩ
a:
Đườ
ng th
ẳ
ng y = b
đượ
c g
ọ
i là ti
ệ
m c
ậ
n ngang (TCN) c
ủ
a
đồ
th

ị
y = f(x) khi lim ( )
x
f x b
→∞
=


Cách tìm ti
ệ
m cân ngang:
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận ngang khi bậc của tử số không lớn hơn bậc của mẫu số. Thông thường, với
hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang.
Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau:
2
2 2
2 2
2
+ + →+∞
 
+ + = + + = + + =
 
 
− + + → −∞
B C
x A khi x
B C B C

x x
Ax Bx C x A x A
x x x x
B C
x A khi x
x x


Ví dụ mẫu: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a)
1
.
2 3
+
=
−
x
y
x
b)
3 2
.
1
−
=
+
x
y
x

c)
2
1
.
2 1
+
=
− +
x
y
x x

d)
2
2
.
3
+
=
−
x
y
x
e)
2
1
.
2 3
+
=

+
x
y
x



H
ướ
ng d
ẫ
n gi
ả
i :
a)
Ta có
3
2
1 3
lim
2 3 2
→
+
= +∞ → =
−
x
x
x
x
là ti

ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
M
ặ
t khác,
1
1
1 1 1
lim lim
3
2 3 2 2
2
→∞ →∞
+
+
= = → =
−
−

x x
x
x
y
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
b)
Ta có
1
3 2
lim 1
1
→−
−
= +∞ → = −
+
x

x
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
M
ặ
t khác,
3
2
3 2
lim lim 2 2
1
1
1
→∞ →∞
−

−
= = − → = −
+
+
x x
x
x
y
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
c)
Ta có
2
1
1
lim 1
2 1

→
+
= +∞ → =
− +
x
x
x
x x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s
ố
.
M
ặ
t khác,
2
2
2
1 1

1
lim lim 0 0
2 1
2 1
1
→∞ →∞
+
+
= = → =
− +
− +
x x
x
x
x
y
x x
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s

ố
.
d)
Ta có
2
3
2
lim 3
3
→
+
= +∞ → =
−
x
x
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n
đứ
ng c
ủ
a
đồ
th
ị
hàm s

ố
.
Xét
2
2
2
2
2
2
1
1
2
lim lim lim
3 3 3
→∞ →∞ →∞
 
+
+
 
+
 
= =
− − −
x x x
x
x
x
x
x
x x x


Khi
→+∞
x thì |x| = x nên ta
đượ
c
2 2
2 2
1 1
lim lim 1 1
3
3
1
→+∞ →+∞
+ +
= = → =
−
−
x x
x
x x
y
x
x
là ti
ệ
m c
ậ
n ngang.


Khi
→−∞
x thì |x| =
−
x nên ta
đượ
c
2 2
2 2
1 1
lim lim 1 1
3
3
1
→−∞ →−∞
− + − +
= = − → = −
−
−
x x
x
x x
y
x
x
là ti
ệ
m c
ậ

n ngang.
e)
Xét
2
2
2
2
1 1 1
lim lim lim
3
3
2 3
2
2
→∞ →∞ →∞
+ + +
= =
 
+
+
+
 
 
x x x
x x x
x
x
x
x
x

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
 Khi
→+∞
x
thì |
x
| =
x
nên ta được
2 2 2
1
1
1 1 1
lim lim lim
3 3 3 2
2 2 2
→+∞ →+∞ →+∞
+
+ +
= = =
+ + +
x x x
x x
x
x x
x x x

1
2
y⇒ = là ti
ệ
m c
ậ
n ngang.

Khi
→−∞
x thì |x| =
−
x nên ta
đượ
c
2 2 2
1
1
1 1 1
lim lim lim
3 3 3 2
2 2 2
→−∞ →−∞ →−∞
+
+ + −
= = =
+ − + − +
x x x
x x
x

x x
x x x

⇒

1
2
−
=
y là ti
ệ
m c
ậ
n ngang.
4) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.


Đị
nh ngh
ĩ
a:
Đườ
ng th
ẳ
ng y = ax +b
đượ
c g
ọ
i là ti
ệ

m c
ậ
n xiên (TCX) c
ủ
a
đồ
th
ị
y = f(x) khi
[
]
lim ( ) ( ) 0
x
f x ax b
→∞
− + =


Cách tìm tiệm cân xiên:
Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc.
Cách 1:
+ Tìm hệ số
( )
lim
x
f x
a
x
→ ∞
=

+ Tìm
[
]
lim ( )
x
b f x ax
→ ∞
= − . Từ đó suy ra đường tiệm cận xiên là y = ax + b.
Cách 2:
Thực hiện phép chia đa thức
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
g x r x r x
f x ax b f x ax b
h x h x h x
= = + + ⇒ − + =

Suy ra
[ ]
( )
lim ( ) ( ) lim 0
( )
x x
r x
f x ax b
h x
→∞ → ∞
− + = =
do r(x) có bậc nhỏ hơn h(x).

Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
a)
2
1
.
2
x x
y
x
+ +
=
−
b)
2
2 3
.
2 1
x x
y
x
− + +
=
+

c)
2
3 3
.
2
x x

y
x
+ +
=
+

Hướng dẫn giải :
a)
2
1
.
2
x x
y
x
+ +
=
−

+ Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2.
+ Ta có
2
1 7 7
( ) 3 ( ) ( 3)
2 2 2
x x
y f x x f x x
x x x
+ +
= = = − + ⇒ − − =

− − −

Suy ra
[ ]
7
lim ( ) ( 3) lim 0 3
2
x x
f x x y x
x
→∞ →∞
− − = = ⇒ = −
−
là ti
ệm cận xiên của đồ thị hàm số.
b)
2
2 3
.
2 1
x x
y
x
− + +
=
+

+ Ta d
ễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là
1

.
2
x
= −

+ Ta có
2
2 3 2 2
( ) 1 ( ) ( 1)
2 1 2 1 2 1
x x
y f x x f x x
x x x
− + +
= = = + + ⇒ − + =
+ + +

Suy ra
[ ]
2
lim ( ) ( 1) lim 0 1
2 1
x x
f x x y x
x
→∞ →∞
− + = = ⇒ = +
+
là ti
ệm cận xiên của đồ thị hàm số.

c)
2
3 3
.
2
x x
y
x
+ +
=
+

+ Ta d
ễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là
2.
x
= −

+ Ta có
2
3 3 13 13
( ) 3 5 ( ) (3 5)
2 2 2
x x
y f x x f x x
x x x
+ +
= = = − +
⇒
− − =

+ + +

LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Suy ra
[ ]
13
lim ( ) (3 5) lim 0 3 5
2
x x
f x x y x
x
→∞ → ∞
− − = = ⇒ = −
+
là ti
ệm cận xiên của đồ thị hàm số.
Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số
2
2 2
1
x mx
y
x
+ −
=
+
có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích
bằng 4.

Hướng dẫn giải :
+ Ta có
2
2 2
2 2
1 1
x mx m
y x m
x x
+ −
= = + − −
+ +

Đồ thị có tiệm cận xiên khi
0.
m
≠

V
ớ
i
0
m
≠
thì ti
ệ
m c
ậ
n xiên c
ủ

a
đồ
th
ị
hàm s
ố
là y = 2x + m – 2, (d).
+ Gi
ả
s
ử
A = d
∩
Ox, B = d
∩
Oy uy ra
2
;0 , (0; 2)
2
m
A B m
−
 
−
 
 

Ta d
ẽ dàng tính được
2

; 2
2
m
OA OB m
−
= = −
. Tam giác OAB vuông t
ạ
i O nên
1
. . 8
2
OAB
S OA OB OA OB
=
⇒
=

2
6
2
. 2 8 (2 ) 16
2
2
m
m
m m
m
=
−


⇔ − = ⇔ − = ⇔

= −


V
ậy m = 6 và m = –2 là các giá trị cần tìm.
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
1
2 2
1
m
y mx m
x
+
= + + −
+
. Tìm m biết rằng
a) tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – 5.
b) tiệm cận xiên của đồ thị cách gốc tọa độ O một khoảng bằng
1
.
17

BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1:
Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các đồ thị hàm số sau :
a).

2 3
1
x
y
x
+
=
−
b)
1
1
y
x
=
−
c)
2
1
4
y
x
=
−

d)
2
1
1y
x
= +

e)
2
3
3
x
y
x
−
=
+
f)
2
2
1
x
y
x
+
=
−


Bài 2:

Tìm các
đườ
ng ti
ệ
m c
ậ

n các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau :
1)
2
3 4
2
x x
y
x
+ +
=
−
2)
2
1
x
y
x
=
−
3)
2
2
3 4
1

x x
y
x
+ +
=
+

4)
3
2
2
1
x
y
x
+
=
−

5)
2
2
6 11 10
x
y
x x
=
+ −
6)
2

2
5 3
1
x
y
x
−
=
−


7)
2
1
5 6
y
x x
−
=
+ +
8)
( )
2
1
2 3
y
x
=
−

9)
2
1
y x x
= + +

10)
2
1
y x x
= − +

11)
2
2
4
=
+
x
y
x
12)
2
1
x
y
x x
=
+ +

13)
2
4 1
y x x x
= − − +
14)
2
2 1 4 2 1
y x x x
= + + − +

15)
2
2 1
2 1
x
y
x
+
=
−

16)
2
2 1
2
x
y
x x
− −

=
+ +

17)
2
2 4 2
y x x x
= − − +
18*)
2
4 5 1
1
x x
y
x
− +
=
−


19)
2
2 3 4
y x x x
= − + + +
20)
2
3 2 4
y x x
= − +

Bài 3:

Bi
ệ
n lu
ậ
n theo tham s
ố
m s
ố
ti
ệ
m c
ậ
n c
ủ
a các
đồ
th
ị
hàm s
ố
sau
b)
2
2 4
x mx
y

x m
+ −
=
+
c)
1
mx
y
x m
+
=
+
d)
3
2
1
3 2
mx
y
x x
−
=
− +


LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề Hàm số

Tham gia khóa TOÁN 2014 để đạt 9 điểm Toán – www.moon.vn facebook: LyHung95 – fanpage: Hungdv95
Bài 4: Tim m để đồ thị hàm số
2

2 4
1
x mx m
y
x
+ + −
=
+
có tiệm cận xiên đi qua điểm M(1; 2).
Bài 5:
Cho hàm số
2
2 ( 1) 3
x m x
y
x m
+ + −
=
+

a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1).
b) Tìm m để giao của hai tiệm cận thuộc (P):
2
3
= +
y x .
Bài 6:
Tìm m
để
ti

ệ
m c
ậ
n xiên
đồ
th
ị
hàm s
ố

a)

2
( 2) 2
1
x m x
y
x
+ − + −
=
−
t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a

độ
m
ộ
t tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng 4.
b)

2
1
1
x mx
y
x
+ −
=
−
t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
m

ộ
t tam giác có di
ệ
n tích b
ằ
ng 8.
c)

2
2 3 2
1
x mx m
y
x
+ − +
=
−
t
ạ
o v
ớ
i hai tr
ụ
c t
ọ
a
độ
m
ộ
t tam giác có di

ệ
n tích b
ằ
ng 8.
Bài 7:
Cho hàm s
ố

2
1
x m
y
mx
+
=
−
. Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với
hai tr
ục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8.
Bài 8: Cho hàm số
2
(3 1) 2
1
mx m x m
y
x
+ + − +
=
+
.

Tìm m
để

đồ
th
ị
hàm s
ố
có ti
ệ
m c
ậ
n xiên
∆
bi
ế
t
∆
ti
ế
p xúc v
ớ
i
đườ
ng tròn tâm I(1; 2), bán kính
2
R = .
Bài 9: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị của các hàm số sau đến hai tiệm cận
luôn là m
ột hằng số

a)
2
1
1
x x
y
x
− +
=
−
b)
2
2 5 4
3
x x
y
x
+ −
=
+
c)
2
7
3
x x
y
x
+ −
=
−