Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6

Ti liu bi dng hc sinh gii toỏn lp 6
Phần phân số:
1/ Tìm điều kiện của n để
4
5
A
n
=

là phân số:
2/ Cho
2014
10 8
9
B
+
=
Chứng tỏ rằng B là số tự nhiên:
3/ Cho
1
5
n
P
n
+
=

Tìm giá trị của số tự nhiên n để P có giá trị là số nguyên tố:
4/ Cho
5 1
4

n
a

=
và
3 2
12
n
b
+
=
Chứng tỏ rằng a và b không đồng thời là số nguyên tố
với cùng một giá trị của n
5/ Tìm x

Z để các số sau đồng thời là số nguyên:
12 15 8
; ;
2 1n n n

+
.
6/ Cho
3 5
4
n
A
n
+
=

+
Tìm n

Z để A là số nguyên:
7/ Tìm x, y

Z biết:
4
3
x
y


=
4
3
và x y = 5.
8/ Tìm tất cả các số a, b, c, d nhỏ nhất sao cho
3 12 6
; ;
5 21 11
a b c
b c d
= =
.
9/ Cho
a
b
CMR: nếu:
a x a

b y b

=

thì:
x a
y b
=
.
10/ Cho
a c
b d
=
CMR
a b c d
b d
+ +
=
và:
a b c d
b d

=
11/ Tìm x biết:
1
2
1
2
x
x

=
12/ Tìm x,y,z biết:
a.
12 9 5
x y z
= =
và x. y. z = 20
5 7 3
x y z
= =
và x
2
+ y
2
+ z
2
= 585
13/ Tìm x, y

Z biết:
9
/
7
x
a
y
=
với x > y
2
/

5
y
b
x

=
với x < 0 < y
Giỏo viờn: Lờ vn Triu: Trng THCS Qunh Giao
Ti liu bi dng hc sinh gii toỏn lp 6
4 4
/
3 3
x
c
y

=

và x y = 5
14/ Lập các cặp số bằng nhau từ 4 trong 5 số sau: -18; -4; 8; 9; 36
Bài tập về nhà:
1/ Cho phân số
5
12
B
n
=

a. Tìm n để B là phân số:
b. Tìm n để B là số nguyên âm, số nguyên dơng.

c. Tính giá trị của B tại n = -3; 0 ; 12
2/ Chứng tỏ rằng:
2011
10 2
3
+
là phân số:
3/ Tìm n để:
1
2
n
n
+
+
là số tự nhiên: (n

N)
Tìm n để:
3
2
n
n
+

là số nguyên tố:
4/ Cho
4 7
3
n
a

+
=
và
5 2
15
n
b

=
chứng tỏ rầng a và b không đồng thời là số nguyên tố
với cùng một giá trị của n
5/ Tìm n
Z
để các phân số sau có cùng một giá trị nguyên:
8 12 6
; ;
2 1n n n+ +
6/ Tìm x
Z
để
3
12
x
x
=
7/ Tìm x, y
Z
để
5
4

x
y

=
.
8/ Lập các phân số bằng nhau từ các phân số sau (-2); (-3); (-6); 3; 4
9/ Tìm x, y biết:
4 4
5 5
x
y
+
=
+
và x y = 1
10/ CTR: các phân số sau bằng nhau:
23023 234669 25323
; ;
15015 153047 16515
Phần Phân số bằng nhau. tính chất cơ bản của phân số:
1/ Rút gọn các phân số sau:
71.52 53
530.71 180
a
+
=

Giỏo viờn: Lờ vn Triu: Trng THCS Qunh Giao
Ti liu bi dng hc sinh gii toỏn lp 6
36036 3003

46046 2002
b

=

3 6
4 8
9 .5 3 .2
9 3 .5
c

=
+
2/ Cho
1 3 5 7 19
21 23 25 39
A
+ + + + +
=
+ + + +
a. Rút gọn A
b. Nêu cách xóa một số hạng ở tử và một số hạng ở mẫu để đợc một phân số bằng
phân số đã cho.
2.1/ Cho
1 2 3 5 6 7 8 9
11 13 14 15 16 17 18 19
A
+ + + + + + +
=
+ + + + + + +

c. Rút gọn A
d. Nêu cách xóa một số hạng ở tử và một số hạng ở mẫu để đợc một phân số bằng
phân số đã cho.
3/ Tìm phân số
a
b
biết:
60
108
a
b
=
Và ƯCLN(a,b) =15
BCNN(a,b) = 180
4/ Tìm phân số
a
b
có giá trị là:
32
48
biết: (a.b).[a,b] = 486 với a, b

N
5/ CMR:
a/
20
1.3.5.7 40 1
21.22.23 40 2
=
b/

1.3.5.7 (2 1) 1
( 1)( 2)( 3) 2 2
n
n
n n n n

=
+ + +
với n

N
*
5/ Tìm số tự nhiên n để
8 193
4 3
n
n
+
+
là phân số tối giản
Phần chứng tỏ rằng phân số sau là phân số tối giản:
1/ Chứng tỏ rằng Phân số:
2
5 1
6
n +
nhận giá trị là số tự nhiên với mọi n thì các phâ số
2
n
và

3
n
là các số tự nhiên:
2/ CTR
3 1
2 1
n
n


là phân số tối giản với mọi n

N.
Giỏo viờn: Lờ vn Triu: Trng THCS Qunh Giao
Ti liu bi dng hc sinh gii toỏn lp 6
3/ Tìm số tự nhiên n để phân số
2
4 2
2 2 3
n
n n
+
+ +
là phân số tối giản.
4/ Tìm số tự nhiên n để:
6 1
3 2
n
n
+

+
a. Có giá trị là số tự nhiên.
b. là phân số tối giản.
c. là phân số rút gọn đợc.
5/ Tìm số tự nhiên n để
8 193
4 3
n
A
n
+
=
+
a. có giá trị là số tự nhiên.
b. Là phân số tối giản.
c. Với giá trị nào của n trong khoảng 150 - 170 thì phân số rút gọn đợc.
6/ Tìm tất cả các số nguyên n để
19
2
n
n
+
+
là phân số tố giản.
7/ Tìm n
N

để
13
2

n
n
+

là phân số tối giản.
8/ Tìm n
Z
để:
2
2 3
2
n n
Z
n
+


9/ Chứng tỏ rẳng:
4 1
14 3
n
n
+
+
là phân số tối giản:
Dạng tìm n để phân số rút gọn đợc, rút gọn đợc cho những số nào?
1/ phân số
3 2
4 5
n

n
+

rút gọn đợc cho số nào?
2/ Tìm n để
6 1
3 2
n
A
n
+
=
+
a/ có gia trị là số tự nhiên.
b/ là phân số tối giản.
c/ Là phân số rút gọn đợc.
3/ Cho các phân số:
6 7 8 64 65
; ; ; ;
8 9 10 66 67n n n n n+ + + + +
Tìm số n nhỏ nhất để các phân số trên đồng thời là phân
số tối giản.
3.1/ Cho các phân số:
Giỏo viờn: Lờ vn Triu: Trng THCS Qunh Giao
Ti liu bi dng hc sinh gii toỏn lp 6
5 6 7 16 17
; ; ; ; ;
8 9 10 19 20n n n n n+ + + + +
Tìm số n nhỏ nhất để các phân số trên đồng thời là
phân số tối giản.

4/ Tìm n để:
21 3
6 4
n
n
+
+
là phân số rút gọn đợc.
5/ Cho
2 3
5 1
n
A
n
+
=
+
A có thể rút gọn đợc cho số nào.
6/ Cho
1
3
n
A
n
+
=

a/ Với
; 3n Z n
. Tìm n để A

Z
b/ Với
; 3n Z n
. Tìm n để A là phân số tối giản.
7/ Cho A =
2 2 2 2
2 2 2 2
2 2 5 5
5 5
ab an a n a b
an a b ab a n
+
+
8/ Tính giá trị biểu thức.
45.8 45.42
2 4 6 16 18
B
+
=
+ + + + +
9/ Tìm x, y

N biết:
3 3
7 7
x
y
+
=

+
và x + y = 20
10/ Cho phân số
a
b
biết
a
b
có giá trị là
12
54
và ƯCLN (a, b) = 12 với a, b

N
Cho phân số
a
b
biết
a
b
có giá trị là
24
36
và BCNN (a, b) = 90 với a, b

N
Cho phân số
a
b
biết

a
b
có giá trị là
7
15
và a + b = 132 với a, b

N
Dạng so sánh phân số:
1/ Cách 1 xét tích chéo.
2/ Đa về cùng tử để so sánh.
3/ Đa về cùng mẫu để so sánh.
4/ So sánh với 1
5/ Dùng phần thừa đối với phân số lớn hơn 1
6/ Dùng phần thiếu so với phân số nhỏ hơn 1
7/ Dùng phân số làm phân số trung gian.
8/ Dùng xấp xỉ.
10/ Dùng tính chất:
Bài tập so sánh phân số:
Giỏo viờn: Lờ vn Triu: Trng THCS Qunh Giao
Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 6
1/ So s¸nh hai ph©n sè sau:
2011
2012−
víi
2013
2012
−
−
2/ So s¸nh hai ph©n sè sau:

1
2
n
n
+
+
víi
3
n
n +
víi n
∈
N*
3/ So s¸nh hai ph©n sè sau:
1919.161616
323232.3838
víi
25
102
4/ So s¸nh hai ph©n sè sau:
1
n
n +
víi
2
3
n
n
+
+

víi n
∈
N*
5/ So s¸nh hai ph©n sè sau:
7
7
10 5
10 8
+
−
víi
8
8
10 6
10 7
+
−

6/ So s¸nh ph©n sè sau:
16
17
19 1
19 1
+
−
vµ
15
16
19 1
19 1

+
+
So s¸nh ph©n sè sau:
36
35
47 1
47 1
+
+
vµ
35
34
47 1
47 1
+
+
7/ So s¸nh ph©n sè sau:
58
56
7 2009
7 2009
+
−
vµ
59
57
7 2
7 2
+
+

8/So s¸nh ph©n sè sau:
5555555553
555555557
vµ
666666664
666666669
9/ So s¸nh ph©n sè sau:
5678901234
6789012345
vµ
5678901235
6789012347
Giáo viên: Lê văn Triều: Trường THCS Quỳnh Giao
Ti liu bi dng hc sinh gii toỏn lp 6
Dạng chứng minh đẳng thức:
1/ Cho
1 1 1 1

101 102 103 200
A = + + +
a. CMR:
7
12
A >
b. CMR:
5
8
A >
2/ Cho
1 1 1 1

101 102 103 200
A = + + +
. CMR:
5 3
8 4
A< <
3/ Cho
2 2 2 2
1 1 1 1 3
. :
2 3 4 100 4
A CMR A= + + + <
4/ Cho
1 3 5 7 199
. . .
2 4 6 8 200
A =
. CTR:
2
1
201
A <
5/ Cho:
100
1 1 1 1
1
2 3 4 2
A = + + + +
6/ Chứng minh rầng luôn tồn tại số tự nhiên n để:

1 1 1 1
1 100
2 3 4
A
n
= + + + + >
Bài tập về nhà phần chứng minh đẳng trhwcs:
1/ CMR:
1 1 1 1 1 7

41 42 43 79 80 12
A = + + + + >
Giỏo viờn: Lờ vn Triu: Trng THCS Qunh Giao
Ti liu bi dng hc sinh gii toỏn lp 6
2/ CMR:
1 1 1 1 20
50 1
2 3 4 100 11
> + + + + >
3/ Cho
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1

1 2 3 4
A
n
= + + + +
không là số tự nhiên với mọi n
*
N

4/ Cho
1 3 5 7 99 1
. . .
2 4 6 8 100 10
A = <
5/ Cho:
1 1 1 1
4
2 3 4 58
A = + + + >
6/ Cho :
1 1 1 1
1
2 3 4 50
A = + + + +
CTR: A Không là số tự nhiên
Cho :
6
1 1 1 1
1
2 3 4 2 1
A = + + + +

CTR: 3 < A < 6
Hình học:
1/ Cho 4 đờng thẳng a,b,c,d và 6 điểm A, B,
C, D, E, F nh hình vẽ hãy cho biết:
a. Điểm A thuộc những đờng thẳng
nào?
b. Điểm A không nằm trên đờng thẳng

nào?
c. Có những đờng thẳng nào chứa điểm
C.
d. Có những đờng thẳng nào không
chứa điểm C.
e. Có bao nhiê đờng thẳng đi qua F.
f. Tập hợp các đờng thẳng chứa E là gì?
g. Đờng thẳng d còn gọi theo bao nhiêu
cách.
d
c
b
a
F
E
D
C
B
A
Giỏo viờn: Lờ vn Triu: Trng THCS Qunh Giao
Ti liu bi dng hc sinh gii toỏn lp 6
2/ Cho 6 đờng thẳng a, b, c, d, e, f và 7
điểm A, B, C, D, E, F, M nh hình vẽ.
a. Nêu các bộ ba điểm thẳng hàng.
b. Có bao nhiêu bộ ba điểm thẳng hàng.
c. Trong mỗi bộ ba điểm thẩng hàng
nêu mối quan hệ giữa các điểm .
d. Có ? bộ ba điểm đồng quy, đồng quy
tại điểm nào.
f

e
M
d
c
b
a
F
E
D
C
B
A
3/ Cho 4 điểm phân biệt.A, B, C, D có bao nhiêu đờng thẳng kẻ đợc qua từng cặp hai
trong 4 điểm ấy.
4/ Cho 4 đờng thẳng phân biệt a, b, c, d. Hỏi 4 đờng thẳng này cắt nhau tại bao nhiêu
giao điểm.
1/ Cho hình vẽ. Có 7 điểm A, B, C, D, E,
F, M và 6 đờng thẳng a, b, c, d, e, f. Hãy
cho biết:
a. Qua điểm A có mấy đờng thẳng là
những đờng thẳng nào?
b. Điểm C thuộc đờng thẳng nào?
c. Có mấy bộ ba điểm cùng thuộc đờng
thẳng.
d. Có mấy đờng thẳng đi qua ba điểm A,
B, M.
e. Có mấy bộ ba đờng thẳng đồng quy
tại một điểm, đồng quy tại điểm nào.

f

e
M
d
c
b
a
F
E
D
C
B
A
2/ Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng và ba điểm B, C, D thẳng hàng. Có thể kết luận gì
về ba điểm A, B, D.
3/ Trên đờng thẳng a có bốn điểm A, B,
C, D biết điểm C nằm giữa hai điểm A
và B. D nằm giữa hai điểm A và C. CTR
điểm C nằm giữa hai điểm B và D.
Điểm D nằm giữa hai điểm A và B.
4/ Cho ba đờng thẳng a, b, c đôi một cắt
nhau tại các điểm A, B, C và một điểm
Giỏo viờn: Lờ vn Triu: Trng THCS Qunh Giao
Ti liu bi dng hc sinh gii toỏn lp 6
M nh hình vẽ.
a. Tìm một điểm D sao cho ba điểm A,
M, D thẳng hàng và ba điểm B, M, C
thẳng hàng. Có ? điểm D nh vậy.
b. Tìm một điểm N sao cho ba điểm A,
M, N thẳng hàng và ba điểm B, N, C
thẳng hàng. Có ? điểm N nh vậy.

M
c
b
a
C
B
A
6/ Cho 6 điểm phân biệt. Trong đó không có bất kì ba điểm nào thẳng hàng. Có thể
kẻ đợc bao nhiêu đờng thẳng đi qua từng cặp hai trong 6 điểm ấy.
7/ Cho n điểm trong đó có đúng ba điểm thẳng hàng. Cứ qua hai điểm ta kẻ đợc một
đờng thẳng. Hỏi có tất cả bao nhiêu đờng thẳng.
8/ Trên một mặt phẳng có bốn đờng thẳng. Số giao điểm của bốn đờng thẳng đó là
bao nhiêu.
8

/ Cho n điểm (n > 2) nối từng cặp hai điểm trong n điểm đó thành các đờng thẳng.
a. Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng nếu n điểm đó không có ba điểm nào thẳng hàng.
b. Có đúng ba điểm thẳng hàng.
c. Tính n nếu tất cả có 1770 đoạn thẳng.
9/ Cho n điểm. Cứ qua hai điểm ta có một đờng thẳng.
a. hỏi có thể kẻ đợc bao nhiêu đờng thẳng nếu trong n điểm đó không có bất kì
ba điểm nào thẳng hàng.
b. Có đúng 5
điểm thẳng hang.
c. Tính n biết rằng tổng số có 210 đờng thẳng.
10/ Cho n đờng thẳng. Trong đó không có hai đờng thẳng nào song song và không có
ba đờng thẳng nào đồng quy.
a. Tìm số giao điểm của n đờng thẳng đó.
b. áp dụng cho trờng hợp 2014 đờng thẳng. 2015 đờng thẳng
Giỏo viờn: Lờ vn Triu: Trng THCS Qunh Giao