Tài liệu bồi dưỡng toán lớp 9 ôn thi vào lớp 10 tham khảo (5)

Ngy dy 9
Bui 1 (Tit 1+2+3)
ễN TP V GII H PHNG TRèNH
BNG PHNG PHP TH
MC TIấU:
a. Kin thc:
HS hiu c cỏch bin i h phng trỡnh bng phng phỏp th.
b. K nng:
+ HS cú k nng gii h phng trỡnh bng phng phỏp th.
+ rốn k nng gii cỏc h phng trỡnh bc nht hai n trong cỏc trng hp c
bit (H vụ nghim hoc h cú vụ s nghim).
c. Thỏi : Rốn tớnh cn thn, t duy hp lý, yờu thớch mụn hc,.
A. L THYT :
Giải hệ bằng phơng pháp thế
B1: Chọn 1 trong 2 PT của hệ ; biểu thị ẩn này qua ẩn kia .Rồi thế vào PT còn lại để đợc PT bậc
nhất 1 ẩn
B2: Giải PT 1 ẩn vừa tìm đợc ; thay giá trị tìm đợc của y (hoặc x) vào biểu thức tìm đợc trong b-
ớc thứ nhất để tìm giá trị của ẩn kia
Vớ d 1: Gii cỏc h phng tỡnh sau bng phng phỏp th
* Bng phng phỏp th :



=
=+
)2(1134
)1(24
yx
yx
T (1) x = 2 4y (3)
Th (3) vo (2) : 4(2 4y) 3y = 11 8 16y 3y = 11

8 19y = 11
y = 1
Th y vo (3) : x = 2 4.1 = 2
* Vy : H phng trỡnh cú nghim l
x 2
y 1
=


=

Vớ d 2:Gii H PHNG TRèNH SAU bng phng phỏp th

=

+ =

2 3
2 4
x y
x y
Gii bng phng phỏp th.

=

+ =


=

+ =


=


+ =


=


=


=


=

2 3
2 4
2 3
2(2 3) 4
2 3
4 6 4
2 3
5 10
2

1
x y
x y
y x
x x
y x
x x
y x
x
x
y
Vy : H ó cho cú 1 nghim l : (x ;y) = (2 ;1)
Vớ d 3: Gii cỏc h phng trỡnh sau bng phng phỏp th
a,
2
2 1
x y
x y
+ =


=

b,
2
3 2 11
x y
x y
=

+ =

c,
( )
( )
3 1
2 3 7 2
x y
x y
+ =


+ =


ỏp ỏn: a,
2 2 2 1
2 1 2(2 ) 1 3 3 1
x y x y x y x
x y y y y y
+ = = = =



= = = =

Vy nghim ca HPT l (x;y)=(1;1)
b,
2 2 2 3

3 2 11 3(2 ) 2 11 5 11 6 1
x y x y x y x
x y y y y y
= = + = + =



+ = + + = = =

Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht
( ; ) (3;1)x y =
c, Hớng dẫn
PT(1) y= 3 -x (1') Thế vào PT (2) ta đợc : 2x + 3( 3 -x ) = 7 2x +9 - 3x = 7
-x = 7-9 =-2 x= 2
Thay x = 2 vào (1') y= 3 -2 = 1
Vậy hệ PT có nghiệm duy nhất ( x;y)= (2 ; 1)
Vớ d 4: Gii cỏc h phng trỡnh sau bng phng phỏp th



=+
=
31y11x10
7y11x2
b)
x 6y 8
0,5x 3y 4
=

+ =

b)
3 5x 24 7y 2 8
2 5x 8 28y 3

=


+ =


ỏp ỏn a) Gii ỳng h c nghim (2;1)
b) Gii ỳng h c vụ s nghim, nghim tng quỏt: (x;
x 8
6
+
) vi x

R
c) Gii ỳng h c vụ nghim ( vỡ pt 0x+0y =
8 2 9+
vụ nghim )
B. BI TP
Bài 1: Giải hệ pt bằng phơng pháp thế:
a)

=
=




=
=




=+
=




=+
=




=+
=
11

59
11
38
3811
53
281065
53
28)53(25
53
2825
53
y
x
x
xy
xx
xy
xx
xy
yx
yx
Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht
38 59
;
11 11

ữ

b)

=
=




=
+=




=++
+=




=
=+
2
3
3913
82
1)82(53
82
82
153

y
x
x
xy
xx
xy
yx
yx
Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht
( ; ) ( 3;2)x y =
c)








=

=

=
=








=
=






+=+
=








=
+

+
=
19
12
19
8
19
12
3
2
49
3
2
4
3
2
369324
3
2
4
9
4
8
32
y
x
y
y
x
y

y
y
x
yx
y
x
y
x
yx
(TMĐK y-4)
Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht
8 2
;
19 19


ữ

d)







=


=

+

1,0
25
1,0
52
yxy
yxy




=
=+
1)(52
1)(25
yxy
yxy




=+
=+
175
132
yx
yx
.

=
=
3
4
y
x
Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht
( ; ) (4;3)x y =
e)





=+
=+
25
252
yx
yx






=+
=

25)52(2
52
yy
yx






=+
=
251022
52
yy
yx






=
=

=
=






=
=
5
52
52
)21(5
)21(2
52
222)105(
52
y
yx
y
yx
y
yx

=
=
5
52
0
y
x
Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht (0;
2 5
5
)
Bài 2: Xác định các giá trị của a và b để hệ pt



=+
=+
5
73
byax
byx
A, có nghiệm (-1;3) b, Có nghiệm (
)3;2
HD giải: a) h phng trỡnh có nghiệm (-1;3) ta thay x = -1; y = 3 vào hệ pt ta có

=
=








=+
=




=+
=+
5
3
1
3
5
3
10
.3
3
10
53.)1.(

73.)1.(3
a
b
a
b
ba
b
b) h phng trỡnh có nghiệm (
)3;2
ta thay x =
2
, y =
3
vào hệ pt ta đợc





=

=

=

=






=+
=






=+
=+
23
3
6337
2
223
3
237
52372
2373
532

7323
a
b
a
b
a
b
ba
b
Bài 3: Giải cỏc h phng trỡnh sau
a)







=+
=+








=+
=+

3
133
10
11
5
3
12
1
4
3
4
3
10
11
5
3
yx
yx
yx
yx
(ĐK: x 0, y 0) Đặt
b
y
a
x
==
1
;
1
hệ có dạng

=+
=








=+
=+
3
1
)
5
3
10
1
(33
5
3

10
1
3
1
33
10
1
5
3
aa
ab
ba
ba







=
=

=
=
12
1
36
1
5
3
10
1
30
1
5
6
b
a
ab
a

)(
12
36
12
11
36
11
TM
y
x
y

x



=
=








=
=
vậy h phng trỡnh có nghiệm (x;y)=(36;12)
b)







=
+
+

=

+
+

12
1
2
1
1
1
1
2
15
1
8
yx
yx
(ĐK: x 1, y -2)
Đặt
u
x
=
1
1
;
v
y
=
+ 2
1
hệ có dạng

=+
=






=+
=+
1)
12
1
(8
12
1
12
1
1158
vv
vu
vu
vu

=
=








=
=

28
1
21
1
3
1
7
12
1

u
v
v
vu




=
=




=+
=








=
+
=

19
29

212
281
21
1
2
1
28
1
1
1
y
x
y
x
y
x
(TMĐK)
Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht
( ; ) (28;19)x y =
Bài 4: Cho hệ pt



=+
=+
1
12
mmymx
ymx
Giải hệ pt khi: m = 3 ; m = 2 ; m = 0

HD giải: a) Khi m = 3 ta có hệ pt



=+
=+
233
123
yx
yx
gải hệ pt đợc nghiệm là (x;y) = (-
3
1
; 1)
Khi m = 2 ta có hệ pt



=+
=+
122
122
yx
yx
hệ có vô số nghiệm.
Công thức nghiệm tổng quát là

=

2
21 x
y
Rx

Bài 5: giải hệ pt a)



=
=




=
=+




=+
=+

=
=+
2
5
3
7
21))((
7
21
7
22
y
x
yx
yx
yxyx
yx
yx
yx
Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht
( ; ) (5;2)x y =
b)Cho hệ pt





=
=

334
32
1
yx
ymx
tìm giá trị của m để hệ pt vô nghiệm
Giải:



=
=




=
=




=
=

2002)23(
1
2004)1(23
1
200423

1
xm
mxy
mxx
mxy
yx
mxy
(*)
Hệ pt vô nghiệm khi pt (*) vô nghiệm 3-2m = 0 m =
2
3
c)Cho hệ pt



=+
=+
1yx
mynx
Tìm m để hệ pt có nghiệm với mọi giá trị của n
Từ pt (2) ta có y = 1-x thế vào pt (1) ta đợc nx + 1 x = m (n 1)x = m 1(*)
+ Nếu n 1 x =
1
1


n
m
y = 1-
11

1


=


n
mn
n
m
hệ có nghiệm duy nhất (x;y) =
+ Nếu n = 1 thì pt (*) chỉ có nghiệm khi và chỉ khi m 1 = 0 m = 1
Vậy hệ pt có nghiệm với mọi giá trị của n khi và chỉ khi m = 1
Bài 6: Cho hệ pt (I)



=+
=+
2.
1
yxa
ayx
a, Giải hệ pt khi a = 2 b, Với giá trị nào của a thì hệ pt có nghiệm duy nhất
HD giải: Khi a = 2 hệ pt có nghiệm (x;y) = (1;0)



=
=

=+
=

(*)2)1(
1
2)1(
1
)(
2
aya
ayx
yaya
ayx
I
Hệ có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi pt (*) có nghiệm duy nhất 1 a
2
0 a 1
LUYN TP
Bài 1: Cho hệ pt



=
=
339
3

2
ymx
myx

a,Với giá trị nào của m thì hệ pt VN
b,Với giá trị nào của m thì hệ pt có VSN? Viết dạng tổng quát của hệ pt
c, Với giá trị nào của m thì hệ pt có nghiệm duy nhất
HD giải: Hệ pt



=
=
339
339
2
ymx
myx
trừ từng vế 2 pt ta đợc m
2
y 3y = 3
3
-3m
(m -
)3(3)3)(3 mym =+
(1)
a) Hệ pt VN pt (1) VN

=+
03
0)3)(3(
m
mm
m = -
3
Khi đó ta có hệ pt





=
=






=
=
33
33
3339
33

yx
yx
yx
yx
hệ pt VN
Hệ pt có VSN pt (1) có VSN
3
3
3
03
03
2
=





=
=






=
=
m
m

m
m
m
Khi đó ta có hệ pt





=
=






=
=
33
33
3339
33
yx
yx
yx
yx

Hệ pt có VSN. Công thức nghiệm tổng quát của hệ pt là

+=

33xy
Rx

Hệ có nghiệm duy nhất m
3
Bài 2: Giải các hệ pt sau a)





=
=
1
2
3
623
yx
yx
b)



=+
=+
32

152
yx
yx
HD giải: a, Giải hệ pt bằng phơng pháp thế Ta đợc hệ phơng trình vô nghiệm
b) Từ (2)=> y=-3-2x thế vào (1) ta tìm đợc x=-2 y = 1 .Vậy hệ pt có nghiệm (x;y) = (-2;1)
Bài 3: Cho hệ pt



+=+++
+=+
2)()1(
124)2(
nmynmxm
nmnyxnm

a,Giải hệ pt khi m = 3, n = -2
b,Tìm m và n để hệ pt có nghiệm (2;-1)
c, Cho m = 0 xác định n để hệ pt VN
ỏp ỏn : a,Khi m = 3, n =-2 hệ pt có dạng



=+
=
14
1727
yx
yx
giải hệ pt đợc (x;y) = (1;-5)

b,Hệ pt có nghiệm (2;-1) x = 2, y = -1 thay vào hệ pt ta đợc





=
=




=
=+
2
7
2
42
132
m
n
n
nm
Với m = 0 hệ có dạng



=+
=+
2

212
nnyx
nnynx
trừ từng vế 2 pt ta đợc (1+2n)x = 3n 3 (*)
+ Nếu 1 + 2n = 0 hay n = -
2
1
ta có hệ pt







=
=
2
3
2
1
2
2
1
yx
yx
hệ VN
+ Nếu 1 + 2n 0 pt (*) có nghiệm hệ có nghiệm . Vậy với n =-
2
1

hệ pt VN
C- Hớng dẫn học ở nhà :
+Xem lại phơng pháp giải hệ pt bằng phơng pháp thế
+- Nm vng hai bc gii h phng trỡnh bng phng phỏp th
- Xem kĩ các bài tập đã giải ở lớp
- Trình bày lời giải đầy đủ cỏc Bài tập đã hớng dẫn
+ụn k cỏc kin thc c bn ca chong 3
.
Ngy dy 9
Bui 2 (Tit 4+5+6)
ễN TP V GII H PHNG TRèNH
BNG PHNG PHP CNG I S
Mc tiờu
a. Kin thc :
- Giỳp hc sinh hiu nm vng qui tc cng i s
- Hc sinh cn nm vng cỏch gii h 2 phng trỡnh bc nht 2 n bng phng phỏp cng
i s trung hp 1: cỏc h s ca cựng mt n no ú trong hai phng trỡnh bng nhau hoc
i nhau.
b. K nng - Bc u vn dng phng phỏp cng i s vo gii mt s h phng trỡnh
bc nht hai n.
c. Thỏi : Cn thn trong tớnh toỏn v bin i.
A. L THYT Giải hệ bằng phơng pháp cộng đại số
B1: Nhân các vế của 2 PT với số thích hợp (nếu cần ) sao cho các hệ số của x( hoặc y)
Trong 2 PT của hệ là bằng nhau hoặc đối nhau
B2: Sử dụng qui tắc cộng đại số để đợc hệ PT mới ; trong đó có 1 PT mà hệ số của một trong hai
ẩn bằng 0
B3: Giải hệ PT vừa tìm đợc
* Trng hp 1:
cỏc h s ca cựng mt n no ú trong hai phng trỡnh bng nhau hoc i nhau.
Vớ d 1: Gii cỏc h phng tỡnh sau bng phng phỏp cng i s

a, (I)



=+
=
2
12
yx
yx
b, (II)
2
2 1
x y
x y
=


+ =

c, (III) :
2 3 3
3 6
x y
x y
=


+ =

d) (IV)
2 7
3 9
x y
x y
+ =


+ =


Gi ý cỏc h s ca cựng n y trong h (I) l i nhau
a,
2 1 3 3 1 1
2 1 1 1 0
x y x x x
x y x y y y
= = = =



+ = + = = =

Vy nghim ca HPT l (x;y)=(1;0)
Gi ý cỏc h s ca cựng n x trong h (II) l bng nhau
b,
1
2 3 1
3
2 1 2 1 5

3
y
x y y
x y x y
x

=

= =




+ = + =


=


Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht
5 1
( ; ) ( ; )
3 3
x y =
Gi ý cỏc h s ca cựng n y trong h (III) l i nhau
c,



=

=




=+
=




=+
=
1
3
63
93
63
332
y
x
yx
x
yx
yx
Vy nghim ca HPT l (x;y)=(3;1)
Gi ý cỏc h s ca cựng n y trong h (IV) l bng nhau
d)
2 7 2 7
3 9 3 2 9 7

x y x y
x y x y x y
+ = + =



+ = + =

<=>



=
=
2.27
2
y
x




=
=

3
2
y
x

Hệ có nghiệm duy nhất (2;3)
b) Trng hp 2 : H s ca mt n no ú 2 phng trỡnh khụng bng nhau v cng khụng
i nhau
Vớ d 2: Gii h phng trỡnh sau bng phng phỏp cng i s
3x 2y 7 (1)
2x 3y 3 (2)
+ =


+ =

Hướng dẫn
3x 2y 7
2x 3y 3
+ =


+ =

⇔



=+
=+
996
1446
yx
yx
⇔




=+
=−
332
55
yx
y
⇔



=−+
−=
3)1(32
1
x
y
⇔



=
−=
62
1
x
y
⇔




=
−=
3
1
x
y
Vậy hệ (IV) có 1 nghiệm duy nhất là
x 3
y 1
=


= −

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình
a)



=+
=+
342
12
yx
yx
b)




=+
=+
732
3
yx
yx
GIẢI a,



=+
=+
342
12
yx
yx

2 4 2 0 0 1
2 4 3 2 1
x y x y
x y x y
+ = + =
 
⇔ ⇔
 
+ = + =
 

ta thÊy pt: 0x+0y=1 v« ghiÖm nªn hÖ ph¬ng tr×nh v« nghiÖm.
( hoÆc : NhËn thÊy:
1 2 1
2 4 3
= ≠
nªn ph¬ng tr×nh trªn v« nghiÖm.)
b, Giải hệ phương trình
( )
( )
3 1
2 3 7 2
x y
x y
+ =


+ =


Nh©n 2 vÕ cña PT(1) víi 2 ta ®îc hÖ míi t¬ng ®¬ng víi hÖ ®· cho :



=+
=+
732
622
yx
yx
⇔




=+
=
3
1
yx
y
⇔



=
=
2
1
x
y

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
( ; ) (2;1)x y =
B. BÀI TẬP
Bài 1 Giải các hệ phương trình sau
a, (I)
2 3 7
10 8
x y
x y
+ =



− = −

b, (II)
2 1
3 2 12
x y
x y
+ =


− =

c) (III)
4 3 6
3 4 10
x y
y x
− =


+ =

hướng dẫn các hệ số của cùng ẩn x(hoặc của cùng ẩn y) trong hệ (I) +(II) là không bằng nhau và
cũng không đối nhau
GIẢI a)
2 3 7 2 3 7 2 3 7 2 3.1 7 2
10 8 2 20 16 23 23 1 1
x y x y x y x x

x y x y y y y
+ = + = + = + = =
    
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
− = − − = − − = − = =
    
HÖ cã nghiÖm duy nhÊt (2;1)
b)
2 1 4 2 2 4 2 3 2 2 12
3 2 12 3 2 12 3 2 12
x y x y x y x y
x y x y x y
+ = + = + + − = +
  
⇔ ⇔
  
− = − = − =
  

7 14 2 2
3 2 12 3.2 2 12 3
x x x
x y y y
= = =
  
⇔ ⇔ ⇔
  
− = − = = −
  

HÖ cã nghiÖm duy nhÊt (2;-3)
c) Giải hệ phương trình:
4 3 6 (1)
3 4 10 (2)
x y
y x
− =


+ =

Cộng (1) và (2) ta có: 4x - 3y + 3y + 4x = 16
⇔
8x = 16
⇔
x = 2
Thay x = 2 vào (1): 4. 2 – 3y = 6
⇔
y =
2
3
. Vậy nghiệm của hệ là (x;y)=
2
2;
3
 
 ÷
 
Bài 2 Giải các hệ phương trình sau a)
4 7 16

4 3 24
x y
x y
+ =


− = −

b)
( 5 2) 4 5
2 8 2 5
x y
x y

+ + = −


− + = −


GIẢI a)
4 7 16
4 3 24
x y
x y
+ =


− = −


10 40
4 3 24
y
x y
=

⇔

− = −


4 3
4 24 12 4
y x
x y
= = −
 
⇔ ⇔
 
= − + =
 
VËy hÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) =
( )
3;4−
b)
( 5 2) 4 5
2 8 2 5
x y
x y


+ + = −


− + = −


(2 5 4) 2 8 2 5
2 8 2 5
x y
x y

+ + = −

⇔

− + = −


0
2 8 2 5
x
y
=


⇔

= −



0
4 5
x
y
=


⇔

= −


VËy hÖ pt cã nghiÖm duy nhÊt (x; y) =
( )
0;4 5−
Bài 3 Giải các hệ phương trình
a/
3x y 3
2x y 7
+ =


− =

b/
x 2y 5
3x 4y 5
+ =



+ =

c/
( ) ( )
( ) ( )
6 2 3 4 4 10
5 4 7 3 1
x y x
x y x y
− − − =


+ + − − =


GIẢI
a)
( ) ( )
( ) ( )
6 2 3 4 4 10
12 6 4 16 10 8 6 6
20 5 21 7 1 2 1
5 4 7 3 1
x y x
x y x x y
x y x y x y
x y x y
− − − =
− − + = − = −

 

⇔ ⇔
  
+ − − = − − =
+ + − − =
 


( )
9
8 2 1 6 6
22 2
11
2 1 1
2 1
11
x
y y
y
x y
x y
y
−

=

− − − = −
− =


 
⇔ ⇔ ⇔
  
= − − −
= − −




=


Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=
9 1
;
11 11
− −
 
 ÷
 
b)



−=
=
<=>




=+
=
<=>



=+
=
<=>



=−
=+
3
2
32.3
2
33
105
72
33
y
x
y
x
yx
x
yx
yx

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=(2;-3)
2/
x 2y 5 2x 4y 10 x 5 x 5
3x 4y 5 3x 4y 5 x 2y 5 y 5
+ = + = = − = −
   
⇔ ⇔ ⇔
   
+ = + = + = =
   
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y)=(-5;5)
Bài 4: (1 điểm ) Cho hệ phương trình : (I
mx y 5
2x y 2
+ =


− = −


Xác định giá trị của m để nghiệm (x
0
;y
0
) của hệ phương trình (I) thỏa điều kiện : x
0
+y
0
= 1
GIẢI

Giả sử hệ phương trình (I) có nghiệm (x
0
;y
0
) và thỏa x
0
+ y
0
= 1
Ta có :
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0 0
0
3
3
x =
5 mx + 2x = 3
x =
m + 2
m + 2
10 2
2 2 2 2
2 2
2
mx y
m
x y x y

x y
y
m



+ =
 
 
⇔ ⇔
   
+
− = − − = −
 
 
− = −
=


+

⇔
Hệ đã cho có nghiệm khi m ≠ -2
Theo điều kiện bài ra ta có:
0 0
1 1 11
3 10+ 2m
2+ m 2 + m
x y m+ = ⇒ + = ⇒ = −
(TMĐK)

Vậy:
11m= −
thì x
0
+ y
0
=1
Bài 5: Cho hệ phương trình



=−
−=+
52
43
yx
ymx

Xác định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất?
GIẢI: Hệ phương trình đã cho có nghiệm khi:
' '
a b
a b
≠
tức là
≠ ⇔ ≠ −
−
m 3 3
m
1 2 2

Vậy với
≠ −
3
m
2
thì hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất
Bi 6 Cho h phng trỡnh:
x 2y 3 m
2x y 3(m 2)
=


+ = +


Gi nghim ca h phng trỡnh l (x, y). Tỡm m x
2
+ y
2
t giỏ tr nh nht.
GII: Cho h phng trỡnh:
x 2y 3 m
2x y 3(m 2)
=


+ = +

Gii h pt ó cho ta c :

=
+=
my
mx 3
Cú : x
2
+ y
2
= m
2
+ 6m + 9 + m
2
= 2m
2
+ 6m + 9
= 2(m
2
+ 3m +
4
9
) +
2
9
= 2(m +
2
3
)
2

+
2
9



2
9
.
Vy : x
2
+ y
2
nh nht bng
2
9


m = -
2
3
Bài 7: Giải cỏc hệ pt a)



=+
=
315
5,175,05,0
yx

yx
b)







=
+


=
+
+

5
13
8
1
5
1
13
4
1
2
yx
yx
c)

=+
=+
41215
51
3
1
13
yx
yx
HD giải:
a) Hệ pt



=
=




=
=

=+
=
3
0
632
027
6302
632
x
y
yx
y
yx
yx
Vy nghim ca h l
( ; ) ( 3;0)x y =
b) ĐK: x 1, y -
3
1
đặt
1
1
x
= a,
13
1
+y
= b
Hệ pt có dạng

=
=+
585
142
ba
ba
giải hệ pt ta đợc a =
3
1
, b = -
12
5







=
=

=
+
=

12
17
4
12
5
13
1
3
1
1
1
y
x
y
x
(TMĐK) vậy nghiệm của hệ pt là (x;y) = (4;-
12
17
)
c) ĐK: x 1, y -1; Đặt
1x
= a 0,
1+y
= b 0

hệ pt có dạng





=
=
425
5
3
1
3
ba
ba
giải hệ pt đợc a = 2, b = 3 (TM)




=
=






=+
=

8
5
31
21
y
x
y
x
(TM ĐK) vậy nghiệm của hệ pt là (x;y) = (5;8)
LUYN TP
Bài 1: a; Giải hệ phơng trình :





+=+
=
3123
03
yx
yx

HD: Nhân 2 vế của PT (1) với
3
ta sẽ có hệ tơng đơng với hệ đã cho :

+=+
=
3123
033
yx
yx
Dùng phơng pháp cộng đại số giải ra ta có nghiệm của hệ là :x =
5
33+
; y =
5
31+
b; Giải hệ pt:



=++
=+
0)72(2)1(4
0)1(6)7(3
yxx
yxx
nhân khai triển rồi thu gọn ta đợc hệ PT đơn giản rồi giải ra đợc nghiệm của hệ là:x =2; y=5,5
c; Giải hệ PT sau bằng cách đặt ẩn phụ :

=

+
+
=


+
1
2
3
2
20
1
2
1
2
4
yxyx
yxyx
HD: Đặt 1/x+2y = a ; 1/x-2y = b
Hệ trở thành :



=+
=
1320

14
ba
ba
Giải hệ bằng pp thế hoặc pp cộng đại số ta có a= 1/8;
b = -1/2 Suy ra :



=
=




=
=+




=
=+
5,2
3
22
82
2/12/1
8/12/1
y
x

yx
yx
yx
yx
Vy h phng trỡnh ó cho cú nghim duy nht (x;y)=(3;2,5)
Bài 2: Cho hệ PT :



=+
=+
1
12
mmymx
ymx
a; Tìm m biết nghiệm của hệ là x= -1/3 ; y =1 ? b; Giải hệ với m =0 ?
c; Tìm m để hệ đã cho vô số nghiệm ?
Giải: a; Vì nghiệm của hệ là x= -1/3 ; y =1 Nên Ta thay vào hệ ta có
3
3
3
11.)3/1(
11.2).3/1(
=



=
=

=+
=+
m
m
m
mmm
m
Vậy với m= 3 thì hệ trên có nghiệm là x= -1/3 ; y =1
b; Thay m = 0 vào hệ PT ta đợc :



=
=




=+
=+
10
12
1000
120 y
yx
yx
Hệ PT vô nghiệm

c; Để hệ có vô số nghiệm thì ta phải có :
' ' '
a b c
a b c
= =
Tức là
2 1
1
m
m m m
= =

m =2
Bài 3: Cho hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn x và y :



+=+
+=+
513)9()114(
3)32(5)()2(
mnynmxnm
nmymnxnm
a; Giải hệ phơng trình khi m=-5và n =3 b;Tìm m và n khi hệ ptrình có nghiệm (5;-1)
Giải :
a; Thay m = -5 ; n = 3 vào hệ PT và khai triễn thu gọn ta đợc hệ PT mới :



=+

=+
671713
8813
yx
yx
Bằng phơng pháp cộng đại số giải ra ta đợc nghiệm duy nhất của hệ là: x = -16/13 ; y = -3
b;Nếu H có nghiệm (5;-1) thì thay vào hệ ta đợc hệ với m



+=+
+=+
513)1).(9(5).114(
3)32(5)1)((5).2(
mnnmnm
nmmnnm




=+
=
4558
319
nm
nm

giải hệ này ta đợc nghiệm là : m= -80/207; n = 28/207
Bài 4:a; tìm a và b Để đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(- 5 ; 3 ), B (
)1;

2
3

;
b; tìm a và b Để đờng thẳng ã + b đi qua hai điểm M(9 ;-6) và đi qua giano điểm của hai đờng
thẳng(d
1
) : 2x +5y = 17, 9d
2
) : 4x - 10y = 14.
Giải :a;Vì đờng thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(-5;3), B (
)1;
2
3

nên ta có hệ:





+=
+=
ba
ba
2
3
1
53
Giải ra ta đợc : a=-

13
8
; b = -
13
1
b; Hớng dẫn : Trớc hết ta giải hệ



=
=+
14104
1752
yx
yx
tìm đợc giao điiểm của(d
1
) và (d
2
) là A(6;1). Muốn
cho đờng thẳng ax-8y=b đi qua hai điểm M và A thì a,b phải là nghiệm của hệ phơng trình



=
=+
ba
ba
86
489

Đáp số: a=-
120,
3
56
=b
Bài 5: Gii cỏc h phng trỡnh sau: a)



=+
=
362115
1910
yx
yx
; b)
3
2 3 16
x y
x y
=


+ =

a)



=+

=
362115
1910
yx
yx






=+
=
724230
32730
yx
yx






=
=
1910
6969
yx
y

+
=
=
10
11.9
1
x
y






=
=
1
1
x
y

b)
( )

3
3
2 3 3 16
2 3 16
x y
x y
y y
x y
= +

=




+ + =
+ =




3 5
5 10 2
x y x
y y
= + =



= =

Bài 2 : Cho h phng trỡnh:



=+
=
1
4
yx
ynx

a) Vi giỏ tr no ca n thỡ h phng trỡnh cú 1 nghim l ( x; y ) = ( 2; -1 ).
b) Vi giỏ tr no ca n thỡ h phng trỡnh cú duy nht nghim?
c, Vi giỏ tr no ca n thỡ H phng trỡnh vụ nghim ?
GIảI Cho h phng trỡnh:



=+
=
)2(1
)1(7
yx
ynx

a) Thay x = 2; y = -1 vo phng trỡnh (1) Ta c: 2n (-1) = 7

2n = 6

n = 3 v x = 2, y = -1 tho món phng trỡnh (2)
b) H phng trỡnh cú duy nht nghim

' '
a b
a b


1
1
1


n


n

- 1
c, H phng trỡnh vụ nghim


' ' '
a b c
a b c
=
1
7
1

1
1


=
n


n = -1
Bài 3 Xác định a và b để đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm A(2; -2) và B(-1; 3)
Do đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm A(2; -2) và B(-1;3) nên ta có HPT

5
2 2 3 5
3
3 3 4
3
a
a b a
a b b a
b

=

+ = =




+ = = +

=



Vậy
5 4
;
3 3
a b= =
thì đồ thị hàm số y = ax + b đi qua 2 điểm A(2; -2) và B(-1;3)
Bi 4 Cho hệ phơng trình (II)



=+
=+
93
7
yx
yxm
a) với m = 2 ta có hệ phơng trình




=+
=+
93

72
yx
yx



=
=
2.27
2
y
x




=
=

3
2
y
x

b) Với giá trị nào của m thì hệ (I) vô nghiệm?
Trừ hai vế hai phơng trình của hệ (II) ta đợc P.TR: (3- m).x = 2 (*)
P.TR (*) vô nghiệm khi m -3 = 0 => m =3
Vậy hệ phơng trình (II) vô nghiệm khi m = 3
( HS có thể dựa vào phơng pháp hình học để tìm m: ( II) <=>

+=
+=
)'(93
)(7
dxy
dmxy

đờng thẳng (d) / / đờng thẳng (d) khi m =3)
C- HƯỚNG DẪN HỌC Ở NHÀ
- Học và nắm chắc các bước giải hệ bằng phương pháp cộng đại số
- xem kĩ lại Cách giải hệ 2 phương trình bậc nhất 2 ẩn bằng phương pháp cộng đại số – truờng
hợp 1: các hệ số của cùng một ẩn nào đó trong hai phương trình bằng nhau hoặc đối nhau.
Trường hợp 2: Hệ số của một ẩn nào đó ở 2 phương trình khơng bằng nhau và cũng khơng đối
nhau
-lµm c¸c bµi tËp sau
Bµi 1: Cho hƯ ph¬ng tr×nh :



−=+
=+−
34
93)1(3
aybx
ybax
a; Gi¶i hƯ víi a =4; b =-5
b; T×m gi¸ trÞ cđa a vµ b ®Ĩ hƯ cã nghiƯm duy nhÊt (1;-5)
c; T×m a vµ b ®Ĩ hƯ cã v« sè nghiƯm

Bài 2 Giải các hệ phương trình
2
2 3 9
x y
x y
+ =


− =

b)



−=−
=+
2434
1674
yx
yx
c,
1 2
0,3
2 2
1 2
0,7
2 2
x y x y
x y x y


+ =

+ −



− =

+ −

Bài 3. Cho hệ phương trình
( )
m 1 x my 3m 1
2x y m 5

− − = −

− = +

a) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm là (x ; y) = (1 ; -1).
b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vơ số nghiệm ?
c) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) mà S = x
2
+ y
2
đạt
giá trị nhỏ nhất?
Ngày dạy 9……………
Buổi 3 (Tiết 7+8+9)
ƠN TẬP VỀ GIẢI B…I TO…N BẰNG C…CH LẬP HỆ PHƯƠNG TRÌNH

I /Phương pháp chung :
Bước 1: Lập hệ phương trình
Chọn ẩn và dặt điều kiện cho ẩn
Biểu diễn các đại lượng chưa biết theo ẩn và các đại lượngđã biết
Bước 2: Giải pt hệ phương trình
Bước 3: Kiểm tra xem nghiệm của của pt hoặc hệ có thoả mãn ĐK của ẩn hay không rồi kết
luận
1/ Toán về chuyển động :
VD1: Tìm vận tốc và chiều dài của 1 đoàn tàu hoả biết đoàn tàu ấy chạy ngang qua văn
phòng ga từ đầu máy đến hết toa cuối cùng mất 7 giây . Cho biết sân ga dài 378m và thời
gian kể từ khi đầu máy bắt đầu vào sân ga cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga là 25
giây.
Giải: Gọi x (m/s)là vận tốc của đoàn tàu khi vào sân ga (x>0)
Gọi y (m) là chiều dài của đoàn tàu (y>0)
Tàu chạy ngang văn phòng ga mất 7 giây nghóa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường
y(m) mất 7 giây.Ta có phương trình : y=7x (1)
Khi đầu máy bắt đầu vào sân ga dài 378m cho đến khi toa cuối cùng rời khỏi sân ga mất 25
giây nghóa là với vận tốc x (m/s) tàu chạy quãng đường y+378(m) mất 25giây .Ta có
phương trình : y+378=25x (2)
Ta được hệ phương trình :
7
y+378=25x
y x=



Giải ra ta có : x=21 ; y= 147 (thoả ĐKBT)
Vậy vận tốc của đoàn tàu là 21m/s ; Chiều dài của đoàn tàu là : 147m
VD2: Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút . Biết thời
gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km . Tính vận tóc dòng nước

?
Giải: Gọi x (km/h)là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng.
Gọi y(km/h) là vật tốc dòng nước (x,y>0)
Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta có phương
trình :
5 4
x y x y
=
+ −
Vì chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút (=
9
2
h) nên ta có
phương trình :
40 40 9
2x y x y
+ =
+ −
Ta có hệ phương trình :
5 4
40 40 9
2
x y x y
x y x y

=

+ −




+ =

+ −

Giải ra ta có : x=18 ; y= 2
Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h
VD3: Trên một đường tròn chu vi 1,2 m, ta lấy 1 điểm cố đònh A. Hai đim chuyển động M ,
N chạy trên đường tròn , cùng khởi hành từ A với vận tốc không đổi . Nếu chúng di chuyển
trái chiều nhau thì chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây. Nếu chúng di chuyển cùng chiều nhau
thì điểm M sẽ vượt N đúng 1 vòng sau 60 giây.Tìm vận tốc mỗi điểm M, N ?
Giải: Gọi x(m/s) là vận tốc của điểm M
Gọi y(m/s) là vận tốc của điểm N (x>y>0)
Khi chúng di chuyển trái chiều nhau , chúng gặp nhau sau mỗi 15 giây nên ta có phương
trình : 15x+15y=1,2 (1)
Khi M,N di chuyển cùng chiều nhau thì điểm M sẽ vượt N đúng 1 vòng sau 60 giây nên ta
có phương trình : 60x-60y=1 (2)
Ta có hệ phương trình :
15x+15y=1,2
60x+60y=1



Giải hệ phương trình ta có x=0,05 ;y= 0,03 (thoả ĐKBT)
Vậy vận tốc điểm M là : 0,05m/s và vận tốc điểm N là : 0,03m/s
BTVN: Một chiếc môtô và ôtô cùng đi từ M đến K với vận tốc khác nhau .Vận tốc môtô là
62 km/h còn vận tốc ôtô là 55 km/h . Để 2 xe đến đích cùng 1 lúc người ta đã cho ôtô chạy
trước 1 thời gian . Nhưng vì 1 lí do đặc biệt nên khi chạy được 2/3 quãng đường ôtô buộc
phải chạy với vận tốc 27,5 km/h .Vì vậy khi còn cách K 124km thì môtô đuổi kòp ôtô . Tính
khoảng cách từ M đến N .

HD: Gọi khoảng cách MK là x km
Gọi thời gian dự đònh ôtô đi trước môtô là y (giờ)
Ta có :
62 55
2
124
124
3 3
65 27,5 62
x x
y
x
x
x
y

+ =



−

−
+ = +


Giải hệ này ta rút ra : x= 514km ;
94
1 ( )
1705

y h=
2/ Bài toán có nội dung vật l1 , hoá học :
VD7: một dung dòch chứa 30% axit nitơric (tính theo thể tích ) và một dung dòch khác chứa
55% axit nitơric .Cần phải trộn thêm bao nhiêu lít dung dòch loại 1 và loại 2 để được 100lít
dung dòch 50% axit nitơric?
Giải: Gọi x,y theo thứ tự là số lít dung dòch loại 1 và 2 (x,y>0)
Lượng axit nitơric chứa trong dung dòch loại 1 là
30
100
x
và loại 2 là
55
100
y
Ta có hệ phương trình :
100
30 55
50
100 100
x y
x y
+ =



+ =


Giải hệ này ta được : x=20 ;y=80
GHI NHỚ : Khi chọn các ẩn cần xác đònh điều kiện của các ẩn .

+ Mỗi phương trình của hệ lập được nhờ xác đònh đẳng thức biểu diễn cho cùng 1 đại lượng
bằng 2 cách .
+ Nếu 1 công việc làm xong trong x giờ thì 1 giờ làm được 1/x công việc.
LUYỆN TẬP
Bµi 1: Mét « t« ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc x¸c ®Þnh trong mét kho¶ng thêi gian ®· ®Þnh . NÕu
vËn tèc « t« gi¶m 10 km/h th× thêi gian t¨ng 45phót. NÕu vËn tèc t¨ng 10 km/h th× thêi gian
gi¶m 30 phót. TÝnh vËn tèc vµ thêi gian dù ®Þnh cđa « t«.
ĐÁP ÁN §ỉi 45 phót =
3
4
giê, 30 phót =
1
2
giê.
Gäi x (km/h) vËn tèc dù ®Þnh ®i cđa «t« ®i tõ A ®Õn B
Gäi y (h) thêi gian dù ®Þnh ®i cđa «t« tõ A ®Õn B ,, §K: x > 10 vµ y >
1
2
VËy qu·ng ®êng AB lµ x.y (km)
NÕu «t« gi¶m vËn tèc 10 km/h th× thêi gian t¨ng 45 phót =
3
4
h, vËy ta cã ph¬ng tr×nh:
3
( 10)( ) 3 40 30
4
x y xy x y− + = ⇔ − =
(1)
NÕu «t« t¨ng vËn tèc thªm 10 km/h th× thêi gian gi¶m 30 phót =
1

2
h, vËy ta cã ph¬ng tr×nh:
1
( 10)( ) 20 10
2
x y xy x y+ − = ⇔ − + =
(2)
Tõ (1) vµ (2) ta cã hƯ ph¬ng tr×nh:
3 40 30 50
20 10 3
x y x
x y y
− = =
 
⇔
 
− + = =
 
(tho¶ m·n)
VËy vËn tèc dù ®Þnh ®i cđa «t« lµ 50 km/h vµ thêi gian dù ®Þnh®i cđa «t« lµ 3 giê
BÀI 2 . G¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp hƯ ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn sè
Hai ®Þa ®iĨm A vµ B c¸ch nhau 40 km .Mét xe m¸y ®i tõ A vµ mét xe ®¹p ®i tõ B.
Khi hai xe cïng xt ph¸t ngỵc chiỊu nhau th× sau 50 phót chóng gỈp nhau. Cßn khi hai xe ®i
cïng chiỊu theo híng tõ A ®Õn B th× sau 2 giê chóng gỈp nhau. TÝnh vËn tèc cđa mçi xe
§¸p ¸n
* Gäi vËn tèc cđa ngêi ®i xe m¸y lµ x ( km/ h) x > 0
VËn tèc cđa ngêi ®i xe ®¹p lµ y ( km/ h) y > 0 , §ỉi 50 phót =
6
5
(h)

* Khi ®i ngỵc chiỊu nhau ,Xe m¸y ®i trong
6
5
(h) ®ỵc
6
5
x (km)
Xe ®¹p ®i trong
6
5
(h) ®ỵc
6
5
y (km)
* LËp ®ỵc ph¬ng tr×nh :
6
5
x +
6
5
y = 40 (1 )
* Khi ®i cïng chiỊu híng tõ A ®Õn B trong 2 giê chóng gỈp nhau xe m¸y ®i nhanh h¬n
xe ®¹p ®óng b»ng qu·ng ®êng AB nªn ta cã ph¬ng tr×nh: 2x - 2y = 40 (2)
Ta cã hƯ ph¬ng tr×nh: (I)





=−

=+
4022
40
6
5
6
5
yx
yx
* Gi¶i hƯ (I) ta ®ỵc x = 34 ; y= 14
VẬY vËn tèc cđa ngêi ®i xe m¸y lµ 34 km/ h) ; VËn tèc cđa ngêi ®i xe ®¹p lµ 14km/ h)

BÀI 3 : Một chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút . Biết
thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km.Tính vận tóc dòng
nước ?
Giải: Gọi x (km/h)là vận tốc của thuyền khi nước yên lặng.
Gọi y(km/h) là vật tốc dòng nước (x,y>0)
Vì thời gian thuyền xuôi dòng 5km bằng thời gian thuyền ngược dòng 4km nên ta có phương
trình :
5 4
x y x y
=
+ −
Vì chiếc thuyền xuôi, ngược dòng trên khúc sông dài 40km hết 4h30 phút (=
9
2
h) nên ta có
phương trình :
40 40 9
2x y x y

+ =
+ −
Ta có hệ phương trình :
5 4
40 40 9
2
x y x y
x y x y

=

+ −



+ =

+ −

Giải ra ta có : x=18 ; y= 2
Vậy vận tốc dòng nước là 2 km/h
BÀI 4
Hai người cùng làm chung một cơng việc thì sau 4 giờ 30 phút họ làm xong. Nếu một mình
người thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình người thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai người
làm được 75% cơng việc. Hỏi nếu mỗi người làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong cơng việc?
(Biết rằng năng suất làm việc của mỗi người là khơng thay đổi).
ĐÁP ÁN Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong cơng việc là x (h) .
Gọi thời gian người thứ hai làm một mình xong cơng việc là y (h) .
( Đk: x >
9

2
, y >
9
2
)
Trong 1 gìờ người thứ nhất làm được
1
x
(công việc); người thứ hai làm được
1
y
(công việc) ; cả
hai người làm được
2
9
(công việc) nên ta có phương trình
1 1 2
9x y
+ =
(1)
Vì nếu một mình người thứ nhất làm trong 4 giờ,sau đó một mình người thứ hai làm trong 3
giờ thì cả hai người làm được 75% công việc nên
4 3 3
4x y
+ =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hpt:
1 1 2
1 1
9

12
1 5
4 3 3
36
4
x y
x
y
x y


+ =
=


 
⇔
 
 
=
+ =
 


12
36
5
x
y
=



⇔

=


(thoả mãn điều kiện )
Vậy người thứ nhất một mình làm xong công việc trong 12 giờ Người thứ hai một mình làm
xong công việc trong 7giờ 12 phút.
BÀI 5 ) Trên quãng đường AB dài 156 km, một người đi xe máy từ A và một người đi xe đạp từ
B. hai xe xuất phát cùng một lúc và sau 3 giờ thì gặp nhau. Biết rằng vận tốc xe máy lớn hơn
vận tốc xe đạp là 28 km/h. Tính vận tốc của mỗi xe.
Đáp án Gọi x (km/h) là vận tốc của người đi xe máy (ĐK x > 28).
y (km/h) là vận tốc của người đi xe đạp (ĐK y > 0).
Vận tốc xe máy lớn hơn vận tốc xe đạp là 28 km/h.
Ta có phương trình : x – y = 28 (1)
Quãng đường người đi xe máy trong 3 giờ là 3x (km)
Quảng đường người đi xe đạp trong 3 giờ là 3y (km)
Do hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 3 giờ nên ta có phương trình: 3x+ 3y = 156 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
x – y 28
3x 3y 156
=


+ =

Giải ra ta được : x = 40 ; y = 12
Với x = 40 ; y = 12 thỏa mãn ĐK bài toán. Vậy vận tốc của người đi xe máy là 40 km/h ; vận

tốc của người đi xe đạp là 12 km/h.
Bài 6: (3 điểm)
Một khu vườn hình chữ nhật có chu vi 46 mét, nếu tăng chiều dài 5 mét và giảm chiều
rộng 3 mét thì chiều dài gấp 4 lần chiều rộng . Hỏi kích thước khu vườn đó là bao nhiêu ?
GIẢI
+ Gọi chiều rộng, chiều dài khu vườn hình chữ nhật lần lượt là x, y (m)
(ĐK: 0< x < y < 23)
+ Nếu tăng chiều dài 5 m thì chiều dài là: y + 5 (m)
+ Giảm chiều rộng 3 m thì chiều rộng là: x -3 (m)
Theo bài ra ta có hệ phượng trình.
2(x y) 46
y 5 4(x 3)
+ =


+ = −

Giải hệ pt ta được:
x 8
y 15
=


=

thoả mãn điều kiện
Vậy: chiều rộng khu vườn là 8m; chiều dài là 15m.
Bài 7: Tìm hai số tự nhiên biết rằng: Tổng của chúng bằng 1012. Hai lần số lớn cộng số nhỏ
bằng 2014.
GIẢI

+ Gi hai s t nhiờn cn tỡm l x, y
(K: x;y
Ơ
; 1012> x > y >0)
+ Tng ca chỳng bng 1012, nờn ta cú pt: x + y = 1012 (1)
+ Hai ln s ln cng s nh bng 2014, nờn ta cú pt: 2x + y = 2014 (2)
T (1) v (2), ta cú h phng trỡnh.
+ =


+ =

x y 1012
2x y 2014
Gii h pt ta c:
=


=

x 1002
y 10
tho món iu kin
Vy: Hai s t nhiờn cn tỡm l: 1002 v 10
C- HNG DN HC NH
- Hc v nm chc cỏc bc gii bi toỏn bng cỏch lp h phng trỡnh
- xem k li cỏc bi ó cha
Ngy dy 9
Bui 4 (Tit 10+11+12)
ễN TP V GII BI TON BNG CCH LP H PHNG TRèNH

A- Lí thuyết cần nắm :
Để giải bài toán bằng cách lập hệ phơng trình ta có 3 bớc :
Bớc 1 : -LP H PHNG TRèNH
Chọn ẩn ; đặt đk cho ẩn
- Biểu thị các đại lợng liên quan qua ẩn
- Lập hệ PT nhờ mối quan hệ giửa các đại lợng
Bớc 2: Giải hệ phơng trình
Bớc 3: Đối chiếu đkiện của bài toán và trả lời
B- Bài tập vận dụng :
Bài 1:Bảy năm trớc tuổi mẹ bằng năm lần tuổi con cộng thêm 4. Năm nay tuổi mẹ vừa
đúng gắp 3 lần tuỏi con. Hỏi năm nay mỗi nguời bao nhiêu tuổi ?
Giải:
Gọi số tuổi năm nay của mẹ là x
Gọi số tuổi năm nay của con là y ( x,y N*)Vì bảy năm truớc tuổi mẹ bằng 5 lần tuổi con cộng
thêm 4 nên ta có:(x-7) = 5 (y-7) + 4 (1)
Năm nay mẹ gấp 3 lần tuổi con nên: x = 3y (2)
Ta có hệ PT



=
+=
)2.(3
)1(4)7(57
yx
yx

Thay (2) vào (1) ta có: 3y-7=5y-35+4 2y = 24 y=12. T/M
x =3.12=36 x=36. T/m . vậy tuổi mẹ năm nay là 36 ; còn tuổi con là 12
Bài 2:Tìm một số có hai chữ số biết rằng chữ số hàng chục bằng hai lần chữ số hàng đơn vị

cộng thêm 2 và tổng của hai chữ số là số nguyên tố nhỏ nhất có hai chữ số
Hớng dẫn giải :
Gọi số phải tìm là ab ( a;b N ; 1 a 9 ; 0 b 9 )
Theo bài ra ta có hệ phơng trình :



=+
+=
11
2.2
ba
ba
Giải hệ này ta tìm đợc : a = 8 ; b = 3
Vậy số phải tìm là : 83
Bài 3: Một khu vờn hình chữ nhật có tổng nữa chu vi và chiều dài bằng 66m ; có nửa tổng
chu vi và 2 lần chiều rộng là 48 m . Tính diện tích khu vờn ?
Giải:Gọi x ( m ) là chiều rộng hình chữ nhật ;
Gọi y (m) là chiều dài hình chữ nhật ( ĐK: 0<x< y )
Chú ý : na chu vi là : x +y
Ta có hệ PT:



=+
=+
483
662
yx
yx

Giải hệ ra ta có : x = 6 ; y = 30
Vậy chiều rộng là 6 m ; chiều dài là 30 m . Diện tích Hình chữ nhật đó là : 6 . 30 = 180 m
2

Bài 4:Một ngời đi xe máy từ Chu Lai đến phố cổ Hội An . Nếu đi với V= 45 km /h thì đên
nơi sớm hơn dự định 13phút 20 giây . Nêú đi với V= 35km/h thì đến nơi chậm hơn so với dự
định là 2/7 h . Tính quảng đờng Chu Lai - Hội An và vận tốc dự định ?
Giải:
GV: Thông thờng các bài toán giải bằng cách lập hệ PT có hai điều kiện ; mổi đkiện giúp ta lập
đợc một PT . Trong các bài toán về chuyển động cần nhớ công thức liên hệ giữa quảng đờng ;
vận tốc và thời gian : S = vt ; chú ý đến đơn vị của mỗi đại lợng .
Các em có thể dựa vào bảng tóm tắt sau để lập hệ phơng trình
Điều kiện Quang đờng Vận tốc Thời gian Quan hệ
Dự định y y/x x x- y/45=2/9
y/35- x =2/7
Điều kiện 1 y 45 y/45
Điều kiện 2 y 35 y/35
Ta có hệ PT :







=
=
7
2
35

9
2
45
x
y
y
x
Giải hệ ra ta đợc : x = 2 ; y = 80 (thoã mãn bài toán)
Vậy quảng đờng ChuLai - Hội An là 80 km ; và thời gian dự định là 2 giờ .
Bài 5: Nếu hai đội công nhân cùng làm chung sẽ hoàn hành công việc trong 8 h ; nếu đội
thứ nhất chỉ làm trong 3 h rồi đội thứ hai cùng làm tiếp trong 4 h nữa thì chỉ xong đợc 0,8
công việc. Hỏi nếu mỗi đội làm riêng thì sau bao lâu hoàn thành công việc ?
Giải: Gọi thời gian đội 1 làm 1 mình xong việc là x giờ
Thời gian đội 2 làm một mình xong việc là y giờ ( x;y > 8 )
Mỗi giờ đội 1 làm đợc 1/x ( công việc )
- - - 2 làm đợc 1/y ( )
Mổi giờ cả hai đội làm đợc 1/8 (công vịêc) Ta có PT: 1/x + 1/ y = 1/8
Mặt khác nếu đội 1 làm trong 3 h ; đội 2cùng làm tiếp 4 h thì chỉ xong 0,8 công việc nên ta có
Phng trinh: 3. 1/x + 4. 1/8 = 0,8
Ta có hệ PT:







=+
=+
8,0

2
11
.3
8
111
x
yx
Ta đặt 1/x = a ; 1/y = b
Ta có hệ mới :







=+
=+
8,0
2
1
3
8
1
a
ba
Giải ra ta có : a= 1/10 ; b= 1/40
Suy ra : x = 10 ; y = 40 ( thoã mãn bài toán)
Vậy nếu đội 1 làm 1 mình thì sau 10 h mới xong công việc
i 2 làm 1 mình thì sau 40 h mới xong công việc

Cõu 6 Hai xớ nghip theo k hoch phi lm tng cng 360 dng c. Thc t, xớ nghip I vt
mc k hoch 10%, xớ nghip II vt mc k hoch 15%, do ú c hai xớ nghip ó lm c
404 dng c. Tớnh s dng c mi xớ nghip phi lm theo k hoch./.
Giải Gi s dng c xớ nghip I phi lm theo k hoch l x (dng c)
s dng c xớ nghip II phi lm theo k hoch l y (dng c)
K: x, y nguyờn dng
Hai xớ nghip theo k hoch phi lm tng cng 360 dng c, Ta cú pt: x + y = 360 (1)
Thc t, xớ nghip I vt mc 10%, xớ nghip II vt mc 15%,
Vy ta cú phng trỡnh:
360404
100
15
100
10
=+ yx
Hay 2x + 3y = 880 (2)
T (1) v (2) ta cú h phng trỡnh:



=+
=+
88032
360
yx
yx
<=>

=+
=+
88032
72022
yx
yx

<=>



=
=+
160
360
y
yx
<=>



=
=
160
200
y
x
( TMK)
Tr li: S dng c xớ nghip I phi lm theo k hoch l 200 dng c.
S dng c xớ nghip II phi lm theo k hoch l 160 dng c.

ỏp s: 200 v 160 dng c./.
Bài 7: Hai phân xởng của 1 nhà máy theo kế hoạch phải là 540 dụng cụ.Nhng do cải tiến kĩ
thuật phân xởng 1 vợt mức 15% kế hoạch, phân xởng 2 vợt mức 12% kế hoạch của mình,
do đó cả 2 tổ đã làm đợc 612 dụng cụ.Tính số dụng cụ mà mỗi phân xởng đã làm
HD giải: Gọi số dụng cụ phân xởng 1 phải sx theo kế hoạch là x (dụng cụ);Gọi số dụng cụ phân
xởng 2 sx theo kế hoạch là y (dụng cụ);ĐK: x,y nguyên dơng, x, y <540
Theo kế hoạch cả 2 phân xởng sx 540 dụng cụ nên ta có pt x + y = 540(1)
Dựa vào số dụng cụ cả 2 phân xởng đã sx ta có pt
612
100
112
100
115
=+
yx
Giải hệ pt ta đợc x = 240, y = 300 phân xởng 1 đã sx 276 dụng cụ
Phân xởng 2 đã sx 336 dụng cụ.
BI 8 Tỡm mt s cú hai ch s, bit rng tng cỏc ch s l 15, nu i ch hai ch s
cho nhau ta c s mi nh hn s ban u l 27 n v .
GII Gi s cn tỡm l
xy
iu kin:
; : 0 9 : 0 9x y x y < <
do tng cỏc ch s l 15 nờn Ta cú pt : x + y = 15.(1)
i hai ch s cho nhau ta c s :
yx

Ta cú: (10x+y) -(10y+x) =27 <=> 9x-9y = 27 <=> x-y =3 (2)
Ta cú h:
15 2 18 9

3 15 6
x y x x
x y y x y
+ = = =



= = =

(TMK)
Vy: S cn tỡm l 96.
BI 9S hs gii v khỏ hc kỡ I ca trng THCS Trn Quc Ton l 344 em, mi hc
sinh gii c thng 8 quyn v, mi hc sinh khỏ c thng 5 quyn v. Tng s v
phỏt thng l 3199 quyn. Tớnh s hc sinh gii v hc sinh tiờn tin ca trng.
GII
Gi x, y (m) ln lt l hc sinh gii v hc sinh tiờn tin
(K: x, y nguyờn dng v x, y< 433)
Hc sinh gii v HSTT cú 433 em nờn : x + y = 433 (1)
Tng s v phỏt thng l 3119 quyn, nờn ta cú phng trỡnht:
8x + 5y = 3119 (2)
T (1) v (2) ta cú h phng trỡnh.
+ =


+ =

x y 433
8x 5y 3119
Gii h pt ta c:
=

=

x 133
y 211
tho món iu kin
Vy :Hc kỡ I, trng THCS Trn Quc Ton Cú 133 HS gii v 211 hc sinh tiờn tin.
Bài 10. Trên một xe lửa trở khách ngời ta tính rằng. Nếu xếp vào mỗi toa 30 ngời thì còn thừa 6
ngời, nếu xếp mỗi toa 32 ngời thì có thể chở thêm 10 ngời nữa. Hỏi xe lửa có bao nhiêu toa và
có bao nhiêu hành khách đi chuyến xe đó.
GII + Gọi số toa xe lửa là :x (x

N
*
)
+ Gọi số hành khách có trên xe là : y (y

N
*
, y>6)
+ Vì nếu xếp vào mỗi toa 30 ngời thì còn thừa 6 ngời nên ta có phơng trình:
30x=y- 6

30x- y= - 6 (1)
+Nếu xếp mỗi toa 32 ngời thì có thể chở thêm 10 ngời nữa, ta có Ptrình: 32x y =10 (2)
Từ (1)và (2) ta có hệ phơng trình:

=
=
1032
630
yx
yx






=
=
630
162
yx
x





=
=
68.30
8
y
x

=
=
246
8
y
x
(thoả mãn)
Vậy số toa xe lửa là :8 toa.Số hành khách có trên xe là: 246 hành khách.
Bài 11 Tìm hai số biết rằng bốn lần số thứ hai công với năm lần số thứ nhất bằng 18040 và
ba lần số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 2002
giải Gi s th nht l x, s th hai l y. k: 0 < x, y < 18040
+ Do bốn lần số thứ hai công với năm lần số thứ nhất bằng 18040
Nên ta có phơng trình: 5x + 4y = 18040 (1)
+ Do ba lần số thứ nhất hơn hai lần số thứ hai là 2002
Nên ta có phơng trình: 3x - 2y = 2002 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
( )
( )
2004
5 4 18040 5 4 18040 11 22044
3 2 2002 6 4 4004 3 2 2002
2005
x tm
x y x y x
x y x y x y
y tm

=
+ = + = =




= = =
=




Vậy hai số cần tìm là: 2004; 2005
Bài 12 Mt xe ụtụ i t A n B.Nu vn tc tng thờm 20km/h thỡ thi gian i gim 1 gi.
Nu vn tc gim bt 10km/h thỡ thi gian i tng thờm 1 gi. Tớnh vn tc v thi gian i
ca xe ụtụ ú.
GIảI Gọi x (km/h) vận tốc dự định đi của ôtô đi từ A đến B
Gọi y (h) thời gian dự định đi của ôtô từ A đến B
ĐK: x > 10 và y > 1
Vậy quãng đờng AB là x.y (km)
Nếu ôtô giảm vận tốc 10 km/h thì thời gian tăng 1gi, vậy ta có phơng trình:
( 10)( 1)x y xy + =

(1)
Nếu ôtô tăng vận tốc thêm 20 km/h thì thời gian giảm i 1h , vậy ta có phơng trình:
( 20)( 1)x y xy+ =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
( 10)( 1) 10 10 40
( 20)( 1) 20 20 3

x y xy x y x
x y xy x y y
+ = = =



+ = + = =

(thoả mãn)
Vậy vận tốc dự định đi của ôtô là 40 km/h và thời gian dự địnhđi của ôtô là 3giờ
Bi 13: Hai ụ tụ khi hnh cựng mt lỳc t hai tnh A v B cỏch nhau 150 km i ngc
chiu nhau v gp nhau sau 1 gi 30 phỳt. Tớnh vn tc ca mi ụ tụ, bit vn tc ca ụ tụ
i t A ln hn vn tc ca ụ tụ i t B l 20 km/h.
GIảI Gi x (km/h) l vn tc ca ụ tụ i t A (x > 0)
y (km/h) l vn tc ca ụ tụ i t B (y > 0)
Ta có hệ phương trình:
3 3
150
2 2
20
x y
x y

+ =



− =

Giải hƯ pt trªn ta được (x ;y)=(60; 40)

Vậy vận tốc của ơ tơ đi từ A là 60 km/h ; vận tốc của ơ tơ đi từ B là 40 km/h.
BÀI 14. Hai vòi cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 8 giờ đầy bể. Trong một
lần khác, bể cũng không có nước, người ta cùng lúc mở hai vòi kể trên cùng chảy trong
3 giờ; sau đó tắt vòi II và chỉ để riêng vòi thứ I chảy tiếp thêm 15 giờ nữa thì đầy bể.
Hỏi nếu để chảy riêng thì mỗi vòi chảy đầy bể trong bao lâu? (Giả thiết năng suất của
mỗi vòi luôn ổn đònh)
GIẢI Gọi x(giờ) là thời gian để vòi I chảy riêng đầy bể.
Gọi y(giờ) là thời gian để vòi II chảy riêng đầy bể. ( ĐK: x > 18 và y > 8)
* Trong 1 giờ, riêng vòi I chảy được:
( )
1
bể
x
* Trong 1 giờ, riêng vòi II chảy được:
( )
1
bể
y
* Trong 1 giờ, cả hai vòi cùng chảy được:
( )
1
bể
8
* Do tổng của các năng suất riêng luôn bằng năng suất chung, nên cópt:
1 1 1
(1)
x y 8
+ =
* Trong 3 giờ đầu, cả hai vòi cùng chảy được:
( )

3
bể
8
* Trong 15 giờ sau, riêng vòi I chảy được:
( )
15
bể
x
* Theo bài toán thì tổng hai lượng nước kể trên là đầy bể (100% bể), nên có phương trình:

3 15
1 (2)
8 x
+ =

* Căn cứ (1) và (2), ta có hệ pt:
1 1 1
x y 8
3 15
1
8 x

+ =




+ =



( )


= −

=

 
⇔ ⇔ ⇔
  

 
=



1 1 1
1 1
y = 12
y 8 x
tmdk
y 12
x = 24
15 5
x = 24
x 8

* Vậy thời gian để vòi I chảy riêng đầy bể là 24 giờ.
Thời gian để vòi II chảy riêng đầy bể là 12 giờ.
▶ Chú ý. + Điều kiện của ẩn có thể chọn tương đối là: x > 8 và y > 8.

+ Phương trình (2) , học sinh có thể lập luận theo cách khác để được:
18 3
1
x y
+ =
C- Híng dÉn häc ë nhµ :
- Xem kÜ c¸c d¹ng bµi tËp ®· ch÷a
- Lµm thªm bµi tËp 40; 42 ;45; 47 ( SBT trang 10-11)
Ngày dạy 9……………
Buổi 10 (Tiết 28+29+30)
ƠN TẬP VỀ GIẢI B…I TO…N BẰNG C…CH LẬP PHƯƠNG TRÌNH
A- LÝ thut : §Ĩ gi¶i bµi to¸n b»ng c¸ch lËp ph¬ng tr×nh ta cã 3 bíc :
Bíc 1 : -LẬP PHƯƠNG TRÌNH
Chän Èn ; ®Ỉt ®k thÝch hỵp cho Èn
- BiĨu thÞ c¸c ®¹i lỵng liªn quan qua Èn
- LËp PT nhê mèi quan hƯ giưa c¸c ®¹i lỵng
Bớc 2: Giải phơng trình
Bớc 3: Đối chiếu đkiện của bài toán và trả lời
B- Bài tập vận dụng :
Bi 1 Mt mnh t hỡnh ch nht cú din tớch 300 m
2
. Nu tng chiu di thờm 4 m v gim
chiu rng i 1 m thỡ din tớch mnh t tng thờm 36 m
2
. Tớnh kớch thc ca mnh t.
P N
Gi chiu di mnh t l x (m), iu kin
0x
.Khi ú chiu rng ca mnh t l
300

x
(m)
Tng chiu di thờm 4 m thỡ chiu di mi s l
4x +
(m)
Gim chiu rng i 1 m thỡ chiu rng mi l
300
1
x

(m)
Din tớch mnh t mi l
( )
300
4 1x
x

+
ữ


Theo bi ra ta cú phng trỡnh
( )
300
4 1 300 36x
x

+ = +
ữ

Gii phng trỡnh c
20; 60x x= =
(loi). Vy kớch thc mnh t l 20 (m) v 15 (m).
Bi 2 Mt tu thu xuụi dũng mt khỳc sụng di 48 km, ri ngc khỳc sụng y ht tng thi
gian 5 gi. Tớnh võn tc thc ca tu thu ( khi nc yờn lng) bit vn tc ca dũng nc l 4
km/h.
P N Gi vn tc tu thu khi nc yờn lng l x ( km/gi) K:
4x >
Lp lun dn ti phng trỡnh:
48 48
5
4 4x x
+ =
+
( 3 )
Gii phng trỡnh (3) tỡm c
1
20x =
;
2
4
5
x =
Loi
2
4
5
x =
. Vy vn tc tu thu khi nc yờn lng l 20 km/gi.
B i 3 Một xe tải và một xe khách khởi hành đồng thời từ A để đi đến B. Biết vận tốc của xe

khách lớn hơn vận tốc xe tải là 20km/h. Do đó nó đến B trớc xe tải 50 phút. Tính vận tốc ca
mỗi xe, biết quãng đờng AB dài 100 km.
Gii: Gi vn tc xe khỏch l x( km/h) K: x > 0, Vy vn tc xe du lch l x + 20 (km/h)
Thi gian xe khỏch i l:
100
( )h
x
, Thi gian xe du lch i l:
100
( )
20
h
x +
i 50 phỳt =
5
( )
6
h
, Ta cú phng trỡnh:
100 100 5
20 6x x
=
+
Gii phng trỡnh ta c: x
1
= 40 ( TMK) x
2
= - 60 ( Loi)
Tr li: Vn tc xe khỏch l: 40 km/h; Vn tc xe du lch l 60 km/h
Bi 4. Bỡnh v An cựng i xe p n thm mt ngi bn trờn quóng ng di 30 km. Hai

bn khi hnh cựng lỳc, vn tc xe ca Bỡnh ln hn vn tc xe ca An l 3 km/h nờn Bỡnh n
trc 30 phỳt. Tớnh vn tc xe ca mi ngi.
P N. Gi x (km/h) l vn tc xe ca Bỡnh (x > 0)

Thi gian ca Bỡnh:
30
x
Vn tc xe ca An l x 3 (km/h)

Thi gian ca Bỡnh:
30
3x
Theo bi ta cú phng trỡnh :
30 1 30
2 3x x
+ =

.
Gii phng trỡnh ta cú kt qu: x = 15 (km/h)
Vậy vận tốc của Bình là 15 km/h, của An là 12km/h
BÀI 5 Tính các kích thước của một hình chữ nhật có chu vi bằng 120m và diện tích bằng
875m
2
Đáp án Gọi chiều dài của hình chữ nhật là x (m) (x>0)
Vì chu vi của hình chữ nhật là 120m nên chiều rộng là 60- x (m)
Diện tích hình chữ nhật là x.(60-x)= 875 (m
2
)
Vậy ta có phương trình : x.(60-x)= 875 x
2

-60x+875 = 0 ta có Δ’=25 >0
Phương trình có hai nghiệm : X
1
= -25 (loại) X
2
= 35
Vậy chiều dài của hình chữ nhật là 35 m; Chiều rộng của hình chữ nhật là 25
BÀI 6 Một hình chữ nhật có diện tích
2
180m
. Nếu tăng chiều dài
3m
và giảm chiều rộng
2m
thì
diện tích hình chữ nhật không đổi. Tính kích thước của hình chữ nhật.?
Đáp án Gọi chiều dài hình chữ nhật là
( )x m
,
( 0)x >
, khi đó chiều rộng là:
180
( )m
x
Chiều dài của hình chữ nhật sau khi tăng
3m
là:
( 3)( )x m+

Chiều rộng của hình chữ nhật sau khi giảm

2m
là:
180
2 ( )m
x
 
−
 ÷
 
Vì diện tích hình chữ nhật không đổi nên ta có phương trình:

( )
2 2
180 180 2 180
( 3) 2 180 ( 3)
( 3) 180 2 180 2 6 540 0 3 180 0
x x
x x
x x x
x x x x x x x
−
   
+ − = ⇔ + =
 ÷  ÷
   
⇔ + − = ⇔ − − + = ⇔ + + =
Giải phương trình trên ta được
1
15x = −
(loại);

2
12x =
(thõa mãn điều kiện)
Vậy chiều dài hình chữ nhật là:
12m
, chiều rộng hình chữ nhật là:
15m
BÀI 7 .Quảng đường từ A đến B dài 120km . Hai ôtô khởi hành cùng một lúc đi từ A đến
B .Ôtô thứ nhất chạy nhanh hơn ôtô thứ hai 12km/h nên đến nơi sớm hơn Ôtô thứ hai 30
phút. Tính vận tốc mỗi xe.
Đáp án Gọi x km/h là vận tốc của ôtô thưa nhất, điều kiện x > 12
Vận tốc của ôtô thứ hai là x -12 km/h.
Thời gian ôtô thứ nhất đi từ A đến B
120
x
(giờ)
Thời gian ôtô thứ hai đi từ A đến B
120
12x −
(giờ)
Vì ôtô thứ nhất đến nơi sớm hơn ôtô thứ hai 30 phút=
1
2
giờ nên
ta có phương trình
120
12x −
-
120
x

=
1
2
Rút gọn phương trình ta được: x
2
-12x -2880 = 0 Giải ra ta được x
1
= 60 (nhận),x
2
= -48 (loại)
Vậy vận tốc của xe thứ nhất là 60 km/h, vận tốc của xe thứ hai là 60-12 = 48 km/h
BÀI 8 (Bài tập 65: sgk/64)
Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bỉm sơn ( Quảng ngãi). Sau 1giờ, xe lửa thứ khác đi từ Bình Sơn
ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga
ở chính giữa quãng đường.Tìm vận tốc của mỗi xe ,giả thiết quãng đường Hà Nội - Bỉm sơn dài
900km/h.
ĐÁP ÁN (Bài tập 65: sgk/64)
Gọi vận tốc xe lửa thứ nhất là x (km/h; x >0) Khi đó vận tốc của xe thứ hai là x+ 5 (km/h)
Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là
x
450
(giờ)
Thi gian xe la th hai i t Bỡnh Sn n ch gp nhau l
5
450
+x
(gi)
Vỡ xe la th hai i sau 1 gi, ngha l thi gian i n ch gp nhau ớt hn thi gian xe th nht
1 gi. Do ú ta cú PT
1

5
450450
=
+

xx
x
2
+ 5x 2250 = 0
Gii PT ta c x
1
= 45; x
2
= - 50 (khụng TMK)
Vy vn tc ca xe la th nht l 45km/h; xe la th hai l 50km/h.
BI 9 ( thi hc kỡ 2 ca yờn sn nm 2013) (2 im )
Mt ngi d nh i t thnh ph A n thnh ph B bng xe mỏy ,nhng cui cựng li
i bng ụtụ nờn n B sm hn d nh 1 gi. Tớnh vn tc ca xe mỏy?. Bit rng mi gi ụ tụ
i nhanh hn xe mỏy 10 km v quóng ng AB di 200 km,
ỏp ỏn Gi vn tc xe MY l x( km/h) K: x > 0
Vy vn tc xe ễTễ l x + 10 (km/h)
Thi gian xe mỏy i t A n B l:
200
( )h
x
Thi gian xe ụ tụ i t A n B :
200
( )
10
h

x
+
theo bi ra Ta cú phng trỡnh:
2
200 200
1 10 2000 0
10
x x
x x
= + + =
+
Gii phng trỡnh ta c: x
1
= 40 ( TMK) x
2
= - 50 ( Loi)
Tr li: Vn tc xe mỏy l: 40 km/h, Vn tc xe ụtụ l 50 km/h
BI 10 Một ca nô chạy trên một con sông dài 30km. Thời gian ca nô xuôi dòng ngắn hơn
thời gian ngợc dòng là 1 giờ 30 phút. Tìm vận tốc của ca nô, biết rằng sức nơc chảy là 5
km/h.
ỏp ỏn Gọi x (km/h) là vận tốc thực của canô, điều kiện x>5.
Vận tốc xuôi là: x+5 (km/h) ; Thời gian xuôi là:
5
30
+x
(h)
Vận tốc ngợc là: x-5 (km/h) ; Thời gian ngợc:
5
30
x

(h)
Ta có phơng trình
2
1
5
10
5
10
2
3
5
30
5
30
=
+


=
+

xxxx
Suy ra: 20(x+5) 20(x-5) = (x-5)(x+5)

x
2
= 225

15
=

x
loại
Vậy vận tốc thật của canô là 15 km/h.
BI 11 -Mt ca nụ chy xuụi dũng t A n B ri chy ngc dũng t B n A ht tt
c 4 gi. Tớnh vn tc ca nụ khi nc yờn lng, bit rng quóng sụng AB di 30 km v
vn tc dũng nc l 4 km/gi.
Bi gii: Gi vn tc ca ca nụ khi nc yờn lng l x km/gi ( x > 4)
Vn tc ca ca nụ khi xuụi dũng l x +4 (km/gi), khi ngc dũng l x - 4 (km/gi). Thi
gian ca nụ xuụi dũng t A n B l
30
4x +
gi, i ngc dũng
t B n A l
30
4x
gi.
Theo bi ra ta cú phng trỡnh:
30 30
4
4 4x x
+ =
+
(4)
2
(4) 30( 4) 30( 4) 4( 4)( 4) 15 16 0 1x x x x x x x
+ + = + = =
hoc x =
16. Nghim x = -1 <0 nờn b loi
Vy vn tc ca ca nụ khi nc yờn lng l 16km/gi.
Bài 12: Một ô tô đi từ A đến B với vận tốc xác định trong một khoảng thời gian đã định .

Nếu vận tốc ô tô giảm 10 km/h thì thời gian tăng 45phút. Nếu vận tốc tăng 10 km/h thì
thời gian giảm 30 phút. Tính vận tốc và thời gian dự định của ô tô.
Đáp án Đổi 45 phút =
3
4
giờ, 30 phút =
1
2
giờ.
Gọi x (km/h) vận tốc dự định đi của ôtô đi từ A đến B
Gọi y (h) thời gian dự định đi của ôtô từ A đến B
ĐK: x > 10 và y >
1
2
Vậy quãng đờng AB là x.y (km)
Nếu ôtô giảm vận tốc 10 km/h thì thời gian tăng 45 phút =
3
4
h,
vậy ta có phơng trình:
3
( 10)( ) 3 40 30
4
x y xy x y + = =
(1)
Nếu ôtô tăng vận tốc thêm 10 km/h thì thời gian giảm 30 phút =
1
2
h,
vậy ta có phơng trình:

1
( 10)( ) 20 10
2
x y xy x y+ = + =
(2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phơng trình:
3 40 30 50
20 10 3
x y x
x y y
= =



+ = =

(thoả mãn)
Vậy vận tốc dự định đi của ôtô là 50 km/h và thời gian dự địnhđi của ôtô là 3 giờ
Bi 12: Mt phũng hp cú 360 gh ngi v c chia thnh cỏc dóy cú s gh ngi mi dóy
bng nhau. Nu thờm mi dóy 4 gh ngi v bt i 3 dóy thỡ s gh ngi trong phũng khụng
thay i. Hi ban u s gh ngi trong phũng hp c chia thnh bao nhiờu dóy v mi dóy
bao nhiờu gh?
P N Gi x ( dóy) l s dóy gh trong phũng lỳc u (x nguyờn, x > 3)
S dóy gh lỳc sau l x 3 ( dóy)
S gh ngi trờn mi dóy lỳc u:
360
x
(ch)
S gh ngi trờn mi dóy lỳc sau:
360

x - 3
(ch)
Ta cú phng trỡnh:
360 360
- = 4
x - 3 x
Gii ra c x
1
= 18 (tha món); x
2
= - 15 (loi)
Vy trong phũng cú 18 dóy gh v mi dóy cú 20 gh.
Bi 13: Mt mnh t hỡnh ch nht cú din tớch 720m
2
, nu tng chiu di 6m v gim chiu
rng 4m thỡ din tớch ca mnh vn khụng i. Tớnh cỏc kớch thc ca mnh vn ú.
Bi 14: Mt tam giỏc vuụng cú chu vi bng 60cm v cú cnh huyn bng 25cm.Tớnh di cỏc
cnh gúc vuụng.
Bi 15: Mt hỡnh ch nht cú chu vi 50m v cú 3 ln chiu di hn 2 ln chiu rng 15m. Tớnh
din tớch hỡnh ch nht ú.
Bi 16: Hai xe ụ tụ khi hnh cựng mt lỳc ti 2 tnh A v B cỏch nhau 475 km , i ngc chiu
nhau v gp nhau sau 5 gi . Bit vn tc xe ụ tụ xut phỏt ti A nh hn vn tc xe ụ tụ xut
phỏt ti B l 9 km/h . Tớnh vn tc mi xe ?
BI 15. ( thi vo 10 tuyờn quang 2012 ).Theo k hoch, mt nhúm hc sinh phi m 105
cõy ging trong vn m ca nh trng. n bui lao ng cú hai bn b m khụng tham gia