luận văn thạc sĩ toán Điều kiện tối ưu cho bài toán không tối ưu

№
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
■ • ■ •
* ШсМ)
HÀ THỊ THU THỦY
ĐIÈU KIÊN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
KHÔNG LỒI
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC
• • •
HÀ NỘI, 2014
Ш

ítũ
Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
■ * • TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
* CữcM)
HÀ THỊ THU THỦY
ĐIÈU KIÊN TỐI ƯU CHO BÀI TOÁN TỐI ƯU
KHÔNG LỒI
Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
• • •
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Đỗ Văn Lưu
HÀ NỘI, 2014
Btl rftl
LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập và làm luận văn, cùng với sự nỗ lực của bản thân, tôi đã
nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo của phòng sau đại học
trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2 và thầy PGS.TS. Đỗ Văn Lưu. Tôi xin bày tỏ lòng
biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Đỗ văn Lưu, người thầy đã trực tiếp hướng
dẫn, dìu dắt và chỉ bảo, giúp đỡ tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm

ơn phòng sau đại học, trường đại học Sư Phạm Hà Nội 2 cùng toàn thể các thầy cô giáo
và cán bộ trong nhà trường.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường Hữu Nghị 80, tổ toán trường
Hữu Nghị 80 đã tạo điều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học này.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, bạn bè đồng nghiệp và các thành viên trong lớp
cao học K16 - TGT đã luôn quan tâm, động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập
và thực hiện luận văn tốt nghiệp này.
Hà Nội, Ngày 5 tháng 8 năm 20lị
H ọ c v i ê n
Hà Thị Thu Thủy
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công
bố trong bất kỳ công trình nào khác.
Hà Nội, Ngày 5 tháng 8 năm 20lị H ọ c
v i ê n
Hà Thị Thu Thủy
Mục lục
MỞ ĐẦU
Lý do chọn đề tài
Các bài toán tối ưu không lồi không trơn đã và đang thu hút nhiều nhà toán
học quan tâm nghiên cứu. Các lí thuyết dưới vi phân là các công cụ hữu hiệu để
nghiên cứu các điều kiện tối ưu, chẳng hạn dưới vi phân lồi, dưới vi phân Clarke,
dưới vi phân Michel - Penot, dưới vi phân Eréchet, dưới vi phân
Mordukhovich, Các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân và bài toán quy
hoạch toán học dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel - Penot
và dưới vi phân Eréchet đã được W. Schirotzek trình bày trong cuốn sách chuyên
khảo “ Nonsmooth Analysis” (2006). Đây là đề tài đã thu hút nhiều tác giả trong
và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. Vì thế, tôi chọn đề tài luận văn : “Điều kiện
tối ưu cho bài toán tối ưu không lồi”.

Mục đích nghiên cứu
• Đọc và dịch tài liệu trong cuốn sách “Nonsmooth Analysis” (2006) của
W.Schirotzek.
• Tham khảo các tài liệu có liên quan.
• Phân tích, tổng hợp làm rõ các điều kiện tối ưu cho bài toán tối ưu không
lồi.
Nhiệm vụ nghiên cứu
• Các điều kiện tối ưu cơ bản.
• Điều kiện tối ưu cho bài toán điểm mút cuối cố định của phép tính biến
phân.
5
• Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học.
Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Luận văn trình bày các điều kiện cần tối ưu cho bài toán biến phân và bài
toán quy hoạch toán học dưới ngôn ngữ dưới vi phân Clarke, dưới vi phân
Michel- Penot và dưới vi phân Préchet được w. Schirotzek trình bày trong cuốn
sách chuyên khảo “ Nonsmooth Analysis” (2006).
Những đóng góp mới của đề tài
Tác giả mong muốn có cách nhìn tổng quát hơn về điều kiện tối ưu cho các
bài toán tối ưu không lồi và hoàn chỉnh bản luận văn của mình.
Phương pháp nghiên cứu
Đọc và nghiên cứu tài liệu để phân tích, tổng hợp các nội dung của đề tài
luận văn.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Chương 1 trình bày một số kiến thức cơ bản về các dưới vi phân Clarke,
Michel - Penot, Préchet và các điều kiện tối ưu cơ bản. Các kiến thức trình bày
trong chương này được tham khảo trong các tài liệu [1] - [ 5 ] .
6
1.1. Dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Michel - Penot và

dưới vi phân Eréchet
1.1.1. Dưới vi phân Clarke
Giả sử E là không gian Banach thực, D

c E

là mở, X

€ D

và F :D->R.
Định nghĩa 1.1.
Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương t ạ i x GD n ế u t ồ n t ạ i l ă n cận
u c ủ a X v à s ố À > 0 s a o c h o
I f ( x ) - f (x')\ < X \ \ x - x'\\ ( V a : , x' e u) ( 1 . 1 )
Hàm f được gọi là Lipschitz địa phương trên D nếu f
Lipschitz địa
phương tại mọi X £ D. Hàm f được gọi là Lipschitz với hằng số X trên D
nếu ( 1 . 1 ) đúng với mọi x,x' e D.
Định nghĩa 1.2.
Nếu y G E thì
f ° { x , y ) : = l i m s u p — ( / ( x + T y ) - f ( x ) ) ( 1. 2)
rịo T
được gọi là đạo hàm Clarke của f tại X theo phương y.
Định lý 1.1.
Cho f là hàm Lipschitz địa phương tại X vói hằng số \ > 0 . Khi đó,
a ) f ° (x , . ) là dưới cộng tính, thuần nhất dương và Lipschitz
với hằng số
X trên E và thỏa mãn:
/°(*,y) < A||y|| (Vị/ 6 E)

(1.3)
b) Với bất kì y £ E, ta có: f ° ( x , — y ) = ( — f )° ( x , y ) .
Chứng minh.
7
a) Cho Y

€ E

cố định, từ giả thiết ta có:
- ự ( x + Ty ) - f ( x ) ) < - X ị ị r y ị ị = A|Ịy|Ị
T T
với ||a: — ^11 và T > 0 đủ nhỏ. Do đó F°(X, Y

) < A||y||.
b) Ta có:
f ° { x , - ỳ ) = l i m s u p — [ / ( x - T y ) - f ( x ) ]
TịO T
= limsup - [ { - f ) {x + r y ) - (-/)(x)] = { - f ) ° ( x
:
y )
:
TịO
trong đó X = X — T y
□
Định nghĩa 1.3.
Nếu f là hàm Lipschitz địa phương tại X thì
d o f ( x ) : = {x * £ E * \ { x * , y ) < f°( x , y ) V y € E } được gọi là dưới vi
phẫn Clarke hoặc gradient suy rộng Clarke của f tại
X .

Mệnh đề 1.1. [1]
Nếu f là hàm Lipschitz địa phương t ạ ỉ x v à X G K . K h i đ ó ,
ô o ( A f ) (x) = X d o f ( x ).
Mệnh đề 1.2.
Nếu f là hàm Lipschitz địa phương tại X và X là một cực tiểu địa phương
hoặc một cực đại địa phương của Ị, thì 0 £ d o f ( x ) .
Chứng minh.
Do ỡ(—/) = — D(F).

Vì thế ta chỉ cần chứng minh cho cực tiểu là đủ. Giả sử X

là
cực tiểu địa phương của /, với bất kì Y

G E

ta có:
0 < l im inf — ự ( x + T y ) — /( x)) < limsup-(f(x + Tĩ/)-f( x)) < f ° { x , y ) rịo T rịo T
8
Suy ra 0 G DOF(X).

□
Mệnh đề 1.3.
Cho f là hàm Lipschitz địa phương tại X với hằng số A > 0 . Khi đó,
a) Dưới vi phân d o f ( x ) là khác rỗng, lồi, compact yếu* và
d o f { x ) C B
E
.{0, A), trong đó BE*{0, A) là hình cầu đóng tâm 0, bán kính A
trong E*.
Ь) Та có:

f ° ( x, у ) = m a x { ( x * , у)\х* G d
0
f ( x ) } (Чу G E ).
Chứng minh.
Ta có: G(Y

) = F°(X,Y

) là một hàm lồi, thuần nhất dương và Lipschitz trên D

nên
D

0
F(X)

= DG(0) = {X*

e E*

I(X*,Y) <

F°(X,Y)WY

G E}

khác
rỗng, lồi, compact yếu * và do mệnh đề 4.1.6 [4] ta có
F°{X,Y)

= G{Y) = G'(0,Y

) = max |(ж*,у)|ж* G D

0
F{X

)I (Ví/ e E)

Mặt khác với mọi X*

G DOF(X

) ta có
( x * , y ) < f° ( x , y ) < \\\y\\ (Ví/ G E) nên d
0
f(x) Ç
B
E
*{0,A). □
Mệnh đề 1.4.
Nếu f : E — > • M là Lipschitz địa phương trên E. Khi đó:
a) Hàm ( x,y) I - » f ° ( x , y ) ỉà nửa ỉỉên tục trên trên E X E.
b) Cho ( Xỵ) và ( x*
k
) / ồ dãy tương ứng trong E và E*, sao cho x*
k
G
9
ỡo/ы, VA: G N.

Giả sử rằng ( X k ) hội tụ đến X £ E khi к — > • o o và X* G E* là một
điểm tụ yếu* của ( x*
k
) . Khi đó X* G д о f ( x ) (Đồ thị của (do/ ) là một
tập con đóng yếu* của E X E*).
c) Ánh xạ dưới vi phân dof : E E* là nứa liên tục trên yếu*.
Chứng minh.
1
0
a) Lấy (XỴ

) và (Y

k
) là các dãy hội tụ về X e E

và Y G

E

tương ứng.
r
k
+ M\ yk- ỹ \\ -
Trong số hạng cuối л > 0 là hằng số Lipschitz của / tại X . Khi К

—> 00, từ
định nghĩa của giới hạn trên ta có limsup F°(X]

C

,YK)

< F°{Ẽ,Ỹ)-
Do đó, /° là nửa liên tục trên tại (X,Y).
b) Cho У

e E.

Dãy con của ((X*

K

,Y

)) cũng kí hiệu là ((x£,2/)) thỏa mãn
(
x
k>y) ->

У

} khi К

oo. Từ định nghĩa của ỡo/ ta có:
{x*
k
,y) < f ° ( x
k
, y ) , V f c .

Cho К

—>

oo từ kết quả (a) ta có (X*,Y

) < F°(X,Y).
Do Y

G E

là bất kì, nên X * G D

0
F(X).
c) Ta có từ (b) ỡo/ là ánh xạ đóng. Từ mệnh đề 1.3 suy ra ỡo/ bị chặn địa
phương tại mọi X £ E.

Từ mệnh đề 4.3.2 [4] ta suy ra D

0

F

là nửa liên tục
trên yếu*.
□
Định lý 1.2. [3]
Nếu f : M " —> M là Lipschitz địa phương tại X và s с ш
п

và có độ
đo Legesgue n - chiều bằng 0 thì
d o f ( x ) = co{ l i m f { x
k
) \ x
k
- » ■ x ,x
k
ị Q f и S},
trong đó co chỉ bao lồi.
1
1
Từ định nghĩa của /°, với mỗi к tồn tại Zk Ễ E và T fc > 0 sao cho 1
- - -^
+
r
k
<
f { z

k

+ r

k

ỹ ) - f ( z

k

)
1.1.2. Dtfdi vi phân Michel- Penot
Dinh nghïa 1.4.
Cho E là không gian Banach thuc, D Ç E là mô, x G D và f : D —ï №
_ l _ _
N é u y & E t h ï f ° ( x , y) \= sup\imsup—( f(x + r y + r z ) — f ( x + r z ))
dilôc
z e E t|0
T
goi là âao hàm Michel-Penot cüa f theo phUdng y tai x.
Dinh lÿ 1.3.
Cho f là Lipschitz âia phucfng tai x vâi hang so A > 0 . Khi dô,
a ) / ° ( x , . ) là duôi tuyén tinh và Lipschitz vâi hang so A trên E và
7H{X,V) <

Hz,.) < A||y|| (Vy e E),

(1.4)
trong dô f
H
( x , y ) = limsup ~ ( f { x + T Z ) - f ( x ) )
r ,|,0 T z—ïy
b ) V â i b â t kï y G E t a c ô : /
ô
(âf, —y ) = ( — f y ( x , y ).
Chûng minh.
a) Ta cô F°(X

:

Y

) < X\\Y\\

(do dinh lÿ 1.1). Ta chûng minh
< f ° ( x , y ) y y e E
Cho Y G E CO

dinh, cho E >

0. Vâi môi 2 G E

thî ton tai S(Z) >

0 sao cho:
~{f{x + ry + TZ) - f(x + T Z )) < f°(x, y ) + e (Vr G (0,
<ÿ(z)))
T
( x : = x + T Z )
Dieu này kéo theo
l i m s u p ~( f( x + T y + T Z ) — f ( x + T Z ) ) < f ° ( x , y ) + e
r ,|,0 T
với Z

€ E.
1
2
V ậ y f ° ( x, y) < f ° ( x , y ) + e.
Khi E

ị 0 thì /°(ж, У) <

F°(X,

У), УУ

€ Е.
Cho У Е Е

CỐ

định, cho £ >

о, với mọi т > 0 đủ nhỏ và z € E

sao cho \\y —
z|| đủ nhỏ, ta có,
-ự{x + TZ) - f{x)) = -ự{x + ry + T{Z - y)) - f(x + T{Z - y))) r r
+ ỉ(/(z + г(г - у ) ) - f ( x )) т
< -(/(æ + ri/ + r(2-y)) - /(ж + T(Z



- У))) +

X\\Z

- У\\
< Г { х , у ) + е + Л||г - у \ \ .
Cho т ị о, 2: У

và sau đó £ ị 0 thì bất đẳng thức thứ nhất được
chứng minh.
Vậy (a) được chứng minh,
b) Với bất kì г G E

ta có:
lim sup — [ f ( x — T y + T Z ) — f ( x + T Z )]
rịo Т
= lim sup[(-f)(x + ту + T(Z - у)) - + T(Z -у))]
rị О
Lấy cận trên đúng theo z và z - у tương ứng, suy ra /°(ж, —Y) =

У

).
□
Ví dụ 1.1.
CHO E

:= M, F(X

) := |ж| — I sin X\ VÀ

X

:= 7Г. KHI ĐÓ, TA CÓ
{2Y

, пей У

<

О,
0, nếu у > О ,
0, NẾU Y

< 0,
f * { n , v ) = ỉ ° { n , v ) = ị
Ị 2y, nếu y > 0,
Ta thấy rằng trong ba đạo hàm theo phương, hàm F

H

(

7T,.) là không
lồi.
1
3
Định nghĩa 1.5.
Nếu f l à hàm Lipschitz địa phương tại X thì
ỡ o f ( x ) : = { x * G E * \ { x * , y ) < f
0
( x , y ) \/y
£ E } được gọi là dưới vi phẫn Michel - Penot của f tại X .
Mệnh đề 1.5.
Nếu f là hàm Lipschitz địa phương tại X và À G R , ta có
d
0

( X f ) ( x ) = X d
ộ
f ( x ) .
Chứng minh.
Nếu A > 0 ta có công thức sau: (AFỴ(X

,.) = AF

Ợ

(X

,.).
Suy ra a
0
(AF)(X) =

Aỡo/(x).
Với À < 0 ta chỉ cần chứng minh cho À = — 1 là đủ.
Với À = — 1. Ta có:
ô
o ( - / ) ( ã ) = { x * e E * \ {x*, y ) < { - f Ỵ ( x ,y)' i y < E E}
= { í E * e E*\(x*, —z) < /
ộ
( X , z ) V z G E } = — d o f (x)
Đặt 2 := —Y.

□
Mệnh đề 1.6.
Nếu f ỉà Lỉpschỉtz địa phương tại X và X là cực tiểu địa phương hoặc

cực đại địa phương của f thì O e d
ộ
f ( x ) .
Chứng minh.
Do D(—F)

= —DF

vì thế ta chỉ cần chứng minh cho cực tiểu là đủ.
Giả sử X là cực tiểu địa phương của /, thì với bất kì Y

€E E

ta có:
0 < sup lim inf — ự ( x + т у + T Z ) — f ( x + T Z ))
z e
E
T
i° T
< sup lim sup —(F(X

+ ТУ

+

TZ)

— F(X

+ TZ

)) = /°(ж, У)
Z Ç E rịo
Т
1
4
Suy ra 0 G DOF(X).

□
Nhắc lại:
Hàm / được gọi là khả vi Gâteaux tại X

£ E

nếu tồn tại л e E*
(không
gian liên hợp tôpô của E) sao cho với mỗi V G E,
f ( x + t v ) = f ( x ) + t A v + o(t).
Ta gọi Л là đạo hàm Gâteaux của / tại X và kí hiệu là f'
G
{x).
Hàm / được gọi là khả vi Hadamard tại X

£ E

nếu tồn tại Л £ E*

sao cho với mỗi
V G E,
f(x + tv) = f(x) + t A v + o ( t )

và
ị
Sự hội tụ này là đồng đều theo V

trên các tập compact. Ta gọi Л là đạo
hàm Hadamard của / tại X và kí hiệu là
Mệnh đề 1.7.
Cho f là hàm Lipschitz địa phương tại X với hằng số Л > 0 . Khi đó,
a) Dưới vi phân d o f i x ) là khác rỗng, lồi và compact yếu* thỏa mãn:
ôof ( x ) С д о f ( x ) С В
Е
,(о, Л).
Ь) Та có:
Г{Х,У)

= тах{(ж*,;г/)|ж* G DOF(X)} {VY

G E)
Chứng minh.
Mệnh đề được chứng minh tương tự mệnh đề 1.3. □
1
5
Mệnh đề 1.8. [4]
a) Nếu f c { x , . ) tồn tại và là dưới tuyến tính trên E thì f
ữ
( x , y ) : =
f c { x , y ) với mỗi y G E . Dặc biệt nếu f là khả vi Gâteaux tại X thì
ỡ o / ( x ) = { f
r
G

{ x ) } , trong đó f'
G
(x) là đạo hàm Gâteaux của f tại X
và
T Л _ i:_ +
Т
У ) - /(®)
JG

[X,

Y)

= lim —
rịo T
(G - đạo hàm theo phương của f tại X theo phương у)
b) Nếu D lồi, f lồi và Lipschitz địa phương tại X thì f
ợ
( x , у ) = / я ( х ,
у ) v ớ i mỗi y G E v à ô
0
/ ( x ) = df( x ) , trong đó
1н { х , у ) = l i m ~[f( x + r z ) - f(x ) ]
rịO,z^y т
(H - đạo hàm theo phương).
Mệnh đề 3.2.4 [4] chỉ ra rằng:
a) / khả vi Gâteaux tại X

khi và chỉ khi tồn tại /g (X)

E E*

sao cho
Ĩ G { ^ ) V = Ỉ G { Ẽ , y) ( V y e E).
b) / khả vi Hadamard tại X

khi và chỉ khi tồn tại F

H

(X)

E E*

sao cho
/я(®)г/ = Ỉ H { X , V ) (Vị/ E E ) .
Ví dụ 1.2.
Cho E

:= M và
Ỉx
2
sin — , nếu x ^ O ,
0, nếu X = 0
Khi đó / là Lipschitz địa phương và khả vi tại 0, với /# (0) = 0. Ta có /°(0, Y) =

0
với mỗi Y

e R và ôo/(0) = {0}.

1
6
Ngoài ra ta có /°(0, y) = \Y\

với mỗi Ỉ / G l và ỡo/(0) = [—1,1]
1.1.3. Dưới vi phân Eréchet Định nghĩa 1.6.
Giả sử rằng E là không gian Danach, f : E M là hàm chính thường và
nửa liên tục dưới v à x E d o m f .
a) Hàm f được gọi là khả dưới vi phẫn Frechet (F - dưới khả vi ) tại X
nếu tồn tại F - dưới đạo hàm của f tại X, X* G E* thỏa mẫn
f(x + y) — fix) — (x*,y)
lim inf —
J

,, ,7^-LĨL

> 0.
ỹ^o \\y\\
b) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân nhớt (viscosity subdifferentiable)
tại X nếu tồn tại dưới đạo hàm nhớt của f tại X, X* € E* và hàm
thuộc lớp c
l
ỉà g : E —>• M thỏa mẫn g'(x) = X* và f — g đạt cực
tiểu địa phương tại X.
Đặc biệt: g ( x ) = ( x * , X — x ) — ơ\\x — x\\
2
với hằng số dương ơ thì X*
được g ọ i l à d ư ớ i g r a d i e n t g ầ n k ề c ủ a f t ạ i X .
Tập:
dpfịx) = tập tất cả F - dưới đạo hàm của Ị tại X dv fix) = tập tất cả

dưới đạo hàm nhớt của f tại X
dp f i x ) = tập tất cả dưới gradient gần kề của f tại X
được gọi tương ứng là dưới vi phẫn Fréchet (F - dưới vi phẫn), dưới vi
phẫn nhớt và dưới vi phăn gần kề.
Mệnh đề 1.9. [4]
Giả sử E là không gian Banach, f : E —ì M là chính thường, nửa liên tục
dưới v à x E d o m f . K h i đ ó : d v f { x ) ç d p f i x ) .
Mệnh đề 1.10. [4]
Nếu hàm f : E — > M là chính thường, nửa liên tục dưới đạt cực tiểu địa
phương tại X, thì 0 G d
v
f { x ) v à do đ ó 0 G d
F
f ( x ) .
1
7
Định nghĩa 1.7.
Không gian Banach E được gọi là trơn Fréchet nếu nó nhận một chuẩn
tương đương mà khả vi Fréchet trên E \ { 0 } .
Định lý 1.4. [4]
Cho E là một không gian Banach trơn Fréchet, hàm f : E —> M là chính
thường, nửa liên tục dưới v à x E d o m f . K h i đó d y f ( x ) = d
F
f ( x ) .
Mệnh đề 1.11.
Cho E là một không gian Banach trơn Fréchet, hàm f : E M. là chính
thường, nửa liên tục dưới.
a) Nếu G - đạo hàm theo phương f ũ { x , . ) của f tại X G domf tồn tại trên
E, thì
Vx* G d

F
f ( x ) : {x\y ) < f
G
{ x , y ) , Vy e E .
Nếu f là khả vi Gâteaux tại X £ domf thì d p f ( x ) Ç {f'
G
{ x ) } .
b ) N ế u f G С
1
( и ) , и С Е là khác rỗng và mở. Khi đó,
d
F
f ( x ) = { f ' ( x ) } , \ / x G u .
c) Nếu f € E c
2
( u ) , и ç E là khác rỗng và mở. Khi đó,
d p f ( x ) = d
F
f { x ) = { f { x ) } , \ / x G u .
d) Nếu f là lồi thì d p f ( x ) = dp f { x ) = d f ( x ) , V x G d o m f , trong đó
d f ( x ) là dưới vi phân hàm f lồi tại X
d f { x ) = { x * G E * : ( x \ y - X ) < f( y ) - f ( x ) , V y G E }
e) Nếu f là Lipschitz địa phương trên E, thì d p f { x ) Ç dof ( x ) , Ух G
E . Chứng minh.
1
8
a) Cho X* £

DPFIX).

Khi đó tồn tại C

1

-

hàm G

số £


0 sao cho
G'(X)

= X*

và với mỗi X

G В(Х,

E),

ta có:
(/ - g ) { x ) > (/ - g ) ( x ) , Va: G B ( x , e ) .
C h o y G E. K h i đ ó , v ớ i m ỗ i г > 0 đ ủ n h ỏ t a c ó X + т у G
в ( х , г ). Vậ y ~ ( f ( x + т у ) - f ( x ) ) > ~ ( д (х + т у ) - д ( х ) ) .
C h o r ị O s u y га f
G
{ x , y ) > { g '(x ) , y ) = { x *,y).
Nếu / là khả vi Gâteaux tại X

thì bất đẳng thức sau cùng trở thành f ' ( x ) = X * .
b) Hiển nhiên F'(X

) G D

F

F(X),

Vz G И.

Kết hợp với (a) ta suy ra d
F
f ( x ) =
{ f ' ( x ) } , Vx e u .
c) Do Ĩ'{X)

G DPF(X

) và DPF(X

) Ç DPF{X).

Kết hợp với (a) ta có khẳng định
(c) đúng.
1
9
d) Ta có DF(X

) c DPF(X

) c DPF{X),

Va: e DOMF.
C h o X * G d
F
f ( x ) .
Như trong chứng minh (a) cho G

và £

sao cho G'(X

) = X*

và với mỗi X

e
-B(x,È)

ta có: (/ — g)(x) > (/ — g)(x), Vx e -B(x,e).
Cho X € E.

Nếu T € (0,1) đủ nhỏ, thì (1 — r)x + raẼ -SỘẼ, e) và sử dụng
tính lồi của / ta có:
(l-T)/(®) + Tf(®) > /((l-r)x + ra:) > /(a:) + ^((l — r ) x + rx) — y(x)
g ( x + T ( X - x ) ) - g ( x )
S u y r a : f(x ) - f ( x ) >
T

Cho T ị 0 ta thấy rằng F(X

) — /(a;) > a; — X) = (X*,X

— x).
Do £ G E

là tùy ý, ta suy ra X * £ DF(X).
□
1.2. Các điều kiện tối ưu cơ bản
Cho / : -E —»• R là hàm chính thường, Ẩ C E v à ĩ Ễ i 4 n DOMF.

Ta kí
hiệu
Tập hợp:
T

R

(A

, X

) := {Y

e E \ 3 T k ị 0, \/K

G N : £ + Tfc2/ G Ả

}

là một nón.
Mệnh đề 1.12. [4]
Cho X là cực tiểu địa phương của f trên A.
2
0
f { x + T y ) - f ( x )
Ỉ G (
X
Ì y ) ■ = limsup
rịo
(G - đạo hàm theo phương trên)
r
f { x + T y ) - f ( x )
F H

{
X
1 Y )


:
= limsup
rịo
z - ỳ y
(H - đạo hàm theo phương trên)
T
a) Ta có f c {
x
, y ) > 0 với m ọ i y e T
r

( A , x ) v à f
H
( x , y ) > 0 vớ i
m ọ i y e T { A, X )
b) Nếu f là khả vi Găteaux tại X thì ( / ß ( z ) , y) > 0 với mọi y E T
r
( A , x ) .
c ) N ế u f l à k h ả v i Hadamard tại X t h ì ( / ' ( x ) , y ) > 0 v ớ i
m ọ i y e T (A, x ) , trong đó T ( A , X ) là nón tiếp liên của A tại x:
T(A,X) = {y e E : 3r
k
ị 0 , 3y
k
y, Mk e N , X + T
k
y
k
e A}.
Mệnh đề 1.13.
Cho f là hàm Lipschitz địa phương với hằng số Lipschitz X trên một tập
mở u chứa A. Nếu X là một cực tiểu của f trên A, thì V A > A
;
X là
một cực tiểu của f + A d,A trên u (vì là một cực tiểu của f + A d,A
trên E).
Chứng minh.
Từ giả thiết ta có:
f ( z ) - X \ \ y - z \ \ < f ( y ) < f ( z ) + x \ \ y - z \ \ , V y , z e u , f ( x ) < f ( y ) , V y £
A .
Lấy Z&U

và £

> 0. Khi đó tồn tại Y € A

sao cho \\Y

— z|| < ( Ỉ A {Z ) + £.
S u y r a : f(x ) + X d
A
( x ) = f(x ) < f ( y ) < f ( z ) + Ằ \ \ y - z \ \ < f ( z ) +
X d j ị 4 " A £ .
Cho £

ị 0 ta suy ra điều phải chứng minh. □
Nhắc lại:
Nón tiếp tuyến Clarke của tập A tại X £ A

là tập
T
C
{ A , X ) : = {y e E\\/x
k
- ^ x , x
k
e A , V r
f e
ị 0 , 3y
k
y M k \ X

k
+T
k
y
k
e A }
Nón pháp tuyến Clarke của A tại X là tập
N
C
{ A , X ) = T
c
( A , x ) ° : = {x * G E * \ ( x * , v ) < 0 Vv e T
c
{ A , x ) }
Mệnh đề 1.14.
Cho f là một hàm Lipschitz địa phương trên một tập mở chứa Ả. Giả sửx là
một cực tiểu địa phương trên A. Khi đó,
f ° ( x, y ) > 0 , V y G T
c
{ A , x ) ,
v à
0 G d
ữ
f ( x ) + N
c
{ A , x ) .
Chứng minh.
(I) Cho 77 > 0 sao cho X là cực tiểu của / trên A

V

:=

А

п B(X,

77). Khi đó
0 < ( / + X d
A
J ° ( x , y ) < + Xd°
Atì
My e E, ( 1 . 5 )
Theo mệnh đề 1.13 và định nghĩa đạo hàm theo phương Clarke.
Bởi vì T

C

(A

:

X

) = {Y

G E \D°

A

(X

:

Y)

= 0} cho nên F°(X

:

Y

) > 0 Ví/ e TC(A

V

, X).
T a l ạ i c ó Tç ( A
v
, x ) = T c ( A, x ) .
V ậ y f ° { x, у ) > 0 V y eTciAr,,^).
(II)Từ (1.5) ta có 0 e d o ( f + X ẩ A )(ж).
Do N c ( A , x ) = с1*(Ш
+
8
0
с1а(х)) và ta suy ra
0 G ỡ o f (x) + N c i A ^ . x )
Vì N c i A ^ j x ) = N
C

{ A , X ) cho nên 0 £ d
0
f ( x ) + N
C
( A , X ) □
Chương 2
Điều kiện tối líu cho bài toán điểm mút cuối cố
định của phép tính biến phân
Chương 2 trình bày các điều kiện tối ưu cho bài toán điểm mút cuối cố định
của phép tính biến phân cho các trường hợp trơn và không trơn. Các kiến thức trình
bày trong chương này được tham khảo trong
[4].
2.1. Phát biểu bài toán
Gọi £
p
[a, B](P

e [1, +oo)) là không gian véctơ của các hàm đo được Lebesgue
G

: [a, 6] —»• M sao cho \G\

P

khả tích Lebesgue trên [a, 6]; L°°

[a, 6] là không gian
véctơ các hàm đo được Lebesgue G :

[a, 6] —> M sao cho esssup |y(a:)| < +oo Kí

hiệu AC°°[A, B](A < B

) là không gian véctơ các
xe [0,6]
hàm tuyệt đối liên tục X :

[a, 6] —»• M sao cho X e JCI°°[A,B].

Chú ý rằng AC°°

[a,
6] (a < B

) là một không gian Banach với chuẩn
||x||i
í00
= maxdl^lloo, ||x||oo}-
Xét bài toán điểm mút cuối cố định của phép tính biến phân:
Minf(x):= ị <f(t,x(t),x(t))dt,x e A, (2-1)
J a
ỗ đây A = {ж e E \ x ( a ) = a ;x(b ) = ß },E = AC°°[a, b]
Chú ý rằng E là 1 không gian Banach với chuẩn ||x||i 00.
Kết quả sau đây tương tự đúng cho các hàm tuyệt đối liên tục trên [a, 0] với giá trị
trong M
n
.
2.2. Trường hợp trơn
Nhắc lại một kết quả cổ điển khi ta giả thiết:
(A) Hàm có giá trị thực (í, X , V

) !-»■ íp(t, X , V

) là liên tục trên Ị a , ỉ )]xM x K và có
đạo hàm riêng cấp 1 liên tục theo X và v \ cho a , b , a , ß là các số thực và A

<

b .
Nếu X G E

ta đặt:
ĩp{t) = (p{t,x{t),x(t)),t e [a,b].
Hàm / là khả vi Gâteaux (thậm chí khả vi liên tục) tại mỗi X G E

và
(/ớ(^)
5
y) = / (ф х ( * ) ' У { *) + Vv V ( t ) )
d t
> y
e
E
-
J a
Ta có:
T ( A , X ) = T
r
( A , x ) = {ĩỄ E \ x ( a ) = x ( b ) = 0} =: E
0
(2.2)

Giả sử rằng X G A

là cực tiểu địa phương của / trên A.

Từ mệnh đề 1.12 ta có:
í ( < P x { t )- v( t ) + <p
v
(t).ỷ(t))dt = 0, V ị / € E
ữ
. ( 2 . 3 )
Chú ý rằng ta có đẳng thức này do E

Ữ

là một không gian con tuyến tính của E.
Cho Q(T

) = / ĨP

X

(S)DS

:

T

G [a, 6]. Khi đó q là tuyệt đối liên tục và
J a
Q(T

) = Ụ>

X

{T

), với hầu hết T

€ [a, &] (2.4)
Lấy tích phân số hạng đầu của vế trái công thức (2.3), ta nhận được:
[ ỢPv{t) - Q ( t ) ) . ỷ ( t ) d t = 0 , V ỉ / € E
0
. ( 2 . 5 )
J a
Bây giờ ta sử dụng bổ đề cơ bản sau đây của tính toán biến phân Bổ đề 2.1. (DU
BOỈS - REYMOND)
Giả sử g,h e ^ [ a , & ] và Ị ( h(t).y(t) + g ( t ). ỳ ( t ) ) d t = 0 , y & E
ữ
.Khi đó
J a
hàm g là tuyệt đối liên tục và thỏa mãn g(t) = h(t) với hầu hết t £ [a, &].
Áp dụng bổ đề 2.1 với H

= 0 cho (2.5) ta có kết quả sau:
Mệnh đề 2.1.
Giả sử giả thiết (A) thỏa mãn. Nếu X là một nghiệm địa phương của
(2.1) , thì tồn tại hàm tuyệt đối liên tục p : [ a , b ] M sao cho:
0
=

)) ^
e
[
a
’k]- (2-6)
Bỏ đi hàm p, ta thấy rằng với giả thiết của mệnh đề 2.1 hàm 11—^ Ỹ>

V

{T)

là
tuyệt đối liên tục trên [o, B]

và thỏa mãn
d ị ỹ v t t ) = V x i t )
với hầu hết
t e [ a , &]. (2.7)
Đây là phương trình Euler Lagrange cho bài toán (2.1) .
2.3. Trường hợp không trơn
Mục đích bây giờ là làm yếu đi tính khả vi yếu của giả thiết ( A). Ký hiệu L\

là Ơ -
đại số của tất cả tập con đo được Lebesgue của [a, &];
B

N

là Ơ

- đại số tất cả tập con Borel của R " , và £1 X B

N

là Ơ

- đại số tích tương ứng.
Cho X G M

ta giả thiết:
(^4) Hàm IP

: [a, B]

X M X R —»• M u {+00} là L\

X B

2
- đo được. Tồn tại £ >

0 và
một hàm dương G

€ c
l
[ a , b ] sao cho với hầu hết í Ễ [a, &], hàm (X, V

) I—^ IP{T

,
X , V

) là giá trị thực và Lipschitz trên ^ãr(í), X(TỶJ +

với hằng số Lipschitz G(T).
Ta thiết lập một tổng quát hóa của mệnh đề 2.1.
Định lý 2.1.