Nghiên cứu tính chất nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim cương khi có khuyết tật bằng phương pháp thống kê mômen

NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG
CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG KHI CÓ
KHUYẾT TẬT BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN
Phạm Thị Minh Hạnh
1

Nguyễn Thị Thuỳ
2

ằng phương pháp thống kê mômen, chúng tôi đã xây dựng được các
biểu thức giải tích xác định các đại lượng nhiệt động của bán dẫn có cấu
trúc kim cương khi kể đến đóng góp phi điều hoà của dao động mạng. Từ đó
áp dụng tính số cho Si trong trường hợp lý tưởng và trường hợp khuyết tật.
Các kết quả đã được so sánh với thực nghiệm.

1. ĐẶT VẤN ĐỀ
Các tính chất nhiệt động của bán dẫn nói chung và Si nói riêng đã thu hút được sự
quan tâm của nhiều nhà khoa học. Trong những năm gần đây, các tính chất dao động của
bán dẫn nhóm IIIV đã được nghiên cứu bằng lý thuyết hàm mật độ [1] và bằng mô hình
liên kết chặt [5]. Sử dụng thế kinh nghiệm và phương pháp động lực học, S. M.
Nakhmanson và D. A. Drabold đã tính được các tính chất dao động và nhiệt dung riêng
đẳng tích của Si [7].
Bằng phương pháp thống kê mômen trong cơ học thống kê lượng tử, chúng tôi đã
tính được các tính chất nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc ZnS
trường hợp lý tưởng có tính đến ảnh hưởng phi điều hoà của dao động mạng [4]. Trong
bài báo này, chúng tôi tiếp tục phát triển phương pháp mômen để nghiên cứu tính chất
nhiệt động của bán dẫn có cấu trúc kim cương khi có khuyết tật. Áp dụng tính số cho Si.
2. NỘI DUNG
2.1. Các tính chất nhiệt động đối với bán dẫn có cấu trúc kim cương
2.1.1. Độ dời của hạt khỏi vị trí cân bằng
Xét tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương, ngoài tương tác cặp là chủ yếu, người ta còn

phải kể đến đóng góp của tương tác 3 hạt. Do vậy khi sử dụng phương pháp quả cầu phối vị,
thế năng tương tác có dạng [4]:

1
TS, Trường ĐHSP Hà Nôi 2
2
Học viên Cao học, K15, Trường ĐHSP Hà Nội 2
B

i ij ijk
i i,j i,j,k
11
E E W
26
   
  

(1)

i ij ijk
j j,k
11
EW
26
  

(2)
Trong đó E
i
là thế năng tương tác của hạt thứ i,

ij

là thế năng tương tác giữa các hạt thứ
i và hạt j, W
ijk
là thế tương tác giữa các hạt i, j và k.
Ở nhiệt độ cao, dao động của các hạt ở nút mạng là mạnh, khi đó trong biểu thức khai
triển của thế năng tương tác E
i
theo độ dời u
i
phải kể đến những số hạng bậc cao hơn 2. Vì
vậy, nếu dừng lại ở phép gần đúng cấp 4, thế năng tương tác của hạt i có
dạng [4]:

23
0
ii
i i j j j j j
, , ,
j j i j j
eq eq
4
i
j j j j
, , ,
i j j j
eq
EE
11

E E u u u u u
2 u u 6 u u u
E
1
u u u u
24 u u u u
    
    
    
   
   
   
   

  
   
   
    
   





   



(3)

, , , x,y,z    
;

     
0
i i j ij j ijk j
j j,k
11
E E a a W a
26
   

(4)
Ở đây
j
a
là vị trí cân bằng của hạt thứ j, dạng của các số hạng
2
i
jj
eq
E
uu








được xác
định như trong [4].
Nếu hạt thứ i còn chịu tác dụng của lực phụ không đổi p

theo phương  thì ở trạng thái
cân bằng nhiệt động ta có phương trình [4]:

23
ii
j j j
pp
,
j j j j j
eq eq
4
i
j j j
p
,,
j j j j
eq
EE
1
u u u
u u 2 u u u
E
1
u u u p 0
6 u u u u
  

  
    
   
  
   
   


   
   
    
   


  


   



(5)
Do tính đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc kim cương, các số hạng sau đều bằng
không:

2 3 3 4 4
i i i i i
2 3 3 2
j j j j j j j j j j
eq eq eq eq

eq
E E E E E
; ; ; ;
u u u u u u u u u u

        

       
    

       
       

         
       

, (6)
      
Nhờ công thức tổng quát về mô men [8], chúng ta có thể biểu diễn mô men bậc 4 (
j j j j
p
u u u u
   
); mô men bậc 3 (
j j j
p
u u u
  
); mô men bậc 2 (
jj

p
uu

) qua mô men bậc
1[8].
Sử dụng (5) và dựa vào tính đối xứng của tinh thể (6), phương trình (4) được viết lại như
sau [4]:
   
2
3 2 2
2 2 2
dy d y dy
y 3 y X 1 y y X 1 ky p 0
dp dp m dp m
 
             

(7)
trong đó

j
P
yu
,
X xcothx
,
x
2




,
2
2
i
2
jx
eq
E
km
u


  




,

44
ii
4 2 2
jx jx jy
eq eq
EE
1
6
6 u u u


   


  
   
   
  

   

;
3
i
jx jy jz
eq
E
u u u





  

(8)
Phương trình (7) nhận được khi coi
j j j j
p p p p
u u u u y
  

   
.
Để giải (7), ta thực hiện phép đổi biến sau:

/
yy
3



(9)
Với cách đổi biến như vậy, phương trình (7) biến đổi về dạng:

 
/ 2 /
/3 / 2 / /
2
dy d y
y 3 y X 1 y Ky p 0
dp dp k



         
(10)
trong đó:

 
22
2

k 2 1 2
K k ; p p K ; K X 1
3 27 k 3 3k
  

   
       

  

(11)
Ở vùng nhiệt độ cao sao cho X ~ 1, phương trình (10) trở về dạng quen thuộc trong [8]:

2 / /
2 / /3 /
2
d y dy
3 y y Ky p 0
dp dp


       
(12)
Phương trình (12) là một phương trình vi phân phi tuyến, chúng ta tìm nghiệm của nó
dưới dạng gần đúng. Vì ngoại lực p
*
là tuỳ ý và nhỏ nên ta có thể tìm nghiệm dưới dạng đơn
giản sau:

/ / * *2

o 1 2
y y A p A p  
(13)
trong đó y
/
0
là độ dời ứng với trường hợp không có ngoại lực p
*
(p
*
=0)
Nghiệm của (12) đã được đưa ra trong [8]:

2
/
0
3
2
yA
3K


(14)
ở đây:

2 2 3 3 4 4 5 5 6 6
1 2 3 4 5 6
4 6 8 10 12
A a a a a a a
K K K K K

         
     
,
Dạng của
1 2 3 4 5 6
a ,a ,a ,a ,a ,a
được xác định như trong [4].
Như vậy, từ (9) và (13) suy ra nghiệm của phương trình (7) ứng với trường hợp không có
ngoại lực tác dụng có dạng:

 
/
0
p 0 p K
2 2 2
/
0
42
y y y
3
1 6 1 2 2 k
y 1 X 1
3 K K 3 3k 27 k

 

  

   
     

      


  
   
(15)
Khi xác định được độ dời y
0
, ta có thể tìm được khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở
nhiệt độ T theo biểu thức:

00
a a y
(16)
Trong đó a
0
là khoảng lân cận gần nhất giữa 2 hạt ở 0K. Từ đó, ta hoàn hoàn toàn xác
định được giá trị của hằng số mạng a
h
. Đối với bán dẫn có cấu trúc kim cương, ta có:
h
4
aa
3


2.1.2. Năng lượng tự do
Trong phép gần đúng tới cấp 4, thế năng tương tác giữa các hạt có dạng:
23
0

ii
i j j j j j
i , , ,
j j j j j
eq eq
4
i
j j j j
, , ,
j j j j
eq
EE
11
E E u u u u u
2 u u 6 u u u
E
1
u u u u
24 u u u u
    
    
    
   
   
   
   


   
   


   
    

   








   



  

(17)
Do đó, thế năng tương tác trung bình của tinh thể và hợp chất bán dẫn có cấu trúc kim
cương có dạng:

2
2 4 2
0 1 2 jx jy jz
k
E U 3N u u u u u u
23



      


(18)
Trong đó:

0
0i
i
UE

;
4
i
1
4
jx
eq
E
1
24 u







;

4
i
2
22
jx jy
eq
E
6
24 u u







. (19)
Như vậy, nhờ các công thức mômen đối với <u
2
>,<u
4
> và <u
ix
u
iy
u
iz
> trong [8], chúng ta
sẽ xác định được <E>.
Khi thay các công thức của mômen <u

2
>,<u
4
> và <u
ix
u
iy
u
iz
> và tiến hành tính các tích
phân, ta thu được biểu thức gần đúng của năng lượng tự do của bán dẫn có cấu trúc kim
cương
 
 
 
2
2
1
0 0 2
2
3
22
2 1 1 2
4
33
32
2
2
2
2

3N X
U X 1
k 3 2
2 4 X X
3N X 1 2 2 1 1 X
k 3 2 2
k 3 k 1 1 k K
3NM k K 3N M 1 (X 1)
27 K K K k 27 3
kK
3N M
6

  

        




  
   
          

   
   


   
    


   
         

   
   

  
   


   




2
2
3 3 2
23
24
22
22
1
3
k 1 1 1
(X 1)
K K 3K 3k 6
k k 2 k
3N M 1 M

K 27 9K
2 3 1 k k
3N a (X 1) M 1
K K k 18 K 6


   
  

   
     


   
   


   

   




   
  


    


   




   


   
   
   
     

   
   


   

   





(20)
Ở đây:
 
1
2

2x
1
0
3
2a
3N x ln 1 e , M
3K




     




Nhờ công thức (20), chúng ta tìm được năng lượng tự do của hệ ở nhiệt độ T nếu biết giá
trị của các thông số k, 
1
, 
2
, ,  ở nhiệt độ T
0
.
Nếu nhiệt độ T
0
không xa nhiệt độ T thì có thể xem dao động của hạt xung quanh vị trí
cân bằng mới (tương ứng với T
0
) là điều hoà. Như vậy, năng lượng tự do của hệ có dạng như

năng lượng tự do của hệ N dao tử điều hoà, nghĩa là:

 
   
2x
0
0
0 i ij j ijk j
j j,k
u
3N x ln 1 e ,
3
11
u E a W a
26



     



   

(21)
Khi sử dụng biểu thức này cần chú ý là các thông số k, K, ,  và đại lượng u
0
phụ thuộc
vào nhiệt độ.
Từ năng lượng tự do, ta có thể suy ra các đại lượng nhiệt động như: hệ số giãn nở nhiệt,

các nhiệt dung riêng đẳng tích và đẳng áp như ở phần tiếp theo.
2.1.3. Năng lượng và nhiệt dung của tinh thể
Sử dụng hệ thức nhiệt động GibbsHelmholtz
E


   



và biểu thức (20) đối với
năng lượng tự do, ta tìm được biểu thức năng lượng của mạng tinh thể E, từ đó xác định được
nhiệt dung riêng đẳng tích của hệ được xác định nhờ hệ thức
V
E
C
T




2.1.4. Hệ số dãn nở nhiệt và hệ số nén đẳng nhiệt
 Hệ số nén đẳng nhiệt:
Theo định nghĩa, hệ số nén đẳng nhiệt được xác định bởi hệ thức:

3
0
T
2
2

2
T
a
3
a
a
2P
3V a











V = N.v, (23)
Trong đó: v là thể tích của một nguyên tử, a là khoảng lân cận gần nhất giữa hai nguyên
tử ở TK, a
0
là khoảng lân cận gần nhất giữa hai nguyên tử ở 0K. Đối với tinh thể có cấu trúc
kim cương thì
3
8a
v
33


. Biểu thức đối với
2
2
T
a





được xác định nhờ (21):

2
2
22
0
2 2 2
T
u
1 k 1 k
3N
a 3 a 4k a 2k a






    



  



   







(24)
Từ đó, sử dụng (16), (23), (24) chúng ta sẽ tìm được giá trị của hệ số nén đẳng nhiệt 
T
.
 Hệ số giãn nở nhiệt
Hệ số giãn nở nhiệt được định nghĩa như sau:

2
2
0
BT
a
k
a
3 a 3V a





  





(25)
Kết quả này cho phép xác định  khi biết 
T
và ngược lại.
2.1.5. Các đại lượng nhiệt động khác
Các đại lượng nhiệt động khác như nhiệt dung riêng đẳng áp, hệ số nén đoạn nhiệt được
xác định nhờ hệ thức nhiệt động:

2
V
P V S T
Tp
C
9TV
C C ,
C

    

(26)
2.2. Áp dụng tính số và thảo luận kết quả
Với những vật liệu có liên kết mạnh như bán dẫn thì việc sử dụng thế cặp là không đủ để

mô tả lực liên kết và mạng tinh thể là không bền nếu không có các lực 3 hạt. Một trong thế
nhiều hạt được sử dụng để nghiên cứu tính chất nhiệt động của Si là thế nhiều hạt có dạng
[3]:

 
 
ij ijk
i,j i, j,k
12 6
i j k
00
ij ijk
3
ij ij
ij jk ki
U W ,
1 3cos cos cos
rr
U 2 ,W Z
rr
r r r
  

   
   

   
   
   


   


(27)
Trong đó
ij jk ki
r , r , r
tương ứng là khoảng cách giữa các cặp hạt i và j, j và k, k và i,
i j k
,,  
là 3 góc trong của tam giác được tạo thành từ 3 hạt i, j và k.
0
r
, Z,  là các thông số
được xác định từ thực nghiệm.
Sử dụng các giá trị thực nghiệm của
0
r
, Z,  được cho trong [3] và các công thức đã thiết
lập ở trên, chúng tôi đã thu được kết quả: hằng số mạng
h
a
, nhiệt dung riêng đẳng tích C
V
,
nhiệt dung riêng đẳng áp C
p
, hệ số giãn nở nhiệt α trong trường hợp lý tưởng ở các nhiệt độ
khác nhau. Để xác định các đại lượng nhiệt động này trong trường hợp khuyết tật, các bước
được tiến hành như trong trường hợp lý tưởng, tuy nhiên khi đó

các thông số phải tính khi có khuyết tật. Các kết quả đối với trường hợp lý tưởng và khuyết
tật của Si được trình bày trong bảng 1 và bảng 2 và đã được so sánh với số liệu thực nghiệm.
Bảng 1: Sự phụ thuộc nhiệt độ của hằng số mạng
h
a
của Si lý tưởng và khuyết tật
T(K)
h
a
(10

10
m)
Lý tưởng
h
a
(10

10
m)
Khuyết tật
h
a
(10

10
m)
TN [6]
298
5,2709

5,2635
5,4309
430
5,2758
5,2694
5,4332
629
5,2827
5,2776
5,4370
769
5,2871
5,2829
5,4398
924
5,2918
5,2885
5,4429
1086
5,2966
5,2944
5,4461
1100
5,2970
5,2949

1200
5,2998
5,2987


1300
5,3026
5,3028

1400
5,3054
5,3076

1500
5,3083
5,3132

Bảng 2: Sự phụ thuộc nhiệt độ của các đại lượng nhiệt động của Si lý tưởng và khuyết tật
T(K)






C
V

C
V

C
P

C

P

C
P

(10

6
.K)
lý tưởng
(10

6
.K)
khuyết tật
(10

6
.K)
TN[2]
(cal/molK)
lý tưởng
(cal/mol.K)
khuyết tật
(cal/mol.K)
lý tưởng
(cal/mol.K)
khuyết tật
(cal/mol.K)
TN[2]

300
2,8178
3,4026
2,5
2,3690
2,9095
2,3942
2,9435

400
3,7452
4,2810
3,1
3,5770
4,0046
3,6285
4,0750
5,33
500
4,2955
4,7949
3,5
4,3178
4,6528
4,4124
4,7614
5,63
600
4,6531
5,1310

3,8
4,7925
5,0547
4,9238
5,2017
5,83
700
4,9062
5,3721
4,1
5,1074
5,3188
5,2754
5,5040
5,98
800
5,0986
5,5576
4,3
5,3260
5,5020
5,5307
5,7254
6,10
900
5,2531
5,7065

5,4843
5,6355

5,7257
5,8972

1000
5,3831
5,8284
4,7
5,6030
5,7368
5,8813
6,0358
6,30
1100
5,4926
5,9266

5,6956
5,8165
6,0109
6,1543

1200
5,5883
6,0012
5,0
5,7693
5,8812
6,1217
6,2564
6,47

1300
5,6770
6,0487

5,8297
5,9352
6,2192
6,3465

1400
5,7407
6,0631

5,8804
5,9815
6,3068
6,4269

1500
5,7965
6,0219

5,9237
6,0219
6,3866
6,4979
6,70
Từ giá trị đã ghi trong bảng 1, bảng 2, có thể thấy rằng: các kết quả tính toán bằng
phương pháp mômen đối với hằng số mạng, nhiệt dung riêng đẳng tích, hệ số giãn nở nhiệt,
nhiệt dung riêng đẳng áp của Si có sự phù hợp với thực nghiệm.

3. KẾT LUẬN
Bằng phương pháp thống kê mômen, chúng tôi đã xây dựng được biểu thức giải tích xác
định các đại lượng nhiệt động của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương phụ thuộc vào nhiệt
độ, từ đó đã áp dụng tính số cho Si trong trường hợp lý tưởng và khuyết tật. Các kết quả tính
số được so sánh với thực nghiệm và có sự phù hợp.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. C. Eckl, J. Fritsch, P.Pavone, and U. Schroder, surf. Sci. 394, 47, 1997.
2. Dwight E. Gray, American Institute of Physics Handbook, Second Edition, pp.466451, 1981.
3. Erkoc S., Phys. Reports, 278(2), pp. 8188, 1997.
4. Phạm Thị Minh Hạnh, Luận án Tiến sĩ, Trường ĐHSP Hà Nội, 2007.
5. H.M. Tutuncu and G. P. Srivastava, Phys. Rev. B 53, 15675, 1996.
6. M.P. Sascolskoi, acustichskie Krystalu, Moscow "Nauka", 40, 167, 1982.
7. S. M. Nakhmanson and D. A. Drabold, Phys. Rev. B 61, 5376, 2000.
8. N. Tang and V.V. Hung, Phys. Stat. Sol. (b) 149 (1988) 511; 161 (1990) 165; 162 (1992) 371.
STUDY OF THERMODYNAMIC QUANTITIES OF SEMICONDUCTORS
WITH THE DIAMOND CUBIC STRUCTURE WITH DEFECTS BY
STATISTICAL MOMENT METHOD
Pham Thi Minh Hanh, Nguyen Thi Thuy
Abstract
Using the statistical moment method, the thermodynamic properties of crystals with the diamond
cubic semiconductors are considered taking into account the anharmonic effects of the lattice
vibrations. The numerical results for Si and Si with defects are compared with the experimental
results.