Nghiên cứu ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN
NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA THANH BỊ NÉN
CÓ LIÊN KẾT PHI TUYẾN
Hà Nội, 5/2015
1
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIAO THÔNG VẬN TẢI
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN
NGHIÊN CỨU ỔN ĐỊNH CỦA THANH BỊ NÉN
CÓ LIÊN KẾT PHI TUYẾN
Người hướng dẫn: PGS-TS Lương Xuân Bính
2
Hà Nội, 5/2015
3
MỤC LỤC

4
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GTVT
THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI
1. Thông tin chung:
- Tên đề tài: Nghiên cứu ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến.
- Người hướng dẫn: PGS-TS Lương Xuân Bính
2. Mục tiêu đề tài:
- Xây dựng lý thuyết tính ổn định thanh chịu nén có liên kết phi tuyến.
- Ứng dụng hàm solver để giải bài toán.
3. Tính mới và sáng tạo:
- Lần đầu tiên xây dựng lý thuyết tính ổn định thanh chịu nén có liên kết phi tuyến.
- Lần đầu tiên ứng dụng hàm solver để giải bài toán ổn định thanh bị nén có liên kết
phi tuyến.

4. Kết quả nghiên cứu:
- Xây dựng thành công phương pháp gần đúng tính ổn định thanh bị nén có liên kết
phi tuyến.
- Xây dựng thuật toán và chương trình tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến.
5. Đóng góp về mặt kinh tế - xã hội, giáo dục và đào tạo, an ninh, quốc phòng và
khả năng áp dụng của đề tài:
Có thể áp dụng để tính toán một số kết cấu chịu nén trong thực tế như trụ cầu dây
văng
6. Công bố khoa học của sinh viên từ kết quả nghiên cứu của đề tài
Kết quả nghiên cứu có thể được đăng trên các bài báo, tạp chí chuyên ngành.
Ngày 14 tháng 4 năm 2015
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)
5
Nhận xét của người hướng dẫn về những đóng góp khoa học của sinh viên thực
hiện đề tài (phần này do người hướng dẫn ghi):

Ngày 14 tháng 4 năm 2015
Người hướng dẫn
(ký, họ và tên)
6
TRƯỜNG ĐẠI HỌC GTVT
THÔNG TIN VỀ SINH VIÊN
CHỊU TRÁCH NHIỆM CHÍNH THỰC HIỆN ĐỀ TÀI
I. SƠ LƯỢC VỀ SINH VIÊN:
Lớp: Cầu Đường Bộ B Khóa: 53
Khoa: Công Trình
Địa chỉ liên hệ: Phường Quan Hoa – Cầu Giấy – Hà Nội
II. QUÁ TRÌNH HỌC TẬP (kê khai thành tích của sinh viên từ năm thứ 1 đến năm

đang học):
* Năm thứ 1:
Ngành học: Cầu đường bộ Khoa: Công Trình
Kết quả xếp loại học tập: Trung Bình
Sơ lược thành tích:
* Năm thứ 2:
Ngành học: Cầu đường bộ Khoa: Công trình
Kết quả xếp loại học tập: Khá
Sơ lược thành tích: Học bổng giỏi kì I và học bổng khá kì II

Ngày 14 tháng 4 năm 2015
Sinh viên chịu trách nhiệm chính
thực hiện đề tài
(ký, họ và tên)
7
NGHIÊN CỨU
ỔN ĐỊNH THANH BỊ NÉN CÓ LIÊN KẾT PHI TUYẾN
I. Đặt vấn đề
Trạng thái mất ổn định của kết cấu chịu nén là hiện tượng rủi ro có thể gây
biến dạng lớn hoặc phá hủy công trình nhanh chóng vì vậy nghiên cứu ổn định của
thanh chịu nén có vai trò rất quan trọng trong kỹ thuật nói chung và xây dựng công
trình nói riêng.
Ta đã biết thanh chịu nén có thể ở một trong hai trạng thái ổn định và mất ổn
định. Vậy nghiên cứu ổn định thanh chịu nén chính là xác định ranh giới giữa trạng
thái ổn định và trạng thái mất ổn định hay chính là trạng thái tới hạn, mà đại lượng đặc
trưng thể hiện cho trạng thái này là lực nén tới hạn tác dụng vào thanh chịu nén hay
chính là lực nén lớn nhất P
th
cho phép tác dụng vào thanh mà thanh vẫn ổn định. Việc
nghiên cứu ổn định của thanh chịu nén có thể theo các tiêu chí khác nhau để giải quyết

và chúng ta đã biết với các thanh chịu nén có các liên kết cơ bản (liên kết ngàm, liên
kết khớp thuần túy) đã được Ơ le giải quyết triệt để qua việc lập phương trình vi phân
của biến dạng để tìm lực tới hạn hay nói cách khác chính là xác định trị riêng của
phương trình vi phân.
Trong thực tế, ngoài các liên kết cơ bản ta cũng gặp rất nhiều trường hợp thanh
bị nén có liên kết phi tuyến ví dụ như trụ cầu dây văng, trụ cầu treo, tháp truyền
hình… Việc lập phương trình vi phân biến dạng của các thanh có liên kết này và giải
quyết chúng bằng phương pháp giải tích truyền thống với các điều kiện biên về tĩnh
học và động học không phải là việc dễ dàng trong khi đó việc tính toán ổn định thanh
chịu nén ngoài thực tế hiện trường lại đòi hỏi rất nhiều việc tính toán một cách nhanh
chóng và hiệu quả để đáp ứng thời gian thi công và hiệu quả làm việc.
Vì vậy, nghiên cứu này sẽ đi vào xây dựng một phương pháp tính gần đúng để
giải quyết hiệu quả bài toán ổn định của thanh chịu nén có liên kết phi tuyến với việc
giả định đường đàn hồi của thanh chịu nén tại trạng thái tới hạn là một đa thức xấp xỉ
bậc cao với các hệ số của đa thức là các tham số chưa biết. Việc xác định đường đàn
hồi của thanh thực chất là đi xác định các hệ số của đa thức xấp xỉ. Điều kiện để xác
định các tham số này là: đa thức xấp xỉ phải thỏa mãn phương trình vi phân cơ bản của
bài toán ổn định, đồng thời nó cũng phải thỏa mãn các điều kiện biên về tĩnh học và
động học của thanh. Ở đây tính toán tối ưu hóa được sử dụng để xác định các tham số
chưa biết này thông qua hàm solver trong excel.
8
Hình 1. Tháp cầu dây văng có một đầu ngàm
một đầu liên kết dây văng
Hình 2. Tháp truyền hình
II. Xây dựng lí thuyết tính ổn định có liên kết phi tuyến
1. Mô hình tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến
Khái niệm liên kết phi tuyến là liên kết trong đó quan hệ giữa ứng suất biến dạng
thay đổi phi tuyến tính theo độ lớn cũng như chiều chuyển vị của điểm tựa liên kết.
Sơ đồ tính bài toán ổn định của thanh bị nén có liên kết phi tuyến được sử dụng
ở đây là thanh bị nén 1 đầu khớp 1 đầu liên kết lò xo phi tuyến. Trong đó lò xo phi

tuyến có thể xảy ra với những mô hình sau: lò xo làm việc một chiều ( chỉ chịu kéo
hoặc chỉ chịu nén ) ( hình 3, hình 4), lò xo đàn hồi dị hướng làm việc theo hai chiều
kéo- nén là khác nhau, mô hình nhiều lần tuyến tính hoặc mô hình phi tuyến với quan
hệ giữa phản lực và chuyển vị của điểm tựa liên kết là 1 đường cong bất kì (hình 6).
Cụ thể trong nghiên cứu này sẽ đi tính toán ổn định cho thanh có liên kết lò xo đàn hồi
dị hướng và thanh có liên kết phi tuyến (đường cong quan hệ bất kì ). Với thanh có
liên kết phi tuyến ta có mối quan hệ giữa phản lực liên kết và chuyển vị của điểm tựa
liên kết như sau:
( )N f= ∆
(1)
Trong đó:
N là phản lực liên kết
Δ là độ dịch chuyển của điểm tựa liên kết so với gốc tọa độ (so với vị trí cân
bằng ban đầu)
9
Hình 3. Lò xo chỉ chịu kéo Hình 4. Lò xo chỉ chịu nén
Hình 5. Lò xo chịu kéo và nén khác nhau Hình 6. Lò xo phi tuyến gồm nhiều lần tuyến
tính
Hình 7. Lò xo phi tuyến có đồ thị
N
−∆
là đường cong bất kì
2. Phương pháp năng lượng về tính ổn định thanh bị nén
Nếu như sử dụng tiêu chí Ơ le ta đi lập phương trình vi phân của biến dạng tại
trạng thái tới hạn thì việc lập cũng như giải những phương trình vi phân này để tìm lực
tới hạn nhiều khi rất khó khăn. Vì vậy, người ta đi tìm cách giải quyết bài toán bằng
phương pháp năng lượng, bằng cách viết biểu thức biến thiên năng lượng của hệ khi
10
N
N

∆

∆

O
O
N
N
O
O
∆

∆

∆

N
hệ lệch khỏi dạng cần bằng ban đầu. Cụ thể là công A của ngoại lực do lực tới hạn sinh
ra phải bằng với biến thiên thế năng nội lực đàn hồi U của hệ khi hệ có một độ lệch
khả dĩ trong dạng cân bằng mới lân cận với dạng cân bằng ban đầu:
( ) 0A U
δ
− =
hay
A U
=

(2)
Do ảnh hưởng của lực cắt là nhỏ hơn rất nhiều so với momen uốn nên khi tính
thế năng biến dạng đàn hồi của thanh ta chỉ xét đến ảnh hưởng do momen uốn sinh ra

và bỏ qua ảnh hưởng của lực cắt.

2
2
2
2
0 0
1 1
EJ
2 EJ 2
l l
x
x
x
M
d v
U dz dz
dz
 
= =
 ÷
 
∫ ∫
(3)
Công của ngoại lực:
.
th
A P
δ
=

(4)
Trong đó:
2
0
1
( ')
2
l
v dz
δ
=
∫
(5)
Từ đó ta có:
2
0
2
0
EJ "
'
l
x
th
l
v dz
P
v dz
=
∫
∫

(6)
Hình 8.
Tuy nhiên, bài toán lại gặp khó khăn khi tại trạng thái tới hạn ta lại chưa biết
hàm độ võng hay đường đàn hồi của thanh mà muốn có hàm này ta phải giải một hoặc
một hệ phương trình vi phân và đó là điều mà phương pháp năng lượng muốn tránh
bởi đây chính là khó khăn của tiêu chí Ơ le khi giải quyết bằng phương pháp giải tích
truyền thống. Cách giải quyết tốt nhất là dựa vào quan sát thí nghiệm ta chọn một hàm
v(z) gần đúng với đường đàn hồi và thỏa mãn các điều kiện liên kết. Đây cũng chính là
hướng đi để giải quyết bài toán ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến mà nghiên
cứu này sẽ dùng.
11
δ

3. Ứng dụng phương pháp năng lượng để tính ổn định thanh bị nén có liên kết
phi tuyến
Từ hướng đi chung để giải quyết các vấn đề của bài toán ổn định là sử dụng tiếu
chí năng lượng nêu trên. Ở đây, ta cũng sẽ tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi
tuyến theo tiêu chí năng lượng. Đầu tiên ta phải xác định hàm độ võng gần đúng với
độ võng của thanh tại trạng thái tới hạn để từ đó tính được lực tới hạn của thanh bị nén
bằng công thức (6).
Hàm xấp xỉ được sử dụng để mô tả gần đúng đường đàn hồi của thanh tại trạng
thái tới hạn khi thanh đã bị cong đi. Hàm xấp xỉ có thể sử dụng một trong hai dạng cơ
bản là đa thức và chuỗi lượng giác. Ở đây hàm độ võng sẽ được giả định là một đa
thức bậc cao vì đa thức là một hàm đơn giản, luôn có đạo hàm và nguyên hàm, việc
tính giá trị cũng đơn giản. Bậc và số lượng các số hạng các đa thức không bị hạn chế.
Đa thức xấp xỉ của hàm độ võng có thể tổng quát như sau:

2
0 1 2
( )

i n
i n
v z a a z a z a z a z
= + + + + + +
(7)
Trong đó các hệ số a
0
, a
1
, a
2
,…a
n
là các tham số chưa biết cần được xác định
qua bài toán tối ưu hóa.
Đa thức xấp xỉ của hàm độ võng đầu tiên phải thỏa mãn phương trình vi phân
cơ bản của thanh bị nén tại trạng thái tới hạn với mọi giá trị của z trong miền xác định
của hàm số (hình 8). Phương trình vi phân cơ bản có dạng như sau:

4 2
4 2
( ) ( )
0
EJ
th
x
P
d v z d v z
dz dz
+ =

(8)
Trong đó:
P
th
là lực tới hạn của thanh được xác định bằng công thức (6).
EJ
x
là độ cứng chống uốn của thanh theo phương biến dạng.
Để hàm xấp xỉ độ võng v(z) thỏa mãn phương trình vi phân cơ bản (8), ta sử
dụng phương pháp bình phương tối thiểu. Với mọi giá trị của z trong miền xác định
của hàm xấp xỉ các tham số a
i
của hàm đảm bảo sao cho tổng bình phương vế trái của
(8) ứng với các giá trị khác nhau của z trong miền xác định của hàm xấp xỉ
2
[ (8)]VT
∑

phải đạt cực tiểu với điều kiện ràng buộc của thanh.
Có thể phát biểu bài toán tối ưu hóa xác định các tham số của đa thức xấp xỉ
12
hàm độ võng như sau:
Hàm mục tiêu: f(a
i
)=
2
[ (8)]VT
∑
=> min.
Biến số: a

i
={a
0
, a
1
, a
2
,…a
n
}
T
.
Điều kiện ràng buộc: điều kiện biên động học và điều kiện biên tĩnh học.
Hình 9. Thanh bị nén 1 đầu liên kết khớp 1 đầu liên kết lò xo phi tuyến
III. Ứng dụng hàm solver để tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến
1. Giới thiệu hàm solver
Solver là một trong những nội hàm của Microft Excel, được xây dựng và đưa
vào sử dụng từ phiên bản Microft Excel 97. Với Solver, người dùng có thể giải các bài
toán sau đây thông qua bảng tính Excel: giải các hệ phương trình tuyến tính, phi tuyến,
các phương trình đại số bậc cao, siêu việt, hàm mũ ; tìm các tham số của hàm giải
tích xấp xỉ của tập dữ liệu thống kê, quan sát nhằm phục vụ cho việc tính toán dự báo;
giải các bài toán quy hoạch tối ưu (Vào Menu Tools chọn Solver, nếu trong Menu
Tools chưa có công cụ Solver thì vào Menu Tools chọn Add-ins chọn Solver add- in để
cài thêm công cụ solver).
Sau khi khởi động, hộp thoại "Các tham số của Solver (Solver Parameters)"
xuất hiện như trên hình 9.
Hàm mục tiêu (Set Target Cell). Giá trị trong ô của bảng tính Excel có địa chỉ
ghi trong khung Set Target Cell được gọi là hàm mục tiêu.
To: Hàm mục tiêu muốn đạt tới Max, Min hay Value of (bằng một giá trị mong
muốn nào đó thì nhập giá trị vào hộp bên cạnh).

Biến và tham số (Changing Cells). Địa chỉ của các ô trong bảng tính Excel ghi
trong khung Changing Cells xác định các biến của hàm mục tiêu. Giá trị các biến này
13
2
0 1 2
( )
n
n
v z a a z a z a z
= + + + +

sẽ bị thay đổi để đạt được giá trị hàm mục tiêu mong muốn.
Ràng buộc (Constraints). Trong quá trình biến đổi các biến số để đạt được giá
trị hàm mục tiêu mong muốn, các biến hoặc các tham số của bài toán phải thoả mãn
những quan hệ ràng buộc nhất định nào đó. Các ràng buộc này được mô tả trong
khung Subject to the Constraints. Việc thêm vào, thay đổi hay loại bỏ bớt đi một ràng
buộc được thực hiện nhờ các chức năng Add, Change hay Delete.
Hình 10. Solver Parameters Hình 11. Solver Options
Các lựa chọn trong hộp thoại "Solver Options" được thể hiện trong hình10.
Độ chính xác (Constrain Precision). Con số nhập vào ô này xác định giá trị
tính toán của vế trái ràng buộc phải xấp xỉ phù hợp với vế phải như thế nào để các ràng
buộc được thoả mãn. Độ chính xác không nên nhỏ quá và không nên lớn quá. Thông
thường nằm trong phạm vi 1.0E-6 đến 1.0E-4.
Sử dụng tỷ lệ tự động (Use Automatic Scaling). Khi khung này được đánh
dấu, Solver sẽ cố gắng định tỷ lệ giá trị hàm mục tiêu và ràng buộc để giảm thiểu ảnh
hưởng của mô hình có các đại lượng với giá trị độ lớn khác biệt.
Hiển thị kết quả bước tính lặp (Show Iteration Results). Khi chức năng này được
lựa chọn, kết quả từng bước lặp sẽ được hiển thị trong bản tính của Solver.
Thời gian tính lớn nhất (Max time).Giá trị trong khung Max Time xác định
thời gian lớn nhất tính theo giây để Solver sẽ chạy trước khi dừng. Thời gian này bao

14
gồm thời gian sắp xếp (setup time) và thời gian tìm nghiệm tối ưu. Đây là một trong
những điều kiện dừng của Solver.
Số bước tính lặp (Interations). Giá trị trong khung Interactions xác định số
bước tính lặp lớn nhất Solver có thể thực hiện trên một bài toán. Mỗi bước tính lặp
tính ra một nghiệm mới. Đây cũng là một trong những điều kiện dừng của Solver.
2. Xây dựng thuật toán tính ổn định thanh bị nén có liên kết phi tuyến bằng
solver trong excel
Giả định các giá trị ban đầu của các tham số
0 1 2
, , , a ,a
i n
a a a
.Từ hàm số giả
định của đường đàn hồi, ta lập được bảng tính các đại lượng như trong bảng 1. Từ
bảng này, ta xác định được hàm mục tiêu f(a
i
). Bằng hàm solver trong excel giúp ta dễ
dàng giải bài toán tối ưu hóa với các giá trị
0 1 2
, , , a ,a
i n
a a a
sao cho
(a )
i
f Min
→

Bảng 1.

z d(z) J
x
(z) EJ
x
(z) v(z) v’(z) v”(z) v”’(z) v””(z) VT(8)
2
0 … …. … …. … …… …… ……. …….
… …. … …. … …… …… ……. …….
z
i
… …. … …. … …… …… ……. …….
… …. … …. … …… …… ……. …….
l … …. … …. … …… …… ……. …….
Hàm mục tiêu f(a
i
)
2
[ (2)]VT
∑
Điều kiện biên của thanh chịu nén có một đầu liên kết khớp một đầu liên kết lò
xo phi tuyến
( )N f= ∆
có.
15
Tại z = 0 ta có:
M(0) = - EJ
x
v”(0). = 0
v(0) = 0
Tại z = l ta có:

M = -EJ
x
.v”(l) = 0
|Q
y
|

=| -EJ
x
.v”’(l)| = | N|
 |-EJx.v”’(l)| = |
( )f
∆
|

Hình 12.Thanh bị nén có liên kết lò xo phi
tuyến
IV. Thí dụ tính toán và đánh giá kết quả
1. Thí dụ 01: Tính toán ổn định của thanh thép tròn có liên kết hai đầu khớp
Bảng 2. Các số liệu tính toán thí dụ 01
Sơ đồ thanh Hai đầu khớp
Chiều dài thanh l(cm) 200 cm
Đường kính d(cm) 4
Vật liệu thanh Thép
E (daN/cm
2
) 2000000
Quy ước đơn vị
Chiều dài: cm
Lực : daN

Đa thức xấp xỉ: V(z)= a
0
+ a
1
z+a
2
z
2
+a
3
z
3
+a
4
z
4
+a
5
z
5
Hình 13. Thanh bị nén 2 đầu liên kết khớp
Bảng 3. Kết quả tính toán thí dụ 01
a
0
a
1
a
2
a
3

a
4
a
5
P
th
P
ơ le
sai số
0 1 0 -4.89E-05 1.15E-07 2.2E-11 6210 6021 0.13%
16
z d(z) Jx v(z) v'(z) v''(z) v'''(z) v''''(z) VT(8)
2
0 4 12.57 0.00 1 0.00 0.00 0.00 7.59E-12
20 4 12.57 19.63 0.9451 -0.0053 0.00 0.00 2.24E-12
40 4 12.57 37.17 0.7953 -0.0095 0.00 0.00 2.66E-13
60 4 12.57 50.96 0.5732 -0.0125 0.00 0.00 3.34E-14
80 4 12.57 59.78 0.302 -0.0144 0.00 0.00 3.52E-13
100 4 12.57 62.87 0.0051 -0.0151 0.00 0.00 5.05E-13
120 4 12.57 59.96 -0.293 -0.0146 0.00 0.00 2.80E-13
140 4 12.57 51.28 -0.569 -0.0128 0.00 0.00 2.03E-15
160 4 12.57 37.5 -0.798 -0.0098 0.00 0.00 5.59E-13
180 4 12.57 19.8 -0.954 -0.0056 0.00 0.00 3.44E-12
200 4 12.57 0.00 -1.012 0.00 0.00 0.00 1.08E-11
Hàm mục tiêu f(a
i
)= 1.63E-10
Nhận xét:
- So sánh kết quả lực tới hạn tìm được với lực tới hạn theo phương pháp Ơ le, sai số là
0.13% chứng tỏ phương pháp tính cho kết quả khá chính xác với phương pháp tính

đúng.
- Mặc dù giả định đường đàn hồi của thanh là đa thức bậc 5 nhưng kết quả tính cho thấy
đường đàn hồi của thanh tại trạng thái tới hạn trong trường hợp này gần như là đường
cong bậc 3. Do đó không cần phải giả định đa thức xấp xỉ với bậc quá cao.
17
2. Tính toán ổn định của thanh tròn có liên kết dị hướng
Thí dụ 02: Tính lực tới hạn của thanh tròn có 1 đầu liên kết khớp, 1 đầu liên kết
lò xo đàn hồi dị hướng
Bảng 4. Số liệu tính toán thí dụ 02
Sơ đồ thanh 1 đầu khớp 1 đầu lò xo
Chiều dài thanh l 200 cm
Đường kính d 4cm
Vật liệu thanh Thép
E 2000000 daN/cm
2
Độ cứng chống kéo k
+
1500 daN/cm
Độ cứng chống nén k
-
500 daN/cm
Quy ước đơn vị
Chiều dài: cm
Lực : daN
Đa thức xấp xỉ: V(z)= a
0
+ a
1
z+a
2

z
2
+a
3
z
3
+a
4
z
4
+a
5
z
5
Giả sử thanh bị phá hoại theo chiều lò xo chịu kéo. Ta tính lực tới hạn cho trường
hợp này. Kết quả tính toán được thể hiện trong bảng 5.
Hình 14. Thanh mất ổn định về phía lò xo chịu kéo
Bảng 5. Kết quả tính toán trường hợp thanh bị phá hoại về phía lò xo chịu kéo
a b c d e g Pth
0 1 0 -4.9E-05 1.26E-07 -8.9E-12 6201.496
18
z Jx v(z) v'(z) v''(z) v'''(z) v''''(z) VT(8)
2
0 12.57 0.00 1.00 0.00 0.00 0.00 9.17E-12
20 12.57 19.63 0.94 -0.01 0.00 0.00 2.88E-12
40 12.57 37.17 0.80 -0.01 0.00 0.00 4.38E-13
60 12.57 50.99 0.58 -0.01 0.00 0.00 6.10E-15
80 12.57 59.91 0.31 -0.01 0.00 0.00 2.76E-13
100 12.57 63.26 0.02 -0.01 0.00 0.00 4.66E-13
120 12.57 60.80 -0.27 -0.01 0.00 0.00 3.04E-13

140 12.57 52.79 -0.53 -0.01 0.00 0.00 1.80E-14
160 12.57 39.93 -0.75 -0.01 0.00 0.00 3.22E-13
180 12.57 23.41 -0.89 -0.01 0.00 0.00 2.40E-12
200 12.57 4.83 -0.95 0.00 0.00 0.00 7.91E-12
Hàm mục tiêu f(a
i
)= 1.51E-10
Kết quả cho thấy với liên kết như trên lò xo chịu kéo thanh sẽ bị mất ổn định với lực
nén lớn hơn 6201.496 daN.
Giả sử thanh bị phá hoại theo chiều lò xo chịu nén.
Hình 15. Thanh mất ổn định về phía lò xo chịu nén
Bảng 6. Kết quả tính toán trường hợp lò xo chịu nén
a b c d e g Pth
0 0.998882 0 -3.9E-05 5.34E-08 1.3E-10 6131.312
19
z Jx v(z) v'(z) v''(z) v'''(z) v''''(z) VT(8)
2
0 12.57 0.00 1.00 0.00 -0.0002 1.28E-06 1.64E-12
20 12.57 19.68 0.95 0.00 -0.0002 1.59E-06 2.79E-13
40 12.57 37.63 0.83 -0.01 -0.0002 1.91E-06 4.93E-15
60 12.57 52.36 0.63 -0.01 -0.0001 2.22E-06 2.33E-13
80 12.57 62.68 0.39 -0.01 -0.0001 2.53E-06 4.59E-13
100 12.57 67.78 0.12 -0.01 0.0000 2.85E-06 3.92E-13
120 12.57 67.22 -0.17 -0.01 0.0000 3.16E-06 8.76E-14
140 12.57 61.03 -0.44 -0.01 0.0001 3.47E-06 1.17E-13
160 12.57 49.76 -0.68 -0.01 0.0002 3.79E-06 1.74E-12
180 12.57 34.49 -0.84 -0.01 0.0003 4.10E-06 7.12E-12
200 12.57 16.93 -0.90 0.00 0.0003 4.41E-06 1.95E-11
Hàm mục tiêu f(a
i

)= 1.93E-11
Với trường hợp thanh bị mất ổn định về phía lò xo chịu nén lực nén tới hạn của thanh
là 6131.312 daN.
Từ 2 kết quả P
th
tính được ở trên ta thấy thanh sẽ bị mất ổn định theo chiều lò xo
chịu nén với lực tới hạn của thanh là P
th
= 6131.312 daN.
Nhận xét:
- Trong trường hợp thanh chịu nén liên kết lò xo phi tuyến có độ cứng hai chiều
kéo và nén khác nhau thì thanh mất ổn định theo chiều lò xo có độ cứng nhỏ
hơn.
- Mặc dù giả định đường đàn hồi của thanh là đa thức bậc 5 nhưng kết quả tính cho
thấy đường đàn hồi của thanh tại trạng thái tới hạn trong trường hợp này gần như
là đường cong bậc 3. Do đó không cần phải giả định đa thức xấp xỉ với bậc quá
cao.
Thí dụ 03: Tính toán ổn định thanh tròn chịu nén có liên kết lò xo phi tuyến
Bảng 7. Số liệu tính toán thí dụ 03
Sơ đồ thanh 1 đầu khớp, 1 đầu lò xo phi tuyến
Chiều dài thanh l 200 cm
Đường kính d 4cm
Vật liệu thanh Thép
E 2000000 daN/cm
2
Quan hệ giữa phản lực và độ
dãn dài lò xo
2
200 50N
= ∆ + ∆

Quy ước đơn vị
Chiều dài: cm
Lực : daN
Đa thức xấp xỉ: v(z)= a
0
+ a
1
z+a
2
z
2
+a
3
z
3
+a
4
z
4
+a
5
z
5
20

Hình 15. Thanh chịu nén có liên kết lò xo phi tuyến với
( )N f
= ∆

Bảng 8. Kết quả tính toán thí dụ 03
a b c d e g Pth
0
0.999758
0
-8.3E-05 4.13E-07 -6.2E-10 6826.365
z Jx v(z) v'(z) v''(z) v'''(z) v''''(z) VT(8)
2
0
12.57 0 1
0
-0.0005 9.91E-06 9.83E-11
20
12.57 19.395 0.913 -0.0081 -0.0003 8.44E-06 3.89E-11
40
12.57
35.667 0.699 -0.0128 -0.0002 6.96E-06 1.21E-11
60
12.57
46.912 0.419 -0.0147 -3.68E-05 5.48E-06 2.18E-12
80
12.57
52.339 0.124 -0.0145 5.80E-05 4E-06 4.96E-15
100
12.57
52.033 -0.149 -0.0126 0.0001 2.52E-06 8.15E-13
120
12.57
46.718 -0.373 -0.0097 0.00015 1.04E-06 2.57E-12
140

12.57
37.523 -0.535 -0.0065 0.00016 -4.4E-07 4.79E-12
160
12.57
25.743 -0.632 -0.0033 0.00014 -1.9E-06 7.96E-12
180
12.57
12.604 -0.674 -0.001 8.83E-05 -3.4E-06 1.34E-11
200
12.57
-0.975 -0.681 0 5.63E-06 -4.9E-06 2.37E-11
Hàm mục tiêu f(a
i
)=
1.42E-09
Nhận xét: Mặc dù giả định đường đàn hồi của thanh là đa thức bậc 5 nhưng kết
quả tính cho thấy đường đàn hồi của thanh tại trạng thái tới hạn trong trường hợp này
gần như là đường cong bậc 3. Do đó không cần giả định đa thức xấp xỉ với bậc quá
cao.
V. Kết luận
21
Như vậy nghiên cứu đã xây dựng được một phương pháp tính ổn định thanh
chịu nén có liên kết phi tuyến dựa trên phương pháp năng lượng với sự hỗ trợ của hàm
solver để tìm lời giải cho bài toán.
Thuật toán và chương trình tính đã được kiểm chứng qua thí dụ tính toán đơn
giản và so sánh với phương pháp Ơ le với sai số nhỏ.
Kết quả nghiên cứu có ý nghĩa quan trọng trong công tác tính toán thiết kế ổn
định các cấu kiện công trình chịu nén, đồng thời đây cũng là tài liệu tham khảo thú vị
cho các nghiên cứu về bài toán ổn định của thanh và hệ thanh chịu nén.
Tài liệu tham khảo

1. Vũ Đình Lai: Sức bền vật liệu, Nhà xuất bản Giao Thông Vận Tải, 2007.
2. Lương Xuân Bính, Nguyễn Xuân Lựu, Đỗ Xuân Quý: Tính toán kết cấu có liên kết dị
hướng bằng phương pháp phần tử hữu hạn, Tuyển tập công trình Hội nghị cơ học toàn
quốc lần thứ VIII.
3. Lương Xuân Bính, Đỗ Xuân Quý: Nghiên cứu ứng dụng hàm solver giải các bài toán
kỹ thuật, Tạp chí khoa học Giao Thông Vận Tải số 24- tháng 11/2008.
4. Lương Xuân Bính: Tính ổn định thanh có mặt cắt thay đổi.
22