GIẢI hệ PHƯƠNG TRÌNH

Giải đáp Toán Học Nguyễn Thế Duy










 Câu 1. Cho hàm số
   
     
32
1 2 1y x m x m x
. Tìm m để hàm số nghịch biến trên
 
1; 3

 Lời giải. TXĐ :
x
. Ta có :
 
      
2
' 3 2 1 2y x m m x

Để hàm số đã cho nghịch biến trên
 
1; 3

khi và chỉ khi :
     
   
          

         

2
2
2
' 0 1; 3 3 2 1 2 0 1; 3
3 2 2
3 2 2 2 1 0 1; 3
12
y x x m x m x
xx
x x m x m x
x

Xét hàm số
 



2
3 2 2
12
xx
fx
x

trên
 
1; 3
, có :
 




   

  


2
13
15
'0
10
2
x
f x x
xx

Do đó
 
 
     



  

     







2
1;3
3 2 2 1 5
1; 3 min ; 1 ; 3
1 2 2
xx
m x m f x f f f
x
là giá trị
cần tìm 

 Câu 2. Giải phương trình với
x
:
  5 sin 3 2 cos3 4 cos 0x x x

 Lời giải. Phương trình đã cho tương đương với :
   





 
 



    
    
    


  




  














33
2 3 3 2
5 3 sin 4 sin 2 4 cos 3 cos 4 cos 0
15 sin . cos 5 sin 6 cos 2 cos .sin 0
sin 3 cos sin 3 cos 5 sin 2 cos 0
2
tan 3
3
2
2
tan
arctan 2
5
5
x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
xk
x
k
x
xk

Vậy phương trình đã cho có họ nghiệm kể trên 

 Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ cho đường tròn
     
   
22

: 2 1 9C x y
và điểm
 
0; 4A
.
Đường thẳng

đi qua điểm
 
1;1M
và cắt đường tròn
 
C
tại
N
.Xác định tọa độ điểm
N
biết
khoảng cách từ tâm của đường tròn
 
C
đến đường thẳng

bằng khoảng cách từ
A
đến đường
thẳng

.
 Lời giải.

       
     
22
: 2 1 9 2;1 ; 3C x y I R

Vì

đi qua
 
1;1M
nên gọi phương trình

có dạng :
 
     
22
00ax by a b a b


BỘ ĐỀ LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN
Hướng dẫn giải đề số 1
Giải đáp Toán Học Nguyễn Thế Duy


Theo giả thiết , ta có :
   


      





23
; ; 3 3
43
ab
d I d A a a b
ab

TH1. Với
23ab
suy ra phương trình
   : 3 2 1 0xy
do đó tọa độ điểm
N
thỏa mãn :
   
 

  


  


   




22
3 2 1 0
11 23
,;
13 13
2 1 9
xy
xy
xy

TH2. Với
43ab
suy ra phương trình
   : 3 4 7 0xy
do đó tọa độ điểm
N
thỏa mãn :
   
 

  





   




22
3 4 7 0
71 97
,;
25 25
2 1 9
xy
xy
xy

Mỗi trường hợp trên đều loại một điểm
N
là do nó đã trùng với điểm
 
1;1M


 Câu 4. Giải phương trình :
     

       


1
3 1 2 1 3 11
2
x x x x x x x

 Lời giải. Điều kiện :
 0x

Phương trình đã cho được viết lại thành :
 


 
 
 
 






      
         
            

  

          




2
2
22
3 2 2 1 2 1 6 22

3 2 6 2 1 2 1 6 22 0
2 1 2 1 2 1 2 1 2 3 12 20 0
1 2 1
1 2 1 2 5 2 0 4
2
x x x x x x
x x x x x x x x
x x x x x x x x x
xx
x x x x x
x

Vậy
 4x
là nghiệm duy nhất của phương trình 

 Câu 5. Giải hệ phương trình :
 

   



       


22
2
10 3 6 7
,

2 3 2 2 1
x y x y xy
xy
y x xy y y x y

 Lời giải. Điều kiện :

1
2
xy

Xử lý phương trình hai chúng ta có :
    
       2 1 2 1 3x y y y x y

Phương trình một của hệ biểu diễn dưới dạng :
   


    




2
2 3 5 0
53
xy
x y x y
xy

 Với
 2xy
thế vào
 

ta được :
 
    2 1 2 1 3y y y y

 Với
53xy
thế vào
 

ta được :
  
      4 3 2 1 2 1 4 3 3y y y y

Hai hàm số trên thu được đều là những hàm đồng biến trên





1
;
2
oo
và






3
;
4
oo
do đó đều có
nghiệm duy nhất
   
  1 ; 2;1y x y
là nghiệm duy nhất của hệ phương trình ban đầu 


Giải đáp Toán Học Nguyễn Thế Duy


 Câu 6. Cho
,xy
là hai số thực dương. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
 

   



22
20 9

2
34
4
x y y
xy
x y y
xy x y

 Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có :
 
         


2 2 2 2
22
20 10
2 3 4 2 2
2
34
y
x y xy x y y y x y
xy
x y y

     
 
   

          


  
22
2
99
4 4 4 4 4
4
4
xy x y xy x y x y x y
xy x y
x y x y

Từ đó suy ra :
   
 
  
         
  

  
22
10 9 10 9
0
22
4
4
x y t
f t t x y
x y t
tt
x y x y

Xét hàm số
 




2
10 9
2
4
t
ft
t
tt
với
0t
, có :
 
 
 
 


    


22
2
18 2

8
' 0 2
2
4
t
f t t
t
tt

Do đó suy ra được
   

9
2
4
f t f
hay




    




9
1
2
4

xy
Max x y
xy
