Quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán tối ưu có ràng buộc và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
ĐẶNG THỊ THANH HUYEN
QUY TẮC NHÂN TỬ HÓA MỜ CỦA BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ RÀNG
BUỘC VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02
Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN
VĂN BẰNG
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn, tác giả đã nhận được sự
động viên, giúp đỡ của các bạn bè, đồng nghiệp, người thân, của các thầy giáo, cô giáo
Khoa Toán, các thầy, cô phòng Sau đại học và của các thầy, cô trực tiếp giảng dạy. Tôi xin
được bày tỏ lòng biết ơn tất cả mọi người đã hỗ trợ tôi để hoàn thành Luận văn này.
Đặc biệt, tôi xin cảm ơn TS. Trần Văn Bằng, người thầy đã định hướng và chỉ bảo tận
tình để tôi có thể hoàn thành Luận văn này.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, 20 tháng 11 năm 201Ậ Tác giả
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân em đạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu,
dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy chúng em.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này em đã tham khảo một số tài liệu đã
ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán tối ưu
có ràng buộc và ứng dụng” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Đặng Thị Thanh Huyền
Hà Nội, 20 tháng 11 năm 201Ậ Tác giả
Đặng Thị Thanh Huyền
Mục lục
Một số kiến thức chuẩn bị
Một số khái niệm về không gian Banach

Hàm trên không gian Banach
Dưới vi phân Préchet
Quy tắc tổng mờ
Quy tắc nhân tử hóa mờ và ứng dụng
Bài toán tối ưu
Quy tắc nhân tử hóa mờ và ứng dụng
Bài toán cực tiểu với hữu hạn ràng buộc
ứng dụng
Bài toán cực tiểu với vô hạn ràng buộc
ứng dụng
Tài liệu tham khảo
Chương 1.
1.1
5
7
9
1
3
2
2
2
2
2
8
2
1.
2.
1.
Chương
2 2.1.

2.
2.2.
1.
2.2
.
2.
5
4
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích không trơn ra đời trong những năm 70 của thế kỷ 20 khi những
nhà điều khiển học muốn tìm điều kiện cần tối ưu cho bài toán với dữ kiện
không trơn, như với các dữ kiện Lipschitz hay với các dữ kiện chỉ nửa liên tục.
Cho tới nay đã có nhiều khái niệm “đạo hàm suy rộng” đã được đưa ra và
thường được gọi dưới cái tên “dưới vi phân” như: dưới vi phân suy rộng của
Clark, dưới vi phân Préchet, dưới vi phân Mordukhovich, Các đạo hàm suy
rộng đó đã đáp ứng được phần nào các yêu cầu đặt ra. Tuy nhiên vẫn còn rất
nhiều vấn đề liên quan tới chúng cần được tiếp tục tìm hiểu và khai thác. Đặc
biệt là việc mở rộng các tiêu chuẩn, quy tắc đã biết đối với đạo hàm cổ điển
sang cho các đạo hàm suy rộng này.
Toán học tính toán là để tìm ra cái “tối ưu” nhằm phục vụ con người. Một
trong những bài toán tối ưu quan trọng nhất là tìm cực trị có điều kiện của một
hàm vô hướng. Đối với trường hợp hàm mục tiêu và các ràng buộc trơn,
Lagrange đã cho chúng ta một quy tắc nhân tử hóa rất tuyệt vời để chuyển bài
toán cực trị có điều kiện về bài toán cực trị tự do. Vấn đề đặt ra là khi hàm mục
tiêu và các dữ kiện không trơn, nói cách khác là khi sử dụng dưới vi phân thì
quy tắc nhân tử hóa sẽ là như thế nào?
Được sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng, tôi mạnh dạn chọn đề tài
nghiên cứu:
“Quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán tối ưu có ràng buộc

và ứng dụng”.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về dưới vi phân Préchet, quy tắc nhân tử hóa mờ của bài toán tối
ưu có ràng buộc và ứng dụng của chúng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Hệ thống, tổng hợp các kiến thức về dưới vi phân Fréchet cùng một số ứng
dụng của nó vào lý thuyết tối ưu.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng: Dưới vi phân Fréchet và ứng dụng.
Phạm vi: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục dưới.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các phương pháp nghiên cứu của giải tích hàm và lý thuyết
6. Những đóng góp của Luận văn
Trình bày hệ thống một số kết quả về dưới vi phân
Fréchet, quy tắc nhân tử hóa mờ và ứng dụng.
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này ta sẽ trình bày những khái niệm cơ bản về không gian
Banach, hàm trên không gian Banach, dưới vi phân Fréchet và quy tắc tổng
mờ.
1.1. Một số khái niệm về không gian Banach
Trong luận văn này, khi nói tới không gian Banach chúng ta luôn hiểu đó
là một không gian Banach thực, thường kí hiệu là X,

với chuẩn 11-11^ hay
đơn giản là ||.|| . Cho X

là không gian Banach. Kí hiệu HÌNH CẦU ĐƠN VỊ
(đóng) và MẶT CẦU ĐƠN VỊ

trong X

lần lượt là các tập hợp
BỴ

£ X :

||a;|| < 1}, SX ■— {X & X :

||a;|| = 1}.
Ví dụ
1.1
(P3,L3J,L8J)- Ta có:
1. Không gian tuyến tính với chuẩn ||zỊỊ = X
)*=1
I
X

I\

là không gian Banach.
2. Cho Q

c là tập con đo được Lebesgue. Khi đó không gian tuyến tính L

P

(ÍÌ)

(1 < P <


00
) tất cả các hàm số thực đo được X = X(T

)
7
trên íĩ sao cho F

Q

\X(T)\

P

DT <

oo với chuẩn II
2
;II = (F

Q

\X(T)\

P

DT)

1

^

là
không gian Banach. Không gian tuyến tính L°°

(ri) tất cả các hàm số thực
đo được X — X(T

) trên sao cho esssup
n
|a:(í)| <
+00
với chuẩn ||a;|| = sup
n
|
rc (í) Ị là không gian Banach.
3. Không gian tuyến tính l
p
(1 < p <


00
) tất cả các dãy số thực X =
00
\
1
/p (X(I))

sao cho chuỗi Ỵ2

hội tụ với chuẩn ||:c|| = |:c(ỉ)|
p
]
i= 1
là không gian Banach. Không gian tuyến tính L°°

tất cả các dãy số thực X
= (X(Ỉ

)) sao cho supj |a;(i)| <
+00
với chuẩn ||a;|| = supj |rc(z)I là không
gian Banach.
4. Không gian tuyến tính CỊA

,
6
] các hàm thực liên tục trên một đoạn [A,
B]

với chuẩn ||x|| = max |a:(í)| là không gian Banach.
Với không gian định chuẩn X,

kí hiệu X*

là tập hợp tất cả các phiếm hàm
tuyến tính liên tục trên X

và gọi là KHÔNG GIAN ĐỐI NGẪU

của X.

Nếu
X* £ X*

và X G X

thì giá trị của X* tại X được kí hiệu là (X*,X).
Định lý 1.2 (ỊJ|, Định lý 2.6, trang 78 ). Không gian đối ngẫu X* của không
gian định chuẩn X với chuẩn xác định bởi
là một không gian Banach.
Ví dụ 1.3 (P, trang 108, 110). Không gian đối ngẫu của L

P

(ÍÌ), Ỉ

P

(1 < P <


00
)
lần lượt là không gian L

Q

(

íỉ), L

Q

với Q

là số mũ liên hợp của p, tức l à l / p + l / ợ
= l. Đặc biệt không gian đối ngẫu của L
1
(ri), L

1



tương ứng là L°°

(íỉ), z°°.
8
r II
~
7o \\
x
X
Định nghĩa 1.4. Không gian liên hợp của không gian X*

gọi là KHÔNG GIAN
LIÊN HỢP THỨ HAI

của không gian định chuẩn X

và kí hiệu X**. Như vậy
X** = (X*)*.
Định nghĩa 1.5. Không gian định chuẩn X gọi là KHÔNG GIAN PHẢN XẠ,
nếu X = X**.
Ví dụ 1.6 (IU [
8
]). Các không gian L

P

(1 < P

<

00
) là các không
gian phản xạ.
Theo Định lý L2, nếu X

phản xạ thì X

là một không gian Banach.
Định nghĩa 1.7. Không gian Banach X

được gọi là tách được nếu nó có một
tập con đếm được trù mật.
Ví dụ 1.8 ([

8
], trang 103). Các không gian ƯIYÌ)

(1 < P

< oo),C[a,
6
] là
không gian tách được; các không gian L°°(rỉ), L°°

là không tách được.
1.2. Hàm trên không gian Banach
Cho X, Y

là các không gian Banach, F : X ^ Y

là một ánh xạ.
Định nghĩa 1.9. Ánh xạ / được gọi là KHẢ VI FRÉCHET

(hay đơn giản là
KHẢ VI)

t ạ i X £ X

n ế u t ồ n tại một phiếm h à m tuyến t í n h l i ê n tục
A : X* Y*

sao cho
r
\\f{x + h)-f{x)-Ah\\

=
Sỉ ||fc||
Khi đó A

được gọi là ĐẠO HÀM FRÉCHET

của / tại X và kí hiệu là
DF(X

) hay v/(x).
Khi Y =

R thì đạo hàm (nếu tồn tại) của hàm / được xác định bởi một phần tử
của X*

€ X*

và biểu thức định nghĩa thường được viết là:
9
1- II f(x + h)-f(x)

- (x*,h)

II
=
Í-S \\h\\
Định nghĩa 1.10 Q9J, trang 2). Ta nói chuẩn ||.|| của X

là KHẢ VI

FRÉCHET
hay là CHUẨN TRƠN

FRÉCHET

nếu ||.|| là hàm khả vi Préchet tại mọi X

G
SX

(nhờ tính thuần nhất của chuẩn ta suy ra chuẩn trơn Fréchet sẽ khả vi
Préchet tại mọi x ^ o ) .
Ví dụ 1.11. Chuẩn Euclide trên một không gian Hilbert H

là chuẩn trơn
Fréchet. Thật vậy, do
lim
= lim
и!
=
0
/ỉ - >0

\\h\\ /ỉ - >0

\\h\\
nên
||.||

2
là hàm khả vi Fréchet tại mọi X £ H.

Theo quy tắc đạo hàm hàm hợp ta
có ||.|| khả vi tại mọi X

ф

0 và
D ||ж|| = -—-, ĩ / o .
\\x\\
Định lý 1 . 1 2

(Smulyan, [9J, Định lý 1.4, trang 3). Cho (X, ||.||) ỉà không gian
Banach với không gian đối ngẫu X*. Khi đó chuẩn ||.|| khả vi
Fréchet tại X G Sx khi và chỉ khi với mọi dẫy fn,g
n
£ Sx-, fn{
x
) 1
và g
n
(x) ->• 1

ta đều cóII f
n
- g
n
II ->• 0

.
Ví dụ 1.13. Chuẩn ỊỊ æ|| =l
Æ
W I trong không gian Banach L

1

không
trơn Préchet.
Thật vậy, với mọi X

= (X(I

)) e SI


1
. Ta định nghĩa FN,G

N

£ SI°°

bởi:
{sign(a:(ỉ)), nếu I

^ N
1
, nếu Ỉ

= N,
1
sign(:r(i)), nếu ỉ ^ n
*i
—
1
, nếu I

=

N.

Khi đó F

N

(X)

1 ,G

N

(X)

-» 1 và ||/
n
-
0
n|lỉ» = 2. Theo Định lý 1.12
chuẩn trên L

1
không khả vi Frechet tại X.

Từ đây ta có điều phải chứng minh.
Định lý 1.14 (pj, Hệ quả 3.3, trang 51). Cho X là không gian Banach
tách được. Khi đó X có chuẩn tương đương trơn Frechet khi và chỉ
khi X* tách được.
Ví dụ 1.15. Các không gian L

P

(Q)

(1 < P <


00
) là không gian có chuẩn tương
đương trơn Préchet vì nó và không gian đối ngẫu của nó tách đưỢc.Tổng quát
hơn, mọi không gian Banach phản xạ tách được đều có chuẩn tương đương
trơn Préchet.
1.3. Dưới vi phân Eréchet
Từ đây về sau ta luôn giả thiết X

là không gian Banach có chuẩn tương
đươngtrơn Frechet và trên X

ta luôn giả thiết chuẩn nói đến
là chuẩn trơn Préchet. Do vậy, ta nói X

là không gian có chuẩn trơn
Eréchet. Hơn nữa chúng ta cũng xét các hàm với giá trị thực mở rộng, tức là có
giá trị trong M : = l u

{+oo}.
Cho hàm / : X

—»■ M. Ta gọi
dom/ := {a? € X : F(X

) G M},
epi/ := {(x, Ằ) Gi X E : ĩ Ẽ I, Ằ > F{

X

)}
1
tương ứng là MIỀN HỮU HIỆU

và TRÊN ĐỒ THỊ

của /.
Hàm / được gọi là CHÍNH THƯỜNG

(proper) nếu dom/ Ỷ

0-
Định nghĩa 1.16 ([
8

j, trang 10). Hàm / : X

—»■ R được gọi là NỬA LIÊN
TỤC DƯỚI

(l.s.c.) nếu với mọi A g M , tập {X

€ X :

FIX

) < Л} là tập đóng.
Định lý 1.17 (Ị 8

j, trang 10). Cho X là không gian Banach, f là hàm chính
thường trên X. Khi đó ta có các khẳng định a) - d) sau đây là
tương đương
a) Hàm f nửa liên tục dưới.
b) Trên đồ thị epi/ là tập đóng trong XxR.
c) Với mọi X G X, với mọi £ > 0 đều tồn tại một lăn
cận V của X
sao cho f(y) > f(x) — £ với mọi y & V.
d) Với mọi dẫy (x
n
) hội tụ tới X trong X ta đều có lim infjj^oo f(x
n
)
>
fi
x

)-
Hơn nữa ta có:
e) Nếu fi, / 2

nửa liên tục dưới thì / 1

+ / 2

cũng nửa liên tục dưới.
f) Nếu (fi)iei là một họ các hàm l.s.c. thì fix) = sup i
€
j fi{x) củng
Ỉ.S.C
g) Nếu f l.s.c. và E с X là tập compact thì f đạt giá trị lớn nhất trên E.
Ví dụ 1.18. i) Mọi hàm liên tục đều nửa liên tục dưới.
ii) Hàm
nửa liên tục dưới khi và chỉ khi A <

4.
Định nghĩa 1.19 (Ịl
6
j, Định nghĩa 1.3). Cho / : X

—► R là hàm I . S . C . , S

c
X

là tập con đóng. Ta nói, / là DƯỚI KHẢ VI FRÉCHET

với DƯỚI ĐẠO
1
nếu X Ф 2
nếu X = 2
h à m F r é c h e t X * tại X nếu tồn tại c
1
- hàm, lõm g sao cho Vg ( x ) = X *
và / — G

đạt cực tiểu địa phương tại X.

Tập mọi dưới đạo hàm Préchet gọi là
DƯỚI VI PHÂN FRÉCHET

của / tại X

và ký hiệu là D~ F(X).
N ó n p h á p F r é c h e t của s tại X là tập hợp
N { S , x ) : = D - ô s ( x ) ,
trong đó ỖS

là HÀM CHỈ

của tập S

, xác định bởi
{0, nếu X

e S ,
+oo, nếu X Ệ S.

Định lý 1 .2 0

([ÕJ, trang 5). Cho X ỉà không gian Banach với chuẩn
trơn Fréchet, f là hàm l.s.c. trên X. Khi đó X* ẽ D~ f(x) khi và chỉ
khi
II /i II —
0
H
Nhận xét 1.21. Khái niệm d ư ớ i

vi phân trong Định nghĩa | 1 . 1 9 |

được gọi
là định nghĩa theo nghĩa nhớt. Định lý|l.20|cho thấy, trong lớp không gian
Banach với chuẩn trơn Eréchet thì định nghĩa đó tương đương với định nghĩa
d ư ớ i

vi phân theo giới hạn trong Ị[TQj. Do vậy theo ỊỊTÕ] chúng ta có rất
nhiều tính chất của dưới vi phân Préchet, mối liên hệ của dưới vi phân Fréchet
và các loại dưới vi phân khác như dưới vi phân Gâteaux, d ư ớ i

vi phân
Clarke, Chẳng hạn
i) Nếu / khả vi Préchet tại X thì D~ F{X)

= {DF(X)};
ii) Nếu / lồi trên X

thì
D~F(X

) = {ж* G X*

: F(Y)

- F(X

) - (X*,Y

- x) > 0,Vy G X}.
Ví dụ 1.22. i) Cho hàm f ( x ) = |ж|,ж ẽ M. Khi đó, tại X > 0 thì / khả vi n ê n
D~f(x) — { Df(x)} = {1}; tại X < 0 thì / khả vi nên D ~ f ( x ) = { D f ( x ) } =
{—1}. Tại X = 0 hàm / không khả vi. Do / lồi
1
nên ta có thể sử dụng Nhận xét 1.21 ii) để tính d ư ớ i

vi phân. Cụ thể
D
/(°) = {p £ M : M — py > 0, Vy G R}.
Chọn Y

= —1 và Y

= 1 ta suy ra — 1 < P <

1. Với p G [—1,1] ta luôn có py <
ы < M nên D~F(

0) = [-1,1].
ii) Tương tự ta có nếu X

là không gian Hilbert và F(X

) = |[жII thì ta cũng có
{{ĨPĨĨ-Ị , nếu X ^ 0
I i - Ư - "
B ỵ , nếu X = 0.
Định lý 1.23 (Nguyên lý biến phân trơn Borwein và Preiss,[fíJ, Định lý 1.6).
CHO F : X —¥

R L.S.C,

E >

0 VÀ X >

0. GIẢ SỬ

И

£ X THOẢ MÃN:
F(U

) < E +

inf /.
X
Khi đó tồn tại c
1
- hàm lồi g trên X và V G X sao cho:

( ỉ ) Hàm X I — ^ f ( x ) + g ( x ) đạt cực tiểu toàn cục tại X = V.
( ii ) \\u — v\\ < a.
( iii )f(v) < £ + inf /.
(ỉv)\\Vg{v)\\<í
1
Nhận xét 1.24. Ta hình dung и là điểm cực tiểu của f (hoặc thuộc một
dẫy cực tiểu). Khi đó có thể nhiễu f bởi một hàm lồi, trơn, nhỏ do
fil Vg(v) II < У ) thì ta nhận được một điểm V bên cạnh и ( vì II и —
V II < Л ) là cực tiểu của hàm nhiễu f + g mà giá trị của f tại đó
(f(y)) vẫn không thay đổi so với f(u) theo nghĩa
inf / < f(v) <£ + inf/.
1.4. Quy tắc tổng mờ
Để phát triển các công cụ của giải tích qua khái niệm d ư ớ i

vi phân, ta có
thể dựa trên một kết quả mang tính chất nền tảng đó là QUY TẮC TỔNG MỜ.
Quy tắc này có hai phiên bản: không địa phương và địa phương. Kí hiệu
đ ư ờ n g k í n h của tập s с X là số
diam(5') := sup {||ж — y II : X, y G S} .
Định lý 1.25 (Quy tắc tổng mờ không địa phương, [
6
], Định lý 2.1). C h o
/ i , / j v • X К l à c á c h à m n ử a ỉ i ê n t ụ c DƯỚI

v à b ị c h ặ n
DƯỚI

v ớ i
> < +00.
Khi đó, với bất ы E > 0, tồn tại x

n
,n = 1,N và Æ* € D~ fn(x
n
) thỏa
mãn
1
{
N
y ^ ỉ n i V n ) : diam(yi,Удг) < Г ]
n=
1
>
N
0

e ^ x*
n
+ E B X *.
n= 1
Nhận xét 1.26. Các điều kiện /i, : X

— >

R là các hàm bị chặn
dưới và
' N
£/n(v») ■

diamY

N

) < T Ì

>
lim inf *
r)-¥0o
không thể thiếu trong quy tắc tổng mờ không địa phương. Điều này có thể chỉ
ra thông qua các hàm trên M. Hai hàm FI(X

) = X

và F

2

(X

) = 0 không thỏa mãn
quy tắc tổng mờ không địa phương bởi vì /i không bị chặn dưới. Hai hàm
FI(X

) = <
5
{
0
}(;c) và Ĩ

2
Ì%)

= ^{Ì}^) cũng không thỏa mãn quy tắc tổng mờ
không địa phương bởi vì thiếu điều kiện
lim inf {/1(2/1) + /2(2/2) : \ \ Y I

— 2/2II < r/} < 00.
77— > 0
Kết quả (1.3) trong quy tắc tổng mờ không địa phương là tương tự
như trong quy tắc tổng mờ địa phương. Tuy nhiên, kết quả (1.1) chỉ cho
chúng ta biết các điểm X

N

là gần nhau, điều này khác với quy tắc tổng mờ địa
phương, ở đó khẳng định rằng, các điểm này gần với điểm cực
tiểu của tổng (với một số giả thiết bổ sung). Lưu ý rằng, kết quả (1.1) còn cho
phép ta kiểm soát “cỡ” của các dưới đạo hàm tham gia trong
tổng. Điều này rất hữu ích trong các ứng dụng. Kết luận (1.2) cho ta
điểm tựa vào giá trị của các hàm nửa liên tục dưới. Trong các ứng dụng, điều
này thường mang lại thông tin gián tiếp về việc xác định vị trí các điểm X

N

.

Ta
sẽ minh họa điều này qua ví dụ sau.
1
> < 00
(1.

sao
Ví dụ 1.27 (Tính trù mật của các điểm dưới khả vi). Cho / : X —>

M là một
hàm nửa liên tục dưới, X £

dom/ và £ £

(0,1). Áp dụng Định lýđối với
/1
= / +
ÕX+B
X
và
/2
= ta có: tồn tại Xị và x
2
sao cho
Iki - x
2
\\ < £, 0 e D + D ồ{
x
}{x
2
) + sB
x
* và
fi(xì) + ỗ{x}M < f(x) + e.
Bất đẳng thức cuối suy ra x
2

= X và do đó X i phải thuộc phần trong của X
+ B
x
nên D ~ f i ( x i ) = D ~ f ( x 1). Chứng tỏ, dom( D ~ f ) trù mật
trong dom/.
Đây là một kết quả khá mạnh. Cụ thể vì dưới đạo hàm của hàm lõm tự
động là đạo hàm nên từ đây suy ra các hàm lõm liên tục trên các không gian
trơn Fréchet là khả vi Fréchet trù mật.
Tiếp theo ta đề cập tới QUY TẮC TỔNG MỜ ĐỊA PHƯƠNG

, một kết
quả quan trọng trong lý thuyết các bài toán tối ưu hóa và là cơ sở để xây dựng
các quy tắc tính dưới vi phân. Như đã đề cập từ trước, quy tắc tổng mờ địa
phương cần phải có các giả thiết bổ sung.
Định nghĩa 1.28 (Nửa liên tục dưới đều, [i
6
J, Định nghĩa 2.4). Cho /i) Ỉ N ' ■
X —■► là các hàm nửa liên tục d ư ớ i

và E là một tập con đóng của X.

Ta nói
bộ (/
1
, là NỬA LIÊN TỤC DƯỚI ĐỀU TRÊN
E

nếu
N
inf yZfni

x
) <
n= 1
N
£/»(*»)
:
II
x
n - x
m
\\ < rì,x
n
,x
m
G E,n,m = 1, ,N
Chúng ta nói (/
1
, /iv) là NỬA LIÊN TỤC DƯỚI ĐỀU ĐỊA PHƯƠNG

tại
N
xen dom/
n
nếu (/
1
, ỈN) là nửa liên tục dưới đều trên mọi hình cầu
71—1
đóng tâm trong lân cận nào đó của X .
1
1.

lim inf
Nhận xét 1.29. Có hai trường hợp đơn giản đảm bảo hệ (/i, /jv) là nửa liên tục
dưới đều địa phương tại X là
(a) Tất cả, chỉ trừ ra một trong các hàm f
n
liên tục đều trong một lân cận của X]
(b) Có ít nhất một trong các hàm F

N

có các tập mức compact trong một lân cận của
X.
Định lý 1.30 (Quy tắc tổng mờ địa phương mạnh, [
6
J, Định lý 2.6). CHO

/i,
F

N

: X

—> M LÀ CÁC HÀM NỨA LIÊN TỤC DƯỚI. GIẢ SỨ

(/i, /jv)
NỨA LIÊN
N
tục dưới đều địa phương tại X và fn đạt cực tiểu địa phương tại X. Khi
n= 1

đó, với mọi £ > 0, tồn t ạ i x
n
e X + e B và x *
n
e D~ f n(x
n
),n = 1,N
sao cho
I f n { x
n
) - f n { x )I < £ , diam(^i,Æjv)-niax(||æ*|| ,\ \ x *
N
\ \ ) < £ ,
n = 1, 2,N và

N
í
n=1
Kết quả này là quy tắc “mạnh” vì nó khẳng định các d ư ớ i

đạo hàm gần
nhau theo chuẩn.
Quy tắc tổng mờ yếu sau chỉ yêu cầu các hàm thành phần nửa liên tục dưới
nhưng kết luận thì liên quan đến tôpô yếu* và các giả thiết về tính cực tiểu
được nới lỏng.
Định lý 1.31 (Quy tắc tổng mờ địa phương yếu, [ÕJ, Định lý 2.7). CHO

:
X

—>■ M LÀ CÁC HÀM NỬA LIÊN TỤC DƯỚI. GIẢ SỬ

X* €
U-(EỈLi fn){x). Khi đó với bất kì E > 0 và bất kì lân cận yếu * V của
1
x
<
0 trong X*, đều tồn tại x
n
€ X + sB, x *
n
€ D fn(x
n
),n = sao
CHO

IFN{X

N

) - FN{X

)I < e, IKIIdiamda:!, ,^}) < £, N =

1,2, ,7V VÀ
Định nghĩa 1.32 (Tính nửa liên tục dưới đều theo dãy, [6], Định nghĩa 2.9). Cho
/i, '■

X

—V

M là các hàm nửa liên tục dưới. Ta nói hệ
(/ij •••) ỉ n ) là n ử a l i ê n t ụ c d ư ớ i đ ề u t h e o d ã y tại X nếu tồn tại
một hình cầu đóng X + Ĩ ] B với tâm tại X sao cho với mỗi N , các dãy { x
nr
}, n =
1,
2
,N,R =


1
,
2
, thuộc X + R]B

X

và ||a;
nr
— X

M R

\\ —>


0
khi R —>

oo, tồn tại một
dãy {U

R

}

các phần tử thuộc hình cầu sao cho \\X

N R

— U

R

\\

—>•
0
và
N
lim inf Ỵ] {FN{X

N R

) - FN(U

r
)) >

0
.
T

—^ 00
1

^

71=1
Để ý rằng, điều kiện của Định nghĩa|l.28|mà chúng ta sử dụng ở đây mang tính tô
pô hơn điều kiện về tính nửa liên tục đều theo dãy trong
Định nghĩa 1.32, Không khó để nhận ra rằng: tính nửa liên tục dưới đều theo dãy
suy ra tính nửa liên tục dưới đều địa phương. Hơn nữa, tính nửa liên tục dưới đều
địa phương thực sự yếu hơn tính nửa liên tục dưới đều theo dãy. Điều này được
khẳng định qua ví dụ dưới đây.
Ví dụ 1.33. Cho X

là một không gian Banach vô hạn chiều và lấy một dãy EỴ
trong X

sao cho ỊỊe^ỊỊ =
1
và IIe* — EI\\ >


1/2
khi K ^ L.

Đặt

A:= {E

K

/L:K,L=


1
,
2
, } u {
0
},
B := {{e
k
+
ei
/k)/l : k,l — 1,2, } u {0}.
Khi đó cả A

và B

đều là các tập con đóng và A

n B

= {0}. Đặt /i := ỎA

và /2 :=
Ỗ

B

■

Ta chứng tỏ rằng, với bất kì
77
> 0, (/
1
, /2) không là nửa liên
N
e E < +
K
71= 1
*
tục dưới đều địa phương trên Ĩ ) B .

Thật vậy, nếu L

là một số nguyên sao cho
2/7 < 77 và cho X Ị

R

= E

R

/ L ] X

2

R

= (e
r
+ ei/ R ) / L

thì ||a:
lr
— £27-11 —>• 0
và F I (

X

I R

) = /2(^2 R )

= OVr. Nếu U

R

là dãy sao cho \ \ X

N R

— U

R

\ \ 0 , N

=
1,2 thì ta phải có U

R

Ỷ

0
v<
3i T

đủ lớn. Vì thế có ít nhất một trong hai giá trị
/2 ( U

R

)

bằng 00 và do đó
2
lim inf ( F N ( X

nr
) - F N ( U

R

) ) =

-00 < 0.
r— ÌOC
ể

^
71=1
Tuy nhiên, (/1, /2) là nửa liên tục dưới đều địa phương, theo Định nghĩa
1.28 bởi vì vế phải luôn không âm trong khi vế trái bằng 0.
Ví dụ 1.34. Lấy X := l
2
và e ỵ là một cơ sở trực chuẩn trong X . Khi
đó X € X

có thể biểu diễn duy nhất X = 'Y^

=

IX{K)E

K

.

Đặt P

N

(X

) :=
Y ^ = i x { k ) e
k ì
ta có ||P
m
(a;)|| < ||P„(a;)|| với m < n , nói riêng \ \ P
n
\ \ < 1 với
mọi n.
Do—>• 0 khi K

—>•
00
nên ll^lloo := max{|xfc(A:)| : 1 < K

<
00
} tồn
tại. Hơn nữa, với k
0
sao cho |a;(fco)| = ll^lloo, ta có
\x{k
ữ
)\ = ||P
fco+
i(x) - P
ko
(x)II < 2 ||a;|| .
Do vậy II ■ II

00
là hàm Lipschitz với hằng số Lipschitz bằng 2.
Đặt F

N

=

{X :

ỊỊa^ll < 3, X(I

) >
0
và X(I

) =
0
khi I

mod 3
7
^
0
và
khi I

< 3N}.

Ta xét hai hàm

+0
2
0
f i { x ) :
-4=
nếu X = 0;
llvlloo
nếu
x =
ầ
e
3n-l + y
e
F
n, nếu
trái lại
và
nếu
X =
О;
F

2

(X
)


1= _
\\У\\

Ж
nếu
X
=
^е
3 п
_
2
+
Y,Y
&
F

N

;

nếu
trái
lại.
\
R
õ
ràng
dom/
i П
dom
/2 =
{0}
nên

theo
tính
duy
О
+00
nhất
của
biểu
diễn
qua
cơ sở
suy
ra /1
+ /2
đạt
cực
tiểu
tại 0.
Từ
định
nghĩ
a ta
thấy
/1 và
/2
đều
bị
chặn
dưới
bởi

—7
vì II
• Il^
là
Lips
chitz
với
hằng
số
Lips
chitz
bằng
2.
B
ây
giờ
chún
g ta
chỉ
ra
/1
là
nửa
liên
tục
d ư ớ
i .
Giả
sử
X

N

G
dom
FL
và
x
n
—>
X.
N
ếu X
= 0
chún
g ta
có
thể
giả
sử
x
n
ф 0
và
do
đó
x
n
=
т -

e ^ k
_1 +
K
n

n
Y

N

,Y
N

E
F

K N

.
Do
K

N
->
00
và
Y

N
-> 0

nên
-^= -
IlyJ^
-> 0.
N
ếu X
Ỷ 0
thì
k
n
Ỷ *
00
■
Thật
vậy,
nếu
k
n
—
>■
00
thì
với
mỗi
i ta
có
x
n (