Phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương luận văn thạc sĩ toán học

Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN THỊ HIỂN
PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÀN
PHƯƠNG
Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Tạ Duy Phượng
HÀ NỘI, 2014
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của
thầy giáo PGS.TS. Tạ Duy Phượng. Sự hướng dẫn giúp đỡ rất tận tình, nghiêm túc của thầy
trong suốt quá trình thực hiện luận văn này đã giúp tác giả trưởng thành hơn rất nhiều trong
cách tiếp cận một vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn lòng kính trọng sâu sắc nhất
đối với thầy.
Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội
1
2, phòng Sau đại học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy cô giáo dạy Cao học
chuyên ngành Toán giải tích đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong suốt quá
trình học tập.
Tác giả xin cảm ơn Sở GD-ĐT tỉnh Vĩnh Phúc, Ban giám hiệu, các thầy cô đồng nghiệp
Trường trung học phổ thông Liên Bảo cùng gia đình, người thân, bạn bè đã giúp đỡ, động
viên và tạo điều kiện thuận lợi để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ và hoàn thành luận
văn này.
Hà Nội, ngày tháng 02 năm2014
Học viên
Nguyễn Thị Hiển
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn của
PGS.TS. Tạ Duy Phượng.
Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn tôi đã kế thừa những thành quả khoa
học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan
những thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.

Hà Nội, ngày tháng 02 năm 2014 Học viên
Nguyễn Thị Hiển
LỜI CẢM ƠN
2
Lời nói đâu
6
Muc
3
BẢNG KÝ HIÊU
N Tập số tự nhiên.
N* Tập số tự nhiên khác không.
R Tập số thực.
M
+
Tập số thực dương.
С Tập số phức.
К Tập số thực hoặc phức
M" Không gian Euclide N - chiều.
CỊ ,
B
-Ị Không gian các hàm số thực liên tục trên đoạn [a;b].
J} Không gian các hàm bình phương khả tích trên [a;b].
L( X, Y ) Không gian các toán tử tuyến tính liên tục từ X
vào Y.
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong những năm gần đây, các phương pháp tối ưu đã được áp dụng sâu rộng
và hiệu quả vào cách ngành kinh tế kỹ thuật, công nghệ thông tin và các ngành
khoa học khác. Nhờ các công cụ tính toán ngày càng hoàn thiện mà các công
4

trình nghiên cứu lý thuyết và thực hành của Tối ưu hóa ngày càng mở rộng và
phát triển.
Ngày nay, đối với các kỹ sư và các nhà nghiên cứu khoa học, kỹ thuật, kinh tế,
công nghệ thông tin, sự hiểu biết về các phương pháp tối ưu cũng cần thiết như
các kiến thức cơ sở của Giải tích, Vật lý, Hóa học,
Bài toán quy hoạch toàn phương đã được nhiều người nghiên cứu, nhưng cho
đến nay nó vẫn là bài toán mang tính thời sự. Với mong muốn tìm hiểu sâu
hơn và nghiên cứu về phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương
nên tôi đã chọn đề tài:
“Phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn phương”
2. Mục đích nghiên cứu
Luận văn nghiên cứu một số phương pháp số giải bài toán quy hoạch toàn
phương, ứng dụng vào giải một số bài toán cụ thể.
3. Nhiệm yụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số phương pháp số. Phân tích các ưu điểm, nhược điểm của
từng phương pháp. Nêu các ứng dụng của các phương pháp vào giải một số
bài toán cụ thể.
5
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phương pháp hạn chế tích cực.
Phương pháp hạn chế giả định.
Phương pháp Gradien đối ngẫu.
Phương pháp điểm trong.
5. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng các kiến thức và công cụ của Đại số tuyến tính, Giải tích, Giải tích
hàm, Lý thuyết tối ưu, Giải tích số và lập trình cho máy tính để tiếp cận và giải
quyết vấn đề.
Sưu tầm nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về vấn
đề mà luận văn đề cập tới.
Suy luận logic, phân tích, tổng hợp và hệ thống hóa các kiến thức về tối ưu.

6. Dự kiến đóng góp mới
Đe tài nghiên cứu một cách có hệ thống một số phương pháp số giải bài toán
quy hoạch toàn phương. Nêu nên các ứng dụng của phương pháp điểm trong
vào giải một số bài toán quy hoạch toàn phương.
Chương 1 Bài toán quy hoạch toàn phương
6
1.1Bài toán tối ưu
Tối ưu hóa là một lình vực toán học nghiên cứu lí thuyết và các thuật toán giải
bài toán cực trị.
Nhiều vấn đề thực tế khác nhau dẫn tới việc giải bài toán cực trị sau:
lìm cự tiểu của phiếm hàm
trong đó
F,GỊ,HJ :K" ^•M(ỉ' = l,2, ,m
1
;;' = l,2, ,m
2
)
Bài toán (1) - (4) được gọi là BÀI TOÁN QUY HOẠCH TOÁN HỌC. Hàm F(X)
được gọi là HÀM MỤC TIÊU, còn các hàm G.,H. gọi là các HÀM RÀNG BUỘC
(các hạn
chế). Tậphợp các vectơ X G X cl" thỏa mãn
ràng buộc
(3) gọi là
TẬP PHƯƠNG ÁN hay MIỀN CHẤP NHẬN ĐƯỢC
ràng buộc)bài toán trên.
Phương án X* thỏa mãn /(**) ^ f(
x
) với mọi phương án chấp nhận X gọi
7
là PHƯƠNG ÁN TỐI ƯU hay LỜI GIẢI của bài toán, /(**) được gọi là GIÁ TRỊ

TỐI ƯU.
Nếu hàm mục tiêu F(X) và các hàm ràng buộc g ; ( x ) đều là các hàm
tuyến tính và X = M
+
, ta có bài toán QUY HOẠCH TUYỂN TÍNH, ngược lại là
các bài toán QUY HOẠCH PHI TUYỂN. Nếu X là tập hợp rời rạc ta có bài toán
QUY HOẠCH RỜI RẠC.
Trong các bài toán quy hoạch phi tuyến thì bài toán quy hoạch toàn phương đã
được nghiên cứu đầy đủ nhất. Luận văn của tôi tập trung nghiên cứu: BÀI
TOÁN QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG là bài toán với hàm mục tiêu là một dạng
toàn
phương /(*) = —(.X, À*)+ (c,.x) + a, trong đó A là ma trận xác định dương,
A là hằng số, còn các hàm ràng buộc g.(x),/ỉ.(x),Ịỉ' = \,RÌ\,J = L,M
2
J đều là
các hàm tuyến tính. Đối vói quy hoạch toàn phương đã có những thuật toán rất
nổi tiếng của Beale, Frank-Wolfe,
Bài toán quy hoạch toàn phương được xét ở đây là trường hợp đặc biệt của bài
toán quy hoạch lồi.
Bài toán quy hoạch lồi là bài toán:
F(X) —»min
8
với các điêu kiện:
trong đó các hàm F{X),GỊ (*),(ỉ = 1,/ra) đều là các hàm lồi và tập X là tập lồi.
Bài toán quy hoạch lồi cũng đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu và đề ra
các thuật toán hữu hiệu. Tuy nhiên đến nay vẫn còn rất nhiều vấn đề cần được
nghiên cứu tiếp.
1.2Một sổ khái niệm cơ bản
1.2.1 Hàm toàn phưomg
Hàm / : R" —>■ R gọi là hàm toàn phương nếu có dạng

9
r y r
trong đó D là một ma trận câp NXN, C là một vectơ N chiêu, a là một sô.
Nhận xét Vì
nên ta có thể giả thiết ma trận D là ma trận đối xứng {D
T
=DỴ
1.2.2 Bài toán quy hoạch toàn phương
Xét bài toán quy hoạch toàn phương:
(P) minỊ/(*):*€ A|,
trong đó / là hàm toàn phương và tập hạn chế
A = Ị*: X € M", AX
> là tập đa diện (polyhedral set).
Neu / lồi thì (P) được gọi là bài toán QUY HOẠCH TOÀN PHƯƠNG LỒI.
Định nghĩa
Ma trận D được gọi là xác định dương nếu V
T
DV> 0,Vv^0.
Ma trận D được gọi là xác định không âm (nửa xác đinh dương) nếu V
T
DV > 0.
Nhận xét Nếu D là ma trận đối xứng, nửa xác định, dương thì / là hàm lồi.
1.3Định lí tồn tại nghiệm của bài toán quy hoạch toàn phưomg
Xét bài toán (P):
(,x,Z).x) + (c,.x) +
" i=1 7=1 i=l
22X*
Ể
*; + 2c
Ể

*
Ể
+a,
Minimize/ (*) := —X
T
DX + C
T
X,
s.t. xeK",Ax>Z7, trong đó D là ma trận đối xứng
(không nhất thiết là xác định dương).
Kí hiệu:
À = |jceM": Ax>b}, ỡ
=inf |/(jc): jceA|.
Qui ước: Nếu À = 0 thì đặt 0 - +00.
Neu À ^ 0 thì có hai trường hợp xảy ra:
• 6 e R là một số thực ỊD > -ao).
• 0 - -00 thì bài toán (P) không có nghiệm.
Câu hỏi 1 Khi 0 ^ —00 thì tồn tại hay không một điểm X € À để hàm số đạt giá
trị cực tiểu, tức là tồn tại hay không một điểm Ĩ6À sao cho F(X) = MIA{F(X))L
Nhận xét Nếu / (x) không phải là hàm toàn phương và À không phải là tập
compact thì điểm tối ưu X E À có thể không tồn tại.
Ví dụ: = —, jteR
+
,jt>l.
X
Ta thấy inf Ị/ (*): X > lj = 0 nhưng không tồn tại X để / (*) = 0.
Định lí 1.1 (Frank-Wolfe, 1956) Nếu 9 = inf {/(*): X € aỊ là hữu hạn thì bài toán
(P) có nghiệm, tức là tằn tại ĨGÁ để f{x) = 0.
Chúng minh Xem, thí dụ, [1], trang 30-35.
Ý nghĩa Nếu / (*) bị chặn dưới trên tập A thì bài toán (P) có nghiệm.

Nhận xét Nếu A không là tập đa diện lồi thì định lý trên có thể không đúng.
Ví dụ /(^:) = JC
1
,VJC = (I
1>
I
2
)GR
2
.
Với A = Ịx = (A:
1
,A:
2
)eM
2
\X
Ỉ
X
2
>1,^! >0,X
2
>oj ta có:
0 =inf |/(jc): jceA| = 0
nhưng không tồn tại X = (.*!,JC
2
) sao cho / (X ) = 0.
NHẬN xét Nếu / (x) không phải là hàm toàn phương, À là tập đa diện lồi thì
định lý trên có thể không đúng.
VÍ DỤ F(X) = XỊ +(L-X

Ỉ
X
2
Y >0,A: = (^,A:
2
)
R
EM
2
. Đặt A = |a: = (j[:
1
,J[:
2
)gM
2
: X
L
>0,.x
2
>oỊ.
Câu hỏi 2 Khi nào /(x)bị chặn dưới trên trên tập À?
Định lí 1.2 (Eaves, 1971) Bài toán (P) có nghiệm khỉ và chỉ khi ba điều kiện
sau được thỏa mãn:
1. A*0
2. Nếu V € R", Av > 0 thì v
T
Dv > 0.
3. Nếu V € M", xeR
n
sao cho Av > 0 ,V

T
Dv — 0,ẨJC > b, thì (Dx + cỴ
> 0.
Chứng minh
ĐIỀU KIỆN CẦN Giả sử bài toán (P) có nghiệm X thì X € À nên À ^ 0.
Giả sử vgR" và AV > 0.
Do A(X +tv) = Ax +tAv>b,Vt > 0 nên X +tv &A,Vt >0.
Vi X là nghiệm nên /(i)>/(ĩ),VjceA. Suy ra F(X+TV)>F(X),VT> 0. Do đó
\ _ 7- _ _ 1_______ _
—(je +tv) D{x + tv) + с
т
(л + tv) > —x
T
Dx + c
T
x,yt > 0.
Vậy
1 _ T _
—t
2
v
T
Dv + tị^Dx + c) v>0,Ví >0 , hay v
T
Dv> 0.
Chứng tỏ điều kiện 2 được thỏa mãn.
vô
nghiệm.
Từ trên ta thấy, nếu X là nghiệm của bài toán (P) thì điều kiện 2 được thỏa
mãn, tức là V

T
DV > 0 với mọi V G R" mà AV > 0. Bây giờ giả sử V
T
DV - 0 với
mọi veR",JceR" mà AV>0,AX>B.
Khi ấy vì JceA nên X + TV eA,Ví >0, suy ra F(X + TV)> /(x),Ví >0, hay
1 T
—(л + ív) D(x + tv) + c
T
(x + tv)>>0,
tức là
—x
T
Dx + —t
2
v
T
Dv + tx
T
Dv + с
т
X + tc
T
V >/(^),Ví> 0.
Do V
T
DV - 0 nên biểu thức trên trở thành
1 _ T .
—x
T

Dx + c
T
x + t{Dx + c) v>/(!x),Ví>0.
Vậy (DX + CỴ V > 0. Chứng tỏ điều kiện 3 được thỏa mãn.
ĐIỀU KIỆN ĐỦ Xem [1], trang 36 - 40.
Hệ quả 1.1 Giả sử D là ma trận đối xứng nửa xác định dương. Khi đó (P) có
nghiệm khi và chỉ khi А Ф 0 và nếu
v€R",.x:€R",Av>0,v
r
Dv = 0,Ax:>Z>, thì (ZXt + c)
r
v>0.
Chúng minh
Hiển nhiên, điều kiện 1 và điều kiện 3 của Định lí Eaves được thỏa mãn.
Vì D là ma trận đối xứng nửa xác định dương nên X
T
DX > 0, Vjc € R", hay V
T
DV
> 0,Vv € M". Do đó điều kiện 2 của Định, lí Eaves (Định lí 1.2) được thỏa mãn.
Hệ quả 1.2 Giả sử D là ma trận đối xứng nửa xác định âm. Khỉ đó (P) có nghiệm
khi và chỉ khi các điều kiện sau được thỏa mãn:
(i) A*0.
(ii)NẾU V € R", AV >0 , THÌ V
T
DV = 0.
(iii) NẾU v€R",Av>0,.x:€R",Ax:>Z> THÌ (DX + CỴ V> 0.
Chứng minh Do D là ma trận nửa xác định âm nên X
T
DX < 0, Vjc € R", hay

v
r
Dv<0,Vv€R".
Theo điều kiện 2 của Định lí Eaves (Định lí 1.2) thì từ V € R", AV > 0, suy ra
V
T
DV > 0. Chứng tỏ V
T
DV = 0.
Mặt khác, từ điều kiện AV > 0 suy ra V
T
DV - 0. Do đó kết luận cuối cùng của Hệ
quả 1.2 được suy ra từ kết luận 3 của Định lí 1.2.
Hệ quả 1.3 Giả sử D là ma trận đối xứng xác định dương. Khi ấy (P) có nghiệm
khi và chỉ khi À ^ 0.
Chúng minh Do D là ma trận xác định dương nên từ V
T
DV = 0 suy ra V = 0,
chứng tỏ (DX + CỴ V = 0. Kết họfp với Hệ quả 1.1 ta có điều phải chứng minh.
Hệ quả 1.4 Giả sử D là ma trận đối xứng xác định âm. Khi ấy (P) có nghiệm khi
và chỉ khi À khác rỗng và compact.
CHỨNG MINH Do D là ma trận đối xứng nửa xác định âm nên điều kiện (ii),
(iii) của Hệ quả 1.2 được thỏa mãn khi và chỉ khi tập L := Ịv € M": AV > o|
chứa một phần tử v = 0. Vì L là nón lùi xa của tập đa diện lồi À = Ịje e M": Ax
> &| nên điều kiện L = Ịo} tương đương với tính compact của A. Do đó ta
khẳng định được Hệ quả 1.4 từ Hệ quả 1.2.
Hệ QUẢ 1.5 Giả sử D là ma trận đối xứng. Khi ấy bài toán
min ị— X
T
DX + C

T
X: X € M", AX > B, X > 0 j
có nghiệm khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn:
1. A = Ị.X€R" :AX>B,X> o|^0.
2. NEU V € M",ẨV > 0 , THÌ V
T
DV > 0.
3. NẾU v€R",.x:€R",Av>0,v>0,v
r
Dv = 0,Ax:>Z>,.x:>0 THÌ (DX + CỴ V> 0.
min ị— x
T
Dx + C
T
X: X € R”, Ax > z?|.
Áp dụng Định lí 1.2 suy ra điều phải chứng minh.
HỆ QUẢ 1.6 Giả sử D là ma trận đối xứng. Khi ấy bài toán
min Ị— x
T
Dx + C
T
X: X € M”, Ax > b, Cx = d
có nghiệm khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa mãn:
1. A = ịxeM
n
:Ax>b,Cx = d^0',
2. Neu V eW,Av>0,Cv = 0 thìv
T
Dv> 0;
(Pl)

,B =
,0,
Chúng minh Đặt A - thì (Pl) trở thành
(P2
3. Nếu veM",JC€l" sao cho Av > 0,Cv - 0,v
T
Dv - 0,ẨJC >b và Cx — d thì (Dx
+ cỴ v> 0.
Chứng minh Đặt
Khi đó bài toán (P2) có thể viết lại thành
min Ị— x
T
Dx + C
T
X: X € M", Ax > bị.
Áp dụng Định lí 1.2 suy ra điều phải chứng minh.
1.3Các điều kiện cực trị
1.3.1 Điều kiện cực trị cấp 1
Định lí 1.3 Giả sử X là nghiệm của bài toán sau
đây: min Ị/ (*) = —x
T
Dx + C
T
X: X e Aị,,
trong đó D là ma trận đối xứng, À cz M" là đa diện lồi.
i) Neu X là nghiệm của bài toán (1.1) thì
(Dx + c,x-x}> 0,Vjt€ A.
ii) Nếu
(Dx + c,x - *) > 0, Vx € À \ ì*} , thì
X

là nghiệm địa phương của (1.1), hơn nữa tồn
tại
£ >
0 và p > 0 sao cho /(x)-/(x)> p||x-x||,VA:eÀn5(^,í:).
Chứng minh
i) Nếu X là nghiệm địa phương của (P ), thì tồn tại 8 > 0 sao cho
f(x)>f(x),Vxe AnB(x,s).
ỊB'
A =
c
,B
=
D
-D,
(1.1
(1.2
(1.3
Ьаул:е А\{л:}. Khi ấy do A là tập đa diện lồi nên tồn tại ổ >0 sao cho X +
Í(.X-Ã;) € ANSS(3C,F),VI E(0,Ổ).
Suy ra
/(* +i(*- *))-/( *)>0.
Bỏi vậy
f(x+t(x-x))-f(x)
1 < ỉim
tịữ
J-Ï =f'(x,x-x)
= (Vf(x),x-x^ = (Dx+c,x-x).
Vậy (1.2) được chứng minh.
ii) Xem [1] trang 46 - 47.
Định lí 1.4 (Cottle, 1992) Neu X là nghiệm địa phương của (P) thì tồn tại Ẵ =

(Ả
1
, ,Ẳ
n
Ỵ eM
m
sao cho:
Dx - A
T
Ẳ + с = 0
< Ах-Ъ> ОД > о (1.5)
Ả
T
(Ax-b) = Q
Chúng minh Kí hiệu AỊ là dòng thứ I của A, và tập ÃỊ = AỊ, BỊ là thành phàn thứ I
của vectơ B. Kí hiệu tập А = Ịjc e M" : AX > .
Giả sử X là một nghiệm địa phuofng của (P). Theo Định lí 1.3 (i), ta có tính chất
(1.2).
Kí hiệu tập I = = ịie I :(a
i
,x) = b
i
} và /j = Ị ỉ' e I :[a
i
,x)>b
i
Giả sử vel" thỏa mãn (ữ.,v) >0,Vỉ'e/
0
.
Tưofng tự như chứng minh Định lí 1.3 (ii), tồn tại S

Ỉ
> 0 sao cho
(a
if
x +tv) ầ.bị,Vi € / vàíe(0,5
l
).
Thay X = X+TV, trong đó T € (o,^), vào (1.2) ta được (DX + c,v) > 0. Khỉ đó ta có
(-DX - c,v)<0 với mỗi vel" thỏa mãn (-a
Ể
,v) <0,Vỉ € /
0
.
Theo Định lí 1.3 tồn các số thực không âm ẲỊ (ỉ € /
0
) sao cho
2^(
_а
0
= _ш_с
- (*)•
ie/
0
Đặt Ẵị =0»Vî'g/j và Ắ
Do DỊ = AJ,VI € / với, từ (*) ta thu được phương trình đầu tiên trong (1.5). Do
ĩeAvà Ẳ.(Ах -Ь.) = 0 với mỗi ỉ' € /, những điều kiện khác trong (1.5) cũng được
thỏa mãn. Định lí được chứng minh.
Hệ quả 1.7 (Murty, 1972) Neu ĩeR" là nghiêm địa phương của bài toán min ị—
x
T

Dx + с
т
X : X € R”, Ax > b, X > o|
thì tồn tại Ả € M" sao cho
Dx - A
T
Ẳ + с > 0 < Ах-Ь>0,х >0Д>0 (1.6)
X (DX - A
T
Ẵ + c"j + Ẵ
T
(Ах - b) = 0.
HỆ QUẢ 1.8 Neu je e M" là nghiệm địa phương của bài toán (P2)
min ị— X
T
DX + С
Т
X : X € R", AX > B, CX = í/|
ứiì tồn tại Ắ G M" và /íeK" sao cho
Dx - A
T
Ẳ - с
т
/л + с = 0
< Ах -Ь>0,х >0Д >0 Ẳ
T

(Ах -b^ = о
1.3.2 Điều kiện cực trị cấp hai
Định lí 1.5 (Majthay 1971, Contese 1980 ) Điều kiện cần và đủ để ĩel" là nghiệm

địa phương của bài toán (P2) là tồn tại một cặp vectơ
= sao cho
i) Hệ
Dx — A
T
Ẵ — C
T
fi + c = 0
< Ax-b>0,Cx =d,Ẵ >0 (1.8)
Ẵ
T
( A x -Z?) = 0
được thỏa mãn, và
ii) Nếu veM”\{0} sao cho A
I
v = 0,A
I
V > 0, Cv = 0 , trong đó
H = {ỉ': =
B
IÁ > 0},/
2
= {i: =
B
IẪ = °}
thì v
T
Dv > 0.
Chứng minh Xem [1] trang 50, 52-58.
Định lí 1.6 (Cottle, 1992) Điểm ĩeR" là nghiệm địa phương của bài toán (P2)

nếu hai điều kiện sau được thỏa mãn: i) (V/(^),v} = (D^ +
c)>0,Vver
A
(^),
trong đó
T
A (*) = {v e M”: AJV > 0,CV = o},/
0
= {i ■.A
I
X=B
I
)
iĩ) v
T
Dv > 0 với mọi ve T
ầ
(!x)
n (v/ (^))
x
,
trong đó
V/(ĩ)
1
= {veE":(V/(ĩ),v) = o}.
Chứng minh Xem [1], trang 52.
Định lí 1.7 (Mangasarian 1980, Contesse 1980) ĐIỂM X e R" LÀ NGHIỆM ĐỊA
phương của bài toán (P2) khi và chỉ khi tồn tại e M
m
X R* sao cho

(i) Hệ (1.8) được thỏa mãn.
(ii)Nếu V € R" \ {0} sao cho Aj V = 0, Aj V > 0, Cv = 0, trong đó
I
1
= {i:A
i
x=b
i
,X
i
>0}
I
2
={i:A
i
x=b
i
,Ẵ
i
= 0}
thì v
T
Dv > 0.
Chứng minh Xem [1], trang 58 - 60.
Định lí 1.8 Điểm ĩeK" là nghiệm địa phương duy nhất của bài toán (P2)
khi và chỉ khi hai điều kiện sau đây được thỏa mãn:
i) (V/(^),v) = (flx+c)>0,Vve7
,
A
(^)

>
TRONG ĐỎ
T
Ă
(x) = {v e R": A
Ig
>0,Cv = 0ị,ĩ
0
= ịi :A
I
X=B
I
}
ii) v
T
Dv > 0,Vv G r
A
(!x) n (v/(^))
X
,
trong đỏ
V/(Ĩ)
1
= {VEK”:(V/(Ĩ),V) = OỊ.
Chứng minh Xem [1], trang 60 - 61.
Định lí 1.9 Nếu ĩeR" là nghiệm địa phương duy nhất của bài toán (P2) thì
tồn tại £ >0,p>0 sao cho /(*)-/(*)>p||;t-Ã:||
2
,V.X€ Afì#(*",£) , trong ĐÓ
A = Ị* € R”: Ax > b, Cx =

Chúng minh Xem [1], trang 61 - 62.
Chương 2
Một số phương pháp số giải bài toán quy
hoạch toàn phương
Trong chương này chúng tôi trình bày bốn phương pháp số giải bài toán qui
hoạch toàn phương: Phương pháp hạn chế tích cực, Phương pháp hạn chế không
tích cực, Phương pháp Gradient đối ngẫu theo tài liệu [2], Phương pháp điểm
trong theo tài liệu [4].
2.1Phương pháp hạn chế tích cực
2.1.1 Bài toán quy hoạch toàn phương
Xét bài toán quy hoạch toàn phương (PQ)
min f(x) = —x^Dx + C
T
X,
aỊx> bị, ie I, (PQ)
ajx = bị, ÌGE,
trong đó D là ma trận đối xứng nửa xác định dương; Ỉ, E là tập các chỉ số tự
nhiên; ỮỊ e M”, BỊ e M, ỉ' e I u E, X,C e M”.
Đe thuận tiện trong sử dụng, dưới đây chúng nhắc lại các tiêu chuẩn tối ưu đã nêu
trong chương 1 áp dụng cho bài toán (PQ).
Điều kiện cực trịGiả sử X* là điểm chấp nhận được (thỏamãn hạn chế) của
bài toán (PQ). Khi ấy X* là nghiệm của bài toán (PQ) khi và chỉ khi tồn tại Ả*
với / G/UÊ sao cho
Dx* + c— ^ Ä*a
t
; = 0,
ie l UE
Ấ*(b
l
-aỊx*) = 0,ieI, Ẳ*

>0, i € /.
2.1.2 Tối ưu hàm toàn phương trên đa tạp affine. Phương pháp phân rã
vuông góc
Xét bài toán
min f(x) = — ^Dx + C
T
X,
Ax = b,
trong đó
DeR
nx
, AeM"”, m<n, jc.ceR", beR
m
.
ĐỊNH NGHĨA Tập M được gọi là ĐA TẠP AFFINE nếu với mọi X
L
,X
2
EM thì aXj
+ SSX
2
e M với mọiA,SS e M.
Ta có điều kiệncực trị sau cho bài toán (EP):
xeR" là nghiệm của bài toán (EP) khỉ và chỉ khỉ tồn tại X G R
m
sao cho
Dx + c- A
T
X - 0, (2.1)
Ax=b (2.2)

Theo phân rã Cholesky (xem, [3], trang 191), ta có thể phân tích ma trận A như
sau:
với Q là ma trận vuông cấp N trực giao, R là ma trận tam giác trên khả nghịch, Q
Ỉ
là ma trận cấp NXM, Q
2
là ma trận cấp NX(N- M).
Vì Q là ma trận trực giao nên ta có:
(E
=
0
= [&.&]
0
A
T
=Q
AQ
2
= (Q
1
R)
T
Q
2
= R
T
QỈQ
2
= 0.
Chứng tỏ các vectơ cột của Q

2
tạo thành cơ sở của không gian nhân của A,
N ( A ) :={jeeM":Aje = o}
có số chiều là N-M.
Giả sử JC° =Q
1
(R
T
Y
Ỉ
B thì
Ajc° = (Q
X
R)
T
Q
x
(R
T
r
l
b = R
T
QĨ ổ! (R
T
y
l
b = b.
Giả xử X là điểm chấp nhận được của bài toán (EP), tức là AX = B. Khi ấy A(X -
л:

0
) = 0, do đó X - Л
0
€ N(A).
Bài toán (EP) được đưa về bài toán tối ưu toàn phương không hạn chế:
r
min f(z),
ZG R
n
~
m
,
trong đó
f(z) = f(x) = f(Q
2
z + x°)
2 ^.0 , ^ _чГ 7Л/ 0
2
= -Z
T
QIDQ
2
Z + (Dx° + c)
T
Q
2
Z + ~(Gx° + c)
T
x°.
Theo điều kiện càn cực trị cho bài toán tối ưu không có hạn chế ta có: Z là

nghiệm của bài toán (P) khi và chỉ khi Z là nghiệm của hệ tuyến tính
v/(z ) = 0Qĩ DQ
2
)Z + Qĩ (Dx° + c) = 0.
Do đó
(.QÎDQ
2
)z=-QUDx° + C). (2.3)
Q
T
Q = i
n
, QĨQi=i
m
, QĨQ
2
= i
m
-n’ QĨQ
2
=0.
Suy
(P
= x(*
u
+ Q2Z)
T
D(X° + Q
2
z) + C

T
(X° + Q
2
z)
Trong công thức trên Q 2 DQ
2
là ma trận Hessian thu gọn và DX° +C là gradient
thu gọn.
Vì vậy nếu X là nghiệm của bài toán (EP) thì X = JC° + Q
2
Z.
Ta đi tính Ẳ như sau:
Từ Dx + с - A
T
Ẳ - 0 suy ra QịRẦ, - Dx + c. Do đó RẲ = ßf
1
(Dx + с) hay
RẲ - QỊ (DX + С ), trong đó R là ma trận tam giác trên khả nghịch.
Giải hệ phương trình này từ dưới lên trên ta tìm được Ẳ.
Nhận xét Nếu ma trận D = QỊDQ
2
là xác định dương thì X là nghiệm duy nhất của
(EP), Z là nghiệm duy nhất của hệ phương trình (2.3).
2.1.3 Mô tả phưomg pháp hạn chế tích cực
Nội dung của phương pháp hạn chế tích cực là tại mỗi bước ta sử dụng tất cả các
hạn chế tích cực. Phương pháp được mô tả như sau.
Giả sử tại bước thứ K ta đã biết X
H
, thì ta có thể tính được
aỊx

k
=b ị , i& A
k
\
aỊx
k
>b ị iiA
k
.
Ở đây A
K
là tập các hạn chế tích cực,
A
k
—E\jịiel :afx
k
—bịỴ
Cùng với bài toán (EP)
min f(x) = — x^Dx + C
T
X,
ta xét bài toán (EP )
aỊx>
b, a Ị
(EP
I

€
/; I
min—s

T
Ds +
s
T
c
k
, 2
afs = 0,Vỉ€ A
K
,
trong đó
c
k
=Dx
k
+c = Vf(x
k
).
Theo điều kiện cần và
đủ cực trị, điểm S
K
thỏa
mãn điều kiện tối ưu
khi và chỉ khi tồn tại
CÁC ẲỊ không đồng
nhất bằng 0 sao cho
Ds
k
+C
k

-
'
Z
^
í
k
a
i
=

0
ieA
k
afs
k
= 0, ieA
k
trong đó ẲF,I € A
K
là
các nhân tử Lagrange
ứng với S
K
. Từ (2.4) và
(2.5) ta suy ra:
D(x
k
+S
k
) + C-

X
^
(EP
k
(2.
(2.