Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2
TRẦN THỊ THU HIỀN
QUY TẮC TỔNG MỜ KHÔNG ĐỊA PHƯƠNG
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02
Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN VĂN
BẰNG
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Trần Văn Bằng, người đã định hướng chọn đề
tài và tận tình hướng dẫn tôi để tôi có thể hoàn thành Luận văn này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các Thầy, Cô dạy cao
học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn
động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành
Luận văn.
Tôi xin trân trọng cảm ơn!
Hà Nội, tháng 07 năm 201Ậ Tác giả
Trần Thị Thu Hiền
Lời cam đoan
Luận văn này là kết quả của bản thân tôi đạt được trong quá trình học tập và nghiên cứu,
dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Văn Bằng và sự giúp đỡ của các Thầy, Cô trong khoa Toán
Trường ĐHSP Hà Nội 2 và của các Thầy, Cô đã trực tiếp giảng dạy chúng tôi.
Trong khi nghiên cứu, hoàn thành bản Luận văn này tôi đã tham khảo một số tài liệu đã
ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Tôi xin khẳng định kết quả của đề tài “Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng”
không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.
Hà Nội, tháng 7 năm 201Ậ Tác giả
Trần Thị Thu Hiền
Mục lục

Quy tắc tổng mờ
không địa phương và
ứng dụng
Mở đầu
Chương 1
1.1.
6
6
6
1
0
1
1
1
3
1
6
1.1.1.
1.1.2
.
1.1.3
.
1.2
1.2.1
.
1.2.2
Không gian Banach và không gian đối ngẫu
Định nghĩa và những tính chất cơ bản
Hàm khả vi trên không gian Banach
Một số kiến thức của Giải tích hàm

Một số kiến thức chuẩn bị
Nón pháp và dưới vi phân
Dưới vi phân Fréchet
Nón pháp Fréchet
✓
Anh xạ đa trị
Hàm Lipschitz
Hàm lồi
Chương 2.

32
Quy tắc tổng mờ không địa phương
2.1
.
3
2
Quy tắc tổng mờ địa phương
Bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng
Nguyên lý cực trị
Kết luận
Tài liệu tham khảo
4
6
5
1
2.
3.
Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Trong chương trình đại học, chúng ta đã được biết về vai trò của đạo hàm, vi

phân (cổ điển) trong việc khảo sát hàm số một biến số, nhiều biến số, đặc biệt là
trong việc khảo sát cực trị của chúng, vấn đề đặt ra là khi các hàm số xác định
trên các không gian vô hạn chiều (các phiếm hàm) hay khi các hàm, phiếm hàm
đó không khả vi theo nghĩa cổ điển (còn gọi là không trơn) thì cực trị của chúng
được khảo sát như thế nào?
Để giải quyết vấn đề này, các nhà toán học đã đề xuất khá nhiều cách tiếp
cận, trong đó phải kể đến cách mở rộng khái niệm đạo hàm, vi phân, nói cách
khác là đưa ra những công cụ mới có tính năng tương tự như đối với đạo hàm.
Một trong những công cụ quan trọng đó là dưới vi phân hàm lồi. Khái niệm này
đã có ứng dụng rất tốt trong lớp các hàm lồi. Để nghiên cứu các hàm không lồi,
chẳng hạn lớp các hàm nửa liên tục thì chúng ta cần tới các loại dưới vi phân
khác như dưới vi phân Clarke, dưới vi phân Prechet, dưới vi phân
Mordukhovich, .(xem
L3J-LQJ)-
Khái niệm dưới vi phân có một số cách tiếp cận như: thông qua giới
hạn; thông qua hàm thử (theo nghĩa nhớt); thông qua nón pháp., (xem
LBJ-L9J)-
Với khái niệm dưới vi phân trong tay, chúng ta cần thiết lập các quy tắc tính,
các kết quả mô tả tính chất của hàm thông qua dưới vi phân tương ứng (nếu có
thể) với các kết quả đã biết trong giải tích cổ điển.
Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề đó, được sự hướng dẫn của
TS.Trần Văn Bằng, tôi mạnh dạn chọn đề tài:
“Quy tắc tổng mờ không địa phương và ứng dụng Nội dung của
Luận văn gồm hai chương.
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị, cần thiết cho việc trình bày nội
dung của Chương 2, bao gồm: Một số khái niệm và kết quả của Giải tích hàm,
khái niệm dưới vi phân Frechet.
Chương 2 trình bày về quy tắc tổng mờ không địa phương của Bor- wein,
Treiman, Zhu. ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương của Ioffe,
bất đẳng thức giá trị trung bình đa hướng của Clarke, Ledyaev và nguyên lý

cực trị của Mordukhovich.
2. Mục đích nghiên cứu
- Tìm hiểu về quy tắc tổng mờ không địa phương của Borwein, Treiman, Zhu.
ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương của Ioffe, bất đẳng thức
giá trị trung bình đa hướng của Clarke, Ledyaev và nguyên lý cực trị của
Mordukhovich.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Tìm hiểu về dưới vi phân.
6
- Tìm hiểu quy tắc tổng mờ không địa phương.
- ứng dụng để chứng minh quy tắc tổng mờ địa phương, bất đẳng thức giá trị
trung bình đa hướng và nguyên lý cực trị.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Dưới vi phân và ứng dụng.
Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu trong lớp hàm nửa liên tục.
5. Phương pháp nghiên cứu
Tìm hiểu tổng quan về các kết quả tổng quát, chi tiết hóa các chứng minh nếu
có thể, lấy ví dụ cụ thể để minh họa.
6. Dự kiến đóng góp
Các đóng góp của luận văn là trình bày hệ thống kiến thức
về dưới vi phân và quy tắc tổng mờ không địa phương; cách
sử dụng quy tắc đó trong nghiên cứu các tính chất của hàm
số.
7
Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
1.1. Một số kiến thức của Giải tích hàm
1.1.1. Không gian Banach và không gian đối ngẫu
Mục này trình bày những khái niệm, tính chất về không gian Banach và
không gian liên hợp. Cho X là một không gian vectơ thực.

Định nghĩa 1.1 (Xem 11], trang 11-12). Một chuẩn trong X, kí hiệu ||.||, là một
ánh xạ từ X vào R thỏa mãn các tiên đề sau:
Với Vw, V € X và a e R
(i) ||u|Ị > 0;
(ii) IMI = 0 nếu u = 0;
(iii) ||au|| = \a\. IMI ;
(iv) ỊỊm + v|| < ỊỊw|| + \\v\\ (bất đẳng thức tam giác).
Số ||m|| gọi là chuẩn của u e X.
Một không gian vectơ X cùng với một chuẩn ||.|| xác định trong không gian ấy
được gọi là một không gian định chuẩn, kí hiệu (X, ||.|Ị) hay đơn
giản là X
Mệnh đề 1.2 (Xem |I], trang 12). Cho X là một không gian định chuẩn với
chuẩn ||.||. Với Vx, y G X, đặt
d{x,y) = \\x - yII .
Khi đó d là một metrỉc trên X.
Định nghĩa 1.3 (Xem IPP, trang 21). Giả sử (X, ||.ỊỊ) là một không gian định
chuẩn và x
0
là một không gian con của X. Dễ dàng thấy rằng x
0
cùng với chuẩn
cảm sinh từ chuẩn trong X là một không gian định chuẩn và gọi là không gian
con của không gian định chuẩn (X, ||.||).
Nếu x
0
đồng thời là tập đóng trong không gian X thì không gian định chuẩn
Xo gọi là không gian con đóng trong không gian X.
Định nghĩa 1.4 (Xem [IỊ, trang 12). Cho X là một không gian định chuẩn với
chuẩn ||.||. Nếu X cùng với metric d(x,y) = ||x — yII là một không gian metric đủ
thì X được gọi là một không gian Banach.

Nếu không nói gì thêm trong luận văn này, không gian Banach được kí hiệu
là X với chuẩn ỊỊ.||X hoặc ỊỊ.||.
Một số ví dụ về không gian Banach.
Ví dụ 1.5. Không gian X := M là không gian Banach trên trường số thực với
chuẩn ||m|| = |w| , Vm G 1.
Ví dụ 1.6. Không gian l
2
bao gồm tất cả các dãy số X = (xn) sao cho
- .

^I 12 ?
chuôi Fn| hội tụ với chuấn là không gian
0
Ví dụ 1.7. Không gian C[a,b] gồm những hàm liên tục (giá trị thực hoặc phức)
trên một đoạn [a,b] với chuẩn 11/11 = max|/(:r)| là không
[a,6]
gian Banach.
Định nghĩa 1.8 (Xem ỊỊỊ|,trang 61). Cho X là một không gian định chuẩn với
chuẩn II. II. Mỗi ánh xạ tuyến tính liên tục X* : X —> R gọi là một phiếm hàm
tuyến tính liên tục xác định trên X.
Nếu X* là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X và X £ X thì giá trị của
X* tại X được kí hiệu là {x*,x}.
Dễ dàng chứng minh được rằng, tập tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục
trên X với phép cộng ánh xạ tuyến tính và phép nhân ánh xạ tuyến tính với một
số thực lập thành một không gian vectơ (tuyến tính) thực. Ta gọi không gian này
là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của X và kí hiệu là X*.
Định lý 1.9 (Xem ỊỊỊI). Không gian X* với chuẩn xác định bởi
l(z*,z)l
F * = sup I I INI
là một không gian Banach.

Định nghĩa 1.10 (Xem |ỊT], trang 73). Không gian liên hợp của không gian X*
gọi là không gian liên hợp thứ hai của không gian định chuẩn X và kí hiệu X**.
Như vậy
Định lý 1.11 (Xem [1], trang 85). Cho X là không gian Banach, X** là không
gian liên hợp thứ hai của X. Khi đó, tồn tại một phép đẳng cự tuyến tính từ X
vào X**.
Định nghĩa 1.12 (Xem [CEJ, trang 85). Không gian định chuẩn X gọi là không
gian phản xạ, nếu X = X**.
Theo Định lý 1.11 thì X đẳng cự tuyến tính với không gian liên hợp thứ hai X
= X** của nó. Do đó không gian phản xạ là một không gian Banach.
Định lý 1.13 (Xem 11], Định lý 3.2). Không gian con đóng của một không gian
phản xạ là không gian phản xạ.
Tôpô ƠQ sinh bởi chuẩn của X* trong Định lý L9 gọi là tôpô mạnh trong X*.
Định nghĩa1.14 (Xem [3J). Tôpô ơ
w
trong X* gọi là tôpô yếu nếu nó
là tô pô xác định bởi họ các lân cận của x
ữ
là các tậpcó dạng
{x* e X* : (x**,x*) < £, ỉ = 1,k} (1.1)
trong đó X ị * ẽ x * *
:
i = 1, k và £ > 0.
Định nghĩa 1.15 (Xem [3J). Tôpô ơ* trong X* gọi là tôpô yếu * nếu nó là tô pô
xác định bởi họ các lân cận của X Q là các tập có dạng
{x* G X* : ( x l x ị )

< £ ,

i = 1,k }

, (1.2)
trong đó X i

€ X ,

i = 1, k

và £ > 0.
Định nghĩa 1.16 (Xem [1J). Tập A c X đóng (bị chặn, compact) theo tôpô yếu
trong X được gọi là tập đóng (tương ứng, bị chặn, compact) yếu. Tập A đóng
(bị chặn, compact) theo tôpô yếu * trong X* được gọi là tập đóng (tương ứng,
bị chặn, compact) yếu *.
1.1.2. Hàm khả vi trên không gian Banach
Mục này trình bày những khái niệm: Đạo hàm theo phương, đạo hàm
Gâteaux, đạo hàm Fréchet. Các kiến thức trình bày trong phần này được lấy từ
các tài liệu [2J. Cho X, Y là những không gian Banach thực. Giả sử rằng F : X
—> Y là một ánh xạ với miền xác định D(F) = X.
Định nghĩa 1.17 (Xem [2]. Định nghĩa 1.5). Cho d € X và X € X. Nếu giới hạn
(1.3)
tồn tại thì F được gọi là có đạo hàm theo hướng d tại X, kí hiệu là
F'(x,d).
Định nghĩa 1.18 (Xem [2]. Định nghĩa 1.6). Cho X € X là
một điểm cố định. Ánh xạ F : X —>• Y được gọi là khả vi
Gâteaux tại X nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính liên tục A
: X —>■ Y thỏa mãn
với mỗi h € X, trong đó t —>■ 0 trong M.
Ánh xạ A được gọi là đạo hàm Gâteaux của F tại X và giá trị của nó
tại h được kí hiệu là A(h) = d F ( x , h ) .
Từ định nghĩa trên, đạo hàm Gâteaux là một ánh xạ từ X

vào Y.

Chú ý rằng
nếu F

là một ánh xạ tuyến tính, thì d F ( x , h

) = F ( h

) hay d F { x )

= F

với e X .
Nếu / là một hàm trên X ,

hay / : X

— >

M, và / khả
vi Gâteaux
tại X

€ X ,

thì d f ( x , h

) = +

và với mỗi X

ẽ X

cố định,
d f ( x , h

) là một hàm tuyến tính của h £ X .
F(x + th) — F(x) t
- A { h )

=0
(1.4
li
m
Nhận xét 1.19. Nếu đạo hàm Gâteaux tồn tại thì nó là duy nhất.
Định nghĩa 1.20 (Xem [2]. Định nghĩa 1.8). Cho X là một điểm cố định trong
không gian Banach X .

Một ánh xạ tuyến tính liên tục A : X Y được gọi là đạo
hàm Fréchet của ánh xạ F : X —»■ Y tại X nếu
F{x + h) - F ( x ) = A h + r { h

)
trong đó lim = 0) hay tương đương
ị ị F ( x + h ) - F ( x ) - A h \ \
WHO ||ft||
Đạo hàm Préchet tại X

được kí hiệu là F ' ( x

) hay d F ( x

) hay v/(x).
Nhận xét 1.21. Nếu đạo hàm Préchet tồn tại thì nó là duy nhất.
Định lý 1.22 (Xem [2J). Nếu một ánh xạ có đạo hàm Préchet tại một điểm, thì nó
có đạo hàm Gâteaux tại điểm đó và cả hai đạo hàm bằng nhau.
Ví dụ 1.23. Cho / : M
2
—>■ M : f ( x , x

2

)

= 0 và f ( x , y

) = 1 nếu trái lại. Hàm này
không liên tục tại (0,0) nên không khả vi Fréchet tại điểm đó. Tuy nhiên hàm
này khả vi Gâteaux tại (0,0) (có đạo hàm bằng 0).
1.1.3. Ánh xạ đa trị
Mục này trình bày về khái niệm của nón, ánh xạ đa trị và ánh xạ ngược, tính
chất liên tục của ánh xạ.
Định nghĩa 1.24 (Xem [3J). Cho Y

là không gian tuyến tính và Q

ç Y.

Ta nói
rằng Q

là n ó n

trong Y

nếu: t c e Q

với mọi с

e Q , t > 0 .
Nón Q được gọi là nón lồi nếu Q là tập lồi.
Nón Q được gọi là nón đóng nếu Q là tập đóng. Kí hiệu: Ỉ(Q) = Q n ( - Q ) .
Nếu Q

là nón lồi thì l ( Q

) là không gian con tuyến tính nhỏ nhất nằm trong
Q

và nó được gọi là phần trong tuyến tính của nón Q .
Định nghĩa 1.25 (Xem [5], trang 9-10). Cho X

, Y

là hai tập hợp bất kì. Cho F

:
X

=4 Y

là ánh xạ từ X

vào họ tất cả các tập con của Y

(được kí hiệu là 2y). Ta
nói F

là á n h x ạ đ a t r ị

từ X

vào Y

.

Như vậy với mỗi X

G X , F ( x

) là một tập
hợp con của Y

.

Không loại trừ khả năng là với một số phần tử X

e X

nào đó, ta
có F ( x

) là tập rỗng. Ta thường kí hiệu ánh xạ đa trị là F

: X

^ Y.
Nếu với mỗi X

G X

tập F ( x

) chỉ gồm đúng một phần tử của Y

,

thì ta nói F


là ánh xạ đơn trị từ X

vào Y

.

Khi đó ta kí hiệu:
F

: X

y.
Miền xác định hữu hiệu và đồ thị của F

được định nghĩa như sau domF = {ĩẽ
X \ F ( x

) Ф

0} ,
gphF = {(ж, у )

£ X

X Y \ y

G F ( x ) , X £

domF}.
Trong trường hợp Y

là không gian tuyến tính với nón Q

с Y,

thì trên đồ thị
của F

được định nghĩa
epiF

=

{(ж, y )

G X

X Y : y

e F ( x

) + Q , x G

domF} .
Ánh xạ ngược F
-1
: Y

=4 X

của ánh xạ đa trị F

: X

=4 Y

được xác
định bởi công thức

P ^ i y ) = { x & X : y & F ( x ) }

, ( y

€ Y ) .
Cho F : X =4 Y là ánh xạ đa trị từ không gian Banach X vào không gian Banach
Y.
Định nghĩa 1.26 (Xem [5j, trang 19). Ta nói F là nửa liên tục trên tại X € domF
nếu với mọi tập mở V c Y thỏa mãn F(x) c V, tồn tại lân cận mở u của X sao cho
F { u ) c V ( Vu e U ) .
Nếu F là nửa liên tục trên tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi là nửa liên
tục trên ở trong X .
Định nghĩa 1.27 (Xem [5J, trang 20). Ta nói F là nửa liên tục dưới tại X G domF
nếu với mọi tập mở V c Y thỏa mãn F ( x ) n v Ỷ

0 tồn tại lân cận mở u

của X
sao cho
F { u ) n V Ỷ 0 (VĩiỄÍ/n domF).
Nếu F là nửa liên tục dưới tại mọi điểm thuộc domF thì F được gọi là nửa liên
tục dưới ở trong X .
Định nghĩa 1.28 (Xem [5j, trang 20). Ta nói F liên tục tại X € domF nếu F đồng
thời là nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại X. Nếu F là liên tục tại mọi điểm
thuộc domF thì F được gọi là liên tục ở trên X.
1.1.4. Hàm lồi
Giả sử X là không gian tuyến tính, A c X, f : Ẩ ^ l u {±oo}.
Định nghĩa 1.29 (Xem [3J. Định nghĩa 1.1). Tập A c X được gọi là tập lồi nếu
Va;, y € A, Ví £ [0,1] ta có
tx + (1 — t)y e A.

Định nghĩa 1.30 (Xem [3J. Định nghĩa 2.1). Trên đồthị hàm /, kí hiệu
là epi/, được định nghĩa như sau
epi/ = {(a;, r) £ A xM : f(x) < r} .
Miền hữu hiệu của hàm /, kí hiệu là dom/, được định nghĩa như sau
dom/ = {x e A : f(x) < +00} .
Hàm / được gọi là proper(hàm chính thường), nếu dom/ ^ 0 và /(x) > —00, G A.
Định nghĩa 1.31 (Xem [3J. Định nghĩa 2.2). Hàm / được gọi là lồi trên A nếu epi/
là tập lồi trong X x l , Hàm / được gọi là lõm trên A nếu —/là hàm lồi trên Ả.
Nhận xét 1.32. Nếu / là lồi thì dom/ lồi.
Định lý 1.33 (Xem [Ị3Ị|. Định lý 2.1). Giả sử D là tập lồi trong không
gian X, hàm / : D —»• (—00, +00]. Khi đó, / lồi trên D khi và chỉ khi
/ ( X x + (1 - A) y ) < Af ( x ) + (1 - A) f ( y ) , VA e [0,1]; Vx, y G A .
Định nghĩa 1.34 (Xem [Sị|. Định nghĩa 2.6). Hàm / : Ẩ - ^ l U {i00} được gọi là
đóng nếu epi/ đóng trong I x R ,
Định nghĩa 1.35 (Xem [3J. Định nghĩa 2.9). Bao đóng của hàm f, kí hiệu là / hay
elf được xác định như sau
epi/ = epi/.
Bao lồi và bao lồi đóng của hàm /, kí hiệu là co/ và Cõ/ (hay c/(co/)), được xác
định tương ứng như sau
epi(co/) = co(epi/)
epi(cõf) = cõ(epi/)
Nhận xét 1.36. Hàm / đóng <=>■/ = /.
Định nghĩa 1.37 (Xem [1J). Một không gian tôpô X gọi là không gian lồi địa
phương nếu trong X có một cơ sở lân cận gồm toàn tập lồi.
Cho X là không gian lồi địa phương, / :^4—^MU{±oo}.
Định nghĩa 1.38 (Xem [3J. Định nghĩa 2.11). (i) Hàm / được gọi là nửa liên tục
dưới (ỉsc) tại X & X (f(x) < oo) nếu với mọi £ > 0, tồn tại lân cận u của X sao cho
f ( x ) - £ < f ( y ) , { Vy G U ) .
(ii)Hàm / được gọi là nửa liên tục dưới (Isc), nếu / nửa liên tục dưới tại mọi X e X.
(iii) Hàm / được gọi là nửa liên tục trên (usc) tại X £ X (f(x) < oo) nếu với mọi £

> 0, tồn tại lân cận u của X sao cho
f ( x ) < f ( y ) + £ ,

(Vj/ Ễ íí).
(iv) Hàm / được gọi là nửa liên tục trên (use), nếu / nửa liên tục trên tại mọi X e
X.
Cho X là không gian tuyến tính, X* là không gian liên hợp (không gian đối
ngẫu) của X, f là hàm xác định trên X.
Định nghĩa 1.39 (Xem [3J). Hàm liên hợp của f được xác định trên X* như sau
= sup {(£*,£) -
ĨẼI
Từ định nghĩa ta suy ra
r ( x ) = (/•)•(*) = sụp {<*•,*) - /*Oc*)}.
X*
Định nghĩa 1.40. (Không gian Asplund) Không gian Banach X gọi là không gian
Asỹỉund nếu mọi hàm lồi liên tục trên tập lồi, mở u c X đều khả vi Eréchet trên
một tập con trù mật Uq c u.
1.1.5. Hàm Lipschitz
Mục này trình bày định nghĩa hàm Lipschitz. Cho X là không gian Banach,
ánh xạ / : X —> M.
Định nghĩa 1.41 (Hàm Lipschitz). Hàm / được gọi là Lipschitz địa phương tại X
€ X hay Lipschitz ở gần X, nếu tồn tại lân cận u của X, số k > 0 sao cho
(Vu, V G U), |/(m) - f(v)I < k \ \ u -

v|| . (1.5)
Hàm / được gọi là Lipschitz địa phương trên tập Y c X, nếu / Lipschitz địa
phương tại mọi u &Y.
Hàm / được gọi là Lipschitz với hằng số Lipschitz к trên tập Y с X,
nếu (1.5) đúng với mọi u,v &Y.
1.2. Dưới vi phân Fréchet

Mục này trình bày những kiến thức cơ bản của dưới vi phân Fréchet, những
phép tính sơ cấp, nón pháp và đạo hàm theo hướng, nón pháp và dưới vi phân,
đối đạo hàm.
1.2.1. Định nghĩa và những tính chất cơ bản
Định nghĩa 1.42 (Xem [7J, trang 3326). Cho X là không gian Banach thực và / là
một hàm từ X vào tập số thực mở rộng M = Mu {+oo}, hữu hạn tại X. Tập
D
F
f (

X

)

= L' 6 X* : lim inf/(«) -/(*)- (*•.»-*) > oỊ (1.6)
L u^x I\u — Ж II J
được gọi là dưới vi phân Fréchet của f tại X. Mỗi phần tử của tập D p f ( x

) là
dưới gradient Fréchet của f tại X.
Nếu D p f ( x

) Ỷ 0 chúng ta nói rằng / là dưới khả vi Fréchet tại X.
Nhận xét 1.43. Dễ thấy rằng, tập D p f ( x ) là tập lồi và đóng. Thật vậy, lấy X *, y *
£ D p f ( x) , với t e [0; 1], Vw e X . Ta có
' inf
t
(
/W
-

/
M-(^-x)) ^ 0j
I\u — XII
Ị
Df
(l-*)(/W-/W-ừ-^-^)) >
0
u->x ịịu— :r||
Cộng hai giới hạn với nhau, ta được
lim inf
. f ( u ) - f { x )

- (tx*

+ (1 - t ) y \ u - X )


>
0
llli — X II
Suy ra
tx* + (1 - t)y* e D p f ( x

)
Suy ra D p f ( x

) là tập lồi.
Với Vx* G D p f ( x )

đều thỏa mãn

in f/(
U
)-/(»)-<*•,»- «) ^ 0
«-►a; ||w — xỊ|
Suy ra D p f ( x

) là tập đóng.
Định lý 1.44 (Xem [ZỊ.Proposition 1.1). Nếu f : X —>• M là hàm khả vi
Fréchet tại X với đạo hàm Vf { x ) , t h ì

D p f ( x

) = {v/(:c)}.
Chứng minh. Do / khả vi Préchet tại X ta có
f{x + h) = f{x) + (v/(z), h} + r(h):
trong đó r(h) —>■ 0 khi \\h\\ —> 0. Từ đây suy ra
f(x + h)~ f{x) = (V/(x), h) + r { h ) .
Đặt u = X + h

ta có
f ( u

) - f ( x

) = (V/(x), M - x) + r ( u - x ) .
Mà X *

G D z , f ( x

) <=>• lim > 0. Do vây, với Ve >

11“ all
0, 3Ổ > 0 sao cho
f ( u

) — /(a:) — ( x * , u

— x )

> —e\\u — ÍC11, Vw € Bs(x)
<=> ( V f ( x ) , u — x ) — ( x * , u — x ) + r ( u — x ) > —e\\u — x||
<=>• (Ụf( x) — x*,u — x) > — (E\ \ U — x|| + r(u — x))
( S 7 f ( x )

— x*,u — x) > 0.
(IIи — ж|| —> 0, r(u — x) —> 0 khi и —> X).
Suy ra V f ( x ) — X * = 0 hay V f ( x ) = X * .
Vậy D p f ( x

) = {V/(æ)}. Do đó định lý được chứng minh. □
Định lý 1.45 (Xem Щ .

Proposition 1.2). Nếu f : X R là hàm lồi, thì
D ~ f ( x ) =

{ж* G X *

: /(и) - f { x ) > ( x * , u

- x), Vu e X } .

(1.7)
Chứng minh. Do / là hàm lồi nên với mọi Л G (о, 1], với mọi x,u & X ta có
/(Ли + (1 - Л)аг) < Лf ( u )

+ (1 - Л) f ( x )
О

/(Au + (1 - А)ж) > Л( f ( u )

- f ( x

)) + f ( x )
« /(«) - /(*) >
Л
Do vế trái độc lập với Л, cho Л — >

0. Khi đó 3 x *

G X * :
/(Au + (1 - А)ж) - f ( x ) = f ( X ( u - x ) - x ) - f ( x ) > ( x * ,

и

- x ) .
Suy ra
f ( u ) - f ( x

) > ( x * , u - X

).

\u\
Cho u —> 0+ và u —> 0 ta có —1 — X* > 0 và — 1 + X* > 0. Điều này là
không thể. Vậy
D -

F

f (

0) = 0.
Cùng với dưới vi phân (1.6), ta có thể xét trên vi phân Fréchet
f(u) - f(x) - ( x * , u - X

)
D p f ( x

) = I X* € X *

: lim sup
I u—>x
\u — x\
Nếu D p f ( x

) ^ 0, ta nói rằng / trên khả vi Fréchet tại X.
Có thể hình dung, tập D p f ( x

) trong (1.6) bao gồm các phiếm hàm tuyến tính
liên tục tiếp xúc với / tại X từ phía dưới, còn các phiếm hàm
trong (1.8) tiếp xúc với / tại X từ phía trên.
Khác với với trường hợp cổ điển, sự tồn tại của hai đối tượng đạo hàm khác

nhau là hoàn toàn tự nhiên đối với giải tích không trơn: các tính chất khả vi của
một hàm từ phía dưới và từ phía trên có thể khác nhau về bản chất.
Trong trường hợp không khả vi, ít nhất một trong các tập D p f ( x

) và tập
D p f ( x

) phải là tập rỗng.
Định lý 1.48 (Xem [ĩ]. Proposition 1.3). Cả hai tập D p f ( x

) trong (1.6)
và D p f ( x

) trong (1.8) đồng thời không rỗng khi và chỉ khi / là hàm khả vi
Fréchet tại X . Trong trường hợp này, ta có D p f ( x

) = D p f ( x

) = { V f ( x ) } .
Trường hợp tổng quát, hệ thức sau đây đúng: D p ( — f ) ( x

) = - D ị f { x ) .
Chứng minh. Nếu cả hai tập đó đều đồng thời khác rỗng thì từ (1.6) và
(1.8), ta có với mọi £ > 0 tồn tại ố > 0 sao cho
f ( u ) — f ( x

) — Vf ( x ) ( u

— x )

= E\\U — x|| với mọi u G
< ( n . ( 1. 8)
Đặt u = X + h, ta có
f{x + h)~ f ( x ) - V f ( x ) h

= e\\h\\
<í=> f(x + h) = f ( x ) + V f { x ) h

+ e||/i||
trong đó s\\h\ \ —>• 0 khi \\h\ \ 0.
Vậy / khả vi Fréchet tại X và có đạo hàm v/(x).Theo Định lý có
D-Ff(x) = D % J ( x ) =
Ngược lại, giả sử tập / khả vi Fréchet tại X thì theo Định lý 1.44, ta
có
D - f ( x ) = D p f ( x ) = {V/Or)}.
Chứng tỏ D p f ( x

) và tập D p f ( x

) đều khác rỗng.
Bây giờ để ý rằng:
- f ( x + h ) -

- r ( h

)
h
f ( x + h ) ~ f { x )

- r'{h)

h
Chứng tỏ
D -

F

( - f ) ( x ) = - D

+



F

f ( x ) .
Vậy định lý được chứng minh.
Ví dụ 1.49. Cả hai tập D p f ( x

) trong (1.6) và D p f ( x

) trong (1.8) có thể đồng
thời rỗng. Lấy / : M —»• M sao cho f ( u

) = usỉn(-) với u Ỷ 0 và /(0) = 0. Khi
đó
D-Fm = Dỉf(
0 ) = 0 -
t
1.

□
Từ (Ob ta có
Ь р У

М

' * Г

М

> 0
ìi—>0 ||ĩí||
usin(-)
<=> lim inf ,

, ,

ц У



>
о
îi—>0 I [г£11
oo
— >0 (vô nghĩa) .
Suy ra
D - f (

0) = 0.

Từ (L8) ta có
i:~ Дм) - /(°) - (M) / n
<=> — <0 (vô nghĩa) .
Suy ra
£>+/( 0) = 0.
Ví dụ 1.50. Các hàm khả vi Gâteaux có thể không dưới khả vi Fréchet. Cho /
: R
2
Ш được định nghĩa f i x

I , x

2

)

= 4 ^% nếu (x ị , x

2) 7^ (O5O)
•ÏJ 2^ 2
và f ( x I , x

2

) =

0 nếu ( x i , x

2

) =

(0,0).
Tại điểm (0,0), đạo hàm Gâteaux tồn tại và bằng 0. Vì
lim
/(ũ + t h )

~
/(ũ)
= lim
4 2

=

0.
По t

По i
4
/ỉ,4 + í
2
/ỉ|
Nhưng không có đạo hàm Fréchet tại điểm (0,0). Thật vậy, nếu đặt h

2

=
h \

thì

ЛЩМ = u —
=
ì ^ 0
IIMH0 h fti™ 0 2hị\Jh\ + 2
nên D p f (

0) = 0.
Định lý 1.51 (Xem [9J). Nếu f : X —¥ M là hàm khả vi Gâteaux và dưới khả vi
Fréchet tại X cùng với đạo hàm (Gâteaux) V f ( x ) , t h ì
D
F
Ỉ ( X ) = {V/M}.
Định lý 1.52 (Xem [s|). C h o f : X —>

R. K h i đó , X *

G f ( x

) k h i v à c h ỉ
k h i t ồ n t ạ i m ộ t h à m s ố

g

: X — >

M s a o c h o
( i)

g ( u

) < f ( u

) v ớ i m ọ i

и

£ X v à g ( x

) = f { x ) .
(ỉỉ) g là khả vi Fréchet tại X và V g ( x )

= X*.
Định lý 1.53 (Xem |QJ). Nếu f khả vi nghiêm ngặt tại X và có đạo hàm v/(:r)
;
thì với một số £ > 0 bất kỳ, tồn tại ỏ > 0 sao cho D p f ( u

) и D p f ( u

) С v/(w) +
e B * v ớ i m ọ i

и

G B ỹ ị x ) .
Định lý 1.54 (Xem [9]). N ế u D p f ( x

) Ф 0, thì ĩ : X —> M là hàm nửa liên tục
dưới tại X.
Định lý 1.55 (Xem [9J). Nếu f : X R là nửa liên tục dưới tại X, thì D p f ( x

) =
D p ( c ỉ f ) ( x

) trong đó elf là bao đóng nửa liên tục dưới của f.
Định lý 1.56 (Xem f9j). Cho f là hàm thuần nhất dương.
(ỉ) Nếu /(0) = 0, thì D p f ( 0) = {ж* G X* : f ( u ) > (x*,u), Vií £ X}.
( ii) Nếu f hữu hạn tại X, thì Dp f(Xx) = Dp f(x) với mộ t số X > 0.
Các định lý dưới đây trình bày một số kết quả các phép tính sơ cấp đối với
dưới vi phân Fréchet. Các kết quả này được suy ra trực tiếp từ định nghĩa.
Định lý 1.57 (Xem PJ). Nếu f : X —»■ Ш đạt giá trị cực tiểu tại X, thì
0 <E D ~ f ( x ) .
Định lý 1.58 (Xem [9]). Cho ĩ : X —»■ R. Khi đó,