Ánh xạ gần nhất, siêu phẳng tựa và ứng dụng luận văn thạc sỹ toán học

1

MỞ ĐẦU
Nghiên cứu các tập lồi là một nhánh của Hình học, của Giải tích có
mối liên hệ với các lĩnh vực khác của toán học bao gồm: Thống kê, Lý
thuyết số và Tổ hợp. Tầm quan trọng của lý thuyết lồi bắt nguồn từ thực tế là
các tập lồi xuất hiện thường xuyên trong toán học và nhiều lĩnh vực khác.
Khái niệm tập lồi, hàm lồi đã thống nhất một loạt các hiện tượng tốn học.
Việc nghiên cứu Hình học lồi dẫn đến hai xu hướng: xu hướng thứ nhất là
mở rộng khái niệm lồi cổ điển để nghiên cứu theo các hướng riêng biệt, xu
hướng thứ hai là tìm kiếm các cơng cụ để nghiên cứu hiệu quả các tập lồi .
Có thể kể đến một số cơng cụ để nghiên cứu tập lồi là ánh xạ '' gần nhất '',
siêu phẳng tựa, hàm tựa, ....
Mục đích của luận văn là nghiên cứu ánh xạ '' gần nhất '', siêu phẳng
tựa và các ứng dụng của chúng trong việc nghiên cứu tập lồi trong ℝn.
Với lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: ÁNH XẠ
GẦN NHẤT, SIÊU PHẲNG TỰA VÀ ỨNG DỤNG.

Luận văn được trình bày thành 2 chương.
Chương 1. Một số vấn đề về tập hợp lồi.
Chương này, chúng tơi trình bày một số khái niệm của phẳng và tập lồi
trong không gian ℝn, khái niệm và một số tính chất cơ bản liên quan đến tập
lồi và hai định lý Radon và Caratheodory. Chương này được chia làm các
mục sau:
1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến tập lồi.
1.2. Định lý Radon và Định lý Caratheodory.
Chương 2. Ánh xạ gần nhất, siêu phẳng tựa và một số ứng dụng của chúng
Trong chương này chúng tơi trình bày các nội dung sau:
2.1. Ánh xạ gần nhất và siêu phẳng tựa.
2.2. Cấu trúc tập lồi, nón, nón chuẩn tắc.

2

2.3. Hàm tựa và hàm khoảng cách.
2.4. Thể đối cực.
Luận văn được hoàn thành tại Khoa Sau đại học, Trường Đại học
Vinh dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Phạm Ngọc Bội.
Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả cũng xin
gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo: PGS.TS. Nguyễn Hữu
Quang, TS. Nguyễn Duy Bình và các thầy cơ trong tổ Hình học, Khoa Tốn,
Khoa Sau đại học, Trường Đại học Vinh đã giảng dạy và giúp đỡ rất nhiều
trong quá trình làm luận văn. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới
tập thể lớp K17 Hình học -Tơpơ, gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã giúp đỡ
và động viên tác giả trong quá trình hồn thành luận văn. Tuy nhiên, do điều
kiện thời gian và năng lực còn hạn chế nên luận văn khơng thể tránh khỏi
những thiếu sót. Tác giả rất mong nhận được sự góp ý kiến của q thầy cơ
và các bạn học viên.
Vinh, tháng 12 năm 2011
Tác giả


3

CHƯƠNG 1. MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ TẬP HỢP LỒI

1.1. Các khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến tập lồi
Trong luận văn này chúng tôi xét không gian ℝn với tích vơ hướng
thơng thường  ,  được xác định như sau:
Nếu x = (x1, x2, ..., xn ), y = (y1, y2, ..., yn) khi đó:
 x,y  = x1y1 + x2y2 + ... + xnyn.

Bình phương của khoảng cách giữa các điểm x và y cho như trên bằng
|| x – y ||2 = x – y , x – y.
Ta gọi một hình cầu mở có tâm x và bán kính r là tập hợp { y| ||x – y || < r}.
Với K  ℝn ta ký hiệu K , y 0 nếu x, y 0 với mọi x K.
1.1.1. Định nghĩa. Một tập hợp C  ℝn được gọi là tập lồi (hay hình lồi)
nếu cùng với hai điểm bất kỳ x, y  C, x ≠ y, đoạn thẳng
[ x, y ] = {x + (1 -  )y | 0 ≤  ≤ 1} chứa trong C (hình 1)
Các ví dụ về tập hợp lồi là: một điểm, một đường thẳng, một đĩa hình
cầu trong ℝ2, tập  và ℝn cũng là các tập hợp lồi.
Nếu B là một đĩa tròn mở trong ℝ2 và M là tập con bất kỳ của hình trịn
B biên của B, khi đó B  M cũng là tập lồi. Cho nên một tập hợp lồi khơng
nhất thiết là mở hoặc đóng.
1.1.2. Bổ đề. Giao của một họ tuỳ ý các tập lồi là tập lồi.
Chứng minh. Giả sử A  I là họ các tập lồi. Đặt A =

 A. Khi đó ta

I

cần chứng minh A là tập lồi.Thật vậy,với x, yA ta có x, yA ,với mọi   I.
Do đó, với 0    1 ta có x + (1- )y  A với mọi   I (vì A là tập lồi).
Từ đó suy ra x + (1- )y  A.
Vậy A là tập lồi.


4

HÌNH 1:
Bên trái: tập lồi, bên phải: khơng là tập lồi.

1.1.3. Định nghĩa. Chúng ta nói x là một tổ hợp lồi của x1, x2,…, xr  ℝn
nếu tồn tại 1, 2, ... , r  ℝ sao cho
x 1 x1  ...  r xr ,

(1.1)

1  ...  r 1 ,

(1.2)

1 0,..., r 0 .

(1.3)

Nếu bỏ điều kiện (1.3), chúng ta nói x là tổ hợp affine của x1, x2, … , xr
và khi đó x, x1, x2, … , xr , được gọi là phụ thuộc affine. Nếu x,x1, x2, … , xr
không phải là phụ thuộc affine, chúng ta nói rằng chúng độc lập affine.
Vậy tổ hợp lồi là tổ hợp affine đặc biệt.
Trong hình 2, ta lấy 3 điểm không thẳng hàng x1, x2, x3 trong ℝ2, tổ hợp
lồi của chúng là phần trong của tam giác có đỉnh là 3 điểm này, tổ hợp affine
của chúng là ℝ2.
1.1.4. Định nghĩa. Tập hợp của tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của
một tập hợp M  ℝn được gọi là bao lồi của M, ký hiệu conv M.


5

HÌNH 2

Tập hợp của tất cả các tổ hợp afin của các phần tử của một tập hợp

M  ℝn được gọi là bao affine của M, ký hiệu aff M.
Chúng ta ký hiệu lin M là bao tuyến tính của M, đó là khơng gian
tuyến tính nhỏ nhất chứa M.
Nếu M = {x1, … , xr } là một tập hợp hữu hạn, chúng ta nói P = conv M
là một tập lồi đa diện, hoặc gọi đơn giản là một hình đa diện.
Nếu x1, … , xr độc lập affine, chúng ta gọi tập T = conv {x1, … , xr } là
một (r – 1)-đơn hình hoặc nói ngắn gọn là một đơn hình và r -1 được gọi là
số chiều của T. Các điểm được gọi là đỉnh của T.
Giao của một số hữu hạn nửa khơng gian đóng được gọi là tập lồi
đa diện.
1.1.5. Nhận xét
(1) Rõ ràng, M  conv M  aff M .
(2) Mỗi hình đa diện là compact (nghĩa là: bị chặn và đóng).
1.1.6. Định lý
a) Bao lồi conv M của M  ℝn là tập hợp lồi nhỏ nhất có chứa M;
nghĩa là nếu M' là tập lồi và M  M' thì conv M  M'.
b) Tập hợp M  ℝn là lồi nếu và chỉ nếu nó chứa tất cả các tổ hợp
lồi, điều đó nghĩa là M lồi nếu và chỉ nếu M = conv M.


6

Chứng minh
(a). Trước hết, chúng ta chỉ ra rằng conv M là lồi.
Nếu x,y  conv M, có tồn tại x1, … , xr , y1, … , ys  M và những số thực
1, … , r, 1, … , s sao cho
x 1 x1  ...  r xr ,
y 1 y1  ...   s ys ,

1  ...  r 1, 1 0,..., r 0 , và

1  ...   s 1,

1 0,...,  s 0

Sử dụng các hệ số 0 (nếu cần thiết), chúng ta giả thiết r = s và yj = xj, j = 1,…, r.
Đối với 0 ≤  ≤ 1 bất kỳ,
 x  (1   ) y  (1 x1  ...  r xr )  (1   )( 1 y1  ...  r yr )
[1  (1   ) 1 ]x1  ...  [r  (1   ) r ]xr

Vì tất cả các hệ số là không phải là số âm, và vì
1  (1   ) 1  ...  r  (1   )  r   1   1,
 x  (1   ) y là một tổ hợp lồi x của x1, … , xr . Cho nên conv M là lồi.

Bây giờ, ta chứng minh conv M là tập lồi nhỏ nhất chứa M. Giả sử M'
là một tập hợp lồi, M'  M, và x  conv M. Vậy thì tồn tại x1, … , xr  M sao
cho x 1 x1  ...  r xr , 1  ...  r 1, và 1, … , r > 0. Cũng vì x1, … , xr  M',
chúng ta xác định như sau:
y1 1 (1  2 )  1 x1  2 (1  2 )  1 x2
y2 (1  2 )(1  2  3 )  1 y1  3 (1  2  3 )  1 x3


x (1  ...  r  1 )(1  ...  r )  1 yr  2  r (1  ...  r )  1 xr

tất cả các điểm trên nằm trong M', do đó conv M  M'.
Chứng minh (b). Suy ra từ Nhận xét 1.1.5 và (a).
1.1.7. Định nghĩa


7

Nếu C là một tập hợp lồi, chúng ta gọi dim C ≔ dim(aff C) là số chiều của
C.
Quy ước dim  = -1.
Sau đây ta sử dụng ký hiệu tổng Minkowski như sau: với các tập con
A, B của ℝn , A + B ≔ {a + b | a A, b B}.
Trường hợp riêng, khi A = {a} thì a + B được gọi là ảnh của B qua
phép tịnh tiến vectơ a.
1.1.8. Bổ đề. Cho A, B  ℝn, b  V, k  ℝ thì
a) Nếu A  B thì aff(A)  aff(B).
b) aff(kA) = kaff(A).
c) aff(A + b) = aff(A) + b.
d) aff(A + B) = aff(A) + aff(B).
e) aff(A + B) = aff(A) + aff(B).
Chứng minh
a) Suy từ Định lý 1.1.6. b.
b) Trước hết ta chứng minh:
aff(kA)  kaff(A).

(1.4)

Với x bất kỳ thuộc aff(kA) thì
n

x=

n

 ixi,  i = 1, xi  kA  xi = kyi, yi  A, i = 1, 2, ..., n.
i 1

i 1

n

Vì vậy x =

n

 ixi =
i 1

n

 i(kyi) = k  iyi  kaff(A)
i 1

n

(vì aff(A) =   iyi,
i 1

i 1

n

 i = 1, yi  A )
i 1

Suy ra x  kaff(A). Vậy (1.4) được chứng minh.
Tiếp theo ta chứng minh

kaff(A)  aff(kA).

(1.5)


8

n

n

Với x bất kỳ thuộc kaff(A) thì x = k  iyi,
i 1

n

Do x = k

n

 i = 1, yi  A, i = 1, 2, ..., n.
i 1

n

 iyi =  i(kyi) =  ixi  aff(kA).
i 1

i 1

i 1

n

n

(Vì aff(kA) =   ixi,
i 1

 i = 1, xi = kyi, yi  A, i = 1, 2, ..., n).
i 1

Suy ra x  aff(kA) hay (1.5) được chứng minh.
Kết hợp (1.4) và (1.5) ta đã chứng minh được b.
n

c) Lấy x bất kỳ thuộc aff(A + b) thì x =

n

 ixi,  i = 1, xi  A + b, suy ra
i 1

i 1

xi = yi + b, yi  A, i = 1, 2, ..., n.
n

Vì vậy x =

n

n

n

 i(yi + b) =  iyi + (  i)b =  iyi + b  aff(A) + b
i 1

i 1

i 1

i 1

n

(vì   i = 1  A). Do đó
i 1

aff(A + b)  aff(A) + b.
n

n

Mặt khác, aff(A) + b =   iyi + b ,
i 1
n

 i = 1, yi  A, i = 1, 2, ..., n

i 1

n

n

=   iyi + (  i) . b,
i 1

i 1

n

=   i(yi + b),
i 1

(1.6)

 i = 1, yi  A, i = 1, 2, ..., n
i 1

n

 i = 1, yi  A, i = 1, 2,..., n  aff(A +
i 1

b).
Suy ra
aff(A) + b  aff(A + b).
Kết hợp (1.6) và (1.7) ta đã chứng minh được c).

d) Trước hết ta chứng minh

(1.7)


9

aff(X + Y)  aff(X) + aff(Y),

(1.8)

Với hai tập lồi bất kỳ X, Y. Thật vậy, mọi x  aff(X + Y) theo Định lý 1.2.2
thì
k

x=

k

 i (xi + yi), xi X, yi Y, i = 1,…, k;  i = 1.
i 1

k

Với x =

i 1

k

 i xi +  i yi  aff(X) + aff(Y) nên suy ra bao hàm thức cần chứng
i 1

i 1

minh.
Lấy X = A, Y = B ta có
aff(A + B)  aff(A) + aff(B).

(1.9)

Lấy X = A = A+B + (–1) B, áp dụng b) và (1.9) ta có
aff(A) = aff [A+B + (–1) B]  aff (A+B) - aff (B).
Vậy
aff(A) + aff(B)  aff(A + B).

(1.10)

Từ (1.9) và (1.10) ta có đpcm.
e) Áp dụng b) và d).
1.1.9. Định lý. Cho các điểm x1, x2, ..., xk  ℝn. Khi đó các điều kiện sau
đây là tương đương
i) Hệ x1, x2, ..., xk độc lập affine.
ii) Với mỗi j = 1, 2, ..., k hệ véc tơ xi - xji  j độc lập tuyến tính.
iii) Nếu i  ℝ, i = 1, 2, ..., k sao cho

1x1 + 2x2 + ... + kxk = 
1 + 2 + .... + k = 0

thì 1 = 2 = ... = k = 0.

Chứng minh
i)  ii) Với mỗi j cố định, áp dụng Bổ đề 1.1.8, ta có
aff(x1, x2, ..., xk) = xj + L, trong đó L = affxi - xj  i = 1, 2, ..., k. L là tập
affine chứa  nên L là không gian vectơ con của V. Do hệ  x1, x2, ..., xk độc
lập affine  dimaff(x1, x2, ..., xk) = k -1  dim L = k -1.


10

Mặt khác, hệ sinh của L là xi - xj  i  j, hệ này có (n-1) vectơ. Kết
hợp với dim L = k -1 ta suy ra hệ vectơ xi - xji j độc lập tuyến tính.
ii)  i). Với j cố định, j  1, 2, ..., k, sử dụng đẳng thức
aff (x1, x2, ..., xk) = xj + L, L = aff xi - xj  i = 1, 2, ..., k.
Nếu hệ vectơ xi - xji  j độc lập tuyến tính thì dim L = k -1
 dim { x1, x2, ..., xk} = k -1
 x1, x2, ..., xk độc lập affine.
ii)  iii). Với mọi j, giả sử xi - xji  j độc lập tuyến tính và

1x1 + 2x2 + ... + kxk = 

trong đó 1, 2, ..., k  ℝn.

1 + 2 + .... + k = 0,
Nhân đẳng thức thứ hai với xj trừ vào đẳng thức đầu ta có :

 = 1(x1 – xj) + 2(x2 – xj) + ... + j -1(xj -1 – xj) + j +1(xj +1 – xj) + ... + n(xk – xj).
Vì xi - xji  j độc lập tuyến tính nên 1 = 2 = ... = j -1 = j +1 = ... = k = 0.
Từ đó suy ra 1 = 2 = ... = k = 0.
iii)  ii). Giả sử 1, 2,..., j -1, j +1, ..., k  ℝ mà

1(x1 – xj) + 2(x2 – xj) + ... + j-1(xj -1 – xj) + j +1(xj +1 – xj) +...+ k(xk – xj) = 
 1x1+ 2x2 +...+ j -1xj -1 + (- 1 - 2 - ... - j -1 - j +1 - ... - n)xj + j +1xj +1 + ... + kxk
= .
Đặt j = j , i = 1,..., j -1, j + 1 ; j = - 1 - ... - j -1 - j +1 thì hai điều
kiện của mệnh đề iii) thỏa mãn nên 1 = 2 = ... = k.= 0.
Suy ra 1, 2,..., j -1, j +1, ..., k =0.
Vậy xi - xji  j độc lập tuyến tính. 
1.1.10. Định nghĩa. Một tập lồi compact được gọi là thể lồi.
Ví dụ: Điểm và đoạn thẳng là các thể lồi trong ℝn , n  1. Thể lồi trong ℝn
khơng nhất thiết có số chiều là n.
1.1.11. Định nghĩa. Chúng ta nói x  M  ℝn là điểm trong tương đối của
M nếu x là điểm trong của M xét trong aff M (nghĩa là tồn tại một hình cầu B


11

trong aff M sao cho x  B  M). Tập hợp tất cả điểm trong tương đối của M
gọi là phần trong tương đối của M , ký hiệu là relin M (relative interior).
Nếu aff M = ℝn thì relin M = int M.
Từ nay về sau chúng tôi dùng ký hiệu 0 cho các trường hợp số 0, vectơ 0 và
điểm gốc của ℝn.
1.1.12. Định nghĩa. Nếu M  ℝn, tập hợp của tất cả các tổ hợp tuyến tính
khơng âm x 1 y1  ...  k yk , y1 ,..., yk  M , 1 0,...., k 0, của M được gọi là
bao dương của M hoặc nón xác định bởi M, ký hiệu là pos M.
Quy ước pos  = {0}.
Đối với u  ℝn, u ≠ 0 cố định, và   ℝ tập H = { x |  x,u =  } là
một siêu phẳng. H+ = { x |  x,u    } và H- = { x |  x,u  ≤  } được gọi là
các nửa khơng gian có biên là H. Nếu tồn tại siêu phẳng qua 0 và cắt posM
theo tập gồm chỉ điểm 0, chúng ta nói nón pos M có đỉnh là 0.

Nếu M = {x1, ..., xr} là hữu hạn, chúng ta gọi  = pos {x1, ..., xr} là một
nón đa diện. Trừ những trường hợp đặc biệt, ta gọi nón thay cho nón đa diện.
Đơi khi chúng ta viết  ℝ

0

x1  ...  ℝ 0 xr

HÌNH 3

ℝ0 là ký hiệu cho tập hợp các số thực không âm.
1.1.13. Ví dụ. Một góc có đỉnh 0 trong ℝ2, góc tạo bởi các tia Ox, Oy, Oz
trong ℝ3 là những hình nón với đỉnh là 0; nửa khơng gian đóng hoặc siêu
phẳng trong ℝ3, là những hình nón khơng có đỉnh nào.


12

Từ định nghĩa của nón, chúng ta có kết quả sau:
1.1.14. Bổ đề. Một nón bất kỳ là tập lồi.
Thật vậy nếu x, z là các phần tử tùy ý thuộc nón pos M, khi đó
k

k

i 1

i 1

x =  i yi , z =  i yi , với yi  M, i  0, i  0, i = 1, … , k ( trong các

i, i, i = 1, … , k có thể có những số bằng 0).
Nếu v là phần tử thuộc đoạn thẳng [x, z] thì v = tx + (1 – t) z, 0 ≤ t ≤ 1.
Dễ thấy v là tổ hợp lồi dương của y1, … , yk. Vậy v  pos M.
Hình 3 minh họa một hình nón đa diện ba chiều là bao dương của một
hình đa diện 2 chiều K.
Tiếp theo chúng tơi trình bày hai định lý cơ bản của Hình học lồi,
chúng rất hữu ích khi nghiên cứu các hình lồi.

1.2. Định lý Radon và Định lý Caratheodory
1.2.1. Định lý Radon. Giả sử M = {x1, ... , xr}  ℝn là một tập hữu hạn bất
kỳ và giả sử M1, M2 là một phân hoạch của M, nghĩa là
M = M1  M2, M1  M2 = , M1 ≠ , M2 ≠ .
(a) Nếu r  n+2 thì có thể chọn được phân hoạch sao cho
conv M1  conv M2 ≠ .
b) Nếu r  n+1 và 0 là đỉnh của pos (M), nhưng 0  M hoặc
r  n+2 thì có thể chọn được phân hoạch sao cho pos M1  pos M2 ≠ { 0 }.
c) Sự phân hoạch là duy nhất nếu và chỉ nếu:
(1) hoặc là r = n +2 và n + 1 điểm bất kỳ của M độc lập thuộc affine.
(2) hoặc là r = n +1 và n điểm bất kỳ của M độc lập tuyến tính.
Chúng ta gọi phân hoạch nói trong Định lý 2.1 phân hoạch Radon của M.


13

Chứng minh
a) Từ r  n + 2 kéo theo x1, ....., xr là phụ thuộc affine.
Theo Định lý 1.8 ta có các số i, i = 1, … ,r không đồng thời bằng 0
sao cho 1x1 + … + rxr = 0, 1 + … + r = 0.
Chúng ta có thể giả sử rằng, đối với một j nào đó: 0 < j < r
1  0,...,  j  0;  j 1 0,..., r 0.

Chúng ta đặt
 = 1 + … + j = - j+1 - … - r > 0 và
x ≔ -1(1x1 + … + jxj ) = - -1(j+1xj+1 + … + rxr )
Đặt M1 ≔ {x1, … , xj }, M2 := {xj+1, … , xr }
Rõ ràng x  conv M1  conv M2 .

b) Theo định nghĩa, do 0 là đỉnh của posM nên tồn tại một H siêu phẳng
sao cho H  pos M = {0} và pos M  H+. Gọi H' ≠ H là siêu phẳng song
song với H và H'  M ≠  . Do đó đối với bất kỳ xj  M nào tia pos {xj} cắt
'
H' tại một điểm x j . Chúng ta áp dụng (a) vào M' = {x'1, … , x'r } trong không

gian (n – 1) chiều H’. Khi đó có phân hoạch của M’ thành M'1 = {x'1,
… , x'j }, M'2 = { x'j+1, … , x'r } sao cho conv M'1  convM'2 ≠  . Rõ ràng
chúng ta có đối với hai tập M 1 = { x1, … , xj }, M2 = { xj+1, … , xr } có hệ
thức:
pos M1  pos M2 ≠ {0}
c) Chúng ta chứng minh sự duy nhất chỉ trong trường hợp (1); trường
hợp (2) được chứng minh tương tự.


14

Trước hết, giả sử rằng r = n + 2 và khơng có hệ n +1 điểm nào của M
 1 {x ,...., x },
phụ thuộc affine. Giả sử rằng M
i1
ik

 2 {x ,...., x } là một
M
ik 1
in  2

 1 convM
 2.
sự phân hoạch Radon thứ hai của M và y  convM
Vậy

y   1 ( 1 xi1  ...   k xik )    1 (  k 1 xik 1  ...   n2 xin 2 ),

trong đó 1  0,..., k  0; k 1 0,..., n2 0; k 1. và
 = 1 + … + k = - k+1 - … - n+2
Chúng ta có thể giả sử rằng xi1 x j 1 ,

( M 2 ) .

1
1
Ta chọn 0 <  < 1 sao cho   j 1  (1   )  1 0
1
1
Vậy  (1 x1  ...  n2 xn2 )  (1   )  ( 1 xi1  ...  n2 xin 2 ) 0  0 0

và   1 (1  ...  n2 )  (1   )   1 ( 1  ...  n2 ) 0 diễn tả một hệ
thức affine giữa (n +1) của các điểm của M (sau khi xi và xj+1 đã được bỏ đi),
1
1
trừ khi tất cả các hệ số triệt tiêu. Cho nên e   (1   ) i , e 1,..., n  2, và

e

có một ánh xạ
e  e ', e {1,..., j, j  2,..., n  2}, e ' {i2 ,..., n  2} sao cho

e    1 (1   )  1e ' .
Vì -1 > 0, 1 -  > 0 và  > 0 tập hợp của những e' mà trong đó e' < 0 cũng
giống như tập hợp e mà trong đó e > 0.
 2 và do đó M2 = M1.
Cho nên M 1 {x1 ,..., x j } {xik 1 ,..., xin 2 } M
Để chứng minh khẳng định ngược lại, chúng ta chỉ cần chứng minh không
xảy ra 2 trường hợp sau.
(i)

r n  2, và x1, … , xn+1 phụ thuộc affine,

(ii )

r n2.


15

0

0

Giả sử xảy ra trường hợp (i), gọi M {x1 ,..., xn1} , khi đó M được chứa
trong một siêu phẳng. Theo (a), chúng ta tìm được một phân hoạch Radon của
0

M

thành

0

0

0

M1 , M 2

M 2 {xn+2}

0

0

sao cho conv M 1  conv M 2 . Suy ra

0

M 1 {xn+2}

,

0

M2

và

0

M1 ,

là hai phân hoạch Radon khác nhau của M. Mâu thuẫn với giả

thiết.

 của M có ít
Giả sử xảy ra trường hợp (ii), xét một tập con thực sự M
 ,M
 2 là một phân hoạch Radon của M
 . Suy ra
nhất n + 2 điểm. Giả sử M
1
 1  (M \ M
 ), M và M
 1 , M  ( M \ M
 ) là các phân hoạch Radon khác
M
2
2
nhau của M. Mâu thuẫn với giả thiết.
Vậy không xảy ra các trường hợp (i), (ii). Khẳng định ngược lại được
chứng minh.

HÌNH 4. Phân hoạch Radon của một số tập hợp M = {1,2,3,4 }

Trái M1 = {1,2}; M2 = {3,4}.
Giữa: M1 = {1,2,3}; M2 = {4}.
Phải: M1 = {1,2}; M2 = {3,4}. M1 = {1,2,3}; M2 = {4}.
1.2.2. Định lý Caratheodory
(a) Bao lồi M của một tập M  ℝn là hợp tất cả các bao lồi của các
tập con của M chứa nhiều nhất là n +1 phần tử.


16

(b) Bao dương pos M của một tập M  ℝn là hợp tất cả các bao
dương của các tập con của M chứa nhiều nhất n phần tử.
Chứng minh
(a)

Giả sử x = 1x1 + … + rxr  conv M, và để r là số nhỏ nhất các

phần tử x1, ..., xr của M mà x là một tổ hợp lồi của chúng.
Để chứng minh r  n+2 bằng phản chứng, ta giả sử r > n+2.
Khi đó tồn tại các số i, i = 1, .... r, không đồng thời bằng 0 sao cho
1x1 + … + rxr = 0, 1 + … + r = 0,

(2.1)

Đối với j ≠ 0, chúng ta thu được từ (2.1)
x 1 x1  ...  r xr (1 

j

1 ) x1  ...  (r  j r ) xr

j
j

(2.2)

Chúng ta có thể giả thiết j > 0 , với tất cả k > 0, k = 1, … ,r






j
j
k
ta có    . Vậy  j   i 0, với i = 1, … , r.
j
k
j



j
Vì  j   i 0, phương trình (2.2) biểu diễn x là tổ hợp lồi của ít
j

hơn r phần tử của M, do đó trái với giả thiết ban đầu. Mâu thuẫn này bác bỏ
giả sử r > n+2, vậy r  n+2.
(b) Thay thế trong chứng minh của (a) các cụm từ '' tổ hợp lồi '' bởi " tổ
hợp tuyến tính dương '' và '' phụ thuộc affine của n +1 phần tử '' bởi '' phụ

thuộc tuyến tính của n phần tử '' ta thu được chứng minh mệnh đề (b).


17

CHƯƠNG 2. ÁNH XẠ GẦN NHẤT, SIÊU PHẲNG TỰA
VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA CHÚNG
2.1. Ánh xạ gần nhất và siêu phẳng tựa
Khá nhiều đặc tính của một tập lồi đóng K có thể được nghiên cứu
bằng cách sử dụng ánh xạ từ mỗi điểm trong ℝn tới điểm gần nhất của nó trên
K. Trước hết, chúng ta chỉ ra quy tắc xác định ánh xạ này.
2.1.1. Bổ đề. Giả sử K là một tập lồi đóng trong ℝn .
Với mỗi x  ℝn có x'  K duy nhất, sao cho
 x  x ' inf  x  y .

(2.1)

yK

Chứng minh. Sự tồn tại x’ thỏa mãn (2.1) do K đóng. Ta chỉ ra sự duy
 x  y .
nhất của x'. Giả sử rằng, đối với x''  K, x'' ≠ x' ,  x  x '' inf
yK

1
Xét tam giác cân với các đỉnh x, x', x''. Điểm giữa m  ( x ' x '') của
2
đoạn thẳng [x', x''] nằm trong K, do K lồi.
Dễ thấy || x – m || < || x – x’ || = inf { || x – y || | y  K}, mâu thuẫn.
Vậy khơng thể có q 1 điểm của K thỏa mãn (2.1).

2.1.2. Định nghĩa. Ánh xạ

pK :  n  K
x  pK ( x )  x '

trong đó x' nói trong Bổ đề 2.1.1 được gọi là ánh xạ gần nhất đối với K (nói
đầy đủ là ánh xạ tới điểm gần nhất đối với K).
Ta có tính chất hiển nhiên sau đây của ánh xạ gần nhất, suy từ định
nghĩa của nó.

2.1.3. Bổ đề


18

(a) pK ( x) x nếu và chỉ nếu x  K.
(b) pK là toàn ánh.
2.1.4. Định nghĩa. Một siêu phẳng H được gọi là một siêu phẳng tựa của
tập hợp lồi K  ℝn nếu K  H ≠  và K  H  hoặc K  H+
Chúng ta gọi H - (hoặc H+ lần lượt) một nửa khơng gian tựa của K (có
thể K  H ).
Nếu K  H  và u là một vectơ vuông góc với H hướng vào H+, chúng
ta nói rằng u là một vectơ pháp tuyến ngồi của K, (Hình 5), và –u là một
vectơ pháp tuyến trong của K. Trường hợp K  H+ định nghĩa tương tự. Ta
gọi vectơ pháp tuyến ngoài của K là pháp vectơ của K.
2.1.5. Bổ đề. Giả sử   K  ℝn là một tập lồi đóng.
Khi đó với mỗi x  ℝn \ K siêu phẳng H chứa x’ ≔ pK(x) và vng góc
với đoạn thẳng [x, x’] là siêu phẳng tựa của K và H = { y |  y , u  = 1},
trong đó u =

x  x'
.
 x ', x  x '

HÌNH 5
Chứng minh. Từ phương trình của H ta thấy H qua x’. Vì u là pháp
vectơ của H, mà x – x' cộng tuyến với u nên H vng góc với đoạn thẳng
[x, x’].


19

Ta cần chứng minh H là siêu phẳng tựa của K. Do x – x’ là vectơ pháp
tuyến của H nên x  H+\H hoặc x  H-\H. Giả sử x  H+\H (trường hợp  H-\H
chứng minh tương tự).
Nếu H khơng phải là siêu phẳng tựa của K thì tồn tại y  K  (H+\H), y 
x.
Gọi P là mặt phẳng qua x, x’ và y thì P cắt H theo đường thẳng   [x, x’],
chứa x’.
Do x và y nằm về nửa mặt phẳng G có biên là  nên tồn tại z  G sao
cho || x – z || < || x – x’ ||, mâu thuẫn với giả thiết x '  pK ( x) .
2.1.6. Bổ đề. Giả sử K là tập lồi đóng của ℝn, x ℝn \ K và y nằm trên tia
gốc x’≔ pK(x) qua x, khi đó pK(y) = x’.
Chứng minh. Trường hợp y  [x,x’]. Giả sử y’ ≔ pC(y)  x’
thì || x – x’|| = || y – x’ || + || x – y || > || y – y’|| + || x – y ||  || x – y’||, mâu
thuẫn.
Trường hợp x  [ y,x’ ], x' ≠ y',
Đường thẳng qua x song song với [y, y’] cắt [x’, y’] tại a  x'.
Sử dụng tam giác đồng dạng và || y – y’|| < || y – x’ ||
ta có || x – a|| < || x – x’||, mâu thuẫn.

2.1.7. Bổ đề. Giả sử K là tập lồi đóng và x'  K. Điều kiện cần và đủ để
x’ = pK(x) là hình chiếu của x trên K là: c  K ta có:
 c – x’, x – x’   0.

(2.2)

Chứng minh: Khơng mất tính tổng qt, giả sử x’ = 0. Hệ thức (2.2) trở thành
 c , x   0.
Khi đó pK(x) = 0, Theo Bổ đề 2.1.6 ta có pK(x) = 0,  > 0.
Vậy || x – c||  || x||. Cho nên || c ||2  2  x, c ,  > 0.
Suy ra (2.3).

(2.3)


20

c
x

x’

C

Ngược lại nếu có (2.3) suy ra || c ||2  2 < x, c >. Vậy || x – c||  || x||.
Hệ thức này đúng với c  K chứng tỏ pK(x) = 0.
2.1.8. Hệ quả. Giả sử K là tập lồi đóng. Nếu x’ là hình chiếu của x trên K
thì  c – x, c – x’   || c – x’||2 và || c – x’||  || c – x||, c  K.
2.1.9. Bổ đề(Busemann – Feller). Ánh xạ gần nhất không dãn tức là
|| pK(x) - pK(y) ||  || x – y ||,  x, y  ℝn.

Chứng minh. Trường hợp x, y  K tầm thường. Trường hợp một trong
hai điểm thuộc K cịn điểm kia khơng thuộc K, chẳng hạn y = c  K, x  K.
Hệ quả 2.1.8 cho ta bất đẳng thức cần chứng minh.
Ta xét trường hợp x, y  K. Gọi x’ = pK(x), y’ = pK(y).
Ta chứng minh rằng x’  y’. Gọi S là giải mở của không gian nằm giữa hai
siêu phẳng H1 và H2 qua x’, y’ và vng góc với đoạn thẳng [x,y]; H1+ là nửa
khơng gian đóng, có biên là siêu phẳng H1 không chứa H2; H2+ là nửa khơng
gian đóng, t có biên là siêu phẳng H 2 khơng chứa H1. Ta thấy x  S vì nếu
như vậy hình chiếu vng góc của x trên đường thẳng qua x', y sẽ là điểm
trong của [x,y], khác x’ do đó mâu thuẫn với x’ gần x nhất. Tương tự y  S.

H1

y

x

y’
z’

S

z

x’

H

2