Tập bài giảng bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học

TẬP BÀI GIẢNG
BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN TIỂU HỌC
1
PHẦN A: MỞ ĐẦU
1. Đối tượng sử dụng bài giảng
Sinh viên ngành Tiểu học năm thứ ba học kỳ 2.
2. Mục đích yêu cầu đặt ra cho đối tượng sử dụng bài giảng
- Cung cấp cho sinh viên một tài liệu học tập phục vụ cho môn học.
- Sinh viên sử dụng tập bài giảng như một tài liệu học tập và tham khảo.
- Sau mỗi chương sinh viên cần giải quyết các câu hỏi và bài tập đã đề ra.
3. Cấu trúc cuốn tập bài giảng: Tập bài giảng gồm các phần, chương, mục sau
- Phần A: Mở đầu
- Phần B: Nội dung
Chương 1: Giải toán và bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở Tiểu học (2 tiết = 2 LT)
Chương 2: Suy luận và dạy học toán tiểu học (8 tiết = 6 LT + 2 BTTH)
Chương 3: Một số phương pháp thường sử dụng trong giải toán tiểu học (11 tiết = 4
LT + 7 BTTH)
Chương 4: Bồi dưỡng các bài toán về số học (13 tiết = 5 LT + 8 BTTH)
Chương 5: Bồi dưỡng các bài toán về hình học (4 tiết = 3 LT + 1 BTTH )
Chương 6: Các bài toán có lời văn dùng để bồi dưỡng học sinh giỏi (10 tiết = 4 LT + 6
BTTH)
4. Sơ lược về các kiến thức chính sẽ trình bày trong tập bài giảng
Tập bài giảng bao gồm các kiến thức cơ bản như: Giới thiệu quan niệm về bài
toán và giải toán ở tiểu học, một số quan niệm về bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu
học, suy luận và vai trò của suy luận trong dạy học toán tiểu học, các phương pháp
thường sử dụng và các dạng toán cơ bản bồi dưỡng học sinh giỏi toán tiểu học.
5. Những đặc điểm mới của tập bài giảng
Tập bài giảng sắp xếp lại các nội dung kiến thức theo logic, bổ sung thêm một
số dạng toán quan trọng dùng bồi dưỡng học sinh giỏi và cung cấp cho sinh viên hệ
thống bài tập tự luyện nhằm khắc sâu các kiến thức đã học.
6. Hướng dẫn sử dụng bài giảng

2
Sinh viên đọc kỹ tập bài giảng trước khi lên lớp, kết thúc mỗi chương và mỗi
bài, cần giải quyết đầy đủ các câu hỏi và bài tập thực hành mà tập bài giảng đã đề ra.
3
PHẦN B: NỘI DUNG
Chương 1
GIẢI TOÁN VÀ THỰC HÀNH GIẢI TOÁN Ở TIỂU HỌC
(2 tiết)
Tóm tắt nội dung:
Chương 1 trình bày những vấn đề, nội dung cơ bản sau: Tìm hiểu khái niệm về
bài toán, giải toán, ý nghĩa việc giải toán ở tiểu học, phân loại các bài toán ở tiểu học
theo hệ thống. Ngoài ra, chương này trình bày về một số biện pháp giúp giáo viên bồi
dưỡng học sinh giỏi ở tiểu học.
Mục tiêu của chương
1. Kiến thức
Học xong phần này, sinh viên có khả năng:
- Nắm được những kiến thức cơ bản về bài toán và giải toán: quan niệm, ý
nghĩa, quy trình giải, phân loại các bài toán ở tiểu học.
- Biết được một số quan niệm về bồi dưỡng học sinh giỏi và một số biện pháp
bồi dưỡng học sinh giỏi môn toán ở tiểu học.
2. Kĩ năng
- Vận dụng được quy trình để giải các bài toán cụ thể.
- Có kĩ năng phân loại, phân dạng các bài toán cơ bản và nâng cao ở tiểu học,
3. Thái độ
Rèn tính kiên trì, cẩn thận và làm việc có kế hoạch, logic cho sinh viên
Nội dung
1.1. GIẢI TOÁN
1.1.1 Quan niệm về bài toán và giải toán
1.1.1.1 Bài toán
- Nghĩa rộng: bài toán là bất cứ vấn đề nào đó của khoa học hay cuộc sống cần

phải giải quyết nó.
- Nghĩa hẹp: bài toán là bất cứ vấn đề nào đó của khoa học hay cuộc sống cần
phải giải quyết nó bằng phương pháp toán học.
- Đề bài của một bài toán gồm 2 phần chính: phần đã cho và phần cần tìm.
1.1.1.2. Giải toán
4
Bản chất của quá trình giải toán là một suy luận hoặc một dãy những suy luận
liên tiếp nhằm rút ra phần cần tìm từ phần đã biết.
Quá trình giải toán được ghi thành lời giải, cuối lời giải thường ghi rõ câu trả
lời: phần cần tìm là gì?- Câu trả lời này gọi là đáp số.
Ví dụ: Xét bài toán: Hồng có 3 bông hoa, Lan có nhiều hơn Hồng một bông
hoa. Hỏi cả hai bạn có bao nhiêu bông hoa?
Nhận xét: Lời giải gồm 2 suy luận:
Suy luận 1: Vì Hồng có 3 bông hoa và Lan có nhiều hơn Hồng một bông hoa nên số
hoa của Lan có là:
3 + 1 = 4 (bông hoa)
Suy luận 2: Vì Hồng có 3 bông hoa và Lan có 4 bông hoa nên cả hai bạn có số hoa là:
3 + 4 = 7 (bông hoa)
Nhận xét: Đối với học sinh tiểu học khi trình bày những suy luận như trên ta chỉ yêu
cầu học sinh viết suy luận đó ở dạng rút gọn tức là chỉ trình bày phần kết luận rút ra
trong mỗi suy luận.
Đối với lời giải bài toán trên, học sinh tiểu học sẽ trình bày như sau:
Số hoa của Lan có là:
3 + 1 = 4 (bông hoa)
Số hoa của hai bạn là:
3 + 4 = 7 (bông hoa)
Đáp số: 7 bông hoa
1.1.2. Ý nghĩa của việc thực hành giải toán ở tiểu học
Trong dạy học Toán ở phổ thông nói chung và tiểu học nói riêng, thực hành giải
toán có ý nghĩa quan trọng. Việc giải toán sẽ kích thích ở học sinh tư duy linh hoạt,

chủ động, sáng tạo. Học sinh phải huy động tất cả những kiến thức và kĩ năng đã có
vào việc giải quyết bài toán.
Trong nhiều trường hợp, học sinh phải biết phát hiện những dữ kiện và điều
kiện của bài toán chưa được nêu ra một cách tường minh và trong trường hợp nào đó
phải biết suy nghĩ năng động, sáng tạo.
Ở tiểu học, thực hành giải toán có thể sử dụng vào hầu hết các khâu trong quá
trình dạy học: hình thành kiến thức mới, củng cố kiến thức, vận dụng kiến thức vào
thực tiễn, phát triển năng lực tư duy cho học sinh.
5
1.1.3. Quy trình giải một bài toán
Quy trình giải một bài toán
Bước 1: Nghiên cứu kĩ đề bài
Bước 2: Lập kế hoạch giải (tìm cách giải)
Bước 3: Thực hiện giải
Bước 4: Kiểm tra, đánh giá kết quả
1.1.3.1. Tìm hiểu bài toán
Tìm hiểu bài toán là làm rõ phần đã cho và phần cần tìm. Phải trả lời đúng hai
câu hỏi: Bài toán cho biết gì? Bài toán hỏi gì?
Để làm rõ mối liên hệ giữa phần đã cho và phần cần tìm có thể tóm tắt bằng kí
hiệu, bằng công thức và đặc biệt bằng sơ đồ đoạn thẳng. Nếu trong các phần của đề bài
có những cái khó hiểu hoặc không rõ thì giáo viên có thể diễn đạt lại bằng một cách
khác.
Ví dụ: Xét bài toán sau:
Một chiếc cầu dài 400 m có biển cấm ô tô chạy quá 10 km/giờ. Một người lái
xe đã cho ô tô chạy qua chiếc cầu đó hết 4 phút. Hỏi người đó có tôn trọng luật giao
thông không?
Nhận xét:
- Phần đã cho:
1. Cầu dài 400m
2. Biển cấm chạy quá 10 km/giờ

3. Chạy qua cầu hết 4 phút
- Phần cần tìm: câu trả lời: Có / không?
Phân tích đề bài:
Dễ thấy hai ý 1 và 3 là đã rõ ràng. Tuy nhiên với ý 2 và phần cần tìm có thể gây
cho học sinh khó hiểu khi kết luận có hay không. Vì vậy, giáo viên có thể giải thích
thêm để học sinh có thể rõ hơn. Chẳng hạn:
- Với ý 2 cần diễn đạt lại: nếu ô tô chạy qua cầu với vận tốc lớn hơn 10 km/giờ
thì người lái xe không tôn trọng luật giao thông.
- Với phần cần tìm sẽ diễn đạt lại là: ô tô chạy qua cầu với vận tốc lớn hơn
10km/giờ hay không lớn hơn 10 km/giờ.
1.1.3.2. Lập kế hoạch giải
6
Lập kế hoạch giải toán tức là tìm hướng giải cho bài toán. Ở tiểu học, con đường đi
tìm hướng giải bài toán thường như sau:
- Trước hết cần xét xem bài toán cần giải có thuộc loại toán điển hình hay không?
- Nếu không phải thì xét xem bài toán cần giải có tương tự với một bài toán nào
đó đã biết cách giải hay không?
- Nếu vẫn không thì cần tìm cách phân tích bài toán thành các bài toán thành
phần mà người giải đã biết cách giải. Sự phân tích này có thể tiến hành theo
nhiều cấp: phân tích bài toán ban đầu thành một số bài toán đơn giản hơn. Sau
đó lại có thể phân tích mỗi bài toán đơn giản này thành các bài toán đơn giản
hơn nữa.
- Khi giải mỗi bài toán cần chú ý đến phối hợp nhiều phương pháp giải toán khác
nhau.
1.1.3.3. Thực hiện kế hoạch giải
Đối với bậc tiểu học, thực hiện kế hoạch giải có nghĩa là thực hiện các phép
tính theo trình tự mà bước lập kế hoạch giải đã xác định, sau đó viết lời giải (học sinh
có thể và thường làm xen kẽ công việc viết lời giải và thực hiện phép tính)
1.1.3.4. Kiểm tra, đánh giá kết quả
Đây là một bước về nguyên tắc không phải là bắt buộc nhưng nó lại là một

bước không thể thiếu được trong dạy và học giải toán. Mục đích của bước này là:
- Kiểm tra, rà soát lại công việc giải.
- Tìm cách giải khác và so sánh các cách giải để lựa chọn cách giải tối ưu.
- Suy nghĩ khai thác thêm đề toán.
Cần rèn luyện cho tất cả học sinh thói quen kiểm tra lại ba bước: tìm hiểu bài toán,
lập kế hoạch giải bài toán, thực hiện kế hoạch giải sau khi đã giải xong một bài toán
nào đó
1.1.4. Phân loại các bài toán ở tiểu học
1.1.4.1. Bài toán áp dụng quy tắc
Đó là những bài toán không cần phải suy nghĩ cần làm phép tính gì mà chỉ cần
phải thực hiện phép tính hoặc áp dụng quy tắc về thứ tự thực hiện phép tính.
Ví dụ: Tính: 17 + 28
(3,5 + 8) – 2 x 4,5
1.1.4.2.Bài toán có lời văn
7
a. Các bài toán đơn: Là các bài toán được giải bằng một bước tính.
a. Nhóm các bài toán đơn thể hiện ý nghĩa cụ thể của các phép tính số học:
- Các bài toán giải bằng một phép cộng hoặc một phép trừ, chủ yếu là các bài
toán về thêm, bớt một số đơn vị.
- Các bài toán giải bằng một phép nhân hoặc chia.
- Các bài toán về cộng, trừ phân số.
- Các bài toán về nhân, chia phân số.
- Các bài toán về cộng, trừ số thập phân.
- Các bài toán về nhân, chia số thập phân.
b. Nhóm các bài toán đơn thể hiện mối quan hệ giữa các thành phần và kết quả
phép tính:
- Tìm số hạng chưa biết khi biết tổng và số hạng đã biết.
- Tìm số bị trừ khi biết hiệu và số trừ.
- Tìm số trừ khi biết số bị trừ và hiệu.
- Tìm thừa số chưa biết khi biết tích và thừa số đã biết.

- Tìm số bị chia khi biết thương và số chia
- Tìm số chia khi biết số bị chia và thương.
c. Nhóm các bài toán đơn phát triển thêm ý nghĩa mới của phép tính số học:
- Các bài toán đơn về phép cộng và trừ, đó là các bài toán về nhiều hơn hoặc ít
hơn một số đơn vị.
- Gấp một số lên nhiều lần.
- Giảm một số đi một số lần.
- So sánh số lớn gấp mấy lần số bé.
- So sánh số bé bằng một phần mấy số lớn.
d. Nhóm các bài toán đơn liên quan đến phân số và tỉ số
- Tìm một trong các phần bằng nhau của một số.
- Bài toán tìm phân số của một số.
- Tìm tỉ số của hai số.
- Tìm một số khi biết tỉ lệ bản đồ và một số cho trước.
- Tìm tỉ số phần trăm số của hai số.
- Tìm một số biết tỉ số phần trăm của số đó so với số đã biết.
- Tìm một số biết một số khác và tỉ số phần trăm của số đã biết so với số đó.
8
e. Nhóm các bài toán đơn áp dụng công thức
- Tìm chu vi, diện tích hình chữ nhật, hình vuông, hình bình hành, hình thoi, hình
tam giác, hình thang, hình tròn.
- Tìm diện tích xung quanh, thể tích hình hộp chữ nhật.
- Tìm diện tích xung quanh, diện tích toàn phần hình lập phương.
- Tìm vận tốc, quãng đường, thời gian
b. Các bài toán hợp: Là các bài toán được giải bằng hai bước tính trở lên.
a. Các bài toán điển hình: là các bài toán mà quá trình giải có phương pháp giải
riêng cho từng dạng toán:
- Bài toán liên quan đến rút về đơn vị.
- Tìm hai số khi biết tổng hoặc hiệu và tỉ số của hai số đó.
- Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của chúng.

- Tìm số trung bình cộng
- Các bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận.
- Các bài toán về đại lượng tỉ lệ nghịch.
b. Các bài toán không điển hình: là các bài toán mà cách giải không nêu thành
mẫu
- Giải các bài toán có đến 2 bước tính với mối quan hệ trực tiếp và đơn giản.
- Giải các bài toán có đến 2 hoặc 3 bước tính có sử dụng phân số.
9
1.2. BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TOÁN
1.2.1. Một số quan niệm về bồi dưỡng học sinh giỏi
1. Bồi dưỡng học sinh giỏi cần được tiến hành liên tục, đồng thời với việc dạy
học mỗi đơn vị kiến thức.
2. Bồi dưỡng học sinh giỏi ở tiểu học không phải là dạy trước cho học sinh
những kiến thức của các lớp học, các bậc học trên.
3. Bồi dưỡng học sinh giỏi trước hết là giúp các em phát triển tư duy đặc trưng
của toán học mà không nên chỉ chú ý tới việc tích lũy cho các em một kho kiến thức
toán hoặc biến các em thành người thợ giải toán.
Như vậy, theo các nguyên tắc trên, các bài toán được lựa chọn để bồi dưỡng
học sinh giỏi phải là những bài toán thuộc nội dung cơ bản trong chương trình toán
tiểu học và có khả năng góp phần nâng cao năng lực tư duy về toán cho học sinh.
Khi bồi dưỡng học sinh giỏi, giáo viên có thể tham khảo lựa chọn các bài toán
từ các cuốn sách phù hợp với trình độ học sinh giỏi của trường mình, lớp mình. Việc
bồi dưỡng học sinh giỏi chỉ đạt kết quả cao nhất khi giáo viên lựa chọn được cho mình
một hệ thống bài tập phù hợp với điều kiện cụ thể, với trình độ học sinh.
Đặc biệt nên chú ý khai thác các bài toán ở trong sách giáo khoa để phát triển
thành các bài toán bồi dưỡng học sinh giỏi.
1.2.2. Một số biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi
1. GV cần củng cố vững chắc và hướng dẫn đào sâu các kiến thức đã học
thông qua những gợi ý hay những câu hỏi.
2. Ra thêm một số bài tập khó hơn trình độ chung.

3. Yêu cầu giải một bài toán bằng nhiều cách khác nhau.
4. Cho học sinh tự lập đề toán rồi giải
Ví dụ: Em hãy lập một đề toán sao cho thực hiện phép tính trừ trước rồi đến
phép nhân (chia). Sau đó em hãy giải bài toán đó.
Lan có 10 bông hoa. Hồng ít hơn 2 bông. Số hoa của Hồng nhiều gấp hai lần số
hoa của Trang. Tính số hoa của Trang
5. Cần sử dụng một số bài toán trong đó có yếu tố chứng minh để bồi dưỡng
phương pháp chứng minh cho học sinh.
6. Giới thiệu ngoại khóa tiểu sử một số nhà toán học xuất sắc để bồi dưỡng
tình cảm yêu thích môn toán.
10
7. Tổ chức các buổi dạ hội toán học, thi đố toán học.
8. Bồi dưỡng cho các em phương pháp học toán, tư vấn việc tổ chức tự học ở
nhà.
9. Cần kết hợp việc bồi dưỡng khả năng toán học với việc bồi dưỡng học tốt
môn Tiếng việt để phát triển khả năng sử dụng ngôn ngữ.
10. Những việc làm trên đây cần được tính toán đến điều kiện thời gian để học
sinh không phải học lệch hoặc bị quá tải.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TS Trần Ngọc Lan. Giáo trình Thực hành phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học.
Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2009.
2. PGS.TS. Trần Diên Hiển. Giáo trình chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu
học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2012.
3. Nguyễn Bá Kim. Phương pháp dạy học môn Toán. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm,
2002.
4. Vũ Quốc Chung. Rèn luyện nghiệp vụ sư phạm môn Toán. Dự án Việt – Bỉ tháng
11/2000.
5. Vũ Quốc Chung (chủ biên) – Đào Thái Lai – Đỗ Tiến Đạt – Trần Ngọc Lan –
Nguyễn Hùng Quang – Lê Ngọc Sơn. Phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học. Nhà
xuất bản Giáo dục, Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2007.

BÀI TẬP THỰC HÀNH
1. Thực hành giải toán ở tiểu học có ý nghĩa như thế nào? Cho ví dụ minh họa.
2. Thiết kế 1 đề bài và nêu cách giải cho mỗi bài toán điển hình đã học.
3. Nêu các biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi môn Toán tiểu học. Cho ví dụ minh họa.
4. Nêu quy trình giải một bài toán cụ thể. Cho ví dụ minh họa.
Chương 2
SUY LUẬN VÀ DẠY HỌC TOÁN TIỂU HỌC
(8 tiết)
11
Tóm tắt nội dung:
Chương 2 trình bày những vấn đề, nội dung cơ bản sau: Tìm hiểu về khái niệm,
mệnh đề, suy luận để thấy được mối liên hệ giữa chúng; tìm hiểu về hai loại suy luận
đó là suy luận diễn dịch (phép suy diễn) và suy luận quy nạp (phép quy nạp): khái
niệm, giải một bài toán bằng phép quy nạp hoặc suy diễn, vai trò của phép quy nạp và
suy diễn trong dạy học toán ở tiểu học, mối liên hệ giữa phép suy diễn và phép quy
nạp; tìm hiểu về thuật toán và tư duy thuật toán trong dạy học toán tiểu học.
Mục tiêu của chương
1. Kiến thức
Học xong phần này, sinh viên có khả năng:
- Nắm được các khái niệm cơ bản: mệnh đề, suy luận, thuật toán, tư duy thuật
toán.
- Biết được mối quan hệ giữa 2 loại suy luận và giữa suy luận với việc dạy học
toán ở tiểu học.
2. Kĩ năng
- Vận dụng để tìm ra các phép suy luận được sử dụng trong giải toán tiểu học.
- Tìm ra thuật toán và tư duy thuật toán được sử dụng.
3. Thái độ
- Tích cực trong học tập.
- Yêu thích môn học.
Nội dung

2.1. KHÁI NIỆM, MỆNH ĐỀ, SUY LUẬN
2.1.1. Thế nào là khái niệm?
Trong chương toán tiểu học có rất nhiều khái niệm như: số tự nhiên, phân số, số
thập phân, điểm, đoạn thẳng, hình tam giác, khối lượng, thời gian, vận tốc… Mỗi khái
niệm được biểu diễn bởi một từ và đều có nội hàm và ngoại diên của nó.
Ví dụ 1: Khái niệm “Số tự nhiên” ta có:
Nội hàm: bao gồm tất cả các tính chất của số tự nhiên: mỗi số tự nhiên đều có
duy nhất một số liền sau, số tự nhiên bé nhất là số 0, không có số tự nhiên lớn nhất…
Ngoại diên: là tập hợp tất cả các số tự nhiên như 0, 1, 2, 3, …
12
Ở tiểu học giới thiệu rất nhiều khái niệm nhưng không yêu cầu phải đi đến định
nghĩa khái niệm mà chỉ dừng ở mức độ giới thiệu cho học sinh biết một số phần tử
thuộc ngoại diên và một vài tính chất thuộc nội hàm của khái niệm.
Ví dụ 2: Về khái niệm “Hình vuông” không yêu cầu học sinh phải biết định
nghĩa hình vuông mà chỉ yêu cầu học sinh nhận dạng được các hình vuông một cách
trực giác và biết một số tính chất của hình vuông như: hình vuông có 4 cạnh bằng
nhau, hình vuông có 4 góc đều là góc vuông.
2.1.2. Mệnh đề
Trong toán học cũng như trong thực tế, ta hay gặp các câu phản ánh tính đúng-
sai của một thực tế khách quan. Những câu như thế ta sẽ gọi là mệnh đề.
Mệnh đề được hiểu là sự phản ánh mối quan hệ giữa các khái niệm. Mệnh đề
liên kết các khái niệm như câu liên kết các từ.
Ví dụ: Paris là thủ đô của nước Pháp – mệnh đề đúng.
Nước Việt Nam nằm ở châu Âu – mệnh đề sai.
Số 120 chia hết cho 3 – mệnh đề đúng.
12 lớn hơn 29 – mệnh đề sai.
Trong môn toán tiểu học, các quy tắc, các nhận xét, các điều ghi nhớ chính là
các mệnh đề.
2.1.3. Suy luận
Suy luận là quá trình suy nghĩ trong đó từ một hoặc nhiều mệnh đề đã có ta rút

ra mệnh đề mới. Suy luận phản ánh mối quan hệ giữa các mệnh đề. Có thể hiểu một
cách đơn giản, khi ta rút ra một mệnh đề nào đó từ một số mệnh đề cho trước chính là
ta đã thực hiện một suy luận.
Ví dụ 1: Từ hai mệnh đề:
a. Nếu một số có tận cùng là 0 thì chia hết cho 10
b. Số 320 có tận cùng là 0
Ta rút ra mệnh đề :
c. Số 320 chia hết cho 10
Một suy luận gồm có 3 yếu tố :
- Phần tiền đề : gồm các mệnh đề cho trước (mệnh đề a, b)
- Phần kết luận : là mệnh đề cần rút ra (mệnh đề c)
13
- Quy tắc suy luận : có thể hiểu là cách nghĩ mà dựa vào đó để rút ra kết luận từ
phần tiền đề.
Ví dụ 2: Nếu con gà có hai cánh biến thành hai chân thì con gà có 4 chân.
Phần tiền đề phần kết luận
Khi trình bày một suy luận cần phải làm rõ đâu là phần tiền đề, đâu là phần kết
luận. Người ta thường dùng các cặp từ sau để tách phần tiền đề và phần kết luận khi
diễn đạt một suy luận.
Nếu ……………………. thì……………………………
Vì ……………………… nên ………………………….
Từ ……………………… suy ra ……………………….
Giả sử ………………… khi đó ……………………….
Ta có …………………… vậy ………………………….
Từ mệnh đề (hai mệnh đề)… ta rút ra mệnh đề ……
Phần tiền đề sẽ được viết sau từ thứ nhất, phần kết luận sẽ được viết sau từ thứ
hai.
Có hai loại suy luận : suy luận diễn dịch (phép suy diễn) và suy luận quy nạp
(phép quy nạp)
2.2. CÁC LOẠI SUY LUẬN

2.2.1. Suy luận diễn dịch (phép suy diễn)
2.2.1.1 Khái niệm
Một suy luận mà phần tiền đề tổng quát hơn hoặc ít nhất không kém tổng quát
so với phần kết luận thì gọi là một suy luận diễn dịch. Nói cách khác, suy luận diễn
dịch là cách suy luận đi từ cái chung đến cái riêng, từ quy tắc tổng quát áp dụng vào
từng trường hợp cụ thể.
Suy luận diễn dịch luôn cho kết quả đáng tin cậy nếu nó xuất phát từ những tiền
đề đúng.
2.2.1.2. Ví dụ
Ví dụ 1:
Xét suy luận : ‘ Vì diện tích hình chữ nhật có chiều dài a, chiều rộng b bằng a x
b nên diện tích hình chữ nhật có chiều dài 4m, chiều rộng 3m bằng 4 x 3 = 12 (m
2
)’.
14
Đây là suy luận suy diễn vì phần tiền đề mang tính tổng quát hơn phần kết luận,
cách suy luận trên đi từ quy tắc tổng quát áp dụng vào trường hợp cụ thể.
Ví dụ 2:
a. Ta đã biết quy tắc chung : ‘Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 đều chia
hết cho 3’.
b. Số 1995 có tổng các chữ số là 1 + 9 + 9 + 5 = 24, chia hết cho 3.
c. Vậy 1995 chia hết cho 3.
Ở đây quy tắc chung a đã được áp dụng cho trường hợp cụ thể b để rút ra kết
luận c. Vậy ta có một phép suy diễn.
Loại phép suy diễn gồm có 3 khâu như thế này rất hay gặp trong đời sống.
Người ta thường gọi chúng là các phép tam đoạn luận.
Ví dụ 3:
Tìm x biết : x :
2
3

=
7
5
Ở đây ta suy diễn như sau :
a. Ta đã biết quy tắc chung : Muốn tìm số bị chia ta lấy thương nhân với số chia.
b. Áp dụng vào trường hợp cụ thể của bài toán trên »
x là số bị chia
2
3
là số chia
7
5
là thương
c. Ta rút ra kết quả :
x =
7
5
x
2
3
x =
14
15
2.2.1.3. Giải bài toán bằng một chuỗi các phép suy diễn
Ví dụ:
Hình chữ nhật ABCD có chu vi bằng chu vi hình vuông MNPQ có cạnh là 8cm.
Biết rằng chiều dài hình chữ nhật hơn chiều rộng 6cm. Tính diện tích hình chữ nhật
đó.
Ta có thể viết đầy đủ cách giải bài toán này như sau :
15

1. Ta đã biết quy tắc chung : Muốn tính chu vi hình vuông ta lấy cạnh nhân với 4.
Áp dụng vào trường hợp cụ thể của hình vuông MNPQ có cạnh là 8cm.
Ta có : Chu vi hình vuông MNPQ là : 8 x 4 = 32 (cm)
2. Ta đã biết quy tắc chung : Hai số cùng bằng một số thứ ba thì bằng nhau.
Áp dụng vào trường hợp cụ thể ở đây là :
- Chu vi hình chữ nhật ABCD bằng chu vi hình vuông MNPQ.
- Chu vi hình vuông MNPQ bằng 32cm.
Ta có : Chu vi hình chữ nhật ABCD bằng 32cm.
3. Ta đã biết quy tắc chung : Trong hình chữ nhật, tổng của chiều dài và chiều rộng
bằng nửa chu vi.
Ta có : Tổng của chiều dài và chiều rộng là : 32 : 2 = 16 (cm)
4. Ta đã biết quy tắc chung để giải bài toán : Tìm hai số khi biết tổng và hiệu của
chúng là :
Số lớn = (tổng + hiệu) : 2
Số bé = (tổng – hiệu) : 2
Áp dụng vào trường hợp cụ thể của hình chữ nhật ABCD ta thấy :
Số bé là chiều rộng hình chữ nhật
Số lớn là chiều dài hình chữ nhật
Tổng của chiều dài và chiều rộng là 16cm
Hiệu của chiều dài và chiều rộng là 6cm
Ta có :
Chiều dài hình chữ nhật là : (16 + 6) : 2 = 11 (cm)
Chiều rộng hình chữ nhật là : (16 - 6) : 2 = 5 (cm)
5. Ta đã biết quy tắc chung : Muốn tính diện tích hình chữ nhật ta lấy chiều dài nhân
với chiều rộng.
Áp dụng vào trường hợp cụ thể của hình chữ nhật ABCD có chiều dài 11cm, chiều
rộng 5cm.
Ta có : Diện tích hình chữ nhật ABCD là : 11 x 5 = 55 (cm
2
)

Tới đây ta có đáp số của bài toán. Xem xét lời giải của bài toán ta thấy nó gồm
một chuỗi năm phép suy diễn, mỗi phép suy diễn đều có các khâu sau :
- Nêu quy tắc chung
- Áp dụng quy tắc vào trường hợp cụ thể
16
- Rút ra kết luận.
2.2.1.4. Vai trò của phép suy diễn trong dạy học toán ở tiểu học
a. Vận dụng phép suy diễn để hướng dẫn học sinh luyện tập thực hành.
Ví dụ 1:
Sau khi đã hướng dẫn học sinh rút ra được quy tắc chung: ‘Muốn chia một số
cho 0,5 ta chỉ cần gấp đôi số đó’ thì giáo viên cho các em luyện tập áp dụng các bài tập
đó qua các bài tập, chẳng hạn:
- Để tính: 4 : 0,5
0,06 : 0,5
- Để giải bài toán sau: Sân trường em dài 200m. Mỗi bước chân em dài 0,5m.
Hỏi khi đi dọc theo chiều dài sân trường, em phải bước bao nhiêu bước?
Ví dụ 2:
Sau khi đã hướng dẫn học sinh rút ra được quy tắc chung: “Muốn tính diện tích
hình chữ nhật ta lấy số đo chiều dài nhân với số đo chiều rộng” thì giáo viên cho các
em luyện tập áp dụng quy tắc đó, chẳng hạn:
- Để tính diện tích hình chữ nhật biết chiều dài là 16cm, chiều rộng là 8cm.
- Để giải bài toán sau: Vườn rau nhà em hình chữ nhật có chiều dài là 12m, chiều
rộng kém chiều dài 3m. Tính diện tích vườn rau đó.
b. Vận dụng phép suy diễn để dạy bài mới.
Ví dụ 1:
a. Ta đã biết quy tắc chung: Thể tích hình hộp chữ nhật là: V = a x b x c
b. Áp dụng vào trường hợp cụ thể là hình lập phương cạnh a, đó là một hình hộp
chữ nhật đặc biệt có chiều dài bằng a, chiều rộng bằng a, chiều cao cũng bằng a.
c. Vậy thể tích V của hình lập phương cạnh a là: V = a x a x a
Ví dụ 2:

Đối với quy tắc tìm thừa số trong một tích. Với trường hợp cụ thể là vận tốc
chưa biết, quãng đường, thời gian là các đại lượng đã biết. Ta rút ra công thức v = s : t.
Ví dụ 3:
Từ công thức tính diện tích hình chữ nhật S = a x b, suy ra công thức tính diện
tích hình thoi, hình tam giác S = a x 2 x b : 2 = m x n : 2 (vẽ hình và cắt ghép)
2.2.2. Suy luận quy nạp
17
Một suy luận mà phần tiền đề ít tổng quát hơn phần kết luận gọi là suy luận quy
nạp. Phép quy nạp là phép suy luận đi từ cái cụ thể để rút ra kết luận tổng quát, hay đi
từ cái riêng đến cái chung.
Có hai phép quy nạp là quy nạp không hoàn toàn và quy nạp hoàn toàn.
2.2.2.1. Quy nạp không hoàn toàn
Là phép suy luận đi từ một hoặc một vài trường hợp riêng để nhận xét rồi rút ra
kết luận chung. Kết luận chung ấy có thể đúng có thể sai, vì thế đây chỉ là một phép
suy luận có lí và cần thận trọng kiểm tra lại các kết luận chung ấy.
Ví dụ 1:
Từ các trường hợp riêng: 20 chia hết cho 5, 30 chia hết cho 5, 40 chia hết cho 5.
Với nhận xét là: Các số 20, 30, 40 đều có tận cùng là 0.
Ta có thể rút ra kết luận chung là: Các số có tận cùng là 0 đều chia hết cho 5.
Ví dụ 2:
Từ các trường hợp riêng: 72 chia hết cho 3, 87 chia hết cho 3, 51 chia hết cho 3.
Với nhận xét là:
- Tổng các chữ số của số 72 là: 7 + 2 = 9 chia hết cho 3.
- Tổng các chữ số của số 87 là: 8 + 7 = 15 chia hết cho 3.
- Tổng các chữ số của số 51 là: 5 + 1 = 6 chia hết cho 3.
Ta có thể rút ra kết luận chung : Các số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết
cho 3.
Ví dụ 3:
Từ các trường hợp riêng: 63 chia hết cho 3, 93 chia hết cho 3, 123 chia hết cho 3.
Với nhận xét là: Các số 63, 93, 123 đều có tận cùng là 3.

Ví dụ 4:
Từ trường hợp riêng học sinh quan sát một hình tứ giác
Nhận xét thấy các cạnh của hình tứ giác bằng nhau.
Rút ra kết luận: Hình tứ giác có 4 cạnh bằng nhau là hình vuông.
Ví dụ 5:
Từ trường hợp riêng: Điểm O nằm trên đoạn thẳng AB sao cho AO = OB.
Với nhận xét là: O nằm giữa AB.
Rút ra kết luận: Điểm nằm giữa đoạn thẳng là trung điểm của đoạn thẳng ấy.
18
Nhận xét: Trong các ví dụ trên thì ví dụ 1 và 2 cho ta kết luận chung đúng, các ví dụ
sau đều cho ta kết luận chung sai.
2.2.2.2. Quy nạp hoàn toàn
Là phép suy luận đi từ việc khảo sát tất cả các trường hợp riêng rồi nhận xét để
nêu ra kết luận chung cho tất cả các trường hợp riêng ấy và chỉ cho những trường hợp
ấy mà thôi,
Phép quy nạp hoàn toàn là một phép suy luận cho ta kết luận đúng vì kết luận
chung chỉ khẳng định về các trường hợp đã được thử thấy đúng.
Ví dụ:
Ta thấy: 5 chia hết cho 5, 15 chia hết cho 5, 25 chia hết cho 5, 35 chia hết cho
5, 45 chia hết cho 5.
Với nhận xét là: Các số 5, 15, 25, 35, 45 có tận cùng là 5 và nằm trong phạm vi 50 số
tự nhiên đầu tiên.
Ta rút ra kết luận chung: Trong phạm vi 50 số tự nhiên đầu tiên, các số có tận cùng là
5 thì chia hết cho 5.
2.2.2.3. Vai trò của phép quy nạp trong dạy học toán tiểu học
a. Phép quy nạp không hoàn toàn
Mặc dù kết luận của phép quy nạp không hoàn toàn không đáng tin cậy nhưng
trong dạy học toán tiểu học phép quy nạp không hoàn toàn vẫn đóng vai trò rất quan
trọng.
Nhờ phép quy nạp không hoàn toàn mà ta có thể giúp học sinh tự tìm ra kiến

thức một cách chủ động, tích cực và nắm kiến thức vững vàng, chắc chắn.
Trong phần lớn các tiết toán, chúng ta đều dùng phương pháp quy nạp không
hoàn toàn để dạy phần bài mới.
Ví dụ 1: Dựa vào một số trường hợp riêng như:
5 : 0,5 = 10
6 : 0,5 = 12
9 : 0,5 = 18
Giáo viên có thể hướng dẫn học sinh nhận xét: thương gấp đôi số bị chia.
Từ đó rút ra kết luận chung: Muốn chia một số cho 0,5 ta chỉ cần gấp đôi số đó.
Như trên ta đã vừa dùng phép quy nạp không hoàn toàn để dạy học sinh quy tắc: Chia
nhẩm một số cho 0,5.
19
Ví dụ 2:
Để dạy học sinh quy tắc tính diện tích hình chữ nhật, giáo viên có thể xét một
hình chữ nhật cụ thể có chiều dài 4cm, chiều rộng 3cm, rồi chia thành các ô vuông
1cm
2
như hình bên:
Sau đó hướng dẫn học sinh nhận xét như sau:
- Mỗi hàng có 4 ô vuông.
- Có 3 hàng. Vậy có tất cả 4 x 3 = 12 (ô vuông)
- Vậy diện tích hình chữ nhật là: 4 x 3 = 12 (cm
2
)
Vì 4cm là số đo chiều dài, 3cm là số đo chiều rộng nên từ ví dụ trên ta rút ra quy tắc
chung: Muốn tính diện tích hình chữ nhật ta lấy số đo chiều dài nhân với số đo chiều
rộng.
b. Phép quy nạp hoàn toàn
Phép quy nạp hoàn toàn không được sử dụng nhiều ở tiểu học như phép quy
nạp không hoàn toàn. Nó chỉ thường được dùng khi phải xét tất cả các khả năng có thể

xảy ra của một sự kiện nào đó.
Ở tiểu học, người ta còn hay sử dụng một loại suy luận gọi là phép thử, chọn.
Ví dụ 1: Tìm tất cả các chữ số a, b để số có 5 chữ số khác nhau
ba378
chia hết
cho 2 và 3.
Giải
Muốn cho số chia hết cho 2 thì b phải là một trong các chữ số 0, 2, 4, 6, 8.
Nhưng b không thể là 8 vì hàng chục đã có 8.
Muốn cho số
ba378
chia hết cho 3 thì (a + 3 + 7 + 8 + b) phải chia hết cho 3,
hay (a + b + 18) chia hết cho 3 hay (a + b) chia hết cho 3.
Ta xét các trường hợp thỏa mãn (a + b) chia hết cho 3 và b là chữ số 0, 2, 4, 6
qua bảng sau:
B
A
Đáp số
0
3, 6, 9
33780 (loại)
63780
93780
2
1, 4, 7
13782
43782
73782 (loại)
20
4

2, 5, 8
23784
53784
83784 (loại)
6
3, 6, 9
33786 (loại)
63786 (loại)
93786
Ví dụ 2:
Tìm các chữ số khác nhau a, b, c, d biết rằng:
bcda
abcd
0
9
Giải
Ta có:
 
bcda
bcda
bcdabcda
bcdabcda
abcdbcda





125
81000

9900010000
9100010000
90
Vậy a < 8 vì nếu a = 8 trở lên thì a x 125 = 1000 trở lên là số có 4 chữ số.
Song a > 0 vì a là chữ số đầu tiên.
Suy ra a = 1, 2, …., 7
Dựa vào điều kiện các chữ số a, b, c, d khác nhau ta lần lượt xét từng trường
hợp:
- Nếu a = 1 thì
bcd
= 125, vậy b = a = 1: loại
- Nếu a = 2 thì
bcd
= 250, vậy b = a = 2: loại
- Nếu a = 3 thì
bcd
= 375, vậy b = a = 3: loại
- Nếu a = 4 thì
bcd
= 500, vậy c = d = 0: loại
- Nếu a = 5 thì
bcd
= 625, vậy d = a = 5: loại
- Nếu a = 6 thì
bcd
= 750, thử lại: 60750 = 6750 x 9: thỏa mãn
- Nếu a = 7 thì
bcd
= 875, vậy c = a = 7: loại
Đáp số:

abcd
= 6750
2.2.3. Mối quan hệ chặt chẽ giữa phép quy nạp và phép suy diễn
Trong toán học, người ta thường dùng phép quy nạp để dự đoán một quy luật
toán học, để phát hiện các chân lí toán học, sau đó mới dùng phép suy diễn để kiểm
tra, chứng minh, trình bày các chân lí ấy.
21
Ở tiểu học, người ta thường dùng phép quy nạp để dạy học sinh các kiến thức
mới, các quy tắc mới sau đó mới dùng phép suy diễn để hướng dẫn học sinh luyện tập
áp dụng các quy tắc và các kiến thức mới vào giải những bài tập cụ thể. Hai bước suy
luận này tương ứng với hai bước lên lớp quan trọng nhất là:
- Bước dạy bài mới.
- Bước luyện tập rèn kĩ năng.
Ví dụ:
Sau khi cho học sinh quan sát các trường hợp riêng:





321
312





523
532






743
734
Giáo viên hướng dẫn các em nêu nhận xét chung: Khi đổi chỗ các số hạng thì
tổng không thay đổi. Đó là dùng phép quy nạp.
Áp dụng quy tắc này cho các trường hợp riêng:
- Khi gặp các bài toán điền số vào ô trống: 5 + 3 = 3 +
- Khi gặp dãy tính: 7 + 9 + 3
-
2.3. THUẬT TOÁN VÀ TƯ DUY THUẬT TOÁN
2.3.1. Thuật toán
Thuật toán để giải một bài toán được hiểu một cách trực giác là một dãy các
thao tác mà cứ thực hiện lần lượt các thao tác đó ta sẽ thu được lời giải. Dãy thao tác
đó phải thỏa mãn:
- Tính chất tuyến tính: sau mỗi thao tác, trừ thao tác kết thúc, có đúng một thao
tác.
- Tính chất hữu hạn: tổng số thao tác trong dãy là hữu hạn.
- Tính chất xác định: mỗi thao tác được xác định rõ ràng để bất cứ ai cũng có thể
thực hiện nó bằng một cách.
- Tính hiệu quả: trước khi kết thúc phải thu được lời giải.
Ở tiểu học chúng ta thấy có rất nhiều thuật toán:
- Quá trình thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia.
- So sánh hai số.
- Tính số trung bình cộng.
22
- Tìm tỉ số, tỉ số %.
- Tính giá trị các biểu thức.

Ví dụ:
Hãy so sánh hai phân số:
9
5
và
5
3
Giải
Ta có:
45
25
59
55
9
5




45
27
95
93
5
3




Vì 25 < 27 nên

45
25
<
45
27
Vậy
9
5
<
5
3
2.3.2. Tư duy thuật toán
Tư duy thuật toán là cách suy nghĩ để giải quyết một loại công việc nào đó theo
một quy trình nhất định. Tư duy thuật toán thể hiện ở một số thói quen suy nghĩ mỗi
khi thực hiện một công việc như:
- Xác định rõ mục đích công việc.
- Phân tích quá trình thực hiện công việc thành các thao tác theo một trình tự
công việc nhất định.
- Mô tả chính xác các thao tác cũng như cách thực hiện chúng.
- So sánh các phương pháp thực hiện công việc để phát hiện ra phương pháp tối
ưu.
Ngoài ra còn thể hiện ở chỗ: biết khái quát cách thực hiện công việc trên các
đối tượng riêng lẻ thành cách thực hiện công việc trên một lớp đối tượng.
Ví dụ:
Hãy tìm số bé nhất trong các số sau: 23, 17, 19, 16
Giải
Số bé nhất là 16.
23
Nhận xét : Nếu chấp nhận lời giải như trên thì sẽ không biết được làm cách nào
để tìm ra số bé nhất và không lí giải được vì sao 16 là số bé nhất.

Nếu ta quan tâm đến việc bồi dưỡng tư duy thuật toán thì cần hướng dẫn học
sinh biết cách lập luận trong quá trình giải để tìm ra đáp số.
- So sánh số thứ nhất (23) với số thứ hai (17) thấy số thứ hai bé hơn.
- So sánh số thứ hai (17) với số thứ ba (19) thấy số thứ hai vẫn bé hơn.
- So sánh số thứ hai (17) với số thứ tư (16) là số cuối cùng thấy số thứ tư bé hơn.
Vậy số thứ tư (16) bé hơn tất cả các số trên nên 16 là số bé nhất.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1. TS Trần Ngọc Lan. Giáo trình Thực hành phương pháp dạy học Toán ở Tiểu học.
Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2009.
2. PGS.TS. Trần Diên Hiển. Giáo trình chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi Toán Tiểu
học. Nhà xuất bản Đại học Sư phạm, 2012.
3. TS Trần Ngọc Lan. Tuyển tập các đề thi học sinh giỏi toán lớp 4 – 5. Nhà xuất bản
Đại học Sư phạm, 2005.
4 TS Trần Ngọc Lan, Trương Thị Tố Mai. Rèn luyện tư duy cho học sinh trong dạy
học toán bậc Tiểu học. Nhà xuất bản Trẻ, 2007.
5. />toan-o-tieu-hoc.htm
6. />BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài 1 : Cho bài toán : ‘Vận tốc bay của một con chim đại bàng là 96 km/giờ. Tính thời
gian để con chim đại bàng đó bay được quãng đường 72km’.
a. Hãy giải bài toán trên cho học sinh tiểu học.
b. Hãy chỉ ra phép suy diễn được sử dụng để giải bài toán trên.
Bài 2 : Xét bài toán :
Tính : a. 1326 x 200 b. 5104 x 400
a. Giải bài toán trên.
b. Chỉ ra phép suy diễn được sử dụng để giải bài toán trên.
Bài 3 : Khoanh tròn vào chữ cái đặt trước số chia hết cho 5
24
a. 13450 c. 24048
b. 7895 d. 9754
Hãy chỉ ra phép suy diễn được dùng để làm bài tập này.

Bài 4: Hãy giải bài toán sau và chỉ ra phép suy luận được dùng để giải bài toán đó.
Tính giá trị biểu thức bằng cách thuận tiện nhất
47 x 234 + 234 x 53
Bài 5 : Hãy giải bài toán sau và chỉ ra phép suy luận được dùng để giải bài toán đó.
Tìm x :
x : 25 + 12 = 60
Bài 6: Hãy giải bài toán sau và chỉ ra phép suy luận được dùng để giải bài toán đó.
Một thửa ruộng hình chữ nhật có chiều dài 64m và chiều rộng 25m. Trung bình
cứ 1m
2
ruộng đó thì thu hoạch được ½ kg thóc. Hỏi trên cả thửa ruộng đó người ta thu
hoạch được bao nhiêu tạ thóc?
Bài 7: Hãy tìm một ví dụ trong chương trình toán tiểu học thể hiện mối liên hệ giữa
phép quy nạp và phép suy diễn trong các trường hợp:
a. Mạch số học
b. Mạch hình học