Một số loại vòi phun có thể nâng cao hiệu suất nhiệt trong động cơ điêzen

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2




PHAN THỊ BỀN


PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO LƢỢNG TỬ CHO
VẬT LIỆU SIÊU DẪN NHIỆT ĐỘ CAO

Chuyên ngành: Vật lí chất rắn
Mã số: 60 44 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN THẾ LÂM



HÀ NỘI, 2014

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này đƣợc thực hiện và hoàn thành tại Trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 dƣới
sự hƣớng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Thế Lâm. Thầy đã hƣớng dẫn và truyền cho tôi
những kinh nghiệm quý báu trong học tập và trong nghiên cứu khoa học để động
viên, khích lệ tôi vƣơn lên trong học tập và vƣợt qua những khó khăn.Tôi đã từng
bƣớc tiến hành và hoàn thành luận văn với đề tài: “Phƣơng pháp Monte Carlo
lƣợng tử cho vật liệu siêu dẫn nhiệt độ cao”. Tôi xin bày tỏ lòng kính trọng, biết

ơn chân thành và sâu sắc nhất đối với thầy.
Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu trƣờng ĐHSP Hà Nội 2, Khoa Vật
lý, phòng sau đại học trƣờng ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
hoàn thành chƣơng trình cao học và luận văn tốt nghiệp.
Cuối cùng tôi xin cảm ơn gia đình, các đồng chí đồng nghiệp và bạn bè đã
tạo mọi điều kiện, động viên, đóng góp những ý kiến quý báu để tôi hoàn thành luận
văn này.

Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Tác giả

Phan Thị Bền









LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là kết quả nghiên cứu của riêng tôi, không
sao chép hoặc trùng với kết quả của bất kỳ tác giả nào đã công bố. Nếu sai tôi hoàn
toàn chịu trách nhiệm.

Hà Nội, tháng 10 năm 2014
Tác giả

Phan Thị Bền























MỤC LỤC

LỜI CẢM ƠN
LỜI CAM ĐOAN
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU 1

1. Lí do chọn đề tài 1
2. Mục đích nghiên cứu 1
3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1
4. Đối tƣợng nghiên cứu 2
5. Phƣơng pháp nghiên cứu 2
6. Đóng góp mới 2
CHƢƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ SIÊU DẪN 3
1.1 Lịch sử phát triển 3
1.2 Siêu dẫn nhiệt độ cao 6
1.3 Cấu trúc tinh thể của một số chất gốm siêu dẫn nhiệt độ cao 9
1.3.1 Cấu trúc perovskite 9
1.3.2 Siêu dẫn YBa
2
Cu
3
O
7-x
10
1.3.3 Siêu dẫn nhiệt độ cao gốc Bi-, Tl- và Hg- 11
1.4 Một số tính chất của HTSC 14
1.4.1 T
c
phụ thuộc vào thành phần hóa học trong hợp chất siêu dẫn 14
1.4.2 T
c
phụ thuộc vào pha tạp điện tử và pha tạp lỗ trống 14
1.4.3 T
c
phụ thuộc vào số lớp Cu-O trong ô đơn vị 15
1.4.4 T

c
phụ thuộc vào hàm lượng oxy trong tinh thể 16
CHƢƠNG 2. PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO VÀ PHƢƠNG PHÁP MONTE
CARLO LƢỢNG TỬ CHO VẬT LIỆU SIÊU DẪN NHIỆT ĐỘ CAO 17
2.1 Số ngẫu nhiên 17
2.2 Tích phân Monte Carlo 17
2.3 Phƣơng pháp Monte Carlo tính mật độ trạng thái 25
2.3.1 Phương pháp gần đúng liên kết chặt 25
2.3.2 Mật độ trạng thái 28
2.4 Phƣơng pháp Monte Carlo lƣợng tử 31
2.4.1 Phương pháp Monte Carlo biến đổi (VMC) 31
2.4.2 Monte Carlo khuếch tán 34
CHƢƠNG 3. KẾT QUẢ VÀ THẢO LUẬN 38
3.1 Chất siêu dẫn nhiệt độ cao 4 thành phần YBa
2
Cu
3
O
7
(YBCO-Y123) 38
3.2 Chất siêu dẫn nhiệt độ cao 5 thành phần Bi
2
Sr
2
Ca
2
Cu
3
O
10

(BSCCO-B2223) 39
3.3 Năng lƣợng và hàm sóng ở trạng thái cơ bản của siêu dẫn nhiệt độ cao 41
3.4 Phổ năng lƣợng của electron cho tinh thể siêu dẫn nhiệt độ cao 45
3.5 Mặt Fermi 48
3.6 Mật độ trạng thái 51
3.7 Khe siêu dẫn và nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn 53
KẾT LUẬN 56
TÀI LIỆU THAM KHẢO 57
PHỤ LỤC CODE MATLAB CHƢƠNG TRÌNH 59
1
MỞ ĐẦU


1. Lí do chọn đề tài
- Hiện nay vật liệu siêu dẫn nhiệt độ cao đang đƣợc tập trung nghiên cứu
trong vật lý chất rắn nói riêng và vật lý hiện đại nói chung. Siêu dẫn nhiệt độ cao
ngày càng có nhiều tính chất mới, việc tìm ra các vật liệu siêu dẫn mới có nhiệt độ
cao hơn trƣớc, thậm chí là ở nhiệt độ phòng sẽ có nhiều ứng dụng thực tiễn. Tuy
nhiên chƣa một lý thuyết nào đủ hoàn thiện để có thể giải thích đầy đủ cơ chế cũng
nhƣ các tính chất của các vật liệu siêu dẫn nhiệt độ cao.
- Lý thuyết BCS (Schrieffer-Cooper-Bardeen, 1957) mới chỉ giải thích đƣợc
siêu dẫn nhiệt độ thấp.
- Phƣơng pháp Monte Carlo và máy tính cho phép mở rộng các bài toán
trƣớc đây chƣa giải đƣợc bằng lý thuyết, các kết quả thu đƣợc khá phù hợp với thực
nghiệm.
Chính vì những lý do trên và những ứng dụng thiết thực của nó mà tôi lựa
chọn đề tài “Phƣơng pháp Monte Carlo lƣợng tử cho vật liệu siêu dẫn nhiệt độ
cao” để nghiên cứu.
2. Mục đích nghiên cứu
- Khảo sát sự phụ thuộc của các tính chất của siêu dẫn nhiệt độ cao vào cấu

trúc tinh thể và tạp chất.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu sự phụ thuộc của các tính chất của siêu dẫn nhiệt độ cao vào
cấu trúc tinh thể.
- Nghiên cứu sự phụ thuộc của các tính chất của siêu dẫn nhiệt độ cao vào
tạp chất.
- Xây dựng mô hình vật lý cho các vật liệu siêu dẫn nhiệt độ cao.
- Khảo sát các tính chất vật lý trên mô hình đã xây dựng.
- So sánh các kết quả tìm đƣợc với các nghiên cứu lý thuyết.
2
4. Đối tƣợng nghiên cứu
- Các vật liệu siêu dẫn nhiệt độ cao điển hình là YBa
2
Cu
3
O
7
và
Bi
2
Sr
2
Ca
2
Cu
3
O
10
.
5. Phƣơng pháp nghiên cứu

- Nghiên cứu lý thuyết về cấu trúc, tính chất của vật liệu siêu dẫn nhiệt độ
cao.
- Phƣơng pháp tính số.
6. Đóng góp mới
Qua luận văn này chúng tôi đã làm sáng tỏ đƣợc sự phụ thuộc của các tính
chất của siêu dẫn nhiệt độ cao vào cấu trúc tinh thể và tạp chất nhƣ: cấu trúc điện tử
bên trong tinh thể (phổ năng lƣợng), tìm đƣợc dạng của mặt Fermi của các electron
liên kết chặt trong tinh thể và sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn vào
tạp chất đối với hai siêu dẫn nhiệt độ cao điển hình YBa
2
Cu
3
O
7
và
Bi
2
Sr
2
Ca
2
Cu
3
O
10
. Đây cũng có thể là cơ sở để nghiên cứu đối với các vật liệu siêu
dẫn nhiệt độ cao khác.

3
CHƢƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ SIÊU DẪN

1.1 Lịch sử phát triển


Hình 1.1 Mẫu siêu dẫn Hg với nhiệt độ
chuyển pha siêu dẫn
4,2
c
TK
đƣợc phát
hiện bởi Heike Kamerlingh Onnes năm
1911 [9]

Hình 1.2 Lịch sử phát hiện chất siêu dẫn:
nhiệt độ tới hạn T
c

của các chất siêu dẫn
đã đƣợc phát hiện dần tăng lên nhƣ một
hàm của thời gian [20]
Năm 1911, Heike Kamerlingh Onnes (Leiden, Hà Lan) phát hiện thấy điện
trở của mẫu thủy ngân (Hg) đột ngột giảm về không khi hạ nhiệt độ xuống dƣới
4.2K [9]. Việc phát hiện này đã mở đầu kỷ nguyên của chất siêu dẫn.
Năm 1933, Walther Meissner và Robert Ochsenfeld quan sát thấy mọi từ
trƣờng ở gần một chất liệu siêu dẫn đều bị đẩy ra khỏi mẫu hoàn toàn một khi nó
đƣợc làm lạnh xuống dƣới nhiệt độ chuyển tiếp T
c
, nhiệt độ mà tại đó nó mất hoàn
toàn điện trở. Các đƣờng sức từ trong những trƣờng hợp bình thƣờng sẽ đi xuyên
qua chất liệu, giờ phải chạy vòng quanh chất siêu dẫn “Hiệu ứng Meissner” [24].
Chứng tỏ chất siêu dẫn là chất nghịch từ lý tƣởng.

4
Năm 1935, Heinz London và Friz đã giải thích hiện tƣợng siêu dẫn bằng
mẫu hai chất lỏng [7]: chất lỏng thƣờng-chất lỏng siêu dẫn và đƣa ra khái niệm độ
dày thấm sâu London của từ trƣờng bên ngoài đặt vào chất siêu dẫn để giải thích
hiệu ứng Meissner.
Năm 1950, V. Ginzburg và L. Landau giải thích hiện tƣợng siêu dẫn bằng lý
thuyết vĩ mô [22].
Năm 1957, A. Abrikosov (Liên Xô) đƣa ra khái niệm siêu dẫn loại I, siêu
dẫn loại II và trạng thái trung gian của chất siêu dẫn [1]. Lý thuyết GLAG
(Ginzburg-Landau-Abrikosov-Gor’kov) giải thích chất siêu dẫn loại II. Mô hình này
đã đặt nền tảng cho mọi ứng dụng thực tiễn của sự siêu dẫn.
Năm 1957, John Bardeen, Leon Cooper và Robert Schrieffer đƣa ra lý
thuyết vi mô giải thích hiện tƣợng siêu dẫn của các chất (lý thuyết BCS) [11]. Theo
lý thuyết BCS, các điện tử ở trạng thái siêu dẫn kết cặp (cặp Cooper) chuyển động
với sự kết hợp. Khi chuyển động các cặp Cooper không bị tán xạ, do đó không có

mất mát năng lƣợng.
Năm 1962, Brian Josephson tại trƣờng đại học Cabridger ở Anh quốc, bằng
lý thuyết đã phát hiện ra hiện tƣợng xuyên ngầm của các cặp Cooper [4] qua một
lớp ngăn cách là điện môi có độ dày cỡ 10Å.
Từ năm 1911

1985, đã có hàng trăm chất siêu dẫn đơn nguyên tố, đa
nguyên tố đƣợc phát hiện và chế tạo. Song nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn T
c
thu
đƣợc đều nhỏ hơn 23.5K, các chất siêu dẫn này đƣợc gọi là siêu dẫn nhiệt độ thấp.
Để thực hiện các nghiên cứu và ứng dụng các chất siêu dẫn ngƣời ta phải dùng đến
Hêli lỏng với nhiệt độ sôi 4.2K.
Năm 1986, Georg Bednorz và Alex Muller làm việc tại Rüschlikon,
Switzerland đã phát hiện ra vật liệu siêu dẫn gốm mới. Bednorz bắt gặp hợp chất
pha tạp gốm La-Ba-Cu-O [12] có điện trở hạ xuống không tại nhiệt độ
30
c
TK
đƣợc gọi là siêu dẫn nhiệt độ cao. Sự khám phá này gây ra một làn sóng
bùng nổ nghiên cứu trong lĩnh vực trên.
5
Năm 1987, MK Wu và Paul Chu đã phát hiện thấy chất siêu dẫn gốm
YBa
2
Cu
3
O
7
(YBCO) [17] có

93
c
TK
.
Năm 1988, các chất siêu dẫn dạng gốm chứa Bi, Tl, Hg đƣợc tìm thấy với
nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn cao hơn nhƣ: Bi
2
Sr
2
Ca
2
Cu
3
O
10
, Tl
2
Ba
2
Ca
2
Cu
3
O
10
và
HgBa
2
Ca
2

Cu
3
O
8
có
138
c
TK
[13][26][21].


Hình 1.3 Sự khám phá ra siêu dẫn nhiệt độ phòng trong một chất siêu dẫn oxit
đồng [6]
Liệu có tồn tại siêu dẫn nhiệt độ phòng trong các siêu dẫn hợp chất đồng?
Điều này trƣớc đây không thể đƣợc ngờ tới thì nay đã đƣợc trả lời. Nhiệt độ tới hạn
cao nhất trong họ siêu dẫn gốc đồng tồn tại trong phim mỏng của hợp chất
Tl
5
Pb
2
Ba
2
Mg
2
Cu
9
O
18+
đƣợc khám phá trong những năm gần đây đã vƣợt quá 300K
(hình 1.3) [6].

Phát hiện mới đây nhất nữa là tìm ra vật liệu siêu dẫn gốc sắt, những họ này
hiện nay có nhiệt độ tới hạn cao thứ hai sau siêu dẫn hợp chất đồng. Bắt đầu vào
năm 2006 với sự khám phá ra siêu dẫn trong LaFePO tại 4K [15] và đáng chú ý vào
năm 2008 nhiệt độ tới hạn đƣợc tìm thấy trong vật liệu LaFeAs(OF) lên tới gần
43K[8]. Nhiệt độ tới hạn cao nhất trong họ siêu dẫn gốc sắt tồn tại trong phim mỏng
của FeSe đƣợc khám phá mới đây đã vƣợt quá 100K [14]. Điều này cho thấy vật
liệu siêu dẫn gốc sắt có nhiều triển vọng là thế hệ tiếp theo của siêu dẫn nhiệt độ
cao.
6


Hình 1.4 Lịch sử khám phá ra chất siêu dẫn gốc sắt [20]

Hiện nay, các chất siêu dẫn nhiệt độ cao đƣợc nhiều nhà khoa học trên thế
giới quan tâm nghiên cứu. Ngoài việc giải thích cơ chế siêu dẫn nhiệt độ cao còn có
mục đích cực kỳ quan trọng là để ứng dụng chúng vào trong thực tiễn. Việc sử dụng
các vật liệu siêu dẫn nhiệt độ cao chỉ cần tới Nitơ lỏng (nhiệt độ sôi 77K) có giá
thành rẻ hơn rất nhiều (hàng trăm lần) so với các vật liệu siêu dẫn nhiệt độ thấp
dùng Hêli lỏng (nhiệt độ sôi 4.2K).
Ngoài ra, việc nghiên cứu các chất siêu dẫn còn làm phong phú thêm lý
thuyết vi mô về vật liệu và tƣơng tác giữa các hạt. Các ứng dụng của vật liệu siêu
dẫn còn có tác dụng thúc đẩy phát triển kỹ thuật, kinh tế dân sinh, quốc phòng an
ninh và góp phần bảo vệ môi trƣờng.

1.2 Siêu dẫn nhiệt độ cao
Các chất siêu dẫn nhiệt độ cao, thông thƣờng là các chất có nhiệt độ chuyển
pha từ trạng thái thƣờng sang trạng thái siêu dẫn với nhiệt độ T
c
ở vùng trên nhiệt
độ nitơ lỏng (-196

o
C hay 77K) .
Các hợp chất siêu dẫn nhiệt độ cao hầu hết đều chứa các oxit đồng, vì vậy
còn gọi là chất siêu dẫn chứa đồng (cuprates).
7
Hợp phần hóa học chung của siêu dẫn hợp chất đồng là [10]:
(2 )
21
[( ) ]
bc
nn
B CuO C

   


trong đó:
1,2,3 ;n 
2c 
hoặc 3,
 
2b c n c

   
.
Lớp
B
là lớp oxide kim loại ion dƣơng.
Tiếp theo là đơn lớp
(2 )

2
()CuO


hoặc
n
lớp
(2 )
2
()CuO


xen giữa với ion
dƣơng
C
.
Ion dƣơng
C
là
2
Ca

hoặc
3
RE

, ở đây RE = Y, La hoặc bất kỳ nguyên tố
đất hiếm nào.
Những họ chính của siêu dẫn gốm là:
24x x y

La Sr CuO


(2 ) (2 )
2 2 2
( ) ( )
x x y
La SrO CuO

   

với
1n 
và
x


cho
0y 
, cùng một họ là
2 2 2
M CuO X
hoặc
(2 ) (2 )
2 2 2
( ) ( )M X CuO

   
với
1

()
xx
M Ca Na


hoặc Sr và
,X F Cl

hoặc
Br
.
1 2 3 6 x
RE Ba Cu O


2 (3 2 ) (2 ) 3
2 2 2 2
( ( ) )[( ) ]
x
Ba CuO CuO RE

     

với
2n 
và
0


cho

0.3x 
và tăng
dần từ
0.2


đến
1x 
.
(2 ) (2 ) 2
21
[( ) ] , 1,2,3,
n
nn
B CuO Ca n

    



2 2 4
( , )
x
B Bi Pb Sr O


hoặc
2 2.5 x
TlBa O


hoặc
2 2 4 x
Tl Ba O

hoặc
22x
HgBa O

, và


tăng lên khi tăng
x
; Tl có thể đƣợc thay thế bằng B và Hg đƣợc thay thế bằng Cu
hoặc Au; Ca có thể đƣợc thay thế bằng Y, Dy, Er.
Các chất siêu dẫn nhiệt độ cao điển hình đƣợc đƣa ra trong bảng 1.1 dƣới
đây:
Bảng 1.1 Các chất siêu dẫn nhiệt độ cao [16]
Họ chất
HTS
Công thức hóa học
Ký hiệu
Hợp chất
T
c
(K)
cao nhất
Bi-HTS
Bi
m

Sr
2
Ca
n-1
Cu
n
O
2n+m+2

m = 1,2
n = 1,2,3…

Bi-m2(n-1)n,
BSCCO
Bi-2201
Bi-2212
Bi-2223
Bi-2234
34
96
110
110
Pb-HTS
Pb
m
Sr
2
Ca
n-1
Cu

n
O
2n+m+2

Pb-m2(n-1)n
Pb-1212
70
8


Pb-1223
122
Tl-HTS
Tl
m
Ba
2
Ca
n-1
Cu
n
O
2n+m+2

m = 1,2
n = 1,2,3…


Tl-m2(n-1)n,
TBCCO

Tl-1201
Tl-1212
Tl-1223
Tl-1234
Tl-2201
Tl-2212
Tl-2223
Tl-2234
50
82
133
127
90
110
128
119
Hg-HTS
Hg
m
Ba
2
Ca
n-1
Cu
n
O
2n+m+2

m = 1,2
n = 1,2,3…

Hg-m2(n-1)n,
HBCCO
Hg-1201
Hg-1212
Hg-1223
Hg-1234
Hg-1245
Hg-1256
Hg-2212
Hg-2223
Hg-2234
97
128
135
127
110
107
44
45
114
Au-HTS
Au
m
Ba
2
Ca
n-1
Cu

n
O
2n+m+2

Au-m2(n-1)n
Au-1212
82
123-HTS
REBa
2
Cu
3
O
7-


RE = Y, La, Nd, Sm, Eu,
Gd, Dy, Ho, Er, Tm, Yb,
Lu

RE-123, RBCO
Y-123, YBCO
Nd-123, NBCO
Gb-123
Er-123
Yb-123
92
96
94
92

89
Cu-HTS
Cu
m
Ba
2
Ca
n-1
Cu
n
O
2n+m+2


Cu-m2(n-1)n
Cu-1223
Cu-1234
Cu-2223
Cu-2234
Cu-2245
60
117
67
113
<110
Ru-HTS
RuSr
2
GdCu
2

O
8

Ru-1212
Ru-1212
72
B-HTS
B
m
Sr
2
Ca
n-1
Cu
n
O
2n+m+2


B-m2(n-1)n
B-1223
B-1234
B-1245
75
110
85
Ba-HTS
Ba
2
Ca

n-1
Cu
n
O
2n+2


“02(n-1)n”
“0212”
“0223”
“0234”
“0245”
90
120
105
90
214-HTS
E
2
CuO
4


LSCO
“0201”
La
2-x
Sr
x
CuO

4

Sr
2
CuO
4

51
(75)25


Pha tạp điện tử
PCCO
NCCO
La
2-x
Ce
x
CuO
4

Pr
2-x
Ce
x
CuO
4

Nd
2-x

Ce
x
CuO
4

Sm
2-x
Ce
x
CuO
4

Eu
2-x
Ce
x
CuO
4

28
24
24
22
23
Lớp
mỏng
HTS
ECuO
2

Pha tạp điện tử
Sr
1-x
La
x
CuO
2

43
9
1.3 Cấu trúc tinh thể của một số chất gốm siêu dẫn nhiệt độ cao
Cấu trúc của đồng oxit nhiệt độ cao hay gốm siêu dẫn thƣờng có cùng họ với
cấu trúc của perovskite, và cấu trúc của những hợp chất này đƣợc mô tả nhƣ là cấu
trúc perovskite bị biến dạng thiếu nhiều lớp oxy. Đặc tính cấu trúc tinh thể của gốm
siêu dẫn là có nhiều lớp xen kẽ giữa lớp CuO
2
với các lớp khác. Thông thƣờng càng
nhiều lớp CuO
2
thì nhiệt độ T
c
càng cao. Cấu trúc này gây ra tính chất dị hƣớng lớn
trong chất dẫn điện thông thƣờng và siêu dẫn, vì dòng điện dẫn gây ra lỗ trống trên
vị trí oxy của mặt CuO
2
. Dòng điện dẫn có tính dị hƣớng rất cao, độ dẫn theo
phƣơng song song với mặt CuO
2
cao hơn nhiều so với phƣơng vuông góc. Nói
chung, nhiệt độ tới hạn phụ thuộc vào thành phần hóa học, sự thay thế ion dƣơng và

hàm lƣợng oxy.
1.3.1 Cấu trúc perovskite
Perovskite [2] là chất gốm (vật rắn liên kết giữa các phần tử kim loại và
không phải là kim loại, thƣờng là oxy) mà có sự sắp xếp nguyên tử riêng biệt. Dạng
lý tƣởng của chúng đƣợc mô tả bởi công thức tổng quát ABX
3
, chúng có cấu trúc
hình lập phƣơng tạo bởi ba nguyên tố hóa học khác nhau (A, B và X) trong tỷ lệ
1:1:3.

Hình 1.5 Cấu trúc perovskite ABX
3
[2]

Các nguyên tử A và B là các ion dƣơng kim loại và các nguyên tử X là ion
âm không phải là kim loại. Ion dƣơng A lớn nhất trong hai loại kim loại nằm tại tâm
của mỗi một hình lập phƣơng, các ion dƣơng B chiếm giữ tất cả 8 đỉnh và các ion
âm X nằm tại các điểm giữa của 12 cạnh của hình lập phƣơng (hình 1.5).
10
1.3.2 Siêu dẫn YBa
2
Cu
3
O
7-x
Siêu dẫn đầu tiên đƣợc tìm thấy với
77
c
TK
(điểm sôi của nitơ lỏng) là

yttrium barium cooper oxide [17]. Công thức hóa học chung của hợp chất này là
YBa
2
Cu
3
O
7-x
, trong đó
01x
. Ô đơn vị của YBa
2
Cu
3
O
7-x
là ba giả khối ô đơn vị
perovskite cơ bản (hình 1.6). Mỗi một ô đơn vị perovskite gồm một nguyên tử Y
hoặc Ba tại trung tâm: Nguyên tử Ba trong ô đơn vị phía dƣới, Y trong ô đơn vị ở
giữa và Ba trong ô đơn vị phía trên. Do đó, nguyên tử Y và Ba đƣợc xếp chồng lên
nhau theo trình tự [Ba-Y-Ba] dọc theo trục c.

Hình 1.6 Cấu trúc tinh thể của siêu dẫn YBa
2
Cu
3
O
7-x
[17]

Hình 1.6 mô tả cấu trúc của hai hợp chất YBa

2
Cu
3
O
6

( 1)x 
và YBa
2
Cu
3
O
7

( 0)x 
. Ta thấy rằng, ở cả hai hợp chất này đều có cấu trúc nhiều lớp xếp chồng lên
nhau, các lớp CuO
2
song song với mặt ab, sắp xếp theo trục c và đƣợc ngăn cách
bởi các nguyên tố Y. Điểm khác nhau duy nhất ở hai cấu trúc này là hợp chất
YBa
2
Cu
3
O
7
có các chuỗi Cu-O dọc theo trục b còn hợp chất YBa
2
Cu
3

O
6
thì không.
Hợp chất YBa
2
Cu
3
O
6
không phải là siêu dẫn mà là phản sắt từ và có cấu trúc tứ
giác, hợp chất YBa
2
Cu
3
O
7
là siêu dẫn và có cấu trúc trực giao. Nhƣ vậy, trong
YBCO, chuỗi Cu-O dọc theo trục b có vai trò quan trọng nhất, các nguyên tử oxy có
mặt trong những chuỗi này là cốt yếu để tạo nên tính siêu dẫn.
11
Tỷ lệ của ba kim loại khác nhau trong siêu dẫn YBa
2
Cu
3
O
7
là 1, 2 và 3 cho
lần lƣợt yttrium, barium và cooper. Do đó, siêu dẫn đặc biệt này thƣờng đƣợc gọi là
siêu dẫn 123.
1.3.3 Siêu dẫn nhiệt độ cao gốc Bi-, Tl- và Hg-

Cấu trúc tinh thể của siêu dẫn nhiệt độ cao gốc Bi-, Tl- và Hg- là tƣơng tự
nhau [13][26][21]. Giống với YBCO: là loại perovskite đặc biệt và cũng tồn tại lớp
CuO
2
trong các chất siêu dẫn này. Tuy nhiên, khác YBCO ở chỗ, chuỗi Cu-O không
có mặt trong những chất siêu dẫn này. Siêu dẫn YBCO có cấu trúc trực giao còn
những chất siêu dẫn nhiệt độ cao khác có cấu trúc tứ giác.

Hình 1.7 Cấu trúc tinh thể của Bi
2
Sr
2
Ca
n-1
Cu
n
O
4+2n+x
với số lớp CuO
2
khác nhau
ảnh hƣởng đáng kể tới tính chất siêu dẫn của chúng, chúng ta nhận thấy rõ ràng lớp CuO
2

là phần tử chính tạo ra siêu dẫn nhiệt độ cao [13]

Hệ Bi-Sr-Ca-Cu-O có ba pha siêu dẫn hình thành một dãy đồng đẳng là:
Bi
2
Sr

2
Ca
n-1
Cu
n
O
4+2n+x
(
1,2n 
và 3). Ba pha này là Bi-2201, Bi-2212 và Bi-2223 với
nhiệt độ chuyển pha tƣơng ứng 20, 85 và 110K, các hệ số ở đây mô tả số nguyên tử
Bi, Sr, Ca và Cu tƣơng ứng. Hai pha có cấu trúc tứ diện bao gồm hai ô đơn vị tinh
thể bị biến dạng. Ô đơn vị của những pha này có hai mặt Bi-O đƣợc xếp chồng lên
nhau trong đó vị trí nguyên tử Bi của mặt thứ nhất nằm phía dƣới nguyên tử oxy
của mặt tiếp theo. Nguyên tử Ca tạo thành lớp nằm bên trong những lớp CuO
2
ở cả
hai pha Bi-2212 và Bi-2223; không có lớp Ca nào trong pha Bi-2201.
12
Ba pha khác nhau với mỗi số mặt CuO
2
khác nhau; các pha Bi-2201, Bi-
2212 và Bi-2223 có tƣơng ứng một, hai và ba mặt CuO
2
. Trục c của các pha này
tăng lên cùng với số mặt CuO
2
. Sự phối vị của nguyên tử Cu trong ba pha là khác
nhau. Trong pha 2201, nguyên tử Cu phối vị với nguyên tử oxy tƣơng ứng có dạng
hình bát diện. Trong khi trong pha 2212, năm nguyên tử oxy bao quanh nguyên tử

Cu có dạng hình chóp. Trong cấu trúc 2223, nguyên tử Cu có hai phối vị với
nguyên tử oxy: một nguyên tử Cu kết hợp với bốn nguyên tử oxy thành mặt phẳng
hình vuông và nguyên tử Cu khác phối vị với năm nguyên tử oxy tạo thành hình
chóp.

Hình 1.8 Cấu trúc tinh thể của bốn siêu dẫn hợp chất đồng (cuprates). A là ô đơn vị
(tổng số nguyên tử, đặc biệt với hai mặt CuO
2
, kích thƣớc trục c). B là lớp CuO
2
, đây là
thành phần dẫn điện cơ bản mang đặc tính siêu dẫn [26][21].

Hệ Tl-Ba-Ca-Cu-O: Chuỗi thứ nhất của siêu dẫn gốc Tl- bao gồm một lớp
Tl-O có công thức tổng quát: TlBa
2
Ca
n-1
Cu
n
O
2n+3
, trong khi chuỗi thứ hai gồm hai
lớp Tl-O có công thức Tl
2
Ba
2
Ca
n-1
Cu

n
O
2n+4
với
1,2n 
và 3. Trong cấu trúc của
Tl
2
Ba
2
CuO
6
(Tl-2201), có một lớp CO
2
với sự sắp xếp thành dãy (Tl-O)(Tl-O)(Ba-
O)(Cu-O)(Ba-O)(Tl-O)(Tl-O). Trong Tl
2
Ba
2
CaCu
2
O
8
(Tl-2212), có hai lớp CuO
2

với một lớp Ca ở giữa. Tƣơng tự cho cấu trúc của Tl
2
Ba
2

CuO
6
, lớp Tl-O có mặt bên
ngoài lớp Ba-O. Trong Tl
2
Ba
2
Ca
2
Cu
3
O
10
(Tl-2223), có ba lớp CuO
2
vây quanh lớp
Ca ở giữa các lớp này. Trong siêu dẫn gốc Tl-, ngƣời ta thấy T
c
tăng lên khi tăng số
13
lớp CuO
2
. Tuy nhiên, giá trị T
c
giảm đi với bốn lớp CuO
2
trong TlBa
2
Ca
n-

1
Cu
n
O
2n+3
, và trong hợp chất Tl
2
Ba
2
Ca
n-1
Cu
n
O
2n+4
, nó giảm đi với ba lớp CuO
2
.
Hệ Hg-Ba-Ca-Cu-O: Cấu trúc tinh thể của HgBa
2
CuO
4
(Hg-1201),
HgBa
2
CaCu
2
O
6
(Hg-1212) và HgBa

2
Ca
2
Cu
3
O
8
(Hg-1223) tƣơng tự nhƣ của Tl-
1201, Tl-1212 và Tl-1223, với Hg trong vị trí của Tl. Điều đáng chú ý là T
c
của hợp
chất Hg (Hg-1201) gồm một lớp CuO
2
lớn hơn nhiều so với hợp chất của Thallium
(Tl-1201). Trong siêu dẫn gốc Hg-, T
c
cũng đƣợc tìm thấy tăng lên khi tăng lớp
CuO
2
. Giá trị T
c
tƣơng ứng cho Hg-1201, Hg-1212 và Hg-1223 lần lƣợt là 94, 128
và giá trị kỷ lục đạt đƣợc quanh mức 134K . Quan sát thấy giá trị T
c
của Hg-1223
tăng lên tới 153K dƣới áp suất cao cho thấy rằng T
c
của hợp chất này rất nhạy với
cấu trúc của hợp chất.
Nhận xét chung:

Cấu trúc tinh thể đƣợc sắp xếp theo hƣớng trục c và là tinh thể đối xứng,
thƣờng bắt nguồn từ lập phƣơng đơn giản hoặc lập phƣơng tâm khối đối xứng.
Có cấu trúc đa lớp (đa thành phần) và hầu hết đều chứa các oxit đồng, vì vậy
ngƣời ta gọi là chất siêu dẫn chứa đồng (cuprates).
Các lớp oxit đồng (CuO
2
) song song với mặt ab và sắp xếp theo trục c, trong
đó thƣờng thì
,c a b
.
Các lớp oxit đồng (CuO
2
) tạo thành các mặt phẳng trong cấu trúc tinh thể
của siêu dẫn nhiệt độ cao chứa đồng. Đó cũng là các lớp chứa các điện tử dẫn và là
thành phần dẫn điện cơ bản mang đặc tính siêu dẫn.
Do có cấu trúc lớp, các chất siêu dẫn nhiệt độ cao có tính chất dị hƣớng cao.
Nghĩa là, các tính chất vật lý theo mặt CuO
2
và theo trục vuông góc với CuO
2
là rất
khác nhau.
Các lớp CuO
2
bị ngăn cách bởi các nguyên tố nhƣ La, Ba, Sr hoặc nguyên tố
khác. Các nguyên tố này đóng vai trò liên kết các lớp CuO
2
.
Các nguyên tố tạo thành các loại chất siêu dẫn có thể đƣợc thay thế bằng các
nguyên tố khác (trong điều kiện xác định). Do đó, có thể tạo nên hàng loạt các HTS

với thành phần hợp thức nhƣ nhau.
14
Các siêu dẫn nhiệt độ cao đều chứa oxy nên đƣợc gọi là gốm siêu dẫn nhiệt
độ cao.

1.4 Một số tính chất của gốm siêu dẫn nhiệt độ cao
1.4.1 T
c
phụ thuộc vào thành phần hóa học trong hợp chất siêu dẫn
Điều này đã đƣợc thể hiện rõ ở bảng 1.1 (mục 1.2) trong luận văn này.
1.4.2 T
c
phụ thuộc vào pha tạp điện tử và pha tạp lỗ trống

Hình 1.9 Giản đồ pha T
c
của siêu dẫn gốm phụ thuộc vào cả pha tạp điện tử (n) và
pha tạp lỗ trống (p) [5]; AF là pha phản sắt từ; SC là pha siêu dẫn

Hình 1.9 là giản đồ pha chung cho siêu dẫn hợp chất đồng, biểu diễn sự phụ
thuộc của nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn T
c
vào cả pha tạp điện tử và pha tạp lỗ
trống. Nhìn vào giản đồ pha ta thấy:
- Trong trƣờng hợp không pha tạp
( 0)x 
hợp chất là phản sắt từ và là chất
cách điện Mott.
- Trong vùng pha tạp, pha phản sắt từ mất đi nhanh chóng và chuyển sang
pha siêu dẫn. Tại mức pha tạp tối ƣu (

0.16x 
của pha tạp lỗ trống) thu đƣợc hợp
chất siêu dẫn gốm có giá trị nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn T
c
lớn nhất. Tại vùng pha
tạp ít tối ƣu nhất, xuất hiện pha giả khe.
15
- Ngoài ra, trong vùng trên mức pha tạp (vùng trong giản đồ pha mà có mức
pha tạp cao hơn mức pha tạp tối ƣu) và dƣới mức pha tạp (vùng trong giản đồ pha
mà có mức pha tạp thấp hơn mức pha tạp tối ƣu)
(| | 0.2)x 
hợp chất chuyển từ pha
siêu dẫn sang pha Fermi lỏng, có tính chất nhƣ một kim loại thƣờng.
- Pha tạp điện tử thƣờng ít gặp hơn và có nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn T
c
tại
mức pha tạp tối ƣu nhỏ hơn so với pha tạp lỗ trống. Nó thƣờng đƣợc tìm thấy trong
họ đặc biệt nhƣ: La
2-x
Ce
x
CuO
4
; Pr
2-x
Ce
x
CuO
4
; Nd

2-x
Ce
x
CuO
4
; Sm
2-x
Ce
x
CuO
4
và
Eu
2-x
Ce
x
CuO
4
, trong đó Ce là nguyên tố đất hiếm thuộc nhóm nhẹ thƣờng có hóa trị
là +4 và có xu thế cho đi một electron. Còn các hợp chất gốm oxit đồng còn lại hầu
hết là pha tạp lỗ trống.
1.4.3 T
c
phụ thuộc vào số lớp Cu-O trong ô đơn vị

Bảng 1.2. Nhiệt độ chuyển pha (T
c
), cấu trúc tinh thể và số lớp Cu-O trong ô đơn vị
mạng của một vài vật liệu gốm siêu dẫn nhiệt độ cao [3]
Công thức hóa học

Ký hiệu của hệ
T
c
(K)
Số lớp Cu-O
trong ô đơn vị
mạng
Cấu trúc tinh
thể
YBa
2
Cu
3
O
7

123
92
2
Trực giao
Bi
2
Sr
2
CuO
6

Bi-2201
20
1

Tứ giác
Bi
2
Sr
2
CaCu
2
O
8

Bi-2212
85
2
Tứ giác
Bi
2
Sr
2
Ca
2
Cu
3
O
6
Bi-2223
110
3
Tứ giác
Tl
2

Ba
2
CuO
6

Tl-2201
80
1
Tứ giác
Tl
2
Ba
2
CaCu
2
O
8

Tl-2212
108
2
Tứ giác
Tl
2
Ba
2
Ca
2
Cu
3

O
10

Tl-2223
125
3
Tứ giác
TlBa
2
Ca
3
Cu
4
O
11

Tl-1234
122
4
Tứ giác
HgBa
2
CuO
4
Hg-1201
94
1
Tứ giác
HgBa
2

CaCu
2
O
6
Hg-1212
128
2
Tứ giác
HgBa
2
Ca
2
Cu
3
O
8
Hg-1223
134
3
Tứ giác

Nhƣ đã phân tích cấu trúc tinh thể của một số vật liệu siêu dẫn nhiệt độ cao
điển hình ở trên ta nhận thấy rõ ràng rằng chuỗi Cu-O có vai trò quan trọng nhất để
tạo nên tính siêu dẫn trong vật liệu. Nhiệt độ chuyển pha T
c
của những siêu dẫn này
gần nhƣ liên quan với số lớp Cu-O trong ô đơn vị. Thƣờng thì T
c
tăng lên khi tăng
số lớp CuO

2
(T
c
trong các hợp chất siêu dẫn nhiệt độ cao oxit đồng hầu hết đạt giá
16
trị cao nhất với 3 lớp CuO
2
), tuy nhiên trong một số trƣờng hợp thì không phải hoàn
toàn là nhƣ vậy. Bảng 1.2 cho ta thấy sự phụ thuộc của T
c
vào số lớp Cu-O trong
các siêu dẫn gốm oxit đồng.
1.4.4 T
c
phụ thuộc vào hàm lượng oxy trong tinh thể
Vật liệu siêu dẫn điển hình là YBa
2
Cu
3
O
7-x
(YBCO), nhiệt độ tới hạn T
c
của
YBa
2
Cu
3
O
7-x

thay đổi với giá trị của x và vật liệu trở thành không siêu dẫn tại
0.6x
(hình 1.10).
T
c
dao động quanh mức 90K khi
0x 
đến
0.2x 
( khi
0.25x 
, có xen kẽ
chuỗi đầy và một nửa oxy) và
60
c
TK
khi
0.3 0.4x 
.
45
c
TK
khi
0.5x 
.

Hình 1.10 Sự thay đổi của nhiệt độ chuyển pha siêu dẫn T
c
theo hàm lƣợng x của
oxy trong siêu dẫn YBa

2
Cu
3
O
7-x
[2]

Nghiên cứu cấu trúc phát hiện ra rằng thiếu oxy có thể xảy ra khi mà
0.5x 

với 0.75 và sự thiếu oxy không hoàn toàn tìm thấy trong phạm vi
0.3 0.4x 
. Khi
0.5x 
(YBa
2
Cu
3
O
6.5
) tất cả oxy trong chuỗi Cu-O có mặt dọc theo trục b (giống
nhƣ trong YBa
2
Cu
3
O
7
), xen với thiếu toàn bộ bốn vị trí oxy (nhƣ là YBa
2
Cu

3
O
6
).
Khi
1.0x 
, không có chuỗi nguyên tử oxy nào và
0
c
TK
. Giá trị của x
trong một mẫu cụ thể phụ thuộc vào điều kiện xử lý, đặc biệt là nhiệt độ và áp suất
riêng phần của oxy. Còn bản thân x phụ thuộc vào nhiệt độ và môi trƣờng, dƣới
điều kiện cân bằng tại nhiệt độ cao sự chuyển pha thƣờng xuất hiện khi
6.5x 
.


17
CHƢƠNG 2
PHƢƠNG PHÁP MONTE CARLO VÀ PHƢƠNG PHÁP MONTE
CARLO LƢỢNG TỬ CHO VẬT LIỆU SIÊU DẪN NHIỆT ĐỘ
CAO

2.1 Số ngẫu nhiên
Không có thuật toán số nào có thể tạo ra dãy số ngẫu nhiên thực sự. Tuy vậy,
có những thuật toán tạo ra những dãy lặp gồm có
M
các số nguyên gần nhƣ đƣợc
phân bố ngẫu nhiên trong khoảng từ 0 đến

1M 
. Ở đây,
M
là một số nguyên lớn.
Kiểu dãy số này đƣợc gọi là giả ngẫu nhiên.
Thuật toán đƣợc nhiều ngƣời biết đến nhất để tạo ra các dãy số nguyên giả
ngẫu nhiên đƣợc gọi là phƣơng pháp đồng dƣ tuyến tính. Công thức liên hệ giữa các
số nguyên thứ
n
và thứ
 
1n 
trong dãy là:

 
1
mod
nn
I AI C M


(2.1)
trong đó,
,AC
và
M
là các hằng số nguyên dƣơng. Số thứ nhất trong dãy đƣợc gọi là
giá trị “nhân”, đƣợc lựa chọn bởi ngƣời sử dụng.
Xét một trƣờng hợp ví dụ trong đó
7, 0AC

và
10M 
. Một dãy số điển
hình đƣợc tạo ra từ công thức (2.1) là:

 
3,1,7,9,3,1, I 
(2.2)
Rõ ràng, sự lựa chọn các giá trị
,AC
và
M
nhƣ trên là không thật tốt, vì dãy
số tự lặp lại chỉ sau bốn vòng lặp. Tuy nhiên, nếu
,AC
và
M
đƣợc chọn thích hợp
thì dãy có độ dài tối đa (tức là độ dài bằng
M
), và gần nhƣ phân bố ngẫu nhiên
trong khoảng từ 0 đến
1M 
.

2.2 Tích phân Monte Carlo
Xét tích phân một chiều:
()
h
l

x
x
f x dx

. Chúng ta có thể ƣớc tính số trị tích phân
này bằng cách chia khoảng từ
l
x
đến
h
x
thành
N
đoạn đều nhau với bề rộng:
18

hl
xx
h
N


(2.3)
Đặt
i
x
là trung điểm của đoạn thứ
i
, và đặt
()

ii
f f x
. Giá trị xấp xỉ của tích
phân có dạng:

1
()
h
l
x
N
i
i
x
f x dx f h



(2.4)
Phƣơng pháp tích phân này còn đƣợc gọi là phƣơng pháp trung bình, nó
không thật chính xác nhƣng rất dễ để khái quát hóa cho tích phân nhiều chiều.
Sai số gắn với phƣơng pháp trung bình là tích của sai số trên từng đoạn:
2
()Oh
với số đoạn chia:
1
()Oh

. Sai số trên từng đoạn sinh ra từ sự thay đổi tuyến
tính của

()fx
trong mỗi đoạn chia. Nhƣ vậy, sai số toàn phần là:
21
( ) ( ) ( )O h O h O h


. Vì
1
hN


, chúng ta có thể viết:

1
1
( ) ( )
h
l
x
N
i
i
x
f x dx f h O N





(2.5)

Với cách làm tƣơng tự, ta tính cho tích phân hai chiều chẳng hạn nhƣ diện
tích của một đƣờng cong khép kín, ta đƣợc:

2 1 2
()A Nh O N


(2.6)
Và tính tích phân ba chiều, chẳng hạn thể tích bao bọc trong một mặt cong,
ta có:

3 1 3
()V Nh O N


(2.7)
Sau cùng, chúng ta hãy xét dùng phƣơng pháp trung bình để ƣớc lƣợng thể
tích V của một siêu khối d chiều đƣợc bao quanh bởi siêu mặt (d-1) chiều. Rõ ràng,
từ các ví dụ trên, ta có:

1
()
dd
V Nh O N


(2.8)
trong đó,
N
là số siêu lập phƣơng giống hệt nhau mà siêu khối đã bị chia ra. Lƣu ý

rằng sai số giảm sút theo
N
ngày càng chậm hơn khi số chiều
d
tăng lên. Lời giải
thích cho hiện tƣợng này khá đơn giản. Giả sử rằng
6
10N 
, với
6
10N 
chúng ta
có thể chia một đoạn thẳng có chiều dài đơn vị thành các đoạn con có độ đo tuyến
19
tính bằng 10
-6
, nhƣng chỉ có thể chia một diện tích đơn vị thành những phần nhỏ có
độ đo tuyến tính bằng 10
-3
, và thể tích đơn vị thành các phần nhỏ có độ đo tuyến
tính bằng 10
-2
. Nhƣ vậy, nếu cố định số đoạn chia thì khoảng cách lƣới chia (sai số
tích phân) tăng đáng kể khi số chiều tăng.


Hình 2.1 Phƣơng pháp tích phân Monte Carlo.

Bây giờ chúng ta xét phƣơng pháp Monte Carlo để tính tích phân nhiều chiều
[25]. Xét ví dụ (nhƣ minh hoạ trên hình 2.1), tính diện tích

A
bao quanh bởi đƣờng
cong
C
. Giả sử rằng đƣờng cong nằm trọn trong một miền đơn giản nào đó có diện
tích
'A
. Chúng ta hãy gieo
'N
điểm phân bố ngẫu nhiên trong khắp diện tích
'A
.
Giả sử rằng
'N
điểm trong số đó nằm phía trong đƣờng cong
C
. Khi đó ƣớc tính
diện tích bao bởi đƣờng cong đơn giản là:

( ' )
'
'
'
A A A
N
AA
N
N



(2.9)
trong đó, sai số của phƣơng pháp Monte Carlo có độ lớn cỡ
12
( ')N

.
Phƣơng pháp Monte Carlo có thể mở rộng ngay cho d chiều. Chẳng hạn, xét
một siêu khối trong d chiều có thể tích V đƣợc giới hạn bởi siêu mặt A, (d-1) chiều.
Giả sử rằng A nằm trọn vẹn trong một siêu thể tích
'V
đơn giản nào đó. Chúng ta có
thể tạo ra ngẫu nhiên
'N
điểm phân bố khắp
'V
. Gọi N là số những điểm nằm
trong A. Từ đó dẫn đến công thức ƣớc tính V đơn giản là:

'
'
N
VV
N

(2.10)
20
Ta thấy trong phƣơng trình (2.9) không có gì phụ thuộc vào dữ kiện hai
chiều của tích phân đang xét. Vì vậy, ta có thể khái quát hóa phƣơng trình này để
nhận đƣợc:

( ' )
'
'
'
V V V
N
VV
N
N


(2.11)
Chúng ta kết luận rằng sai số gắn với tích phân Monte Carlo luôn luôn có độ
lớn cỡ
12
( ')N


bất kể số chiều tích phân là bao nhiêu.
Nhƣ vậy, chúng ta kết luận đƣợc rằng khi số chiều tăng lên thì tính tích phân
theo phƣơng pháp Monte Carlo sẽ luôn hiệu quả hơn phƣơng pháp trung bình.
Phƣơng pháp Monte Carlo cũng có thể dễ dàng ƣớc tính đƣợc những tích
phân tổng quát hơn. Giả sử rằng chúng ta cần tính
fdV

, trong đó
f
là một hàm
tổng quát và miền của tích phân nằm trong số chiều bất kì. Chúng ta tiến hành bằng
việc gieo một cách ngẫu nhiên N điểm trên khắp miền lấy tích phân và tính

f
tại
mỗi điểm. Đặt
i
x
là điểm thứ i. Xấp xỉ Monte Carlo cho tích phân chỉ đơn giản là:

1,
11
()
i
iN
fdV f x O
N
N







(2.12)


Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng phƣơng pháp Monte Carlo vào tính thể tích
vùng Brilouin thứ nhất của mạng lập phƣơng tâm mặt (FCC) và lập phƣơng tâm
khối (BCC).
Bài toán 1: Tính thể tích vùng Brilouin thứ nhất của mạng tinh thể lập
phƣơng tâm mặt bằng phƣơng pháp Monte Carlo

Vùng Brilouin thứ nhất của mạng tinh thể lập phƣơng tâm mặt là một khối
giới hạn bởi 14 mặt, trong đó có 6 mặt hình vuông thuộc hình lập phƣơng và 8 mặt
hình lục giác đều (nhƣ hình 2.2a).
6 mặt hình vuông vuông góc với 3 phƣơng
; ;
x y z
k k k
và có phƣơng trình lần
lƣợt là:
( 1) 0
x
k 
(2.13)

( 1) 0
x
k 
(2.14)

( 1) 0
y
k 
(2.15)