Dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2




NGUYỄN THỊ THẢO






DAO ĐỘNG TỬ BIẾN DẠNG VÀ SỰ GIÁN
ĐOẠN CỦA KHÔNG GIAN PHA


Chuyên ngành : Vật lí lí thuyết và Vật lí toán
Mã số : 60 44 01 03

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT


Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. NGUYỄN THỊ HÀ LOAN

HÀ NỘI, 2014
LỜI CẢM ƠN

Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn: PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan,
người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này. Cô đã cung cấp tài liệu và
truyền thụ cho tôi những kiến thức mang tính khoa học và hơn nữa là phương
pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm, bồi dưỡng của cô đã giúp tôi vượt
qua những khó khăn trong quá trình hoàn thành luận văn cũng như trong quá
trình học tập và nghiên cứu của tôi. Đối với tôi, cô luôn là tấm gương sáng về
tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt
thành quan tâm bồi dưỡng thế hệ trẻ.
Tôi cũng chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý Trường Đại
Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, tạo mọi
điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học.

Hà Nội, tháng 8 năm 2014.

Học viên


Nguyễn Thị Thảo








LỜI CAM ĐOAN

Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: Dao động tử biến dạng
và sự gián đoạn của không gian pha, tôi đã thực sự cố gắng tìm hiểu, nghiên
cứu đề tài để hoàn thành khóa luận. Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn
thành là do sự nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình
hiệu quả của PGS.TS Nguyễn Thị Hà Loan. Đây là đề tài không trùng với các
đề tài khác và kết quả đạt được không trùng với kết quả của các tác giả khác.

Hà Nội, tháng 8 năm 2014.
Học viên


Nguyễn Thị Thảo













MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa
Lời cảm ơn

Lời cam đoan
Mục lục
MỞ ĐẦU 1
NỘI DUNG

Chương 1. HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG LƯỢNG TỬ 3
1.1. Dao động lượng tử Boson 3
1.1.1.Dao động tử Boson 3
1.1.2.Dao động tử Boson biến dạng- q 7
1.1.3.Dao động tử Boson biến dạng – Q 8
1.2. Dao động lượng tử Fermion . 10
1.2.1. Dao động tử Fermion 10
1.2.2. Dao động tử Fermion biến dạng- q 11
1.3. Thống kê của dao động lượng tử 14
Chương 2. KHÔNG GIAN PHA 17
2.1.Khái niệm không gian pha 17
2.1.1. Định nghĩa không gian pha 17
2.1.2. Các yếu tố cơ bản của không gian pha 17
2.2. Sự gián đoạn và sự liên tục của không gian pha 20
Chương 3. SỰ GIÁN ĐOẠN CỦA KHÔNG GIAN PHA 21
3.1. Hình thức luận dao động lượng tử khi thông số biến dạng
bằng căn đơn vị 21
3.1.1. Dao động tử điều hòa biến dạng tổng quát 21
3.1.2. Hình thức luận dao động lượng tử khi thông số biến dạng
bằng căn đơn vị 23
3.2. Biểu diễn hữu hạn chiều và biểu diễn vô hạn chiều 24
3.2.1. Biểu diễn hữu hạn chiều của đại số biến dạng 24
3.2.2. Biểu diễn vô hạn chiều của đại số biến dạng 27
3.3. Sự gián đoạn của không gian pha 29
KẾT LUẬN 34

TÀI LIỆU THAM KHẢO 35

















1

MỞ ĐẦU

1.Lí do chọn đề tài
Dao động tử biến dạng có ưu điểm hơn so với dao động tử chưa biến
dạng. Đại số lượng tử dựa trên hình thức luận dao động lượng tử. Từ hình
thức luận dao động lượng tử ta xây dựng đại số lượng tử. Đại số lượng tử tỏ
ra hiệu quả khi nghiên cứu sự rung động hạt nhân, giải các phương trình phi
tuyến,…Như vậy, việc nghiên cứu đại số lượng tử là rất cần thiết [1], [2],
[4],[5],[6],[8]. Khi thông số biến dạng tiến tới một giá trị nào đó thì đại số
biến dạng trở về đại số thông thường. Khi thông số biến dạng bằng căn đơn vị

thì biểu diễn vô hạn chiều của đại số biến dạng được tách thành biểu diễn hữu
hạn chiều của đại số biến dạng và biểu diễn vô hạn chiều của đại số chưa biến
dạng [3],[11],[12]. Đề tài này nghiên cứu sự tách không gian pha của biểu
diễn vô hạn chiều của đại số biến dạng thành không gian pha của biểu diễn
hữu hạn chiều của đại số biến dạng và biểu diễn vô hạn chiều của đại số chưa
biến dạng.
2. Mục đích nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động tử biến dạng
- Nghiên cứu sự gián đoạn của không gian pha
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng là C - số và
khi thông số biến dạng bằng căn đơn vị
- Nghiên cứu sự tách không gian pha khi thông số biến dạng q bằng căn
đơn vị
4. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
- Nghiên cứu dao động tử biến dạng và sự gián đoạn của không gian pha
5. Phương pháp nghiên cứu
2

- Phương pháp nhóm lượng tử
- Phương pháp lí thuyết trường lượng tử
6. Những đóng góp mới của đề tài
- Viết tổng quan về dao động lượng tử
- Nghiên cứu dao động lượng tử khi thông số biến dạng là C- số và
khi thông số biến dạng bằng căn đơn vị
- Nghiên cứu sự tách từ biểu diễn vô hạn chiều của đại số biến dạng
thành biểu diễn hữu hạn chiều của đại số biến dạng và biểu diễn vô
hạn chiều của đại số chưa biến dạng.

3

CHƯƠNG 1. HÌNH THỨC LUẬN DAO ĐỘNG LƯỢNG TỬ

Trong thực tế các hệ dao động tử thường là các hệ phi điều hòa, nhưng
để giải quyết trực tiếp bài toán phi điều hòa là một vấn đề rất phức tạp, do đó
người ta thường lí tưởng hoá bài toán bằng cách giải quyết bài toán cho dao
động tử điều hòa, sau đó sẽ dùng phương pháp hiệu đính để nghiên cứu dao
động tử phi điều hòa. Do đó ở chương này chúng tôi sẽ bắt đầu bằng việc
nghiên cứu dao động tử điều hòa. Khi nghiên cứu các hệ vật lý dùng đại số
Lie hoặc nhóm Lie thì vấp phải những khó khăn khi giải quyết bài toán về

mẫu hòa tan chính xác trong cơ học thống kê. Do đó người ta có nhu cầu mở
rộng đại số thành đại số lượng tử, nhóm thành nhóm lượng tử, dao động tử
thành dao động tử biến dạng. Khi mở rộng như thế người ta thấy giải quyết
được một số vấn đề về dao động phi tuyến. Vì vậy trong chương này chúng
tôi sẽ nghiên cứu cụ thể về các hệ dao động tử Boson,dao động tử Fermion
thông thường, dao động tử Boson biến dạng-q, dao động tử fermion biến
dạng- q, đồng thời phân biệt giữa dao động tử Boson biến dạng- q và dao
động tử Boson biến dạng- Q.
1.1. Dao động lượng tử Boson
1.1.1. Dao động tử Boson[2], [6], [16]
Những hạt có spin nguyên được gọi là những hạt Boson. Các toán tử
sinh dao động tử , toán tử hủy dao động tử của dao động tử Boson tuân theo
hệ thức giao hoán:

, 1
a a
+
é ù
=
ë û
(1.1.1)
và toán tử số dao động N là:

N a a
+
=
(1.1.2)
Trong đó:
a
là toán tử hủy dao động tử

4


a
+
là toán tử sinh dao động tử
Từ (1.1.1) và (1.1.2) suy ra:
[
]
, ,
N a a a a
+
é ù
=
ë û


[
]
, ,
a a a a a a
+ +
é ù
= +
ë û

a
= -
(1.1.3)

, ,
N a a a a
+ + +
é ù é ù
=
ë û ë û


a
+
=
(1.1.4)
Xét không gian Fock với trạng thái chân không thỏa mãn:

0 0
a
=
(1.1.5)
Trạng thái riêng
n
của toán tử số dao động N đã được chuẩn hóa có dạng:

(
)
0
!
n
a
n
n

+
=
n = 0,1,2, (1.1.6)
Toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P được biểu diễn qua các toán tử
sinh, hủy dao động tử như sau:

( )
( )
2
2
Q a a
m
m
P i a a
w
w
+
+
= +
= -
h
h

Suy ra hệ thức giao hoán giữa toán tử tọa độ Q và toán tử xung lượng P:

[ ]
( ) ( )
, ,
2 2
m

Q P a a i a a
m
w
w
+ +
é ù
= + -
ê ú
ë û
h h


( ) ( )
,
2
i
a a a a
+ +
é ù
= + -
ë û
h

5


(
)
, ,
2

i
a a a a
+ +
é ù é ù
= -
ë û ë û
h

,
i a a
+
é ù
=
ë û
h
(1.1.7)
Kết hợp (1.1.7) với (1.1.1) ta có:
[
]
,
Q P i
=
h
(1.1.8)
Toán tử Hamiltonian được định nghĩa bằng biểu thức:

2 2 2
1 1
2 2
H P m Q

m
w
= +


( ) ( )
( )
2 2
4 4
2
a a a a
a a aa
w w
w
+ +
+ +
= - - + +
= +
h h
h


(
)
2 ,
2
a a a a
w
+ +
é ù

= +
ë û
h


( )
2 1
2
N
w
= +
h
(1.1.9)
Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử Hamiltonian:

n
H n E n
=


( ) ( )
2 1 2 1
2 2
N n n n
w w
+ = +
h h

Phương trình này cho phép ta xác định được phổ năng lượng của dao động tử
điều hòa:

( )
2 1
2
n
E n
w
= +
h
n = 0,1,2, (1.1.10)
Từ hệ thức (1.1.8) ta có:
6

0
0
Q n Q n
P n P n
= =
= =
(1.1.11)
Độ lệch toàn phương của tọa độ và xung lượng là:
( )
( )
2
2
Q Q QD = -


2
Q

=

=
( )
2 1
2
n
m
w
+
h
(1.1.12)


( )
( )
2
2
P P PD = -


2
P
=


( )
2
2
2

m
n a a n
m
n a a n n aa n
w
w
+
+ +
= - -
= +
h
h


( )
2 1
2
m
n N n
w
= +
h


( )
2 1
2
m
n
w

= +
h
(1.1.13)
Từ (1.1.12) và (1.1.13)suy ra hệ thức bất định Heisenberg:
( ) ( ) ( )
2 2
2 2 2
2 1
4 4
Q P nD D = + ³
h h
(1.1.14)
Công thức xác định năng lượng của dao động tử điêù hòa một chiều
(1.1.10) và hệ thức bất định Heisenberg (1.1.14) đều đã được giải một cách
chính xác trong cơ học lượng tử.
7

1.1.2. Dao động tử Boson biến dạng - q [4], [5], [7], [8]
Dao động tử Boson biến dạng- q được định nghĩa thông qua các hệ
thức giao hoán:
N
aa qa a q
+ + -
- =
(1.1.15)

[
]
,
,

N a a
N a a
+ +
= -
é ù
=
ë û
(1.1.16)
Trong đó q là thông số biến dạng, N là toán tử số dao động :
[
]
[ ]
1
q
q
a a N
aa N
+
+
=
= +

Nếu q = 1 thì (1.1.15) trở về (1.1.1), tức là trở về dạng hệ thức của dao động
tử Boson thông thường.
Trong không gian Fock chọn một hệ vecto cơ sở
q
n
là hàm riêng
của toán tử số N ứng với trị riêng n. Ta có phương trình
[

]
q q
q
N n n n
=
(1.1.17)
Trong đó :
(
)
[ ]
0
!
n
q
q
a
n
n
+
=

Với
[ ]
1
n n
q
q q
n
q q
-

-
-
=
-
(1.1.18)
Ta sẽ kiểm tra lại (1.1.17):

Thật vậy:
[ ]
1
N N
q q
q
q q
N n n
q q
-
-
-
=
-

8


1
n n
q
q q
n

q q
-
-
-
=
-


[
]
q
q
n n
=


Toán tử Hamiltonian được biểu diễn qua toán tử tọa độ Q và toán tử
xung lượng P như sau:

( )
[ ] [ ]
( )
2 2 2
1 1
2 2
1
2
1
1
2

q q
H P m Q
m
a a aa
N N
w
w
w
+ +
= +
= +
= + +
h
h

Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử H:
n
q q
H n E n
=
(1.1.19)
Phương trình này cho phép ta xác định được phổ năng lượng của dao
động tử Boson biến dạng- q:
Từ (1.1.19) ta có:

[ ] [ ]
(
)
1
1

2
n
q q
q q
n n n E n
w
+ + =h

Suy ra
[ ] [ ]
(
)
1
1
2
n
q q
E n n
w
= + +h
n = 0,1,2, (1.1.20)
Khi q = 1 thi (1.1.20) trở về công thức xác định năng lượng của dao
động tử Boson thông thường:
( )
2 1
2
n
E n
w
= +

h
.
1.1.3. Dao động tử Boson biến dạng – Q
Trong hệ thức (1.1.15) để không có mặt toán tử số dao động N chúng ta
thực hiện biến đổi như sau:
9

Đưa vào các toán tử
,
A A
+
được biểu diễn qua các toán tử hủy , sinh dao động
tử theo hệ thức:

2
2
N
N
A q a
A a q
+ +
=
=
(1.1.21)
Khi đó ta có:

2 2 2 2
N N N N
N
q AA q qA q q A q

- - - -
+ + -
- =


N N N
q AA qA q A q
- + + - -
- =


(
)
1N
N N
q AA qq A A q
- -
- + + -
- =


2
1
AA q A A
+ +
- =
(1.1.22)
Hệ thức (1.1.22) cho thấy
,
A A

+
có vai trò là các toán tử sinh, hủy dao
động tử.
Ta có:

[ ]
2
, ,
N
N A N q a
é ù
=
ê ú
ë û


[ ]
2
2
,
N
N
q N a
q a
=
= -


A
= -

(1.1.23)

2
, ,
N
N A N a q
+ +
é ù
é ù
=
ê ú
ë û
ë û

10


2
2
,
N
N
N a q
a q
+
+
é ù
=
ë û
=

A
+
=
(1.1.24)
Như vậy trong (1.1.22) đặt
2
Q q
=
( Q là tham số biến dạng mới), kết
hợp với (1.1.23) và (1.1.24) ta thu được các hệ thức :

[ ]
1
,
,
AA QA A
N A A
N A A
+ +
+ +
- =
= -
é ù
=
ë û

Dao động tử biến dạng với các toán tử sinh, hủy
,

A A
+
được gọi là dao
động tử Boson biến dạng - Q.
Hệ dao động này có thể biến đổi về dạng (1.1.15) nhưng nghiên cứu biến
dạng này sẽ đơn giản hơn.
1.2. Dao động lượng tử Fermion [2], [5], [9], [12]
1.2.1. Dao động tử Fermion
Các toán tử hủy,sinh dao động tử fermion thỏa mãn hệ thức phản
giao hoán:

{
}
, 1
b b
+
=
(1.2.1)
và
(
)
2
2
0
b b
+
= =

Toán tử số dao động N có dạng:

N b b
+
=
(1.2.2)
Trong đó:
b
là toán tử hủy dao động tử.

b
+
là toán tử sinh dao động tử.
Dễ thấy toán tử số N thỏa các hệ thức giao hoán sau:
11


[
]
,
,
N b b
N b b
+ +
= -
é ù
=
ë û
(1.2.3)
Trong không gian Fock, trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử số
dao động tử N được xác định theo công thức:

(
)
0
n
n b
+
=
(1.2.4)
Đối với hệ Fermion phải thỏa mãn nguyên lý loại trừ Pauli nên trong
(1.2.4) có hai giá trị của n là n=0 và n=1.
Các toán tử hủy, sinh dao động tử
,
b b
+
tác động lên trạng thái
n

như sau:

0 0
1 0
0 1
1 0
b
b
b
b
+
+
=

=
=
=

1.2.2. Dao động tử Fermion biến dạng – q
Các toán tử hủy, sinh dao động tử
,
b b
+
của dao động tử Fermion biến
dạng- q thỏa mãn các hệ thức sau:

( )
[ ]
2
2
0
,
,
N
bb qb b q
b b
N b b
N b b
+ + -
+
+ +
+ =
= =
= -

é ù
=
ë û
(1.2.5)
N là toán tử số Fermion biến dạng q
Khi q = 1 thì hệ thức đầu của (1.2.5) có dạng:

1
bb b b
+ +
+ =

12

tức là trở về dạng dao động tử Fermion thông thường.
Phương trình hàm riêng, trị riêng của toán tử số N:

q q
N n n n
=
(1.2.6)
Trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử N có dạng:

(
)
[ ]
0
!
n
q

q
b
n
n
+
=
(1.2.7)
trong đó:
[ ]
( )
1
1
n
n n
q
q q
n
q q
-
-
- -
=
+
(1.2.8)
Trong không gian Fock với véc tơ cơ sở là vec tơ trạng thái
q
n
ta có:

[

]
[ ]
1
q
q
b b N
bb N
+
+
=
= +

Khi q = 1 ta có dao động tử Fermion thông thường. Khi đó không gian
Fock được phân thành không gian con hai chiều và nguyên lý loại trừ Pauli có
thể suy ra từ
(
)
2
2
0
b b
+
= =
.
Biểu diễn trên là vô hạn chiều. Với những giá trị đặc biệt của q thì
không gian Fock bị chia ra thành những không gian con không liên kết với
nhau. Mỗi không gian như vậy thực hiện một biểu diễn hữu hạn chiều của dao
động tử Fermion biến dạng q.
Xét trường hợp
i

m
q e
p
±
=

+ Nếu m lẻ thì
[
]
2 0
q
m
=

+ Nếu m = 4k + 2 thì
[
]
0
q
m
=

13

+ Nếu m = 4k + 2
(
)
1
k
³

thì
0
2
q
m
é ù
=
ê ú
ë û

Số chiều của các không gian con không liên kết là số nguyên n nhỏ
nhất thỏa mãn
{
}
0
q
n
=

Đưa vào các toán tử
,
B B
+
liên hệ với
,
b b
+
theo hệ thức:

2

2
N
N
B q b
B b q
+ +
=
=
(1.2.9)
Thay (1.2.9) vào hệ thức đầu của (1.2.5) ta được hệ thức:

2 2 2 2
N N N N
N
q BB q qB q q B q
- - - -
+ + -
+ =


N N N
q BB qB q B q
- + + - -
+ =


(
)
1N
N N

q BB qq B B q
- -
- + + -
+ =


2
1
BB q B B
+ +
+ =
(1.2.10)
Như vậy các toán tử
,
B B
+
chính là các toán tử hủy,sinh dao động tử
Fermion biến dạng q.
Với các toán tử mới
,
B B
+
, trạng thái riêng đã chuẩn hóa của toán tử số
N trong không gian Fock có biểu thức:

(
)
[ ]
0
!

n
B
q
B
n
n
+
=
(Kí hiệu B cho Fermion) (1.2.11)
Trong đó hàm cấu trúc
[ ] [ ]
( )
2
1
2
1 1
1
n
n
B
n
q q
q
n q n
q
-
- -
= =
+
(1.2.12)

14

So sánh (1.2.10) với (1.1.27) ta thấy nếu thay q bằng iq thì (1.2.10) sẽ
trở về dạng (1.2.27), do đó hàm cấu trúc của dao động tử Fermion biến dạng q
cũng có thể được xây dựng từ hàm cấu trúc của dao động tử Boson biến dạng
Q bằng cách trên:

[ ]
[ ]
( )
( )
( )
2
2
2
2
2
2
1
1
1 1 1
1
1
n
A
q
n n
n
B
q

q
n
q
iq q
n
q
iq
-
=
-
- - -
= =
+
-

Điều này cho thấy sự thuận lợi khi sử dụng định nghĩa dao động tử
Boson biến dạng –Q.
1.3.Thống kê của dao động lượng tử
Trong mục này chúng sẽ nghiên cứu phân bố thông kê của dao động tử
Boson biến dạng và phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng q.
Hàm Geen của đại lượng vật lý F tương ứng với toán tử
F
Ù
đ ược định
nghĩa là:

( )
0
1
N

N N
n
F Tr e F
Tr e n e n
b w
b w b w
Ù
-
¥
- -
=
æ ö
=
ç ÷
Z
è ø
Z = =
å


0
1
1
N
n
e
e
b w
bw
¥

-
-
=
Z = =
-
å
(1.3.1)
Phân bố thống kê của dao động tử Boson biến dạng q là phân bố thống kê
của
a a
+
:
15


( )
1
N
a a Tr e a a
b w
+ - +
=
Z


0
1
N
n
n e a a n

b w
¥
- +
=
=
Z
å


[ ]
0
1
N
q
n
n e n n
b w
¥
-
=
=
Z
å


[ ]
0
1
n
q

n
e n
b w
¥
-
=
=
Z
å


1
0
1
n n
n
n
q q
e
q q
b w
-
¥
-
-
=
-
=
Z -
å

( ) ( )
1
1
0 0
1 1
n n
n n
e q e q
q q
bw bw
¥ ¥
- - -
-
= =
æ ö
= -
ç ÷
Z -
è ø
å å


1 1
1 1 1 1
1 1q q qe q e
bw bw
- - - -
æ ö

= -
ç ÷
Z - - -
è ø


(
)
( )
1
1
1 2
1 1
1
q q e
q q
q q e e
bw
bw bw
- -
-
-
-
=
Z -
- - +


( )
2 1

1
1
e
e q q e
bw
bw bw
-
-
-
=
- + +
(1.3.2)
Khi giới hạn q =1 thì phân bố trên trở về phân bố Bose-Einstein thông
thường như trong cơ học lượng tử mà ta đó biết:

1
1
aa
e
bw
+
=
-
(1.3.3)
Phân bố thống kê của dao động tử Fermion biến dạng q là phân bố
thống kê của
b b
+
:

16


( )
1
N
b b Tr e b b
b w
+ - +
=
Z


0
1
N
n
n e b b n
b w
¥
- +
=
=
Z
å


{ }
0
1

N
q
n
n e n n
b w
¥
-
=
=
Z
å


{ }
0
1
n
q
n
e n
b w
¥
-
=
=
Z
å


( )

1
0
1
1
n
n n
n
n
q q
e
q q
b w
-
¥
-
-
=
- -
=
Z +
å


( )
( )
( )
1
1
0 0
1 1

n n
n n
e q e q
q q
bw bw
¥ ¥
- - -
-
= =
æ ö
= - -
ç ÷
Z +
è ø
å å


1 1
1 1 1 1
1 1q q q e qe
bw bw
- - - -
æ ö
= -
ç ÷
Z + - +
è ø


( )

1
1
1 2
1 1
1
q q
e
q q
q q e e
bw
bw bw
-
-
-
-
+
=
Z +
+ - -


( )
2 1
1
1
e
bb
e q q e
bw
bw bw

+
-
-
=
+ - -
(1.3.4)
Khi q=1 thì phân bố trên trở về phân bố thông thường như trong cơ học lượng
tử:

1
1
bb
e
bw
+
=
+
(1.3.5)


17

Chương 2. KHÔNG GIAN PHA

2.1.Khái niệm không gian pha [14], [15]
2.1.1. Định nghĩa không gian pha

Không gian pha là một không gian quy ước để biểu diễn sự biến đổi
trạng thái vi mô của một hệ hạt hay một hệ dao động. Các tọa độ của không
gian pha là các thông số độc lập xác định trạng thái vi mô của hệ. Không gian

pha thường là không gian nhiều chiều. Không gian pha của một hệ N hạt nói
chung là 2fN chiều ( f là số bậc tự do của một hạt trong hệ). Ví dụ như, không
gian pha của một phân tử khí lí tưởng đơn giản nhất( có 3 bậc tự do) là không
gian sáu chiều.
2.1.2. Các yếu tố cơ bản của không gian pha
Trạng thái của hệ được xác định bởi các giá trị của tất cả các tọa độ và
xung lượng suy rộng và được biểu diễn trong không gian pha bằng một điểm
gọi là điểm pha. Khi trạng thái của hệ thay đổi theo thời gian, điểm pha sẽ
chuyển động và vạch một đường cong gọi là quỹ đạo pha, mỗi điểm pha trên
quỹ đạo pha sẽ tương ứng với một trạng thái nào đó của hệ. Không gian pha
chỉ là một không gian quy ước, vì thế quỹ đạo pha cũng sẽ không giống với
quỹ đạo thực, mà chỉ là một quỹ đạo quy ước giống như bản thân không
gian pha.
Các phương trình Hamilton luôn xác định một cách đơn trị tính cách
của hệ, từ đó ta suy ra rằng, các quỹ đạo pha của hệ không thể cắt nhau trong
không gian pha, vì nếu như vậy thì ứng với mỗi giao điểm của chúng sẽ có hai
nghiệm của phương trình Hamilton. Như vậy, đối với mỗi điểm của không
gian pha, chỉ có một quỹ đạo pha đi qua.
Để hiểu rõ hơn về không gian pha, sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu về quỹ
đạo pha của dao động tử điều hòa một chiều.
18

Dao động tử điều hòa một chiều là một chất điểm có khối lượng m
chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi –kx dọc theo một đường
thẳng nào đó. Chất điểm này có một bậc tự do, vì vậy tọa độ suy rộng q chính
là khoảng cách x từ chất điểm tơi vị trí cân bằng( q = x), và xung lượng suy
rộng p có biểu thức là p = mv.
Động năng của dao động tử được biểu thị qua xung lượng suy rộng p:
2
2

d
p
E
m
=

Thế năng được biểu thị qua tọa độ x như sau:
2
2
kq
U =

Hàm Hamilton là tổng của động năng và thế năng:

( )
2 2
,
2 2
p kq
H p q
m
= +

Suy ra hệ phương trình chính tắc có dạng:

H p
q
p m
H
p kq

q
¶
= =
¶
¶
= = -
¶
&
&

Từ đó suy ra phương trình xác định q là:
k
q q
m
= -
&&

Tức là:
0
k
q q
m
+ =
&&

19

Đặt
k
m

w
=
, ta được phương trình:
2
0
q q
w
+ =
&&

Phương trình này có nghiệm:

(
)
0 0
sinq q t
w j
= +

Do đó xung lượng suy rộng có biểu thức:

(
)
0 0
cosp mq m q t
w w j
= = +

Bây giờ ta sẽ tìm cách biểu diễn trạng thái của dao động tử này trong
không gian pha. Dao động tử có một bậc tự do nên không gian pha là không

gian hai chiều với các tọa độ suy rộng q và xung lượng suy rộng p. Từ các
phương trình thông số của quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa một chiều ta
có:
( ) ( )
2 2
2 2
0 0
2 2
0 0
sin cos 1
q p
t t
q p
w j w j
+ = + + + =

Phương trình này cho thấy quỹ đạo pha của dao động tử điều hòa một
chiều là một elip có các bán trục là
0 0
,
q p
(Hình 2.1).


Hình 2. 1
20

Mỗi trạng thái tức thời của dao động tử được biểu diễn bằng một điểm
của elip, theo thời gian điểm đó sẽ dịch chuyển theo elip đó. Như vậy quỹ đạo
pha của dao động tử điều hòa là một elip, hoàn toàn khác với quỹ đạo thực

của nó là một đường thẳng. Qua bài toán này ta đã thấy rõ hơn về sự khác
nhau giữa quỹ đạo pha và quỹ đạo thực của một hệ.
2.2. Sự gián đoạn và sự liên tục của không gian pha [14], [15]
Không gian pha có thể là gián đoạn hoặc liên tục. Không gian pha của
dao động tử điều hòa được giới hạn ở phần dao động tử chuyển động, đó là
một không gian có giới hạn. Trong không gian này tọa độ suy rộng của dao
động tử có thể nhận các giá trị trên một đường thẳng,các giá trị này là liên tục,
ứng với mỗi giá trị của tọa độ có một giá trị của xung lượng. Tọa độ và xung
lượng của dao động tử điều hòa nhận các giá trị liên tục, do đó không gian
pha của dao động tử điều hòa là liên tục.
Phổ năng lượng của dao động tử điều hòa được xác định theo công thức
(1.1.10), phổ này nhận các giá trị gián đoạn, do đó không gian pha xác định
phổ năng lượng của dao động tử điều hòa là gián đoạn.
Đối với dao động tử biến dạng khi thông số biến dạng bằng căn đơn vị,
các trị riêng của toán tử xung lượng và toán tử vị trí là nghiệm của đa thức
Hermite biến dạng, các trị riêng này nhận các giá trị gián đoạn, dẫn đến
không gian pha khi đó cũng là gián đoạn.
Sự gián đoạn và sự liên tục của không gian pha sẽ được chúng tôi tiếp
tục nghiên cứu cụ thể hơn trong chương 3.