Bài toán cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ hằng số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN NGỌC HƯNG
BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
HYPEBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT
VỚI HỆ SỐ HẰNG
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Hà Nội - 2014
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
NGUYỄN NGỌC HƯNG
BÀI TOÁN CAUCHY CHO PHƯƠNG TRÌNH
HYPEBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT
VỚI HỆ SỐ HẰNG
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn
Hà Nội - 2014
Lời cảm ơn
Tác giả xin được bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đối với
PGS. TS Hà Tiến Ngoạn; thầy đã giao đề tài và tận tình hướng dẫn
tác giả hoàn thành luận văn này.
Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đối với quý thầy cô Trường Đại học Sư
phạm Hà Nội 2, Phòng Sau Đại học, cùng toàn thể đội ngũ giảng viên
Khoa Toán Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện, trang
bị kiến thức, phương pháp nghiên cứu để tác giả hoàn thành khoá học.
Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Cao đẳng Nghề Ninh
Thuận đã tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tác giả trong suốt quá trình
học tập vừa qua.
Và cuối cùng, tác giả xin cảm ơn những người thân trong gia đình,

tập thể lớp K16 Toán Giải tích – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
quý thầy cô đồng nghiệp Trường Cao đẳng Nghề Ninh Thuận và bạn bè
đã giúp đỡ, động viên rất nhiều trong suốt thời gian học tập và nghiên
cứu.
Tác giả xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Ngọc Hưng
Lời cam đoan
Dưới sự hướng dẫn của PGS. TS Hà Tiến Ngoạn, tác giả xin cam
đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán Giải tích với đề tài “Bài toán
Cauchy cho phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số
hằng” được hoàn thành bởi chính sự nhận thức của bản thân tác giả,
không trùng với bất cứ luận văn nào khác.
Trong quá trình làm đề tài, tác giả đã kế thừa những thành tựu của
các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 6 năm 2014
Tác giả
Nguyễn Ngọc Hưng
Mục lục
MỞ ĐẦU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
Chương 1. SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC BIỂU DIỄN
HÀM SỐ BẤT KỲ QUA SÓNG PHẲNG. . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.1. Một số ký hiệu . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2. Khái niệm sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3. Công thức biểu diễn hàm số . . . . . . . . . . . 8
1.3.1. Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.2. Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu phẳng . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.4. Hình học các siêu mặt nghiệm đặc trưng của đa thức hyperbolic
chặt thuần nhất với hệ số hằng . . . . . . . . . . . 14

1.4.1. Đa thức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4.2. Siêu mặt đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . 16
Chương 2. BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI PHƯƠNG
TRÌNH HYPERBOLIC CHẶT THUẦN NHẤT VỚI
HỆ SỐ HẰNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1. Toán tử hyperbolic chặt . . . . . . . . . . . . 18
2.2. Bài toán Cauchy . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.1. Phát biểu bài toán Cauchy chính tắc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2.2. Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.2.3. Đưa bài toán Cauchy tổng quát về bài toán Cauchy chính tắc . . . . . . . . . . . . . 21
2.3. Bài toán Cauchy chính tắc. . . . . . . . . . 22
2.3.1. Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là sóng phẳng. . . . . . . . . . . . . 22
2.3.2. Bài toán Cauchy chính tắc với dữ kiện ban đầu là hàm bất kỳ . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3. Nhân của toán tử nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4. Việc biểu diễn nhân của toán tử nghiệm qua tích phân trên mặt
nghiệm đặc trưng . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.5. Trường hợp phương trình truyền sóng cổ điển. . . . . 34
KẾT LUẬN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Bài toán Cauchy cho phương trình truyền sóng cổ điển cấp hai với
hệ số hằng đã được các nhà toán học thiết lập công thức biểu diễn
nghiệm trong trường hợp số chiều không gian n là 1, 2, 3 bởi các công
thức D’Alembert, Poisson và Kirchoff tương ứng. Kết quả này đầu tiên
được mở rộng cho trường hợp n là số chẵn, sau đó bằng phương pháp
hạ bậc kết quả đã được thiết lập cho trường hợp số chiều n bất kỳ.
Luận văn đặt vấn đề mô tả công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán
Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng
bằng việc sử dụng khái niệm sóng phẳng. Với mong muốn được nghiên

cứu về vấn đề này tác giả chọn đề tài: "Bài toán Cauchy cho phương
trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng".
Bố cục của luận văn gồm 2 chương
Chương 1. Trình bày khái niệm sóng phẳng và một số tính chất.
Phát biểu và chứng minh công thức biểu diễn hàm số bất kỳ qua sóng
phẳng. Ngoài ra luận văn nghiên cứu các tính chất của mặt đặc trưng
đối với đa thức hyperbolic.
Chương 2. Phát biểu bài toán Cauchy tổng quát và bài toán Cauchy
chính tắc. Luận văn chỉ ra có thể đưa bài toán Cauchy tổng quát về bài
toán Cauchy chính tắc. Trình bày lời giải của bài toán Cauchy chính tắc
2
với dữ kiện là sóng phẳng. Biểu diễn nhân của toán tử nghiệm qua tích
phân trên mặt nghiệm đặc trưng, và áp dụng các kết quả thu được cho
phương trình truyền sóng cổ điển.
Luận văn được trình bày trên cơ sở chương 2 của cuốn sách: "Fritz
John (1955), Plane Waves and Spherical Means, Springer-Verlag, New
York Heidelberg Berlin".
2. Mục đích nghiên cứu
Đưa ra công thức biểu diễn nghiệm tường minh cho bài toán Cauchy
đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng bằng
việc sử dụng khái niệm sóng phẳng.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
Trình bày khái niệm sóng phẳng và công thức biểu diễn hàm số bất
kỳ qua sóng phẳng, sau đó dẫn dắt ra công thức mô tả nghiệm tường
minh cho bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần
nhất với hệ số hằng.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Các phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng.
3
5. Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu và tổng quan kết quả về công thức biểu diễn nghiệm cho
bài toán Cauchy đối với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ
số hằng.
6. Dự kiến đóng góp mới của đề tài
Tổng quan về công thức biểu diễn nghiệm cho bài toán Cauchy đối
với phương trình hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng.
Chương 1
SÓNG PHẲNG VÀ CÔNG THỨC
BIỂU DIỄN HÀM SỐ BẤT KỲ
QUA SÓNG PHẲNG
1.1. Một số ký hiệu
• R
n
= {x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) |x
i
∈ R , i = 1, n}.
• Các chữ cái x, y, z, X, Y, Z, ξ, η, ζ sẽ được thay thế cho các vectơ
(x
1
, . . . , x
n
), (y
1
, . . . , y

n
), . . . , (ζ
1
, . . . , ζ
n
) trong không gian n chiều,
trong đó n ≥ 2. Tất cả các chữ cái khác được thay thế cho các biến
vô hướng.
• Tích vô hướng của vectơ y và x được kí hiệu là y.x =
n

i=1
y
i
x
i
.
• Độ dài (x.x)
1
2
của vectơ x là |x|.
• Phần tử thể tích dx
1
, . . . , dx
n
được viết tắt là dx, trong khi dS
x
được kí hiệu phần tử diện tích mặt của một siêu mặt trong không
gian n chiều.
• Mặt cầu đơn vị có bán kính 1 với tâm ở gốc tọa độ trong không

gian x được kí hiệu là Ω
x
, phần tử diện tích mặt cầu đơn vị là dω
x
,
diện tích mặt cầu đơn vị là ω
n
.
5
• Thể tích của hình cầu đơn vị trong không gian n chiều là

1
n

ω
n
.
• Các phép tính tích phân được thực hiện trên toàn bộ miền biến
thiên của biến đó, trừ khi các hạn chế khác được chỉ ra.
• Chứng minh hoàn thành được kí hiệu là .
1.2. Khái niệm sóng phẳng
Định nghĩa 1.1. Cho g(s) là một hàm liên tục của biến vô hướng s,
vectơ y = (y
1
, . . . , y
n
) = 0 được cố định thuộc không gian R
n
. Hàm số
g(y.x) là một hàm theo biến x = (x

1
, . . . , x
n
) và nhận giá trị hằng số
trên các siêu phẳng mà vectơ y là pháp tuyến. Hàm g(y.x) được gọi là
một sóng phẳng.
Định lý 1.1. Giả sử n ≥ 2, g(s) là một hàm liên tục của biến vô hướng
s. Ta có công thức

Ω
x
g(y.x)dω
x
= ω
n−1
+1

−1
(1 −p
2
)
n−3
2
g (|y|p) dp = ω
n
h (|y|) (1.1)
trong đó h(s) được xác định bởi (1.1), Ω
x
là mặt cầu đơn vị trong R
n

.
Chứng minh. Ta tính tích phân của g (y.x) trong toàn hình cầu có bán
kính r với tâm ở gốc tọa độ bằng cách phân tích hình cầu thành các
phần thiết diện vuông góc với y-hướng. Trên mặt phẳng y.x = |y|p mà
có khoảng cách từ gốc là |p|, hàm g (x.y) có giá trị g (|y|p). Phần giao
(n −1) chiều của mặt phẳng đó với hình cầu có diện tích (xem Hình 1.1)
ω
n−1
n −1
(r
2
− p
2
)
n−1
2
.
6
Suy ra

|x|<r
g(y.x)dx =
ω
n−1
n −1
+r

−r
(r
2

− p
2
)
n−1
2
g (|y|p) dp. (1.2)
Lấy đạo hàm hai vế theo r và đặt r = 1 ta được

Ω
x
g(y.x)dω
x
= ω
n−1
+1

−1
(1 −p
2
)
n−3
2
g (|y|p) dp = ω
n
h (|y|).

Định lý 1.2. Cho g(s) là hàm liên tục và giả sử k > 0. Khi đó ta có
các công thức sau

Ω

x
|y.x|
k
dω
x
=
2
√
π
n−1
Γ

k+1
2

Γ

n+k
2

|y|
k
(1.3)

Ω
x
|y.x|
k
log |y.x|dω
x

=
2
√
π
n−1
Γ

k+1
2

Γ

n+k
2

|y|
k
(log |y| + c
nk
) (1.4)
trong đó c
nk
là hằng số, Γ(t) là hàm Gamma.
7
Chứng minh. Với g(s) = const. = 1 ta có h = 1, và từ (1.1) ta suy ra
công thức sau
ω
n
ω
n−1

=
1

−1
(1 −p
2
)
n−3
2
dp =
Γ

n−1
2

Γ

1
2

Γ

n
2

. (1.5)
Từ công thức (1.5) suy ra một công thức nổi tiếng
ω
n
=

2
√
π
n
Γ

n
2

(1.6)
đối với diện tích của mặt cầu đơn vị trong không gian n chiều.
Cho g(s) = e
is
ta được
h(s) =
ω
n−1
ω
n
1

−1
(1 −p
2
)
n−3
2
e
isp
dp =

2
ν
Γ(ν + 1)
s
ν
J
ν
(s) (1.7)
trong đó J
ν
là hàm Bessel với chỉ số ν =
n −2
2
.
Với g(s) = |s|
k
và g(s) = |s|
k
log |s|, từ (1.1) ta nhận được các kết
quả tương ứng sau đây

Ω
x
|y.x|
k
dω
x
=
2
√

π
n−1
Γ

k+1
2

Γ

n+k
2

|y|
k

Ω
x
|y.x|
k
log |y.x|dω
x
=
2
√
π
n−1
Γ

k+1
2


Γ

n+k
2

|y|
k
(log |y| + c
nk
)
trong đó c
nk
là các hằng số nào đó. 
Nhận xét 1.1. Công thức (1.3), (1.4) hiển nhiên cũng đúng khi k = 0.
8
1.3. Công thức biểu diễn hàm số
1.3.1. Biểu diễn hàm số qua sóng phẳng
Định lý 1.3. Giả sử f(x) là một hàm thuộc lớp C
1
và bằng không ngoài
tập bị chặn nào đó. Khi đó ta có công thức biểu diễn sau
(∆
z
)
n+k
2





Ω
x
f(y) |(y −z).x|
k
dω
x


dy = 4(2πi)
n−1
k!f(z) (1.8)
với n lẻ và k = 1, 3, 5, . . .
(∆
z
)
n+k
2




Ω
x
f(y) [(y −z).x]
k
log |(y − z).x|dω
x



dy = −(2πi)
n
k!f(z)
(1.9)
với n chẵn và k = 0, 2, 4, . . . (cho cả n = 2), trong đó
∆
z
=
n

j=1
∂
2
∂z
2
j
là toán tử Laplace theo biến z.
Chứng minh. Ta xét một hàm f(x) tùy ý thuộc lớp C
1
và bằng không
ngoài tập bị chặn nào đó. Khi đó
u(z) =

f(y)
|y − z|
2−n
(2 −n)ω
n
dy (1.10)
là một hàm của z thuộc lớp C

2
, thỏa mãn phương trình vi phân Poisson
∆
z
u(z) = f (z) (1.11)
trong đó ∆
z
là Laplace đối với các biến z
1
, . . . , z
n
.
9
Với n = 2 hàm nhân trong (1.10) được thay thế bằng
1
2π
log |y − z|.
Thật vậy, từ (1.11) ta có
∆
z
u =
−1
ω
n

i
∂
∂z
i


f(y)(y
i
− z
i
) |y − z|
−n
dy
=
−1
ω
n

i
∂
∂z
i

f(y + z)y
i
|y|
−n
dy
=
−1
ω
n

i

f

y
i
(y + z)y
i
|y|
−n
dy
=
−1
ω
n
lim
r→0

i

|y|>r
f
y
i
(y + z)y
i
|y|
−n
dy
=
−1
ω
n
lim

r→0

i




|y|=r
−y
2
i
r
|y|
−n
f(y + z)dS
y
−

|y|>r
f(y + z)
∂
∂y
i
(y
i
|y|
−n
)dy




=
1
ω
n
lim
r→0
r
1−n

|y|=r
f(y + z)dS
y
= f(z).
Việc chứng minh của công thức Poisson được đưa ra ở đây một cách
chi tiết, bởi sự quan trọng của nó cho những phần sau, vì tất cả các
phép tính đạo hàm đối với các tích phân kỳ dị sẽ được thực hiện bằng
việc đưa đến công thức này. Công thức tương tự vẫn đúng nếu giả thiết
rằng f(x) thỏa mãn điều kiện H¨older.
Bây giờ ta chọn n chẵn cho đồng nhất thức (1.4), n lẻ cho đồng nhất
thức (1.3), thay y bằng y −z, nhân hai vế với f (y) và lấy tích phân theo
y (ta vẫn giả thiết rằng f là thuộc lớp C
1
và bằng không ngoài tập bị
chặn nào đó). Ta chọn một số nguyên k không âm sao cho n + k là một
số chẵn, và áp dụng toán tử ∆
z
vào hai vế của đẳng thức cuối
n + k
2

lần.
10
Ta thấy, với
∆
z
|y − z|
k
= k(k + n −2) |y − z|
k−2
và n > 2 ta nhận được các công thức sau
(∆
z
)
n+k−2
2
|y − z|
k
=
2
n+k−1
Γ

k+2
2

Γ

k+n
2


Γ

n
2

(2 −n)π
(−1)
n−1
2
|y − z|
2−n
(1.12)
với n lẻ,
(∆
z
)
n+k−2
2
|y − z|
k
log |y − z|
=
2
n+k−2
Γ

k+2
2

Γ


k+n
2

Γ

n
2

(2 −n)
(−1)
n−2
2
|y − z|
2−n
(1.13)
với n chẵn.
Từ công thức (1.3), (1.4), (1.11) ta có
(∆
z
)
n+k
2




Ω
x
f(y) |(y −z).x|

k
dω
x


dy =4(2πi)
n−1
k!f(z)
với n lẻ và k = 1, 3, 5, . . .
(∆
z
)
n+k
2




Ω
x
f(y) [(y −z).x]
k
log |(y − z).x|dω
x


dy = −(2πi)
n
k!f(z)
với n chẵn và k = 0, 2, 4, . . . (cho cả n = 2), trong đó

∆
z
=
n

j=1
∂
2
∂z
2
j
là toán tử Laplace theo biến z. 
11
Nhận xét 1.2. Về mặt hình thức ta có thể kết hợp các công thức cho
n chẵn và n lẻ thành công thức sau
f(z) =(∆
z
)
n+k
2
Re


−1
k!(2πi)
n





Ω
x
f(y) [(y −z).x]
k
. log

1
i
(y − z).x

dω
x


dy


(1.14)
trong đó log s kí hiệu các nhánh chính của hàm log xác định trong mặt
phẳng phức s với đường cắt dọc theo trục thực âm.
Công thức (1.8), (1.9) biểu diễn cho một nghiệm của bài toán thu
được một hàm f (z) như một tổ hợp tuyến tính của “sóng phẳng” hàm
của z. Các sóng phẳng ở đây có một trong hai dạng |(y −z).x|
k
hoặc
[(y − z).x]
k
log |(y − z).x|.
1.3.2. Biểu diễn hàm số qua tích phân của nó trên các siêu
phẳng

Định lý 1.4. Giả sử f(x) là một hàm thuộc lớp C
1
và bằng không ngoài
tập bị chặn nào đó. Với x ∈ R
n
, |x| = 1 và p ∈ R ta đặt
J(x, p) =

y.x=p
f(y)dS
y
(1.15)
là tích phân của f trên siêu phẳng với pháp tuyến đơn vị x và có khoảng
cách p (có tính tới dấu) từ gốc. Khi đó ta có các công thức biểu diễn sau
2(2πi)
n−1
f(z) = (∆
z
)
n−1
2

Ω
x
J(x, x.z)dω
x
(1.16)
với n lẻ,
12
(2πi)

n
f(z) = (∆
z
)
n−2
2

Ω
x
dω
x
p=+∞

p=−∞
dJ(x, p)
p −z.x
(1.17)
với n chẵn, trong đó phân tích f (z) thành các hàm sóng phẳng.
Chứng minh. Theo công thức (1.15) J(x, p) = J(−x, −p). Sử dụng
công thức (1.8) cho n lẻ với k = 1 ta có

Ω
x
f(y) |(y −z).x|dω
x
dy =

Ω
x
dω

x
+∞

−∞
|p|dp

(y−z).x=p
f(y)dS
y
=

Ω
x
dω
x
+∞

−∞
|p|J(x, p + z.x)dp. (1.18)
Ta nhận thấy rằng đối với |x| = 1
∆
z
+∞

−∞
|p|J(x, p + z.x)dp
= ∆
z



∞

z.x
(p −z.x)J(x, p)dp −
z.x

−∞
(p −z.x)J(x.p)dp


= 2J(x, z.x).
Ta nhận được từ (1.8) cho trường hợp n lẻ công thức sau đây
2(2πi)
n−1
f(z) = (∆
z
)
n−1
2

Ω
x
J(x, x.z)dω
x
.
Ở đây tích phân biểu diễn (ngoại trừ một hệ số không đổi ω
n
) đại lượng
trung bình của các tích phân phẳng của f trên các mặt phẳng đi qua
điểm z. Một công thức tương tự có thể được suy ra cho n chẵn từ (1.9)

13
với k = 0. Ta chú ý ở đây đối với |x| = 1,
∆
z
+∞

−∞
log |p|J(x, p + z.x)dp =
+∞

−∞
(log |p|)J
pp
(x, p + z.x)dp
=
+∞

−∞
(log |p −z.x|)J
pp
(x, p)dp
= −
+∞

−∞
1
p −z.x
J
p
(x, p)dp

= −
p=+∞

p=−∞
dJ(x, p)
p −x.z
.
Hai tích phân cuối cùng ở đây được hiểu theo nghĩa giá trị chính Cauchy.
Giá trị chính Cauchy của tích phân ở đây được hiểu là
+∞

−∞
f(z)dp = lim
ε→0
+

|p−z.x|>ε
f(z)dp.
Khi đó ta nhận được từ (1.9) cho trường hợp n chẵn công thức sau
(2πi)
n
f(z) = (∆
z
)
n−2
2

Ω
x
dω

x
p=+∞

p=−∞
dJ(x, p)
p −z.x
trong đó ∆
z
=
n

j=1
∂
2
∂z
2
j
là toán tử Laplace theo biến z. 
14
1.4. Hình học các siêu mặt nghiệm đặc trưng của đa
thức hyperbolic chặt thuần nhất với hệ số hằng
1.4.1. Đa thức hyperbolic
Với η = (η
1
, η
2
, . . . , η
n
) ∈ R
n

, λ ∈ R, xét đa thức thuần nhất bậc m
Q(η, λ) =

|α|+k=m
a
αk
η
α
λ
k
(1.19)
trong đó
• a
αk
∈ R
• α = (α
1
, α
2
, . . . , α
n
) ∈ R
n
• |α| = α
1
+ α
2
+ ···+ α
n
• η

α
= η
α
1
1
η
α
2
2
. . . η
α
n
n
.
Ta giả thiết điều kiện sau đây được thỏa mãn
Q(0, 1) = 1.
Nhận xét 1.3. Vì đa thức Q là thuần nhất bậc m, nên
Q(hη, hλ) = h
m
Q(η, λ), ∀h ∈ R (1.20)
trong đó (η, λ) ∈ R
n+1
là bất kỳ.
Định nghĩa 1.2 (Đa thức hyperbolic). Đa thức Q(η, λ) được gọi là
hyperbolic đối với biến λ nếu ∀η ∈ R
n
thì phương trình
Q(η, λ) = 0 (1.21)
chỉ có các nghiệm thực đối với biến λ.
15

Định nghĩa 1.3 (Đa thức hyperbolic chặt). Giả sử (η, λ) ∈ R
n
× R,
khi đó đa thức Q(η, λ) được gọi là hyperbolic chặt đối với biến λ nếu nó
thỏa mãn hai điều kiện sau
• Nó là hyperbolic đối với biến λ.
• Khi η = 0 thì phương trình (1.19) có m nghiệm thực theo λ đôi một
khác nhau.
Ví dụ 1.1. Đa thức thuần nhất bậc hai sau đây
Q(η, λ) =
n

j=1
η
2
j
− λ
2
(1.22)
là hyperbolic chặt. Thật vậy, từ phương trình Q(η, λ) = 0 ta nhận được
λ
2
=
n

j=1
η
2
j
từ đó suy ra

λ
1,2
= ±




n

j=1
η
2
j
∈ R.
Khi η = 0 ta có λ
1
= λ
2
.
Ví dụ 1.2. Xét đa thức
Q(ξ, λ) =
n

j,k=1
a
jk
ξ
j
ξ
k

+ 2λ
n

j=1
b
j
ξ
j
− λ
2
(1.23)
trong đó b
j
∈ R, a
jk
= a
kj
∈ R,
n

j,k=1
a
jk
ξ
j
ξ
k
≥ δ |ξ|
2
, δ > 0.

Khi đó đa thức Q(ξ, λ) là hyperbolic chặt, do
∆

=

n

j=1
b
j
ξ
j

2
+
n

j,k=1
a
jk
ξ
j
ξ
k
≥ δ |ξ|
2
.
16
1.4.2. Siêu mặt đặc trưng của đa thức hyperbolic chặt thuần
nhất

Định nghĩa 1.4. Giả sử Q(η, λ) là một đa thức hyperbolic chặt thuần
nhất. Khi đó tập hợp
Σ = {(η, λ) ∈ R
n
× R; η = 0, Q(η, λ) = 0}
được gọi là mặt đặc trưng.
Nhận xét 1.4. Ta thấy (η, λ) ∈ Σ khi và chỉ khi
(hη, hλ) ∈ Σ, ∀h = 0
do đó Σ là mặt nón trong R
n
× R.
Định lý 1.5. Mặt nón Σ có thể biểu diễn thành hợp của các mặt nón
liên thông và rời nhau sau đây
Σ = Σ
1
∪ Σ
2
∪ . . . ∪ Σ
l
(1.24)
trong đó
l =





m + 1
2
với m lẻ

m
2
với m chẵn.
(1.25)
Chứng minh. Trong trường hợp của một phương trình hyperbolic chặt
phương trình đặc trưng (1.21) với η = 0 có đúng m nghiệm thực phân
biệt λ
1
, . . . , λ
m
. Ta đánh số theo một dạng duy nhất sao cho
λ
1
> λ
2
> . . . > λ
m
. (1.26)
Cho η là vectơ đơn vị, khi đó λ
k
bị chặn đều do hệ số của λ
m
trong
(1.21) có giá trị 1 và các hệ số khác bị chặn. Vì các nghiệm phụ thuộc
17
liên tục vào các hệ số, và do (1.26) đúng với mọi η trên Ω
η
, nên λ
k
(η) là

các hàm liên tục trên mặt cầu đơn vị.
Phương trình
Q(η, λ) = 0
suy ra
Q(−η, −λ) = 0,
nên
Q(−η, −λ
k
(η)) = 0.
Như vậy −λ
k
(η) là các nghiệm phụ thuộc vectơ −η. Vì
−λ
1
(η) < −λ
2
(η) < . . . < −λ
m
(η)
nên ta có
− λ
k
(η) = λ
m−k+1
(−η) (1.27)
với k = 1, . . . , m.
Từ (1.27) ta suy ra các công thức (1.24) và (1.25). 
Nhận xét 1.5. Trong trường hợp đặc biệt quan trọng, trong đó
Q(η, 0) = 0 (1.28)
với mọi η trên Ω

η
, thì không có λ
k
có thể bằng 0. Từ sự liên tục của
λ
k
(η) suy ra rằng các số dương λ
k
là như nhau với mọi η. Theo (1.27) số
dương λ
k
(η) bằng số âm λ
k
(−η). Từ đó theo giả thiết (1.28) số dương
và số âm λ
k
là bằng nhau với mọi η. Điều kiện (1.28) chỉ có thể được
thỏa mãn với m chẵn.
Chương 2
BÀI TOÁN CAUCHY ĐỐI VỚI
PHƯƠNG TRÌNH HYPERBOLIC
CHẶT THUẦN NHẤT VỚI
HỆ SỐ HẰNG
2.1. Toán tử hyperbolic chặt
Xét toán tử Q(D
x
, D
t
) thuần nhất cấp m
Q(D

x
, D
t
)u =

|α|+k=m
a
αk
D
α
x
D
k
t
u (2.1)
trong đó
• a
αk
∈ R, t ∈ R
• x = (x
1
, x
2
, . . . , x
n
) ∈ R
n
• α = (α
1
, α

2
, . . . , α
n
) ∈ R
n
• |α| = α
1
+ α
2
+ ···+ α
n
• D
x
j
u =
∂u
∂x
j
• D
t
u =
∂u
∂t
19
• D = D
x
= (D
x
1
, D

x
2
, . . . , D
x
n
) = (D
1
, D
2
, . . . , D
n
)
• D
α
= D
α
1
1
D
α
2
2
. . . D
α
n
n
• D
α
D
k

t
= D
α
1
1
D
α
2
2
. . . D
α
n
n
D
k
t
• D
α
u = D
α
1
1
[D
α
2
2
[. . . (D
α
n
n

)u]] .
Với η = (η
1
, . . . , η
n
) ∈ R, λ ∈ R ta xét đa thức
Q(η, λ) =

|α|+k=m
a
αk
η
α
λ
k
. (2.2)
Ta sẽ luôn giả thiết
Q(0, 1) = 1.
Đa thức Q(η, λ) được gọi là đa thức đặc trưng của toán tử Q(D
x
, D
t
).
Định nghĩa 2.1. Toán tử Q(D
x
, D
t
) được gọi là hyperbolic đối với mặt
phẳng t = 0 nếu đa thức Q(η, λ) là hyperbolic đối với biến λ.
Định nghĩa 2.2. Toán tử Q(D

x
, D
t
) được gọi là hyperbolic chặt đối với
mặt phẳng t = 0 nếu đa thức Q(η, λ) là hyperbolic chặt đối với biến λ.
Ví dụ 2.1. Toán tử thuần nhất cấp hai sau đây
Q(D
x
, D
t
) =
n

j=1
D
2
x
j
− D
2
t
(2.3)
là hyperbolic chặt đối với mặt phẳng t = 0. Thật vậy, đa thức
Q(η, λ) = |η|
2
− λ
2
=
n


j=1
η
2
j
− λ
2
theo Ví dụ 1.1 là đa thức hyperbolic chặt.